7.1 PowerGoatLawnCompany utiliza dos tipos de segadoras para el campo. las segadoras más pequeñas tienen una cuchilla de 24 pulgadas y se utilizan en campos que tienen muchos árboles obstáculos .Las segadoras más grandes tienen cuchillas dos veces más grandes que las pequeñas y se utiliza en campos abiertos , donde no es tan difícil operarlas . Las dos funciones son:
Segadores grandes Segadores pequeños
Producción por hora 8000
Producción por capital (k) 2
Factor trabajo(L) 1
5000
1
1
a)Dibuje la isocuanta q=40 000 metros cuadrados para la primera función de producción ¿Qué cantidad de k y l se utilizara si se combinaran estos factores sin desperdiciarlos? b) Conteste la sección a para la segunda función
Segadoras Grandes (función 1)
𝑘=
40000 8000 2
= 10
;
𝑙=
= 2k+l
40000 8000 1
=5
Función 1: usa 10k, 5l Segadores pequeños (función 2) = k+l
𝑘=
40000 5000 1
=8
;
𝑙=
Función 2: usa 8k, 8l
40000 5000 1
=8
K por periodo
10
Funcion1
8
Función 2
5
8
l por periodo
c) ¿Qué cantidad de k y l se utilizara sin desperdicio si se segara la mitad el campo de 40 000 metros cuadrados con el método de la primera función de producción y la otra mitad con el método de la segunda? ¿Qué cantidad de k y l se utilizarían si se segaran las ¾ partes del campo con el primer método y la otra ¼ parte con el segundo? ¿Qué significa hablar de fracciones de k y l ?
Función1: 2k + l =8,000 2.5(2k + l) = 20,000 5.0k + 2.5l = 20,000 …. (1)
Función2: k + l =5,000 4(k + l) = 20,000 4k + 4l = 20,000 …. (2)
Igualando (1) y (2)… Por lo tanto k=9.0 y L =6.5, está en la isocuanta = 40,000
Isocuanta1 : 0.75 (2k + l) =30,000 7.50k + 3.75l = 30,000
Isocuanta2: 2(k + l) = 10,000 2k + 2l = 10,000
Igualando (1) y (2)… Por lo tanto, k= 9.50 y L=5.75está en la iscocuanta = 40,000
d) A partir de sus observaciones en el sección c, dibuje la isocuanta q =40 000 para las funciones de producción combinadas
k por periodo Q=40,000 9.5 9.0 8.5
5.75 6.5 7.25
l por periodo
7.2 Suponga que la función de producción para utensilios viene dadapor: Q = K. L - 0.8K2 - 0.2L2 En donde q representa la cantidad anual de utensilios producidos, k representa el capital utilizado por año,y l representa al activo trabajo que se utiliza, también anual. a) Suponga que k=10; grafique el producto marginal total y promedio. ¿En qué nivel de trabajo alcanza un máximo la productividad promedio? ¿Cuántos utensilios se producen en estepunto? Función de producción:q kl 0.8k 2 0.2l2
Suponga que k = 10, entonces 10l 0.2l2 80 La productividad marginal = Productividad promedio:
𝑞 𝑙
𝜕𝑞 𝜕𝑙
= 10 − 0.4𝑙 = 0 ; 𝑙 = 25
= 10 − 0.22 −
80 𝑙
𝑙 = 20
Alcanzo un máximo en el Producto promedio cuando L = 20; Q =40 y en producto marginal cuando L =25 ; Q =45 Q (Cantidad)
45 PT
1025
L (Capital)
Pml Pml 10
Producto Marginal L
Productividad Promedio L
10
20
25 30 40
L
b) De nuevo suponga que k=10, y grafique la curva de producto marginal del trabajo. ¿En qué nivel de trabajo su producto marginal se tornacero? Si k = 10 : Q = 10l – 0.2l2 -80 PMg = 10-0.4l = 0; L =25
En el nivel cuando L= 25 ; Q = 45 El producto marginal se torna cero
c) Supongaqueelcapitalseincrementaa20.¿Cómocambiantusrespuestasdelaspa rtes(a)y(b)? K = 20; Q = 20L – 0.2L2 -320
Productividad Marginal: 20 - 0.4L =0 L =40 Q=20(40) - 0.2(40)2 – 320 Q =160
Productividad Promedio: 20-0.4L =0 L =50 2 Q=20(50) – 0.2(50) -320 Q=180
Cuando L=40 ; K=20 y Q =160
Cuando L=50 ; K=20 y Q =180
d) ¿Qué clase de retornos a escala exhibe la función de producción deutensilios? La producción de utensilios exhibe rendimientos a escala crecientes; ya que aumenta la cantidad de dos factores :capital y trabajo en determinadas cantidades (se duplica la cantidad )
7.3 Sam Malone está considerando la posibilidad de renovar los banquillos del bar Cheers. La función de producción de los banquillos nuevos está determinada por q = 0.1k0.2 l 0.8 Dondeq es la cantidad de banquillos producidos durante la semana de la renovación, k representa la cantidad de horas de tornos empleadas durante la semana para hacer los banquillos y l representa la cantidad de horas hombre empleadas durante el periodo. Sam quería entregar 10 barquillos nuevos y ha asignado 10 000 dólares al proyecto.
a) Sam piensa que, dado que los tornos necesarios para fabricar los banquillos y los trabajadores calificados para hacer este trabajo cuestan lo mismo (50 dólares por hora), bien podría contratar estos dos factores en cantidades iguales. Si Sam actúa de esta manera, que cantidad de cada factor contratara y cuanto le costara el proyecto de renovación? q = 0.1k0.2 l 0.8 K = cantidad de horas de tornos empleadas L= cantidad de horas hombre empleadas
Q = 10; Costo total =10 000 K= 100 ; L =100
b. Norm (que sabe algo de banquillos para bares) argumenta que Sam ha vuelto a olvidar lo que sabe de microeconomía. Afirma que Sam debería elegir cantidades de factores de modo que sus productividades marginales (no las medias) sean iguales. Si Sam optara por este plan en cambio, .que cantidad de cada factor contrataría y cuántocostaría el proyecto de renovación? q = 0.1k0.2 l 0.8
….
𝜕𝑞
Q = 10
𝑙
PMk = 𝜕𝑘 = 0.02 (𝑘)0.8….. (1) 𝑘
PML =0.08 ( 𝑙 )0.2 ………. (2) Igualando (1) y (2) 𝑙
𝑘
0.02 (𝑘)0.8 =0.08 ( 𝑙 )0.2 4k=L Reemplazamos en la función Q 10 = 0.1k0.2 (4k) 0.8 10=0.303k
;
Tenemos que k=3.3 y L = 13.2
c. Cliff escucha que el plan de Norm ahorrara dinero, pero argumenta que Sam debería invertir el ahorro en una cantidad mayor de banquillos a efecto de tener más asientos para sus compañeros de la oficina. .Cuantos banquillos máspodrá sacar Sam de su presupuesto si sigue el plan de Norm? Debido a que la función de producción es rendimientos constantes a escala, sólo aumentará todas las entradas y la salida por la relación entre 10.000 / 8250 = 1,21. Por lo tanto, k = 4, l = 16, q = 12,1 d. Carla está preocupada porque la sugerencia de Cliff simplemente podría significar más trabajo para ella porque tendrá que atender a más clientes del bar. .Como podría convencer a Sam de que se ciña a su plan original de los 10 banquillos? La capacidad de Carla para influir en la decisión depende de si se proporciona una entrada única para Salidos
7.4 Una medida local de los rendimientos a escala incorporada a una función de producción está determinada por la elasticidad a escala de Con valor de t =1 a) Demuestre que si la función exhibe rendimientos a escala constantes, entonces 𝒆q, k=1
𝑒q, k =lim(𝑡 → 1) =
𝜕𝑓(𝑡𝑘,𝑡𝑙) 𝜕𝑡
.
𝑡 𝑓(𝑡𝑘,𝑡𝑙)
= lim(𝑡 → 1)
𝑓(𝑘,𝑙) 𝑓(𝑘,𝑙)
=1
b) De ahí podemos definir las elasticidades de producción de los factores k y l como
Demuestre que𝒆q,t = 𝒆q,k + 𝒆q,l
𝑒q, k =lim(𝑡 → 1) =
𝜕𝑓(𝑡𝑘,𝑡𝑙) 𝜕𝑡
.
𝑡 𝑓(𝑡𝑘,𝑡𝑙)
𝜕𝑓
= lim(t → 1)(
𝜕𝑘
𝜕𝑓
. 𝑘+
𝜕𝑙
𝑡
. 𝑙). = 𝑒𝑞,𝑘 + 𝑒𝑞,𝑙 𝑓
c) una función que exhibe elasticidad a escala variables es: q = (1+k-1 l-1)-1 Demuestre que para esta función 𝒆q,t> 1 para q <0.5 y que 𝒆q,t <1 para q >0.5
𝑒q, k = lim
𝜕(1+𝑡 −2 𝑘 −1 𝑙 −1 ) 𝑡
𝑡
. = lim 𝑞2 2𝑡−3 𝑘−1 𝑙−1 . = 2𝑞𝑘−1 𝑙−1
𝜕𝑡
𝑞
𝑞
1
=2𝑞 ( − 1) = 2 − 2𝑞 𝑞
Por lo tanto
𝑒q, t >1 para q <0.5
𝑒q, t <1 para q>0.5
d) Explique los resultados del inciso c basándose en la intuición. (Pista: .Existe un límite superior de q para esta función de producción?) La razón intuitiva para la elasticidad de escala que cambia es que esta función tiene un límite superior de q = 1 y gana cada vez mayor de la disminución insumos como los enfoques q está ligado
7.5 Como se ha visto en muchos puntos del libro, la función general de producción Cobb-Douglas para dos insumos está determinada por: q = f (k,l) = Akαlβ Donde 0 <α< 1 y 0 <β< 1. En el caso de esta función de producción: a) Demuestre que fk> 0, fl> 0, fkk< 0, fll< 0, fkl= flk> 0. q = Akαlβ
SOLUCION:
𝑓𝑘 = 𝛼𝐴𝐾 𝛼−1 𝑙 𝛽 > 0 𝑓𝑙 = 𝛽𝐴𝐾 𝛼 𝑙𝛽−1 > 0 𝑓𝑘𝑘 = 𝛼(𝛼 − 1)𝐴𝐾 𝛼−2 𝑙 𝛽 < 0 𝑓𝑙𝑙 = 𝛽(𝛽 − 1)𝐴𝐾 𝛼 𝑙𝛽−2 < 0 𝑓𝑘𝑙 = 𝛼𝛽𝐴𝐾 𝛼−1 𝑙 𝛽−1 > 0 b) Demuestre que 𝒆q,k = α , 𝒆q,l= β. 𝜕𝑞 𝑘
𝑘
𝜕𝑘 𝑞
𝑞
𝑒q,k=
. = 𝛼𝐴𝐾 𝛼−1 𝑙 𝛽 . = 𝛼
𝜕𝑞 𝑙
𝑙
𝑒q,l= 𝜕𝑙 . 𝑞 = 𝛽𝐴𝑘 𝛼 𝑙𝛽−1 . 𝑞 = 𝛽 c) Los resultados del inciso b sugieren que para esta función,𝒆q,t= α + β. Demuestre que lo anterior es correcto utilizando una aplicación directa de la definición de la elasticidad a la escala (véase el problema 7.4).
𝑓(𝑡𝑘, 𝑡𝑙) = 𝑡 𝛼+𝛽 𝐴𝐾 𝛼 𝑙 𝛽 𝑒q, t =lim(𝑡 → 1) =
𝜕𝑞 𝑡
𝑡
𝜕𝑡 𝑞
𝑞
. = lim(α + β)𝑡 𝛼+𝛽−1 𝑞 . = 𝛼 + 𝛽
d. Demuestre que esta función es cuasi cóncava. Se demuestra en la parte a) e. Demuestre que la función es cóncava para α + β= 1, pero no es cóncavo para α + β> 1. 𝑓𝑘𝑘 𝑓𝑙𝑙 − 𝑓𝑘𝑙 2 = 𝛼(𝛼 − 1)𝛽(𝛽 − 1)𝐴2 𝐾 2𝛼−2 𝑙 𝛽−2 − 𝛼 2 𝛽 2 𝐴2 𝐾 2𝛼−2 𝑙 2𝛽−2 =𝐴2 𝐾 2𝛼−2 𝑙 2𝛽−2 𝛼𝛽(1 − 𝛼 − 𝛽) Esta expresión es positiva ( y la función es cóncava) si solo si α +β < 1
7.6 Demuestre que, para la función CES y rendimientos a escala constates: q =[kρ+ l ρ]1/ρ 𝒒 a)PMk = ( )𝟏/𝝆 𝒌 𝜕𝑞
y
1
PMk =𝜕𝑘 = 𝜌 (𝑘𝜌 + 𝑙 𝑝 )
PMl = ( 1−𝜌 𝜌
𝒒 𝟏/𝝆 ) 𝒍 𝑞
. 𝜌𝑘𝜌−1 = 𝑞1−𝜌 . 𝑘𝜌−1 = (𝑘)1−𝜌
𝒒 𝟏/𝝆 Rendimiento manipulaciones similaresPMl = ( ) 𝒍 𝒍 b) TTS = ( )𝟏/𝝆 . Utilice lo anterior para demostrar que σ = 1/(1 - ρ) 𝒌
TTS =
𝑷𝒎𝒌 𝑷𝒎𝒍
𝒍
= (𝒌)𝟏−𝝆
c) Calcule las elasticidades de producion de k y l .Demuestra que suman 1 𝜕𝑞 𝑘
𝑞
1
𝜕𝑘 𝑞
𝑘
𝑙 1+( )𝜌
. = ( )−𝜌 =
𝑒q, k=
𝑞
𝑒q, l =( )−𝜌 = 𝑘
𝑘
1
1
𝑘 = 𝑙 1+( )𝜌 1+( )−𝜌 𝑙 𝑘
Poner estos más de un común denominador rendimientos, 𝑒q, k + 𝑒q, l = 1 que muestra rendimientos constantes a escala
d) Demuestre que:
Por tanto demuestre que:
Nota: la última igualdad resulta muy útil para los trabajos empíricos porque en algunos casospodemos aproximar dq/dl utilizando el salario competitivo. Por tanto, podemos estimar X a partir de una regresión de ln(q/l ) sobre lnw
7.7 Considere la siguiente función
En donde 0≤β≤1,i =0. . . 3 a) Si esta función exhibiera rendimientos a escala constantes, ¿qué restricciones deberíamos imponer a los parámetros β0 . . . β3? Si tenemos que,
q=+√𝑘. 𝑙𝑙
Doblamos k y l, cuando 𝛽 = 0 Tenemos 2q=+2√𝑘. 𝑙 𝑙 b) Demuestre que, en el caso de los rendimientos a escala constantes, esta función tiene productividades marginales decrecientes y que las funciones de la productividad marginal son homogéneas de grado cero
PmL= 1 (k / l) 3 ; PmK1(l / k )
2
Que son homogéneas de cero grados con respecto a K y L y exhibición productividades marginales decrecientes.
c) Calcule σ en este caso. Si bien σ no es constantes en general ¿En cuáles valores de β, σ = 0, 1, σ =∞?
σ=
(
𝜕𝑞 𝜕𝑞 ).( ) 𝜕𝑙 𝜕𝑘 𝜕2 𝑞 𝑞. 𝜕𝑘.𝜕𝑙
σ = β12 +
K 0.5 L 0.5 ) + β3( ) ]+ β2β3 L K Q [0.25β1 (KL)−0.5 ]
β1[β2 (
7.8 Demuestre que el Teorema de Euler implica que, para una función de producción con rendimientos a escala constantes [Q = f (k, l)], Q = fk. k + f1. L Utilice este resultado para demostrar que para esta función de producción, PMgL> PPT, PMgK debe ser negativa. ¿Esto qué implica respecto al punto donde se debe dar la producción? ¿Es posible que una empresa produzca en un punto en el cual la PPT es creciente?
𝑄 = 𝐹(𝑘, 𝑙), muestra rendimientos a escala constantes. Por lo tanto para cualquier𝑡 > 0 , 𝑓(𝑡𝑘, 𝑡𝑙) = 𝑡𝑓(𝑘, 𝑙) El teorema de Euler 𝑡𝑓(𝑘, 𝑙) = 𝑓𝑘 K + 𝑓𝑙 L. Aplicamos el caso para 𝑡 = 1, por lo 𝑞
𝑓
𝑞
tanto𝑄 = 𝐹(𝑘, 𝑙) =𝑓𝑘 K + 𝑓𝑙 L;( 𝑙 ) = 𝑓𝑙 + 𝑓𝑘 ( 𝑙 ) Si 𝑓𝑙 > 𝑙 y 𝑓𝑘 < 0, ninguna de las empresas produciría en un intervalo tal. 7.9 Como en el problema 7.8, vuelva a utilizar el teorema de Euler para demostrar que en el caso de una función de producción con rendimientos a escala constantes, con sólo dos factores (k y l),fkldebe ser positiva. Interprete este resultado. ¿Existe una restricción similar para una funciónde producción con muchos factores? Si Q = FkK + FlL, diferencia parcial por “L” rendimientos FL = FkLK + FllL + Fldebido a: Fkl> 0, Fll< 0, es decir con sólo dos entradas y rendimientos a escala constantes, si existe un aumento de entrada, debe aumentar la productividad marginal de la otra entrada.
7.10 Si bien gran parte de nuestra explicación sobre cómo medir la elasticidad de sustitución para diversas funciones de producción ha supuesto que existen rendimientos a escala constantes, en muchas ocasiones este supuesto no es necesario. Este problema ilustra algunos de estos casos. a) En la nota 6 al pie de página demostramos que, en el caso de los rendimientos a escala constantes, la elasticidad de sustitución para una función de producción con dos factores está determinada por
σ = fk. fl/ f .fkl Suponga ahora que definimos una función de producción homotética, F, como F(k,l)=[ f (k,l)]f, Donde f (k, l) es una función de producción con rendimientos a escala constantes y L es un exponente positivo. Demuestre que la elasticidad de sustitución para esta función de producción es la misma que la elasticidad de sustitución para la función f.
F(k,l)=[ f (k,l)]f TTS =
𝛼𝐹 𝛼−1 𝑓𝑙 𝑓𝑙
=
𝛼𝐹 𝛼−1 𝑓𝑘 𝑓𝑘
Esta transformación no afecta la TMS ; Por lo tanto, por definición, el valor de es el mismo para ambas funciones. La prueba matemática es gravosa, sin embargo b) Demuestre cómo se puede aplicar este resultado a la función Cobb-Douglas y a la función de producción con CES.
𝑙 𝑙 𝑇𝑇𝑆 = ( )1−𝜌 = ( )1/𝜎 𝑘 𝑘 La estrategia en tiempo real para la función CES es RTS;Esto no se ve afectada por la transformación de energía.
