EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES Dada la cierta complejidad del enfoque de desarrollo de capacidades, vamos a presentar a partir de ejemplos concretos cómo desde el área de Matemática, mediante las sesiones de aprendizaje, se desarrollan las capacidades priorizadas del área:
Comunicación Matemática Razonamiento y demostración Resolución de problemas
1. Sin pérdida de generalidad, consideramos como punto de partida de nuestra presentación los aprendizajes esperados formulados, por un docente, a partir de los contenidos diversificados de una unidad de aprendizaje1 de cuarto grado de secundaria:
Analiza la función lineal Analiza la función valor absoluto Analiza la función cuadrática Analiza la función raíz cuadrada Interpreta sucesiones Interpreta progresiones aritméticas Interpreta progresiones geométricas
¿Qué implica analizar una función real2 de variable real? Desde el enfoque tradicional, por ejemplo, analizar una analizar una función cuadrática implica: o o o o o
Hallar el dominio de la función cuadrática. Hallar el vértice de la función cuadrática. Tabular y graficar la función cuadrática. Hallar el rango de la función cuadrática. Determinar la monotonía3 y concavidad de la función cuadrática.
Sabem abemo os, a part artir de nues nuestr tra a labo laborr doce docent nte e y el DCN, CN, que que el desarrollo de capacidades implica apelar a constructos pedagógicos (apr (apren endi diza zaje jes s espe espera rado dos; s; indi indica cado dore res) s) que que guard guarden en cohe coheren renci cia a interna y dado que el desarrollo de una capacidad específica implica un conj conjun unto to de proc proces esos os ment mental ales es y, por por ende ende,, ciert cierto o grad grado o de complejidad; debemos tener en cuenta la gradualidad de los procesos Se parte de la premisa que el docente tiene su carpeta con la documentación técnico-pedagógica completa: Programación Anual; Unidades Didácticas y sesiones de aprendizaje. 2 Las funciones lineal, valor absoluto, cuadrática y raíz cuadrada son ejemplos de funciones reales de variable real. 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 1
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
mentales involucrados. Es necesario explicitar que no se pueden identificar todos los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específica (una aproximación formal se puede dar desde la Neurociencia). Apelando a una figura literaria - la metáfora- podemos afirmar que el desarrollo de una capacidad específica es como ascender una escalera, esto es subir un número finito de peldaños de una escalera atendiendo la gradualidad de los procesos mentales involucrados; es decir, tenemos que subir sendos peldaños gradualmente. En el caso de nuestro ejemplo, analizar una función cuadrática, implica que debemos asegurarnos previamente que nuestros estudiantes han logrado u obtenido – al menos - los siguientes aprendizajes esperados:
Identifica funciones cuadráticas. Elabora gráficas de funciones cuadráticas. Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas. Interpreta funciones cuadráticas.
ANALIZA INTERPRETA INFIERE ELABORA IDENTIFICA
Dado que, por ejemplo, la capacidad específica identifica se entiende como la capacidad para ubicar en el tiempo, en el
espacio o en algún medio físico elementos, partes, características, personas, indicaciones u otros aspectos; en nuestro caso el aprendizaje esperado identifica funciones cuadráticas implica: Regla de correspondencia:
Características: i) Polinomio en una variable ii)Grado absoluto 2
f(x) = ax2+bx+c
Búsqueda y recepción de la información
Caracterización
También: DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Función Cuadrática
Expresión o reconocimiento
Gráfica en el plano: 3y
2
Características:
1
-4
-3
-2
-1
1
2
x
i) Vértice (h; k) ii) Eje de simetría iii) Concavidad
-1
-2
-3
Función Cuadrática
-4
Caracterización
Expresión o reconocimiento
Búsqueda y recepción de
Cada uno de los aprendizajes esperados declarados implica un la información conjunto de indicadores, los cuales guardan coherencia interna con sendos aprendizajes esperados, como se presenta a continuación:
Aprendizajes esperados Identifica cuadráticas
funciones
Identifica funciones cuadráticas en el plano cartesiano. Identifica funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia
Elabora gráficas de funciones cuadráticas
Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas
Interpreta cuadráticas
Indicadores
funciones
Elabora gráficas de funciones cuadráticas en el plano cartesiano. Elabora gráficas de funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia. Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su eje de simetría. Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de mínimo Interpreta funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de mínimo. Interpreta el valor máximo o el valor mínimo de una función cuadrática en situaciones problemáticas de la vida real.
Hay que explicitar el hecho de que sendos indicadores deben ser contextualizados, en cuanto sea posible, a situaciones problemáticas de la vida diaria, teniendo en cuenta – por ejemplo - las características geográficas, sociales, culturales y económicas propias de la localidad donde se encuentra la Institución Educativa. Por ejemplo, cuando se formula como indicadores:
Identifica funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia Identifica funciones cuadráticas en el plano cartesiano DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo. Interpreta funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo;
tenemos que elaborar reactivos que denoten sendos indicadores; es decir, luego de realizar las sesiones de aprendizaje relacionadas al contenido temático funciones cuadráticas los estudiantes están en la capacidad de:
Identificar funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia Identificar funciones cuadráticas en el plano cartesiano Inferir el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo. Interpretar funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo;
lo cual se puede medir, por ejemplo, a partir del siguiente ítem o reactivo:
Ítem 1.- Suponga que el gerente de una empresa que produce y vende CD’s multimedia educativos, ha determinado que su función utilidad se modela mediante la regla de correspondencia U ( x) = 4 x − x 2 ; donde U está expresada en miles de dólares y x está expresada en miles de CD’s producidos y vendidos.
V(2;4)
4
3
2
1
1
2
3
4
A partir de la gráfica adjunta de la función utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1.1 Al producir y vender 2 000 cd’s se hace máxima la utilidad. 1.2 La utilidad máxima es $ 4 000. SECUNDARIA 1.3 La utilidad DIRECCIÓN es la mismaDE al EDUCACIÓN producir y vender 1000 cd’s que producir y vender 3000 cd’s. 1.4 U (1,8) < U (3).
En buen romance, analizar la función cuadrática U ( x) = 4 x − x 2 implica, al menos, que el estudiante de 4º grado de secundaria:
Identifique funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia Identifique funciones cuadráticas en el plano cartesiano Infiera el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo. Interprete funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo;
Lo cual se puede observar, de manera general, en el siguiente recuadro:
Aprendizaje de una sesión
Indicadores 1.1 Identifica la función cuadrática 2 U ( x) = 4 x − x a partir de su regla de correspondencia.
Analizar la función utilidad U ( x)
= 4 x − x
2
Acciones realizadas por el estudiante
Instrume ntos
1.1.1 Identificar la abscisa del vértice de U.
Prueba de 1.1.2 Identificar la ordenada del opción vértice U. múltiple
1.2 Identifica la función cuadrática 1.2.1 Identificar el vértice de la Ficha de 2 Cotej U ( x) = 4 x − x en el parábola U. oo plano cartesiano. 1.2.2 Identificar la intersección Verif de la parábola U con los ejes icaci coordenados en el plano ón 1.3 Infiere el cartesiano. comportamiento de la función cuadrática U ( x) = 4 x − x 2 a partir 1.3.1 Discriminar los valores x de su punto de del dominio de U tal que U es creciente o decreciente a partir máximo de su punto de máximo. DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
1.4 Interpreta la función cuadrática U ( x) = 4 x − x 2 a partir 1.4.1 Identificar el valor máximo de su punto de de la función cuadrática U. 1.4.2 Interpretar el valor máximo. máximo de la función utilidad U.
Asimismo, queda claro que en el enfoque de desarrollo de capacidades los contenidos temáticos son importantes en tanto y en cuanto nos sirvan como insumos para el logro de los aprendizajes esperados formulados en cada unidad didáctica y, en consecuencia, para el desarrollo de las capacidades priorizadas del área.
2. Otro elemento a tener en cuenta en el enfoque de desarrollo de capacidades, está vinculado a la relación de los contenidos temáticos de una misma unidad; definitivamente, partimos de la premisa que el docente tiene un cúmulo de información relacionada a su área y la argumenta con idoneidad, además, su metodología de trabajo así como su didáctica descansan en su experticia profesional. Por ejemplo, tomando como referencia la unidad de aprendizaje del acápite anterior podemos establecer relaciones entre los contenidos temáticos función lineal y progresión aritmética:
2.1 Teniendo en cuenta la formulación de los aprendizajes esperados de la unidad de aprendizaje en mención, cuando se presenta la información relacionado con Progresiones, en particular la progresión aritmética, el estudiante de 4º de secundaria está en la capacidad de analizar funciones reales de variable real. Es decir, a partir de la regla de correspondencia f ( x) = 8 − 2 x el estudiante está en la capacidad – por ejemplo - de elaborar la gráfica de la función lineal f : 8 (0;8) 7 6
(1; 6)
5 4
f(x)=8- 2x (2; 4)
3 2 1
(3; 2)
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA (4; 0)
Es fácil ver que los valores de las abscisas crecen y los valores de las ordenadas decrecen en el primer cuadrante; por lo que identificamos dos progresiones aritméticas:
x : 0; 1; 2; 3; 4; ...
p.a. creciente (r = 1)
y : 8; 6; 4; 2; 0; ...
p.a. decreciente (r = - 2)
Además, sin pérdida de generalidad, se puede afirmar que la variación de las abscisas ( ∆ x ) es 1 y la variación de las ordenadas ( ∆ y ) es - 2; entonces: m f
=
∆ y ∆ x
=
−2
1
= −2; donde
m f es la pendiente de f ;
lo cual es fácil de comprobar a partir de la regla de correspondencia de la función lineal f : f ( x)
=
8 − 2 x
2 x + 8 = mx
=−
+
b
⇒
m
2 ∧b
=−
=
8
2.2 Una preocupación permanente de los docentes está relacionada con la aplicación de instrumentos de evaluación durante las sesiones de aprendizaje. Como se ha podido apreciar en los ejemplos anteriores, es muy importante tener en cuenta la pertinencia de la cantidad de aprendizajes formulados por unidad didáctica; además, no existe una receta o fórmula que me diga cuál es la cantidad de aprendizajes esperados ideal que se deben formular por unidad didáctica, mucho menos podemos pensar que una determinada unidad didáctica no está bien elaborada porque tiene, por ejemplo, sólo tres aprendizajes esperados formulados. Sin embargo, por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica y por la dinámica de la misma no se sugiere atiborrarnos de una cantidad considerable de aprendizajes esperados; dado que existe el riesgo que nuestra labor pedagógica se restringa sólo a aplicar instrumentos de evaluación. Supongamos que ya hemos presentado la información relacionada con el contenido Funciones Cuadráticas (texto del estudiante de 4º de secundaria: páginas 21 - 26). Luego de presentar la información sobre Funciones Cuadráticas y teniendo en cuenta el aprendizaje
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
esperado de esta sesión de aprendizaje4, el docente presenta y resuelve una situación problemática que se puede modelar mediante la gráfica de una función cuadrática:
PRODUCCIÓN PYME. Suponga que el fabricante de una lavadora compacta de ropa diseñada y fabricada para conjuntos habitacionales del PROGRAMA MI VIVIENDA ha encontrado que cuando el precio por unidad es p dólares, el ingreso R (en dólares) es R(p) = - 4 p2 + 4000 p. Se nos pide:
Elaborar la gráfica de R = R( p). Identificar su dominio. Identificar el precio unitario maximiza el ingreso. Inferir el ingreso máximo.
que
R(p) 1000000
500000
100000
p 200
400
600
800
1000
Luego que el docente ha dado solución a la situación problemática presentada y teniendo en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verificar los avances o dificultades en el desarrollo de los aprendizajes , se solicita a los estudiantes - de manera individual - resolver la siguiente ficha de verificación (se entregan dos fichas de verificación Fila A y Fila B): Tener en cuenta que se entiende la sesión de aprendizaje como la interacción, en tiempo real, entre el docente y los estudiantes; la cual involucra un conjunto de procesos pedagógicos (motivación, recuperación de saberes previos; disonancia cognitiva; retroalimentación; metacognición; entre otros) 4
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
FICHA DE VERIFICACIÓN
FILA A El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda x = -5p +100 ; 0 ≤ x ≤ 100 .
Enunciado
1. Formula el ingreso I como una función de x :
I(x) = p.x
I(x) 500
400
2. Elabora la gráfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante)
300
200
100
x 20
40
3. Discrimina el número de artículos que debe venderse para maximizar el ingreso. 4. Identifica máximo.
el
ingreso
5. Infiere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfica de la función I .
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
60
80
100
FICHA DE VERIFICACIÓN
FILA B El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda x = -5p +100 ; 0 ≤ p ≤ 20 .
Enunciado
1. Formula el ingreso I como una función de p:
I(p) = p.x
I(p) 500
400
2. Elabora la gráfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante).
300
200
100
p 4
8
12
16
20
3. Discrimina el precio que debe fijarse para maximizar el ingreso.
4. Identifica el ingreso máximo.
5. Infiere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfica de la función I .
Finalmente se invita, de manera voluntaria, a un estudiante a exponer sus interpretaciones y comentarios sobre sus resultados; luego se reflexiona sobre los aprendizajes obtenidos. DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
En esta sesión de aprendizaje – por ejemplo - el docente a mediado para que los estudiantes puedan inferir datos implícitos a partir de la regla de correspondencia de una función cuadrática dada. Es decir, apelando a la metáfora de la ascensión de la escalera, tenemos:
INFIERE IDENTIFICA DISCRIMINA ELABORA FORMULA
Dado que la capacidad específica formula se entiende como la
capacidad que permite interrelacionar elementos para presentar resultados, nuevas construcciones o solucionar problemas ; en nuestro caso de la Ficha de Verificación (Fila A), implica:
Variables: Enunciado de la Ficha de Verificación A
Búsqueda y recepción de la información
I ( x ) = p. x
I: función ingreso x: nº de artículos p: precio
Identificación de los element
p
=
20 −
x 5
Interrelación de elementos
I ( x)
=
px
I ( x)
=
( 20
I ( x)
=−
−
x 2 5
única e irrepetible5 y apelando a la perspectiva sincrónica y diacrónica6 se puede desprender de lo expuesto en 1 y 2 que en una sesión de aprendizaje – en un tiempo dado – convergen ( sincronía) un conjunto de procesos pedagógicos: motivación permanente, recuperación de saberes previos, conflicto cognitivo, procesamiento de la información, evaluación, retroalimentación, metacognición, entre otros. La sesión de aprendizaje del cuarto grado de secundaria de la sección A no es la misma que la del cuarto grado de secundaria de la sección B; aún tratando el mismo contenido por primera vez o planteando el mismo aprendizaje esperado. 6 “Curso de Lingüística General”; Ferdinand de Saussure
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
5 +
) x
20 x
Presentación de la interrelación
3. Considerando que cada sesión de aprendizaje es una situación
5
x
Asimismo, dado que en el enfoque de desarrollo de capacidades se tiene en cuenta la complejidad del aprendizaje esperado, en dicha sesión de aprendizaje se debe evidenciar la gradualidad (diacronía) de los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específica. Sin embargo, si bien es cierto que la gradualidad implica cierta jerarquización de los procesos, ésta obviamente – no es absoluta. Por ejemplo, de la ascensión de la escalera dada en 1:
ANALIZA INTERPRETA INFIERE ELABORA IDENTIFICA
ELABORA se ubica un peldaño inmediato posterior a IDENTIFICA; pero, como consecuencia del instrumento elaborado en 2.2:
INFIER IDENTIFICA DISCRIMINA ELABORA FORMULA
IDENTIFICA se ubica dos peldaños inmediato posterior a ELABORA; por lo que no es necesariamente cierto que la capacidad específica IDENTIFICA sea más compleja que la capacidad específica ELABORA o que la capacidad específica ELABORA sea más simple que la capacidad específica IDENTIFICA . Lo cual es una riqueza del enfoque de desarrollo de capacidades, dado que no se parte de una suerte de taxonomía de los aprendizajes a rajatabla. Aunque un hombre muera a los cien años, si no realizó sus aspiraciones, puede hablarse de una muerte prematura. Libro de Song
La abeja diligente
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA Mil proverbios chinos
