Capitulo 7 Pebbles

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA CARRERA DE ING. EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

 ASIGNATURA: PROCESOS ESTOCASTICOS DOCENTE: Ing. Armando Álvarez Unidad III

TEMA: CAPITULO #7 PEBBLES

Estudiante:

Fecha: 20/ 08/2015

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS  – ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA CARRERA DE ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN PROCESOS ESTOCASTICOS

7.1.1

Dado

el

proceso

   

aleatorio   donde variable aleatoria distribuida en el intervalo

          .

(a) ¿Es X (t) estacionario en el sentido amplio? (b) Hallar la potencia de X (t) usando (7.1-10) (c) Hallar el espectro de X (t) usando (7.1-11) y calcular la potencia a partir de (7.1 12). ¿Coinciden ambas potencias?

(a) E[x(t)]=

              

Esto significa valor al tiempo dependiente para que x (t) no es en sentido amplio est acionario.

                                                       (b)

This,

(c) De ejemplo 7.1-2

       2=  2     2  2     +  2  +     +   . +     2       Esto, el espectro de potencia es el límite como T∞  de 0   (2  ) 

Dado que este resultado es idéntico al del ejemplo 7,1 -2, el espectro de potencia es la misma

               

7.1.2

Repetir el problema 7.1-1 si el proceso se define como

                                                                    Donde u (t) es la función escalón unitario.

(a)

0 (lo mismo que el problema 7.1-

1).

X(t) no es amplio en el sentido estacionario. (b) lo mismo que le problema 7.1-1).

(c)

 y cero para otros t.

45,tenemos  =      2   2   2+  +     2  +     2,

                  Su tercer término es cero cuando se toma el valor esperado porque      está  integrado en un período completo. Al utilizar el hecho de que          2=  ±     1  Tenemos

               

Desde (7.1-12)

               

7.1.3 (a)

Repita el Problema 7.1-2 suponiendo que es uniforme en el intervalo de

2   cos sin  ,  >0 .  no es estacionaria en todo sentido porque E x t      .  2   =0,  <0.  2   =   ∞∞ 2     = 0  2    2   2    +  1    2    =    22  2  sin2   ,  >0. ℎ  ,

(c)

                                                        ∞      

Ahora desde

sin 4    sin    ,  ℎ 

As  as a limit the two sa(.) factors in t he third term have values at  and -  only so the  product becomes an impulse at sither multiplied buy zero (due to opposing factor). The third term is therfore zero. The power sppectrum there becomes

  

Como T → ∞ como límite las dos sa (.) Factores en el t ercer período tienen valo res en sólo por lo que el producto se convierte en un impulso en cualquiera ω_o o ω_omultiplied comprar cero (debido al factor de oposición). Por lo tanto, cero El tercer término es. El espectro de potencia no se hace



Donde (1) en la solución al problema de 7.1-2 se ha utilizado. Finalmente,

      7.1.4

 lo que concuerda con



 de la parte (b).

Repetir el problema 7.1-1 si el proceso aleatorio está dado por .



                                                                       =

(b)

(c)

45   

As in problem 7.1-1 the third term is zero when the expected value is taken. The remaining term

                           ℎ ℎ                                                                         ℎ   ℎ                   ℎ                                     ℎ   are identical to those in problem 7.1-1 as

7.1.5

Repetir el Problema si el proceso aleatorio es

(a)

Since

 es constante en T y la función de auto correlación no depende de t, x(t) es

estacionario en el sentido amplio. (b)

since this is a constant with

time A (c)

45    

By forming

 Next, since

7.1.6 Sea A y B ser variables randomicas. Formamos el proceso randómico

 Donde wo es una constante real.

a) Mostrar que si A y B son no correlacionadas con cero significa e igual varianzas, entonces x(t) es una onda estacionario. b) Encontrar la autocorrelacion de X(t) c) Encontrar la densidad espectral de potencia

a

                                               

b.

c.

7.1.11 Un proceso aleatorio se define como

      

   

                    

Donde ) es un proceso pasa bajo estacionario en sentido amplio,  es una constante real y   es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo . Calcular el espectro de densidad de potencia de ) en términos de . Suponer que es independiente de

                             

 



                     

7.1.12Determine cuál de las funciones siguientes puede o no puede ser válida como espectro de densidad de potencia. Para aquellas que no sean válidas, explicar porque.

a)  b) c) d) a.  b. c. d.

              Valido  No valido incluso en la función w  No valido en algunas partes Irreal

                                  

7.1.14 Dado procesos

, donde [ ] es un conjunto de constantes reales y los  son estacionarios y ortogonales, demostrar que

               

                         