Ejercicios del cap´ıtulo 8 de Classical Mechanics de H. Goldstein Nicol´as Quesada M. Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia
Ejercicio 8.2 Supongamos que tenemos un Lagrangiano L(qi , q˙i , t), con su respectivo Hamiltoniano H, y momentos conjugados pi . Se desea averiguar como queda el nuevo Hamiltoniano H 0 y los nuevos momentos conjugados on arbitraria pero diferenciable. Los p0i si se usa un nuevo Lagrangiano L0 = L + dF dt donde F es una funci´ nuevos momentos generalizados vienen dados por: ∂ dF ∂L ∂L0 (qi , q˙i , t) 0 dt = + pi = ∂ q˙i ∂ q˙i ∂ q˙i Pero el u ´ltimo t´ermino puede transformarse asi: (Suma sobre ´ındices repetidos): ∂F ∂F dF ∂ q ˙ + j ∂ dt ∂qj ∂t ∂F = = ∂ q˙i ∂ q˙i ∂qi Teniendo en cuanto lo anterior y que pi =
∂L(qi ,q˙i ,t) ∂ q˙i
tenemos que:
p0i = pi +
∂F ∂qi
El nuevo Hamiltoniano est´ a dado por: H 0 = q˙i p0i − L0 = q˙i (pi +
∂F dF ∂F ∂F ∂F )−L− = q˙i (pi + )−L−( q˙i + ) ∂qi dt ∂qi ∂qi ∂t
∂F ∂F =H− ∂t ∂t Para mostrar que las ecuaciones que se obtienen con este nuevo Hamiltoniano para p 0i y qi tienen la misma forma que las que se obtienen para pi y qi atrav´es del Hamiltoniano original escribamos el principio de Hamilton para el antiguo Hamiltoniano H teniendo en cuenta la adici´ on de dF dt : Z t2 Z t2 Z t2 ∂F dF dF ∂F δI = δ dt = δ )dt = δ q˙i + )dt L+ (pi q˙i − H + (pi q˙i − H + dt dt ∂q ∂t i t1 t1 t1 H 0 = q˙i pi − L −
Los t´erminos dentro de la integral se pueden reorganizar para obtener: Z t2 ∂F ∂F )q˙i − (H − ))dt ((pi + δ ∂q ∂t i t1 Pero el primer par´entesis resulta ser p0i y el segundo H 0 asi: Z t2 (p0i q˙i − H 0 )dt δ t1
0
En este punto podemos asumir que H esta escrito en t´erminos de las qi y las nuevas p0i y asi podemos usar las ecuaciones de Euler-Lagrange para hallar: ∂f ∂H 0 d ∂f − = p˙0i + =0 dt ∂ q˙i ∂qi ∂qi 1
d dt
∂f ∂ p˙ 0i
−
∂f ∂H 0 = q˙i − =0 0 ∂pi ∂p0i
Que son las ecuaciones de Hamilton para las variables (qi , p0i ) Para el resto de ejercicios a0 denota la derivada total de la variable a con respecto al tiempo t.
Ejercicio 8.9 Para este problema se hace un procedimiento an´ alogo al que se hace en la formulaci´ on lagrangiana. Asi entonces: Z t2 qi0 pi − H(qj , pj , t) − λi ψi (qj , pj , t)dt δS = δ t1
La variaci´ on se puede hacer ahora con n δqi , n δpi y m λi . Para esta problema las 2n ecuaciones de EulerLagrange de interes son (siendo f el integrando de la ecuaci´ on anterior y k = 1, ..., n): ∂f d ∂f − =0 dt ∂qk0 ∂qk ∂f ∂f d − =0 dt ∂p0k ∂pk Sustituyendo para las primeras n ecuaciones obtenemos: d ∂(qi0 pi − H(qj , pj , t) − λi ψi (qj , pj , t)) ∂(qi0 pi − H(qj , pj , t) − λi ψi (qj , pj , t)) =0 − dt ∂qk0 ∂qk dpk ∂(−H(qj , pj , t) − λi ψi (qj , pj , t)) −( )=0 dt ∂qk Reorganizando t´erminos y teniendo en cuenta que hay suma sobre el ´ındice repetido i nos queda: −p0k =
∂ψi (qj , pj , t) ∂H + λi ∂qk ∂qk
Para las restantes n ecuaciones tenemos: d ∂(qi0 pi − H(qj , pj , t) − λi ψi (qj , pj , t)) ∂(qi0 pi − H(qj , pj , t) − λi ψi (qj , pj , t)) =0 − 0 dt ∂pk ∂pk Reorganizando los t´erminos tenemos (De nuevo suma sobre i): ∂H ∂ψi (qj , pj , t) 0 − qk0 − − λi =0 ∂pk ∂pk o qk0 =
∂H ∂ψi (qj , pj , t) + λi ∂pk ∂pk
Ejercicio 8.12 Usando la convenci´ on usada en el cap´ıtulo 2 el lagrangiano del sistema se puede escribir como: L=
m1 + m 2 2 1 m1 m2 r’ + R’2 − U (R) 2 2 m1 + m 2
m2 Usando coordenadas esfericas R, θ, φ para R y coordenadas rectangulares x, y, z para r y llamando µ= mm11+m 2 y M = m1 + m2 tenemos:
2
M 02 µ 02 (R + R2 θ02 + R2 sin2 (θ)φ02 ) + (x + y 02 + z 02 ) − U (R) 2 2 De lo anterior se ve facilmente que el Hamiltoniano del sistema es: L=
H=
p2φ 1 2 p2 1 (pR + θ2 + 2 2 ) + (p2 + p2y + p2z ) + U (R) 2µ R 2M x R sin (θ)
Ahora obtegamos la ecuaciones de Hamilton para px , py , pz , x, y, z que son: p0x = −
∂H = 0 ⇒ p x = c1 ∂x
p0y = −
∂H = 0 ⇒ p y = c2 ∂y
p0z = −
∂H = 0 ⇒ p z = c3 ∂z
x0 =
∂H = px /M ⇒ x = x0 + (px /M )t ∂px
y0 =
∂H = px /M ⇒ y = y0 + (py /M )t ∂py
z0 =
∂H = px /M ⇒ z = z0 + (pz /M )t ∂pz
Con lo anterior nos hemos librado de la mitad de las variables y podemos escribir el Hamiltoniano de la siguiente manera: p2φ p2 1 2 (pR + θ2 + 2 2 ) + U (R) + c H= 2µ R R sin (θ) 1 Donde c = 2M (p2x + p2y + p2z ). De ahora en adelante dicha constante se omitira ya que no afecta las ecuaciones de movimiento de las dem´ as variables. En el anterior Hamiltoniano la variable φ es c´ıclica por lo que p φ = lz es constante de movimiento y asi:
H=
p2 l2 1 2 1 lz2 1 2 f (θ, pθ ) 1 2 (pR + θ2 + 2 z 2 ) + U (R) = (pR + 2 (p2θ + )) + U (R) = (p + )) + U (R) 2 2µ R 2µ R 2µ R R2 R sin (θ) sin (θ)
Ahora como en ves de θ y pθ por separado aparece una funci´ on f (θ, pθ ) de las dos esta debe ser una constante de movimientom i.e. lz2 =k f (θ, pθ ) = L2 = p2θ + sin2 (θ) De la anterior ecuaci´ on podemos obtener pθ en t´erminos de θ asi: s lz2 pθ = ± L 2 − sin2 (θ) y ademas podemos escribir el Hamiltoniano asi: H=
1 2 L2 (p + ) + U (r) 2µ r R2
Finalmente podemos obtener pR en funci´ on de r como (H = E = constante de Movimiento): r r L2 L2 2µ(E − U (r) − pR = ± 2µ(H − U (r) − ) = ± ) 2R2 2R2
3
Con lo anterior en mente podemos escribir las restantes ecuaciones de Hamilton: Z t 2 L L2 ∂U ∂U ∂H 0 = − ⇒ p R − p R0 = − dt pR = − 3 3 ∂R µR ∂R ∂R 0 µR Z t cos(θ) lz2 cos(θ) lz2 ∂H = ⇒ p − p dt = p0θ = − θ θ0 3 3 2 2 ∂θ sin (θ) µR 0 sin (θ) µR ∂H = 0 ⇒ p φ = lz ∂φ Z R dR ∂H 0 q R = = pr /µ ⇒ t = ∂pR 2 R0 µ (E − U − p0φ = −
∂H θ = = pθ /(R2 µ) ⇒ ∂pθ 0
φ0 =
Z
t
0
dt = µR2
Z
θ
θ0
∂H = lz /(µR2 sin2 (θ)) ⇒ φ − φ0 = lz ∂pφ
q Z
L2 2mR2 )
dθ
L2 −
0
t
l2z sin2 θ
dt mR2 sin2 (θ)
Note que una vez realizada la integral correspodiente a R 0 y obtenido R(t) en forma explicita este se puede reemplazar en la integral correspodiente a θ 0 y asi obtener θ como funci´ on explicita de t. Con estas dos variables conocidas se puede sustituir en la ecuaciones de las dem´ as variables, realizar las respectivas integraciones e inversiones y resolver el problema completamente.
Ejercicio 8.14 Sea L = ax02 +
by 0 x
+ cx0 y 0 + f y 2 x0 z 0 + gy 0 − k
p
x2 + y 2 . De este obtenemos los momentos conjugados:
px = f z 0 y 2 + 2ax0 + cy 0 py =
b + g + cx0 x
p z = f y 2 x0 Con estos podemos obtener el Hamiltoniano: H=
qi0 pi
0 0 2
− L = (f x z y +
b 0 + g + cx y 0 + x0 f z 0 y 2 + 2ax0 + cy 0 ) x
p by 0 + cx0 y 0 + f y 2 x0 z 0 + gy 0 − k x2 + y 2 ) x p by 0 by 0 H = (2f x0 z 0 y 2 + 2ax02 + gy 0 + 2cx0 y 0 + ) − (ax02 + + cx0 y 0 + f y 2 x0 z 0 + gy 0 − k x2 + y 2 ) x x p 0 02 0 2 0 H = ax + f z y + cy x + k x2 + y 2 −(ax02 +
Aunque la transformaci´ on (lineal) que manda a las velocidades en los momentos no tiene inversa lo que si se puede hacer es de la ecuaci´ on de px despejar y 0 y de la de pz a x0 para obtener: −f z 0 y 2 + px − 2a fpyz2 −f z 0 y 2 + px − 2ax0 = y = c c pz x0 = f y2 0
y sustituirlos en la ecuaci´ on del Hamiltoniano: p −f z 0y 2 + px − 2ax0 02 0 2 x0 + k x 2 + y 2 H = ax + f z y + c c 4
z pz px − 2ap p f y2 ap2z H= 2 4+ + k x2 + y 2 2 f y fy 2 p px pz ap x2 + y 2 + k H = − 2 z4 + f y f y2
Este Hamiltoniano no depende ni de py ni de z, por lo tanto y = c y pz = k son constantes de movimiento. Adem´ as H no depende explicitamente de t por lo tanto H tambien es constante de movimiento
Ejercicio 8.19 Del dibujo se ve que la posici´ on del cuerpo puede ser escrita asi: x˜ = l sin(θ) + x z˜ = −l cos(θ) + z = ax2 − l cos(θ) Donde θ es el a ´ngulo que forma el eje del p´endulo con la vertical. As´ı el lagrangiano toma la siguiente forma: L=
1 m x ˜02 + z˜02 − mg˜ z 2
Usando como coordenadas generalizadas x y θ se reescribe asi: 1 0 2 2 m (x + l cos(θ)θ0 ) + (2axx0 + l sin(θ)θ0 ) − mg ax2 − l cos(θ) 2
Expandiendo:
1 1 1 L = 2a2 mx02 x2 −agmx2 +2alm sin(θ)x0 θ0 x+ mx02 + l2 m cos2 (θ)θ02 + l2 m sin2 (θ)θ02 +glm cos(θ)+lm cos(θ)x0 θ0 2 2 2 Lo que puede ser reescrito asi:
1 L = L0 + q’T T q’ 2 0 x q’ = θ0
con:
T =
4a2 mx2 + m lm cos(θ) + 2alm sin(θ)x
lm cos(θ) + 2alm sin(θ)x l2m
L0 = glm cos(θ) − agmx2 Para hallar el Hamiltoniano se usa el procedimiento de la ecuaci´ on 8.27 p´ agina 340 cap´ıtulo 8: H(q, p, t) =
1 T −1 p T p − L0 (q, t) 2
Para este caso la inversa de T es: 2 1 l m −1 T = −2alm sin(θ)x − lm cos(θ) det(T )
−2alm sin(θ)x − lm cos(θ) 4a2 mx2 + m
det(T ) = l2 m2 − l2 cos2 (θ)m2 + 4a2 l2 x2 m2 − 4a2 l2 sin2 (θ)x2 m2 − 4al2 cos(θ) sin(θ)xm2 det(T ) = m2 l2 (sin(θ)2 + 4a2 x2 cos2 (θ) − 4ax cos(θ) sin(θ)) det(T ) = m2 l2 (sin(θ) − 2ax cos(θ))2
1 pT T −1 p = (px pθ ) 2 2 det(T )
l2 m −lm cos(θ) − 2alm sin(θ)x 5
−lm cos(θ) − 2alm sin(θ)x 4a2 mx2 + m
px pθ
m l2 p2x − 2lpθ px (cos(θ) + 2a sin(θ)x) + p2θ 4a2 x2 + 1 pT T −1 p = 2 2 det(T )
Finalmente el Hamiltoniano queda asi: m l2 p2x − 2lpθ px (cos(θ) + 2a sin(θ)x) + p2θ 4a2 x2 + 1 − mgl cos(θ) + magx2 2 det(T ) l2 p2x − 2lpθ px (cos(θ) + 2a sin(θ)x) + p2θ 4a2 x2 + 1 − mgl cos(θ) + mgax2 H= 2l2 m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)2
H=
Ahora con el hamiltoniano hallamos las ecuaciones de Hamilton: lpx − (cos(θ) + 2a sin(θ)x)pθ ∂H = ∂px lm(sin(θ) − 2a cos(θ)x)2 4a2 x2 + 1 pθ − l(cos(θ) + 2a sin(θ)x)px ∂H 0 = θ = ∂pθ l2 m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)2 x0 =
p0x
2a ∂H = =− ∂x m
p0θ
! pθ (l sin(θ)px − 2axpθ ) cos(θ) l2 p2x − 2l(cos(θ) + 2a sin(θ)x)pθ px + 4a2 x2 + 1 p2θ −gxm + 2 − l (sin θ − 2ax cos θ)2 l2 (sin(θ) − 2a cos(θ)x)3 2
1 ∂H = 2 = − ∂θ l m
px pθ l −gm sin(θ)l + 2a cos(θ)x − sin(θ) 2
3
! (cos(θ) + 2a sin(θ)x) l2 p2x − 2l(cos(θ) + 2a sin(θ)x)pθ px + 4a2 x2 + 1 p2θ (sin(θ) − 2a cos(θ)x)3
1 + 2 l m
La anteriores expresi´ ones para p0x y p0θ se pueden reorganizar asi: p0θ = +
(cos(θ) + 2a sin(θ)x)p2x m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)3
2(cos(θ) + 2a sin(θ)x)2 2a cos(θ)x − sin(θ) − pθ px lm(sin(θ) − 2a cos(θ)x)2 lm(sin(θ) − 2a cos(θ)x)3 (cos(θ) + 2a sin(θ)x) 4a2 x2 + 1 p2θ − glm sin(θ) + l2 m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)3 p0x = −
2a cos(θ)p2x m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)3
4a cos(θ)(cos(θ) + 2a sin(θ)x) 2a sin(θ) + pθ px + lm(sin(θ) − 2a cos(θ)x)2 lm(sin(θ) − 2a cos(θ)x)3 ! 2 cos(θ) 4a2 x2 + 1 a 4xa2 p2θ − 2agmx − 2 − 2 l m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)2 l m(sin(θ) − 2a cos(θ)x)3
+
6
