VIBRACIONES MECÁNICAS
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INTRODUCCIÓN La vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.
Período de la vibración (T) = intervalo de tiempo para que complete un ciclo completo del movimiento Frecuencia de vibraciones (f) = número de ciclos por unidad de tiempo Amplitud de la vibración = desplazamiento máximo del sistema desde la posición de equilibrio © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
INTRODUCCIÓN La vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.
VIBRACIÓN LIBRE Cuando el movimiento es mantenido solamente por las fuerzas restauradoras VIBRACIÓN FORZADA Cuando el movimiento es mantenido solamente por las fuerzas restauradoras VIBRACIÓN AMORTIGUADA Cuando el movimiento considera la disipación por fricción de la energía VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOV. ARMÓNICO SIMPLE
•
Si una partícula se desplaza a una distancia xm de su posición de equilibrio y se libera sin velocidad, la partícula experimentará un movimiento armónico simple, ma F W k st x kx mx kx
•
0
La solución general es la suma de dos soluciones particulares, k k x C1 sin t C 2 cos t m m nt C1 sin n t C 2 cos
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VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOV. ARMÓNICO SIMPLE k k t C 2 cos t m m nt C1 sin n t C2 cos
x C1 sin
•
X es una función periódica y wn es la frecuencia circular natural del movimiento. n
•
k m
C1 y C2 Están determinadas por las condiciones iniciales : x
C1 sin
n t
C 2 cos
v x C1 n cosn t
nt
C 2 nsin n t
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C2
x0
C1 v0 n
VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOV. ARMÓNICO SIMPLE
x
C1 sin
n t
C 2 cos
x xm sin n t
xm
nt
v0
n
fn
2
n
x02 amplitud
tan 1 x0 n v0 ángulo de fase 2
n 1 n
periodo
n 2
Frecuencia natural
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VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOV. ARMÓNICO SIMPLE Las curvas de velocidad-tiempo y aceleración-tiempo pueden ser representadas por curvas sinusoidales del mismo período que la curva de tiempo de desplazamiento pero diferentes ángulos de fase. x xm sin n t v x
xm n cos n t xm n sin n t 2 a x
xm n2 sin n t xm n2 sin n t
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PÉNDULO SIMPLE (SOLUCIÓN APROXIMADA) La solución aproximada de un péndulo simple corresponde a un movimiento armónico simple Considere los componentes tangenciales de la aceleración y la fuerza para un péndulo simple,
F
t
ma
: t
Para ángulos pequeños sin tan
W sin ml g sin l
0
g 0 l m sin n t
n
2 n
2
l g
La solución aprox. de un péndulo simple se aplica a oscilaciones pequeñas © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
EJERCICIO 1 SOLUCIÓN: •
Para cada disposición de resorte, determine la constante de muelle para un único muelle equivalente.
•
Aplicar las relaciones aproximadas para el movimiento armónico de un sistema de masa de resorte.
Un bloque de 50 kg se mueve entre las guías verticales como se muestra. El bloque se tira 40 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se libera. Para cada disposición del muelle, determine a) el período de la vibración, b) la velocidad máxima del bloque, y c) la aceleración máxima del bloque. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
EJERCICIO 1
SOLUCIÓN: • Resortes en paralelo: - Determinar la constante del resorte para el resorte k1 4 kN m k2 6 kN m equivalente - Aplicar las relaciones aproximadas para el movimiento armónico de un sistema de masa-resorte k 10 4 N/m 14.14 rad s m 50 kg
n n
P k1 k2 k
P
k1 k 2
10 kN m 10 4 N m
2
n
n
0.444 s
vm x m n
0.040m 14.14rad s
vm
am x m n2
0.040m
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14.14rad s
2
0.566 m
s
am 8.00 m s 2
EJERCICIO 1 k1 4 kN m
k2
6 kN
m
SOLUCIÓN: • Resortes en serie: - Determinar la constante del resorte para el resorte equivalente - Aplicar las relaciones aproximadas para el movimiento armónico de un sistema de masaresorte k 2400N/m n
n
n
m
50 kg
6.93 rad s
2
1 2
k
P P k1 k 2 P
k1k 2 k1 k 2
n
0.907 s
vm x m n
0.040m
vm 0.277 m s
6.93 rad s
am x m an2
0.040m
2.4 kN m 2400 N m © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
6.93 rad s
2
am 1.920 m s 2
EJERCICIO 2
Un collarín de 5 kg descansa sobre el resorte que se muestra en la figura, al cual no está conectado. Se observa que cuando el collarín se empuja hacia abajo 180 mm o más y se suelta, pierde contacto con el resorte. Determine a) la constante del resorte y b) la posición, velocidad y aceleración del collarín 0.16 s después de que se empujó hacia abajo 180 mm y se soltó.
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EJERCICIO 3 Se observa que el periodo de vibración del sistema mostrado es de 0.8 s. Si se retira el bloque A, el periodo resulta ser de 0.7 s. Determine a) la masa del bloque C, b) el periodo de vibración cuando se retiran los dos bloques A y B.
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EJERCICIO 4 Si h = 700 mm, d = 500 mm y cada resorte tiene una constante k = 600 N/m, determine la masa m para la cual el periodo de pequeñas oscilaciones es a) de 0.50 s, b) infinito. No tome en cuenta la masa de la barra y suponga que cada resorte puede actuar a tensión o a compresión.
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VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RÍGIDOS El principio de D’Alembert es utilizado para las vibraciones mecánicas de un sólido rígido. Se debe escoger x ó θ •
Si una ecuación de movimiento toma la forma x
•
n2 x 0
o n2
0
Considere las oscilaciones de una placa cuadrada
W b sin mb I pero I
121 m 2b 2 2b 2 23 mb2 , W mg
3g 5b
entonces n •
El objetivo del análisis es determinar wn. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
sin
3g 5b
3g 5b
, n
0
2 n
2
5b 3g
EJERCICIO 5
SOLUCIÓN: •
A partir de la cinemática del sistema, relacionar el desplazamiento lineal y la aceleración con la rotación del cilindro.
•
Basándose en una ecuación de
k
Un cilindro de peso W se suspende como se muestra.
diagrama de cuerpo libreexternas para la y equivalencia de fuerzas efectivas, escriba la ecuación de movimiento. •
Determine el período y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.
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Sustituir las relaciones cinemáticas para llegar a una ecuación que implica sólo el desplazamiento angular y la aceleración
EJERCICIO 5
SOLUCIÓN: • A partir de la cinemática del sistema, relacionar el desplazamiento lineal y la aceleración con la rotación del cilindro x r 2 x 2 r
a r r a r Basándose en una ecuación de diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de fuerzas externas y efectivas, escriba la ecuación de movimiento. M A M A eff : Wr T2 2r ma r I
•
Además T2 T0 k 12 W k 2r •
Sustituir las relaciones cinemáticas para llegar a una ecuación que implica sólo el desplazamiento angular y la aceleración 2 Wr 1 W 2kr 2r m rr 1 mr 2 2
n
8 k 3m
8k 3m
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0
n
2 n
2
3m 8k
fn
n 2
1
8k
2
3m
SOLUCIÓN:
EJERCICIO 6
Usando la ecuación de diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de los momentos externo y efectivo, escriba la ecuación de movimiento para el disco / engranaje y alambre. • Con la frecuencia natural y el W 20 lb momento de inercia para el disco n 1.13 s n 1.93 s conocido, calcular la constante del Un disco circular, que pesa 20 lb y tiene un resorte de torsión. radio de 8 in.,Else suspende un alambre como se muestra. disco se hacedegirar (de modo que • Con la frecuencia natural y la constante del resorte constante, se tuerce el alambre) y luego se suelta; se calcular el momento de inercia observa que el periodo de vibración torsional es de 1.13 s. Un engrane se suspende luego del para el engranaje. mismo alambre, y el periodo de vibración • Aplicar las relaciones de torsional en este caso vale 1.93 s. Si se supone movimiento armónico simple para que el momento del par ejercido por el alambre calcular la velocidad máxima del es proporcional al ángulo de torsión, determine engranaje. a) la constante de resorte torsional del alambre, •
b) el momento de inercia centroidal del engrane, c) la velocidad angular máxima que alcanza el engrane si se hace girar 90 y se suelta. °
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EJERCICIO 6
SOLUCIÓN: • Usando la ecuación de diagrama de cuerpo libre para la equivalencia de los momentos externo y efectivo, escriba la ecuación de movimiento para el disco / engranaje y alambre. K I M M : O O eff K 0 I
W 20 lb n 1.13 s
n 1.93 s •
n
K I
n
2 2 I
K
n
Con la frecuencia natural y el momento de inercia para el disco conocido, calcular la constante del resorte de torsión. 2
1 20 8 I 12 mr 2 0.138 lb ft s 2 2 32.2 12
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0.138
K
K 4.27 lb ft rad
EJERCICIO 6 •
Con la frecuencia natural y la constante de muelle constante, calcular el momento de inercia para el engranaje. I I 0.403 lb ft s 2 1.93 2 4.27
W
20 lb
n
1.13 s
n
1.93 s
•
Aplicar las relaciones de movimiento armónico simple para calcular la velocidad máxima del
m sin nt
engranaje. m
n
K I
K
I n 2 n K 2
4.27 lb ft
m
mn cos nt
m
mn
90 1.571 rad 2 2 m 1.571 rad 1.93 s n m 5.11rad
rad
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s
EJERCICIO 7 SOLUCIÓN:
Un disco uniforme de radio de 250 mm está fijado en A a una varilla AB de 650 mm de masa insignificante que puede girar libremente en un plano vertical alrededor de B. Si la varilla se desplaza 2 desde la posición mostrada y liberada. Determinar el periodo de la oscilación
•
Usando los diagramas de cuerpo libre y cinético, escribe la ecuación de movimiento para el péndulo.
•
Determine la frecuencia natural y el momento de inercia del disco (utilice la aproximación de ángulo pequeño).
•
Calcular el período.
°
© 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. resultante.
EJERCICIO 7 Dibuje el FBD y el KD del péndulo (mbar ~ 0).
Bn
Bt Ө
l
r
man
Ia
mg Determine la ecuación del movimiento.
M B I B
mgl sin I ml
mat
2
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* Tenga en cuenta que también podría hacer esto usando el "momento" de at, y que a t = la mgl sin I lma t
EJERCICIO 7 Encuentre I, configure la ecuación del movimiento usando una aproximación de ángulo pequeño
mgl sin I ml I
1
mr 2 , 2
2
sin
1 mr 2 ml 2 mgl 0 2
Determine la frecuencia natural n2
gl
2
r 2
l2
(9.81)(0.650) 1 2
(0.250) 2 (0.650) 2
14.053 n 3.7487 rad/s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Calcular el periodo n
n
2 n
1.676 s
1.676 s
EJERCICIO 7 1 2 2 2 mr ml mgl 0
n2
gl
2
r 2
l2
En el problema anterior, cuál de las siguientes afirmaciones es cierta si está el disco fijo en A
a) La frecuencia natural de la oscilación sería menor b) La frecuencia natural de la oscilación sería mayor c) Las frecuencias naturales de los dos sistemas serían las mismas © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
EJERCICIO 8 Un cilindro uniforme de 30 lb puede rodar sin deslizarse sobre una pendiente de 15 . Una banda está unida al borde del cilindro, y un resorte mantiene al cilindro en reposo en la posición mostrada. Si el centro del cilindro se mueve 2 in. hacia abajo por la pendiente y se suelta, determine a) el periodo de vibración, b) la aceleración máxima del centro del cilindro. °
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EJERCICIO 9 Una barra uniforme de 8 kg se articula a un soporte fijo en A y se conecta por medio de los pasadores B y C a un disco de 12 kg y 400 mm de radio. Un resorte unido en D mantiene a la barra en reposo en la posición mostrada. Si el punto B se mueve hacia abajo 25 mm y se suelta, determine a) el periodo de vibración, b) la velocidad máxima del punto B.
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EJERCICIO 10 Dos barras uniformes, cada una de peso m = 12 kg y longitud L = 800 mm, se sueldan entre sí para formar el ensamble mostrado. Si la constante de cada resorte es k = 500 N/m y al extremo A se le da un pequeño desplazamiento y se suelta, determine la frecuencia del movimiento resultante.
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PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA El principio de conservación de energía puede utilizarse para vibraciones mecánicas. • Considere el movimiento armónico simple de la placa cuadrada, T V T1
0
constante
V1 Wb1 cos Wb 2 sin 2 m 2
1 Wb 2 2
T2
m
12 mvm2 12 I m2 12 mbm 2 12 23 mb 2 m2
V2 0
12 53 mb 2 m2 T1 V1 T2 V2 0 12 Wb m2 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
12 53 mb 2 m2n2 0
n
3 g 5b
EJERCICIO 11 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio de conservación de la energía entre las posiciones de máxima y mínima energía potencial.
•
Resuelve la ecuación de energía para la frecuencia natural de las oscilaciones.
Determine el período de pequeñas oscilaciones de un cilindro que rueda sin deslizarse dentro de una superficie curvada.
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EJERCICIO 11
SOLUCIÓN: • Aplicar el principio de conservación de la energía entre las posiciones de máxima y mínima energía potencial. T1 V1 T2 V2 T1 0
V1 Wh W R r 1 cos 2 W R r m
2
V2 0
2 T2 12 mvm2 12 I m 2
R r 2 12 mR r m2 12 12 mr 2 m r 34 mR r 2m2
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EJERCICIO 11 •
Resuelve la ecuación de energía para la frecuencia natural de las oscilaciones. V1 W R r m2 2
T1 0 T2
V2 0
34 mR r 2m2
T V T V 1
r 0 W R mg R r
n2 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
2
1 2 m
2 2 m
2
g
3 Rr
2
2
34 m R r 2m2 0 34 m R r
n
2
2 n
2
m n m
2
3 Rr 2
g
EJERCICIO 12 Dos barras uniformes, cada una de peso W = 1.2 lb y longitud l = 8 in., se sueldan entre sí para formar el ensamble mostrado. Si la constante de cada resorte es k 0.6 lb/in. y a ese extremo A se le da un pequeño desplazamiento y se suelta, determine la frecuencia del movimiento resultante.
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EJERCICIO 13 Una barra uniforme ABC de 2 kg se sostiene mediante un pasador en B y se conecta a un resorte en C. En A está conectada al bloque DE de 2 kg que está unido a un resorte y puede rodar sin fricción. Si se sabe que cada resorte puede actuar bajo tensión o compresión, determine la frecuencia de pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra se gira un pequeño ángulo y luego se suelta.
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EJERCICIO 14 Una barra ligera AB de 3 kg se atornilla a un disco uniforme de 5 kg. Un resorte de constante igual a 280 N/m se conecta al disco y no está deformado en la posición que se muestra en la figura. Si al extremo B de la barra se le da un pequeño desplazamiento y luego se suelta, determine el periodo de vibración del sistema.
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EJERCICIO 15 La barra ABC de masa total m está doblada en la forma que se muestra y se sostiene en un plano vertical mediante un pasador en B y un resorte de constante k en C. Si al extremo C se le da un pequeño desplazamiento y se suelta, determine la frecuencia del movimiento resultante en términos de m, L y k.
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EJERCICIO 16 Una barra ligera AB de 8 kg y longitud l = 600 mm se conecta a dos collarines de masa insignificante. El collarín A se une a un resorte de constante k 1.2 kN/m y puede deslizarse sobre una barra vertical, en tanto que el collarín B puede deslizarse libremente sobre una barra horizontal. Se sabe que el sistema está en equilibrio y que 40 , si al collarín B se le da un pequeño desplazamiento y se suelta, determine el periodo de vibración. °
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EJERCICIO 17 Una esfera A de 14 oz. y una esfera C de 10 oz. están conectadas a los extremos de una barra AC de 20 oz., la cual puede girar en un plano vertical alrededor de un eje en B. Determine el periodo de pequeñas oscilaciones de la barra.
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EJERCICIO 17 Un péndulo invertido que consiste en una esfera de peso W y una barra rígida ABC de longitud l y peso insignificante se sostiene mediante un pasador y una ménsula en C. Un resorte de constante k se conecta a la barra en B y no está deformado cuando la barra se encuentra en la posición vertical mostrada. Determine a) la frecuencia de pequeñas oscilaciones, b) el valor mínimo de a para el cual ocurrirán las oscilaciones.
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VIBRACIONES FORZADAS Una masa suspendida de un resorte y sujeta a una fuerza o desplazamiento periódico genera vibración forzada
f
Frecuencia forzada
F ma : Pm sin f t W k st x mx
W k st x m sin f t mx
mx kx Pm sin f t
mx kx k m sin f t
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VIBRACIONES FORZADAS La respuesta está compuesta por dos soluciones : la solución general y particular
x x general
x particular C1 sin nt C2 cosnt xm sin f t
vibración transitoria +
vibración estacionaria (permanente)
mx kx Pm sin f t mx kx k m sin f t
La solución general viene por parte de la vibración propia de las características del cuerpo La solución particular está relacionada a las fuentes de vibración externas permanentes
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VIBRACIONES FORZADAS La respuesta está compuesta por dos soluciones : la solución general y particular
Sustituyendo la solución particular en una ecuación gobernante,
m 2 x
sin t kx sin t
f m
xm
Pm
k
m 2f
mx kx Pm sin f t mx kx k m sin f t
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f
m
f
Pm k 1 f n
2
P
sin t
m
f
m
f n 1
2
VIBRACIONES FORZADAS El factor de amplificación es la relación entre la amplitud estacionaria y la deflexión estática Factor de Amplificación
xm Pm / k
1
FA
ω 1 f ωn
2
f n xm positivo
Vibración forzada en fase con la fuerza aplicada f n
Resonancia f n xm negativo
Vibración forzada 180º fuera de fase
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EJERCICIO 15 SOLUCIÓN: •
La frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural del sistema.
•
Evalúe la magnitud de la fuerza periódica debido al desequilibrio del motor. Determine la amplitud de vibración relación frecuenciadea la 1200 rpm. de
Un motor que pesa 350 lb está soportado por cuatro resortes, cada uno con una constante 750 lb / pulg. El desequilibrio del motor equivale a un peso de 1 onza situado a 6 pulgadas del eje de rotación. Determine a) la velocidad en rpm en la que ocurrirá la resonancia, yb) la amplitud de la vibración a 1200 rpm. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
EJERCICIO 15 SOLUCIÓN: • La frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural del sistema. m k
W = 350 lb k = 4(350 lb/in)
350 32.2
10.87 lb s 2
4750 3000 lb 36,000 lb
n
ft
in
ft
k 36,000 m 10.87 57.5 rad/s 549 rpm
Velocidad de resonancia = 549 rpm
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EJERCICIO 15 •
Evalúe la magnitud de la fuerza periódica debido al desequilibrio del motor. Determine la amplitud de vibración de la relación de frecuencia a 1200 rpm. f
1200 rpm 125.7 rad/s 1 1 lb 16 oz 32.2 ft
m 1 oz
W = 350 lb k = 4(350 lb/in) n 57.5 rad/s
s
2
0.001941 lb s 2
ft
Pm man mr 2
0.001941126 125 .7 2 15.33 lb xm
Pm k
1 f n
2
15.33 3000 2
1 125 .7 57.5
0.001352 in xm = 0.001352 in. (fuera de fase)
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EJERCICIO 16 El sistema de dos resortes de rigidez k cada uno está conectado a un bloque de masa m y a una cruceta que se mueve verticalmente en forma periódica cuando la manivela gira a una velocidad angular constante ω. a) Deducir la ecuación de movimiento. b) Si la amplitud de vibración de estado permanente es 400 mm, hallar los posibles valores de w. m = 50 kg k = 2500 N/m e = 200 mm
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EJERCICIO 17 Un bloque (m=5kg ) está unido a una mesa vibradora por un resorte (k = 2000 N/m). Cuando el sistema está en reposo la distancia entre el bloque y el tope es b=30 mm. La mesa empieza a estar accionada con y(t)=8sen(25t) mm. Nota: Considerar sólo el estado permanente de vibración.
a) ¿Cuál es el desplazamiento del bloque con respecto a la mesa ? b) ¿El bloque llega a golpear el tope?
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EJERCICIO 18 El disco rueda sin deslizar. El resorte está conectado al punto A en un extremo y el otro extremo con la pared. El disco se encuentra en equilibrio estático en la posición mostrada cuando se aplica a la pared un desplazamiento periódico horizontal: y(t) = 10 sen(25t) mm. a) Deducir la ecuación de movimiento en función de θ. b) Determine la máxima velocidad del punto G considerando solo el estado permanente de la vibración
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