PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
CAPÍTULO III CARACTERIZACIÓN DEL TAMAÑO DE PARTÍCULAS
3. OBJETIVO. Al concluir el estudio del presente capítulo, el estudiante metalurgista estará capacitado en la toma de muestras para diferentes fines por diversos métodos, efectuar análisis granulométricos para evaluación de operaciones unitarias de reducción de tamaño, así como a partir de los datos de laboratorio representar el análisis granulométrico mediante modelos matemáticos.
3.1. INTRODUCCION. La evaluación de las características de las partículas de mineral es muy vital en el Procesamiento de Minerales, donde tiene mucho que ver con la forma y tamaño y este proceso de reducción de tamaño tiene como finalidad “liberar” los diferentes minerales valiosos de los no valiosos. El análisis de tamaño de partícula en una Planta Concentradora debe realizarse empleando métodos que sean exactos y seguros y como normalmente las partículas procedentes de los diversos productos de las operaciones de reducción de tamaño tienen una gama de características, lo cual hace imposible lograr una descripción precisa de tales productos, por ende, será necesario tener en cuenta, lo siguiente:
El tamaño de partícula. El tamaño promedio de todas las partículas. La forma de las partículas. La gama de tamaños de partículas. Los minerales que ocurren en las partículas La asociación de los minerales en las partículas.
3.2. CARATERIZA CARATERIZACION CION DE PARTICULAS Y CONJUNTOS DE PARTICULAS. La caracterización de partículas y conjuntos de partículas es una actividad muy importante en el Procesamiento de Minerales, ya que el tamaño se usa como una medida de control para la conminución que tiene como finalidad la liberación de las especies valiosas de las no valiosas. De otro lado, la conminución tiene un alto costo, por lo que se debe evitar una sobreliberación o subliberación de la especie valiosa. La subliberación ocurre cuando el grado de reducción de la partícula no es suficiente para liberar completamente a la especie valiosa. En cambio, la sobreliberación ocurre cuando el grado de reducción de la partícula es mayor que el necesario para liberar completamente la partícula de la especie valiosa (Figura 3.1). g a a n g d e l a r a e n M i n M i n e r a l v a l i o s o
Subliberado
o b e r a d i b l i S o b r e
Figura 3.1. Representación de los grados de reducción de una partícula. 1
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Para medir el grado de liberación se usa el tamaño de la partícula debido a su relativa facilidad de medición. El tamaño de una partícula es igual a una dimensión representativa de su volumen en formas geométricas regulares. Ejemplo: Esfera en la cual el tamaño puede describirse por su diámetro. Sin embargo, las partículas molidas o chancadas son totalmente irregulares, por lo que se recurre a un diámetro nominal el que se puede definir de distintas formas.
3.2.1. Diámetro basado en una dimensión lineal. a).- Diámetro de Feret (d F): Valor de la distancia entre 2 paralelas tangentes a la silueta proyectada de la partícula y que son perpendiculares a una dirección fija.
d F
Figura 3.2. Representación del diámetro de Feret b).- Diámetro de Martin (d M): Largo de la línea paralela a una dirección fija que divide la silueta proyectada en 2 partes iguales.
A1 A2
d M
Figura 3.3 Representación del diámetro de Martin.
c).- Diámetro Máximo y Mínimo Lineal: Corresponden a la máxima y mínima dimensión lineal de una partícula.
d min d
max
Figura 3.4. Representación del diámetro máximo y mínimo l ineal. 2
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Para medir el grado de liberación se usa el tamaño de la partícula debido a su relativa facilidad de medición. El tamaño de una partícula es igual a una dimensión representativa de su volumen en formas geométricas regulares. Ejemplo: Esfera en la cual el tamaño puede describirse por su diámetro. Sin embargo, las partículas molidas o chancadas son totalmente irregulares, por lo que se recurre a un diámetro nominal el que se puede definir de distintas formas.
3.2.1. Diámetro basado en una dimensión lineal. a).- Diámetro de Feret (d F): Valor de la distancia entre 2 paralelas tangentes a la silueta proyectada de la partícula y que son perpendiculares a una dirección fija.
d F
Figura 3.2. Representación del diámetro de Feret b).- Diámetro de Martin (d M): Largo de la línea paralela a una dirección fija que divide la silueta proyectada en 2 partes iguales.
A1 A2
d M
Figura 3.3 Representación del diámetro de Martin.
c).- Diámetro Máximo y Mínimo Lineal: Corresponden a la máxima y mínima dimensión lineal de una partícula.
d min d
max
Figura 3.4. Representación del diámetro máximo y mínimo l ineal. 2
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Un mineral al ser fracturado, aun cuando originalmente haya sido regular, está formado por una gama de partículas de formas distintas e irregulares que no pueden ser definidas con exactitud, por lo que se opta por adoptar una forma aproximada a fin de darle una descripción adecuada que se le conoce como el
diámetro nominal dn
Este diámetro se define ya sea en función de una propiedad real de la partícula como su volumen o el área de su superficie. Esto es: 1. Diámetro de superficie
d s
4. Diámetro de Stokes.
S
(3.2)
2. Diámetro de volumen.
d v
d st
18v
l ) g
(3.5)
5. Diámetro de superficie específica
6V
( s
3
(3.3)
d vs
d v
3
d s
2
(3.6)
3. Diámetro del área proyectada.
d a
4 A p
(3.4)
Como se puede ver, es importante definir el diámetro nominal utilizado, siempre que se mencione el tamaño de partícula, puesto que, en las diversas etapas de conminución-clasificación y concentración de minerales, el tamaño de partícula constituye una de las variables de mayor importancia operacional. El comportamiento del mineral a través de las etapas de trituración-cribado, molienda-clasificación, flotación y separación sólido-líquido, dependen en gran medida del tamaño de las partículas tratadas en cada una de estas etapas del proceso de concentración de minerales. Por lo tanto, el tamaño de partícula es una medida representativa de su extensión en el espacio, que dependiendo de la técnica de medición empleada, se puede caracterizar el tamaño de partícula en función de su área superficial, su volumen, su masa, siendo posible asimismo definir relaciones matemáticas de equivalencia entre las distintas metodologías, tal como se muestra en las relaciones matemáticas que se presentan arriba. Para obtener un buen ensaye de tamaños de partículas es necesario contar también con una buena muestra, la cual debe ser representativa y ello depende del método de muestreo que se utilice.
3.2.2.
FORMA DE LAS PARTICULAS.
Para caracterizar totalmente las partículas se debe indicar la forma que tienen. En efecto, la forma de las partículas puede afectar fuertemente la clasificación por tamaños. Una partícula angular puede ser clasificada en diferentes formatos según la manera en la que enfrente a la abertura de una malla o tamiz. Esto se aprecia en la siguiente figura:
Figura 3.5 Efecto de la forma en la clasificación de partículas. 3
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a).- Partícula retenida. b).- Partícula pasa una abertura mucho menor que la anterior. 3.2.3.
MUESTRA. En Procesamiento de Minerales, una muestra es una pequeña porción de un lote de mineral, el cual contiene todos los componentes químicos y mineralógicos, en la misma proporción que existen en el original, Figura 3.6.
Lote de mena
Muestra
Figura 3.6. Toma de muestra de un lote de mineral. 3.3. MUESTREO. El muestreo es una operación de control metalúrgico que obligatoriamente se hace en toda Planta Concentradora que consiste en la obtención de pequeñas muestras que representan todas las cualidades del tonelaje tratado, es decir, el muestreo conduce a la obtención de una muestra representativa que permite estimar a través de ella, todas las características de un gran conjunto de mineral del que fue extraída. En consecuencia, esta operación se ejecuta con el propósito de investigar, controlar y establecer las condiciones en que se desarrollan todas las operaciones de un proceso metalúrgico extractivo.
3.3.1.
ELEMENTOS DE LA OPERACIÓN DE MUESTREO.
Para una óptima caracterización de un yacimiento se requiere de un acabado conocimiento de la Mena de interés, para lo cual se deben obtener una serie de muestras extraídas sistemáticamente, es decir, que sean lo más representativas posibles. Las muestras obtenidas deben ser lo más cercano posible a las propiedades reales del mineral en el sentido de obtener y extrapolar sus propiedades a todo el yacimiento. En general en el Procesamiento de Minerales es vital una adecuada muestra para poder caracterizar eficientemente la mena. Esta debe ser lo más representativa posible para extrapolar sus propiedades a todo el lote de mineral. Los parámetros a determinar o propiedades típicas son granulometría, dureza, humedad, gravedad específica (g.e.), forma, área superficial, composición, etc. Los elementos básicos considerados en cualquier procedimiento de muestreo son:
Definir la característica a investigar. Grado de precisión requerido. Características de la población. Tamaño de la muestra requerida.
Por consiguiente, así como es importante hacer un buen muestreo que permita obtener datos confiables, reviste también trascendental importancia la preparación de las muestras la cual se puede definir como un conjunto de operaciones que deben hacerse para llevar la muestra desde su forma original hasta la forma apropiada para los estudios y/o análisis que se efectuarán con ella. Así por ejemplo, la muestra se toma para ejecutar lo siguiente:
Análisis granulométrico y mineralógico. Ensaye químico. 4
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Análisis microscópico o mineragráfico. Estudios metalúrgicos de yacimientos. Embarque de concentrados. Balances de materiales y metalúrgicos en una Planta Concentradora. OBJETIVOS
ETAPAS
Análisis de tamaño
PROCEDIMIENTOS
Tamizado (seco o húmedo) Elutriación (cyclosizer) Análisis de la variedad de partículas finas.
Distribución de masa de las fracciones de tamaño
Agrupamiento de fracciones de tamaño. Tamizado (seco o húmedo) Análisis de los elementos orgánicos e inorgánicos.
Análisis Químico
Distribución de los elementos en las varias fracciones de tamaño de partícula
Modo de interpretación Separación en líquidos pesados. Análisi por difracción de rayos X. Análisis: mayoría de elementos constituyentes de la muestra. Observación: Óptica, microscópica equipada con microscopio electrónico de barrido
Estudio Mineralógico
Identificación de constituyentes contenidos en las fases y evaluación del grado de liberación
Estudio metalúrgico
Concentración de los minerales Extracción del metal
Pruebas de concentración de flotación, gravimétrica, electromagnética, etc. Pirometalurgia, hidrometalurgia, etc.
Figura 3.7. Caracterización de las muestras en procesamiento de minerales Las muestras que deben someterse a preparación en la industria de los minerales o mineralurgia pueden provenir de Mina y de Planta Concentradora y por lo tanto se clasifican en dos grupos: 1. Muestras de mineral sólido y seco : De mina tomadas por el departamento de geología y de Planta Concentradora de algún punto de las etapas de chancado, cribado y almacenamiento. 2. Muestras de pulpa : De Planta Concentradora, tomadas de algún punto de la molienda, clasificación, flotación, espesamiento, filtrado y secado. Si la muestra es sólida seca, se sigue el siguiente procedimiento: Chancado
Molienda
Ensaye
Si la muestra está como pulpa, se ejecuta el siguiente procedimiento:
Espesamiento
3.3.2.
Filtrado
Secado
Disgregación
Ensaye
FACTORES QUE AFECTAN AL MUESTREO.
Los factores que hacen difícil un muestreo de minerales son entre otros los siguientes:
Gran variedad de constituyentes minerales en la mena. 5
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Distribución dispareja de los minerales en la mena. Variación en tamaño de las partículas constituyentes. Variación en dureza en los distintos minerales.
3.3.3.
PESO DE MUESTRA.
El peso que debe tener una muestra variará en función del tamaño de partícula y se puede determinar por el método ideado por Gy, el cual toma en cuenta el tamaño de partícula de mineral, el contenido y el grado de liberación de los minerales y la forma de la partícula. Este método está identificado por la siguiente fórmula:
M
Cd
s
3
2
(3.1)
Donde: M C d s
= = = =
Es el peso mínimo necesario de muestra en g. 3 Es la constante de muestreo para el mineral del que se toma la muestra, en g/cm . Es la dimensión de las partículas más grandes en el mineral que se va a muestrear. Es la medida del error estadístico que se puede tolerar en el ensaye de la muestra, o el error que se comete durante el muestreo.
El término s se usa para obtener una medida de la confiabilidad en los resultados del procedimiento de muestreo. La constante de muestreo C es específica para el material del que se toma la muestra, teniendo en cuenta el contenido mineral y su grado de liberación. Está dado por: C=fglm
(3.2)
Donde: f g l m
3.3.4.
= = = =
Es un factor de forma. Es factor de distribución de partícula. Es un factor de liberación. Es un factor de composición mineralógica.
METODOS DE MUESTREO.
Generalmente en una Planta Concentradora, las muestras pueden ser tomadas por tres métodos, a saber: 1. Muestreo manual o a mano. 2. Muestreo mecánico o a máquina. 3. Muestreo en línea (control automático). 1. El m u e s t r e o m a n u a l es llevado a cabo por personal de Planta Concentradora o del laboratorio químico, es lento y caro, con una pronunciada tendencia a error y algunas veces se presta para el fraude. Este puede hacerse por:
6
Muestreo mediante tenazas. Muestreo mediante tubos o dispositivos en espiral Muestreo mediante cono y cuarteo. Paleo fraccionado o alternado. Rifleado.
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Este tipo de muestreo se justifica sólo cuando es ocasional o temporal y donde el material es pegajoso y difícil de manejar. La obtención de una muestra de laboratorio metalúrgico para realizar análisis granulométrico, análisis químico y/o mineralógico se puede realizar mediante diversas técnicas. Sin embargo, un requisito previo es una buena mezcla de la mena y esta mezcla previa se efectúa con un paño roleador cuando es de grano fino, pero si es grueso, el coneo se hace con una pala. Cuando la muestra es de peso grande, el roleo es hecho por dos personas que sujetan el paño, el cual descansa en el piso, por dos de sus extremos, haciendo rodar el material de una esquina a otra. La operación se repite hasta que se considere haber alcanzado una buena homogeneización de la muestra, es decir, durante varios minutos. Cuando la muestra es pequeña, menor a 3 Kg., la operación puede ser realizada en paño roleador sobre una mesa y por una sola persona. En algunos casos y para muestras de varias decenas de Kg., se utiliza mezcladores mecánicos. Un esquema general de las etapas de un proceso de muestreo se muestra en la figura 3.8, en la cual se resume todo lo antes expresado. Incremento 1 Incremento 2
Muestra general
Lote
Filtrado Secado Chancado Pulverizado Reducción de la muestra
Ensaye
Datos
Incremento N
Muestreo
Preparación de la Muestra
Medición
Figura 3.8. Esquema general de las etapas de un proceso de muestreo.
Coneo y Cuarteo.
Este método es probablemente el más antiguo de todos los métodos de muestreo probabilístico, limitado en la actualidad su uso a lotes de menos de una tonelada, con mena de tamaño máximo de partícula de 50 mm. Los pasos típicos a seguir en la ejecución de este procedimiento se muestra en la figura 3.9 y consisten en: 1. El mineral se extiende sobre una superficie plana, fácil de limpiar. Si la cantidad de mena a muestrear es muy grande, si la apila formando un cono mediante una pala, haciendo caer cada palada exactamente en el vértice de cono, para conseguir una adecuada distribución de las partículas en la superficie del cono. Esta operación se repite 2 a 3 veces con el propósito de dar además una distribución granulométrica homogénea en todo el cuerpo del cono. 2. Seguidamente, la mena se distribuye para formar primero un cono truncado, distribuyendo radialmente las partículas con una paleta o con la palma de la mano, luego se continua hasta alcanzar la altura de una torta circular plana y simétrica en concordancia al paso anterior. 3. Finalmente, la torta circular plana se divide en 4 partes mediante el trazado de dos diámetros perpendiculares entre sí 7
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Figura 3.9. Esquema de operación en el método de Coneo y Cuarteo.
Paleo Fraccionado y Alternado.
El paleo fraccion ado es el más barato y sencillo de los métodos masivos de muestreo el cual consiste en mover el lote mediante una pala, ya sea en forma manual o mecánica, separando una muestra formada por una palada de cada N, logrando así una relación de corte t = 1/N. Este método puede dividirse en tres formas de llevarse a cabo:
Paleo fraccionado verdadero. Paleo fraccionado degenerado. Paleo alternado.
En el paleo fraccion ado , las palas extraídas de un lote se depositan en la parte superior de N montones, los cuales, al terminar con el lote M se convierten N muestras potenciales de igual volumen. Esto se muestra en la figura 3.10.
Paleo fraccional con N = 5
Figura 3.10. Representación esquemática del paleo fraccionado verdadero. En paleo fraccionado degenerado , cada n-ésima palada se deposita en el montón 1 y el resto, n-1 paladas del ciclo, se depositan en el montón 2; en consecuencia, el montón 1 es la muestra predeterminada y el montón 2 es el rechazo. Ver figura 3.11.
Figura 3.11. Representación esquemática del paleo fraccionado degenerado. 8
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En el paleo alternado se ha caracterizado por N = 2 y una relación de muestreo t = ½, tal como se muestra en la figura 3.12 En este método existe la posibilidad de una desviación mayor cuando se muestrean menas gruesas, ya que una porción menor o mayor de ellos puede quedar en una de las fracciones.
Figura 3.12. Representación esquemática del paleo alternado.
Rifleado.
El partidor de Rifles se le conoce también como partidor de Jones, el cual consiste en un ensamble de un número par de chutes idénticos y adyacentes, normalmente entre 12 y 20. Los chutes en ángulo de 45 o más con el plano horizontal y se colocan alternadamente opuestos para que dirijan el material a dos recipientes ubicados bajo ellos. La mena se alimenta por medio de una bandeja rectangular con el que se la distribuye uniformemente sobre su superficie. Cada bandeja o recipiente recibe una muestra potencial, tal como se muestra en la figura 3.13. Cuando la bandeja se descarga muy rápido y muy cerca de uno de los lados del partidor Jones, es posible que uno de los juegos de chutes derrame hacia el otro juego, lo cual en este caso, resulta una de las muestras potenciales con más peso que la otra. En la figura 3.14, se muestra el uso correcto de este aparato. El rango normal de uso del partidor Jones, es el siguiente:
El tamaño de partícula es de alrededor de 15 mm. El peso de lote desde 100 gramos hasta algunos cientos de kilos. El peso de muestra, hasta unos cuantos gramos. El material debe ser totalmente seco.
Figura 3.13. Cortador Jones o de Rifle 2.
Fig. 3.14 Empleo correcto del Cortador Jones
El m uest reo a m áqu ina se lleva a cabo en equipos denominados muestreadores mecánicos que en su mayoría son automáticos, los cuales operan por el movimiento de un mecanismo colector a través del material a muestrearse que cae de una faja transportadora o tubería.
En estos equipos es importante que:
El frente del mecanismo colector o cortador se presente en ángulos rectos a la corriente. El cortador cubra la corriente El cortador se mueva a velocidad constante. El cortador sea bastante grande para pasar la muestra. El intervalo de tiempo debe ser predeterminado. 9
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3.3.5. MUESTREO POR LOTES DE MINERAL a).- Grab Sampling b).- Muestreo de Tubo c).- Muestreo con Pala a).- Grab Sampling: En este método las muestras se obtienen mediante una pala u otro dispositivo, de acuerdo a un esquema fijo o aleatorio, desde la superficie del mineral, se aplica en cualquier tipo de mineral a granel, barcos, etc. Tiene poco uso debido a que tiene un gran error asociado, figura 3.15.
Figura 3.15. Sistema de muestreo Grab Sampling b).- Muestreo con Tubos: Las muestras se obtienen insertando un tubo ranurado en el material el cual es rotado para cortar y extraer una muestra. Es aplicable a menas o concentrados de granulometría fina, húmeda o seca, en pilas de almacenamiento, silos, carros de ferrocarril o camiones, figura 3.16.
Figura 3.16. Sistema de muestreo con muestreador de tubo c).- Muestreo con Pala: Durante la transferencia manual del material, se extrae una palada a intervalos especificados (2a, 5a, 10a, 20a). El método funciona mejor para materiales de granulometría fina.
3.3.6. MUESTREO INCREMENTAL Se refiere a los procedimientos para obtener muestras primarias por métodos periódicos, generalmente desde un transportador (correas, canaletas, etc.). Los errores asociados con la obtención de muestras (incrementos) desde fajas transportadoras en movimiento, son función de la falta de uniformidad de la corriente por efectos de segregación por densidad y estratificación por tamaño. Estos pueden originarse en buzones o pilas desde donde se alimenta a la faja o durante el transporte (por vibraciones en la faja o correa). El material de alimentación a la faja puede estar estratificado en composición debido a un mezclado insuficiente cuando se carga al buzón o pila. Esto será particularmente evidente en sólidos con un amplio rango de tamaños y densidades, los finos y minerales de alta densidad tenderán a sedimentar acumulándose en el fondo de la faja. En el caso de las pulpas, éstas se segregarán como resultado de la variación en las velocidades de las partículas, con las más grande y densas sedimentando al fondo de la corriente. El muestreo de corrientes de sólidos y pulpas se basa en que toda la corriente es desviada por un intervalo especificado de tiempo, para la obtención de la muestra. El método preferido para una mejor exactitud es muestrear desde la descarga del transportador. Una técnica alternativa es usar un cortador fijo, que tome una porción de la corriente para el muestreo. Si bien este método es más simple, no 10
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representa la corriente completa, por lo que la simplicidad es anulada por la falta de confiabilidad. El Muestreo Incremental se llama también Estratificado, que es el término que describe el flujo de material con segregaciones a lo largo del transportador. Un plan para muestreo incremental debe tomar en cuenta el grado de estratificación de la corriente. La teoría del muestreo puede emplearse para resolver el problema de cantidad de muestra y el intervalo de tiempo entre incrementos, de modo que la muestra final sea representativa del total. ►
TECNICAS DE MUESTREO INCREMENTAL
a) Estratificado en base a tiempo constante: En este caso el mecanismo cortador de muestra se activa a intervalos regulares de tiempo. Se supone aquí que el flujo másico del material es constante. b) Estratificado en base a peso constante: Se usa la señal de masa integrada de una balanza de correa u otro dispositivo para activar el cortador de muestra cuando una masa predeterminada ha pasado por el sistema. Este método se emplea cuando el flujo de material es irregular y el peso se puede medir con exactitud suficiente para asegurar que se lograran muestras confiables de acuerdo al flujo másico. c) Estratificado aleatorio: Se realiza eligiendo un intervalo aleatorio para la operación del cortador. Este método se usa cuando ocurren variaciones periódicas del flujo másico o del parámetro a medir y se incurriría en error si se tomaran muestras correspondientes a la periodicidad de la variación. De estos 3 métodos el más utilizado es el de tiempo constante, basado en el supuesto que el flujo de material es controlable a una velocidad constante. La selección del método de muestreo incremental esta gobernado por las circunstancias encontradas de modo de minimizar errores sistemáticos de muestreo, tomando en consideración las fuentes de error que pueden influenciar la posibilidad de errores sistemáticos. ►
MUESTREO DE CORRIENTES DESDE UN TRANSPORTADOR
El término transportador se aplica a la descarga de sólidos desde correas y similarmente a pulpas descargadas desde un canal o cañería. Los métodos para extraer o cortar una muestra desde una corriente de material que cae desde un transportador son los siguientes: a).- Corte con carrera Lineal: El cortador se mueve a través de la corriente siguiendo una trayectoria en línea recta. La trayectoria puede ser perpendicular a la dirección del flujo, opuesto a la dirección del flujo o en la misma dirección al flujo, Figura 3.17.
Figura 3.17. Corte con carrera lineal 11
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b).- Corte con Carrera Rotacional: El cortador se mueve en una trayectoria con forma de arco, de modo que la corriente completa está dentro del radio del arco, Figura 3.18.
Figura 3.18. Corte con carrera rotacional Cualquiera sea el tipo de muestreador en general debe cumplir las siguientes condiciones:
Debe tomar la corriente completa de material en cada punto de la trayectoria y debe pasar a través de toda la corriente. Debe tener lados paralelos y moverse en ángulo recto a la corriente de material. La abertura debe tener un ancho por lo menos de 4 veces mayor que la partícula más grande del material a muestrear. La velocidad a través de la corriente debe ser constante y de una magnitud tal que altere lo menos posible el flujo de material.
3.4. TAMAÑO Y FORMA DE LAS PARTICULAS - ANALISIS GRANULOMÉTRICO. El análisis granulométrico es una operación de control metalúrgico que tiene por objeto estudiar la composición granular de las mezclas de minerales con el fin de conocer el tamaño promedio de partículas, su volumen y su superficie, además, en la medida de lo posible, debe conocerse la forma aproximada de la partícula, tal como:
12
Acicular: Forma de aguja. Cristalina: Forma geométrica libremente formada en un medio fluido. Angular: Forma puntiaguda. Dentrítica: Ramificaciones en forma cristalina. Fibroso: Regular o irregularmente filamentado. Escamoso: En forma de hojas o láminas. Granular: Tiene aproximadamente una misma forma irregular equidimensional. Irregular: Carece de cualquier simetría. Modular: Tiene forma redonda irregular Esférica: Forma globular.
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En el análisis granulométrico se trata de cubrir una variedad muy amplia de tamaño de partículas, teniendo en cuenta que esta variedad sea una de las de mayor importancia industrial, sobre todo cuando se trata de la liberación de los minerales valiosos para ser separados o concentrados, tal como se muestra en la figura 3.19.
Figura 3.19. Separación de un lote de partículas en varias fracciones de tamaño En concordancia de lo antes mencionado, los métodos utilizados para realizar el análisis granulométrico se seleccionan con esa finalidad. Uno de estos métodos se da a continuación:
Método
Escala utilizada en micrones
Prueba de tamizado Elutriación Microscopía (óptica) Sedimentación (gravedad) Sedimentación (centrífuga) Microscopía electrónica
100 000 a 10 40 a 5 50 a 0,25 40 a 1 5 a 0,05 1 a 0,005
Por tanto, los fines particulares del análisis granulométrico de los minerales son: a) Determinación de la gama de tamaño de partículas. b) Separación de ellas de acuerdo con su tamaño. Operacionalmente, un análisis granulométrico completo, consiste en hacer pasar un peso determinado de mineral representativo de la muestra original, por una serie de tamices o mallas ordenadas de arriba hacia abajo, es decir, de la malla de mayor abertura a la de menor abertura, tal como se muestra en la figura 3.20.
Figura 3.20. Procedimiento del tamizado 13
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Terminada la operación después de un tiempo predeterminado, se pesa el mineral que se retiene en cada malla, el cual nos servirá para determinar el porcentaje en peso de cada fracción de tamaño. Cuando se requiere de mayor precisión se prefiere lavar la muestra (Figura 3.21).
Fig. 3.21. Lavado de la muestra para un tamizado libre de finos Para un mejor tamizado se suele lavar la muestra, a fin de retirar todos los finos que pueden estar adheridos a las partículas más grandes y así el tamizado sea más exacto. Esta operación se lleva cabo con material seco o húmedo y las mallas se agitan para exponer todas las partículas a las aberturas. Este movimiento es impartido por un equipo denominado Ro-Tap, el cual se muestra en la figura 3.22.
Figura 3.22. Ro-Tap de malla vibratoria. El tiempo que se utiliza varía de 15 o más a 7 minutos, según el tipo de mineral metálico o no metálico.
3.4.1. TAMICES Y SELECCION DE TAMICES. Los tamices son depósitos generalmente de forma cilíndrica en cuyo fondo llevan una malla que es una trama de alambre de distintas aberturas. Estas mallas se designan por el tamaño nominal de la abertura, que es la separación central nominal de los lados opuestos de una abertura cuadrada o el diámetro nominal de una abertura redonda. Las telas de alambre de las cribas se tejen para producir aberturas cuadradas normalmente uniformes dentro de las tolerancias necesarias. La tela de alambre en las cribas 14
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con una abertura nominal de 75 m y las más grandes es de tejido simple, mientras que en las telas con aberturas menores de 63 m, los tejidos pueden ser cruzados, Figura 3.23. Recipientes metálicos de 8” a 12” de diámetro, equipados con una malla con aberturas cuadradas.
• Número de malla: Número de aberturas cuadradas en el tamiz por pulgada lineal. • Malla 100: Hay 100 aberturas en la malla en una pulgada lineal. • Entonces, abertura: 2.54/100 = 0.0254 [cm.] - diámetro del alambre = 0.15mm. • Entonces, para separar partículas más finas deben usarse mallas de número mayor. • Realizan la misma función que las cribas, es decir, separan las partículas de una cierta muestra o corriente de partículas según sus respectivos tamaños.
Figura 3.23. Tejidos de la tela de alambre de la malla del tamiz La serie de tamices se estandarizan de acuerdo a una progresión geométrica, siendo una razón de 4
2
10
para la serie normal, 2 para la serie doble y la serie 10 que hace posible una clasificación más estrecha de las partículas. Así, para la serie normal, si se denomina por x i al tamaño de la abertura de la malla de un tamiz, tendremos la siguiente serie: 2 xi = Malla inmediata superior. xi -1 = xi = Abertura de malla base.
x i + 1 = xi /
2 = Malla inmediata inferior.
. . xi - 4 =
2 x212 = 300
xi -3 =
2 150 = 212 m
m65
xi - 2 =
2 106 = 150 m
m100
xi -1 =
2 75
m150
xi
m
m48
= 106 m
= 75 m
malla base
m200
xi + 1 = 75/
2
= 53 m
m270
xi + 2 = 53/
2
= 38 m
m 400
xi + 3 = 38/
2
= 27 m
m 600 15
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Como podemos ver, cada uno de estos tamices se puede identificar por un número. Pero desde 1962 los tamices se designan por el tamaño de la abertura, que ofrece directamente al operario la información que necesita. Asimismo se conocen las siguientes series:
Serie TYLER
Americana
Serie ASTM-E-11-61 Americana Serie AFNOR
Francesa
Serie BSS-410
Británica
Serie DIN-4188
Alemana
Cuando no se tiene mallas o las partículas son mayores a 4” se mide la longitud más grande, tal como se muestra en el esquema a), b) y c).
a) Formas de dimensionar una partícula mineral.
b) Producción de partículas
c) Esquema físico de un tamiz
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PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
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Marcas de Tamices: Tyler, Dual, Reicotex, ATM, Retsch, etc. ►
CINETICA DE TAMIZAJE
El proceso de tamizaje varía en el tiempo debido a los efectos que tiene el proceso en las características del material. Para que se realice un adecuado proceso de tamizaje deben cumplirse las siguientes condiciones:
►
La partícula debe tener la oportunidad de enfrentar la abertura. Si las partículas son menores que la abertura, están bien orientadas y no está tapada la abertura, entonces pasarán al tamiz más fino.
PROBLEMAS DE TAMIZAJE
El proceso de tamizaje tiene los siguientes problemas: a) Cegado de Tamiz: Las aberturas del tamiz pueden taparse con partículas atrapadas en la malla de alambre. b) Abrasión del Material: El material blando se va desgastando por efectos de la abrasión por lo que nunca se alcanza el equilibrio.
3.4.2. PRESENTACION DE LOS RESULTADOS DE UN ANALISIS GRANULOMETRICO. Los datos obtenidos de un análisis granulométrico pueden ser presentados mediante un arreglo como el que se muestra en la tabla 3.1.
Tabla 3.1 Presentación de datos de análisis granulométrico. NUMERO MALLA
DE ABERTURA DE PESO MALLA EN m RETENIDO EN g wi xi xo x1 x2 x3 x4 . . . xn - 1 xn xn + 1
0,00 w1 w2 w3 w4 . . . wn - 1 wn wn + 1 W
TOTAL
% RETENIDO PARCIAL f(xi)
% RETENIDO ACUMULADO G(xi)
% PASANTE ACUMULADO F(xi)
0,00 f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) . . . f(xn - 1) f(xn) f(xn - 1) 100,00
0,00 G(x1) G(x2) G(x3) G(x4) . . . G(xn - 1) G(xn) G(xn + 1) -
100,00 F(x1) F(x2) F(x3) F(x4) . . . F(xn.-1) F(xn) F(xn + 1) -
En esta tabla se nota lo siguiente: (3.2)
5) F(xi) = f j = 100 - G(xi)
(3.6)
2) W = wi
(3.3)
6) G(xi) = f j = f(x1) + f(x2) + . + f(xi)
(3.7)
3) f(xi) = (wi/W)x 100
(3.4)
7) G(xn + 1) = 100
(3.8)
4) f(xi) = 100
(3.5)
8) G(xi) + F(xi) = 100
1) xn + 1 = 0
ciego
f(xi).- Es el porcentaje en peso de mineral retenido en cada malla, referido al peso total de mineral tamizado, considerado como muestra representativa.
18
(3.9)
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G(xi).- Es el porcentaje acumulado retenido, es decir, está constituido por todo el mineral que tiene un
tamaño de partícula mayor que la abertura del orificio de una malla X cualquiera de la serie de tamices tomada. Es el mineral rechazado por esta malla. F(xi).- Es el porcentaje acumulado pasante, es decir, está constituido por todo el mineral que tiene un tamaño de partícula menor que la abertura del orificio de una malla X cualquiera de la serie de tamices tomada. Es el mineral que pasó a través de esta malla.
Para realizar un buen análisis granulométrico se debe lavar la muestra en la malla más conveniente, por ejemplo m10 para mineral grueso y m200 o m400 para mineral fino, tal como se muestra en la figura 3.9.
250 m = 0,02 g
Aquí podemos ver, que el material retenido en cada malla, se ha retirado y luego pesado, cuya suma es igual al peso de la muestra W = 44,54 g. A partir de este par de valores se construye el anterior cuadro.
180 m = 1,32 g 125 m = 4,23 90 m
= 9,44 g
63 m
= 13,10 g
45 m
= 11,56 g
Cie o
= 4,87
Tabla. 3.2. Resultados del análisis granulométrico Nº
Abertura de malla Tyler Intervalo de tamaño en Abertura m nominal, m 1
60 80 115 170 250 325 -325
+250 -250 +180 -180 +125 -125 +90 -90 +63 -63 +45 -45
2 250 180 125 90 63 45 -45
Peso gramos
% Parcial f(x)
% Ac. Ret. G(x)
% Ac. Pas. F(x)
3 0,02 1,32 4,23 9,44 13,10 11,56 4,87 W = 44,54 g
4 0,045 2,964 9,497 21,194 29,412 25,954 10,934
5 0,045 3,009 12,506 33,7 63,112 89,066 100,00
6 99,955 96,991 87,494 66,300 36,888 10,934 -------
La tabla 3.2 muestra lo siguiente: 1. 2. 3.
4. 5. 6.
El intervalo de tamices empleados en la prueba. Los tamaños de abertura nominal de los tamices que se usan en la prueba. El peso de material en cada intervalo de tamaños, por ejemplo, 1,32 g de material pasó a través de la malla de 250 m, pero quedó retenido sobre la malla de 180 m; por lo tanto, el material está comprendido entre la gama de tamaños –250 +180 m. El peso de material retenido en cada tamaño nominal se expresa como un porcentaje del peso total, denominado porcentaje parcial retenido o f(x). El porcentaje acumulado retenido en cada malla o G(x), por ejemplo, el 12,506% de material es +125 m; es decir, no pasó esta malla. El porcentaje acumulado pasante por cada malla, por ejemplo, el 87,494% de material pasó el tamiz 115, por lo tanto es menor de 125 m en tamaño.
3.4.3. REPRESENTACION GRAFICA DEL ANALISIS GRANULOMETRICO. Convencionalmente, los datos obtenidos de un análisis granulométrico son representados en la escala horizontal, el tamaño de partícula en micrones y en la escala vertical, la cantidad de la característica, que puede ser: G(x i), F(xi) o f(xi). La representación gráfica más utilizada en el procesamiento de minerales es el ploteo de: 19
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F(x), G(x) o f(x)
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vs
Tamaño de partícula
Escala aritmética o logaritmica
Escala logaritmica
En el primer caso, el gráfico obtenido tendrá la siguiente forma: ANÁLISIS GRANULOMÉTRICO ) x ( G y ) x ( F O D A L U M U C A E J A T N E C R O P
Resultados del análisis granulométrico
100
100
) x ( G y ) x ( F e j a 10 t n e c r o P
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10
100
1
1000
10
100
Tamaño de partícula, micrones
TAMAÑO DE PARTÍCULA EN MICRONES
) (x ) x( F ,
G(x) te
F ) , (x
F(x)
et G ,
s
id P
te
n
n
a s
a
o a
n
P e
d
a o
o
al R
d o
u la
u
la d
m u
m
u m u c a
m
u
je
c
A
n
ej
at
rc n
c u je
at
A e
ta o
e
cr o
P
n e o rc
P P
Tamaño de partícula, micrones
Fig. 3.16. Representación en papel semi-logaritmo.
Tamaño de partícula, micrones
Fig. 3.17. Representación en papel log-log.
Fig. 3.18. Comparación de escalas 20
1000
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
3.4.3.
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REPRESENTACION MATEMATICA DEL ANALISIS GRANULOMETRICO.
Los resultados de un análisis granulométrico pueden ser generalizados y correlacionados por expresiones matemáticas denominadas “funciones de distribución de tamaños” que relacionan el tamaño de partícula (abertura de malla), con un porcentaje en peso, que generalmente es el acumulado retenido o el pasante. Existen más de 06 funciones de distribución de tamaño, pero las más utilizadas en procesamiento de minerales son tres: 1. Función de distribución de Gates-Gaudin-Schuhmann (G-G-S). 2. Función de distribución de Rosin –Rammler (R-R). 3. Función de distribución de los tres parámetros.
1.- Función de distribución de Gates-Gaudin-Schumann (G-G-S). Esta función se obtiene de comparar o relacionar los valores del porcentaje acumulado pasante F(x i) con el tamaño de partícula o abertura de malla de la serie utilizada. El modelo matemático propuesto es:
F ( x )
x 100 x
a
(3.15)
o
Donde: F(x) = % en peso acumulado pasante por cada malla. X
= Tamaño de partícula en micrones.
Xo
= Módulo de tamaño el cual indica el tamaño teórico máximo de partículas en la muestra.
A
= Módulo de distribución.
Una forma habitual de representar la distribución granulométrica G.G.S es un gráfico log-log, tal como se muestra en la fig.3.4, donde en las ordenadas se plotea el log F(x) y en las abscisas se plotea el log(x), y como podemos ver, es una línea recta, la cual se origina debido a que:
F ( x )
100 x x
a
a
o
es transformada en el papel logarítmico en:
100 a log x x
log F ( x ) log
a
(3.16)
o
donde si hacemos un cambio de variable, tendremos: Y = log F(x) X = log x
100 x
A = log
a
Constante.
o
De donde se obtiene el valor de x o mediante la siguiente expresión: log 100 – a log x o = A 21
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x o
10
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2 A a
pendiente de la recta
B = a Luego: Y = A + BX
(3.17)
que es la ecuación de una línea recta. 100 F(x) ) g o l a l a c s e ( e t n a s a p 10 o d a l u m u c A e j a t n e c r o P
m m = b
log[100/xoa] xo
1 1
10
100
1000
Tamaño de partícula en micrones (escala log)
Fig. 3.19. Representación gráfica del modelo G.G.S. Cuando se examina la curva, se notará que cuánto más grande sea el valor de “a “, más uniforme será el producto y más pequeño será el dispersión del material en los tamaños muy finos y muy gruesos. Esta representación sobre una escala log-log agranda considerablemente la región abajo del 50 % en la curva acumulativa de finos, especialmente debajo de 25 %. Sin embargo ésta se contrae severamente arriba de la región de 50 % y especialmente arriba de 75 %, lo cual constituye la mayor desventaja de este método.
2.- Función de distribución de Rosin-Rammler (R-R). Al efectuar un análisis granulométrico de algún producto de reducción de tamaño de partícula mineral, se obtiene un conjunto de datos experimentales de tamaño de partícula o abertura de malla y su respectivo porcentaje acumulado fino o pasante, los cuales se ajustarán a una distribución de Rossin-Rammler, si cumplen la siguiente expresión:
{ [ ()]} Donde: F(x) = Porcentaje acumulado pasante. 22
(3.18)
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Xr = Es el módulo de tamaño m = Es el módulo de distribución. Esta ecuación se puede escribir también como:
x 100 100 exp x m
F ( x )
r
o
100 F ( x )
x 100 exp x r
G( x )
100 G( x )
m
x m 100 exp xr
x exp x r
(3.19)
m
Aplicando logaritmo natural a am bos lados tenemos:
100 x ln G( x ) x r
m
Luego, aplicando logaritmo decimal a ambos lados, se obtiene:
100 m log x m log x r G( x )
log ln
(3.20)
si se gráfica el log ln[100/G(x)] vs log x se obtendrá una línea recta de la forma: Y = A + BX hacemos:
si
Y = log ln[100/G(x)] A = - m log xr De donde se obtiene el valor de x r .
xr
10
A m
B = m X = log x Luego: Y = A + BX que es la ecuación de una línea recta. 23
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Como el método es tedioso para graficar, existe un papel especial para hacer el gráfico de este modelo, llamado papel de Rosin – Rammler, en el cual se plotea directamente x y G(x). En comparación con el método log-log de G.G.S, la gráfica de R-R agranda las regiones abajo del 25 % y arriba del 75 % del acumulativo de finos y se contrae en la región de 30 a 60 %. Sin embargo, se ha demostrado que esta contracción es insuficiente para causar efectos adversos. En este gráfico se aprecia que para x = xr F(x) = 100 [1 - exp(-1) ] = 63,21 G(x) = 100 exp(-1) = 36,79 0,1
99,99
G(x)
F(x)
o d i n 36,79 e t e r o d a l u m u c a e j a t n e c r o P
63,21
x = xr 99,99 Tamaño de partícula en micrones
e t n a s a P o d a l u m u c A e j a t n e c r o P
0,1
Fig. 3.13. Representación gráfica de la función R-R.
3.- Función de distribución de tres parámetros. Esta función fue deducida por C. Harris y está dada por:
x F ( x) 1 1 x
s
m
r
(3.21)
Donde: s = Parámetro de distribución de tamaño. R = Parámetro de sesgamiento de distribución. Xm = Tamaño máximo de partícula.
3.5. APLICACIONES DE LOS GRAFICOS DE ESTAS FUNCIONES. Se tienen las siguientes aplicaciones 1. En la determinación de las eficiencias comparativas de unidades de chancado y molienda. 2. Las áreas superficiales de las partículas se determinan mediante el análisis de malla. 3. La estimación de la potencia requerida para chancar y/o moler una mena desde un tamaño de alimentación hasta un tamaño de producto determinado. 24
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4. El cálculo de la eficiencia de clasificación por tamaños de un clasificador o hidrociclón se estima con acertada precisión. 5. El cálculo de la eficiencia de molienda por mallas. 6. El cálculo del D50 para el transporte de pulpas. Existen otros métodos de poder clasificar las muestras minerales, tales como:
La elutriación. La microscopía. De resistencia eléctrica. Por rayo láser. Análisis de tamaños de partícula en línea o sobre la marcha. (En Planta Concentradora)
3.5.1. ANALIZADORES DE PARTICULAS POR DIFRACCIÓN LÁSER Los analizadores de partículas por difracción láser de longitud de onda individual y múltiple son sistemas automatizados que ofrecen una reproducibilidad inigualable. Estos analizadores novedosos tienen la capacidad de medir un rango amplio de tamaño de partículas que se extiende desde 0.04 a 2000 µm utilizando la tecnología patentada de PIDS. El LS 13 320 es la innovación de La Serie LS . El software cumple el requisito 21 CFR Parte 11, el cual ha sido diseñado para satisfacer y superar el estándar internacional (ISO/DIN 13320 - I Análisis de Tamaño de Partícula). Además, en sólo cuestión de segundos, ofrece mayor rapidez en el intercambio de módulos. El software proporciona 4 niveles de seguridad y un número de funciones que simplifican el proceso de medición y provee ayuda única al cliente.
25
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Equipos donde se lleva a cabo la reducción de tamaño y la liberación del mineral valioso
26
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3.6. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. 1.
Se tomó una muestra del alimento fresco a un molino de barras para análisis granulométrico. El peso seco de la muestra es de 2 320 g. Los resultados obtenidos se muestran en el cuadro # 1. Abertura de malla N En m 1” ¾” ½” 3/8” m4 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 -200 TOTAL
1. 2. 3.
Peso en gramos wi 36,65 96,74 417,14 239,65 408,08 367,95 81,43 71,68 66,35 69,37 57,77 50,11 45,04 35,96 23,43 252,65 2 320,00
Determine la representación gráfica. Determine los modelos de G-G-S y R-R. Haga una interpretación de los resultados.
SOLUCION Para poder representar en forma gráfica y para determinar los modelos G.G.S y R.R se debe construir el cuadro N 2.
Cuadro N 2. Cálculos del Análisis Granulométrico. Abertura de malla 1 N
2 m
1.5” 1” ¾” ½” 3/8”
m4 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 -200 TOTAL
25 000 19 000 12 500 9 500 4 750 1 700 1 180 850 600 445 300 212 150 106 75 -75
Peso 3 g 0,00 36,65 96,74 417,14 239,65 408,08 367,95 81,43 71,68 66,35 69,37 57,77 50,11 45,04 35,96 23,43 252,65 2 320,00
% Parcial 4 f(xi) 0,00 1,58 4,17 17,98 10,33 17,59 15,86 3,51 3,09 2,86 2,99 2,49 2,16 1,94 1,55 1,01 10,89 100,00
% Ac. Retenido 5 G(xi) 0,00 1,58 5,75 23,73 34,06 51,65 67,51 71,02 74,11 76,97 79,96 82,45 84,61 86,55 88,11 89,11 100,00
% Ac.Pasante 6 F(xi) 100,00 98,42 95,83 76,27 65,94 48,35 32,49 28,98 25,89 23,03 20,04 17,55 15,39 13,45 11,90 10,89 0,00
Para obtener el valor de f(xi) utilizamos la siguiente fórmula: 27
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f ( xi )
wi w
x100
36,65 2320
96,74
2320
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x100 1579 , , 158%
100 4,1 69 4,17%
x
y así sucesivamente… El valor de G( xi) se obtiene de la siguiente relación: G(xi) = f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xi) G(x1) = 1,58. G(x2) = 1,58 + 4,17 = 5,75. G(x3) = 1,58 + 4,17 + 17,98 = 23,73 . . . El valor de F(xi) se obtiene de G(xi) + F(xi) = 100 F(xi) = 100 - G(xi) F(x1) = 100 - 1,58 = 98,42 F(x2) = 100 - 4,17 = 95,83
exp
ANALISIS GRANULOMETRICO
calc
100,00 90,00 E T N A S A P O D A L U M U C A %
80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 10,0
100,0
1000,0
10000,0
100000,0
TAMAÑO DE PARTICULA EN MICRONES
Fig. 3.15. Curva del análisis granulométrico en escala semi-log 2. Determinación de los modelos G.G.S y R.R. A. Determinación del modelo G.G.S. 28
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Este modelo o función de distribución está definida por:
x F 100 x o
a
ANALISIS GRANULOMETRIC O
exp calc
1000,00 E T N A S A P 100,00 O D A L U M U C A %
10,00
1,00 10,0
100,0
1000,0
10000,0
100000,0
ABERTURA DE MALLA EN MICRONES
Fig. 3.16. Curva GGS experimental y ajustada Al linealizar la expresión, aplicando logari tmo decimal obtenemos:
log F ( x ) log
100 x o
a
a log x
Y = A + BX Es una línea recta. Mediante regresión lineal, por el método de mínimos cuadrados encontramos las constantes de esta línea recta, éstas son: A = 0,28379 B = 0,3878 = a r = 0,9987 coeficiente relativo de correlación. Cálculo del valor de x o. Log100 - 0,3878 log(xo) = 0,28379 xo = 26 m En consecuencia, la función de distribución granulométrica G.G.S queda expresada por: 29
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x F ( x ) 100 14489
0,4291
B. Determinación de la función R-R. Este modelo está definido por la expresión
x F ( x ) 1001 exp x
m
r
Al linealizar esta expresión se obtiene la sig uiente relación:
100 m log x r m log x G( x )
logln
que también representa a un línea recta, es decir:
100 logln G( x) A m log( x r )
Y
B = m Del mismo modo, mediante el método de mínimos cuadrados, encontramos los valores de las constantes. Esto es: A = - 2,1120 B = 0,564 r = 0,9767 A partir de estos valores calculamos el valor de xr : - 0,564 log xr = - 2,1120 xr = 5 555 m En consecuencia, la función de distribución R-R es:
x 0,564 F ( x ) 1001 exp 5555
30
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
2.
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Se ha tomado una muestra del rebose de un hidrociclón, la cual fue debidamente manipulada, a fin de tenerla en estado seco y después de un cuarteo se obtuvo un peso de muestra de 850 g para análisis granulométrico, cuyos datos se dan en la siguiente tabla:
Malla Peso, g
28 0,17
35 4,165
48 23,205
65 57,885
100 84.575
150 89,420
200 78,2
270 63,41
400 48,365
- 400 400,605
Se pide determina las funciones granulométricas GGS y R-R y hacer el comentario correspondiente. Solución. En primera instancia confeccionaremos el cuadro de análisis granulométrico siguiendo el procedimiento del problema anterior.
Cuadro 3. Análisis granulométrico Abertura de malla Nº µm 20 850 28 600 35 425 48 300 65 212 100 150 150 106 200 75 270 53 400 38 - 400 - 38
Peso, g wi -0,17 4,165 23,205 57,885 84,575 89,42 78,2 63,41 48,365 400,605 850,00
% Parcial f (xi) --0,02 0,49 2,73 6,81 9,95 10,52 9,20 7,46 5,69 47,13
% Acum. Ret. G(xi) --0,02 0,51 3,24 10,05 20,00 30,52 39,72 47,18 52,87 100,00
% Acum. Pas. F(xi) 100,00 99,98 99,49 96,76 89,95 80,00 69,48 60,28 52,82 47,13 0,00
Por definición, la ecuación GGS está dada por la siguiente expresión:
x F ( x) 100 x0
i
La cual transformamos en una línea recta, llevando a su forma logarítmica, es decir:
100 x0
log F ( xi ) log xi log
Es decir, Y = BX + A que es la expresión de una línea recta, que resulta de un cambio de variable, tal como se muestra a continuación:
log F ( xi ) X log xi Y
B
A
100 log x0
Ahora, aplicando regresión lineal por el m étodo de los mínimos cuadrados tenemos que: 31
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X Y X X Y A N X X 2
i
i
i
i
i
B
2
2
i
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X Y X Y N X X
N
i
i
i
i
2
2
i
i
i
El coeficiente de correlación correlativa está dado por la siguiente expresión:
XY X Y X x N Y Y
N
r
N
2
X
2
2
2
2
2
R = r
Ahora, a partir del cuadro 3 construimos el cuadro 4
Cuadro 4. Datos para la regresión por mínimos cuadrados xi
F(xi)
600 425 300 212 150 106 75 53 38
logxi Xi
logF(xi) Yi
X Y i i
X i
2,778 2,629 2,477 2,326 2,176 2,025 1,875 1,724 1,5797
1,9999 1,9977 1,9857 1,9540 1,9030 1,8418 1,7802 1,7228 1,6733
5,5557 5,2519 4,9186 4,5450 4,1409 3,7296 3,3378 2,9701 2,6433
7,7173 6,9116 6,1355 5,4103 4,7349 4,1006 3,5156 3,0359 2,4954
3,9996 3,9996 3,9430 3,8181 3,6214 3,3922 3,1691 2,9680 2,7999
19,5897
16,8584
37,0929
44,0571
31,7021
X
Y
X Y
X
99,98 99,49 96,76 89,95 80,00 69,48 60,28 52,82 47,13
i
i
i
Con estos valores calculamos las constantes regresionales. A
44,0571 x16,8585 19,5897 x37,0929
9 x44,0571 (19,5897) 2
1,2615
B
9 x37,0929 19,5897 x168584
9 x44,0571 (19,5897) 2
0,281
r
9 x37,0929 19,5897 x16,8584 [9 x 44,0571 19,5897 ] x[9 x31,7021 16,8584 ] 2
2
R = 0,9049 Y el valor de x0 está dado por:
x0 10
(
21, 2615 ) 0, 281
424,73 425 m
Luego la función GGS está dada por:
x F ( x) 100 425 32
0, 28 1
2
0,9513
2
i
Y i
2
i
2
Y i
2
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
Luego establecemos el siguiente cuadro comparativo Abertura de malla Nº µm 28 600 35 425 48 300 65 212 100 150 150 106 200 75 270 53 400 38 - 400 - 38
% Acum. Pasante F(xi) 99,98 99,49 96,76 89,95 80,00 69,48 60,28 52,82 47,13
% Ac Pas. Calc. F(xi)1 110,175 100,000 90,676 82,247 74,628 67,691 61,420 55,71 50,739
Curva teórica y práctica
Curva te órica y práctica
120
100
1) 110 (x
F 100 y
90 F
80 n
70 a
60 o
50
(x
) te a s P d
40 30 A
c
m
20 %
10
u
la u
Diferencia F(xi)1 - F(xi) 10,195 0,54 - 6,084 - 7.703 - 5,372 - 1.789 1,14 2,89 3,609
F(xi) F(xi)1
0
1 ) x ( F y ) x ( F e t n a s a P o d a l u m u c A %
F(xi) F(xi)1
10
10
100
1000
Tamaño de partícula en micrones
10
100
1000
Tamaño de partícula en micrones
Ahora resolviendo para la función de Rosi n-Ramler (R-R), cuya expresión es matemática es:
x F ( x) 1001 exp x ) x F ( x) 100 100 exp x x m 100 F ( x) 100 exp x r x m G ( x) exp 100 xr m
r
m
r
x exp G ( x) x 100
m
r
Aplicando logaritmo natural tenem os:
100 x ln ( ) G x x
m
r
33
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
Ahora aplicando logaritmo decimal tenem os (base 10):
100 m log x m log xr G x ( )
log ln
Al hacer un cambio de variable tenem os:
100 log ln ( ) G x
Y B
m
A
m log xr
Que origina también una línea recta de la forma: Y = BX + A. Luego construimos el siguiente cuadro.
logx X
Logln(100/G(x) Y
XY
X
2,778 2,629 2,477 2,326 2,176 2,025 1,875 1,724 1,5797
0,9303 0,7225 0,5352 0,3613 0,2067 0,0744 - 0,0346 - 0,1242 - 0,1956
2,5844 1,8994 1,3257 0,8404 0,4498 0,15066 - 0,0648 - 0,2141 - 0,3089
7,7173 6,9116 6,1355 5,4103 4,7349 4,1006 3,5156 3,0359 2,4954
0,8654 0,5220 0,2864 0,1305 0,0427 0,0055 0,0012 0,0154 0,0382
19,5897
2,4760
6,6625
44,0571
1,9073
X
Y
X Y
X
Y
i
i
i
i
Y
2
i
Con estos datos procedemos a calcular las constantes regresionales y las del modelo, así: A
44,0571 x 2,2,476 19,5897 x6,6625
9 x 44,0571 19,5897
B
m
9 x6,6625 19,5897 x 2,476
9 x 44,0571 19,5897
2
1,67986
2
0,9319
9 x6,6625 19,5897 x 2,476
r
[(89 x 44,0571 19,5897 2 ) x(9 x1,9073 2,476 2 )]
R
2
0,9326
Luego:
1,67986 0,9319 log x
r
log x
1,67986 r
xr 10
34
0,9319
1, 67986 0, 9319
63,477
0,9657
i
2
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
x 0,9319 G ( x) 100 exp 63,477 Para comparación construimos el siguiente cuadro.
µm
G(x)
G(x)1 Calc.
G(x)1 - G(x)
Ln100/G(x)
Ln100/G(x)1
600 425 300 212 150 106 75 53 38
0,02 0,51 3,24 10,05 20,00 30,52 39,72 47,18 52,87
0,03 0,28 1,42 4,61 10,76 19,94 31,09 42,94 53,80
0,01 - 0,23 - 1,82 - 5,44 - 9,24 - 10,58 - 8,63 - 4,24 0,93
8.517 5,278 3,429 2,297 1,609 1,186 0,923 0,751 0,637
8,111 5,878 4,254 3,077 2,229 1,612 1,168 0,845 0,619
Valores de G(x) real y calculado
10,000
60
50 )1 x( G y
) 40 x ( G o n
id
G(x)
er
G(x)1
te 30 o d al u
m 20 u c A %
1 ) x ( G / 0 0 1 ( n l y ) x ( G / 0 0 1 ( n L
Serie1
1,000 10
100
1000
Serie2
10
0 10
100 Tamaño de partícula en micrones
1000
0,100
Tamaño de pa rtícula en m icrones
Curva R-R del análisis granulométrico Observando los dos análisis vemos que la distribución R-R representa mejor los datos experimentales.
35
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
3.
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
Se ha tomado una muestra del rebose de un molino de bolas, la cual fue debidamente manipulada, a fin de tenerla en estado seco y después de un cuarteo se obtuvo un peso de muestra de 400 g para análisis granulométrico, cuyos datos se dan en la siguiente Tabla I:
Tabla I. Resultado de la operación de tamizaje en el Laboratorio Malla Peso, g
8 12,3
10 67,6
14 68,8
20 55,6
28 40,8
35 32,8
48 25,6
65 18,0
100 15,2
150 12,4
200 7,6
-200 43,3
Se pide representar gráficamente la distribución granulométrica y luego determinar las funciones granulométricas GGS y R-R y hacer el comentario comparativo correspondiente.
Solución. En primera instancia se confecciona la Tabla II de análisis granulométrico siguiendo el procedimiento del problema anterior. Tabla II. Nº de Malla TYLER 7 8 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 -200
Abertura µm
Masa g
% Parcial
% Acumulado Retenido
% Acumulado Pasante
xi
wi
f(xi)
G(xi)
F(xi)
2800 2360 1700 1180 850 600 425 300 212 150 106 75 -75
0 12,3 67,6 68,8 55,6 40,8 32,8 25,6 18 15,2 12,4 7,6 43,3
0 3,1 16,9 17,2 13,9 10,2 8,2 6,4 4,5 3,8 3,1 1,9 10,8
0 3,1 20,0 37,2 51,1 61,3 69,5 75,9 80,4 84,2 87,3 89,2 100,0
100 96,9 80,0 62,8 48,9 38,7 30,5 24,1 19,6 15,8 12,7 10,8 0
400
100
Representación gráfica del ANGRA % Pa rc ia l f ( xi)
% A cu m. Re te ni do G( x i)
ANGRA
% A cu m. Pa sa nt e F( x i)
100 100
) x ( F o d a l u 10 m u c A %
)
90 80 ,)
70 G
60 d
50 u
40 u
30
F
(x x( o la m c A %
20 10
1
0
10 10
100
1000
Tamaño de particulas, en micrones
36
100
1000
10000
Tamaño de partícula en micrones
10000
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
4.
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
El análisis de malla de las arenas de un clasificador en circuito cerrado con molinos de barras; para un mineral de hierro, es el siguiente: N° de Malla 14 20 28 35 48 65 100 150 200 325 400 -400 a. b.
% Parcial retenido 3,6 6,0 8,3 8,7 8,1 8,4 7,6 8,1 8,8 7,5 24,9
Hacer un gráfico de frecuencias (escala aritmética) del porcentaje en peso acumulado retenido, contra el tamaño de partícula. Hacer un grafico log-log del porcentaje en peso acumulado pasante contra el tamaño de partícula. 1 Estimar el tamaño 80% pasante. 2 Cuál es el valor de “a” para esta distribución. 3 Del gráfico, estimar el porcentaje en peso del material más fino que 16 µm.
Desarrollo a) El gráfico de frecuencias (escala aritmética) del porcentaje en peso acumulado retenido, contra el tamaño de partícula se muestra a continuación. Primero se construye la Tabla 1.
Tabla 1. Cálculo de los Valores de MG y de G(x) Abertura de Malla del set considerado
Rango de Tamaño de partícula d1
Media geométrica (MG)
% Parcial
% Ac Retenido
d2
√
f(x)
G(x)
1180
0
0
N°
µm
14
1180
20
850
1180
850
1001
3.6
3.6
28
600
850
600
714
6
9.6
35
425
600
425
505
8.3
17.9
48
300
425
300
357
8.7
26.6
65
212
300
212
252
8.1
34.7
100
150
212
150
178
8.4
43.1
150
106
150
106
126
7.6
50.7
200
75
106
75
89
8.1
58.8
325
45
75
45
58
8.8
67.6
400
38
45
38
41
7.5
75.1
-400
-38
24.9
100
100
37
PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I
M.Sc. Ing. Nataniel Linares Gutiérrez
Con los datos de la Tabla 1 se grafica MG versus G(x)
b) Hacer el gráfico log-log. Se determina el valor de F(x) a partir del G(x) de la Tabla 1, para construir la Tabla 2, utilizando la siguiente relación:
Tabla 2. Cálculo de F(x) Abertura de malla
% Ac Pasante
N°
µm
F(x)
20
850
96,4
28
600
90,4
35
425
82,1
48
300
73,4
65
212
65,3
100
150
56,9
150
106
49,3
200
75
41,2
325
45
32,4
400
38
24,9
-400
-38
0,0
A partir de estos graficando la abertura de malla en micrones versus F(x) se obtiene el siguiente grafico.
38