Este capítulo habla solo la personalidad y como influye en el ser humanoDescripción completa
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Introduccion al ATmega 32 para la materia de microcontroladores I
Resumen grupo de estudio
La diferencial
I LA DIFERENCIAL
Cuando se tiene una función cualquiera, por ejemplo, y = x2 - 5 x - 9, conforme a lo visto en el semestre anterior, su derivada es dy dx
= 2 x − 5
(I)
cabría decir que del símbolo operador derivada, derivad a, el numerador dy se llama diferencial de y, mientras que el denominador dx se llama diferencial de x. Si se despeja la diferencial de y se obtiene dy = ( 2 x − 5 ) dx
(II)
Sin entrar en detalles rigurosos, la diferencial de x es igual al incremento de x, es decir que dx = Δx , mientras que la diferencial de y, según se ve en la igualdad (II), es igual a la derivada de la función por la diferencial de x. Ésta última es la que se tomará como regla para el cálculo cálc ulo de diferenciales en los ejemplos siguientes. Una diferencial es un elemento infinitesimal, es decir, un elemento que tiende a cero.
Ejempl Ejemploo 1: 1: Calcul Calcular ar la la difer diferenc encial ial dy de la función y = x3 - 7 x2 + 4.
1
La diferencial
Solución:
Se puede ver desde dos enfoques un poco distintos. El primero consiste en derivar y luego despejar dy. Haciéndolo: dy dx
= 3 x 2 −14 x
de donde dy =
( 3x2 − 14 x ) dx
El segundo enfoque, más directo, consiste en aplicar directamente la regla, es decir, la diferencial de y es igual a la derivada de la función por la diferencial de x, que no es otra cosa que el resultado anterior.
Ejemplo 2: Calcular dy si y = Solución:
5x − 4
La derivada es d dy
= dx
2 5x − 4
dx dy
( 5 x − 4 )
=
5 5x − 4
dx
2
dy =
5 dx 2 5 x − 4
de donde
Ejemplo 3: Calcular dy si y = ( 4 x − 7 ) Solución:
8
La derivada es
2
La diferencial
dy dx dy dx dy dx
= 8 ( 4 x − 7 )
d
7
dx
( 4 x − 7)
7
= 8 ( 4 x − 7 ) ( 4) = 32 ( 4 x − 7 )
7
de donde 7
dy = 32 ( 4 x − 7 ) dx
Ejemplo 4: Calcular la diferencial dy si y = Solución:
1 4 x − 1
Derivando, a partir de que y = ( 4 x − 1) dy dx dy
=−
1 − 3 / 2 d ( 4 x − 1) ( 4 x − 1) 2 dx
=−
1 − 3 / 2 ( 4 x − 1) ( 4 ) 2
dx dy dx dy dx
−1 / 2
=−
=−
4 2 ( 4 x − 1)
3 / 2
2 3 / 2 ( 4 x − 1)
de donde
3
La diferencial
2 dx 3 / 2 ( 4 x − 1)
dy = −
Ejemplo 5: Calcular la diferencial dy si y = ln 2 x Solución:
Derivando: d dy
= dx
2x
dx
dy
2 2x
=
dx dy
2 x
1
=
dx
x
de donde dy =
dy =
1 x
dx
dx x
Ejemplo 6: Calcular la diferencial dy si y = tan 3 ( 2 − 9 x ) . Solución:
Derivando, a partir de que la y original es lo mismo que y = ⎡⎣ tan ( 2 − 9 x ) ⎤⎦
4
3
La diferencial
Empleando la fórmula de un: dy dx dy dx dy dx dy dx
= 3 ⎡⎣ tan ( 2 − 9 x ) ⎤⎦
2
d dx
tan ( 2 − 9 x )
= 3 tan 2 ( 2 − 9 x ) sec 2 ( 2 − 9 x )
d dx
( 2 − 9x)
= 3 tan 2 ( 2 − 9 x ) sec 2 ( 2 − 9 x ) ( − 9 ) = − 27 tan 2 ( 2 − 9 x ) sec 2 ( 2 − 9 x )
de donde dy = −
27tan 2 ( 2 − 9 x ) sec 2 ( 2 − 9 x ) dx
5
La diferencial
EJERCICIO 19
Calcular la diferencial dy de las siguientes funciones: 1)
