Notas de Clase de Cálculo Vectorial
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Autoras: Valeria Cely- Carolina Rojas
1. SUPERFICIES EN EL ESPACIO 1.1
ESFERAS Y ESFERAS Y PLANOS
La representación gráfica de una ecuación con tres variables normalmente es una superficie. En cursos anteriores estudiaron dos clases especiales: los planos y las esferas. A c ontinuación se hace un resumen de ellas.
1.1.1
ESFERAS
DEFINICIÓN: Una esfera es una superficie formada por puntos
en el espacio que equidistan de otro interior llamado centro. La ecuación está dada por: Donde
es el centro de la esfera y es llamado el radio.
EJEMPLO 1: Realice la gráfica de la esfera que tiene por ecuación
Figura 1
Solución De la ecuación dada se puede determinar que la esfera tiene radio 3 y centro en y su gráfica se encuentra en la Figura 2.
EJEMPLO 2: Bosqueje la gráfica de la esfera que tiene por ecuación
Solución Para determinar el centro y radio de la esfera, se completan cuadrados tanto para la variable como para así: Figura 2
En esta ecuación se puede ver que la esfera tiene centro en y su gráfica se m uestra en la Figura 3.
1.1.2
y radio
PLANOS
DEFINICIÓN: Una forma fructífera de describir un plano, es a través de
〈 〉
vectores. Sean n= un vector y conjunto de todos los puntos Figura 3
⃗
es el plano que plano que pasa por
5
un punto fijo. El que satisfacen la relación
y es perpendicular a n.
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La ecuación cartesiana del plano está dada por:
〈 〉
Donde son las coordenadas del vector normal y D se determina a partir de conocer un punto del plano. EJEMPLO 3: Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto
y es perpendicular a
Solución Para resolver, es suficiente con aplicar la fórmula de la ecuación del plano dada anteriormente. Se obtiene:
Figura 4
x
Se reemplaza el punto valor de D.
y
Entonces:
z Figura 5
〈〉
en las variables
para encontrar el
Para graficar el plano, es suficiente con determinar cuáles son los cortes con cada uno de los ejes coordenados. Al hacer
se obtiene que
Al hacer se obtiene que Al hacer se obtiene que Tal y como se muestra en e n la figura 5.
6
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1.1.3
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EJERCICIOS
Determine si la ecuación de la superficie representa un plano o una esfera. Realice la gráfica de la superficie que corresponda. 1. 2. 3. 4. 5.
Complete cuadrados y determine el centr o y radio de cada una de las siguientes esferas. 6. 7.
RESPUESTAS
1. 2. 3. 4. 5.
Esfera Plano Esfera Plano Esfera
6.
Centro
7.
Centro
Radio: Radio:
√ √
7
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1.2
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SUPERFICIES CILÍNDRICAS
1.2.1
INTRODUCCIÓN
Una clase de superficie son las llamadas superficies cilíndricas. La palabra cilindro seguramente le será familiar y pensará en los cilindros circulares rectos como la forma de un vaso. Sin embargo, cuando se refieren a superficies cilíndricas, el concepto es más amplio, como verá a continuación.
DEFINICIÓN: Sea C una curva en el plano y L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L que cortan a la curva C se le denomina cilindro.
Figura 6
Recta
La curva C es llamada la curva generadora o directriz y al conjunto de rectas paralelas a L se le denominan rectas generatrices. Para reconocer algebraicamente que la ecuación dada representa gráficamente una superficie cilíndrica, basta con identificar que en la ecuación solo están presentes dos variables; dicha ecuación representa la curva generadora que debe ser graficada en el plano que corresponda; para trazar las rectas generatrices, se debe identificar cuál es la variable que no está presente en la ecuación y las rectas generatrices deben ser paralelas a dicho eje coordenado.
generatriz Directriz
EJEMPLO 4: Trace la superficie representada por las ecuaciones:
a) b) c) Figura 7
Solución a) La gráfica es un cilindro cuya curva generadora (o directriz) es una circunferencia de radio 3, con centro en , en el plano , tal y como se muestra en la figura 8. Las generatrices del cilindro son paralelas al eje como se muestra en la figura 9.
Figura 9 Figura 8
b) La gráfica de la función es un cilindro cuya directriz es una parábola en el plano , como se muestra en la figura 11. Las generatrices del cilindro deben ser paralelas al eje , tal y como se muestra en la figura 10.
8
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Figura 11
c)
Figura 10
La gráfica de , representa un cilindro, cuya directriz se encuentra en el plano , como se muestra en la figura 12. Las generatrices son paralelas al eje . La figura 13 muestra la gráfica de dicho cilindro.
Figura 12
Figura 13
1.2.2
EJERCICIOS
Identifique la directriz y generatriz en cada una de las siguientes ecuaciones. Bosqueje su gr áfica en el espacio tridimensional. 1. 2. 3. 4. 5.
RESPUESTAS
1.
La directriz es la curva y la generatriz recta paralela al eje
2. La directriz es la curva que representa una elipse, y la generatriz recta paralela al eje
9
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3.
La directriz es la curva , y la generatriz recta paralela al eje
5.
La directriz es la curva , y la generatriz recta paralela al eje
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4. La directriz es la curva la generatriz recta paralela al eje
10
,y
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1.3
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SUPERFICIES CU DRICAS
1.3.1
INTRODUCCIÓN
Otra clase de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Se entienden como las gráficas tridimensionales de las secciones cónicas. Para realizar las gráficas de dichas superficies se requiere que el estudiante realice un repaso de cónicas.
DEFINICIÓN: Una superficie cuádrica en el espacio tridimensional superficie asociada a una ecuación de segundo grado en las variables
de coordenadas y , de la forma
es una
Las formas canónicas (generales) que se presentan a continuación son los seis tipos básicos de superficies cuádricas simétricas con respecto al eje , como resultado del uso de rotaciones y traslaciones apropiadas para llevar la ecuación anterior a cada una de las siguientes formas. Para realizar la gráfica de una superficie cuádrica es necesario determinar qué tipo de cónica se genera en cada uno de los planos . Una forma fácil es a través de la intersección de la superficie con planos paralelos a ; la curva de intersección de las dos superficies se denomina traza. Nota: Tenga en cuenta que puede verificar las gráficas de las superficies de los ejemplos e n un programa que le permita graficar en .
1.3.2
ELIPSOIDE
Tiene como ecuación general
Figura 14
Donde son números reales distintos de cero. Al realizar cortes con planos paralelos a los planos , las trazas son elipses. Si , entonces se tiene una esfera de radio . La figura 11 muestra un elipsoide cuyo eje mayor es el eje de longitud unidades y los ejes menores y de y unidades de longitud.
EJEMPLO 5: Clasifique, dibuje las trazas y realice la gráfica de la superficie
que tiene por ecuación
Solución La ecuación anterior es equivalente a la expresión
Figura 18
De la ecuación dada se puede determinar que es un elipsoide centrado en . Para esbozar la gráfica de la superficie es necesario hallar las trazas en cada uno de los planos coordenados. Para facilitar los cálculos, en este caso, a cada variable se le puede dar el valor de cero ya que el elipsoide está centrado en . Al realizar un corte con el plano la traza es una elipse en el plano
11
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cuya ecuación es
con centro en
, vértices en
como eje menor con 4 unidades de longitud y como eje mayor con 6 unidades de longitud. (Ver Figura 15)
Figura 15
Al realizar un corte con el plano
la traza es una elipse en el plano
que corresponde a una circunferencia de radio cuya ecuación es 2 unidades y centro en
. (Ver figura 16)
Figura 16
Al realizar un corte con el plano
cuya ecuación es ya
la traza es una elipse en el plano
con centro en
, vértices en
, como eje menor con 4 unidades de longitud como eje mayor y con 6 unidades de longitud. (Ver figura 17)
Figura 17
La Figura 18 muestra la gráfica del elipsoide cuyo eje mayor es con 6 unidades de longitud y ejes menores y con 4 unidades de longitud.
1.3.3
PARABOLOIDE ELÍPTICO
Tiene como ecuación general
Figura 19
Donde son números reales distintos de cero. Al realizar cortes con planos paralelos a los planos , parábolas y con cortes con planos paralelos al plano
12
las trazas son las trazas son
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elipses. Si el paraboloide está orientado hacia arriba y si está orientado hacia abajo. La variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide elíptico. La figura 19 muestra un paraboloide elíptico con , eje de simetría en y vértice en
EJEMPLO 6: Clasifique, dibuje las trazas y realice la gráfica de la
superficie que tiene por ecuación
Figura 20
Solución La ecuación se puede reescribir así
donde
, es decir,
el eje del paraboloide es y está orientado hacia arriba, ya que es la variable cuya potencia es uno; vértice en Para esbozar la gráfica de la superficie es necesario hallar las trazas en cada uno de los planos coordenados. Para ello se da algún valor a cada variable, con distinta de cero ya que si lo es, sería un punto. De acuerdo con lo anterior las trazas en general se pueden determinar así:
Al realizar un corte con el plano Figura 21
plano
cuya ecuación es que
tienen
con
, lo cual es equivalente a
centro
(√ )(√ )
Figura 22
,
vértices
en
. (Ver figura 20) con
las trazas son parábolas abren hacia arriba y tienen
Al realizar un corte con el plano con las trazas son parábolas en el plano cuya ecuación es ; abren hacia arriba y tienen vértice en . (Ver figura 22) La figura 23 muestra la gráfica del paraboloide elíptico.
1.3.4
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Tiene como ecuación general
Donde
Figura 23
en
Al realizar un corte con el plano en el plano cuya ecuación es vértice en . (Ver figura 21)
las trazas son elipses en el
son números reales distintos de cero.
Al realizar cortes con planos paralelos al plano , las trazas son hipérbolas. Al realizar cortes con planos paralelos a los planos y las trazas son parábolas. La variable elevada a la potencia 1, indica el eje del paraboloide hiperbólico.
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La figura 24 muestra un paraboloide hiperbólico. EJEMPLO 7: Clasifique y utilice las trazas para dibujar la superficie que
tiene por ecuación
(√ )(√ ) (√ )(√ )
Solución La ecuación representa un paraboloide hiperbólico. Al realizar un corte con el plano , las trazas son hipérbolas en el plano Figura 24
cuya ecuación es
, la
que tienen centro en
en
equivalente a
, eje transversal el eje
. En el caso de
en el plano
cual es
vértices
las trazas son hipérbolas
cuya ecuación es
, centro
el eje , vértices en diferentes valores para . (Ver figura 25)
, eje transversal
. La siguiente gráfica muestra
Figura 25
Al realizar un corte con el plano Figura 28
en el plano en
cuya ecuación es
con
las trazas son parábolas
y abren hacia abajo con vértice
. La figura 26 muestra diferentes valores para .
Figura 26
Al realizar un corte con el plano
en el plano en
cuya ecuación es
con
las trazas son parábolas
y abren hacia arriba con vértice
. La figura 27 muestra diferentes valores para .
14
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Figura 27
La figura 28 muestra el paraboloide hiperbólico.
1.3.5
CONO ELÍPTICO
Tiene como ecuación general
Al realizar cortes con planos paralelos al plano (excepto cuando el corte es con el mismo plano traza es un punto).
, las trazas son elipses ya que, en este caso, la
Figura 29
La traza es un punto cuando
Cuando el plano es paralelo a , las trazas son elipses Figura 30
Figura 33
Al realizar cortes con planos paralelos al plano (excepto cuando el corte es con el mismo plano trazas son rectas que se cortan).
Figura 34
Figura 31
15
, las trazas son hipérbolas , ya que, en este caso, las
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Al realizar un corte con un plano paralelo al plano , las trazas son hipérbolas (excepto cuando el corte es con el mismo plano , ya en este caso, las trazas son rectas que se cortan). El eje central del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. En el caso particular, según la ecuación general, el eje central del cono elíptico es , por tanto, la forma del cono es la que aparece en la Figura 29.
Figura 35
Figura 32
EJEMPLO 8
Identifique y grafique las trazas que se gene ran en cada uno de los planos . Realice el gráfico de la superficie. Figura 36
Solución La ecuación de la superficie represe nta un cono elíptico. Se empieza por escribir la ecuación de la forma e stándar o canónica
Para esbozar la gráfica de la superficie es necesario hallar las trazas en cada uno de los planos coordenados. Para ello se da algún valor a cada variable, distinta de cero, ya que cuando alguna de ellas es cero, se generan un punto, o rectas que se cortan en el origen, como se mostró anteriormente. que representa una hipérbola que abre Traza : en el eje (ver figura 33) Traza : , multiplicando ambas partes de la igualdad por se obtiene la ecuación que representa
una elipse con centro en Traza el eje
y radio mayor . (ver figura 34) , que representa una hipérbola que abre en
(ver figura 35)
Para realizar la gráfica del cono elíptico puede apoyarse en un programa graficador, reconociendo que tiene como eje central el eje (ya que esta es la que contiene el coeficiente negativo). Ver Figura 36.
16
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1.3.6 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Tiene como ecuación general
Con Al realizar un corte con un plano paralelo al plano (Ver figura 38) Figura 37
, las trazas son elipses.
Al realizar un corte con un plano paralelo al plano , las trazas son hipérbolas. De la misma forma, al realizar un corte con un plano paralelo al plano , las trazas son hipérbolas. (Ver figura 39 y 40)
El eje central del Hiperboloide de una hoja corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Por ejemplo, para la Figura 37, la ecuación que la represente debe tener el coeficiente de negativo.
EJEMPLO 9 Figura 38
Identifique y grafique las trazas que se gene ran en cada uno de los planos . Realice el gráfico de la superficie.
Solución La ecuación representa un hiperboloide de una hoja; para determinar el eje central y sus trazas, se debe escribir de la forma canónica o estándar, dividiendo en ambas partes de la igualdad por 4.
Figura 39
Una vez se tiene en la forma estándar, se determina que el eje central del hiperboloide de una hoja es el eje , ya que es la variable que tiene coeficiente negativo. Para esbozar la gráfica de la superficie es necesario hallar las trazas en cada uno de los planos coordenados. Para ello se da algún valor a cada variable, como se muestra: Figura 40
Traza
que representa una hipérbola cuyo eje
central es el eje . (Ver figura 41)
Figura 41
17
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Traza
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√
que representa una circunferencia con
centro
y radio
. (Ver figura 42)
Figura 44
Figura 42
Traza
que representa una hipérbola cuyo eje
central es el eje . (Ver figura 43)
Para realizar la gráfica de la superficie, puede apoyarse en un programa graficador y podrá comprobar que el Hiperboloide de una hoja es el de la Figura 44.
Figura 43
1.3.7 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Tiene como ecuación general
Figura 45
Con con valores distintos a los que estén en el intervalo Al realizar un corte con un plano paralelo a , teniendo que cuenta que dicho plano no debe tomar valores en dentro del intervalo , las trazas son elipses. Si toma el valor de o , la traza es un punto.
Las trazas que se generan cuando el corte se realiza con un plano paralelo a , son hipérbolas. De forma semejante se generan hipérbolas cuando el corte se realiza con planos paralelos a . (Ver figuras 47 y 48).
Figura 46
El eje del Hiperboloide de dos hojas corresponde a la variable cuyo coeficiente sea positivo. En la Figura 45 la ecuación que la representa debe tener negativo el coeficiente de la variable
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EJEMPLO 10
Identifique y grafique las trazas que se gene ran en cada uno de los planos y . Realice el gráfico de la superficie.
Solución Para determinar el eje central y sus trazas, se debe escribir de la forma canónica o estándar, dividiendo en ambas partes de la igualdad por -4. Figura 47
La ecuación representa un hiperboloide dos hojas. Una vez se tiene en la forma estándar, se determina que el eje central del hiperboloide de dos hojas es el eje , ya que es la variable que tiene coeficiente positivo. Traza
Figura 48
que representa una hipérbola cuyo eje
central es el eje .
Figura 49
Traza
√
; multiplicando ambas partes de la
igualdad por
, se obtiene:
circunferencia con centro
que representa una
y radio
Figura 52
Figura 50
Traza
que representa una hipérbola cuyo eje
central es el eje .
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Figura 51
Para realizar la gráfica de la superficie, puede apoyarse en un programa graficador y podrá comprobar que el Hiperboloide de dos hojas es el de la Figura 52.
1.3.8
EJERCICIOS
Para las ecuaciones siguientes, determinar las trazas, identificar la superficie y hacer un gráfico aproximado.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.
RESPUESTAS
1.
Trazas: Circunferencias, elipses Superficie: Elipsoide
2.
Trazas: Circunferencias, parábolas Superficie: Paraboloide elíptico
3.
Trazas: Circunferencias, parábolas Superficie: Paraboloide elíptico
4.
Trazas: parábolas, hipérbolas Superficie: Paraboloide hiperbólico
20
5.
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Trazas: elipses, hipérbolas
6.
Superficie: Cono elíptico
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Trazas: Elipses, hipérbolas Superficie: Hiperboloide de una hoja
7.
Trazas: Elipses, hipérbolas Superficie: Hiperboloide de dos hojas
8.
9.
Trazas: Elipses, hipérbolas Superficie: Hiperboloide de una hoja
10. Trazas: elipses, hipérbolas Superficie: Cono elíptico
21
Trazas: Elipses, hipérbolas Superficie: Hiperboloide de una hoja
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1.4
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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
En el curso de cálculo integral se estudió cómo hallar el área superficial y el volumen de algunas superficies de revolución. El objetivo ahora es encontrar la ecuación de la superficie.
Para este caso se va a considerar la función radio que tiene como representación gráfica una curva en el plano llamada curva generadora o directriz. Se determina un punto , se hace un corte con el plano cuya traza es una circunferencia de radio .
[]
Figura 53 Figura 54
Si la gráfica de una función radio se gira sobre uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las siguientes formas: Eje de rotación
Ecuación de la superficie de revolución
[[] ] []
Eje Eje Eje z
EJEMPLO 11 Determine una ecuación para la superficie de revolución Figura 55
Nota: La curva generadora o directriz de una superficie de revolución no es única.
formada al girar la gráfica Solución
en torno al eje .
*+
La curva generadora , función radio, está en el plano como se muestra en la figura 54, la figura 55 muestra la superficie que resulta al rotar la curva directriz en el eje . Al realizar un corte en el plano la traza, paralela al plano
, es una circunferencia de ecuación
equivalente a . En conclusión, la ecuación de la superficie de revolución es
22
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1.4.1 EJERCICIOS Determine la ecuación de la superficie de revolución que cumpla con cada una de las condiciones. Ecuación de la curva generadora o directriz 1. 2. 3. 4.
Eje de revolución Eje Eje Eje Eje
Halle una directriz y el eje de revolución para las siguientes superficies de revolución 5.
6.
7.
RESPUESTAS
1. 2. 3.
[] *+ *+ [] √ √
4. 5. Directriz: (Recuerde que la directriz NO es única, aquí solo una posible solución) Eje de revolución: 6. Directriz: (Recuerde que la directriz NO es única, aquí solo una posible solución) Eje de revolución: 7. Directriz: Eje de revolución:
(Recuerde que la directriz NO es única, aquí solo una posible solución)
1.5 EJERCICIOS DEL CAP TULO Identifique y dibuje la superficie. En caso de ser superficie cuádrica, realice las trazas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
23
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12. 13. 14. 15. 16.
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Encuentre la ecuación para las superficies obtenidas al rotar la curva. 17. 18.
alrededor del eje alrededor del eje
Halle una ecuación de una directriz, dada la ecuación de su superficie de revolución 19. 20. 21. Hallar la ecuación general y el punto centro de la esfera que tiene al segmento que une como uno de sus diámetros. 22. Determine y grafique la curva de intersección de las superficies 23. Determine y grafique la curva de intersección de las superficies .
y
y
24. Determine y grafique la curva de intersección de las superficies y 25. Determine y grafique la curva de intersección de las superficies y 26. Dibuje la superficie limitada por el plano , que se encuentra dentro del cilindro
RESPUESTAS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
Cilíndrica Plano Cilíndrica Plano Elipsoide Cilíndrica Hiperboloide de 1 hoja Elipsoide Cono elíptico Paraboloide hiperbólico Hiperboloide de 2 hojas Hiperboloide de 1 hoja Cono elíptico Paraboloide elíptico Elipsoide Esfera
√
19. Directriz: 20. Directriz: 21.
(Recuerde que la directriz NO es única, aquí solo una posible solución)
(Recuerde que la directriz NO es única, aquí solo una posible solución)
24
y
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22.
23.
24.
25.
26.
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1.6 EVALUACIÓN DEL CAPÍTULO 1. a. b. c. d. e. f.
Determine si cada proposición es falsa o verdadera justificando claramente su respuesta. Una esfera es un elipsoide Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hipérbolas 3 La ecuación en R representa un cilindro La superficie corresponde a una superficie cilíndrica La directriz de una superficie de revolución es única Todas las trazas del cono elíptico son hipérbolas
2.
Halle la ecuación para la superficie de revolución generada al girar la curva sólido generado
3.
Identifique y dibuje la superficie cuádrica, describa y grafique sus trazas.
4.
Describa y dibuje la superficie
26
en el eje . Grafique el
