Cara Menghitung Menghitung
Golden Ratio
Golden ratio bisa dihitung dengan cukup mudah. Mula-mula kita bisa memilih sembarang bilangan asli, kemudian lakukan langkah-langkah berikut: 1. Bagi angk angka a 1 dengan dengan angka angka yang kita kita punya. punya. 2. Tambahkan angka 1 terhadap terhadap hasil hasil pembagian pembagian tersebut. tersebut. 3. Ulangi Ulangi langka langkah h 1 dengan dengan angka angka baru baru dari langk langkah ah 2. Prses ini dilakukan terus-menerus sehingga nilai golden ratio bisa ratio bisa diperleh hingga se!umlah digit yang dibutuhkan. "ika kita pakai kalkulatr, kita bisa menghitung golden ratio dengan ratio dengan menekan #1$ x x %, %, #&%, #1%, #'% secara terusmenerus. (nthnya !ika kita mulai dengan x ' ' 2, beberapa langkahnya ditun!ukkan pada tabel berikut ini. x
1/ x x
2 1,5
Tambah 1 ),*&1'1,*
1$2'),*
1,666… 1$1,* ' ),+++
),+++ & 1 ' 1,+++
1,6
1$1,+++ ' ),+
),+ & 1 ' 1,+
1,625
1$1,+ ' ),+2*
),+2* & 1 ' 1,+2*
1,6154 1$1,+2* ' … ),+1*
),+1* & 1 ' 1,+1*
ita bisa lihat dari langkah-langkah tersebut hasil perhitungannya akan semakin dekat dengan nilai golden ratio yang sesungguhnya. /amun tentu sa!a ada bermacam algritma perhitungan yang lebih baik sehingga ribuan digit desimal dari golden ratio bisa ratio bisa diperleh dengan sangat cepat. 0alah satu cara paling praktis untuk menghitung golden ratio adalah ratio adalah menggunakan gambar persegi pan!ang yang memiliki perbandingan dalam golden ratio. ratio . angkahlangkahnya sebagai berikut: •
ambar bu!ursangkar yang pan!ang sisinya 1 4dalam satuan apapun5.
•
Tempatkan sebuah titik tepat di tengah salah satu sisinya.
•
ambar garis dari titik tersebut ke sebuah titik sudut 4pan!ang garisnya dengan demikian
5.
•
•
Putar garis tersebut sehinga berimpit dengan salah satu sisi lainnya dari bu!ursangkar yang kita gambar mula-mula. Bu!ursangkar kemudian dapat diperpan!ang men!adi sebuah persegi pan!ang yang memiliki golden ratio.
6ari gambar persegi pan!ang ini, kita bisa simpulkan bah7a nilai golden ratio dapat didekati leh
8kar * kira-kira nilainya 2,23+)+9 sehingga nilai golden ratio kira-kira 41&2,23+)+95$2 ' 3,23+)+9$2 ' 1,+19)3. 0alah satu siat unik golden ratio adalah bentuknya yang dapat dide;nisikan dalam dirinya sendiri:
atau kalau dinyatakan dalam angka: 1,+19)3 ' 1 & 1$1,+19)3 6engan siat ini, kita bisa memperleh pecahan yang berlan!ut secara tak hingga:
6ari sinilah siat bilangan irasinal muncul untuk golden ratio. Bahkan bisa dikatakan golden ratio ini merupakan bilangan irasinal yang paling irasinal karena bilangan ini tidak bisa didekati leh perbandingan bilangan rasinal 4tidak seperti < misalnya yang bisa didekati leh angka 22$=5.
Hubungan
Golden Ratio dengan
Deret Fibonacci
8da hubungan yang menarik antara golden ratio dengan deret >ibnacci. ita tahu bah7a deret >ibnacci diperleh dengan men!umlahkan dua bilangan terdekat untuk memperleh barisan bilangan berikutnya, seperti pada cnth berikut ini:
), 1, 1, 2, 3, *, 9, 13, 21, 3, /ah, hal yang menarik adalah, !ika kita ambil dua angka berturutan dalam deret >ibnacci, perbandingan kedua angka tersebut !ika dilakukan secara berurutan untuk angka-angka berikutnya akan sangat dekat dengan golden ratio. ?lustrasinya seperti pada tabel berikut:
A
B
B/A
2
3
1,*
3
*
1,+++++++++
*
9
1,+
9
13
1,+2*
233
1,+19)****+
233
3==
1,61!25"5 1#..
1
Perhatikan nilai akhir dari perbandingan dua angka dalam deret >ibnacci tersebut lama-lama mendekati nilai golden ratio. ita bahkan tidak perlu memulai perhitungan dengan angka 2 dan 3. Bisa sa!a kita memilih angka a7al 1@2 dan 1+ untuk membentuk deret >ibnacci 4sehingga diperleh barisan bilangan 1@2, 1+, 2)9, 22, 32, +*+, 1)99, 1=, 2932, *=+, =)9, 11@9, 1@3@2, 313=+, 5. Aasilnya seperti pada tabel berikut ini:
A
B
B/A
1@2
1+
).)9333333
1+
2)9
13
22
1.)=+@23)9
22
32
1.@29*=13
=)9
11@9
1.+1==1)*9
2)9
11@9 1@3@2
1#6115"54 …
7C 0eru sekali, bukanD 0ebenarnya masih banyak lagi hal-hal unik yang dapat ditemukan dari golden ratio. 0ilakan bisa kita cba eksplrasi sendiri.