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Propagación Propagación de ondas electromagnéticas electromagnéticas
7. Problemas resueltos
7.1. Enunciados Enunciados
propaga a 1) Una onda de radio presenta una longitud de onda 9 m cuando se propag por un medio no magnético con con una una perme permeabilidad abilidad eléctrica relativa r 9. Calculad la frecuencia de esta onda. Podéis utilizar la aproximación aproxi mación c 3 · 108 m/s.
2) Se necesita enviar un mensaje a un submarino que se encuentra a una profundidad de 120 m. Para que el submarino pueda recibir de manera correcta la señal, es necesario que la onda llegue a su destino con una intensidad que sea como mínimo un 1% de la que tiene cuando se emite (en otras palabras, la atenuación no puede superar el 99%). Determinad la frecuencia máxima que puede tener la onda para que el mensaje pueda ser leído. La conductividad del agua de mar es 4,8 1m1.
3) Una onda que se propaga por un medio con índi ce de refracción n1 incide sobre una interfaz con otro medio con índice n2 con un ángulo de incidencia 63,43° y se observa que no se produce ninguna onda reflejada. Se decide reorientar la interfaz de tal modo que se consigue que la onda incida en ella de manera perpendicular, y entonces se observa que sí que existe una onda reflejada. Determinad la intensidad de esta onda reflejada, expresada en términos relativos respecto a la intensidad de la onda incidente. ¿Cómo ha de ser la polarización de la onda incidente para que este ejemplo corresponda a un caso real?
4) Determinad las frecuencias de corte de los modos TE10, TE01 y TE11 para una guía de onda de sección rectangular de dimensiones a 1,5 cm y b 3,0 cm, suponiendo que:
a) en el interior de la guía está el vacío, b) en el interior de la guía hay un material no ferromagnético con n 1,50. características de los modos 110, 101 y 111 para 5) Determinad las frecuencias características una cavidad resonante con forma de paralelepípedo regular de dimensiones a 20 cm, b 25 cm y c 30 cm, suponiendo que:
a) en el interior de la guía está el vacío, b) en el interior de la guía hay un material no ferromagnético con n 1,50.
7.2.
Soluciones Soluciones
de una onda están relacionadas me1) La longitud de onda y la frecuencia f de diante la velocidad de propagación v . Lo vimos para una onda en general y para una onda electromagnética en particular:
· f v
(172)
a
Podéis ver la relación entre la longitud de onda y la frecuencia para una onda en general en el módulo “Ondas” y para una onda electromagnética en el módulo “Leyes de Maxwell”.
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Ya hemos visto que la velocidad de propagación de una onda electromagnética en un medio cualquiera (v ) se expresa en relación con la velocidad en el vacío (c ) mediante el concepto de índice de refracción ( n):
v
c n
(173)
Y, por otra parte, sabemos que el índice de refracción depende de la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica relativas ( r y r ) del material (13): n r r
(174)
Como se trata de un medio no magnético, la permeabilidad magnética se puede aproximar a r 1 y, por tanto, obtenemos: n r
(175)
Así pues, ya solo nos queda combinar la expresión (175) con la (173), y la (172):
f
c
r
(176)
Y como lo que queremos calcular es la frecuencia f :
f
c
r
(177)
Ya solo nos queda sustituir los valores del encunciado:
9 m r 9 c 3 · 108 m/s
(178)
3 108 f 11,1 MHz 9 9
(179)
Y obtenemos el resultado:
2) A diferencia del agua pura, que presenta una conductividad muy pequeña, el agua de mar presenta una conductividad relativamente alta ( 4,8 1m1) a causa de la elevada concentración de sales. Por tanto, se puede considerar, hasta cierto punto, como un medio conductor. Eso quiere decir que las ondas electromagnéticas que se propagan por el océano experimentan una atenuación significativa.
a
Podéis ver la expresión de la velocidad en un medio en relación con la velocidad en el vacío en el subapartado 1.2.1 de este módulo.
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Recordemos la expresión para la atenuación en función de la profundidad x que ya hemos visto (18) :
a
Podéis ver la atenuación en función de la profundidad en el subapartado 1.3.1 de este módulo.
x
I I 0e x
I e I 0
(180)
donde es la denominada profundidad de penetración. El enunciado nos dice que la señal emitida ha de ser capaz de llegar a una profundidad de x 120 m sin bajar del 1% de su valor inicial (es decir, sin que la atenuación supere el 99%). Eso quiere decir que: 120
1 e 100
(181)
A partir de aquí podemos deducir el valor de la profundidad de penetración () mínima necesaria para que la señal llegue correctamente, es decir, para que su intensidad no baje por debajo de este umbral del 1%. Lo hacemos sacando logaritmos a los dos lados de la ecuación:
1 120 100
ln
120 26,1 m ln 1 100
(182) (183)
Por otra parte, hemos visto también la relación entre la profundidad de penetración () y la frecuencia (f ) (19) : 1 f
(184)
1 f 2
(185)
Si aislamos la frecuencia (f ) tenemos:
Ya solo nos queda sustituir valores. La profundidad de penetración ( ) es la que hemos calculado en (183), la permeabilidad magnética es aproximadamente la del vacío, ya que el agua de mar es un medio no ferromagnético, y la conductividad eléctrica ( ) está indicada en el enunciado:
26,1 m 4 · 107 NA2 4,8 1m1
(186)
Podéis ver la relación entre la profundidad de penetración y la frecuencia en el subapartado 1.3.1 de este módulo.
a
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Por tanto, la frecuencia (f ) máxima posible es:
f
1 26,12 π 4π 10 7 4,8
77,7Hz
(187)
3) Antes de resolver el problema hemos de leer detenidamente el enunciado e identificar los datos relevantes:
a) Existe un ángulo ( 63,43°) para el que no hay onda reflejada. Este ángulo debe ser obligatoriamente el ángulo de Brewster correspondiente a la interfaz, dado que es el único ángulo para el que se puede producir este fenómeno. Por tanto, se debe satisfacer la ley de Brewster que ya hemos visto (113):
n tan63,43 2 n1
(188)
Podéis ver la ley de Brewster en el subapartado 3.2.4 de este módulo.
a
Dado que tenemos dos incógnitas, no podemos encontrar los valores exactos de n1 y n2, pero sí que podemos encontrar la relación entre ambos: n2 n1 tan 63,43° n2 2n1
tan 63,43° 2
(189)
b) La existencia de este ángulo de Brewster implica por fuerza que la onda incidente está polarizada con el campo eléctrico paralelo al plano de inciden-
cia, ya que es el único caso en el que puede haber una reflectancia R p 0. c) Cuando la onda incide sobre la interfaz de manera perpendicular, la expresión de la reflectancia R p, (144), se simplifica mediante:
i 0°
a
Recordad
t 0°
(190)
Y resulta:
2
n n2 R 1 n1 n2
(191)
Como antes, volvemos a tener dos incógnitas, pero podemos resolver la ecuación si aplicamos la relación (189). Así reduciremos la ecuación a una sola incógnita:
2
Podéis ver la reflectancia Rp = 0 en el subapartado 3.2.4 de este módulo. Podéis ver la reflectancia en caso de incidencia perpendicular en el subapartado 3.2.3 de este módulo.
2
n 2n1 n1 1 2 R 1 n 2 n 3 n 1 1 3 1
(192)
Los ángulos se miden respecto al plano de incidencia, que es perpendicular al plano de la interfaz. Por tanto, para incidencia perpendicular o normal, tenemos 0°.
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La intensidad de la onda reflejada se encuentra a partir de la reflectancia que acabamos de encontrar: I r 1 R I i 9
4) La frecuencia de corte de un modo TEmn en una guía de sección rectangular de dimensiones a y b se puede calcular a partir de la expresión (158): 2
m n f t b 2 a 1
2
(193)
En esta guía de onda, a 1,5 cm y b 3,0 cm.
a) Para el caso del vacío, hemos de utilizar 0 y 0. Modo TE10:
Recordad
f t
1 2 0 0
2
2
2
2
2
2
0 8,854 · 1012 C2/Nm2 4 · 107 N/A2
1 0 0,015 0,030 9,97 GHz
Modo TE01:
f t
1 2 0 0
0 1 0,015 0,030 4,98 GHz
Modo TE11:
f t
1 2 0 0
1 1 0,015 0,030 11,14 GHz
Recordad
Para un medio no ferromagnético, podemos aproximar:
b) Para un medio no ferromagnético con índice de refracción n 1,50, podemos utilizar:
n
r
r n2
· r n2 2,250
(194)
Modo TE10:
f t
1 2 2,25 0 0
2
2
1 0 0,015 0,030 6,64 GHz
Modo TE01:
f t
1 2 0 0
2
2
0 1 0,015 0,030 3,32 GHz
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Modo TE11:
f t
2
1 2 0 0
2
1 1 0,015 0,030 7,43 GHz
5) La frecuencia característica de un modo mnp en una cavidad resonante con forma de paralelepípedo de dimensiones a, b y c se puede calcular a partir de la expresión (170): 2
2
2
m n p b c 2 a 1
f mnp
(195)
En esta cavidad resonante, a 20 cm, b 25 cm y c 30 cm.
a) Para el caso del vacío, hemos de utilizar y . Modo 110:
Recordad
f 110
1 2 0 0
2
2
2
2
2
2
0 8,854 ·1012 C2/Nm2 4 · 107 N/A2
1 1 0 0,20 0,25 0,30 960 MHz
Modo 101:
f 110
1 0 1 0,20 0,25 0,30 901 MHz
1 2 0 0
Modo 111:
f 110
1 2 0 0
2
2
2
1 1 1 0,20 0,25 0,30 1.082 MHz
b) Para un medio no ferromagnético con índice de refracción n 1,50, pode-
Recordad
mos utilizar: Para un medio no ferromagnético, podemos aproximar:
· r n2 2,250
(196)
n
r
r n2
Modo 110:
1 f 110 2 2,25 0 0
2
2
2
2
2
2
1 1 0 0,20 0,25 0,30 640 MHz
Modo 101:
f 110
1 2 2,25 00
1 0 1 0,20 0,25 0,30 601 MHz
