Nombre del Alumno: Leal Pintor Daniel Alberto Serie: 1EM4A Nombre de Trabajo: Centros Instantáneos No. Trabajo: 4 Fecha de Entrega: 20 de Febrero de 2012
Centros Instantáneos Un centro instantáneo de velocidad se define como un punto común a dos cuerpos en movimiento plano que tiene la misma velocidad instantánea en cada cuerpo. Los centros instantáneos en ocasiones también se denominan centros o polos. Localización y Generalización Puesto que se requieren dos cuerpos o eslabones para crear un centro instantáneo (IC por sus siglas en inglés), se puede predecir con facilidad la cantidad de centros instantáneos que se puede esperar en cualquier conjunto de eslabones. La fórmula para la combinación de n cosas tomadas de r a la vez es: C=nn-1n-2⋯(n-r+1)r! 6.8a
Aquí r = 2 y se reduce a: C=nn-12 6.8b Por la ecuación 6.8b, se puede ver que un mecanismo de cuatro barras tiene 6 centros instantáneos, uno de seis tiene 15 y uno de ocho tiene 28. La figura 6-5 muestra un mecanismo de cuatro barras en una posición arbitraria. También muestra una gráfica lineal que es útil para rastrear los centros instantáneos encontrados. Esta gráfica partículas puede crearse al trazar un círculo en el cual se marcan tantos puntos como eslabones hay en cada ensamble. Luego se traza una línea entre los puntos que representan pares de eslabones cada vez que se encuentra un centro instantáneo. La gráfica lineal resultante es el conjunto de líneas que conectan puntos. No incluye el círculo, que se utilizó sólo para colocar los puntos. Esta gráfica en realidad es una solución geométrica de la ecuación 6.8b, puesto que la conexión de todos los puntos en pareas genera todas las combinaciones posibles tomadas de dos en dos. Algunos centros instantáneos son encontrados por inspección con sólo la definición del centro instantáneo. Observe en la figura 6.5a que cada una de las cuatro juntas de pasador satisface la definición. Claramente deben tener la misma velocidad en ambos eslabones en todo momento. Éstos han sido rotulados I 1, 2, I2, 3, I3, 4, I1, 4. El orden de los subíndices no importa. El centro instantáneo I 2, 1 es el mismo que I1, 2. Estos centros instantáneos de junta de pasador en ocasiones se denominan centros instantáneos permanentes, ya que permanecen en el mismo lugar en todas las posiciones del mecanismo. En, general, los centros instantáneos se moverán a nuevas ubicaciones conforme el mecanismo cambia de posición, de ahí el adjetivo instantáneo. En este ejemplo de mecanismo de cuatro barras existen dos centros de instantáneos más que deben ser encontrados. Ayudará utilizar el teorema de Aronhold-Kennedy también llamado regla de Kennedy, para localizarlos.
Teorema de Kennedy Tres cuerpos cualesquiera en movimiento plano tendrán exactamente tres centros instantáneos, y quedarán en la misma línea recta.
La primera parte de esta regla es simplemente el replanteamiento de la ecuación 6.8b con n=3. La segunda cláusula de esta regla es la más útil. Observe que esta regla no requiere que los tres cuerpos estén conectados de algún modo. Podemos utilizarla, junto con la gráfica lineal, para encontrar los centros instantáneos restantes que no son obvios en la inspección. La figura 6.5b muestra la construcción necesaria para localizar el centro instantáneo I 1, 3. La figura 6.5c muestra la construcción necesaria para localizar el centro instantáneo I2, 4. El ejemplo siguiente describe el procedimiento detallado. Ejemplo Dado un mecanismo de cuatro barras en una posición, encuentre todos los centros instantáneos mediante métodos gráficos. 1. Dibuje un círculo con todos los eslabones numerados alrededor de la circunferencia como se muestra en la figura 6.5a. 2. Localices tantos centros instantáneos como sea posible por inspección. Todas las juntas de pasador serán centros instantáneos permanentes. Conecte los números de los eslabones en el círculo para crear una gráfica lineal y registre los centros instantáneos encontrados, como se ilustra en la figura 6.5a. 3. Identifique una combinación de eslabones en la gráfica lineal para la cual el centro instantáneo no haya sido encontrado, y trace una línea punteada que conecte esos dos números de eslabón. Identifique dos triángulos en la gráfica que contengan la línea punteada. Esta línea forma un triángulo con lados 13, 34, 14 y otro con lados 13 ,23 12. Estos triángulos definen tríos de centro instantáneos que obedecen la regla de Kennedy. Por lo tanto, los centros instantáneos 13, 34 y 14 deben quedar en la misma línea recta. Además, los centros instantáneos 13,23 y 12 quedarán en una línea recta diferente. 4. En el diagrama del mecanismo, trace una línea por los dos centros instantáneos conocidos que forman un trío con el centro instantáneo desconocido. Repita para el otro trío. En la figura 6.5b se trazó una línea por I1, 2 e I2, 3 y se prolongó I1, 3 debe quedar en esta línea. Se trazó otra por I1, 4 e I3, 4 y se prolongó para intersectar la primera línea . Según la ley de Kennedy, el centro instantáneo I1, 3 debe quedar también en esta línea, de modo que su intersección es I 1, 3. 5. Conecte los números de eslabón 2 y 4 con una línea punteada en la gráfica lineal como se muestra en la figura 6.5c. Esta línea forma un triángulo con lados 24, 23, 34 y otro con lados 24, 12 14 deben quedar en una línea recta diferente. 6. En el diagrama del mecanismo, trace una línea por los dos centros instantáneos conocidos que forman un trío con el centro instantáneo desconocido. Repita para el otro trío. En la figura 6.5c, se trazó una línea por I1, 2 e I1, 4 y se prolongó I2, 4 debe quedar en esta línea. Se trazó otra línea por I2, 3 e I3, 4 y se prolongó hasta cortar la primera. Según la regla
de Kennedy, el centro instantáneo I2, 4 también debe quedar en esta línea, de modo que su intersección es I 2, 4. 7. Si existieran más eslabones, se repetiría este procedimiento hasta que se encontraran todos los centros instantáneos.
6.5a
6.5b
6.5c
Método Circular para la Localización de Centros Instantáneos Cuando un mecanismo tiene seis eslabones, son quince el número de centros instantáneos a localizar. Entonces es aconsejable tener un método sistemático para tabular el progreso y para que ayude en la determinación. Esto se puede complementar por medio de un diagrama circular o por el uso de tablas. Sedan los dos métodos y se ilustran con un ejemplo.
a) Diagrama circular. Un diagrama de la forma mostrada en la figura 4.3b, nos es útil para encontrar centros instantáneos, puesto que nos da una visualización del orden en que los centros se pueden localizar por el método del teorema de Kennedy y también, en cualquier estado del procedimiento, muestra que centros faltan por encontrarse. El diagrama circular será útil para encontrar los centros en el mecanismo de seis eslabones de la figura 4.3a. El siguiente procedimiento se emplea para localizarlos.
Figura 4.3 Diagrama circular
Trazamos un círculo como el de la Fig. 4.3b y marcamos los puntos 1, 2, 3, 4,5 y 6 alrededor de la circunferencia, representando los seis eslabones del mecanismo. Conforme se van localizando lo centros, trazamos líneas uniendo los puntos de los números correspondientes en este diagrama.
De este modo, la línea tendrá línea uniendo todos los pares de puntos; cuando todos los centros instantáneos hayan sido determinados. Los números en las líneas, indican la secuencia en que fueron trazados, para facilitar su cotejo. En un estado del procedimiento (después de que se han encontrado 10 centros) el diagrama aparecería como lo muestra la Fig. 4.3b. Inspeccionando los diagramas c) notamos que uniendo 4-6 cerramos dos triángulos 4-6-5 y 4-6-1 ya que éste es el caso, localizamos el centro instantáneo O46 en la intersección de O41 O61 y O45 O56. Si en lugar hubiéramos trazado 6-2, solamente un triangulo es decir, el 6-2-1, se habría formado; por esto, el centro O62 no se podría encontrar en este estado; no obstante, su puede encontrar después de que se ha tazado O25 (línea 1-4). Por lo consiguiente, la línea 6-2 se numera 15. El procedimiento es el mismo para los puntos restantes. Si cada línea se puntea primero, mientras se está localizando el centro y después, cuando se ha encontrado, se repasa haciéndola una línea sólida, se evitan lo errores. La Fig. 4.3a muestra la localización de todos los centros instantáneos y la Fig. 4.3c el diagrama circular terminado.
