Chapitre II Etude de l’asservissement de vitesse de la machine à courant continu.
CHAPITRE II
ETUDE DE L’ASSERVISSEMENT DE VITESSE DE LA MACHINE A COURANT CONTINU
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Chapitre II Etude de l’asservissement de vitesse de la machine à courant continu.
Introduction : Dans ce chapitre, on va présenter en détail une méthode, basée sur le lieu de racines, pour la synthèse de la boucle de commande d’une machine à courant continu à excitation séparée. Après, on terminera ce chapitre par une présentation des résultats de simulation par SIMULINK d’un système de régulation en vitesse d’un moteur à courant continu. Ce système est une maquette de régulation didactique qui se trouve dans laboratoire des machines électriques de Guelma.
II .1 Présentation globale du système à régler La figure suivante, figure III.1, représente le système qu’on va régler. Il contient un moteur à courant continu à excitation séparée alimenté par un pont redresseur. Sur le même arbre du moteur il y a une génératrice tachymétrique qui permet la mesure de la vitesse de rotation.
≈ Ua
GT
MCC
= Commande rapprochée
Vitesse mesurée par la GT
Figure II.1 structure du système à régler Pour commander ce système, réglage de la vitesse du moteur, il est impératif de connaître le modèle de chaque bloc. Le modèle de la machine à courant continu dans le domaine de LAPLACE est donné par l’équation suivante:
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Ω(p)=G1(p).Ua(p) - G2(p).Cr(p)
(II-1)
Avec: G1 ( P ) =
Ω( P ) K = U a ( P ) ( JP + f )( La P + Ra ) + K 2
(II-2)
G2 ( P) =
( La P + R a ) Ω( P ) = C r ( P ) ( JP + f )( La P + Ra ) + K 2
(II-3)
Où : •
Ua : tension de l’induit (entrée de commande du système).
•
Cr : couple de charge (considéré comme une perturbation dans notre cas).
Ce modèle on peut le représenter par le schéma bloc suivant :
Cr
G2
_
Ω
+
Ua
G1 MCC
Figure II.2 Schéma bloc de la MCC à excitation séparée Pour
le
modèle du redresseur et de la génératrice tachymétrique, nous avons négligé leurs dynamiques. En effet, les retards provoqués par ces composants sont négligeables devant la dynamique du moteur. Pour cela, nous les avons modélisés par des gains constants qui représentent l’amplification réelle provoquée par chaque élément. Ces gins sont les suivant: •
Pour le redresseur : KRD=22. (le redresseur il multiplie par 22) 12
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•
Pour la GT : KGT=1/1000. (la GT elle divise par 1000)
Après la détermination des modèles approchés de tous les éléments du système à régler, on passera maintenant à l’étude de la boucle de régulation de la vitesse. II .2 Système avec boucle de régulation de la vitesse Pour régler la vitesse du moteur à une consigne de référence quelle que soit les perturbations extérieurs, représentées dans notre cas par le couple de charge Cr, on doit réaliser une boucle d’asservissement en vitesse comme le montre la figure suivante :
≈ Ua
MCC
GT
= Commande rapprochée
Vitesse mesurée par la GT
Ωm
_
PI
+
Ω*
Vitesse de référence
Figure II.3 système de commande en vitesse d’une MCC Remarque :
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Dans la pratique, il est préférable de rajouter une autre boucle d’asservissement de courant d’induit à l’intérieur de la boucle de vitesse. En effet, cette deuxième boucle a pour avantage : •
Limiter beaucoup plus l’influence des perturbations (chose prouvée quand on met plusieurs boucles en cascades).
•
Augmenter la dynamique de la partie électrique de la machine tout en contrôlant le courant d’induit, ce qui permet d’aller vers des dynamiques élevées dans la boucle de vitesse.
II .3 Synthèse du correcteur de la boucle de vitesse Dans cette partie, on va déterminer les paramètres du correcteur PI de la boucle pour améliorer les performances globale du système, surtout : • L’amélioration de la dynamique de réponse en vitesse. • Rejeter toutes les perturbations extérieures et régler la vitesse à sa référence à chaque instant. Pour cette synthèse, on s’intéressera uniquement à la fonction de transfert G1(p) entre la vitesse et la tension d’induit Ua (par ce que, c’est la seule entrée accessible pour faire régler la vitesse). Par contre, il faut étudier l’influence de Cr via la fonction de transfert G2(p) sur la vitesse. En effet, cette influence, il faut quelle soit la plus minimale possible. Donc, l’écriture sous forme de BODE de G1(p) donne : G1 =
k Ra f + ( Ra J + La f ) p + La Jp 2 + k 2
k Ra f + k 2 = Ra f La J J L 1+ ( + a )p +( ) p2 2 2 Ra f + k f Ra Ra f + k
On note :
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(II-4)
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f
f
= = Ra f µ =( ) f eff k2 2 f + Ra f + k Ra
f
f eff
: Frottement mécanique, : Frottement électromagnétique
La = te Ra J = t mi f
: Constante du temps électrique ;
: Constante du temps mécanique intrinsèque.
k = g0 Ra f + k 2
: Gain statique.
µ.t mi = t mec
Donc : G1 =
1 + (t mec
g0 + µt e ) + (t e t mec ) p 2
(II-5)
On remarque que cette fonction de transfert a deux pôles (deux racines dans le dénominateur). Ces deux racines sont généralement des réelles négatives, par ce que une machine bien construite elle n’oscille pas (donc pas de pôle complexes). Pour cela, on peut écrire G1(p) par cette équation : G1 =
g0 (1 + T1 p )(1 + T2 p )
(II-6)
Avec : T1 et T2 : Constantes du temps qui caractérisant la dynamique de la machine. Pour la fonction G2(p), on trouve après développement:
G2 = G1
Ra + La p g0 R + La p = . a k (1 + T1 p )(1 + T2 p ) k
Donc : G2 = g 0 '
Avec : g 0 ' = g 0
(1 + t e p) (1 + T1 p)(1 + T2 p )
(II-7)
Ra k
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Le schéma bloc de la régulation de vitesse de la machine est donné par la figure (II-4) :
Cr Ω* KGT
+
PI
-
Ua*
KRD Redresseur
_
G2
Ω
+
G1
MCC
KGT Génératrice tachymétrique
Figure II.4 schéma bloc du système de commande Le correcteur PI est donné par sa fonction de transfert suivante :
PI ( P ) = K p
(1 + Ti p ) p
(II-8)
Avec : Kp et Ti : paramètres du correcteur PID à déterminer par une méthode de synthèse des régulateurs. 16
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Dans notre cas on va utiliser la méthode du lieu de racine pour déterminer les paramètres du correcteur PID. Pour cela, on commence par chercher la fonction de transfert du système en boucle fermée :
G1B F =
K .P I( P).K RD.G1 ( P) Ω = GT Ω * 1 + K G T .P I( P).K RD.G1 ( P)
G1BF
(Ti P + 1) g0 .K RD . P (T1 P + 1)(T2 P + 1) = (T P + 1) g0 1+ K p i .K RD . .K GT P (T1 P + 1)(T2 P + 1)
⇒
G1BF
(Ti P + 1) P (T1 P + 1)(T2 P + 1) = (Ti P + 1) 1 + K GT .K p .K RD .g 0 P (T1 P + 1)(T2 P + 1)
⇒
G1BF =
(II-9)
K GT .K p
⇒
K GT .K p .K RD .g 0
⇒
G1BF =
K GT .K p .K RD .g 0 .(Ti P +1) P (T1 P +1)(T2 P +1) + K GT .K p .K RD .g 0 .(Ti P +1)
K p .N ( P )
(II-10)
D ( P ) + K p .N ( P )
Avec: N ( P ) = K RD .g 0 .K GT .( Ti P +1) D ( P ) = P (T1 P +1)( T2 P +1)
D’après l’équation (II-10), on remarque que la dynamique de la fonction de transfert en boucle fermée (son dénominateur) dépond de N(P), D(P) et du gain de réglage Kp. En effet, si on trace le lieu de racines de G1BF en fonction de Kp , on trouvera que ces racines vont varier entre les racines de D(p), quand K p =0, et les racines de N(P), quand Kp tend vers l’infini.
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Pour étudier l’influence du correcteur sur la fonction de transfert en boucle fermée G1BF, on tracera le lieu de racines de G1BF pour plusieurs types de correcteur.
1. Cas du correcteur proportionnel :
Le schéma bloc de la régulation de vitesse de la machine est donné par la Figure II.5. Cr
KGT
+
-
G2
Ua*
P
KRD
G1
_
Ω
+ MCC
Redresseur
KGT _Figure II.5 action proportionnel_
C’est le cas le plus simple où le correcteur est égal à un gain K p. La figure (II-6) représente le lieu de racines, variation des pôles, de G1BF.
Imaginaire
Réel
M -
-
Figure II.6 Lieu de racines de G1BF (variation des pôles de G1BF en fonction de Kp )
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Remarque : On a supposé dans la figure que T1 < T2 . D’après cette figure, on voit bien que l’augmentation de Kp déplace le pôle dominant vers la gauche, ce qui rend le système plus rapide mais on risque de le rendre oscillant si les pôles dépassent le point M. cependant ce simple correcteur ne permet pas de rejeter complètement les perturbations puisque il n’a pas un pôle à l’origine. Remarque : La présence d’un pôle à l’origine dans la chaine directe élimine les perturbations dans le régime permanent (quand P = 0). Puisque ce pôle il apparaît dans le numérateur de la fonction de transfert G2BF de Cr en boucle fermée. Donc quand : P=0
→
G2BF =0
Cas du correcteur intégral : Le schéma bloc de la régulation de vitesse de la machine est donné par la Figure II.7. Cr
KGT
+
-
I
G2
Ua* KRD
G1
_ + MCC
Redresseur
KGT _Figure II.7 action intégral_
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Ω
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Imaginaire
Réel
M 0 -
-
Figure II.6 Lieu de racines de G1BF avec un correcteur = Ti/P . D’après cette figure, on voit bien que ce correcteur rajoute un pôle à l’origine ce qui permet de d’éliminer les perturbations de la charge, mais il diminue la dynamique du système par rapport au cas en boucle ouverte (il déplace le pôle dominant vers la droite jusqu’au point M). 3.Cas du correcteur dérivée : Le schéma bloc de la régulation de vitesse de la machine est donné par la Figure II.8. Cr
KGT
+
-
D
G2
Ua* KRD
G1
_ + MCC
Redresseur
KGT _Figure II.8 action dérivée_
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Ω
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4.Cas du correcteur proportionnel intégral PD : C(p) = 1+ τd . P
Les effets principale avance de phase :
׀C (jw)׀ 3db 0
0
90
׀C (jw)׀ 0
45
X 1/τd
X 1/τd
0
w
w
1- le correcteur produit une avance de phase 0 à 900 , avec 450 pour w = 1/τd
cette avance de phase à pour résultat d’ augmenter la marge de phase . 2- il ne modifie pas la précision statique car 0 =1
τip.
3- il diminué le dépassement . 4- il amélioré la rapidité de la réponse pour : C(p) = 1+τdp.
ξc(p) = ξ(p)+τdp ξ(p).
le correcteur PD n’est en fait pas réalisable en composante passifs l’ongle degré N > degré D * on l’approche par un correcteur à avance de phase
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.
5 Cas du correcteur proportionnel intégral PID : * ona plisieure forme sont présenteés nous emploions la forme τdp. stendart : C(p)= 1+ τdp +1 / τip
= 1+
τip+ . τdp. Τip2 / τip.
* effet principaux : le diagramme de Bode :
1+ τip +.. τdp. Τip2 =(1+ τ1p.)(1+ τ2p.) . Ceci suppose que
τi2_ 4.
≥ 0 c'est-à-dire τi ≥ 4 τd .
C’est à le cas le plus fréquent, avec sa limite interéssante.
τi= 4 τd.. souvent utilisée comme point de départ du parametrage. _ par identification on obtient :
6.Cas du correcteur proportionnel intégral PI : Imaginaire Pôle et Zéro du correcteur M
Réel 0
-
-
Figure II.7 Lieu de racines de G1BF avec un correcteur :
PI ( P ) = K p
(1 + Ti p ) . p
D’après cette figure, on voit bien que le correcteur rajoute au système un pôle à 1
l’origine et un zéro - Ti . Le choix de : Ti =T2 élimine le pôle (1/T2) par le zéro (1/Ti) et rend la fonction de transfert G1BF équivalente à un système deuxième ordre. De plus, il permet de 22
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déplacer le point M beaucoup plus vers la gauche, donc on aura une bonne dynamique du système. Aussi, la présence du pôle à l’origine élimine les perturbations de la charge. Avec ce choix, (Ti =T2), G1BF devient :
G1BF =
K GT .K p .K RD .g 0 P (T1 P +1) + K GT .K p .K RD .g 0
⇒ G1BF =
K GT .K p .K RD .g 0 T1 P + P + K GT .K p .K RD .g 0 2
⇒ G1BF =
1 T1 1 P2 + P +1 K GT .K p .K RD .g 0 K GT .K p .K RD .g 0
(II-11)
En comparant cette équation avec la forme canonique du deuxième ordre : G1BF =
1 T P + 2ξTP + 1 2
(II-12)
2
Avec ξ : c’est le coefficient d’amortissement. On peut déterminer l’expression de Kp : La comparaison donne : Kp =
1 4.ξ .K RD .K GT .g 0
(II-13)
2
Pour déplacer les deux pôles ver le point M (pôle double) sur la figure (II-7), on remplace l’amortissement par 1 dans l’équation (II-13), (point correspondant à un amortissement unitaire). Le programme écrit par MATLAB qui permet de calculer le correcteur est le suivant : %*****paramètres de la machine à courant continu**** r=4.88; % résistance de l'induit l=0.0384; %inductance de l'induit f=0.0131; %coefficient de frottement j=0.0091; %moment d'inerti k=0.9533; %raoort entre le couple et le courant te=l/r; % constante du temps électrique
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tm=j/f; %constante du temps mécanique ao=k/(k^2+r*f); a=r*f/(k^2+r*f); p=roots([a*te*tm a*(te+tm) 1]); %calcul des poles des fct de % transfert p=abs(p); %entre la vitesse et (U et Cr) %*******commande avec une seule boucle de vitesse****** %****paramètres du PI avec PI= k(ti*p+1)/p **** xi=1; krd=22; kv=1/1000;
%amortissement égale à un. % modèle simplifié du redresseur sous forme de gain % capteur de vitesse simplifié à un gain
%****sorties******
ti=1/min(p) % choix de Ti égale à la plus grande constante du temps k=1/(kv*krd)*1/(4*xi^2*(1/(max(p)))*ao) % calcul de Kp
Le calcul des paramètres du correcteur nous a donné les valeurs suivantes : Ti = 0.0363
;
Kp = 1170
II .4 comparaison par simulation entre le système en boucle ouverte et en boucle fermée Le schéma bloc de la simulation du système en boucle ouverte et en boucle fermée est donné par la figure suivante : w
t Clock
Cr
T o Workspace
T o Workspace
Système en BO
1/1000
E
W*
22
S
w
u
Ia
MCC
redresseur
PI vitesse
Cr
Scope
Système en BF 1/1000 GT
140 120
Figure II.8 schéma bloc du système de réglage de la MCC Réalisé sous SIMULINK
100
vitesse (rad/s)
Le commutateur sur la figure sert pour basculer entre le système en BO ou en BF. 80 Les résultats de simulation pour les deuxdemodes de fonctionnement (en BO et Application la charge en BF) sont 60 donnés dans les figures (II-9) et (II-10). 40 20
Réponse Référence
0
24 -20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 1.2 temps (s)
1.4
1.6
1.8
2
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Figure II.9 Réponse du système en boucle ouverte pour une vitesse de référence de 1200 tr /min (125.67 rd/s) et une charge de 4 N.m appliquée à l’instant t =1 s. 140 120
vitesse (rad/s)
100
Application de la charge
80 60 40 20
Sortie Référence
0 -20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 temps
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figure II.10 Réponse du système en boucle fermée pour une vitesse de référence de 1200 tr /min (125.67 rd/s) et une charge de 4 N.m appliquée à l’instant t =1 s.
D’après ces résultats, on voit que la dynamique et la précision du système en boucle fermée sont meilleures par rapport celles de la boucle ouverte, mais l’amélioration la plus importante, quand on peut constater, est l’élimination efficace et rapide de la perturbation dans le cas du système bouclé. Ces résultats, montre que la méthode utilisée pour la synthèse du correcteur est très puissante et efficace, puisque elle nous permettre de voir et choisir graphiquement, par le lieu de racines, la dynamique du système en boucle fermée. Conclusion : 25
Chapitre II Etude de l’asservissement de vitesse de la machine à courant continu.
Dans ce chapitre nous avons essayé de régler la vitesse d’une machine à courant continu à excitation séparée. Pour cela, nous avons appliqué une méthode simple est efficace, basée sur le lieu de racines, pour de la synthèse du correcteur de la boucle de vitesse. Les résultats de simulation ont montré une nette amélioration des performances du système bouclé par rapport au système sans boucle de réglage.
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