*Mercedes Alexandra Villa Achupallas Febrero, 2011
Usando el método de los momentos, ajustar la distribución normal a la precipitación máxima anual en 24 horas de la estación Alhama-Alcaicería, de la Tabla del ejercicio 1. Graficar las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y distribución acumulada. Utilizar el test χ 2 para determinar si la distribución normal se ajusta adecuadamente adecuadamente a los datos. Año hidrológico 0/1 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/0
1950 55.3 47.3 63.6 77 133.4 35 71.5 135.4 121.8
1960 136.8 147.5 73.6 75 68 60.5 72.4 86.8 140 80.7
1970 95.5 66.7 81.5 121.5 90.5 92.5 88 107 107 93
Se determina la precipitación media: Ʃ=2624.80
mm x=
n= 29 datos
∑ n
=
2624.80 29
= 90.51mm
Calculo de la Desviación Estándar, en la tabla se presenta Año hidrológico 0/1 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/0 Ʃ
( x
i
−
x
)2
= 24695.33
1950 2239.77 1867.13 724.17 182.53 1839.52 3081.4 361.39 2015.08 979.04
1960 2142.73 3247.82 285.96 240.57 506.72 900.62 327.98 13.77 2449.23 96.24
( x
i
−
x
1970 44.9 566.93 81.19 960.36 0 3.96 6.3 271.91 271.91 6.2
)2
:
1 S= n − 1
2 − x) 1 (24695.33) S= 29 − 1 S = 29.70
∑ (x
1 2
i
Primero se divide el intervalo de de precipitación precipitación el último intervalo es
en 7 intervalos. El primero es
y los intervalos intermedios son cada 20, a
cada intervalo asigno un número de datos (n i) en base a la los datos del ejercicio: Rango (mm) ni
< 40
40-60
60-80
80-100
100-120
120-140
>160
1
2
9
8
2
6
1
Así también se determina la frecuencia relativa para cada intervalo, en base a la siguiente expresión:
fs ( x i ) Rango (mm) fs(xi)
=
< 40
40-60
60-80
0.034
0.069
0.310
ni n 80-100 100-120 120-140 0.276
0.069
0.207
>160 0.034
Partiendo de estos datos se determina la frecuencia acumulada: Rango (mm) Fs(xi)
< 40
40-60
60-80
0.034
0.103
0.414
Cálculo de la variable normal estándar
80-100 100-120 120-140 0.690
0.759
0.966
>160 1.000
corresponde al límite superior en cada
uno de los intervalos establecidos, mediante la siguiente expresión:
zi = Rango (mm) X Sup Zi
x sup − x s
< 40
40-60
60-80
80-100 100-120 120-140
>160
40
60
80
100
120
140
160
-1.701
-1.027
-0.354
0.320
0.993
1.666
2.340
Considerando los valores obtenidos en Z i, se determina la Probabilidad acumulada de la distribución normal estándar F (xi), en la tabla que se indica a continuación, continuación, para los Zi negativos, el valor de F(xi) corresponde a una diferencia entre la unidad (1) y el valor obtenido en la tabla, para Z i positivos, F(xi) corresponde a la lectura realizada en dicha tabla.
A continuación se resumen el cálculo de la Probabilidad acumulada de la distribución normal estándar F(xi) Rango (mm)
< 40
40-60
60-80
-1.701
-1.027
-0.354
0.320
0.993
1.666
2.340
Lect. tabla
0.955
0.849
0.637
0.626
0.839
0.952
1
F(xi)
0.045
0.152
0.363
0.626
0.839
0.952
1
Zi
80-100 100-120 120-140
>160
La función de probabilidad incremental p(xi) se calcula mediante una diferencia entre F(xi) del intervalo anterior y F(xi) del intervalo que se evalúa, de tal forma que: Rango (mm)
< 40
40-60
60-80
80-100 100-120 120-140
>160
F(xi)
0.045
0.152
0.363
0.626
0.839
0.952
1
p (xi)
0.045
0.107
0.212
0.262
0.213
0.114
0.048
Finalmente, Finalmente, se determina, el valor del CHI CUADRADO:
m= número de intervalos 2
Intervalo i
Rango (mm)
ni
fs (xi)
Fs(xi)
zi
F(xi)
p (xi)
Xc
1
< 40
1
0.03
0.03
-1.70
0.96
0.04
0.07
2
40-60
2
0.07
0.10
-1.03
0.85
0.11
0.39
3
60-80
9
0.31
0.41
-0.35
0.64
0.21
1.33
4
80-100
8
0.28
0.69
0.32
0.63
0.26
0.02
5
100-120
2
0.07
0.76
0.99
0.84
0.21
2.83
6
120-140
6
0.21
0.97
1.67
0.95
0.11
2.29
7
>160
1
0.03
1.00
2.34
1.00
0.05
0.12
Ʃ=
29
1.00
1.00
7.05
A continuación se grafica la “Frecuencia Relativa” de la muestra “ fs ajustada “p (xi)”, y la precipitación máxima anual en 24horas.
(xi)”y
Función de Frecuencia Relativa 0.35 0.3 a 0.25 v i t a l e 0.2 R a i c n e 0.15 u c e r F 0.1
fs (xi) p (xi)
0.05 0 < 40
40-60
60-80
80-100
100-120
120-140
Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)
>140
la
Así también se presentan las distribuciones de probabilidad acumulada de la muestra “Fs (xi)”y la ajustada “F (xi)”.
Función de Frecuencia Acumulada 1.2 1 a d a l u 0.8 m u c A 0.6 a i c n e 0.4 u c e r F 0.2
F (xi) Fs(xi)
0 < 40
40-60
60-80
80-100 100-120 120-140
> 1 40
Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)
El valor de
2
X v ,1
α
−
v=
para una probabilidad acumulada de 1-a=0.95 y
−
−1 m= número de intervalos p= número de parámetros utilizados en el ajuste
v = 7 − 2 −1 v = 4 grados de libertad de tal forma que: 2 X 2v,1− = X 4;0.95 α
Y de acuerdo a la siguiente tabla:
2 2 De la tabla anterior, se obtiene que 4.0.95 = 9.49 es mayor que = 7.05, por lo tanto el ajuste de la distribución normal a la información de precipitación máxima anual se ACEPTA.
