22-5-2014
CIFRAS SIGNIFICATIVAS REGLAS DE REDONDEO Y OPERACIONES ARITMÉTICAS
FACULTAD: FIMGM CURSO: FISICOQUÍMICA ALUMNO: MORALES SOLÍS Cristian DOCENTE: YUPANQUI TORRES, Edson
CONTENIDO CONTENIDO .........................................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................2 CIFRAS SIGNIFICATIVAS........................................................................................................................3 REGLAS DE REDONDEO........................................................................................................................5 OPERACIONES ARITMÉTICAS ...............................................................................................................6 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................9 ANEXO ............................................................................................................................................... 10
INTRODUCCIÓN El correcto empleo y operación con los números es importante para toda persona dedicada al manejo de ellos, ya que representan el de las ciencias experimentales y además, las normas que los rigen son de carácter genérico, es decir, en todas partes del orbe son las mismas. A continuación, se verá en primera instancia, la definición y el correcto empleo de las cifras significativas; seguidamente, se apreciará la relación entre ellas y la notación científica. En segundo lugar, se mostrarán las reglas de redondeo importantes para el cálculo de cantidades con ciertas cifras significativas requeridas. Por último, se detallarán las reglas de las operaciones entre los números; en otros términos, la suma, resta, multiplicación y división entre cantidades, para una adecuada y correcta representación de los resultados que se quieren obtener. Se espera que el presente trabajo sirva para esclarecer ciertas dudas y también para consultas posteriores al momento de realizar trabajos que impliquen el manejo de cantidades numéricas en el curso y también, en otras materias experimentales.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas se definen como los dígitos necesarios para expresar los resultados obtenidos en cualquier grado de exactitud que pueda ser esperad o de la precisión de la medición utilizada. (Vogel, 1960) Una cifra significativa es un dígito que denota el valor de una cantidad, en el lugar en que se encuentra en el número. Además, las cifras significativas expresan la incertidumbre en la medición realizada, por esto, el último dígito obtenido en la medición es incierto y los demás, correctos. (Young, y otros, 2009) El cero es una cifra significativa, excepto cuando está al principio de un número.
Se realizó la siguiente pesada de un reactivo en una balanza analítica:
En las siguientes cantidades: 14,3690 g 1,0032 g 0,0064 g 0,0058 Kg
Los ceros son cifras significativas Los ceros no son cifras significativas
La diferencia entre dos o más mediciones de una misma magnitud recibe el nombre de .Eldígitoinciertorepresentaelvalordeestaincertidumbre;además,sesabeque dosvaloresconelmismonúmerodecifrassignificativaspuedentenerdiferenteincertidumbre, porejemplo:(Jewett, y otros, 2005)
0,75mltienetrescifrassignificativasylaincertidumbreesde0,01ml. 137Kmtienetrescifrassignificativasylaincertidumbreesde1Km.
Al trabajar con números muy grandes se emplea la , llamada también notación de potencias de 10, para una mejor comprensión véase el siguiente ejemplo:
La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 384 000 000 m, pero esta forma del número no da idea de cuantas cifras significativas tiene. En lugar de ello, se mueve el punto decimal ocho lugares a la izquierda (que equivale a dividir entre 108) y se multiplica por 108. Es decir: 384 000 000 m = 3,84 x 108 m En esta forma, es evidente que se tiene tres cifras significativas. El numero 4.00 x 1027 también tiene tres cifras significativas, aunque dos de ellas sean ceros. En notación científica, se acostumbra expresar la cantidad como un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia adecuada de 10. (Chang, 2002)
REGLAS DE REDONDEO Para efectuar cálculos con números aproximados hay reglas que deben ser perfectamente conocidas y aplicadas, las más importantes son expuestas a continuación (Vogel, 1960): I.
II.
III.
Retener en un resultado o en un dato, tantas cifras significativas como para tener solo la última cifra insegura. Así, si se sabe que un volumen se encuentra entre 15,7 ml y 15,9 ml, se debe escribir 15,8 ml, pero no 15,80, pues, así, significaría que el valor exacto se encuentra entre 15,79 ml y 15,81 ml. Si la masa de un cuerpo, con la aproximación de 0,1 mg es 7,5800 g, no se debe escribir, 7,580 g ni 7,58 g, pues, significaría que la aproximación es de 1 mg y de 1 cg respectivamente. Al redondear el valor de una cantidad, a un número correcto de cifras significativas, se suma 1 a la última cifra que se retiene, si la cifra siguiente, que se ha suprimido, es mayor o igual que 5; en caso contrario no se la altera. Por ejemplo, si se quiere redondear 0,54786 a 4 cifras significativas, el resultado sería 0,5479; en cambio, si se quiere hacer lo mismo con 0,54783, se obtiene 0,5478.
OPERACIONES ARITMÉTICAS Al igual que las reglas de redondeo, se tiene también reglas al momento de operar cantidades, las cuales son: I.
En la suma o resta, deben figurar todos los números con la misma aproximación, que es la que tiene el valor de mayor error absoluto1. Por esto, la respuesta no puede tener más cifras significativas a la derecha del punto decimal (más exactitud) que los números originales aproximados. (Vogel, 1960) Véase los siguientes ejemplos: Sumar 175,43 + 8,124 + 0,7815 Solución El número que tiene mayor error absoluto es 175,43 por eso, los demás deben tener la misma aproximación. Así: 8,124 8,12 0,7815 0,78 Ahora, operando se tiene: 175,43 + 8,12 + 0,78 = 184,33 Restar 12,553 – 4,8731 Solución De igual manera que el ejercicio anterior: 4,8731 4,873 12,553 – 4,873 = 7,680 Operar 10,478 – (5,94 + 2,6667) Solución De manera similar que los ejercicios anteriores: 10,478 10,48 2,6667 2,67 10,48 – (5,94 + 2,67) = 1,87 Para sumar o restar números expresados en notación científica se procede de la siguiente manera (Chang, 2002): En primer lugar se escribe cada cantidad con el mismo exponente n (potencias del 10) y luego, se suman o restan las cantidades que en caso de no tener el mismo error absoluto, se debe proceder como en el caso anterior. Véase el ejemplo a continuación: Sumar 2,64 x 103 cm + 3,27 x 102 cm Solución Primero, se expresa 3,27 x 102 cm como 0,327 x 10 3 cm; seguidamente, se observa que 2,64 x 103 tiene el mayor error absoluto por esto, se debe redondear a tres cifras significativas 0,327 x 103 obteniéndose, 0,33 x 103. Seguidamente, se suman los números: 2,64 x 103 cm + 0,33 x 10 3 cm = 2,97 x 103 cm
II.
1
Ver Anexo
III.
En la multiplicación o división deben figurar los números, con una cifra significativa más que las que tiene el número con menos cifras significativas. El error relativo2 de un producto o de un cociente es igual a la suma de los errores relativos de los números que en él intervienen. (Vogel, 1960) Para una mejor comprensión se muestra un ejemplo a continuación: Multiplicar 2,47 x 3,454 x 0,8562 x 11,6337 Solución El resultado de la operación debe darse con tres cifras significativas ya que ese es el menor número con menor cantidad de cifras significativas; pero los demás números deben poseer 4 cifras significativas, para lo cual deben ser redondeadas. Así: 3,454 3,454 0,8562 0,8562 11,6337 11,63 Ahora, operando se tiene: 2,47 x 3,454 x 0,8562 x 11,63 = 84,9521207 Este resultado debe ser redondeado a 3 cifras significativas 84,9521207 85,0 Entonces: 2,47 x 3,454 x 0,8562 x 11,63 = 85,0 Dividir 2,645 / 0,51 Solución Se procede de manera similar al ejemplo anterior. Entonces: 2,645 2,65 Al operar, se obtiene: 2,65 / 0,51 = 5,19607843 A este resultado se le debe redondear a 2 cifras significativas 5,19607843 5,2 Por eso: 2,65 / 0,51 = 5,2 Operar 7,777 / (8,542 x 3,045) Solución En este caso, como todos los números tiene 4 cifras significativas, la manera de proceder es la siguiente: Se operan con todas las cifras significativas que poseen y el resultado tambie n se expresa con 4 cifras significativas 7,777 / (8,542 x 3,045) = 0,2989959 Redondeando a 4 cifras significativas, se tiene: 0,2989959 0,2990 De ahí: 7,777 / (8,542 x 3,045) = 0,2990 Para multiplicar números expresados en notación científica, se multiplican los números como se acostumbra (Regla III), pero los exponentes n (potencias del 10) se suman. Para
IV.
2
Ver Anexo
dividir cantidades, los números se dividen y los exponentes se restan. El siguiente ejemplo expresa mejor lo expuesto. (Chang, 2002) Multiplicar (2,645 x 104) x (5,1 x 10 2) Solución Se reordenan los números así: (2,645 x 5,1) x (104 x 102) 2,645 2,65 (2,65 x 5,1) x (104+2) 13,515 x 106 13,515 13 Entonces: (2,645 x 104) x (5,1 x 102) = 13 x 10 6 Debe tenerse presente que los númerosexactos, obtenidos por definición o al contar varios objetos, pueden considerarse formados por un número infinito de cifras significativas. Si un objeto tiene una masa de 0,3457 g, entonces la masa de ocho de tales objetos será: 0,3457 g x 8 = 2,766 g
V.
Este producto no se redondea a una cifra significativa porque el número 8 es 8,00000…
por definición. Deigual manera, para calcular el promedio de dos longitudes medidas, 7,45 cm y 7,48 cm, se escribe: 7,45 cm + 7,48 cm 2
= 7,47 cm
Porque el número 2 es en realidad 2,00000… por definición. (Chang, 2002)
BIBLIOGRAFÍA QÚIMICAlacienciacentral.Decimoprimera ed. México D.F : Pearson Educación, 2009. ISBN: 978-607-442-021-0. Química.Séptima ed. México D.F : Mc Graw Hill, 2002. ISBN: 970-103894-0. Físicaparacienciaseingeniería.Sexta ed. México DF : Thomson, 2005. págs. 111-123. Vol. I. ISBN: 970-686-423-7. QUÍMICAGENERAL.Quinta ed. México D.F : Prentice Hall, 2009. ISBN: 970-26-1286-1. QUÍMICAANALÍTICACUANTITATIVA.[trad.] Miguel Catalano y Elsiades Catalano. Buenos Aires : Editoral KAPELUSZ S.A, 1960. Vol. I. FísicaUniversitaria.Decimosegunda ed. México DF : Pearson Educación, 2009. Vol. I. ISBN: 978-607-442-288-7.
ANEXO (Vogel, 1960) El error absoluto de una determinación es la diferencia entre el valor observado o medido y el valor exacto o más probable de la cantidad medida. El error absoluto es una medida de la exactitud de una medición. El valor exacto de una cantidad no se puede establecer experimentalmente, de manera que, el resultado obtenido, se debe comparar con el valor más probable. (Vogel, 1960) El error relativo de una determinación es el error absoluto dividido entre el valor exacto o más probable; generalmente el error relativo se expresa en tanto por ciento o en partes por mil.
