CIMENTACIONES RÍGIDAS: HIPÓTESIS DE WINKLER 1. INTRODUCCIÓN El estudio de las cimentaciones elásticas ha llevado a los autores de idealizar el suelo como una capa de resortes elásticos, que se representa por el coeficiente de reacción de subgrado o coeficiente de Balasto (k s). La transmisión de un sistema de cargas al suelo por medio de un cimiento, produce una distribución de esfuerzos en el suelo cuya resultante equilibra exactamente exactamente la acción total aplicada. Esta distribución depende no solamente de las propiedades físicas del suelo de cimentación y de las elásticas del cimento, sino también del propio sistema de cargas. Un aumento de cargas sobre el cimiento produce una transición progresiva del suelo desde un estado de equilibrio elástico a un estado de plasticidad contenida, llegándose finalmente a la plastificación total cuando cuando se alcanza alcanza el valor de la carga de hundimiento. hundimiento. Si el coeficiente de seguridad al hundimiento es del orden de 3, el estado tensional del suelo parece corresponder bastante bien con el deducido de la hipótesis del suelo perfectamente elástico, correspondencia correspondencia tanto más acentuada cuanto más se aproxime la relación esfuerzo-deformación a la ley de Hooke (Jiménez Salas, 1980).
2. VIGA FLOTANTE El cálculo de las presiones de contacto en la base de cimientos, rigidez o flexiones representa (Jiménez Salas, 1980), un serio problema en el campo de la elasticidad, habiéndose resuelto únicamente algunos casos particulares de forma y carga. La complejidad del problema elástico lleva a buscar otros modelos matemáticos de suelo, de los cuales el más difundido por su sencillez es le introducido por Winkler en 1867 y que sirvió para el trabajo clásico de Zimmermann del análisis de los carriles sobre traviesas de ferrocarril, lo que le ha dado su nombre tradicional de “método del coeficiente d e balasto” (Jiménez Salas, 1980).
El Método de Balasto, tiene como hipótesis básica del método consiste en suponer que en cualquier punto de la viga, el asiento es proporcional a la presión que en él se desarrolla:
p k s y
donde: y es el asiento, p la presión y la constante de proporcionalidad k s es el coeficiente de balasto (módulo de reacción de subgrado).
3. CIMENTACIÓN ELÁSTICA La cimentación elástica se define considerando una viga solicitada por cargas verticales y pares cualesquiera que descansa sobre un apoyo continuo del que recibe reacciones verticales p por unidad de superficie (a continuación se describe la exposición de Jiménez Salas, 1982), tal como se muestra en la Figura, con convenio de signos siguientes:
P 0
q
P
M x
E p
k s
y
elástica
y Viga Flotante (Winkler, 1867)
q M
P q
M+dM Q
Q+dQ
E
p
p dx
b
Sección infinitesimal
Sección transversal
Figura 1. Cimentación elástica sometida a cargas externas (Jiménez Salas, 1982). Cargas: P, q (+) positivas hacia abajo. Pares o momentos: M (+) positivos en sentido horario. Asiento: y (+) positivos hacia abajo
Giros: (+) positivos en sentido antihorario (por tanto = dy/dx) Momentos: M (+) positivos con tracciones abajo Cortantes: Q (+) positivos si producen un par negativo (por tanto Q = - dM/dx) Abscisas: x (+) positivas hacia la derecha El equilibrio del elemento de estudio de ancho b representado en la sección transversal, representa: Vertical: Q dQ bp dx Q bq dx 0 Momento: M dM Q dx M 0 Resolviendo se tiene:
dQ dx
bq p
dM
Q
dx
Utilizando la hipótesis de Navier-Bernoulli de proporcionalidad entre el momento flector y la curvatura de la viga deformada: M EI
d 2 y dx 2
donde E es el módulo de elasticidad e I la inercia de la sección de la viga, y las relaciones de Q y la hipótesis básica del método resulta combinando con dQ/dx: EI
d 4 y dx 4
bk s y bq
Se define la longitud elástica de la viga como: L
4
4EI bk s
y escribiendo las abscisas en función de esta longitud elástica con el cambio:
x L
Resulta la ecuación deferencial de cuarto grado d 4 y d 4
4 y
4 k s
q
La solución general de la homogénea es: y Z 1e s1 Z 2e s2 Z 3e s1 Z 4e s 2
donde las variables s son soluciones de la ecuación característica
s 4 4 0
ósea: s1 s4 1 i; s2 s3 1 i
y las constantes complejas de integración, Z, pueden calcularse por el método de variación de constantes. En cada caso concreto, se obtendrá la solución añadiendo al valor de y la particular correspondiente al segundo miembro de la ecuación (d 4y/d4 + 4y = 4q/k s). Una vez calculada la distribución de asientos y ( ), se obtendrán los demás resultados del problema mediante las relaciones: p k s y ; (presión de contacto),
1 dy L d
M
Q
; (giro de la elástica)
EI d 2 y 2
L
d 2
EI d 3 y 3
L
d 3
; (momento flector)
; (esfuerzo cortante)
Soluciones de algunos casos particulares, relativos a vigas finitas con casos de cargas concentradas o cargas uniformemente distribuidas, se describen a continuación: i. Viga Finita con una Carga P b L
a L P
CIMENTACIÓN EN LOSA
A
x
L
C
B
l L
ℓ
a+b=
Para ξ ≤ a 3
P L
y AC
4 EI
A Ch cos B Ch sen Sh cos
P L
M AC
2
A Sh ξ sen ξ B Ch ξ sen ξ Sh ξ cos ξ
Donde:
A
2
B
Sh l cos a Ch b - sen l Ch a cos b 2 2 Sh l sen l
Sh l sen a Ch b - cos a Sh b sen l Sh a cos b - Ch a sen b Sh l sen l 2
2
Para ξ > a
y y AC CB
P L
3
4 EI
M CB M AC
Ch a sen a Sh a cos a
P L
2
Ch a sen a Sh a cos a
ii. Viga Finita con una Carga P en el extremo b L P
a 0 CIMENTACIÓN EN LOSA
A
x
L
B
l L
3
P L
y AB
2 EI
l - - sen l Ch cos l - Sh l cos Ch
Sh l sen l 2
L M AB P
2
l - - sen l Sh sen l - Sh l sen Sh
Sh l sen l 2
2
iii. Viga Finita con una Carga P centrada a L
a
a L
l
P
2 CIMENTACIÓN EN LOSA
x
A
L
C
B
l L
3
y OB
L P
8 EI
M OB
l Ch cos l - cos Ch
Sh sen l sen
Sh sen l sen Sh l sen l
iv. Viga Finita con dos Cargas P simétricas b L a L
a L P
P
CIMENTACIÓN EN LOSA
A
x
L
C
D
B
l L
a+b=
ℓ
Para ξ ≤ a 3
y AC
P L
4 EI
2 Ch cos
Sh l sen l
l - cos Ch l P L - Ch cos 4
l Sh
A Ch cos B Ch sen Sh cos
l Sh
2 Ch cos
P L
M AC
2
A Sh sen B Ch sen Sh cos
Donde:
A 2
B
Ch a cos b Ch b cos a Sh l sen l
Ch a sen b - Sh a cos b Ch b sen a - Sh b cos a Sh l sen l
Para a ≤ ξ ≤ b P L
y y AC CD
3
4 EI
M CD M AC
Ch a sen a Sh a cos a
P L
2
Ch a sen a Sh a cos a
v. Viga Finita con dos Cargas Iguales P en los Extremos P
P
a 0 CIMENTACIÓN EN LOSA
A
x
B
L l L
Para x = ξ ∙ℒ
y AB
P L
3
2 EI
M AB P L
l Ch cos
Ch l cos
Sh l sen l
Sh sen l
Sh l sen
Sh l sen l
vi. Viga Finita con Carga q uniforme b L a L q CIMENTACIÓN EN LOSA
A
C
x
D
L
B
l L
a+b=
ℓ
Para ξ ≤ a
y AC
qL 4 4 EI
M AC
q L
A Ch cos B Ch sen Sh cos
2
2
A Sh sen B Ch sen Sh cos
Donde:
A
Sh l Ch l b sen b Ch l a sen a Sh l b cos b Sh l a cos a Sh l sen l 2
2
Ch a sen l a Sh b cos l b Sh a cos l a sen l Ch b sen l b
B
Sh l sen l 2
2
sen a Sh l b sen b sen l Sh a sen l a Sh b sen l b Sh l Sh l a Sh l sen l 2
Para a ≤ ξ ≤ b
y AC y CD
L q
4
4 EI
M CD M AC
1 Ch a cos a
q L
2
2
a sen a Sh
2
Para ξ ≥ b
y AC y DB
L q
4
4 EI
M DB M AC
Ch b cos b Ch a cos a
q L
2
2
Sh b sen b Sh a sen a
vii. Viga Finita con Carga q uniforme centrada b L a L
a L q CIMENTACIÓN EN LOSA
A
x
L
C
D
B
l L
a+b=
ℓ
Para ξ ≤ a 4
qL A Ch cos B Ch sen Sh cos y AC 4 EI
M AC
qL 2 2
A Sh sen B Ch sen Sh cos
Donde:
A
Ch a sen b Sh a cos b Sh b cos a Ch b sen a Sh l sen l
B
Sh b sen a Sh a sen b Sh l sen l
ℓ Para a ≤ ξ ≤ /2
L q
y AC y CO
4
4 EI
M CO M AC
1 Ch a cos a
q L
2
a sen a Sh
2
viii. Viga Finita con Carga Triangular q b L a L
q CIMENTACIÓN EN LOSA
A
x
L
C
D
B
l L
Para ξ ≤ a 4
y AC
q L
1
A Ch cos B Ch
4 EI b a
2
M AC
L q
2
1
sen Sh cos
A Sh sen B Ch
b a
sen Sh cos
Donde:
A
Sh l b a Ch l b sen b Sh l b cos b 2
Sh l b senb Sh l a sen a
2
Sh l sen l
sen l b a Ch b sen l b
Sh b cos l b Sh b sen l b Sh a sen l a 2
2
Sh l sen l
B
1 Sh lCh l a sen a Sh l a cos a Ch l b sen b Sh l b cos b 2 b a Sh l b sen b 2
Sh 2 l sen 2 l
1 sen lCh b sen l b Sh b cos l b Ch a sen l a Sh a cos l a 2 b a Sh b sen l b 2
Sh 2 l sen 2 l
Para a ≤ ξ ≤ b
y y AC CD
1 a Sh a cos a Ch a sen a 4 EI b a 2
q L
M CD M AC
4
1
L q
2
4
1
Sh a cos a Ch a sen a
b a
Para ξ ≥ b cos b Ch b sen b 1 Sh b y AC y b a Ch b cos b DB 4 EI b - a 2 Sh a cos a Ch a sen a L q
4
sen b Sh b sen b 1 Ch b b sen b M DB M AC b a Sh 2 b - a 2 Sh a cos a Ch a sen a q L
2
4. MODULO DE REACCIÓN DE SUBGRADO; HIPÓTESIS DE WINKLER Módulo de Reacción de Subgrado determinación esta basada en ensayos de Prueba de Placa (Bowles, 1996). La determinación del valor numérico de k s se hace bastante dificultosa: Terzaghi (1955): Zapatas en arcillas k s k 1 B f
Zapatas en arenas (incluye efectos de tamaño)
B 1 k s k 1 2 B
2
Zapata rectangular en arena de dimesión b = mb
m 0,5 1 , 5 m
k s k 1
k 1 valor de la prueba de placa de 1x1 pie. Vesic (1961) k ' s 0,65 12
E s B 4 E s E f I f 1 2
Es, Ef = Modulo elástico del suelo y fundación respectivamente B, If = Ancho de zapata y su momento de inercia en la sección transversal
k s
k ' s B
Al considerar que la raíz 12ava x 0,65 se aproxima a la unidad k s
E s B1 2
La definición de coeficiente de Subgrado basada en el factor de influencia:
k s
q
E s
H B1 2 I w
Donde Iw es el factor de influencia de la zapata en función de la forma de la zapata:
1 L 2 1 2 1 L B I w ln ln L B L B 1 L B B
En función de capacidad portante k s 40 F qa (kN/m3)
F es el factor de seguridad y considera un asentamiento 25,4 mm.
