UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU
CINEMATICA DE UNA PARTICULA 2011
I.
INTRODUCCIÓN MECANICA
MECANICA DE CUERPO RIGIDOS
ESTATICA
MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE
MECÁNICA DE FLUIDOS
DINAMICA
CINEMATICA
CINETICA
II. NOCION DE CINEMATICA
La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento. En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.
II .
ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 1.ESPACIO ABSOLUTO.
Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El esp spac acio io fí físi sicco se re reppre rese sent ntaa en la Me Mecá cáni nica ca Cl Clás ásic icaa mediante un espacio puntual euclídeo.
II .
ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2.TIEMPO ABSOLUTO
La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.
II .
ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. MOVIL
El móvil más simple que podemos considerar considerar es el punto material o partícula.
La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Ente En tend ndem emos os po porr pu punt ntoo ma mate teririal al o partícula a un cuerpo de dime di mens nsio ione ness ta tann pe pequ queñ eñas as qu quee pue ueda da con onsside derrarse com omoo puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado.
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
Estudi Estu diar ar el mo movi vimi mien ento to de un cu cuer erpo po qu quie iere re de deci cirr de dete term rmin inar ar su posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia. En el es esppac acio io euc ucllid idia iano no un si sist steema de que ueda da de defifini nido do po porr los elementos siguientes. a. b.
un origen O, que es un punto del espacio físico. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.
En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
En la Figura hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P. Estos observadores utilizan los xyz y x′ y y ′ ′z z ′ ′, referenciales respectivamente.
Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea ondulante. Natu Na tura ralm lmen ente te,, si lo loss ob obse serv rvad ador ores es co cono noce cenn su suss mov oviimie ient ntos os relativos, podrán reconciliar sus observaciones
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta 1. POSICIÓN.
La posición de la partícula en cual cu alqu quie ierr in inst stan ante te qu qued edaa de defi fini nida da por la coordenada x medida a partir del origen O.
Si
x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 2.
DESPLAZAMIENTO.
El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo
x
x'
x
r
r' r
x 'i
ˆ
xi
ˆ
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3.
VELOCIDAD MEDIA
Si la partícula se mueve de P a P’ ex expe peririme menta ntando ndo un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será
vm
vm
x
x2
x2
t
t2
t 1
r
r' r
t
t' t
x 'i
ˆ
xi
ˆ
t' t
IV. MOVIMIENTO RE R E C T IL ÍN E O 3. VE VELO LOCI CIDA DAD D ME MEDI DIA A
La velocidad media también p ue de interpretarse geoométricament ge ntee pa parra ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura x y base t. La pendiente de la recta es x/ t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 4. VEL ELOC OCID IDAD AD INS INST TANT NTÁ ÁNEA
Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valor valores es más pequ pequeños eños de x. Por tanto tanto:: v
v
lim ( t
0
lim ( t
0
x )
t r t
)
dx dt dr
dx
i dt
ˆ
dt
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 4. VEL VELOCI OCIDAD DAD INS INSTAN TANTÁN TÁNEA EA
Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 5. RAPIDEZ MEDIA.
La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula S T, dividida entre el tiempo tie mpo tra transc nscurr urrido ido t, es dec decir, ir,
(vrap )
ST t
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6.
ACELERACIÓN MEDIA .
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces: La aceleración media se define como v v' v amed t t ' t
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 6.
ACELERACIÓN INSTANTANEA .
La acel eler eraación instan anttánea se ob obttiene lle levvan ando do al lím ímiite la acelera acel eració ciónn med media ia cuan cuando do t tie tiende nde a cer ceroo es deci decir r v
a
lim (
a
d dx dx ( ) dt dt
t
0
t
)
dv dt 2
d x 2
dt
Ejemplo 01
La posición posición de una partícul partículaa que se mueve mueve en línea recta recta está definida por la relación x 6 t t Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s; 2
3
Solución
La ecuaciones de movimiento son
x v a
2
3
6t dx dt
t
2
12t 3t 2
dv
d x
dt
dt
2
12 6t
Las cantidades solicitadas son
•
En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
•
En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
•
En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
•
En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
V.
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA
1. LA ACELERACIÓN ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t). Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 2. LA ACELERACIÓN COMO COMO FUNCIÓN DE DE LA POSICIÓN a = f(x). Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir
V.
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE DE LA VELOCIDAD a = f(v). Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir
V.
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA 4. LA AC ACEL ELER ERA ACIÓ IÓN N ES CON ONST STA ANT NTEE
a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son
Ejemplo 01 El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0
Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la ve velloc ocid idad ad es fu func nciión de dell tiempo v = f(t). La posición es
Cuando t = 3 s, resulta
ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la acelera racción se determina a partir de a = dv/dt
Cuando t = 3 s
Ejemplo 02 Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si re resi sist sten enci ciaa de dell flflui uido do pr prod oduc ucee un unaa de desa sace cele lera raci ción ón de dell proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil.
Solución Velocidad:: Usando el sistema POSICIÓN Velocidad POSICIÓN:: Sabiendo que v = f(t), de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) po pode demo moss ut utililiz izar ar la ecuación a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es
la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt
Ejemplo 03
Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se sueltaa desde el reposo en C cuando suelt S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velo ve loci cida dadd de la pa partrtíc ícul ulaa cu cuan ando do llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de CaB
Solución
Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. dS. Consideramos además que v = 0 cuando cuando S = 100 mm mm
La velocidad cuando S = 0,2 m es
El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma
Cuando S = 0,2 m el tiempo es
Ejemplo 04 Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola vertrtic ve ical alme mennte ha haci ciaa ar arririba ba co conn un unaa velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra some so metitida da a un ca camp mpoo gr grav avititac acio iona nall que le proporciona una aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente
Solución dv
9.81 m s 2
a
dt v t
t
9.81 dt
dv
v t
9.81t
v0
0
v0
v t
dy y t
s
s
t
2
t
dy y0
9.81
m
10 9.81t
v
dt
10
m
10 9.81t dt
y t
y0
10t
1 2
9.81t 2
0
y t
20 m
10
m s
t
4.905
m s
2
2
t
Solución Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene v t
•
10
m
9.81
s
m s
2
t
0
t 1.019 019 s
Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene. y t y
20 m 20 m
10 10
m s m s
t
m 2 4.905 t 2 s
1.019 s
4.905
m s2
y
1.019 s
2
25.1 m
Solución •
Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos. 20 m
y t
m t s
4.905
m s
t 2
2
1.243 s meaningless
t t
10
3.28 s v t
10
v 3.28 s
m s
9.81
m s
10
m s
2
t
9.81
m s
v
2
3.28 s
22.2
m s
0
VI. MOVIMIENTO DE DE VA VARIAS PA PARTICULAS:
Movimiento relativo
Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O serán x A y x B. La posición relativa de B con respecto a A será. xB
xA
x B
x A
x B A
La velocidad relativa d A con respecto a B será. vB
A
xB
A
vB vA
v B
v A
v B A
La aceleración relativa se expresa en la forma aB
A
aB
aA
a B
a A
a B A
Ejemplo 05
Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque
SOLUCION: •
Remplazando la posición, velocidad inicial y el valor de la aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene. m
v B
v0
at 18
y B
y0
2 v0t 1 at 2
s
9.81
m s
12 m
2
t
18
m s
t
4.905
m s2
• La posición y la velocidad del ascensor será. v E y E
m 2 s y0
v E t 5 m
m t 2 s
2
t
•
Escr Escrib ibie iend ndoo la ecua ecuaci ción ón para para las las po posi sici cion ones es rela relati tiva vass de la bo bola la con respe respect ct al elev elevad ador or y asumiend ndoo que cuando chocan la po possición relativa es nula, se tiene. 12 18t 4.905t 2
y B E
5
2t
t t
•
0
0.39s 3.65s
Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene y E v B E
5
2 3.65 18
16
9.81t
y E
12.3 m
2
9 81 3 65
v B E
19.81
m
VI. MOVIMIENTO DE DE VA VARIAS PA PARTICULAS:
Movimiento dependiente
La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras partículas. En la figura la posición de B depende de la posición de A. Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene x
2 Bx
v A
2vB
0
a A
2 aB
0
A
constan te
Debido a que sólo una de las coordenadas de posición x A o x B pu pued edee el eleg egir irse se arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad
VI. MOVIMIENTO DE DE VA VARIAS PA PARTICULAS:
Movimiento dependiente
Aquí la posición de una partícula depende de dos posiciones más. En la figura la posición de B depende de la posición de A y de C Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene 2 xA 2 xB 2 2
dx A dt dv A dt
2 2
dx B
dxC
dt dv B
dt dvC
dt
dt
xC
ctte
0
or
2v A
2v B
vC
0
0
or
2a A
2a B
aC
0
Como solo es posibl Com blee elegir do doss de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS grados de libertad
Ejemplo 06
El collar A y el bloque B están enlazados como se muestra en la figura mediantee una cuerda que pasa a trav mediant través és de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3 pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el repo re poso so cu cuan ando do t = 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variación de altura, la velocidad y la aceleración del bloque B cuando el collar pasa por L
Solución
Se analiza en primer lugar el movimiento de A. El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleración y el tiempo 2
2
v A
v A 0
12
in. s
v A
2a A x A
x A 0
2a A 8 in.
a A
2
9
in. s2
v A 0 a At in. in. t 1.333 12 9 t 333 s 2 s s
Solución •
•
Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posición en el tiempo t. x D
x D 0
v D t
x D
x D 0
3
in. s
1.333 s
4 in.
El movimiento del bloque B depende del movimiento de collar y la polea. El cambio de posición de B será
x A x A
8 in.
2 x D x B x A 0
2 4 in.
x A 0
2 x D x B
x
2 x D
0
x D 0
x B
x B 0
0
x
x B 0 x B 0
0
16 in.
Solución •
Derivando la relación entre las posiciones se obtiene las ecuaciones para la velocidad y la aceleración x A 2 xD v
2v
A
12
in . s
2a
A
9
vB
0
2 3
in . s
v B
0 v B
18 pu lg / s
v B
a
D
co n s ta n t
xB
in. in. s
2
D
a
a B
0
B
0
a B a B
9
18
in.
in. s2
9 pu lg/ s 2
s
Ejemplo 07 La caja C está siendo levvan le anta tada da mov ovie iend ndoo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de v A =4m/s a lo largo de la guía. Determine la velocidad y la aceleración de la caja en el instante en que s = 1 m . Cuando el rodillo está en B la caja se apoya sobre el piso.
Solución
La relación de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia. x
C
2
x A
8 m
Cuando s = 1 m, la posición de la caja C será xC
4
2
4 m s 4 m 1m
xC
3m
Se determina ahora la posición xA, cuando s = 1 m 3m
42
x A2
8m
xA
3m
Solución
La velocidad se determina derivando la relación entre las posiciones con respecto al tiempo dxC
1
dt
2
16
x
x A
vC
16
2 A
x
vC
1/ 2
2 A
(2 xA )
dxA
0 dt 3m(4m / s)
vA
2
16
3
2, 4m / s
La aceleración será aC
dvC
d
dt
dt
2
xA
aC
16
x
2
vA
vA
16
A
4
2
16 aC
x
16
2
16
A
2
3(0) 9
x
2
3 (4 ) 9
2, 048m / s
2
x Aa A
[16 2
3
9]
2
x Av A 2 A
[16
2
3
x ]A
Ejemplo 08 El si sist stem emaa re repr pres esen enta tado do pa partrtee del reposo y cada componente se mueve a aceleración constante. Si la aceleración relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la aceleración relativa del bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a)) la ace (a acele lera raci ción ón del del bloqu bloquee C al cabo de 3 s, (b) el cambio de posición posici ón del bloque D al cabo de 5s
Ejemplo 09 Un hombre en A está sosteniendo una caja S como se muestra en la figura, caminando hacia la derecha con una velocidad constante de 0,55 m/ 0, m/s. s. Det eter erm min inee la velocidad y la aceleración cuando llega al punto E. La cuerda es de 30 m de longitud y pasa por una pequeña polea D.
Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo
La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas por las ecuaciones, v
dx / dt
a
dv / dt
La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante. La se seggun unda da ecu cuaaci cióón ex expr preesa qu quee la ac acel eler eraaci ción ón es igu gual al a la pendiente de la curva v-t en dicho instante
VII.I. Re VI Reso solu luci ción ón gr gráf áfic icaa de de pro probl blem emaas en en el el movimiento rectilíneo
Integrando la ecuación de la velocidad tenemos A
x2
x1
t2 t1
vd;t
A
v2
v1
t 2 t 1
adt
El área bajo la gráfica v-t entre t 1 y t 2 2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo El área bajo la gráfica a-t entre t 1 y t 2 2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo
Otros métodos gráficos • El momento de área se puede utilizar para dete determ rmin inar ar la posi posici ción ón de la part partíc ícul ula a en cualquier tiempo directamente de la curva v-t : x0 area bajo la curva
x
1
v t
v1
v0t1
usando dv = a dt ,
t1 t dv v0
v1
x1 x0
v0t 1
t 1 t a dt v0
v1
Momento de primer orden de area bajo la curva a-t con repecto a la línea t = t 1
t 1 t a dt v0
x1 t
x0
v0 1t
área bajo la curva a - t 1t
abscisa del centroide C
t
Otros métodos gráficos •
Método para determinar la acel celera eración ión de un unaa part partíc ícul ulaa de la curva v-x
a
v
dv dx
AB tan a
BC
subnormal a BC BC
EJEMPLO 10
Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 30 s
EJEMPLO 11 Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lílínnea re rect ctaa ac acel eler eran ando do a ra razó zónn co cons nsta tant ntee dur uran antte 10 s. Post Po ster erio iorm rmen ente te de desa sace cele lera ra a un unaa ra razó zónn co cons nsta tant ntee ha hast staa detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse
Solución: Grafica v - t
La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada med ediiante integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t . Usando la condición inicial v = 0 cuando t = 0 0
t 10 s
a
10;
v
0
dv
t
0
10 dt ,
v
10 t
Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene 10 s
t t ;
a
2;
v
100
dv
t
10
2 dt ,
v
2t 120
Cuando t = t , la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t’ + 120 t’ = 60 s
Solución: Grafica s - t
La gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0 cuando t = 0 0
t 10 s;
v
10 t ;
s
0
ds
t
0
10 t dt ,
s
5t 2
Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene s t 10 s s
t 60 s; 2
t
v
2t 120 ;
ds
500
10
2t 120 dt
120 t 600
Cuando t = t , la posición S = 3000 m
Ejemplo 12 La gráfica v-t , que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m
Solución Grafico a-s. Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, dadas, la gráfica gráfica a-t a-t puede puede ser determinad determinadaa usando la ecuación dv = a ds 0
s
60m; v a
60m
s a
v
dv
ds 120m; v
dv ds
0.2s 3 0.04s 0.6 v
0
15;
Solución Calculo del tiempo. El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt . Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0 0
s
60m; v t
dt
0.2s 3; dt s
ds
0.2s 3 t 5 ln( 0.2s 3) 5 ln 3 o
0
Cuando s = 60 m, t = 8,05 s
ds
ds
v
0.2 3
Solución Calculo del tiempo. Para el segundo tramo de movimiento 60
s
120m; v t
8.05
t
dt s
15
15;
s
ds
60
15
4.05
Cuando S = 120 m, t´= 12 s
dt
ds
ds
v
15
Ejemplo 13 Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo una línea recta, su aceleración de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha perm pe rman anec ecee in inva variriab able le du dura rant ntee 12 s. A continuación la aceleración adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleración durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.
Solución En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo , ya que a = constante.
Como la aceleración es la pendiente de la curva v-t, tenemos tg
5m / s
a1
5m / s 2 ( t1 )
v1 v1
2
1
A1
(12 s
A2
1
780m
t )60m / s
2 1
( t1
60m / s
( t )v
t 2 )v1
780m
1 2
t 1
5m / s 2 (12 s) (1)
La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto dT
v1
( t 3 )v3 (2)
Solución El desplazamiento desplazamiento viene expresado por x
A1
1 2
(12 s
A2
1
180 m
2 1
t2 )60m / s
2
( t1
t2 ) v1
( t3 ) v3
1 2
( t3 ) v3
180 m
(3)
Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta (12s
t2 )60m / s
4s
t2
960m (4)
La aceleración en el segu gunndo intervalo tiempo es a2
tg
v1 t2
60m / s 4s
Solución Se determina t3 a2 v3
tg
v3
15m / s
t 3 2
15m / s ( t3 )
2
(6)
Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene 1 2
(12s
1
4 s)60m / s 480m
2
15m / s 2 2 t3
( t3 )(15 t3 )
( t3 ) 2
180 m
180 m
6,32s
El intervalo total de tiempo será t t1 t2 t3 12s 4s 6, 33s t
22,33seg
Ejemplo 14 Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales están separados 90 m tal como se in indi dica ca.. De Dete term rmin inee el de desp spla laza zami mien ento to Δx de dell cu cuer erpo po durante los dos últimos segundos antes de llegar a B.
Poblemas propuestos 1. El movimiento de una partícula se define por la relación x 2 t 6 t 15 donde x se se ex expresa en en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando la velocidad es nula. 3
2
2. El movimiento de una partícula se define mediante la relación x 2 t 20 t 60 donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posición y la distancia total recorrida cuando t=8s 2
Problemas propuestos 3. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a (64 12t ) pul / s . La partícula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s. 2
2
4. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -3v , con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partícula se reduzca al1% de su valor inicial
Problemas propuestos 5. El bloque A tiene una 6. Los collares A y B deslizan a lo largo de las barrar fija que velocidad de 3,6 m/s hacia forman un ángulo recto y están la derecha. Determine la co connec ecta tada dass por un co cord rdóón de velocidad del cilindro B longitud L. Determine la aceleración a x del collar B como una función de y si el collar A se mueve con una velocidad constante hacia arriba v A
Problemas propuestos 7. Una partícula que se mueve 8. Determine la rapidez v P a la cual a lo largo del eje x con el punto P localizado sobre el aceleración constante , tiene cable debe viajar hacia el motor una velocidad de 1,5 m/s en M para levantar la plataforma A a el sentido negativo de las x razón de v A = 2 m/s. para t = 0 , cuando su coordenada x es 1,2 m. tres
segundos más tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. ¿Hasta qué coordenada negativa se ha desplazado dicha partícula?.
Problemas propuestos 9. Determine la velocidad del 10. Dete terrmine la veloci ciddad del bloque A si el bloque B tiene bloque A si el bloque B tiene una una velocidad de 2 m/s velocidad de 2 m/s hacia arriba hacia arriba
Problemas propuestos 10. Determine la velocidad con la
cual el bloque asciende si el 11. extremo del cable en A es halado hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo
Problemas propuestos
Para levantar el embalaje mostrado mediante el aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza con una velocidad v A. Determine una expresión para la velocidad ascendente v B del embalaje en función de x . Desprecie la pequ pe queñ eñaa di dist stan anci ciaa en entrtree el tractor y su polea de modo que ambos tengan la misma velocidad.
I). Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba a un ángulo de 30º con la horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s, como se muestra en la figura. Si la altura del edificio es 45.0 m. a) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en golpear el piso? b) ¿Cuál es la velocidad de la piedra justo antes de golpear el suelo? c) ¿A qué distancia de la base del edificio golpea la piedra el suelo?
esq quiador baja por una pend ndiien entte y se des esp pega del suelo mo mov viénd ndos ose e en di dire recc cciión II). Un es hori ho rizo zont ntal al co con n un una a ra rapi pide dezz de 25.0 m/ m/s. s. La pe pend ndiien ente te de at ater erri riza zajje ba bajo jo él es esqu quia iado dorr ti tien ene e una inc inclin linaci ación de 35.0°. a). ¿A qué dist stan anci cia a de dell pu punt nto o de des espe pegu gue e el es esqu quiiad ador or vue uelv lve e a ha hace cerr co cont ntac acto to co con n el su suel elo? o? b). De b). Dete term rmiine cu cua ant nto o ti tiem empo po pe perm rma ane nece ce el es esqu quia iado dorr en el air ire. e. c).. De c) Dete term rmin ine e la co comp mpon onen ente te ve vert rtic ical al de la ve velo loci cida dad d ju just sto o an ante tess de at ater erri riza zar. r.
III). Un avión de rescate deja caer un paquete de provisiones a un grupo de exploradores extraviados extraviados como se muestra en la figura. Si el avión viaja horizontalmente a 40.0 m/s y a una altura de 100 m sobre el suelo. a)¿Dónde cae el paquete en relación al punto en que se soltó? b) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad del paquete justo antes de que que golpee golpee el suelo?
x
2
2 y
v x
2
t v0
2 33
D
60
32) En un m.r.u.a m.r.u.a sin velocidad inicial, el móvil móvil recorre 48 48 m durante el 5º segundo de su movimiento. Determinar el camino que recorrerá durante el 14º segundo. 33) Un cuerpo cae libremente sin velocidad inicial. Determinar la relación entre los tiempos que tarda tarda en recorrer la primera y la segunda mitad del camino. 34) Un cuerpo parte del origen con una velocidad uniforme de 3 m/s en la dirección positiva del eje X, estando simultáneamente, sometido a una aceleración constante de 3 m/s2 que forma un ángulo de 120º con la dirección de la velocidad. Determinar la distancia del cuerpo al origen después de 5 segundos de iniciado el movimiento. 35) Un alumno de 1º CICLO decide salir de excursión con su bicicleta, por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las bajadas de 20 km/h. Calcular: a) ¿Cu ¿Cuál ál es es la velo velocid cidad ad medi mediaa si las las subid subidas as y baja bajadas das tie tienen nen la misma misma longitud? b) ¿Cuál es la velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? bajadas? c) ¿Cuál es su velocidad velocidad media si emplea el doble de tiempo en las subidas que en las bajadas?
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO OBJETIVOS 1. Describir el movimiento de una partícula que viaja a lo largo de una trayectoria curva 2. Expresar las cantidades cinemáticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, así como radial y transversal
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).
1. Vector Posici Posición: ón:
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un pequeño intervalo de tiem ti empo po t ha hast staa el pu punt ntoo P’, entonces su posición será r’ (t + ). El desplaza desplazamien miento to es vector vector dirigido dirigido desde desde P a P’ y se expresa
2. Vector Despl Desplazami azamiento: ento:
r
r '(t
t ) r (t )
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO 3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como
vm
r
r ' r
t
t ' t
La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento es decir es secante a la curva. La vel velocid ocidad ad media edia depe depend ndee del intervalo de tiempo.
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO 4. Vel eloc ocid idad ad In Inst stan antá táne nea: a: Si el intervalo de tiempo se hace cada ca da ves ves más más peq peque ueño ño ( t 0) 0),, el des despl plaz azam amie ient ntoo tamb tambié iénn tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir.
v
lim t
0
r t
lim t
0
r' r
dr
t' t
dt
La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria.
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO 3. Velocidad Instantánea: Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco s = acrPQ, obtenemos
v
lim t
0
r
s
s
t
r
lim t
s
0
lim t
0
s t
A medida que Q se acerca a P la magn gnit itud ud de r se apr prox oxim imaa a s, entonces se tiene
dr
lim
ds
t
r s
0
Además se tiene v
lim t
0
et
s
ds
t
dt
v
ds et dt
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO 5. Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades veloci dades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
am
v
vQ
vP
t
tQ
t P
La aceleración media es un vector paralelo a v y también dep depende de la dura du raci ción ón de dell in inte terva rvalo lo de tiempo
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO 3. Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades veloci dades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
am
v
vQ
vP
t
tQ
t P
La aceleración media es un vector paralelo a v y también dep depende de la dura du raci ción ón de dell in inte terva rvalo lo de tiempo
VIII.I. MOV VII MOVIMI IMIENTO ENTO CURV CURVILÍ ILÍNEO NEO 6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite
la aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo
a
a
v lim t 0 t d dr dt dt
dv dt 2 d r 2 dt
La aceleración instantánea es un vector que tiene misma dirección que el cam ca mbi bioo in inst stan antá táne neoo de la velo ve loci cida dadd es de deci cirr ap apun unta ta hacia la concavidad de la
8.1
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 1. PO POSSIC ICIÓ IÓN N. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y, z es
r xi
y j zk
Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t) La magnitud del vector de posición será r x 2 y 2 z 2
8.1.
COMPONENTES RE RECTANGULARES DE DE LA LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 2. De Desp spla laza zami mien ento to.. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo inter valo de tiemp tiempoo t. El despl desplazami azamiento ento está dado por:
r
r
r' r
( x) 2
( y )2
xi
ˆ
yj
( z )2
ˆ
zk ˆ
8.1.
COMPONENTES RE RECTANGULARES DE DE LA LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 3. Ve Velo loci cida dadd med edia ia.. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta experi menta un despla desplazamien zamiento to r en un inter intervalo valo de tiemp tiempoo t. La velocidad media será
vm
r
x
i
y
ˆ
t
t
j
z
ˆ
t
t
k
ˆ
Es un vector secante a la trayectoria
8.1.
COMPONENTES RE RECTANGULARES DE DE LA LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 4. Ve Velo loci cida dadd in inst stan antá táne neaa. Se obtiene llevando al límite cuando t 0, la ve velo loci cida dadd me medi diaa es de deci cir:r:
v
dx i dt
dy j dt
v x i
v y j
dz k xi y j zk dt
v z k
Es un vector tangente a la curva y tiene una magnitud definida por
v
2 x
v
2 y
v
2 z
v
8.1
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 5. Ac Acel eler erac ació iónn me medi diaa. Cuando la partícula cambia de posición su velocidad tambien cambia. Entonces la aceleración media será
am
v t
v x t
i
v y
ˆ
j
ˆ
t
vz t
k
ˆ
Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo del cambio de velocidades
8.1
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN 5. Ac Acel eler erac ació iónn in inst stan anta tanea nea.. Se obtiene llevando al límite la aceleración media. a
dv
dt donde
a ix
a yj
a x
vx
x
a y
v y
y
a z
vz
z
a kz
Es un vector que se encuentra dirigido hacia la concavidad de la curva y su magnitud es
a
a
2
a
2
a
2
Ejemplo En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico está definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuación de la trayectoria es y = xª/30 , donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estación A, la magnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s
Solución
Cuando t = 2 s, la posición del globo es x y
x
9 m / s(2 ( 2 s)
2
18 m
2
18 ( ) 30
30
10, 8m
La distancia en línea recta será r
9t
2
18
2
10, 8
21m
Las componentes de la velocidad son v x
x
v y
y
d dt d dt
9t x
2
La ma magn gnititud ud y di dire reccci ción ón de la velocidad para t = 2 s son 9
v v
9m / s / 30
x dx
15 dt
81t 15
1m 0.8s /
2
tan
10.8 1
v y v x
2
14.1m / s
50.2
Solución Las compone componentes ntes de de la acelera aceleración ción será a x a y
0
vx
d
vy
81t
5.4m / s 2
dt 15
La magnitud y dirección de la aceleración son a
0
2
a
2
5.4
tan
1
5.4m / s 2
5.4 0
90
Ejemplo El movimiento de la caja B está d e fi n i d a p o r e l v e c to r d e posición
r
[0, 5sen( 2t )i
ˆ
0, 5c 5 cos( 2t ) j
ˆ
0, 2tk ]m ˆ
donde t esta en segundos y el argumento para el seno y el coseno está en radianes. Determine la localización de la caja cuando t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y aceleración en este instante
Solución
La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es
r
t 0.75s
{0.5 s e n(1.5rad )i
r0,75 s
0.5 cos(1.5rad ) j 0.2(0.75)k } m
{0.499i
0.0354 j
0.150k } m
La distancia medida desde el origen será r
(0.499)2
La dirección es
(0.0354)2
u r
r r
0 .4 9 9 i 0 .5 2 2
0 .9 5 5 i
( 0.150)2
107 10 7
0 .0 6 7 8 j
cos 1 (0. (0.955 55)) 86.1
0 .0 3 5 2 j 0 .5 2 2
0.522m 0 .1 5 0 k 0 .5 2 2
0.287 k
1 7 .2
Solución
La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s es
v
dr dt
{1cos(2t )i
1sin(2t ) j
v
2
2
2
vx vy vz
0.2k }m / s
1.02m / s
La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s
a
dv
dt
{ 2si 2sin(2t )i
a = 2 m/s2
2co 2c os(2t ) j}m / s 2
Ejemplo
Los movimientos x e y de las guías A y B, cuyas ranuras fo forrma mann un ángulo recto, controlan el movimiento del pasador de enlace P, que resbala por ambas ranuras. Durante un corto inter in terva valo lo de titiem empo po es esos os mo movi vimi mien ento toss están regidos por x 20
1 4
t2 y y 15
1 6
t3
donde x e y están en milímetros y t en segundos. Calcular los módulos de las vel eloc ocid idad ad y de la ace celler erac ació iónn a del pasador para t = 2 s. esquematizar la forma de la trayectoririaa e indicar su curvatura en ese instante.
Ejemplo
El rodillo A de la figura está restringido a deslizar sobre la trtray ayec ecttor oria ia cu curv rvaa mi mien entrtras as se desplaza en la ranura vertical del miembro BC. El miembro BC se desplaza horizontalmente. (a) Obtenga las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de A, exprésela en términos de b, x, x, x (b) Calcule la velocidad y la aceleración cuando
b 10cm; x x
8 icm/ s2 ˆ
4icm; x ˆ
10icm / s; ˆ
8.2. MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano.
r t
x t i
r
r
r t2
r t1
x1 i
v t
y t
x2
y2
y1 j
vx t i
vy t
t i x
t y
a t
ax t i
ay t
vx t i
vy t
a t
a t
x
t i
j
v t
j
j
t
j
y
j
j
8.3. MOVIMIENTO PARABÓLICO Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria
8.3. 8. 3.1. 1. MO MOVI VIMI MIEN ENTO TO PARAB PARABÓL ÓLIC ICO: O: Hipót Hipótes esis is Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis
(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) terrestre con la altura; (c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.
DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
8.3.22 MO 8.3. MOVI VIMI MIEN ENTO TO PARA PARABÓ BÓLI LICO CO:: ecuac ecuacio ione ness Movimi Mov imient entoo hor horizo izonta ntal.l. Debido a que ax = 0 v
v0
x
x0
2
v0
v
2
v0 t
a x t;
1 2
2a x ( x
(v0 ) x
v x
a x t2 ; x0 );
x
x0 v x
( v0 ) x t (v0 ) x
8.3.2. MOV 8.3.2. MOVIMI IMIENT ENTO O PAR PARABÓ ABÓLIC LICO: O: ecu ecuaci acione oness Movimi Mov imient entoo ver vertic tical: al: Debido a que ay =-g=-9,81m/s2 v y
y0
2
v0
v
v0
y
v0 y t
2
y
y
y
v y
a yt ;
1 2
2a y( y
2
ay t ;
y
y0 );
v y
2
y0
(v0 ) y
gt
( v0 ) y t
(v0 ) 2y
2g( y
1 2
gt2 y0 )
8.3.2. 8.3 .2. MOVIMI MOVIMIENT ENTO O PAR PARABÓ ABÓLIC LICO: O: Alt Altura ura máx máxima ima y alcance alcanzado por el proyectil Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son de especial interés. 1. El alcance R, es la máx máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil 2
R
v i
sin2
i
g
2. La altura máxima alcanzada por el proyectil v i2 sin2 h 2g
i
h
8.3.2. 8.3 .2. MOV MOVIMI IMIENT ENTO O PAR PARABÓ ABÓLIC LICO: O: alc alcanc ancee alc alcanz anzado ado por el proyectil El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45°
Ejemplo Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza
Ejemplo La máquina de picar está diseñada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad v o = 7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30 re resp speecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m
Ejemplo La pista de carreras de este evento fue diseñado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30 , desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el conductor perm rmaaneció en el aire 1,5 s. Determ rmiine la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de ambos.
Ejemplo Un jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto según el ángulo de θ = 50° con la horizontal. Determine la rapidez v 0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste en el centro del aro. ¿Con qué rapidez pasa la pelota a través del aro?.
Ejemplo Un bombero desea saber la altura máxima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. ¿A qué ángulo, θ, respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo?
Ejemplo La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de 40°respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo que permanece en el aire
Ejemplo El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de θA = 25°° y aterri 25 aterriza za en el punto punto B de la pendi pendien ente te.. Determ Determine ine la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire
Ejemplo
El hombre lanza una pelota con una velocidad inicial v 0 = 15 m/s . Determine el ángulo θ bajo el cual podría lanzar la pelota del tal manera que choque contra la valla en un punto de máxima altura posible. El gimnasio tiene una altura de 6 m .
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.1.OBJETIVOS
Determinar las com ompponentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva.
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.1.APLICACIONES Cuando un auto se mueve en una curv cu rvaa ex expe peri rime ment ntaa un unaa ac acel eler erac ació ión, n, debido al cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad. ¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?. Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.3. 8.4 .3. PO POSI SICI CIÓN ÓN Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria. En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y u
n
El or orig igen en se en encu cueent ntra ra ub ubic icad adoo sobre la trayectoria de la partícula
El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la direc di recci ción ón de dell mo movim vimie ient ntoo y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirig igid idoo hacia el centro de curvatura
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.3. 8.4 .3. PO POSI SICI CIÓN ÓN En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un El rad adiio de curvat atuura ρ, e s l a distancia perpendicular desde curva hasta el centro de curvatura en aquel punto.
La posición es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. 8.4 .4. VE VELC LCOI OIDA DAD D Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el tiempo. La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectori riaa y su magni nittud se dete de term rmin inaa de deri riva vand ndoo re resp spec ecto to del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se tiene
v
vut
dS / dt
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIÓN Consid Cons ider erem emos os el mo movi vimi mien ento to de La aceleración tangencial es unaa pa un part rtíc ícul ulaa en una una tr tray ayec ecto tori riaa la resp respon onsa sabl blee de dell ca camb mbio io en el modulo de la curva plana velocidad En el tiempo t se encuentra en P La aceleración normal es la con una velocidad v en dirección responsable del cambio en tangente y una aceleración a la dirección de la velocidad
dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIÓN Tracemos en A un vector unit un itar ario io et . La acele acelera ració ciónn ser seráá ˆ
a
d (vet )
dv
ˆ
dv
et ˆ
dt
dt
dt
v
det ˆ
dt
Si la trayectoria es una recta, el vector et sería constante en magnitud y dirección, por tanto ˆ
ˆ
det dt
0
Pero cuando la tra rayyectoria es currva la direc cu ecci cióón de et cambia por lo tanto ˆ
ˆ
det
0
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIÓN Introduzcamos el vector unitario normal en a la la cu curva y dirigido hacia el lado cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene ˆ
et ˆ
cos i
sen j
ˆ
en ˆ
en ˆ
cos(
)i
ˆ
2
sen i
ˆ
cos
sen(
2
)j
j
La derivada del vector unitario
det ˆ
dt
( sen )
d
cos
i
ˆ
dt det d ˆ
en ˆ
dt
dt
d
j dt
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIÓN det 1 Por otro lado se tiene que e n d d dS d dt v ˆ
ˆ
dt
dS dt
dS
Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt. Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces dS
d
d
1
dS
La razón de cambio del vector unitario tangencial es
8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIÓN Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene dv
a
et
v
ˆ
dt dv
a
v
et ˆ
dt
a
det ˆ
dt 2
en ˆ
at et
an en
ˆ
ˆ
Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben
at
dv
et : ˆ
at
v2
en ˆ
La magitud de la aceleración total será
a
2 t
a
2 n
a
CASOS ESPECIALES 1. La partí partícula cula se mueve a lo lo largo largo de una línea recta
=> an = v2 / a = at = v La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad 2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante
at = v = 0
=>
a = an = v2 /
La componente normal representa la razón de cambiode la dirección de la velocidad
CASOS ESPECIALES comp mpon onen ente te ta tang ngen enci cial al de la ac acel eler erac acón ón es 3) La co at = (at)c. s
s0
v
v0
v2
v02
v0t
1
cons co nsta tant nte, e,
( ac ) c t 2
2 ( ac ) c t
2( ac ) c ( s
s0 )
So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0 4. La partícu partícula la se mueve a lo lar largo go de de la rayect rayectoria oria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es [1 (dy / dx) 2 ]3 / 2 d 2 y / d x 2
Ejemplo 01
Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria par arab aból óliica ind ndiicada en la figur uraa. Determine su vel eloocidad y aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos el tamaño del esquiador.
Solución
Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene. La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su dirección será y
1 2 dy x , 20 dx x
1 10
Por lo tanto en A la velocidad forma 45° con el eje x
Solución
La aceleración se determina aplicando la ecuación
a
dv
v
et
en ˆ
Para ello se determina el radio de curvatura [1 (dy / dx) 2 ]3 / 2 2
d y / d x
2
2 3/2
[1 ( x /1 /10 0) ] 1/10 28.28m
a
A
2
ˆ
dt
dv
a
A
a
A
e ˆ
dt
2e
ˆ
2e ˆ
v
t
e
n
e
n
ˆ
t
6 t
2
2 ˆ
28,3
1, 27e
ˆ
n
Solución
a
La magnitud y la dirección de la aceleración serán 2
2
tan
1.237 1
2
2 1.327
2.37m / s
57.5
2
Ejemplo 02
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.
Solución
Se sabe que la aceleración tannge ta genc ncia iall es co connst stan ante te e igual a at
2,1m / s
a
2
Entonces v v
an
v0
at t
2,1t
0
La aceleración total será
v
(2,1t ) 90
0.049t 2 m / s 2
ˆ
en ˆ
2, 1et
0 .0 4 9t 2 en
a2
2, 12
[0 .0 4 9t 2 ]2
2, 4
ˆ
2
ˆ
2
2, 1 t
2
at et
a
La aceleración normal será 2
v2
[0 .0 4 9t ]
4,87
La velocidad instante será
v
2 2
en
este
2.1t 10.2m / s
Ejemplo 03 Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B
Ejemplo 03 La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A. La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es 0.2t
v
at v
0
v
dv
t
0
0 1t 2
(1)
0.2tdt (2)
Ejemplo 03 Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir ds
v S
0
S
0.1t 2
dt ds
t
0
0.1t 2 dt
0, 03 0333t 3
( 3)
De la geometría se tiene sB = 3 + 2π (2)/4 (2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos 6,1 ,14 42 t
0, 0333t 3 5,69 s
Ejemplo 03 Rem empl plaz azan anddo el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta (a B) t
0.2(5.69) 1.138m / s 2
v B
0.1(5.69) 2
v B
3.238m / s
En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será (a B )n
v B2
5.242m / s 2
B
La aceleración total será
2
aB
a t, Be t
1 138
ˆ
ˆ
v B
en ˆ
5 242
ˆ
Su modulo y dirección serán a
2
2
1,138 a 1
tg [
2
[5, 24 242]
5, 36m / s 5.242 1,138
]
2
77, 75
Ejemplo 04 Una pa parrtítícu cula la se mue ueve ve en una trtray ayec ecto torria cu currva de ta tall manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación
1
vxa v
3
Ejemplo 04
Sabemos que la aceleración en cualquier instante es
a
at
an
Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos
a
vxa
vxa
at
vx at
vxat
an
an
vxa
vxa
vxa
vxan
0 vxan
vxan van sen90
Remplazado la normal tenemos
vxa
vxan
Debi biddo a que la aceleración tang ta ngen enci cial al so sonn co coliline neal ales es su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos
1
van
aceleración
v(
v
vxa v
3
2
)
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del bote en t = 3 s.
Ejemplo
Un avión viaja a lo largo de un a trayectoria parabólica vertical y 0, 4 x . En el punto A el avión tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementa a razón de 0,8 m/s2 . Determine la magnitud de la aceleración del avión cuando pase por A. 2
Ejemplo
El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v 0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad de tiempo.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo. Sin emba barrgo, existen ejemplos en el que la trayector oriia del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia. Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN
En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica.
MOVIMIENTO RELATICO: POSICIÓN
Consideremos dos partículas A y B moviéndose en las trayectorias mostradas Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ serán r A OA
r B
OB
El observador B s ó lo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de referencia móvil Oxyz
La posición relativa de A con respecto al observador B , es
rA
rB
r A / B
Movimiento relativo: Velocidad
Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene
vA
v B v A / B
Movimiento relativo: Aceleración
Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
aA
aB
a A / B
Ejemplo 01
Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viaj ajaand ndoo po porr la carreter eraa con un unaa velocidad de 67, 7,55 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.
SOLUCIÓN
La ve velo loci cida dadd rel elat ativ ivaa es me medi dida da desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OX’Y’, Como las velocidades de T y A son conoc co nocid idas as,, ent entonc onces es la ve velo loci cidad dad relativa se obtiene de
vT
90i
vA
(67.5 co cos 45 i
vT / A
{42.3i
vT / A
67.5 si sin 45 j ) vT / A
47.7 j )km / h
solución
La magnitud de la velocidad relativa será vT / A
(42.32
47.72 )2
63.8km / h
La dirección de la velocidad relativa es tan
vT / A vT / A
47.7
y
42.3
x
48.40
solución
Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como se indica en la figura. El avión A está volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleración de 50 km/h2. El avión B está volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y está decreciendo su rapidez a razón de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleración relativa de B medida por el piloto A
Solución
Al avión A esta moviéndose rectitillíne neaamente y se asocia un marco de referencia móvil Ox’y’. La velocidad relativa de B respecto de A es vB
600 v B / A
2
a B
v A v B / A
700 v B / A
El avi vióón B titien enee ace celler eraaci ción ón norm no rmal al y ta tang ngen enci cial al pu pues es se mueve en una curva. La aceleración normal será
100km / h 100 km / h
v B n
900km / h 2
Aplicando la ecuación para determinar la aceleración relativa se tiene
aB
a A a B / A
900i 100 j a B / A
50 j
a B / A
900i 150 j km / h 2
Solución
En un determinado instante los carros A y B están viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, resspe re pect ctiiva vame mennte te.. Ade demá máss en dicho instante la velocidad de A está disminuyendo a razón de 2m/s2 y B experimenta un inccre in reme mennto de su ve velloc ociidad a razón de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleración de B con respecto de A
Solución
El sistema de referencia fijo está en tierra y el marco móvil en el auto A. Por tanto se tiene vB
12 j
2
a B
v A v B / A
18 cos 60 60 i 18 sin 60 60 j
v
B / A
La aceleración normal será
v B n
La aceleración relativa será
9i 3.588 j m / s
v B / A
aB
1.440i 3 j
92
v B / A
3.5882
9.69m / s
La dirección de la velocidad relativa será
tan
v B / A v B / A
9
x
a A a B / A
2 cos 60 60 i 2.440i
a B / A
5.32m / s 2 62.7
2 sin 60 60 j
4.732 j m / s 2
Su dirección será
3.588
y
21.7
a B / A
1.440 m / s 2
a B / A
Ejemplo
Los pasa sajjeros que viajan en el avión A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avión B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B está señalando en la dirección en la dirección 45°noreste, el avión B se presenta a los pasajeros de A como separándose de éste bajo el ángulo de 60° representado. Halle la velocidad verdadera de B
Solución El marco móvil está asociado al avión A donde se efectúan las observacioness relativas observacione
vB
B
[v Bcos 45 i
ˆ
[
ˆ
v Bcos 45
ˆ
comp co mpone onente nte i :
v A v B / A
(800i )km / h
v A
Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene
La velocidad de A es conocida en módulo y dirección, el ángulo de 60° de la velocidad relativa de B respecto de A es conocido y la velocidad verdadera de B tiene una dirección de 45°. Entonces tenemos.
v
v sBen 45 j ] ˆ
60 i
ˆ
60 j ] ˆ
800 v / B cA os 60
comp co mpone onente nte j : ˆ
v Bsen45
v
v / B Asen60
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene / B A
586km / h; v
B
717 km / h