A. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE 1. Grandeurs cinématiques a. Rappels et définitions •
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La cinématique étudie les mouvements sans se préoccuper de leurs causes (c’est-à-dire des forces) Le mouvement est le changement de position d’un corps dans l’espace. L’objet en mouvement est appelé le mobile et sera modélisé par son point matériel qui est le plus souvent confondu avec son centre de gravité. Par étudier le mouvement , on entend déterminer les grandeurs physiques qui décrivent le mouvement (position, vitesse, accélération,…) et les relati ons qui les relient. Le mouvement est décrit par rapport à un référentiel. On appelle référentiel le système matériel par rapport auquel le mobile se déplace.
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Le mouvement du mobile dépend du référentiel. Il est r elatif !
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Pour pouvoir décrire le mouvement du mobile, il faut pouvoir repérer la position du mobile à un instant donné. Pour cela, on utilise un repère, lié au référentiel. Un repère est constitué par une origine O et une base orthonormée.
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La trajectoire d’un d’ un point ponctuel est la courbe décrite par le mobile au cours du temps. La trajectoire dépend du repère choisi !!!
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b. Repère cartésien
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repère (O, i, j, k)
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vecteur position :
OM = x " i + y " j + z " k
" x% $ ' OM y $$ '' # z & •
Les coordonnées x,y,z varient avec le temps. On appelle équations horaires les fonctions x(t), y(t) et z(t)
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La vitesse indique la rapidité avec laquelle la position du mobile varie.
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Vecteur vitesse :
o
o
v
dOM =
dt
Le vecteur vitesse v d’un mobile ponctuel M est la dérivée, par rapport au temps, de son vecteur position OM
o
Le vecteur vitesse d’un mobile est tangent à sa trajectoire.
o
Unité de la vitesse :
m s
o
Ordres de grandeur : cf feuille en annexe
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Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes :
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L’accélération indique la rapidité avec laquelle la vitesse du mobile varie.
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Vecteur accélération :
o
o
o
o
a
dv =
dt
Le vecteur accélération a d’un mobile ponctuel M est la dérivée, par rapport au temps, de son vecteur vitesse v Le vecteur accélération a d’un mobile ponctuel M est la dérivée seconde, par rapport au temps, de son vecteur position OM Unité de la vitesse :
m s
o
2
Ordres de grandeur : cf feuille en annexe
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Expression du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes :
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c. La base de Frenet Pour une trajectoire curviligne, circulaire ou elliptique, on utilise souvent la base de Frenet :
Dans la base (O, i, j, k), la trajectoire du mobile M est connue. En choisissant une origine des espaces (le point A), et un sens positif (cf. figure), on peut repérer la position du mobile par son abscisse curviligne s. Soit N et T deux vecteurs unitaires liés au mobile : le vecteur T est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens positif le vecteur N est normal à la trajectoire et orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire Ces deux vecteurs constituent une base locale, appelée base de Frenet (T,N ), qui est très utile pour l’étude du mouvement circulaire. • •
Expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans la base de Frenet:
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Exercices Cinématique, MCU sources : Physique Terminales CE (Nathan), Physiqkalische Aufgaben (Nathan), Pysique générale et appliquée (Schaum)
1. Les équations paramétriques (en unités SI) du mouvement d’un mobile de déplaçant dans un plan muni d’un repère (O, i, j) sont :
& x = 3 ' t % 2 $ y = (4 ' t
# " + 5 ' t !
a. Rechercher l’équation cartésienne de la trajectoire. b. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse. c. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse lorsque le mobile passe par son ordonnée maximale ymax. d. Calculer l’abscisse du mobile lorsque celui-ci repasse par l’ordonnée y = 0 e. Calculer la valeur de la vitesse à la date t = 6 s 2. Les équations paramétriques (en unités SI) du mouvement d’un mobile de déplaçant dans un plan muni d’un repère (O, i, j) sont :
& x % $ y
=
5 ' t 2
=
a. b. c. d. e.
3 ' t
# " ( 4 ' t !
Rechercher l’équation cartésienne de la trajectoire. Calculer l’abscisse du mobile lorsque celui-ci repasse par l’ordonnée y = 0 Calculer la vitesse en ce point. Déterminer les coordonnées du mobile à l’instant t = 4 s. Quelle est alors sa vitesse ? Déterminer l’accélération du mobile aux points dont les abscisses sont x O=0 m ; xA=2 m ; xB=4 m . Conclusion...
3. La Terre (R = 6380 km) effectue un tour complet en 23h56min. a. Calculer la vitesse angulaire de la Terre. b. Comparer les vitesses linéaires et angulaires d’une personne au Luxembourg (latitude=49°) à celles d’une personne se situant à l’équateur et au pôle nord.
4. Une fraise de dentiste, de diamètre d = 2 mm, tourne à 100000 tours par minute. Quelle est sa vitesse angulaire ? Quelle est la vitesse d’un point de la périphérie de la fraise ? 5. A midi, l’aiguille des heures se trouve exactement en dessous de la grande aiguille. Trouver l’heure exacte des autres recouvrements !
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