cinetica particula

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CINÉTICA DE LA PARTÍCULA En la cinética se desarrollan métodos necesarios para formular la aceleración de una partícula en términos de su velocidad y posición. Estos conceptos se utilizarán en la cinética para aplicar la Segunda Ley de Newton, la cual permite estudiar los efectos provocados por una fuerza no equilibrada que actúa sobre una partícula. Dependiendo de la geometría de la trayectoria, los problemas se analizarán utilizando coordenadas rectangulares, normal y tangencial o cilíndricas.

Curso de DINÁMICA – EC114 I

Profesor: Ing. Fernando Lázares La Rosa





LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON PRIMERA LEY: Una partícula originalmente en reposo o moviéndose en línea recta y a velocidad constante, permanecerá en este estado en caso de que la partícula no esté sujeta a ninguna fuerza no equilibrada. TERCERA LEY: Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales opuestas y colineales.

La primera y tercera Ley de Newton se utilizan en el desarrollo de los conceptos de la estática que es un caso especial de la Dinámica, ya que la segunda ley de Newton proporciona los resultados de la primera ley cuando la fuerza resultante es cero, es decir no ocurre aceleración alguna, la partícula tiene velocidad constante. Curso de DINÁMICA – EC114 I



LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON SEGUNDA LEY: Una partícula sobre la que actúa una fuerza no equilibrada F experimenta una aceleración a con la misma dirección que la fuerza, así como una magnitud directamente proporcional a la fuerza.

a2

a1 m

F1

m F2

a3

m F3

F2 F3 F1 a1 = a2 = a3 = constante = m (masa) Curso de DINÁMICA – EC114 I



LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON El valor constante obtenido por la razón entre las magnitudes de las fuerzas y las aceleraciones es una característica de la partícula en consideración. Se le llama masa m y está sujeta a una fuerza F, esta

fuerza y la aceleración a de la partícula deben satisfacer:

F = ma F1 F2

Ecuación matemática de la Segunda Ley de Newton (Ecuación de movimiento)

F3 m F4


F1 + F2 + F3 + F4 = SF = FR

a

m

SF = FR = m a

FR

SF = FR = m a Profesor: Ing. Fernando Lázares La Rosa


Tomado de Dinámica-Merian




h

w O Curso de DINÁMICA – EC114 I

E


UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Gaspard-Gustave de Coriolis (21 de mayo de 1792, París - 19 de septiembre de 1843). Ingeniero y matemático francés, fue profesor de análisis geométrico y de mecánica general en l'École Centrale des Arts et Manufactures. Su interés en la dinámica del giro de las máquinas le condujo a las ecuaciones diferenciales del movimiento desde el punto de vista de un sistema de coordenadas que a su vez está rotando, trabajo que presentó a la Académie des Sciences. Debido a la importancia de su trabajo, el efecto Coriolis lleva su nombre El efecto Coriolis, descrito en 1836 es el efecto que se observa en un sistema de referencia en rotación (y por tanto no inercial) cuando un cuerpo se encuentra en movimiento respecto de dicho sistema de referencia. Este efecto consiste en la existencia de una aceleración relativa del cuerpo en dicho sistema en rotación. Esta aceleración es siempre perpendicular al eje de rotación del sistema y a la velocidad del cuerpo

Un ejemplo canónico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en dirección norte. El cañón está girando con la tierra hacia el este y, por tanto, imprime al proyectil esa velocidad (además de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsión). Al viajar el proyectil hacia el norte, sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad líneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente. La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que, por tanto, si el vuelo es suficientemente largo, el proyectil caerá en un meridiano situado al este de aquél desde el cual se disparó, a pesar de que la dirección del disparo fue exactamente hacia el norte. Curso de DINÁMICA – EC114 I



Ley de Atracción Gravitacional de Newton La gravedad, es la atracción que experimentan entre sí los objetos con masa. Corresponde a la fuerza que todos conocen como peso. El peso que es familiar a todos es la fuerza de gravedad que ejerce la tierra (que tiene una gran cantidad de masa), con cualquier objeto que está en su superficie, incluyendo el cuerpo de las personas. La atracción de la gravedad en la superficie de la tierra no es exactamente igual en todos los sitios. Existen pequeñas variaciones de un lugar a otro. Principalmente son dos los factores causantes de esto: - La tierra es aproximadamente un elipsoide de revolución achatado en sus polos (GEOIDE) -Además localmente las irregularidades de la superficie y ciertas homogeneidades continentales provocan pequeñas perturbaciones del campo a lo largo de la superficie. Esta noción de la Tierra como GEOIDE fue predicha por Isaac Newton en sus Principia durante el año 1687, para ello Newton se valió de un sencillo experimento: hacer girar velozmente un cuerpo viscoso en un fluido líquido, de este modo expresó que: "la forma de equilibrio que tiene una masa bajo el influjo de las leyes de gravitación y girando en torno a su eje es la de un elipsoide de revolución aplastado en sus polos". Curso de DINÁMICA – EC114 I



Ley de atracción gravitacional de Newton En su ley de la gravitación universal, Newton postuló que dos partículas de masa M y m a una distancia r una de la otra se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y –F dirigidas a lo largo de la línea que las une. La magnitud común F de las dos fuerzas es:

F=

GMm

m

r2 r

F

–F donde G es una constante universal, llamada la constante de gravitación universal. Los M experimentos indican que el valor de G es: G = (66.73 + 0.03) x 10-12 m3/(kg.s2) = 34.4 x 10-9 ft4/lb.s Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier par de cuerpos, pero su efecto sólo es apreciable cuando uno de ellos tiene una masa muy grande (movimiento de planetas y satélites, cuerpos que caen sobre la superficie terrestre). Curso de DINÁMICA – EC114 I


UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Por ejemplo, usando la ley de la Gravitación Universal, podemos calcular la fuerza de atracción entre la tierra y el cuerpo de una persona de 50 Kg. La masa de la tierra es de 5.974 × 1024 Kg. y la masa de la persona es 50 Kg. La distancia entre el centro de gravedad de la tierra (centro de la tierra) y el centro de gravedad de la persona es de 6,378.14 Km. (igual a 6,378,140 m, y suponiendo que la persona está sobre la línea del ecuador).

Entonces, la fuerza es:

F = 490.062N La fuerza con que se atraen la tierra y el cuerpo de una persona de 50 Kg. es 490.062 Newton. Esto es una forma correcta de decir (usando las unidades del SI), que una persona pesa 50 Kg. (dicho en términos corrientes). MASA: Propiedad de la materia por la cual es posible comparar la acción de un cuerpo con respecto a otro. Esta propiedad se manifiesta como la atracción gravitacional entre dos cuerpos; proporciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a un cambio en su velocidad. Es una cantidad absoluta. PESO: La única fuerza gravitacional de magnitud considerable que existe entre el planeta tierra y un cuerpo que se encuentra cerca o sobre la superficie terrestre, recibe el nombre de PESO. No es un valor absoluto, sino relativo ya que se mide en un campo gravitacional, su magnitud depende del lugar donde se realice la medición.




G m1 m2 F= d2

G m2 m F= 1 d2

F = m1 g= W

g=

G m2 d2

g = aceleración de la gravedad Sistema Internacional de unidades: m

kilogramos (Kg.)

g

m/s2

Fuerza = Kg. m/s2 = NEWTON (N) = Peso

Si un cuerpo se encuentra en una ubicación estándar (a nivel del mar) y una latitud de 45º

g = 9.80665 m/s2

g = 9.81 m/s2

1 gravedad (1G)

Sistema Británico de unidades: Fuerza = Libras (lb.)

g = pies/s2

m = lb. s2 = SLUG pie

g = 32.2 pies/s2

Los valores de la gravedad en el ecuador y en los polos del planeta son respectivamente:




MARCO INERCIAL DE REFERENCIA Cada vez que se aplica la ecuación de movimiento, es necesario medir la aceleración con base en un marco de referencia inercia o Newtoniano. Tal sistema de coordenadas no rota y puede estar fijo o bien desplazarse en una dirección determinada con una velocidad constante (aceleración cero)

y

w

Y

O’

aP P

w =0 a o= 0

ao’

x

Trayectoria de partícula

vo= cte

O


aP/o’ = aP – ao’

X

Es posible resolver los problemas dinámicos referente a los movimientos cerca o sobre la superficie terrestre utilizando un marco inercial que se supone fijo en la Tierra. Aún cuando el planeta rota sobre su propio eje y en torno del sol, en la mayoría de los cálculos se ignora la aceleración que originan estas rotaciones. Profesor: Ing. Fernando Lázares La Rosa


FZ

Z

Ecuación de movimiento Coordenadas rectangulares

P FX

k i

O

j

X

FY

SF = m a

SFxi + SFyj + SFzk = m (axi + ayj + azk) Y

SFx = m ax

SFy = m ay SFz = m az




Fuerza de fricción Cuando la partícula está en contacto con una superficie áspera, se debe utilizar la ecuación de la fricción que relaciona el coeficiente de fricción cinético mk con las magnitudes de la fuerza normal N y de fricción Ff que actúa sobre la superficie de contacto y que se opone al movimiento. trayectoria

mk

Ff

Ff = mk N

N Curso de DINÁMICA – EC114 I



Fuerza de resorte Si la partícula esta conectada a un resorte elástico, cuya masa es despreciable, es posible relacionar la fuerza FR del resorte con la deformación del resorte por medio de la ecuación: FR

FR = K s s

K s

FR = K s

K = constante de rigidez del resorte Curso de DINÁMICA – EC114 I

s S = deformación del resorte Profesor: Ing. Fernando Lázares La Rosa


binormal

Ecuación de movimiento Coordenadas Tangencial y Normal

b O’ n normal

ub un P

Si la partícula se mueve a lo largo de un espacio curvo, entonces en un instante determinado el eje t se especifica en forma única; sin embargo es posible trazar un número infinito de líneas rectas normales al eje tangente en P. El eje n tendrá sentido positivo cuando se dirija de P hacia el centro de curvatura O’ de la trayectoria.

ut t tangencial

Debido a que ut y un son siempre perpendiculares entre sí y se encuentran en un plano (llamado plano de osculación), para el movimiento espacial un tercer vector unitario ub define un eje binormal b que es perpendicular a ut y un u =u xu b


t

n



Ecuación de movimiento Coordenadas Tangencial y Normal Movimiento curvilíneo en el plano

O’ n

Es posible escribir la ecuación de movimiento de la partícula “P” en las direcciones normal y tangencial

S Fn un

SF = m a P SF u t t

t

SFt ut + SFn un = m (at + an)

SFt y SFn representan la suma de todas las componentes de las fuerzas que actúan sobre la partícula en las direcciones normal y tangencial.

SFt = m at Curso de DINÁMICA – EC114 I

SFn = m an Profesor: Ing. Fernando Lázares La Rosa


S Fzuz P

S Fq uq

Ecuación de movimiento Coordenadas Cilíndricas SF = m a

S Fr ur O

r q

SFr ur + SFq uq + SFz uz = m (ar + aq + az)

SFr, SFq y SFz representan las sumas de todas las componentes de las fuerzas que actúan sobre la partícula en los ejes radial (r), transversal (q) y z.

SFr = m ar

SFq = m aq SFz = m az




Ecuación de movimiento Coordenadas Polares tangente r =f(q)

tangente

r =f(q)

y

P N

O

T

M

P

r q

+

r

F

O

q

La fuerza T causa que la partícula se mueva sobre la trayectoria r =f(q). La fuerza normal N que la trayectoria ejerce sobre la partícula es siempre perpendicular a la tangente de la trayectoria. La fuerza de fricción F siempre actúa sobre la tangente en la dirección opuesta al movimiento. Es posible especificar las direcciones de N y F relativos a la coordenada radial r calculando el

ángulo y (PSI) que se forma entre la línea radial extendida OM y la tangente a la curva. r Si y (+) se mide desde la línea radial extendida a la tangente en sentido antihorario

Tg y = dr dq

Si y (-)

se mide desde la línea radial extendida a la tangente en sentido horario



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