Cinetica Trabajo y Potencia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

Módulo -Cinética de una partícula-

-Trabajo Potencia y Energía-

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA

PRESENTACION El módulo de aprendizaje denominado Cinética de una Partícula, Trabajo, Potencia y Energía que se presenta a continuación es un compendio de temas, problemas resueltos y problemas planteados por po r distinguidos autores de textos tex tos de física de nivel n ivel universitario, así como de los que devienen deviene n de la experiencia desde las propias aulas universitarias. La estructura del módulo inicia con los objetivos que se pretenden alcanzar en el educando luego se continúa con el desarrollo del módulo que abarca principios y teorías pertinentes, seguidamente se desarrollan diversos ejemplos de aplicación, se plantean ejercicios y problemas los cuales vienen planteados con su respectiva respuesta para que el alumno desarrolle y compruebe su desarrollo. Finalmente se adjuntan las prácticas de laboratorio que se desarrollan sobre uno de los temas desarrollados. El contenido temático del módulo obedece a los requerimientos de lo sílabos de las diferentes carreras en las que se imparte la enseñanza de la física sirviendo como guía básica tanto al docente en el desarrollo de las clases así como al alumno quien tendrá que profundizar el estudio de los temas de ser necesario.

1





CONTENIDO DEL MODULO

TEMA

PAG

Objetivos Introducción

03 03

Segunda ley de Newton o ley del movimiento

Potencia mecánica Impulso u momentum lineales

03 04 05 05 08 12 12 13 15 16 16 17 18 19 23

Práctica de laboratorio

25

 

Ley de gravitación de Newton Diferencias entre masa y peso

Tercera Ley de Newton Dinámica del movimiento circular Trabajo mecánico   

Trabajo de una fuerza constante Trabajo de una fuerza variable Fuerzas conservativas

Energía mecánica   

Energía cinética Energía potencial Principio de conservación de energía

Bibliografía

2





MODULO: CINETICA DE UNA PARTICULA, TRABAJO POTENCIA Y ENERGIA Objetivos - Definir, conocer y aplicar conceptos de dinámica de una partícula y trabajo y energía. - Adquirir conceptos de dinámica de una partícula, leyes de Newton - Adquirir conceptos de Fuerza de fricción, trabajo, potencia y energía

INTRODUCCION En el capítulo anterior, hemos señalado que:

CINEMATICA: Geometría del movimiento

DINAMICA

CINETICA: Efecto de las fuerzas sobre el movimiento La Cinética es la parte de la dinámica que estudia las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y el cambio en su movimiento.

Isaac Newton, (1642-1727), matemático y físico británico, es considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. PRI M ERA LEY: Ley del equilibrio. Si sobre un

cuerpo no actúa ninguna fuerza, o actúan varias fuerzas que se anulan entre sí, entonces el cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. SEGUNDA LEY:

Ley del movimiento. Una

partícula sobre la cual actúa una fuerza desbalanceada (no nula), experimenta una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza y tiene la misma dirección que ésta. TERCERA L EY: Ley

de acción y reacción. Las acciones mutuas de dos cuerpos entre

sí en contacto, son siempre iguales en tamaño y dirección y dirigidas en sentido contrario. 1.1 SEGUNDA L EY DE NE WTON O L E Y D EL M O VI M I E N T O. Esta ley establece que:

Σ⃗ = m⃗, donde:

3




DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA o

Σ⃗ : Resultante de todas las

o

fuerzas externas que actúan sobre la partícula. m: masa de la partícula y ⃗,: aceleración que experimenta la partícula, // Σ⃗

⃗ ⃗

⃗

m

⃗

Así, en un sistema de ejes coordenados, se cumple que:

ΣFx = max ; ΣFy = may ; ΣFz= maz . o

NOTAS: 







La ecuación de la Segunda Ley de Newton es válida, únicamente si m=cte y para marcos inerciales, es decir para marcos o sistemas fijos o que se mueven con velocidad constante (marcos inerciales o newtonianos). Supondremos que la Tierra lo es. Es una ley experimental que no puede probarse por deducciones matemáticas.      Del desarrollo de Σ⃗ = m ⃗, = m  =  =  ; Σ⃗ =  que es la variación de la cantidad de movimiento en el tiempo. La primera ley de Newton, es un caso particular de la segunda ley, en la cual la aceleración es nula porque la velocidad es constante. Σ⃗ = 

1.2 LEY DE LA GRAVI TACION DE NE WTON.

Ley descubierta por Newton durante el estudio del movimiento de los planetas. Esta ley establece que: la fuerza F de atracción gravitacional entre dos masas M y m cualesquiera, separadas por una distancia r, es igual a:

F=   

M

F

G: constante de gravitación universal. -11 3 2 G=6,673x10 m /Kgs . -8 4 4 G=3,442x10 pie /lib s . -8 3 2 G=6,673x10 cm /gr s . Con esta ecuación puede determinarse la aceleración de la gravedad. 

 

m: masa de cualquier cuerpo. M: masa de la Tierra.

 

m

F:fuerza de atracción gravitacional (peso).

r ≈ R: radio de la tierra

4




DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA 24

M =5,976x10 Kg. R=6378Km=3960millas.

m m

≈ R R, M

R M     ; w=  ; mg =  ; g =       2 2 Dando valores a esta ecuación, g ≈ 9.81 m/seg ≈ 32.2 pies/seg

F=

1.3 DI F ERENCI AS ENTRE M ASA Y PESO

MASA

PESO

1. Es una cantidad física escalar, inercial 2. Cantidad de materia contenida en un cuerpo 3. En un sistema inercial, es constante.





1. Es una cantidad física vectorial, fuerza. 2. Fuerza de atracción que ejerce el centro de la Tierra sobre un cuerpo. 3. Es variable con la distancia del objeto al centro de la Tierra de acuerdo al valor de la aceleración de la gravedad en ese punto. g = <9.78m/s 2; 9.82 m/s 2>

Un cuerpo en caída libre tiene una aceleración igual a g, si existe aceleración, existe una fuerza que lo produce esta es la fuerza gravitacional o peso. Si m=1 Kg cerca a la superficie media de la Tierra el peso será de w=1(9.8)Kg m/s 2 = 9.8N, es decir que cualquier cuerpo de masa 1 Kg cercano a la superficie terrestre debe pesar 9.8N

1.4 TERCERA L EY DE N EWTON

Las acciones mutuas que ejercen dos cuerpos en contacto entre sí, son siempre iguales en tamaño y dirección y dirigidas en sentido contrario. Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, el cuerpo B ejercerá una fuerza igual pero en sentido contrario sobre A.

⃗AB A B

⃗AB

= ⃗ BA….. reacción

Fuerzas de acción y

⃗BA 

ACELERACION EN POLEAS MOVILES. En diversos sistemas, podemos encontrar poleas

móviles y poleas fijas. Según estas condiciones se solucionan los sistemas. Así, en general:

5





⃗0 = (⃗ A +⃗B) / 2 Donde: ⃗0: aceleración de la polea. ⃗ A: aceleración del punto A de la cuerda. ⃗B: aceleración del punto B de la cuerda

CASOS PARTI CUL ARES:

1.

aP = (a A

–

aB) / 2 ↔ a A > aB

2.

aP = (aB

–

a A) / 2 ↔ aB > a A

3.

aP = (a A + aB) / 2

4.

aP = (a A + aB) / 2

6





5.

6.

aP = aB / 2

a A = aB

Ejemplo: 1. a p=0 a2



a2



La aceleración de la masa m2 es a2 La aceleración de la masa m1 es a2/2

a2/2

2. En la figura mostrada, m1=2Kg; m2=3Kg; m3=1Kg. Hallar las aceleraciones de dichas masas si no existe fricción y la tensión en los cables. DCL Polea1

DCL1



DCL2

En DCL 1: ΣFx = max 2T = m1a; pero a = a p = ½(a1+a2) 2T = 2(½(a1-a2)) T = ½(a1-a2)…..(1)

DCL Polea2

DCL Polea3

DCL3



En DCL 2: ΣFy = may w2 -T = m2a2 m2g-T = m2a2 7



-Trabajo Potencia y EnergíaT = (9.81- a1) ….(3)




3(9.81)-T = 3a2 T = 3(9.81 - a2) ….(2) En DCL 3: ΣFy = may w3 -T = m3a1 m3g -T= m3a1 1(9.81) -T = 1a1

De (1), (2), (3): T= 5.89 N 2 a1= 3.92 m/s . 2 a2= 7.85 m/s . 2 a = 5.89 m/s .

1.5 DI NAM I CA DEL M OVIM I ENTO CIRCULAR

Si una partícula se mueve en trayectoria circular, experimenta una velocidad tangencial que no es constante ya que continuamente cambia de dirección aunque su rapidez puede ser la misma en todos los puntos de la trayectoria. Si la velocidad no es constante porque cambia de dirección, existe una fuerza responsable de que la partícula experimente este cambio, esta fuerza es la fuerza normal. an: aceleración normal, radial o centrípeta (dirigida hacia el centro de la circunferencia). V: rapidez o magnitud de la velocidad, tangente a la circunferencia. R: Radio de la circunferencia.

V V

R an an

an

t

n V

Aquí nuevamente se cumple la segunda ley de Newton, en la que: Σ⃗ = m⃗. Para la cual, en cada dirección tendremos: ΣFn = man ; ΣFt = mat . 2

2

Donde, an = V / R = ω R

; at = dV/dt = αR; V = ωR.

Cuando la fuerza normal o centrípeta cesa, el movimiento toma otra dirección, la dirección de la tangente a la curva, el cuerpo sale despedido en esa dirección con movimiento rectilíneo uniforme.

V an

an

ΣFn= 0 V

V

an = 0

V=cte

8





EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Un bloque de 0.45 Kg. es empujado sobre una superficie lisa. Al soltarlo, el bloque tiene una velocidad de 2.8 m/seg. y frena por fricción deslizándose 1 m antes de parar. ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza de fricción? 1m f VB=0

VA=2.8m/s

ΣFx = max

v =v0 +2a(x-x0) 2 0=2.8 +2a(1) 2 a=-3.92 m/s

2

a=-3.92 m/s -f= 0.45(-3.92) f= 1.764 N

2. ¿Qué fuerza P se requiere para dar a un bloque de 2 Kg. una velocidad horizontal de 4 m/seg. en 2 segundos a partir del reposo? P

t=2s

VA=0

ΣFx = max

v=v0+at 4=0+a(2) 2 a=2 m/s

P= 2(2) P= 4 N

VA=4 m/s

3. En la figura, m1= 30 gr. y m2= 40 gr. Si m1 es jalada por m2 a través de una cuerda y suponemos que no existe rozamiento entre la cuerda y la polea y la masa y la superficie, además que la polea no tiene peso, hallar la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. m1

DCL2

DCL1 a m1

T

T

a m2 W

m2

En DCL2: ΣFy = may W-T = m2a m2g – T = m2a 40(981) – 30a = 40a 2 a= 560.57 cm/seg

En DCL1: ΣFx = max T = m1a

T = 30(a)…..(1)

Finalmente: en (1) T = 30(560.57) T = 16 817.14 Dinas 4. Una caja de masa 2 Kg. se coloca sobre un plano inclinado sin fricción de ángulo 20º. Determine la aceleración de la caja después que se suelta.

ΣFx = max

N

20º W

wsen20 = 2(a) 2(9.81)sen20 = 2(a) 2 a = 3.36 m/seg 9





5. Dos bloques de masa m1 y m2 se ponen en contacto entre sí sobre una superficie sin fricción horizontal. Se le aplica al bloque de masa m1 una fuerza horizontal F. Determine: la magnitud, de la aceleración del sistema de los dos bloques. La magnitud de las fuerzas de contacto entre los bloques.

F

F

ΣFx = max F = (m1 + m2)a a = F/(m1 + m2)

m1 m2

R 21= R

m1

ΣFx = max F – R 21 = (m1) a R 21 = F-(m1)a a = (F- R 21)/(m1)

R 12=R m 2

ΣFx = max

Igualando las aceleraciones y las reacciones: R 21= R 12 = R = F(m2)/(m1+ m2)

R 12 = (m2) a R 12 = (m2)a a = R 12 / m2

6. Determine la velocidad máxima segura a la que puede viajar un vehículo en una carretera curva de 800 pies de radio sin deslizarse lateralmente si el coeficiente de fricción entre los neumáticos y la superficie de asfalto es 0.6 z

t N

f R= 800pies

ΣFz = 0

n

mg

n

ΣFn = man μN = mv2/R; reemplazando (1)

N = mg

2

N = 32.2m …(1)

0.6(32.2m) = mv /800 vmax = 124.32 pie/seg

7. Una esfera de masa 200 gr está sujeta a una varilla vertical a través de un cable de longitud 80 cm. Hallar la tensión producida en el cable cuando la varilla gira a velocidad angular de 6 rad/seg.

ΣFn = man 2 T = mω R

ω = 6rad/s m 80 cm

2

T mg

T = 200(6) (80) 5 T = 5.76 x 10 dinas.

10





8. Un péndulo cónico de 0.36 kg de masa gira con velocidad angular de 5√3 rad/seg. Hallar el radio de curvatura del péndulo y la tensión en el cable. z

ω = 5 3rad/s

ΣFn = man T

37º m

37º

R

De (1) / (2) tan37 =

Tn = man 2 Tsen37 = mω R ….(1)

ΣFz = 0

mg

Tcos37 = mg…….(2)

n

 ; R = 0.10m = 10 cm. 

T = 4.43 N

PRACTICA DIRIGIDA 1. Una cajita de 0.30 Kg. gira uniformemente en un círculo sobre la superficie horizontal sin fricción. La caja está siendo unida por un cordel de 0.14m a un clavo insertado en la superficie. Si la caja completa 2 rev/seg. Calcule la fuerza F que el cordel ejerce sobre ella.

(R: F=6.63N) z

z

N n n

DCL

F mg

2. Un automóvil transita por una curva sin peralte de radio R=230 m. Si el coeficiente de fricción entre las ruedas y el pavimento es de 0.87. ¿Cuál es la máxima velocidad con que debe tomarse la curva para no resbalar? (R: vmax =44m/s)

z

N n F

t mg

DCL

11





3. Un satélite de masa m se mueve en órbita circular al rededor de la Tierra con rapidez constante V y a una altitud h sobre la superficie del planeta. Determinar la rapidez del satélite en función de G, h, R y M. (R: v=√[(GM)/(R+h)]

Prob.3

Prob. 4

4. Se está moviendo un bloque de 3500 libras por medio de una grúa. Determine la tensión que ejerce sobre el cable de soporte cuando a) el bloque se está levantando con una aceleración de 10 pies/seg. b) el bloque se está bajando con una aceleración de 10 pies/seg.

(R: a) T=4590 lib. b) T=2410 lib) 5. Un bloque de peso 322 lb. se está deslizando sobre la superficie horizontal por la acción 2 de una fuerza F= 75 + 3t lb, donde t está en segundos. Si la velocidad inicial del bloque es 1.8 pies/s cuando t=0, determine su velocidad cuando t = 3 seg. y la distancia recorrida durante ese intervalo. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es 0.2. (R: a) vx =5.04 p/s. b) x=8.44 pies) 40º

F

Prob. 6

Prob. 5

6. Un niño de 40 kg. se mece en un columpio soportado por dos cadenas , cada una de 3m de largo. Si la tensión en la cuerda en el punto más bajo es 350 N, encuentre a) la rapidez del niño en el punto más bajo. (R: v=4.80 m/s)

1.6 TRABAJO MECANICO 1. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE

Sea un bloque de masa M que se mueve sobre una superficie un desplazamiento ⃗ debido a la acción de una fuerza ⃗ constante.

⃗ M

θ

⃗

El trabajo realizado por la fuerza constante ⃗ sobre la masa M se define como: U = ⃗ . ⃗

= Fd cos θ = (F cos θ)(d)

Siendo Fcos θ, la proyección de la fuerza ⃗ sobre el desplazamiento ⃗. De aquí se puede afirmar que no toda la fuerza componente paralela al desplazamiento.

⃗

realiza trabajo, sino solamente la

12





El trabajo mecánico es una cantidad física escalar, cuyas magnitudes son: [U] = [F] [d] = FL ….en el sistema gravitatorio 2 -2 [U] = [F] [d] = ML T …. en el sistema absoluto.  

Unidades: SI: N-m = Joule. Inglés: Lib-pie.









Notas 









Si ⃗ y

CGS: Din-cm = Ergio. MKS: Kgf-m = kilogrametro

⃗ son paralelos, U= ⃗ . ⃗ = Fd cos θ = (F cos 0º )(d) = Fd.

El trabajo se considera positivo si la fuerza ⃗ o su componente tiene el mismo sentido que el desplazamiento. El trabajo se considera negativo si la fuerza ⃗ o su componente tiene sentido opuesto con el desplazamiento. El trabajo se considera nulo si ⃗ no tiene la fuerza componente en la dirección del desplazamiento.

a) Trabajo positivo, b). Trabajo negativo, c) Trabajo nulo.

Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento de la masa sobre la que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo.

2. TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE Consideremos una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza variable ⃗ la cual está en función de la posición de la partícula en el espacio, es decir, ⃗ = ⃗ (r) y sea d⃗ un desplazamiento infinitesimal experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo dt.

⃗

Z

⃗1 d⃗ ⃗2 Y

El trabajo realizado por la fuerza será: dU = ⃗ .d⃗ = Fcos θdr , de donde, U= ∫ Fcos θdr , luego:  ⃗ U AB = ∫ ⃗  

X 13



-Trabajo Potencia y EnergíaEn el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección y sentido), se tiene que:  ⃗ =  ∫  ⃗   (⃗ A-⃗ B )=  ⃗ U AB = ∫ ⃗   DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre esta ella, entonces ⃗ representará al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Hallar el trabajo producido por el peso w de una partícula para desplazarse de A a B. Z

⃗ = -w  d⃗ = dx⃗ + dy⃗  + dz   ⃗ = ∫( ) ⃗  U AB = ∫ ⃗     ⃗      ∫

B

dr A

zB

w

zA

Y

o

U AB = -w(zB-zA) = -wh

X 2. Hallar el trabajo efectuado por un resorte que se estira. L0

x=0

O

x

xA

A

xB

B

xC

C

x x x

⃗  -kx  (Ley de Hooke) ⃗ dx⃗ d     = - ½k(  -  ) ⃗   ⃗   ∫   = - ½k[ x2 ⃗ = ∫ U AB = ∫ ⃗      

2

Si xA = 0; xB = x; U AB = - ½k x (el resorte se estira) 2 Si xA = 0; xC = -x; U AB = ½k x (el resorte se comprime)

3. Un automóvil de masa 1200 Kg. sube por una colina de 15º de inclinación con velocidad constante de 36 Km/h. Calcular el trabajo efectuado por el motor en 5 segundos. Y

36 Km/h

U AB = ⃗ . ⃗ ; donde:

N X 15º

⃗. d= d0+vt d= (36000/3600)(5) d=50m. en dirección x.

U AB = ⃗ . ⃗ = (3046.82i).(50i) U = 152 341 Joule.

F w

15º

⃗   . ΣFx = 0

F-wsen15=0 F= wsen15 F= 1200(9.81)sen15 F= 3046.82 N, en dirección x

14





4. Una fuerza F=6t (N) actúa sobre una partícula de masa 2kg. Si la partícula parte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante los 2 primeros segundos. F=6t (N) x

 ⃗ U AB = ∫ ⃗    ⃗ si ambos son // U AB = ∫ ⃗    U AB = ∫ 

Como F=F(t) hay que colocarla en función de x o así mismo puede colocarse x en función de t.

2º caso: 3 1/3 x=0.5t entonces t=(2x)

1º caso: ΣFx = max F = max; ax= F/m=6t/2 =3t  ax= 3t ; ax= = 3t  dVx = 3tdt , integrando:  2 Vx = ∫ ; Vx = 1.5t ; pero  2 2 Vx = = 1.5t ; dx =1.5t dt; integrando  3 x=0.5t Luego:  U AB = ∫  , reemplazando:   3 2 U AB = ∫  ) dt = ∫  dt = 36 J.

t=0; x=0 t=2; x=4m

 U AB = ∫ , reemplazando:    1/3 1/3 U AB = ∫  dx = ∫  √   dx = 36 J.

3. FUERZAS CONSERVATIVAS. Son las fuerzas que realizan trabajo sin depender de la trayectoria que sigue la partícula que se desplaza, es decir como hemos visto, el trabajo que realizan estas fuerzas queda determinado únicamente por la posición inicial y la posición final del elemento en movimiento. Los dos campos de fuerzas conservadoras más importantes son la fuerza gravitacional (peso) y fuerza elástica y cuando se habla de fuerza conservadora, es necesario involucrar el concepto de energía potencial, a la cual la constituyen la gravitacional y la elástica. Sin embargo existen otra clase de fuerzas que no satisfacen estos criterios. Estas fuerzas son las llamadas no conservativas que son por ejemplo, las fuerzas de fricción, para las cuales se desprende que la longitud de la trayectoria que sigue el móvil determina la magnitud del trabajo efectuado por la fuerza de fricción, mientras más larga la trayectoria, mayor será el trabajo realizado. El trabajo efectuado por la fuerza no es independiente de la trayectoria.

15





II. ENERGÍA MECANICA Es una cantidad física escalar la cual se define como la capacidad que tiene un sistema para realizar trabajo. La energía mecánica puede ser cinética o potencial, la que a su vez puede ser gravitacional o elástica.

2.1 ENERGÍA CINÉTICA Consideramos una partícula de masa m constante que se mueve a través de una trayectoria curva dentro de un sistema inercial de coordenadas bajo la acción de un sistema de fuerzas ⃗ con velocidad⃗. Donde: Z

⃗: posición de la partícula en el instante t. ⃗+d ⃗: posición de la partícula en el

m

r

dr r+dr

o

X

instante t+dt . ⃗: desplazamiento de la partícula durante d los instantes t y t+dt

Y

Por la Segunda Ley de Newton: ⃗ = m⃗, multiplicando escalarmente ambos miembros por d ⃗  ⃗ ⃗ . d ⃗ = m  . d  16



-Trabajo Potencia y Energía⃗.⃗ = m vdv por ser vectores paralelos. Integrando con m=cte. dU = m d  2   U12 = m∫  = ½ mv      –  ) DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA

U12 = Ec2 – Ec1. U12 = ∆ Ec. De esta ecuación podemos deducir que: 

 



El trabajo de un sistema de fuerzas que actúa sobre una partícula durante dos posiciones es igual al cambio en su energía cinética. La relación es escalar, no tiene cantidades v ectoriales. El trabajo puede ser positivo, negativo o cero por lo tanto el segundo miembro de la ecuación también. La energía cinética es siempre positiva, pero puede incrementarse o reducirse en cuanto se incremente o reduzca la velocidad de la partícula. 2 -1 2 2 -2 Unidades: [EC] = [m] [v] = M(LT ) = ML T . 2 2 2 S.I.: Kg m / s = (Kg m/s ) m = N m = Joule 2 2 2 S. Ingles: slug pie / s = (slug pie/s ) pie = lib pie 2 2 2 CGS: gr cm / s = (gr. cm/s )cm = Din.cm = Ergio.

2.2 ENERGIA POTENCIAL a. Energía Potencial Gravitacional. Consideremos una masa m que se mueve a través de una trayectoria curva desde un punto 1 hasta un punto 2: 2

y

h mg

x 2

mg

h x

Como se vio en el ejemplo 1 de la página 12, U12 = - wh= - mg h = - mg(y2 – y1) = - mgy2 + mgy1. A la cantidad mgy se le denomina energía potencial gravitacional y se denota como: Eg = mgy = wy Luego, si: U12 = - mgy2 + mgy1. Entonces:

U12 = - Eg2 + Eg1 = Eg1- Eg2 = -∆Eg

De esta ecuación podemos deducir que:

17



-Trabajo Potencia y EnergíaSi Eg2 > Eg1, entonces U12 es negativo (la partícula aumenta su energía potencial en 2 por estar en un nivel más alto que en 1 con respecto al nivel de referencia). Si Eg2 < Eg1, entonces U12 es positivo (la partícula disminuye su energía potencial en 2 por estar en un nivel más bajo que en 1 con respecto al nivel de referencia). Unidades: [Eg] = [F] [L] = FL

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA 





S.I. : N m = Joule S. Inglés: lib pie CGS: Din cm = Ergio 



Se puede observar que la expresión obtenida para la energía potencial de una masa m con respecto a la gravedad es válida si el peso es constante; es decir mientras los desplazamientos encima de la superficie de la Tierra sean pequeños comparados con su radio. En el caso de una nave espacial, por ejemplo, el trabajo de la fuerza de gravedad es:

U12 = Luego, si Eg =-

   

 2 , si la fuerza es el peso w = mg, GM = gR 

Donde: R: radio de la Tierra ( R = 3960 millas = 6378 Km) 24 M: masa de la Tierra (M = 5.976x10 Kg) -11 3 2 G: constante de gravitación universal (G = 6.673x10 m / Kg s Eg = -

    = =  

b. Energía Potencial Elástica. Teniendo en cuenta el siguiente resorte y sabiendo que: (ejemplo 2, pg.12) x=0

L0 O A B C

x

xA xB xC

x x x 2 U AB = - ½k( - ), siendo Ek = ½kx U AB = - (EkB - EkA) U AB = - ∆Ek

18

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA



2.3 PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA. a. En un campo de fuerzas conservativas.

Si U = ∆Ec y U = -∆E p . Entonces: ∆Ec = -∆E p ó ∆Ec + ∆E p = 0 ∆Ec = -∆Eg - ∆Ek Ec2 - Ec1 = -(Eg2 - Eg1) - (Ek2 – Ek1) = -Eg2 + Eg1 - Ek2 + Ek1 Ec1 + Eg1 + Ek1 = Ec2 -Eg2 - Ek2 Etotal 1 = Etotal 2 La energía mecánica total de una partícula permanece constante durante todo su movimiento, es decir que la variación de su energía mecánica total es igual a cero.

b. En un campo de fuerzas conservativas y no conservativas. Si U = UFC + UFNC y U = ∆Ec y UFC = -∆E p . Entonces: ∆Ec = -∆E p + UFNC UFNC = ∆Ec +∆E p El trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía mecánica total.

2.4 POTENCIA MECANICA Es una cantidad física escalar que se define como la cantidad de trabajo mecánico que un sistema puede realizar en una unidad de tiempo.

a. Potencia media. Pot = U/t = Fv

b. Potencia instantánea. Pot =   =

 

Unidades: [Pot] = [U] /[t] = FLT

-1

S.I. : Joule/seg=watt S. Inglés: lib pie/seg CGS: Ergio/seg Otra: HP (horse power = caballo fuerza). 1HP = 746 watt.

Eficiencia (η) η(%) = (potencia útil/potencia suministrada)(100) η(%) =(trabajo útil/trabajo suministrado)(100) 19





EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Un automóvil de masa m=1200 Kg. se desliza una distancia de 25m hasta que se detiene. Si μ c = 0.70 encontrar el trabajo realizado por la fuerza de fricción que lo ha detenido y su velocidad inicial. A

25m

B

N

f f w

ΣFv = 0

Por principio de conservación de energía UFNC = ∆Ec +∆E p -f(d) = ∆Ec = EcB - EcA -f(d) =   –  ) 5 -2.06x10 =   –  ) v A = 18.53 m/s

N-w = 0 N = w = mg = 1200(9.81) 11 760 N pero: f= μc N = 0.70(11 760) = 8 230 N Finalmente: 5 UAB = f(d) = -8 230(25) = - 2.06x10 J

2. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza cuya variación se muestra en la gráfica. F(N)

UAB = área bajo la curva F- x UAB = ½(5)(40) + (5)(20) UAB = 200 J

40 20 0

10 x(m)

5

3. ¿Cuál es la potencia que desarrolla un motor que acelera a un automóvil de 200 kg hacia 2 arriba del plano inclinado con 0.8 m/s si las fuerzas de fricción son despreciables? x

y N

Fm

Fm

x

37º w

Luego, Pot= Fm(v) = 1336v

Pot = U/t = Fm(v) ΣFx = max Fm - wsen37= max Fm = mgsen37+max Fm = 200(9.81)sen37+(200)(0.8) Fm = 1336 N

4. ¿Cuál es la potencia mínima en HP que un motor necesita para levantar a un hombre de 80 kg con una velocidad de 0.2 m/s.? Pot= Fm(v) Pot= mg(0.20) = 80(9.81)(0.20) =157 watt. 157 watt = 157(1/746) = 0.21 HP. 20





5. Un bloque de 3Kg acelera hacia la derecha debido a una fuerza de 25N. Opuesta al movimiento hay una fuerza de fricción de 8N. Si el bloque parte del reposo, ¿cuál es su rapidez después de haberse desplazado 30 cm?

U = ∆Ec UF - Uf = ∆Ec

F=25N

(F-f)(d) =   –  ) (25-8)(0.30) =   –  ) 17(0.30) = 1.5 v B =1.84 m/s

f=8N

6. Una cuenta se desliza sin fricción a través de un alambre de forma mostrada. Si la rapidez en A es 2m/seg. Calcular la rapidez de la cuenta en B y C,

A

VA = 2m/s C

50 cm

30 cm B

Por el principio de conservación de la energía: Etotal A = Etotal B EcA + EgA + EkA = EcB -EgB - EkB   + mghA =   + mghB  2 + (9.81)(0.50) =   vB = 3.71 m/s

Etotal B = Etotal C EcB + EgB + EkB = EcC -EgC - EkC   + mghB =   + mghC  2 + (9.81)(0) =   + (9.81)(0.30) vC = 2.80 m/s 7. Un automóvil de 2000 kg empieza a subir una colina con rapidez 20 m/seg. en A, si su rapidez en B es 5 m/seg ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción que ha retardado su movimiento? La distancia que recorre a lo largo de la carretera es 40m. B VA = 2m/s A

40 m 10 m

UFNC = ∆Ec +∆E p -f(40) = EcB - EcA +EgB -EgA -f(40) =   –  ) + mg(hB – hA) -f(40) =   –  ) + 2000(9.81)(10) f = 375 N contraria al movimiento

8. El bloque de 15 Kg se mueve sobre una superficie inclinada desde la posición mostrada hasta la posición situada 1 metro abajo sobre el plano inclinado. El resorte al que está sujeto el bloque tiene un estiramiento inicial de 0.25 m. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es 0.2. Se aplica una fuerza horizontal constante de 25N al bloque como se indica. Si el bloque parte del reposo en la posición A, determine la velocidad del bloque cuando alcanza la posición B.

21





N

A B

Fk

k=50N/m

1m

25N

α

25N

μ=0.2

1m

α

α

f

(1)(3/5) = 0.6m

W

3

(1)(4/5) = 0.8m

4

1º METODO: Obtenemos el trabajo que realiza cada una de las fuerzas del sistema, para que al sumarlos obtengamos el trabajo total. 

Trabajo efectuado por el peso

UAB = w (Lsenα) = mg(Lsenα) = 15(9.81)(1)(3/5)= 88.29 N-m 

Trabajo efectuado por la fuerza normal

UAB = 0 (por ser perpendicular al desplazamiento) 

Trabajo efectuado por la fuerza de fricción

UAB = -f (L) = - μ N(L). Pero: N-wcos α + (25)senα = 0; N = wcos α - (25)senα = 15(9.81)(4/5)-(25)(3/5); N = 102.72 N. Luego: UAB = -μ N(L) = -0.2(102.72)(1) = -20.54 N-m. 

mgcos α - (25)senα =

Trabajo efectuado por la fuerza externa

UAB = 25 (Lcosα) = 25(1)(4/5) = 20 N-m. 

Trabajo efectuado por el resorte 2 2 UAB = -½k(   ) = -½(50)(1.25 -0.25 ) = -37.5 N-m.

UAB(total)= 88.29-20.54+20 – 37.5 = 50.25 N-m Además UAB(total) = ∆Ec =   –  ) 50.25=   – ) v B = 2.59 m/seg. 2º METODO: Por el principio de conservación de energía mecánica: UFNC = ∆Ec +∆E p (25cosα) (1) – f(1) = EcB - EcA +EgB -EgA+ EkB – EkA (25)(0.8)(1) – 0.2(102.72)(1) =   –  ) + mg(hB – hA)+ ½k( -  ) 2 2 20- 20.544 =   –  ) + 15(9.81)(-0.60)+ ½(50)(1.25 -0.25 ) -0.544 = 7.5 -88.29+37.5 v B = 2.59 m/seg.

22





2.5 MOMENTUM E IMPULSO LINEALES MOMENTUM LINEAL. Si se considera una partícula de masa m constante sometida a la acción de una fuerza ⃗ , la ecuación de la segunda ley de Newton se desarrollará de la forma siguiente:    ⃗ ⃗ = m⃗ = m  = =    ⃗ =⃗ se denomina momentu m l in eal de un a partícul a A la cantidad física vectorial 

y si en general la partícula de masa m está sometida a la acción de varias fuerzas, la ecuación será:

Σ⃗ = m⃗ =

  ⃗ =  

Luego, la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de su momentum lineal.(Segunda ley de Newton)

Unidades : [⃗ ]: MLT-1   

S.I: Kg m/seg = N-seg Inglés: Slug pie/seg = lib-seg CGS : gr cm/seg = din-seg.

IMPULSO LINEAL. Si se conoce que:  

Σ⃗ =  , entonces, Σ⃗ dt = dm⃗ Integrando ambos miembros: Σ∫ ⃗ dt =∫  ⃗ = m⃗ - m⃗ =⃗-⃗  A la cantidad I = Σ∫ ⃗ dtse le denomina resultante de los impulsos lineales o simplemente impulso li neal de la part ícul a y esta ecuación establece que cuando actúan fuerzas externas sobre una partícula, la resultante de los impulsos lineales de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al cambio del momentum lineal de dicha partícula.

NOTAS: 1. La ecuación también puede expresarse:  ∫ ⃗ dt

+ m⃗

=

m⃗

 m⃗ +Σ∫ ⃗ dt = m⃗

23





2. Si ⃗ = cte, la ecuación se expresa simplemente como: m⃗ +  = m⃗ 3. En función de sus componentes la ecuación será:   

m +  = m m +  = m m +  = m

4. Las unidades del impulso lineal son las mismas que las unidades del momentum lineal. EJEMPLOS: 1. Un paquete de 130 lb está inicialmente en reposo sobre el piso de una planta. Súbitamente se le aplica al paquete una fuerza P=250 lib. Determine la velocidad del paquete 3 segundos después haber aplicado la fuerza. El coeficiente de fricción cinética entre el paquete y el piso es de 0.35 N

N = mg- 250sen10 N = 86.60 lb 10º f 10º f = μ N f = 0.35(86.60) mg f= 30.31 lb m⃗ +  = m⃗ , siendo m=w/g = 130/32.2= 4.04 slug De acuerdo a sus componentes P



m +  = m

4.04(0) + (250cos10-f)(3) (246.20-f)3=4.04 …..(1) La fuerza de fricción puede calcularse con la 2º ley de Newton o de acuerdo a: 

m +  = m

4.04(0) + (250sen10+N-mg)(3) = 4.04(0) (250sen10+N-130)(3)=0 N=86.6 lb; luego f=μ N = 0.35(86.6) = 30.31 lb Luego en (1): (246.20-30.31)3=4.04     = v2 2. Determine la magnitud de la fuerza que actúa en el parachoques de una carretera cuando choca contra éste un automóvil de 5 000 lb que avanza a una velocidad de 60 mph. El intervalo durante el cual se lleva a reposo el automóvil es de 0.3 segundos. m=w/g = 5000/32.2; v= 60mph = 88 pies/seg m +  = m (5 000/32.2)(88)-(F)(0.3) = (5 000/32.2)(0) F = 45 500lb F aracho ue = 45 500 lb (hacia la derecha)

24

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA



PRACTICA DE LABORATORIO

BIBLIOGRAFÍA DEL MÓDULO 

  





Sears Zemansky, Young Freedman. FISICA UNIVERSITARIA Vol. 1 y 2 Novena Edición, México. 1999. Renisck, Holliday, Krame. FISICA. . Edit. CECSA 1987. Leyva Humberto. FISICA I – . Edit. PUBLICACIONES MOSHERA. 1995 Raymond Serway y Jonh Jewett Jr FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA, Vol. I y II..; Sexta Edición. Editorial Thomson S.A. México. 2005. Alonso M.,Finn E. FISICA. Vol I y II, Edit. FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO – 1980. Bueche Frederick. FISICA PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS DE INGENIERIA –– Edit. Mc. Graw Hill (Cuarta Edición) México 1990.

25

Cinetica Trabajo y Potencia

Recommend Documents