Análisis dimensional en un fermentador de tanque agitado
Para calcular la potencia necesaria para mover la propela y mantener condiciones de homogeneidad en concentración de sustratos, gases y células dentro del contenedor.
•
Sea un tanque agitado lleno hasta un determinado nivel con medio de cultivo de viscosidad µ y densidad ρ, ambas conocidas. Supongamos que el agitador gira a N rpm. Conocemos las dimensiones geométricas del sistema y la potencia P necesaria para mantener la velocidad de agitación, misma que resulta depender de los siguientes parámetros: Dimensiones caracterís características ticas
Da =Diámetro del agitador Dt = Diámetro del tanque E= Altura del rodete sobre el fondo del tanque. L = Longitud de las palas del rodete. W = Ancho de las palas del rodete. J = Ancho de las placas deflectoras H = Altura del líquido
Variables del líquido µ =
Viscosidad del líquido ρ = Densidad del líquido
Variables del operación
P= Potencia g= Aceleración gravitacional N= velocidad de agitación
•
Sea un tanque agitado lleno hasta un determinado nivel con medio de cultivo de viscosidad µ y densidad ρ, ambas conocidas. Supongamos que el agitador gira a N rpm. Conocemos las dimensiones geométricas del sistema y la potencia P necesaria para mantener la velocidad de agitación, misma que resulta depender de los siguientes parámetros: Dimensiones caracterís características ticas
Da =Diámetro del agitador Dt = Diámetro del tanque E= Altura del rodete sobre el fondo del tanque. L = Longitud de las palas del rodete. W = Ancho de las palas del rodete. J = Ancho de las placas deflectoras H = Altura del líquido
Variables del líquido µ =
Viscosidad del líquido ρ = Densidad del líquido
Variables del operación
P= Potencia g= Aceleración gravitacional N= velocidad de agitación
Paso 1. Definir variables del sistema. Paso 2. Colocar variables del sistema con sus dimensiones.
Por lo tanto:
(m-n) =9 grupos adimensionales
Variables
Dimensiones
Da
L
Dt
L
E
L
L
L
W
L
J
L
H
L
µ
ML-1T-1
ρ
ML-3
N
T-1
g
LT-2
P
ML2T-3
m=12
n= 3
Paso 3. Elegir las variables de referencia : •
•
•
El número de variables de referencia debe ser igual al número mínimo de dimensiones fundamentales fundamentales.. En este caso 3: M, L, y T. Dos variables de referencia NO DEBEN tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, no puedo elegir Da y Dt como dos variables de referencia del mismo sistema, porque ambas tienen dimensión L. Todas las dimensiones que aparecen en las variables problema deben aparecer aparecer en las dimensiones de las variables de referencia.
Variables de referencia
Paso 4. Resolver las variables de referencia L, T, y M en términos de D, N y .
Paso 5. Encontrar los grupos adimensionales para las variables por el método de Pi de Buckingham o el método de Raleigh.
Actividad para entregar: Realizar análisis por método de Raleigh
Paso 5. Método de Pi de Buckingham
Dado que:
Entonces:
Factores de forma
Dado que:
Entonces:
Re= Número de Reynolds
Fr=Número de Froude
Np=Número de potencia
Estos son los principales números adimensionales para fermentadores
El número Fr es importante cuando la hélice afecta la superficie del líquido. La formación de los vórtices es un efecto gravitacional y si se suprime (deflectores, Re<300, ↑μ) se puede despreciar el Fr.
Si colocará una solución bajo agitación a velocidades altas, pueden suceder dos escenarios:
Fuerza de gravedad (Fg)
Fuerza de inercia (Fi)
a) Fg > Fi: El líquido intenta subir por las paredes, si ya no puede subir, cae y forma un vórtice.
b) Fg < Fi: El líquido sube por las paredes, y puede derramarse.
Tipos de agitadores
Los tres tipos principales de agitadores son: •
paletas
•
turbina
•
hélice
Los datos experimentales necesarios para calcular la potencia de agitación suelen representarse en forma de gráficos de Np vs Re o Np/Fr vs Re
De esta manera podemos realizar ejercicios donde se requiera un valor dado de N, calcular el Re y de acuerdo con la geometría del agitador se intersecta con la curva correspondiente y se lee el valor de Np en el eje de las ordenadas, para después calcular la Potencia requerida.
A este tipo de gráficos se le conoce como Curva de Potencia. Se distinguen 3 fases: I. Re<10 Flujo laminar Dominan las fuerzas viscosas. II. 1010000 Flujo turbulento La potencia se vuelve independiente del Re y la viscosidad deja de ser un factor de importancia.
•
El análisis aplicado anteriormente es útil para aquellos casos donde se trabaje con fluidos Newtonianos, donde la viscosidad es independiente de la velocidad de cizalla, sin embargo, en la vida real la mayoría de los fluidos son de tipo No Newtoniano.
Comportamiento reológico de los fluidos Actividad •
Investigar qué es reología y qué es viscosidad.
Comportamiento reológico de los fluidos •
•
Desde el punto de vista de la reología, los fluidos más sencillos son los newtonianos, llamados así porque su comportamiento sigue la ley de Newton: “El esfuerzo de corte es proporcional al gradiente de velocidad o velocidad de corte”
Fluidos no newtonianos •
•
Por definición, todos aquellos fluidos que no siguen la ley de Newton son “no newtonianos”. Una primera clasificación de los fluidos no newtonianos los divide en tres categorías:
•
1.- Comportamiento independiente del tiempo.
•
2.- Comportamiento dependiente del tiempo.
•
3.- Viscoelásticos.
1.- Comportamiento independiente del tiempo: el
esfuerzo de corte sólo depende de la velocidad de corte γ-1.
Actividad para entregar
•
Buscar los distintos modelos reológicos que describen los fluidos no newtonianos independientes del tiempo.
Agitación de líquidos no newtonianos •
•
La estimación de los requerimientos de potencia para fluidos no newtonianos es más difícil. Es casi imposible lograr condiciones de turbulencia completa con fluidos muy viscosos, así que Np es siempre dependiente del Re.
•
Además la viscosidad siempre varía con las condiciones de cizalla, por lo que:
Donde:
Por lo tanto:
•
•
•
Un problema asociado con la aplicación de esta ecuación es la evaluación de γ. Para tanques agitados se puede utilizar la siguiente relación:
Al sustituir en Re se tiene:
k= cte. que depende de la geometría de la propela.
Curva de potencia típica para fluidos newtonianos y no newtonianos.
A partir de la curva de potencia se puede observar: •
•
•
La región laminar se extiende a valores más grandes de Re en fluidos pseudoplásticos que en newtonianos. A Re<10 y Re>200, los valores de Np para ambos fluidos son iguales. A 10
Problemas asociados •
•
•
Patrones de flujo muy diferentes en fluidos pseudoplásticos que newtonianos. Puede haber turbulencia cerca del impulsor y un flujo muy lento lejos de él. K y n pueden variar durante el proceso de fermentación.
Cálculo de la potencia de agitación requerida para un fermentador En un tanque se instala un agitador de aspas planas que tiene 6 aspas. El diámetro del tanque es Dt=1.83m, el diámetro de la turbina Da=0.61 m, Dt=H, y W=0.122m. El tanque tiene cuatro deflectores, todos ellos con un ancho J=0.15m. La turbina opera a 90 rpm y el líquido del tanque tiene una viscosidad de 10 cp y densidad 929 kg/m3. a) calcule los kW requeridos para el mezclador.
Lo primero que debemos realizar el del sistema Paso 1. Definir variables del sistema. Paso 2. Colocar variables del sistema con sus dimensiones.
Por lo tanto:
(m-n) =9 grupos adimensionales
Variables
Dimensiones
Da
L
Dt
L
E
L
L
L
W
L
J
L
H
L
µ
ML-1T-1
ρ
ML-3
N
T-1
g
LT-2
P
ML2T-3
m=12
n= 3
Paso 3. Elegir las variables de referencia :
Variables de referencia
Paso 4. Resolver las variables de referencia L, T, y M en términos de D, N y .
Paso 5. Encontrar los grupos adimensionales para las variables por el método de Pi de Buckingham o el método de Raleigh. (DESARROLLAR)
Paso 5. Método de Pi de Buckingham
Entonces:
Factores de forma
Una vez que ya se tienen los grupos adimensionales, vamos a calcular el número de Reynolds y a hacer los cálculos necesarios para mantener la homogeneidad de unidades. Para el primer caso se tiene un fluido newtoniano, dado que la viscosidad es constante, así que:
Re=51852.14
Indica flujo turbulento
Con este valor de Re, utilizamos la curva de potencia para determinar Np
1. Buscamos el valor del Re=5.1x10 4 sobre el eje x. 2. Intersectamos curva de acuerdo con el tipo de agitador.
3. Tomamos lectura en el eje y para Np.
4. Del gráfico Np está entre 4.5 y 5.
Despejando y calculando P
b) con las mismas condiciones (excepto que la viscosidad ahora es para un fluido no newtoniano) vuelva a calcular la potencia. Se cuenta con los siguientes datos: (s-1)
(Nm)
0.185
3.57x10-6
0.163
3.45x10-6
0.126
3.31x10-6
0.111
3.20x10-6
Debido que todas las condiciones permanecen constantes, el único cambio perceptible es en el cálculo del Re.
De esta fórmula, es necesario determinar los valores de Ky n, mediante la aplicación de ley de potencia a los datos experimentales:
3.60E-06 3.50E-06 ) m3.40E-06 N ( e u q r 3.30E-06 o t
3.20E-06 3.10E-06 0.1
0.12
0.14
0.16
velocidad del agitador (s-1)
0.18
0.2
-12.7
-12.65
n=0.2034 Ln K= -12.203 K=5.017x10-6Nms-n
y = 0.2034x - 12.203 R² = 0.989
-12.6
n l -12.55 -1.5
-1.7
-1.9
-2.1
-12.5
ln
-2.3
