Resistencia de Materiales II Clase 6 PANDEO DE COLUMNAS
Ing. Eduardo Orcés P. Agosto 23/2016
TEMAS Estabilidad de las Estructuras Fórmula de Euler Extensión de la fórmula de Euler Columnas con carga excéntrica Diseño de columnas
TEMAS Estabilidad de las Estructuras Fórmula de Euler Extensión de la fórmula de Euler Columnas con carga excéntrica Diseño de columnas
Pand nde eo de d e Col olum umnas nas
Objetivos de Aprendizaje o
Entend Ente nder er el fe fenó nóme meno no de pa pand ndeo eo co como mo un una a fo form rma a de in ines esta tabi bili lida dad d estructural
o
Aprender a usar usar fórmulas de pandeo en el análisis y diseño diseño de estructuras estructuras
Estabilidad de las estructuras • En el diseño de columnas, se selecciona la sección transversal para que - No se exceda el esfuerzo admisible σ
=
P A
≤ σ adm
- La deformación cumpla con las especificaciones δ
=
PL AE
≤ δ espec
• Sin embargo, después de estos cálculos de diseño puede ocurrir que la columna sea inestable bajo la carga aplicada y que repentinamente se doble apreciablemente, produciéndose el llamado ‘pandeo’. .
Estabilidad de las estructuras • Cuando una estructura (soportando normalmente compresión) sufre deformaciones transversales apreciablemente grandes, entonces se dice que ha pandeado. • El pandeo es una inestabilidad del equilibrio.
Estabilidad de las estructuras • El pandeo y la flexión son similares, porque en ambos casos actúan momentos flectores. • En la flexión estos momentos son independientes de la deflexión resultante. • En el pandeo, en cambio, los momentos y las deflexiones son dependientes entre sí, por lo que las deflexiones y los esfuerzos no son proporcionales a las cargas. • Si las deflexiones producidas por el pandeo son demasiado grandes, la estructura falla. Esto depende de la geometría y no de la resistencia del material.
Estabilidad de las estructuras • Considerar el siguiente modelo con dos barras rígidas y un resorte torsional. Después de una pequeña perturbación, K (2∆θ ) = momento restaurador P
L
2
sin ∆θ = P
L
2
∆θ = momento desestabilizador
• Columna es estable (tiende a su posición vertical original) si L P ∆θ < K (2∆θ ) 2 P < Pcr =
4 K L
Estabilidad de las estructuras • Asumir que se aplica una carga P. Después de una perturbación, el sistema se estabiliza en una nueva posición de equilibrio, formando un ángulo finito θ . L P sin θ = K (2θ ) 2 PL
4 K
=
P Pcr
=
θ
sin θ
• Notando que sinθ < θ , la posición asumida solo es posible si P > Pcr .
Fórmula de Euler para columnas con extremos articulados • Considerar una viga cargada axialmente. Si se le da una pequeña perturbación, el sistema alcanza una posición de equilibrio tal que 2
d y dx
2
2
d y dx
2
= +
M EI
=−
P
y EI
P
y = 0 EI
• La solución asumida solo puede ser obtenida si P > Pcr =
σ
=
P A
π
2
EI
L2
> σ cr =
π
2
( )=
E Ar 2 L2 A
π
2
E
( L r )2
Fórmula de Euler para columnas con extremos articulados • El valor de esfuerzo que corresponde a la carga crítica, π
P > Pcr = σ
σ cr
= = =
L r
P
EI 2
L
> σ cr =
A π
2
(
2
2
E Ar
Pcr A
)
L2 A π
2
E
( L r )
2
= esfuerzo critico
= relacion de esbeltez
• El análisis hecho solo es válido para cargas concéntricas.
Fórmula de Euler para columnas con extremos articulados Soportes elásticos en las columnas de un tanque de agua.
Los dos anillos actúan como soportes elásticos que cambian el valor de la carga crítica de pandeo de las columnas.
Extensión de la fórmula de Euler • Una columna con un extremo empotrado y otro libre, se comporta como el extremo superior de una columna doblemente articulada. • La carga crítica se la calcula de la fórmula de Euler,
Pcr = σ cr
=
π
2
EI
L2e π
2
E
( Le r )2
Le = 2 L = longitud equivalente
Extensión de la fórmula de Euler
Ejemplo 6.1: Una columna de aluminio de longitud L y sección rectangular tiene un extremo fijo en B y soporta una carga concéntrica en A. El extremo A está restringido en su movimiento de tal manera que puede moverse uno de los planos verticales de simetría pero no en el otro. a) Determine la relación a/b de los dos lados de la sección transversal para obtener el diseño más eficiente que evite el pandeo.
L = 20 in. E = 10.1 x P = 5 kips FS = 2.5
10 6
psi
b) Diseñe la sección transversal más eficiente para la columna.
Solución:
El diseño más eficiente ocurre cuando la resistencia al pandeo es igual en ambos planos de simetría. Esto ocurre si las relaciones de esbeltez son iguales. • Pandeo en el plano xy:
2 r z
=
Le, z r z
I z A
=
=
1 ba 3 12
ab
=
a
2
12
r z =
a
12
0.7 L
• Diseño más eficiente:
12
a
Le, z r z
• Pandeo en el plano xz: 2 r y
=
Le, y r y
I y A
=
=
1 ab3 12
ab
=
b
2
12
r y =
b
12
0.7 L a
12
2 L
a
b / 12
b
= = =
Le, y r y
2 L b / 12
0.7
a
2
b
= 0.35
• Diseño: Le r y
=
2 L
=
12
b
2(20 in ) b
12
=
138.6 b
Pcr = (FS )P = (2.5)(5 kips ) = 12.5 kips σ cr =
σ cr =
L = 20 in. E = 10.1 x 10 6 psi P = 5 kips FS = 2.5 a/b = 0.35
Pcr A π
=
12500 lbs
(0.35b )b
2
E 2
( Le r )
12500 lbs
(0.35b )b
=
π
= 2
π
2
(10.1×106 psi ) (138.6 b )2
(10.1×106 psi ) (138.6 b )2
b = 1.620 in. a = 0.35b = 0.567 in.
Ejercicio 6.1: Un tubo de acero de sección circular hueca (E=30000 ksi) está simplemente apoyado en una longitud de 20 ft. Los diámetros interior y exterior del tubo son 3” y 4”, respectivamente. Determine: (a) la relación de esbeltez, (b) la carga crítica de pandeo, (c) el esfuerzo axial crítico. (d) Si se añade un apoyo articulado en el punto medio de la columna, cuál será la nueva carga crítica de pandeo?
Ejercicio 6.2: Si se requiere un factor de seguridad de 2.6, determine la máxima carga P que se puede aplicar a la armadura mostrada. Considere pandeo solo en el plano de la estructura. Utilice E = 200 GPa. [4 kN]
Ejercicio 6.3: La columna AB soporta una carga concéntrica P con magnitud de 15 kips. Los cables BC y CD están tensos y evitan el movimiento del punto B en el plano xz. Use la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 2.2, desprecie la tensión de los cables, y determine la máxima longitud permisible L. Utilice E = 29 x 106 psi, Ix = 118 in4, Iy = 11.4 in4. [37.4 ft]
Ejercicio 6.4: El poste de magnesio extruído ( E = 6.5 x 10 6 psi) tiene una sección de 2” x 2”, una longitud de 8 ft, está sostenido por cuatro cables de acero de alta resistencia y empotrado en la base, como se muestra en la figura. Los cables tienen sección transversal de 1/8 in 2 y una longitud de 10 ft. Los tornillos tensores en los cables de anclaje están ajustados de tal manera que la tensión en los cables es insignificante. Los tornillos tienen un avance de 1/32” por vuelta. ¿Cuántas vueltas de cada tornillo (simultáneamente) son requeridas para hacer pandear al poste? [6 vueltas]
psi
Carga Excéntrica: Fórmula de la Secante • La carga excéntrica es equivalente a una carga concéntrica y un par. • Ocurre flexión de la columna para cualquier excentricidad de la carga por pequeña que sea. El problema de pandeo es ahora analizar si la deflexión o el esfuerzo son excesivos. • La deflexión se hace infinita cuando la carga P = Pcr. d 2 y dx 2
=
ymax
− Py − Pe EI
π P − 1 = e sec 2 P cr
Pcr =
• Esfuerzo máximo σ max
=
P ( ymax + e )c 1+ A r 2
=
1 P Le P ec 1 + 2 sec A 2 EA r r
π
2
EI
L2e
Carga Excéntrica: Fórmula de la Secante
Carga por unidad de área, P/A, que causa fluencia en la columna σ max
= σ Y
1 P Le P ec 1 sec = + 2 A r 2 EA r
Ejemplo 6.2: La columna mostrada está hecha con un tubo estructural de 8 ft de longitud, con la sección mostrada. a) Usando la fórmula de Euler y un factor de seguridad de 2, determine la carga concéntrica admisible y el correspondiente esfuerzo normal. b) Asumiendo que se aplica la carga admisible hallada en la parte a, en un punto situado a 0.75” del eje geométrico de la columna, determine la deflexión horizontal del extremo superior de la columna y el máximo esfuerzo normal en la columna.
Solución: • Máxima carga concéntrica admisible : - Longitud efectiva, Le = 2(8 ft ) = 16 ft = 192 in.
- Carga crítica, Pcr =
π
2
EI
2 Le
=
π
2
29 × 106 psi 8.0 in 4
(192 in )2
= 62.1 kips
- Carga admisible, Padm = σ
=
Pcr FS
Padm A
=
=
62.1 kips
2 31.1 kips 3.54 in 2
Padm = 31.1 kips σ
= 8.79 ksi
• Carga excéntrica: - Deflexión del extremo, π P − 1 ym = e sec 2 Pcr π = (0.075 in )sec − 1 2 2 ym = 0.939 in.
- Máximo esfuerzo normal, π P P ec σ m = 1 sec + 2 A r 2 Pcr 31.1 kips (0.75 in )(2 in ) π 1+ sec = 2 2 2 2 3.54 in (1.50 in ) σ m
= 22.0 ksi
Ejercicio 6.5 : Una columna cajón de madera (E = 1800 ksi) se construye uniendo cuatro tablones como se muestra en la figura. La carga P = 80 kips se aplica a una distancia e = 0.667” del centroide de la sección. (a) Si la longitud L = 10’, encuentre el máximo esfuerzo y la máxima deflexión. (b) Si el esfuerzo admisible es 3 ksi, cuál es la máxima longitud posible de la columna? [177”]
Diseño de Columnas bajo Carga Concéntrica • Hasta aquí se ha asumido que los esfuerzos no exceden el límite proporcional y que las columnas son rectas y homogéneas. • Experimentalmente se encuentra que - Para valores grandes de Le/r, σ cr sigue la fórmula de Euler y depende de E pero no de σ Y. - Para valores pequeños de Le/r, σ cr es determinado por σ Y y no por E. - Para valores intermedios de Le/r, σ cr depende tanto de σ Y como de E.
Diseño de Columnas bajo Carga Concéntrica • Para Le/r > Cc σ cr
=
π
2
E
( Le / r )
σ adm
2
=
σ cr
FS
FS = 1.92
• Para Le/r < Cc σ cr
( Le / r )2 = σ Y 1 − 2C c2
FS =
5 3
+
3 Le / r 8 C c
σ adm
1 L / r − e 8 C c
3
• En Le/r = Cc σ cr = 1 σ Y
2
2 C c
=
2π 2 E σ Y
=
σ cr
FS
Diseño de Columnas bajo Carga Concéntrica • Tramo AB:
E
L / r < C c = 4.71 σ cr =
σ Y
[0.658
(σ Y / σ e )
donde :
σ e
=
:
]σ
Y
2
π E
( L / r )2
• Tramo BC:
L / r > C c = 4.71 σ cr
E σ Y
:
= 0.877σ e = 0.877 ×
• Esfuerzo admisible: σ adm
=
σ cr
1.67
2
π E
( Le / r )2
Ejemplo 6.3: Una columna AB es hecha con un perfil W10x39 de acero con σ y = 36 ksi y E = 29 x 10 6 psi. Determine la carga concéntrica admisible P, (a) si la longitud efectiva de la columna es 24 ft en todas las direcciones, (b) si se proporciona apoyo lateral para evitar el movimiento del punto medio C en el plano medio xz. (Asuma que el movimiento del punto C en el plano yz no es afectado por el apoyo lateral.)
Le
Solución: Se calcula primero Cc
(a) Longitud efectiva = 24 ft. Como r y
Como L/r > 133.7, se usa la ecuación para columnas largas para determinar σ cr Le lcula
(b) Restricción lateral en el punto medio C. Como el apoyo lateral evita el movimiento de C en el plano xz, pero no en el plano yz, debe calcularse la relación de esbeltez para cada plano y determinar cuál es la mayor (porque tiene una carga admisible menor ).
Le lcula
Se escoge L/r = 72.7 y como es menor que Cc = 133.7, se usa la ecuación para columnas cortas para determinar σ cr .
Ejercicio 6.6 : Se usa un perfil de acero laminado W8x31 para formar una columna de 21 ft de longitud efectiva. Use el método de diseño del permisible para determinar la carga concéntrica permisible si la resistencia a la fluencia es a) σ Y = 36 ksi, b) σ Y = 50 ksi. Utilice E = 29 x106 psi.
