Transmisión electrónica a través de un potencial silla de montar con término de espín-órbita
27 de mayo de 2014
En el presente trabajo se estudia el efecto que produce el efecto de Espín-Órbita lateral, introducido por potenciales asimétricos de con namiento lateral, en la transmisión electrónica a través de un Quantum Point Contact (QPC) modelado con el potencial silla V (x, y) = − 12 m? ω02 (x2 − y 2 ) + 21 m? ω⊥2 xy . Inicialmente, el Hamiltoniano que representa dicho sistema se encuentra acoplado en posición y momento, el cual es originado por la naturaleza del potencial silla que modela el QPC y generado por el términdo de espín-órbita
αso σ ~
· [∇V (x, y) × p]. En primer lugar, se desacopló el sistema mediante el empleo de
dos transformaciones unitarias, U = e−i(λ1 xy+λ2 L) , donde las constantes λσ1 y λ2 estan de nidas por (10) σ
y (11); estas permiten expresar el Hamiltoniano como la suma de dos Hamiltonianos H = Hσx + Hσy ,
2 p p 1 ? αso m?3 1 8 8 4 4 4 4 = − σm 4ω0 + ω⊥ xpx − 2 i~ − 4 m 4ω0 + ω⊥ + 2 4ω2 ~ (16ω0 − ω⊥ ) x2 ý 0 2 2 p p ?3 ω 1 α 1 1 m α 8 4 4 so Hσy = 2m? p2y + σm? 2ω⊥0 4ω04 + ω⊥ − 2 4ωso2 ~ (16ω08 − ω⊥ ) y 2 , que ypy − 2 i~ + 4 m? 4ω04 + ω⊥ ~ Hσx
1 p2 2m? x
?
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
0
conmutan entre si, para tratar el problema como dos Hamiltonianos unidimensionales independientes . Podemos notar que Hσy representa el Hamiltoniano para una partícula de masa m? con nada en un potencial parabólico y que depende del espín del electrón, mientras que el potencial para Hσx indica ser un potencial parabólico invertido unidimensional; esto a su vez señala que la transmisión electrónica será a lo largo del eje x . Se resolvió en primer lugar
Hσy ψ
(x) = Eσ ψ (x) rescribiéndolo como
h
d2 d¯ y2
+
d igσ y¯ d¯ y
2
− y¯ +
σy
+
1 ig 2 σ
i
ψ (¯ y ) = 0 , con un
cambio de variable (19) y usando la de nición para gσ dada en (22). Con la nalidad de resolver el problema de eigen-valores y obtener una ecuación diferencial conocida, proponemos una solución de la forma ψ (¯ y) = e
√ 2 2 − 41 igσ + 4−gσ y¯
u (¯ y ), simpli candose a u00 (¯ y )−
p p 4 − gσ2 y¯u0 (¯ y )+ − 12 4 − gσ2 + σy u (¯ y ) = 0. Con un nuevo
1
p 1 2 + σ u (Y ) = − 4 − g σ y 2 2 4−gσ p 0. Así, para lograr una solución aceptable (polinomial), es necesario que se cumpla √ 2 2 − 12 4 − gσ2 + σy = 4−gσ r 2 p p ? 4 8 − m4ωα2 so ). Al momento que 2n, lo que nos conduce a Eσ = n + 12 4 − gσ2 ~2 12 4ω04 + ω⊥ (16ω08 − ω⊥ 0~ q p decidimos anular el término de espín-órbita, Eσ se simpli ca a n + 12 ~ 12 4ω04 + ω⊥4 , donde podemos ver
cambio de variable (27), la ecuación diferencial nal queda u00 (Y )−2Y u0 (Y )+ √ 2
que es equivalente a la ecuación (2) en el trabajo publicado por Büttiker [4] el cual representa una función de onda que se encuentra completamente en el nivel n-ésimo delroscilador. Por otra parte, de forma similar, se resolvió Hσx ψ (x) = EGσ ψ (x) , con EGσ = E − n + 21
p 4 − gσ2 ~2
1 2
2 p ? 4 8 − m4ωα2 so ), la cual 4ω04 + ω⊥ (16ω08 − ω⊥ ~ 0
resulta ser la energía del centro de guía del electrón, E representa la energía total del electrón y n es un número entero no-negativo. Se buscó simpli car la ecuación diferencial usando el cambio de variable (34), reduciendose a
h
d2 d¯ x2
i d 1 2 − ikσ x¯ d¯ + x ¯ − ik + x) = 0, en donde kσ se de ne en (37). Después, se propuso una solución σ ψ (¯ x 2 σ
d x) + σ u (¯ x) = 0 . Para . Resultando u00 (¯ x) + 14 (4 + kσ2 ) x¯2 u (¯ x); anulando el término ikσ x¯ d¯ ψ (¯ x) = e− 4 ikσ x¯ u (¯ x 1
2
terminar con el tratamiento de la ecuación diferencial, se realiza el último cambio de variable (42), quedando u00 (X) + X 2 u (X) + Rσ u (X) = 0, en donde Rσ se de ne en (44). La ecuación diferencial que se obtuvo en
análoga a la obtenida por Fertig y Halperin [3] en la ecuación (2.11) . Usamos la expresión para la Transmisión eléctrónica desarrollada [3] y se obtiene T =
1 1+e−πRσ
. (La trasmisión electrónica es la misma para los estados
de espín del electrón)
Modelo Teórico Desacoplamiento del Hamiltoniano
En esta sección desacoplamos el Hamiltoniano para una particula cargada con nada en un sistema bidimensional con un potencial silla de montar V (x, y) = − 21 m? ω02 (x2 − y 2 ) + 21 m? ω⊥2 xy . Consideraremos el término de espín-órbita
αso σ ~
· [∇V (x, y) × p] . El Hamiltoniano H del problema de estudio se escribe explí-
citamente como:
Hσ =
1 2m?
2 xy + p2x + p2y − 12 m? ω02 x2 − y 2 + 21 m? ω⊥
αso ~ σ
· [∇V (x, y) × p] ,
en donde p = (px , py , 0). Despreciando la presencia de campo magnético B en este modelo. 2
(1)
Al desarrollar cada uno de los términos del Hamiltoniano (1) se obtiene (Apéndice):
Hσ =
1 2m?
2 p2x + p2y − 12 m? ω02 (x2 − y 2 ) + 21 m? ω⊥ xy −
αso ~
? 2 2 m ω0 (ypx + xpy ) + 21 m? ω⊥ (xpx − ypy ) σz
(2) Se de nen los siguientes operadores [2]: L = (xpy − ypx ) ,
T=
1 2 1 2
W = 21 (x2 − y 2 ) , B = (xpx − ypy ) S = 21 p2x − p2y , A = (xpx + ypy )
p2x + p2y , 2
2
V = (x + y ) ,
J = (xpy + ypx ) ,
(3)
Escribimos el Hamiltoniano (2) en función de los operadores (3):
Hσ =
1 1 αso ? 2 αso ? 2 2 T − m? ω02 W + m? ω⊥ xy − σ m ω⊥ B − σ m ω0 J. ? m 2 2~ ~
(4)
donde σ = ± denota espín-arriba y espín-abajo respectivamente. Ahora de nimos las siguientes constantes: a
=
bσ =
1 , m?
b
σ α~so b
2 = m? ω02 , c = 12 m? ω⊥ ,
cσ =
σ α~so c
(5)
El Hamiltoniano H se puede expresar como:
Hσ = aT − bW + cxy − bσ J − cσ B
(6)
Podemos notar que el Hamiotniano (6) contiene operadores acoplados xy y J. Para desacoplarlos, emplearemos transformaciones unitarias (TU). Consideremos el operador unitario U = ei(λ1 xy+λ2 L) σ
(7)
Las transformaciones de los operadores de J, L, V, W, B, xy, T y S con respecto a los operadores e−iλ1 xy
3
y e−iλ2 L se desarrollan en el artículo publicado por Meyer, Kucar, y Cederbaum [1](Tabla 3) . Al aplicar el operador unitario (7) sobre
H
nos conduce a Hσ2 = U † HU , es decir:
Hσ2 = aT + [(aλ1 ~ − bσ ) Cos (2λ2 ~) − cσ Sen (2λ2 ~)] J − [(aλ1 ~ − bσ ) Sen (2λ2 ~) + cσ Cos (2λ2 ~)] B + (aλ21 ~2 − 2bσ λ1 ~) V − (bCos (2λ2 ~) + cSen (2λ2 ~)) W − (bSen (2λ2 ~) − cCos (2λ2 ~)) xy
(8)
Para que (8) se convierta en un Hamiltoniano de dos partículas independientes en potenciales armónicos unidimensionales, es necesario que se cumpla:
(aλ1 ~ − bσ ) Cos (2λ2 ~) − cσ Sen (2λ2 ~) = 0
(9)
bSen (2λ2 ~) − cCos (2λ2 ~) = 0
Lo que nos conduce a
λσ1
1 = (bbσ + ccσ ) = σαso ab~
m? 2~ω0
2
2 4ω02 + ω⊥
(10)
y Sen (2λ2 ~) =
√ c b2 +c2
=√
Cos (2λ2 ~) =
√ b b2 +c2
=√
2 ω⊥ 4 4ω04 +ω⊥
2ω02
(11)
4 4ω04 +ω⊥
Así, el Hamiltoniano Hσ2 de la ecuación (8) se desacopla totalmente y se reduce a: Hσ2 = aT −
√ cσ √ 2 1 b + c2 B + 2 c2 c2σ − b2 b2σ V − b2 + c2 W b ab
Escribimos explícitamente el Hamiltoniano Hσ2 de la ecuación (12).
4
(12)
Hσ2 =
1 2m?
+
m?3 2
2 p ω⊥ αso 4 p2x + p2y − σm? 2ω (xpx − ypy ) 4ω04 + ω⊥ ~ 0 2 p αso 8 4 (x2 − y 2 ) (−16ω08 + ω⊥ ) (x2 + y 2 ) − 41 m? 4ω04 + ω⊥ 4ω 2 ~
(13)
0
Expresamos Hσ2 como la suma de dos Hamiltonianos independientes entre si Hσ2 = Hσx + Hσy , donde
Hσx
1 2 = p − σm? 2m? x
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
# " q q 2 1 m?3 αso 2 1 ? 8 8 4 4 4 4 16ω0 − ω⊥ x 4ω0 + ω⊥ xpx − i~ − m 4ω0 + ω⊥ + 2 4 2 4ω02 ~ (14)
Hσy
1 2 = p + σm? 2m? y
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
# 2 " q q ?3 1 1 m α so 8 8 ? 4 4 − 16ω0 − ω⊥ y 2 4ω04 + ω⊥ ypy − i~ + m 4ω04 + ω⊥ 2 4 2 4ω02 ~ (15)
Podemos notar que Hσy representa el Hamiltoniano para una partícula de masa m? con nada en un potencial parabólico, mientras que el potencial para Hσx indica ser un potencial parabólico invertido unidimensional; esto nos señala que la transmisión electrónica será a lo largo del eje x . Agregamos i~ Hermitizando el Hamiltoniano completo.
Solución al Hamiltoniano dependiente y (Oscilador Armónico)
Tenemos Hσy ψ (y) = Eσ ψ (y), es decir:
(
1 2 p + σm? 2m? y
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
q
4 4ω04 + ω⊥
# ) " 2 q ?3 1 1 ? m α so 8 8 4 − ypy − i~ + m 4ω04 + ω⊥ 16ω0 − ω⊥ y 2 ψ (y) = Eσ ψ (y) 2 4 2 4ω02 ~ (16)
Reemplazamos py = −i~ dyd en la ecuación (16)
5
(
1 2m?
# ) " 2 2 1 ?q 4 ω⊥ 2 αso q 4 d 1 m?3 αso 2 2 d ? 8 8 4 4 −~ + σm 4ω0 + ω⊥ y −i~ − i~ + m 4ω0 + ω⊥ − 16ω0 − ω⊥ y ψ (y) = Eσ ψ (y) dy 2 2ω0 ~ dy 2 4 2 4ω02 ~ (17)
la ecuación diferencial (17) Multiplicamos por − 2m ~2 ?
(
d2 i +σ dy 2 2
m ? ω⊥ ω0
2
αso q 4 4 4ω0 + ω⊥ ~2
y
d 1 + dy 2
−
Proponemos el cambio de variable y¯ = v u u y0 = u 4 t
2m? ~2
y y0
"
?3 1 ?q 4 4 − m m 4ω0 + ω⊥ 4 2
αso 4ω02 ~
2
8 16ω08 − ω⊥
#
) y2
ψ (y) = −
2m? Eσ ψ (y) ~2
, donde ~2
2m?
1 ? m 4
(18)
p 4 4ω04 + ω⊥ −
m?3 2
αso 4ω02 ~
2
(16ω08
−
(19)
8 ω⊥ )
Así, la ecuación diferencial (18) se renormaliza a :
"
d2 i +σ 2 d¯ y 2
m? ω⊥ ω0
2
αso ~2
# q 1 d 2m? 4 2 4ω04 + ω⊥ y0 y¯ + − y 2 ψ (¯ y ) = − 2 y02 Eσ ψ (¯ y) d¯ y 2 ~
(20)
Asi, la ecuación diferencial a resolver es:
d 1 d2 2 σ + igσ y¯ − y¯ + y + igσ ψ (¯ y ) = 0, d¯ y2 d¯ y 2
(21)
donde 1 gσ = σ 2
ω⊥ ω0
2
v 4 4ω04 + ω⊥ αso m? u u u p 2 ~ t 1 αso m? 4 4 8 8 4ω0 + ω⊥ − 4ω2 ~ (16ω0 − ω⊥ ) 2
(22)
0
σy =
s ~ Ey = 2
1 2
q
Eσ Ey
4ω04
+
4 ω⊥
−
6
m? αso 4ω02 ~
(23)
2 8 (16ω08 − ω⊥ )
(24)
Con la nalidad de resolver el problema de eigen-valores y obtener una ecuación diferencial conocida, proponemos una solución para (21) de la forma :
ψ (¯ y) = e
√ 2 2 y¯ − 14 igσ + 4−gσ
u (¯ y) .
(25)
Al sustituir (25) en la ecuación diferencial(21)resulta: p 1p 0 σ 2 2 u (¯ y ) − 4 − gσ y¯u (¯ y) + − 4 − gσ + y u (¯ y ) = 0. 2 00
Sea Y =
y¯ Y0
(26)
,
con √
2 Y0 = p 4 4 − gσ2
(27)
Así, la ecuación diferencial (26) se simpli ca a: 2 u (Y ) − 2Y u (Y ) + p 4 − gσ2 00
0
1p σ − 4 − gσ2 + y u (Y ) = 0. 2
(28)
Podemos notar que la ecuación diferencial (28) cumpla con la ecuación diferencial de Hermite, es necesario que se cumpla 2 p 4 − gσ2
1p σ 2 − 4 − gσ + y = 2n 2
(29)
Retomando la de nición de σy dada en (23) y (24), encontramos las eigen-energías para y s ? 2 q p ~ 1 m αso 1 4 8 (16ω08 − ω⊥ ) Eσ = n + 4 − gσ2 4ω04 + ω⊥ − 2 2 2 4ω02 ~
(30)
Solución para el Hamiltoniano dependiente de x (Oscilador Armónico Invertido)
Tenemos Hσx ψ (y) = EGσ ψ (x), es decir:
7
(
1 2 p − σm? 2m? x
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
# ) " 2 q q ?3 1 m 1 α so 8 σ 4 4 + 4ω04 + ω⊥ xpx − i~ − m? 4ω04 + ω⊥ 16ω08 − ω⊥ x2 ψ (x) = EG ψ (x) , 2 4 2 4ω02 ~ (31)
p donde EGσ = E − n + 12 4 − gσ2 ~2
r
2 p m? αso 1 4 4 8 + ω − 4ω ) es la energía del centro de guía (16ω08 − ω⊥ 2 0 ⊥ 2 4ω ~ 0
del electrón, E representa la energía total del electrón y n es un número entero no-negativo. d Reemplazamos px = −i~ dx en la ecuación (31)
(
1 2m?
# ) " 2 2 ω⊥ 2 αso q 4 1 ?q 4 d 1 m?3 αso 2 2 d ? 8 8 σ 4 4 −~ − σm 4ω0 + ω⊥ x −i~ − i~ − m 4ω0 + ω⊥ + 16ω0 − ω⊥ x ψ (x) = EG ψ (x) dx2 2ω0 ~ dx 2 4 2 4ω02 ~ (32)
la ecuación diferencial (32) Multiplicamos por − 2m ~2 ?
(
i d2 −σ dx2 2
m? ω⊥ ω0
2
αso q 4 4 4ω0 + ω⊥ ~2
1 d + i x dx 2
2m? + 2 ~
Proponemos el cambio de variable x¯ = v u u x0 = u 4 t
x x0
"
?3 1 ?q 4 4 + m m 4ω0 + ω⊥ 4 2
αso 4ω02 ~
2
# 16ω08
−
8 ω⊥
) x
2
ψ (x) = −
2m? σ E ψ (x) ~2 G
, donde ~2
2m?
1 ? m 4
(33)
p 4 4ω04 + ω⊥ +
m?3 2
αso 4ω02 ~
2
(16ω08
−
(34)
8 ω⊥ )
. Así, la ecuación diferencial (33) se renormaliza a :
"
d2 i −σ 2 d¯ x 2
m? ω⊥ ω0
2
αso ~2
# q d 2m? 1 4 2 x) 4ω04 + ω⊥ x0 x¯ + i + x¯2 ψ (¯ x) = − 2 x20 EGσ ψ (¯ d¯ x 2 ~
(35)
Asi, la ecuación diferencial a resolver es:
d2 d 1 2 − ikσ x¯ + x¯ − ikσ + σ ψ (¯ x) = 0, d¯ x2 d¯ x 2
8
(36)
donde kσ = σ
1 2
?
m ω⊥ ω0
2
v αso u u u ~ t
2m?
4 4ω04 + ω⊥ 2 p ?3 m 1 ? α 8 4 ) + 2 4ωso2 ~ (16ω08 − ω⊥ m 4ω04 + ω⊥ 4
(37)
0
σ =
s ~ Ex = 2
1 2
EGσ Ex
(38)
? 2 q m αso 4 8 4 ) 4ω0 + ω⊥ + (16ω08 − ω⊥ 4ω02 ~
(39)
Proponemos una solución para la ecuación diferencial (36) de la forma: 1
2
ψ (¯ x) = e− 4 ikσ x¯ u (¯ x) .
(40)
Sustituimos la ecuación (40) en (36) para obtener: u00 (¯ x) +
Sea X =
x ¯ X0
1 4 + kσ2 x¯2 u (¯ x) + σ u (¯ x) = 0. 4
(41)
,
con 2 X0 = p 4 1 + kσ2
(42)
Esto nos permite escribir la ecuación (41) como: u00 (X) + X 2 u (X) + Rσ u (X) = 0,
(43)
4σ Rσ = p 1 + kσ2
(44)
con
Gracias a los cambios de variables (34) y (42) , así como las solución propuesta (40), la ecuación diferencial (43) resulta análoga a la ecuación diferencial por Fertig y Halperin [3] en la ecuación (2.11).
9
Coe ciente de Transmisión electrónica espín-arriba Tenemos H↑x ψ (x) = EG↑ ψ (x), es decir:
(
1 2 p − m? 2m? x
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
q
4 4ω04 + ω⊥
# ) 2 " q ?3 1 m 1 ? α so ↑ 8 4 + xpx − i~ − m 4ω04 + ω⊥ 16ω08 − ω⊥ x2 ψ (x) = EG ψ (x) , 2 4 2 4ω02 ~ (45)
p 4 − gσ2 ~2 donde EG↑ = E − n + 12
r
2 p m? αso 1 4 8 4 ) es la energía del centro de guía 4ω0 + ω⊥ − 4ω2 ~ (16ω08 − ω⊥ 2 0
del electrón, E representa la energía total del electrón y n es un número entero no-negativo. d Reemplazamos px = −i~ dx en la ecuación (45)
(
1 2m?
# ) " 2 2 d 1 1 ?q 4 ω⊥ 2 αso q 4 m?3 αso 2 ↑ 2 d ? 8 8 4 4 −~ − σm − i~ − m 16ω0 − ω⊥ x 4ω0 + ω⊥ x −i~ 4ω0 + ω⊥ + ψ (x) = EG ψ (x) dx2 2ω0 ~ dx 2 4 2 4ω02 ~ (46)
la ecuación diferencial (46) Multiplicamos por − 2m ~2 ?
(
d2 i − dx2 2
m? ω⊥ ω0
2
αso q 4 4 4ω0 + ω⊥ ~2
x
d 1 + i dx 2
+
Proponemos el cambio de variable x¯ = v u u x0 = u 4 t
2m? ~2
x x0
"
?3 1 ?q 4 4 + m m 4ω0 + ω⊥ 4 2
αso 4ω02 ~
2
8 16ω08 − ω⊥
#
) x2
ψ (x) = −
2m? ↑ E ψ (x) ~2 G
, donde ~2
2m?
1 ? m 4
(47)
p 4 4ω04 + ω⊥ +
m?3 2
αso 4ω02 ~
2
(16ω08
−
(48)
8 ω⊥ )
. Así, la ecuación diferencial (47) se renormaliza a :
"
d2 i − 2 d¯ x 2
m? ω⊥ ω0
2
αso ~2
# q d 1 2m? 4 2 x) = − 2 x20 EG↑ ψ (¯ x) 4ω04 + ω⊥ x0 x¯ + i + x¯2 ψ (¯ d¯ x 2 ~
10
(49)
Asi, la ecuación diferencial a resolver es:
donde 1 k↑ = 2
m? ω⊥ ω0
d2 1 d 2 x) = 0, − ik↑ x¯ + x¯ − ik↑ + ↑ ψ (¯ d¯ x2 d¯ x 2
2
v αso u u u ~ t
2m?
4 4ω04 + ω⊥ 2 p m?3 1 ? αso 4 4 8 8 m 4ω0 + ω⊥ + 2 4ω2 ~ (16ω0 − ω⊥ ) 4
(50)
(51)
0
↑ =
s ~ Ex = 2
1 2
EG↑ Ex
? 2 q m αso 4 4 8 4ω0 + ω⊥ + (16ω08 − ω⊥ ) 4ω02 ~
(52)
(53)
Las soluciones de la ecuación diferencial (50) se describen a detalle por Morse y Feshbach [Ref]. Las soluciones son llamadas Funciones Parabólicas Cilíndricas (FPC). Para cada valor de k↑ , existe una solución par e impar, la cual se denota respectivamente como ψe↑ (X) y ψo↑ (X). Estas soluciones también se pueden expresar en términos de las Funciones Hipergeométricas Con uentes (FHC) 1 F1 (a; b, u) ψe↑
ψo↑
− 4i (k↑ −
√
(¯ x) = e
(¯ x) = x¯e
− 4i (k↑ −
4+k↑2 )x ¯2
1 i 1 q 2 i 4 + k↑2 x¯ + r↑ 4 4 2
(54)
3 i 3 q 2 2 i 4 + k↑ x¯ , + r↑ 4 4 2
(55)
1 F1
√
4+k↑2 )x ¯2
1 F1
donde se de ne ↑ r↑ = 2 q . 4 + k↑2
(56)
Examinando las soluciones de la ecuación diferencial para largos valores de |¯ x|. Escribiendo u = |u| eiθ , 0 < θ < π , podemos mostrar:
1 F1
Γ(b) Γ(b) (a |b| u) → |u|a−b ei(a−b)θ eu Γ(a) + |u|−a eia(π−θ) Γ(b−a)
11
(57)
Lo que nos permite escribir: √ −2( 14 − 4i r↑ ) i 4+k↑2 x ¯2 −i( 14 − 4i r↑ ) π2 e |¯ x | e i 1 Γ( 4 + 4 r↑ ) Γ( 12 ) −2( 14 + 4i r↑ ) i( 41 + 4i r↑ ) π2 e + |¯ x| Γ( 14 − 4i r↑ ) √ √ Γ( 32 ) −2( 34 − 4i r↑ ) i 4+k↑2 x − 4i (k↑ − 4+k↑2 )x ¯2 ¯2 −i( 34 − 4i r↑ ) π2 ↑ e ψo (¯ x) → x¯ e |¯ x | e i 3 Γ( 4 + 4 r ↑ ) Γ( 32 ) −2( 34 + 4i r↑ ) i( 34 + 4i r↑ ) π2 e |¯ x| + Γ( 34 − 4i r↑ ) ψe↑
(¯ x) → e
− 4i (k↑ −
√
4+k↑2 )x ¯2
Γ( 21 )
i
(58)
(59) √
Podemos ver que tanto ψe↑ (¯ x) como ψo↑ (¯ x) poseen un término ue es proporcinal a e− 4 (k↑ − i
que es proporcional a e− 4 (k↑ −5
√
4+k↑2 )x ¯2
4+k↑2 )x ¯2
y otro
para valores largos de |¯ x|. Deseamos asociar uno de estos términos a i
√
una corriente de entrada y otra con la corriente de salida. El término que es proporcional a e− 4 (k↑ −5 i
se aleja del origen mientras que la corriente asociada con el término e− 4 (k↑ −
√
4+k↑2 )x ¯2
4+k↑2 )x ¯2
se dirige directamente
hacia el origen. Procediendo a formar un eigen-estado de la forma ψ↑ (x) = M ψe↑ (¯ x) + N ψo↑ (¯ x), donde los coe cientes M y
√ 2 2 i N se escogen de tal forma que para valores largos positivos de x¯ el coe ciente del término e− 4 (k↑ − 4+k↑ )x¯ se
desvanece. Escogiendo M y N que satisfagan la ecuación:
M
1 2
Γ Γ
1 4
−
i r 4 ↑
e
iπ/8
+N
Γ Γ
3 4
3 2
−
i r 4 ↑
(60)
ei3π/8 = 0
↑ Para valores largos de X > 0, encontramos que ψ↑ (¯ x) → ψout (¯ x) con:
√ 2 2 i 1 i π |¯ x|−2( 4 + 4 r↑ ) e− 8 r↑ e− 4 (k↑ −5 4+k↑ )x¯ Γ( 12 ) Γ( 32 ) −iπ/8 −i3π/8 × M Γ 1+ i r e + N Γ 3+ i r e ( 4 4 ↑) ( 4 4 ↑)
↑ ψout (¯ x) =
(61)
Para valores largos negativos de x¯ encontramos: ↑ ψin
√
−2( 41 + 4i r↑ ) − π r↑ − 4i (k↑ − 8
4+k↑ )x ¯ |¯ x| e e Γ( 12 ) Γ( 32 ) iπ/8 i3π/8 × M Γ 1− i r e − N Γ 3− i r e ( 4 4 ↑) ( 4 4 ↑)
(¯ x) =
Por otro lado, el Coe ciente de Transmisión puede escribirse como: 12
2
2
(62)
2 ↑ x) ψout (¯ Tσ = l´ım 2 x→∞ ↑ x) ψin (−¯
(63)
2 1 3 −2( 1 + i r↑ ) − π r − i (k −5√4+k2 )x¯2 Γ Γ ( ( ) ) π 3π 2 2 −i /8 −i /8 ↑ |¯ 4 4 ↑ 8 ↑e 4 x | × M e + N e e 1 i 3 i Γ( 4 + 4 r ↑ ) Γ( 4 + 4 r ↑ ) T↑ = l´ım √ x ¯→∞ 2 Γ( 32 ) Γ( 21 ) −2( 14 + 4i r↑ ) − π r↑ − 4i (k↑ − 4+k↑2 )x ¯2 iπ/8 − N i3π/8 |¯ 8 e e e x | e × M Γ( 14 − 4i r↑ ) Γ( 34 − 4i r↑ )
(64)
Γ( 21 )
Γ( 43 − 4i r↑ ) iπ/8 e ( 14 − 4i r↑ ) Γ( 32 )
Escribiendo N = −M Γ
1 Γ T = 4 Γ
1 4 1 4
, la Transmisión se reduce a la forma:
− 4i r↑ iπ/4 Γ e − + 4i r↑ Γ
3 4 3 4
2 − 4i r↑ −iπ/4 e + 4i r↑
(65)
Esta expresión puede simpli carse usando las identidades Γ
√ 1 3 π 2 + iy Γ − iy = 4 4 cosh (πy) + isenh (πy)
(66)
y Γ (x + iy) = Γ∗ (x − iy)
(67)
donde x y y son números reales arbitrarios.
T (EG − Vσ ) =
1 . 1 + exp (−πr↑ )
Coe ciente de Transmisión electrónica espín-abajo Tenemos H↓x ψ (x) = EG↓ ψ (x), es decir:
13
(68)
(
1 2 p + m? 2m? x
ω⊥ 2ω0
2
αso ~
q
4 4ω04 + ω⊥
# ) " 2 q ?3 1 m 1 ? α so ↓ 8 4 + xpx − i~ − m 4ω04 + ω⊥ 16ω08 − ω⊥ x2 ψ (x) = EG ψ (x) , 2 4 2 4ω02 ~ (69)
p donde EG↓ = E − n + 12 4 − gσ2 ~2
r
2 p m? αso 1 4 4 8 + ω − 4ω ) es la energía del centro de guía (16ω08 − ω⊥ 2 0 ⊥ 2 4ω ~ 0
del electrón, E representa la energía total del electrón y n es un número entero no-negativo. d Reemplazamos px = −i~ dx en la ecuación (69)
(
1 2m?
# ) " 2 2 ω⊥ 2 αso q 4 1 ?q 4 d 1 m?3 αso 2 ↑ 2 d ? 8 8 4 4 −~ + σm 4ω0 + ω⊥ x −i~ − i~ − m 4ω0 + ω⊥ + 16ω0 − ω⊥ x ψ (x) = EG ψ (x) dx2 2ω0 ~ dx 2 4 2 4ω02 ~ (70)
la ecuación diferencial (70) Multiplicamos por − 2m ~2 ?
(
i d2 + dx2 2
m? ω⊥ ω0
2
αso q 4 4 4ω0 + ω⊥ ~2
1 d + i x dx 2
2m? + 2 ~
Proponemos el cambio de variable x¯ = v u u x0 = u 4 t
x x0
"
?3 1 ?q 4 4 + m m 4ω0 + ω⊥ 4 2
αso 4ω02 ~
2
16ω08
−
8 ω⊥
#
) x
2
ψ (x) = −
2m? ↓ E ψ (x) ~2 G
, donde ~2
2m?
1 ? m 4
(71)
p 4 4ω04 + ω⊥ +
m?3 2
αso 4ω02 ~
2
(16ω08
−
(72)
8 ω⊥ )
. Así, la ecuación diferencial (71) se renormaliza a :
"
d2 i + 2 d¯ x 2
m? ω⊥ ω0
2
αso ~2
# q d 2m? 1 4 2 x) 4ω04 + ω⊥ x0 x¯ + i + x¯2 ψ (¯ x) = − 2 x20 EG↓ ψ (¯ d¯ x 2 ~
(73)
Asi, la ecuación diferencial a resolver es:
d2 d 1 2 + ik↓ x¯ + x¯ + ik↓ + ↓ ψ (¯ x) = 0, d¯ x2 d¯ x 2
14
(74)
donde k↓ =
1 2
?
m ω⊥ ω0
2
v αso u u u ~ t
2m?
4 4ω04 + ω⊥ 2 p ?3 m 1 ? α 8 4 ) + 2 4ωso2 ~ (16ω08 − ω⊥ m 4ω04 + ω⊥ 4
(75)
0
EG↓ ↓ = Ex s ~ Ex = 2
1 2
? 2 q m αso 4 8 4 ) 4ω0 + ω⊥ + (16ω08 − ω⊥ 4ω02 ~
(76)
(77)
Las soluciones de la ecuación diferencial (74) se describen a detalle por Morse y Feshbach [Ref]. Las soluciones son llamadas Funciones Parabólicas Cilíndricas (FPC). Para cada valor de k↑ , existe una solución par e impar, la cual se denota respectivamente como ψe↓ (X) y ψo↓ (X). Estas soluciones también se pueden expresar en términos de las Funciones Hipergeométricas Con uentes (FHC) 1 F1 (a; b, u) ψe↓
ψo↓
− 4i (k↓ +
√
(¯ x) = e
(¯ x) = x¯e
− 4i (k↓ +
4+k↓2 )x ¯2
1 i 1 q 2 2 i 4 + k↓ x¯ + r↓ 4 4 2
(78)
3 i 3 q 2 i 4 + k↓2 x¯ , + r↓ 4 4 2
(79)
1 F1
√
4+k↓2 )x ¯2
1 F1
donde se de ne ↓ r↓ = 2 q . 4 + k↓2
(80)
Examinando las soluciones de la ecuación diferencial para largos valores de |¯ x|. Escribiendo u = |u| eiθ , 0 < θ < π , podemos mostrar:
1 F1
Γ(b) Γ(b) (a |b| u) → |u|a−b ei(a−b)θ eu Γ(a) + |u|−a eia(π−θ) Γ(b−a)
Lo que nos permite escribir:
15
(81)
√ −2( 14 − 4i r↓ ) i 4+k↑2 x ¯2 −i( 14 − 4i r↓ ) π2 e |¯ x | e i 1 Γ( 4 + 4 r↓ ) Γ( 12 ) −2( 14 + 4i r↑ ) i( 41 + 4i r↑ ) π2 e |¯ x| + Γ( 14 − 4i r↑ ) √ √ Γ( 32 ) −2( 34 − 4i r↓ ) i 4+k↓2 x − 4i (k↓ 4+k↓2 )x ¯2 ¯2 −i( 43 − 4i r↓ ) π2 ↓ x) → x¯ e ψo (¯ e |¯ x | e 3 i Γ( 4 + 4 r↓ ) Γ( 32 ) −2( 34 + 4i r↓ ) i( 34 + 4i r↓ ) π2 e |¯ x| + Γ( 34 − 4i r↓ ) ψe↓
(¯ x) → e
− 4i (k↓ +
√
4+k↓2 )x ¯2
Γ( 21 )
i
(82)
(83) √
x) poseen un término que es proporcinal a e− 4 (k↓ + x) como ψo↓ (¯ Podemos ver que tanto ψe↓ (¯ i
que es proporcional a e− 4 (k↓ −3
√
4+k↓2 )x ¯2
4+k↓2 )x ¯2
y otro
para valores largos de |¯ x|. Deseamos asociar uno de estos términos a i
√
una corriente de entrada y otra con la corriente de salida. El término que es proporcional a e− 4 (k↓ 3 i
se aleja del origen mientras que la corriente asociada con el término e− 4 (k↓ +
√
4+k↓2 )x ¯2
4+k↓2 )x ¯2
se dirige directamente
hacia el origen. Procediendo a formar un eigen-estado de la forma ψ↓ (x) = Aψe↓ (¯ x) + Bψo↓ (¯ x), donde los coe cientes A y
√ 2 2 i B se escogen de tal forma que para valores largos positivos de x¯ el coe ciente del término e− 4 (k↓ + 4+k↓ )x¯ se
desvanece. Escogiendo A y B que satisfagan la ecuación:
A
1 2
Γ Γ
1 4
−
i r 4 ↓
e
iπ/8
+B
Γ Γ
3 4
3 2
−
i r 4 ↓
(84)
ei3π/8 = 0
↓ Para valores largos de X > 0, encontramos que ψ↓ (¯ x) → ψout (¯ x) con:
√ 2 2 1 i i π |¯ x|−2( 4 + 4 r↓ ) e− 8 r↓ e− 4 (k↑ −3 4+k↓ )x¯ Γ( 23 ) Γ( 12 ) −iπ/8 −i3π/8 × AΓ 1+ i r e + B Γ 3+ i r e ( 4 4 ↓) ( 4 4 ↓)
↓ ψout (¯ x) =
(85)
Para valores largos negativos de x¯ encontramos: ↓ ψin
√
−2( 14 + 4i r↓ ) − π r↓ − 4i (k↓ + 8
4+k↓ )x ¯ |¯ x| e e Γ( 12 ) Γ( 32 ) iπ/8 i3π/8 × AΓ 1− i r e − B Γ 3− i r e ( 4 4 ↓) ( 4 4 ↓)
(¯ x) =
Por otro lado, el Coe ciente de Transmisión puede escribirse como:
16
2
2
(86)
2 ↓ x) ψout (¯ T↓ = l´ım 2 x→∞ ↓ x) ψin (−¯
(87)
2 1 3 −2( 1 + i r↓ ) − π r − i (k −3√4+k2 )x¯2 Γ Γ ( ( ) ) π 3π 2 2 −i /8 −i /8 ↓ |¯ 4 4 ↓ 8 ↓e 4 x | × A e + B e e 1 i 3 i Γ( 4 + 4 r ↓ ) Γ( 4 + 4 r↓ ) T↓ = l´ım √ x ¯→∞ 2 Γ( 23 ) Γ( 21 ) −2( 14 + 4i r↓ ) − π r↓ − 4i (k↓ + 4+k↑2 )x ¯2 iπ/8 − B i3π/8 |¯ 8 e e e x | e × A Γ( 14 − 4i r↑ ) Γ( 43 − 4i r↑ )
(88)
Escribiendo B = −A Γ
Γ( 21 )
Γ( 34 − 4i r↓ ) iπ/8 e ( 14 − 4i r↑ ) Γ( 32 )
1 Γ T = 4 Γ
1 4 1 4
, la Transmisión se reduce a la forma:
− 4i r↓ iπ/4 Γ e − + 4i r↓ Γ
3 4 3 4
2 − 4i r↓ −iπ/4 e + 4i r↓
(89)
Esta expresión puede simpli carse usando las identidades Γ
√ 1 3 π 2 + iy Γ − iy = 4 4 cosh (πy) + isenh (πy)
(90)
y Γ (x + iy) = Γ∗ (x − iy)
(91)
donde x y y son números reales arbitrarios.
T (EG ) =
1 . 1 + exp (−πr↓ )
Apéndice El potencial silla con término de asimetría es: V (x, y) = − 21 m? ω02 (x2 − y 2 ) + 21 m? ω⊥2 xy Calculamos el gradiente de V (x, y) 2 2 ∇V (x, y) = −m? ω02 x + 21 m? ω⊥ y, m? ω02 y + 12 m? ω⊥ x, 0
17
(92)
x ˆ y ˆ z ˆ 1 2 1 2 2 2 ? 2 2 ∇V (x, y)×p = −m? ω02 x + 21 m? ω⊥ y m? ω02 y + 21 m? ω⊥ x 0 = m −ω0 xpy + 2 ω⊥ ypy − ω0 ypx − 2 ω⊥ xpx zˆ px py 0
Referencias [1] H.D. Meyer. J. Kucar y L.S. Cederbaum, J. Math. Phys. (N.Y.) 29 (6), 1417 (1988). [2] O. Dippel, P. Schmelcher y L.S. Cederbaum, Phys. Rev. A 49, 4415 (1994). [3] H.A. Fertig y B.I. Halperin, Phys. Rev. B [4] M. Büttiker, Phys. Rev. B
41
36
, 7969 (1987).
, 7906 (1990).
18
