Capítulo XI: Pandeo de columnas. Ecuación de Euler. Columnas cargadas excéntricamente.
COLUMNAS Introducción Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente falle falle por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para que falle por aplastamiento. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: Largas grupos: Largas e Intermedias. Las columnas largas fallan por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento.
Las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. Esto se representa muy exageradamente a la siguiente figura.
Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y los efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, esfuer zos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta indeterminación la que da lugar a l a gran variedad de fórmulas para para las columnas intermedias.
Carga Crítica Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rotulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio, de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad como se indica en la figura 11-2a. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentaran variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, como en la figura 11-2b, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de P de de manera que la deflexión δ en el centro no varíe. En estas condiciones el aumento flexionante en el centro es
2 2+
Y en el límite cuando H cuando H ha ha disminuido hasta anularse.
Entonces, como se indica en la figura 11-2c. P 11-2c. P cr es la carga crítica necesaria para mantener cr es la columna deformada sin empuje lateral alguno. al guno. Un pequeño incremento de P sobre este valor critico hará que aumente la deflexión δ, lo que incrementara M, con lo l o cual volverá aumentar δ y así sucesivamente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo
Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y los efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, esfuer zos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta indeterminación la que da lugar a l a gran variedad de fórmulas para para las columnas intermedias.
Carga Crítica Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rotulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio, de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad como se indica en la figura 11-2a. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentaran variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, como en la figura 11-2b, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de P de de manera que la deflexión δ en el centro no varíe. En estas condiciones el aumento flexionante en el centro es
2 2+
Y en el límite cuando H cuando H ha ha disminuido hasta anularse.
Entonces, como se indica en la figura 11-2c. P 11-2c. P cr es la carga crítica necesaria para mantener cr es la columna deformada sin empuje lateral alguno. al guno. Un pequeño incremento de P sobre este valor critico hará que aumente la deflexión δ, lo que incrementara M, con lo l o cual volverá aumentar δ y así sucesivamente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo
que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir δ, etc., y la columna termina por enderezarse por completo. Así, pues, la carga critica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada, como en la figura 11-2c.
Formula de Euler para columnas largas o muy esbeltas En el año 1757, el gran matemático suizo suiz o Leonhard Euler realizo un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica EI(d 2 y/dx2 )=M. Ahora se sabe que este análisis solamente es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempos de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga critica. La figura 11-3 muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acci ón de la carga crítica P crítica P . Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rotulas, o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima δ es lo suficientemente suficiente mente pequeña para que no exista exi sta diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección pro yección sobre un eje vertical. En estas condiciones la pendiente dy/dx es dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:
El momento M es positivo en la figura fi gura 11-3 al pandear la columna en el sentido indicado (basta girar la figura 90° en sentido contrario al reloj), por lo que al ser la y negativa, y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandeara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y de y positiva, positiva, el momento flexionante sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos para los momentos y, por lo tanto, habría que poner también el signo menos.
La ecuación diferencial aproximada de la elástica de la viga no se puede integrar directamente, como se hacía en la sección 6-2, ya que allí M solamente era función de x. A continuación se presentaran dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación diferencial aproximada de la elástica de la viga es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:
+ +
Para la cual una solución general es
De aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por
Al aplicar las condiciones de frontera para x = 0, y = 0, lo que da C 2 = 0; para x = L, y = 0, de la que se obtiene
0 Ecuación de condición que se cumple para C 1= 0, en cuyo caso no existe flexión en la columna, o para
De donde
0,1,2,3,…
Si se carece de conocimientos de ecuaciones diferenciales podemos resolver la ecuación diferencial aproximada de la elástica de la viga escribiéndola en la forma
Que después de multiplicar por 2dy para obtener diferenciales exactas da, por integración:
+ 2 2 2 2 − +2 −
Ahora de acuerdo con la figura 11-3 para dy/dx = 0, y = δ, Sustituyendo en la anterior ecuación da C 1 = Pδ2 por lo que la ecuación anterior se transforma en
O sea,
Separando variables,
Cuya integración da
Para hallar C 2 se aplica la condición y = 0 para x = 0, de donde C 2 = 0. Así, pues,
Lo que indica que la forma de la elástica es senoidal. Haciendo y = 0 para x = L en esta última ecuación se obtiene
0 O bien
De donde
0,1,2,3,…
Que coincide de la otra forma de llegar al valor obtenido de P.
El valor n = 0 no tiene sentido, ya que sería P = 0. Para los demás valores de n la columna se pandea en la forma indicada en la figura 11-4. De estas posibles soluciones, la más importante es la ecuación diferencial aproximada de la elástica. Las otras soluciones ocurren para cargas mayores, pero solo son posibles físicamente si la columna tiene sujeciones laterales en el punto medio o en los tercios del largo, respectivamente, que la obliguen a tomar precisamente esta forma. La carga critica para una columna articulada en sus extremos, es
Limitaciones de la fórmula de Euler Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre menor al momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo elástico. Por ese motivo dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga critica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tal lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible.
Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar es te esfuerzo, se sustituye en la formula el momento de inercia I por Ar 2, donde A es el área de la sección recta y r el radio de giro mínimo.
/
El valor de P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación L/r se llama esbeltez mecánica o, o simplemente esbeltez, de la columna. Para un acero que tenga un límite de proporcionalidad de 200MPa, como E = 200GPa, el límite mínimo de la esbeltez mecánica con que puede aplicarse la fórmula de Euler es
2200×10 00×10 ≈10 000 , ≈100
Por debajo de este valor, como se indica en la figura 11-7, en la parte punteada de la curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excedería, y hay que considerar como esfuerzo critico el límite de proporcionalidad, por lo que para L/r < 100 la fórmula de Euler no es aplicable, y hay que considerar como esfuerzo critico el límite de proporcionalidad. La curva muestra también que el esfuerzo crítico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez sea la menor posible. Finalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga critica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 2 a 3 según el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible.
Problema resuelto en clase Elegir el perfil W más económico para trabajar una columna de 7m de altura que ha de soportar más carga axial de 450kN con un factor de seguridad igual a 3. Supóngase a) extremos articulados, y b) extremo empotrado y el otro articulado; emplee σlp = 200 MPa y E = 200 GPa
⇨ ⇒ ×34501350 (×)() 6 4
⇨ × 33.70005×10
∗1∗77 ≥100 ⇨ ≤ 100 100 70
La sección debe tener un momento de inercia mínimo mayor que 33.5×10 6 mm4 y un radio de giro mínimo de 70mm se puede elegir un perfil W250×73 que tiene un I min = 38.8×106 mm4 y un radio de 64.6 mm
38. 8 ×10 250×73{ 64.6
Diseño de la columna en relación al esfuerzo en el límite de proporcionalidad
⇨ 6750 >70 12 300 310×97{ 76.9 )(.) 16. 4 ×10 ≥ ⇨ (× × ≤ 100 4900100 49 360×64{18. 48.8×101
Parte b)
PROBLEMA ILUSTRATIVO
Escoger el perfil W más ligero para una columna de 8m de longitud que ha de soportar una carga de 270kN con un coeficiente de seguridad de 2.5, el límite de proporcionalidad es de 200MPa y el E = 200 GPa con un extremos empotrados.
(1) Diseño de la columna con relación de Euler
6 75×10 4 ⇨ ≥ 200×10 5.47×10 100 ⇨ ≤ 4000100 40 5. 5 6×10 150×30{ 38.3 675 ⇨ ≥3.375×10− 3375 ⇨ ≥ 200 ≥3375 ≥40 { ≥40 45809 De tablas: 200×36 40. De tablas:
(2) Diseño de la columna en relación al esfuerzo de límite de proporcionalidad
Columnas Intermedias El estudio realizado demuestra que en las columnas esbeltas es aplicable la fórmula de Euler siempre que la esbeltez mecánica sea mayor que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. En el caso de columnas de acero articuladas en sus extremos, este límite es L/r ≈ 100 para un límite de proporcionalidad de 200MPa. La fórmula de Euler no es válida para esbelteces menores. La definición de columna corta como aquella en la que su longitud no excede 10 veces su menor dimensión transversal, hace que el límite superior de la esbeltez mecánica, en columnas cortas de sección rectangular, sea aproximadamente igual a 30. Para todo efecto práctico, el esfuerzo limite en una columna corta es el del límite de cedencia, de manera que requiere sumo cuidado para evitar el pandeo cuando alcanza este valor del esfuerzo. La figura 11-8 muestra estas condiciones para un acero con un límite de fluencia de 280MPa y un límite de proporcionalidad de 200MPa.
Se han puesto varios métodos para cubrir la zona entre el límite superior de las columnas contras y el inferior de las largas. Sin embargo, ninguno de ellos ha sido universalmente aceptado para las columnas intermedias, en parte por su desviación de la relación esfuerzo-deformación cuando los esfuerzos exceden al límite de proporcionalidad, y en parte por la indeterminación de la superposición de los esfuerzos directos y de flexión, al reducir la carga mediante un coeficiente de seguridad, para que los esfuerzos sean inferiores al límite de proporcionalidad Se han desarrollado muchas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material muy empleado en las estructuras. Se examinan el primer lugar, y luego se verá la aplicación a otros materiales.
El AISC define el límite entre columnas intermedias y largas como el valor de la relación de esbeltez Cc dado por:
Dónde:
2
E = Modulo de elasticidad (200GPa para la mayoría de aceros) σ pc = Esfuerzo en el punto de cedencia para el tipo particular de acero empleado
Para columnas de longitud larga, afectara la Le y el radio de giro, el AISC especifica que para
(1) Le/r >C c, el esfuerzo de trabajo está dado por:
12 23 / 2 ⇨ 2 ⇨ 2 ⇨ 2250×10 200×10 125.66
Calculando el Cc para acero estructural:
Esta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad = 1.92. (2) Le/r
/ 1 2 .. 5 3 / 1 . . 3 + 8 8 1.66≤..≤1.92 5 3 / 1 . . 3 + 8 8
Problemas: 1. Mediante la fórmula de AISC determinar la carga axial de trabajo en una columna construida por un perfil W360×122 en las siguientes condiciones:
a) Articulada en sus extremos y con una longitud de 9m. b) Extremos perfectamente empotrados y longitud de 10m. c) Extremos perfectamente empotrados, longitud de 10m y sujeto lateralmente en el centro. Use (σ pc = 380MPa)
De tabla: 360×122 15500 63 380 2 2 200×10 380×10 102 1 143 > 12 12 200×10 23 / ⇨ 23 9000/63 50.4 ⇒ − 50.4×10 15500×10 781 0.5 79.4 < 5 3 1 5 3 7 9. 4 1 7 9. 4 . . 3 + 8 8 3 + 8 102 8 102 1.90 7 9. 4 380×10 [1 2 ] . . 1 2102 1.90 139 15500×10− 2150 139×10 0.7 55.6 < . . 1.85 ⇨ 175− ⇒ 175×10 15500×10 2710 SOLUCION: a)
Columna larga
La carga axial es:
b)
c)
Columna intermedia
Columna intermedia
2. Determinar un perfil W para soportar una carga axial de 360kN una longitud de 4.6m. Emplear la AISC, usar σ pc = 250MPa
Seguiremos los siguientes pasos: a) Suponemos un esfuerzo de trabajo inicial de 80% b) Calculamos el área requerida c) Seleccionamos el perfil más ligero, según sea el área calculada de las columnas d) Si esta carga es igual o mayor que la carga aplicada al perfil se selecciona el adecuado. SOLUCION:
× 126 ⇒ × 0 ⇒ . . 53 ; .. 25053 150 0.80150120 3000 ⇒ × × 3390 31. 2
Para acero σ pc = 250MPa
a) Hay que suponer un esfuerzo de trabajo inicial de 80%
b) A requerida=?
c) Así seleccionamos un perfil W200×27 con d) Para el perfil:
>
:
. 147 ⇨ 147
Columna larga
12 12 200×10 23 23 147 47.7 ⇨ 47.7×103390×10− 161 4580 ⇒ 40. 9 161kN < 360kN se rechaza W200×27 Tomamos otro perfil
W200×36
112 < 5 3 1 5 3 1 12 1 1 12 . . 3 + 8 8 3 + 8 126 8 126 1.91 1 12 250×10 [1 2 ] . . 1 2126 1.91 79.2 79.2×104580×10− 363 ⇒ 363kN > 360kN
Se acepta el perfil W200×36
Tabla tipo de columna o amarre
Clase de columna
K teórico
0.5
0.7
1.0
1.0
2.0
2.0
K diseño
0.65
0.8
1.2
1.0
2.1
2.0
Columnas cargadas excéntricamente Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas axiales, y las fórmulas que se dijeron anteriormente lo han dicho con criterio. Sin embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada excentricidad, por ejemplo, cuando se remacha una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La fórmula de la secante que se verá a continuación es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan engorrosa que suele emplearse con frecuencia el procedimiento simplificado que se indica a continuación. Se estudia la columna excéntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, un elemento corto cargado excéntricamente. Pero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la flexión en el brazo de momento de la fuerza o carga excéntrica, se limita el esfuerzo máximo de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las formulas expuestas anteriormente. Aplicando este procedimiento a la columna de la siguiente figura, que soporta una carga axial P 0 y una carga P con excentricidad e, el criterio de dimensionado debe ser:
∑ + + +
En donde σ es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las formulas dadas de las columnas (tomando como radio de giro para la determinación dela esbeltez siempre el menor, aunque la excentricidad no sea en esa dirección), I l momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la flexión (eje X-X en la figura 1110) y S el modulo resistente respecto al mismo eje. Los modernos criterios de diseño han refinado el planteamiento de máximo esfuerzo para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen debido a la deflexión del eje neutro (el llamado efecto P-δ). Estos efectos toman la forma, muy frecuentemente de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia relativa del esfuerzo axial y del esfuerzo por flexión. Para otros materiales, tales como madera aluminio, se han adoptado fórmulas de interacción semejantes a la fórmula de la AISC. El diseño de miembros sujetos tanto a cargas axiales como de pandeo, es esencialmente un procedimiento de interacción. Así, mediante criterios aprobados se verifica si una sección seleccionada es adecuada o no. Este procedimiento se simplifica grandemente por las diversas tablas y graficas de que dispone el diseñador a seleccionar la sección óptima que cumpla las fórmulas de interacción.
Problema: 1. Un perfil W360×134 se emplea como columna de 7m de longitud efectiva para soportar un carril de una grúa viajera en una nave industrial. Determinar la máxima reacción admisible P si la columna soporta también una carga de 400kN procedente de la planta superior, como se indica en la figura 11-11. Use el enfoque del máximo esfuerzo y las especificaciones AISC, con σ pc = 250MPa
SOLUCION:
W360×134
⇒
L = 7m
De tabla: A=17100mm 2 Sx=2330×103mm3 R=94mm
1 700094 74.5 | 2 2 200×10 250×10 126 < 5 3 1 5 3 7 4. 5 1 7 4. 5 . . 3 + 8 8 3 + 8 126 8 126 1.86 7 4. 5 250×10 [1 2 ] . . 1 2126 1.86 111 ∑ + 400×10 + 0. 1 250. 0 75400×10 111 17100×10− + 2330×10− 896
PROBLEMA DEL SINGER
Un perfil W360×122 se emplea como una columna de 10m de longitud efectiva. Determinar la carga máxima que puede soportar con una excentricidad de 300mm ¿Dónde se debe situar la carga, sobre el eje X o sobre el eje Y? suponga σ pc = 290MPa
⇒
W360×122 L = 10m De tabla: A=15500mm 2 Sx=2010×103mm3 Sy=478×103mm3 R=63mm Pmax=? Calculando la esbeltez:
1 1000063 158.73 2 2 200×10 290×10 117 > Columna larga
1223 / 1223 200×10 158.73 40875692.05/ a) Carga sobre el eje Y:
+ − + 0.000201 0.3 40875692.05/ ∑ + 15500×10 191.213 + − + 0.000478 0.3 40875692.05/ ∑ + 15500×10 59.058
b) Carga sobre el eje X:
Respuesta.- La carga máxima que puede soportar es Pmax = 191.213kN, el eje que puede aguantar la carga excéntrica es el eje Y.
2. Elegir perfil W más adecuado para trabajar como columna de 7m de altura que ha de soportar una carga axial de 450kN con un factor de seguridad igual a 3. Supóngase:
a) extremos articulados. b) un extremo empotrado y el otro articulado, use σ pl = 200MPa, E=200GPa.
Método AISC:
2 2 200×10 250×10 126 0 ⇨ . . 53 1.667 ⇒ .. 1.250667 150 ñ 0.75150 112.5 ⇨75% 450×10 112.5×10 4000 ⇒ 25033 7000 33. 1 207. 7 4170 33. 7 7 > ⇒ 250×33 ⇨ 1 7000 4940 310×39 38. 182. 2 9>126 38. 4 4 > 12 12 200×10 23 / 23 182.29 31 31×104940×10− 153<450⇒
1) σpc= 250MPa
2) Calculamos el área requerida
207.7>126
3) Seleccionamos otro perfil:
Columna larga
4) Seleccionamos otro perfil: para que la columna sea intermedia
1261 7000 ⇨ ≥55.5 9280 310×39 64. 6 ⇨ 1 700064.6 108.36<126 < 5 3 1 5 3 108. 3 5 1 1 08. 3 5 . . 3 + 8 8 3 + 8 126 8 126 1.91 / 1 08. 3 5 250×10 1 2 . . 1 2126 1.91 82.5 ⇨ 82.5×109280×10− 765
Columna intermedia
No cumple ya que la carga a soportar es 450kN y la obtenida es mucho mayor. 5) Seleccionamos otro perfil:
8550 ⇨ 1 700051 137.25>126 250×67 51 > 12 12 200×10 23 / 23 137.25 54.67 54.67×108550×10−467<450 ⇒se acepta este perfil porque es ligeramente mayor
Columna larga
PROBLEMA DEL SINGER
Una barra prismática de acero 50x75mm tiene una longitud de 1.5m calcular la carga máxima que puede soportar con una excentricidad de 120mm con respecto a los ejes geométricos. La barra soporta también una carga axial de 50kN. Suponga σ pc = 250MPa l =1.5m e=120mm σ pc = 250MPa
ℎ 75×50 12 12 781250 7508125075 14.43 14.150043 103.95<126 < 5 3 1 5 3 103. 9 5 1 1 03. 9 5 . . 3 + 8 8 3 + 8 126 8 126 1.91 / 1 03. 9 5 250×10 1 2 . . 1 2126 1.91 86.3 ℎ /12 ℎ /2 46875 | /2/12 31250 0.12; 50×10 + ∑ + 50×10 0.12 − 86.3×10 5075+ + 46875×10 25.79
Columna intermedia
Cuando hay excentricidad:
Fórmula de la secante Se puede obtener una expresión teóricamente correcta para las columnas excéntricamente cargadas, generalizando el análisis de Euler, en la forma siguiente. La figura 11-12 muestra la elástica de la línea media de una columna que soporta una carga con una excentricidad e y que tiene una longitud L.
Si se prolonga la columna como indica la línea de trazos, se transforma en una columna articulada de longitud λ. El valor indicado de P es la carga crítica para esta longitud λ desconocida. Esta columna tiene una forma de media sinusoide cuya ecuación tomando como origen uno de los extremos, es
// 2λ
Ahora bien, de la anterior ecuación calculada. Por tanto,
para el caso fundamental de columna
Si se considera origen en el centro, la ecuación en los extremos en función de la longitud λ desconocida es
Aplicando ahora la condición de que para x=L/2, y=e, se obtiene
De donde se despeja el valor de δ que, introduciendo en la ecuación que considera el origen en el centro, resulta
λ 2λ
Para obtener el valor de λ se aplica la fórmula de Euler, dada por la ecuación de carga a una columna de longitud λ
, , y 2 2
Sustituyendo en la ecuación donde se despeja δ, resulta la siguiente ecuación para la columna de la figura 11-12:
La curvatura se obtiene derivando dos veces la expresión anterior:
Por tanto, de acuerdo con la ecuación diferencia de la elástica, el momento flexionante máximo en x=0 es
= 2 2
El esfuerzo máximo en la columna cargada excéntricamente se compone del esfuerzo directo de compresión y del de flexión, como en una columna corta, es deci r,
+
Por tanto, teniendo en cuenta I=Ar 2 y el valor de M en la anterior ecuación se obtiene
1 + 2 Esta ecuación se conoce con el nombre de fórmula de la secante. Para obtener la carga admisible, P adm o de trabajo, hay que sustituir P por f P adm, siendo f el coeficiente de seguridad, y tomar como σ max el esfuerzo en el punto de cedencia. En estas condiciones, la ecuación anterior se transforma en
1 + 2 Para aplicar esta ecuación hay que proceder por tanteos. Se facilita su aplicación hallando los valores de la esbeltez L/r para una serie de valores de P/A, y con distintos valores de la relación de excentricidad ec/r 2 tales como 0.2, 0.4, etc., 1.0. Este procedimiento da los resultados de la siguiente tabla 11-1, de los cuales se pueden graficar curvas de diseño de la figura 11-13.
Figura 11-13 . Curvas de diseño para la fórmula de la secante con un factor de seguridad de 2.5.
Es interesante observar que cuando la esbeltez se aproxima a cero el valor de la secante en la ecuación de σmax tiende a la unidad y, por tanto, la ecuación de σ max se transforma, en el límite,
1+ +
Que es la ecuación para cargas excéntricas en elementos cortos
Problemas 1106. Dos perfiles C310x45 se unen mediante placa en celosía de manera que el momento de inercia sea el mismo con respecto a los dos ejes principales de la sección compuesta así formada. Determinar la longitud mínima de esta columna, que se supone articulada en sus extremos, con E=200GPa y límite de proporcionalidad de 240MPa para poder aplicar la fórmula de Euler ¿Qué carga podría soportar con una longitud de 12m y un factor de seguridad de 2.5?
I = 67.3x10 6mm4 (Tabla) C310x45
r x = 109mm Ix = 2I Ix= 134.6x10 6mm4 Se sabe que Le = L
Sección transversal
Calculamos la carga crítica de Euler.
2 00×10 109×10 240×10 9.89
− 2 00×10 1 34. 6 ×10 12 1845 . . 738
La carga admisible es:
1121. En la estructura de un puente, representada en la figura, La barra AB está formada por dos perfiles C230x30 unidos mediante celosías, de manera que la secci ón resultante tenga igual momento de inercia respecto de los ejes de simetría. Si la carga de seguridad P viene dada por la resistencia de la barra AB, determinarla mediante las especificaciones AISC con σ pc=290MPa.
B
6m
A 8m
8m
P
8m
8m
P
P
0 8+16+24323 2 53 32 52
Calculando la esbeltez
510000 122. 1 4×10 7600 2 2 200×10 290×10 116.68 > Columna larga
Calculando la carga
12 23 0.0076 52 1223 200×10 122.1 210
1138. Un perfil W360x134 se emplea como columna de 6m de longitud. Soporta una carga axial de 260kN y la otra excéntrica de 220kN sobre el eje de menor momento de inercia. Determinar la excentricidad máxima admisible de la carga, con σ pc=250MPa.
W360x134
Para
L = 6m
P axial = 260kN
A = 17100mm 2 r min = 94mm Ix = 415x10 6mm4 Iy = 151x10 6mm4 Sx = 2330x10 3mm3 Sy = 817x10 3mm3 Tiene una relación de esbeltez de:
0.0694 63.83 250 2 2 2 00×10 250×10 125.66 < la relación de esbeltez crítica es:
Columna intermedia
P excéntrica = 220kN
Entonces el esfuerzo de trabajo es:
5 3 1 3 + 8 8 5 3 6 3. 8 3 1 6 3. 8 3 3 + 8 125.66 8 125.66 1.84 / 1 2 .. 6 3. 8 3 250×10 1 2125.66 1.84 118.34 ∑ + 2 50+220×10 220×10 118.34×10 17100×10− + 2330×10− 956
Problemas resueltos de los exámenes El ángulo 200×150×25 se quiere usar como columna de una longitud de 3m con un extremo empotrado y libre en el otro. Cuál es la máxima carga en kN que resistirá la columna. Use recomendaciones de la AISC y σ pc=250MPa
̅ ++ ̅ 500012.58125+312587.5 ̅ + + 5 5000100+312512. 8125
Para el ángulo 200×100×20 sin tablas.
= 41.34mm
=66.34mm
Calculando momentos de Inercia:
+ + + × +500010066.34 + × +312566.3412.5 + + + × +500041.3412.5 + × +312587.541.34
I x-x I x-x
I x-x =3 1.55x10 6mm4 I y-y I y-y
I y-y = 15.1×106mm4
Producto de Inercia:
+ 500010066. 3441.3412.5 +312566.3412.587.541.74 12.62×10
Inercia mínima:
Radio de giro mínimo:
Calculando la esbeltez:
+ ̅ ̅ 2 2 + 31. 6 ×10 +15. 1 ×10 31. 6 ×10 15. 1 ×10 2 2 +12.62×10 8.33×10
8 . 3 310 8125 31.96
2 .× 187.73 2 2 2 00×10 250×10 125.6
> 12 12 200×10 23 / ⇨ 23 187.73 29.22 ⇨ 29.22×108125×10− 237.4 Columna larga
Problema.- La estructura mostrada, ha sido construida con acero estructural. Se pide calcular la máxima carga P, para que el elemento AB que está constituido, por un ángulo de 200×100×20 mm, cumpla con las especificaciones de la AISC. Suponga que no dispone de tablas de perfiles estructurales. B D 3m
θ
A
2m
2m
C
1.5m
2P kN
E
1.5m
3P kN
RF (5) - 2P(2) -3P(3.5) = 0 RF = 2.9P
RA (5) - 2P(3) -3P(1.5)=0 RA = 2.1P
RA + RF -2P - 3P = 0 RA+ RF = 5P 2.1P+ 2.9P= 5P
∑ F 0senθ θ 56.3 Para el nodo A. y
RA =TAB TAB= 2.52P
F
Para el ángulo 200×100×20 mm. Sin tablas. 1º.- Determinación del C.G
̅ ++ ̅ 400010+160060 5600 ̅
++ 4000100+160010 5600 , : + + + × +400010074.29 + × +160074.2910 + + + × +400024.2910 + × +16006024.29 = 24.29mm
=74.29mm
2º.- Cálculo de los momentos de Inercia respecto de los ejes I x-x I x-x
I x-x = 22.6x106mm4 I y-y I y-y
I y-y = 3.84×106mm4
, : + 400010074. 2 9 2 4. 2 910+1600 6024. 2 9 74. 2 910 5.14×10 + ̅ ̅ 2 2 + 22. 6 ×10 +3. 8 4×10 22. 6 ×10 3. 8 4×10 2 2 +5.14×10 13.2210.69 ×10 2.53×10 3º.- Cálculo del producto de Inercia respecto de los ejes
Inercia mínima: