DISEÑO DE COLUMNAS 6.
COLUMNAS 6.1.
COLUMNAS CORTAS 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6. 6.1.7.
Compresión axial Compresión y flexión uniaxial Diagramas de interacción Carga axial-Momento. Métodos aproximados de diseño por Tensión o compresión Diseño usando diagramas de interacción Especificaciones NSR-98. Refuerzo transversal- Empalmes Flexión biaxial.
6.2. COLUMNAS ESBELTAS 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5.
Columnas cargadas concéntricamente. Compresión y flexión. Efectos de esbeltez en columnas. Análisis de segundo orden para efectos de esbeltez Efectos globales de esbeltez. Indice de estabilidad.
6. COLUMNAS DE CONCRETO REFORZADO INTRODUCCION Una columna se define como un miembro estructural sometido principalmente a fuerzas axiales de Compresión. Generalmente esta fuerza va acompañada de momentos flectores y cortantes. Las columnas son los miembros verticales de los Pórticos estructurales que sirven para apoyar a las vigas cargadas; transmiten las cargas de los pisos superiores hasta el suelo, a través de la cimentación. La falla en una columna puede causar el colapso de una edificación por lo que en su diseño se deben extremar las medidas de seguridad, más que en las vigas, sobre todo porque las fallas de compresión no proporcionan advertencia visual como ocurre con las deflexiones en las vigas. Los principios de compatibilidad de esfuerzos y deformaciones que se aplicaron en el análisis y diseño de vigas son aplicables también en el caso de las columnas con la diferencia que se introduce como elemento nuevo la carga axial, por lo que las fórmulas deben modificarse. Las hipótesis básicas son las siguientes: ¾ ¾ ¾ ¾
Existe una distribución lineal de las deformaciones en la sección transversal de la columna (Secciones planas permanecen planas). No hay deslizamiento entre el acero y el concreto (la deformación del acero y del concreto circundante es la misma). La deformación máxima del concreto en el momento de alcanzar su máxima capacidad a la compresión es de 0.003 Se desprecia la resistencia a Tensión del concreto.
TIPOS DE COLUMNAS
Figura 6.1 Tipos de Columnas según el Refuerzo ¾ ¾ ¾
Con base a la forma y disposición del refuerzo, las columnas se pueden clasificar en tres grupos Ver figura 6.1): • Columnas rectangulares o cuadradas con refuerzo longitudinal de varillas y estribos de refuerzo transversal. • Columnas circulares con refuerzo longitudinal de varillas y refuerzo en espiral o con estribos. • Columnas compuestas en las que se confinan perfiles metálicos con el concreto o perfiles tubulares rellenos con hormigón.
Las columnas con espirales tienen la propiedad de soportar grandes deformaciones antes de fallar haciéndolas mas ventajosas que las columnas con estribos en donde la falla al alcanzar la resistencia última es frágil. Si se ensayan cilindros a compresión triaxial, siendo la compresión lateral de confinamiento la proporcionada por un fluido a presión, la resistencia última del concreto se verá incrementada en una magnitud dada por la ecuación f1 = f’c + 4.1f2 (6.1) Donde f2 es la presión del fluido. En la práctica el confinamiento es proporcionado por los estribos en espiral. Este refuerzo sólo comienza a esforzarse cuando el concreto alcanza valores del orden de 0.85f’c ¾ Con respecto a la posición de la carga las columnas se pueden clasificar como (Ver figura 6.2) : • Columnas cargadas axialmente. • Columnas con carga excéntrica (con flexión uniaxial o biaxial)
Figura 6.2. Tipos de columnas según las Cargas actuantes
¾
De acuerdo al tipo de falla las columnas se pueden clasificar como: • Columna corta: cuando la falla se presenta por fluencia inicial del acero a tensión o por aplastamiento inicial del concreto en la zona a compresión. • Columna esbelta: Cuando la falla se da por pérdida de estabilidad o pandeo lateral para una carga axial muy debajo de la fluencia en acero o compresión en el concreto.
6.1. COLUMNAS CORTAS 1. COMPRESIÓN UNIAXIAL Al cargar una columna concéntricamente se inducen esfuerzos de compresión tanto en el concreto como en el acero, de manera que se cumple que
P=fcAc + fsAs ( 6.2 ) Figura 6.3. Curva Esf-Def en concreto reforzado
Los materiales tienen las curvas esfuerzos-deformación como la mostrada en la figura 6.3 Cargas relativamente pequeñas –rango elástico- , con esfuerzos cerca de 0.45f’c son absorbidas prácticamente por el concreto. Para calcular la magnitud de la fuerza tomada por el acero y el concreto se tiene en cuenta la compatibilidad de deformaciones:
∆ c = ∆ a , ∆ = σL/E y de allí se obtiene que σ a = nσ c , n=Ea/Ec , σ c ≤ 0.45f' c , σ a ≤ 0.5f y y finalmente P=fc [Ag+(n-1)Ast]. Para cargas crecientes, hasta el punto A, el comportamiento es independiente de la resistencia fy (por la compatibilidad de deformaciones); Cargas mayores serán absorbidas por el acero en una magnitud Asfy Con Ac=Ag – As, la resistencia última se obtiene cuando cuando fs = fy y fc= 0.85f’c; con lo que la fórmula se transforma en Pu = 0.85f’c (Ag-As) + As fy ( 6.3 ) El concreto no alcanza el valor máximo f’c debido a que al vaciar el concreto en las formaletas verticales el agua tiende a irse hacia arriba aumentando la relación agua-cemento y disminuyendo por tanto la resistencia; así mismo el flujo plástico por cargas sostenidas en el tiempo hace que el concreto sufra acortamientos mientras que el acero no, lo que hace que el esfuerzo en el concreto sea menor y la diferencia lo tome el acero. Por esta razón sólo se toma el esfuerzo máximo en el concreto como 0.85f’c Se debe hacer notar que la carga concéntrica produce compresión en toda la sección transversal de la columna (tanto en el concreto como en el acero). Por otro lado, es improbable que la carga sea totalmente axial; siempre existirá una pequeña excentricidad ya sea por defectos en la construcción o efecto de la restricción de los apoyos. Para tener en cuenta este hecho, se reduce la carga nominal en un 20% para columnas con estribos y un 15% con espirales. De igual manera, se introduce un factor de reducción de
capacidad φ de 0.70 para columnas con estribos y de 0.75 con espirales. La fórmula (6.3) queda entonces Pu = 0.80 φ [0.85f’c (Ag-As) + As fy ] φ =0.70 con estribos Pu = 0.85φ[ 0.85f’c (Ag-As) + As fy ] φ= 0.75 con espiral 6.1.2. •
(6.4) (6.5)
COMPRESION Y FLEXION UNIAXIAL MATERIAL ELASTICO IDEAL:
Si se tiene una columna con carga excéntrica construida con material elástico homogénea, que tenga la misma resistencia a la Tensión que a la Compresión, la distribución de esfuerzos se tendrá por superposición usando los principios de la Resistencia de materiales, como se muestra en la secuencia de la figura 6.4: - ft = P/A – Mc/I
fc = P/A + Mc/I
(6.6)
La falla se presenta cuando ft excede la resistencia a la tensión del material fot, o cuando fc excede la resistencia a la compresión del material foc, ft > fot ⇒ -ft < - fot fc > foc (6.7) Por lo tanto, las ecuaciones de las líneas de falla son -fot = P/A – Mc/I foc = P/A + Mc/I
(8) (9)
Si se define Moc Momento que causa la falla a la compresión cuando no actua la carga axial Poc Carga que produce la falla a compresión cuando no hay momento,
Figura 6.4. Flexo-compresión en material elástico Se puede escribir: Moc = foc I/c Poc = foc A Se tiene entonces que foc ≥ P/A + Mc/I Dividiendo por foc
1 ≥ P/Afoc + M/focI/C
Por tanto
P M ≤1 + Poc Moc
(6.10)
que es la ecuación unitaria para la falla a compresión. De igual manera, definiendo Mot Momento que produce la falla a la tensión cuando no hay carga axial Pot Carga que produce la falla a la tensión cuando no hay momento, se tiene: Mot = fot I/c
Pot = fotA
Y se tenía que -ft < - fot -fot ≤ P/A – Mc/i De donde, dividiendo por fot
M P ≤1 − Moc Poc
(6.11)
Si resistencia del material a la tensión es igual a la compresión, se obtiene el diagrama de interacción que se muestra en la figura 6.6-a, que corresponde a la representación gráfica de las dos ecuaciones unitarias. Pero si la resistencia a la tensión es menor que la compresión, como ocurre con el Hormigón simple, se tiene la figura 6.6-b Dado que el diagrama de interacción muestra dónde se han excedido la resistencia a tensión o compresión del material, el diagrama es de gran ayuda para establecer si una combinación dada de Carga-Momento producen un estado de falla del material El punto mas alto P/Poc indica que la carga axial P ha alcanzado el límite superior de falla Poc. Al introducir algún momento, es evidente que la columna es incapaz de resistir la misma carga P y su capacidad a carga axial disminuye, como se muestra en la línea de pendiente negativa P= (1 −
M ) Po . Mo
En cualquier punto sobre esta línea se tiene una falla por compresión en un extremo de la sección, mientras que en el otro extremo no se ha utilizado toda la tensión. Al seguir aumentando el momento se llega a un punto en el cual la falla se presenta simultáneamente por tensión en un extremo y compresión en el otro. Este punto de falla simultánea se llama punto balanceado y la falla se llama falla balanceada. A partir de este punto, no se puede seguir incrementando el momento y se presenta un cambio de comportamiento del material que está controlado por la resistencia a tensión del material.
Figura 6.6. Diagramas de Interacción para material homogéneo •
COMPRESION Y FLEXION EN EL CONCRETO
Figura 6.7. Diagrama de Esf-Def en columna a flexo-compresión El comportamiento de una columna de concreto reforzado sometido a compresión y flexión es similar al descrito para material homogéneo; se pueden aplicar las mismas consideraciones del bloque rectangular equivalente a compresión de actura usado para vigas, como se muestra en la figura 6.7. La carga Pn y el momento Mn son equivalentes a colocar una carga Pn con una excentricidad e, medida respecto al centroide de la sección. Del equilibrio de fuerzas verticales se puede escribir: Pn = Cc + Cs – Ts Donde Cc es la fuerza de compresión en el concreto Cs es la fuerza de compresión en el acero Ts es la fuerza de tensión en el acero
Cc = 0.85f’cab Cs = A’sf’s Ts = Asfs
Pn = 0.85f’cab + A’sf’s1 – Asfs
(6.12)
El momento exterior Mn = Pne es equilibrado por el momento interno formado por las fuerzas, calculado respecto al centroide de la sección, que para refuerzo simétrico coincide con el centro geométrico de la sección: Mn = 0.85f’cab(h/2-a/2) + A’sf’s((h/2-d’) + Asfs(d-h/2) (6.13) En las ecuaciones (6.12) y (6.13) se está suponiendo que el acero en la cara a tensión está verdaderamente trabajando a tensión, lo cual se dará para excentricidades grandes (momentos grandes comparados con la carga axial); pero para pequeñas excentricidades, este acero puede estar trabajando a compresión; el signo menos ( - ) en la ecuación (6.12) cambiaría a mas ( + ) sumándose a la carga resistente y viceversa para la ecuación (6.13). También se está suponiendo que el área de concreto a compresión es Ac= ab, cuando el valor exacto se obtiene restándole el área que desplaza el acero A’s. El valor exacto sería: Ac = ab-A’s (6.14) 1
Si se toma en cuenta el concreto desplazado por el acero a compresión, deberá usarse la expresión A’s(f’s-0.85f’c) en lugar de A’sf’s
Sin embargo el error que se comete es despreciable, salvo cuando se tienen unas cuantías de acero bastante grandes. Es obvio que la carga Pn no puede ser mayor que la carga axial máxima que se obtiene cuando sólo actua carga axial Pn ≤ Pn(max) = 0.85f’c (Ag-Ast) + Ast fy Ast=As+A’s (6.15) Los esfuerzos en el acero a tensión o a compresión podrán alcanzar la fluencia dependiendo de la magnitud de la excentricidad. Si la falla se presenta por aplastamiento en el concreto es probable que f’s = fy. Si la falla es por Tensión en el acero a tensión entonces fs = fy: fs = fy si la falla es por tensión Posiblemente f ‘ s = fy si la falla es por aplastamiento del concreto Si los esfuerzos en el acero son menores que la fluencia, su magnitud se puede calcular por semejanza de triángulos, como sigue:
0.003(c - d' ) Es ≤ f y (6.16) c 0.003(d - c) fs = Es ∈s = Es ≤ f y (6.17) c
f’s = Es∈’s =
RESUMEN DE FORMULAS Pn = 0.85f’cab + A’sf’s – Asfs
(6.12)
Mn = Pn e= 0.85f’cab(h/2-a/2) + A’sf’s((h/2-d’) + Asfs(d-h/2) (6.13) f’s = Es∈’s =
0.003(c - d' ) Es ≤ f y (6.16) c
fs = Es ∈s =
0.003(d - c) Es ≤ f y (6.17) c
En las ecuaciones (6.12) y (6.13), se desconocen cuatro valores, para cuatro ecuaciones, a saber: a=β1c Profundidad del bloque equivalente de esfuerzos f’s El esfuerzo en el acero a compresión. Fs El esfuerzo en el acero a tensión Pn para una excentricidad dada e=Mu/Pu Los esfuerzos en el acero fs , f’s y a se pueden expresar en términos de c usando las ecuaciones (6.16) y (6.17), con lo que se obtendría un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (Pn y c). Sin embargo, si se remplaza Pn de (6.12) en (6.16): Mn=Pne, se obtiene una ecuación cúbica en c completa de la forma mx3+nx2+rx+s=0, siendo cada coeficiente una expresión algebraica;
además, luego de calculado c es necesario revisar si los esfuerzos fs y f’s en acero alcanzan la fluencia. Esto hace impráctico intentar una solución matemática directa2. Por lo anterior, es preferible un método de tanteo para el caso de análisis y diseño: •
Se tiene b h d d’ f’c fy As A’s Es e dada
•
Se supone un valor para c, profundidad del bloque a compresión
•
a = c / β1
•
f’s = Es∈’s =
•
fs = Es ∈s =
0.003(c - d' ) Es ≤ f y c 0.003(d - c) Es ≤ f y c
• Pn =0.85f’cab + A’sf’s – Asfs •
Mn = 0.85f’cab (h/2-a/2) + A’s f’s((h/2-d’) – As fs (d-h/2)
•
en = Mn/Pn
•
Se compara el nuevo en con el eu dado por la expresión eu = Mu / Pu
•
Si no son aproximadamente iguales, se supone un nuevo c y se repite el procedimiento.
•
Si probados todos los c posibles de la sección no se llega a la inecuación Pu≤Pn significa que la solución propuesta no satisface y deben cambiarse las dimensiones de la sección transversal o la cuantía del refuerzo y nuevamente repetir los pasos. Lo mas práctico es realizar el diagrama de interacción como se indica en la sección siguiente.
El procedimiento se puede sistematizar con un programa, con lo cual se reduce el trabajo de análisis. Por otro lado, se pueden hacer simplificaciones en las fórmulas bajo ciertos supuestos de tal manera que se puede diseñar de manera explícita el refuerzo, como se muestra en la sección 6.1.4 6.1.3.
DIAGRAMA DE INTERACION DE UNA COLUMNA
DEFINICION: Un diagrama de interacción es el lugar geométrico de todos los pares CargaMomento que causa la falla en la columna. Como se ha podido observar, la capacidad última de una columna viene dada por la capacidad de resistir simultáneamente una carga axial y un momento, lo que indica que habrá infinitos pares de Carga-Momento que la columna puede resistir. Además, también se ha visto que el tipo de falla depende de la magnitud relativa de carga respecto a momento, lográndose fallas por aplastamiento del concreto o fluencia inicial del acero a tensión. Las fórmulas para la falla a Tensión o a Compresión tienen que partir del supuesto de que el refuerzo a compresión o el de tensión alcanzan la fluencia, para poder obtener expresiones que permitan calcular el refuerzo o la capacidad última (Pn,Mn) para una excentricidad dada. Finalmente, en el diseño las normas exigen que se realicen diversas combinaciones de carga de tal manera que una sola columna debe revisarse para cuatro o mas combinaciones. 2
Actualmente el autor desarrolla un trabajo de pregrado con un estudiante para intentar la solución directa de la ecuación cúbica referenciada. (1º -06-2004)
Por todo lo anterior, resulta más práctico para el diseño obtener una curva de falla para CargaMomento para cada columna con dimensiones conocidas, materiales seleccionados y refuerzo supuesto. De esta manera cada par Carga-momento de diseño será satisfecho por la columna si cae dentro de la curva; de lo contrario falla y deberán revisarse las dimensiones o variar el refuerzo. El principal inconveniente está en hacer tantos diagramas como secciones y refuerzos diferentes se tengan o se presenten pero se pueden realizar diagramas de interacción adimensionales en términos de Pu / bh y Mu / bh2 (Ver por ejemplo diagramas de González y Robles en ASPECTOS FU NDAMENTALES DEL CONCRETO REFORZADO.)
•
MODOS DE FALLA DE LAS COLUMNAS CORTAS
De manera similar al diseño a flexión de vigas, la falla en una columna corta puede presentarse por fluencia del acero a tensión o por aplastamiento en el concreto al alcanzarse la deformación máxima unitaria. En el caso de presentarse simultáneamente fluencia del acero a tensión y alcanzarse la deformación máxima en el concreto se tendrá una falla balanceada, para una carga que se llamará Pnb
Figura 6.8. Falla a Tensión o a Compresión De esta manera se pueden tener tres tipos de fallas: • Si Pn < Pnb ⇒ Falla por tensión del acero • Si Pn = Pnb ⇒ Falla balanceada • Si Pn > Pnb ⇒ Falla por compresión del concreto
ANÁLISIS DE LA FALLA BALANCEADA f s = f y ∈s = ∈y
∈cu = 0.003
∈´s ≤ ∈y
Como ya se demostró, del diagrama de deformaciones, se tiene:
Cb =
0.003 d (6.18) 0.003 + ε y
Con Es=2.000.000 Kg/cm2 y ∈y
Cb =
6000 d 6000 + f y
(6.18-a)
Siendo ab = β1 c b, las fórmulas (6.12) y (6.13) se transforman en
=fy/Es, se tiene
Pnb = 0.85f’cβ1 c b b + A’sf’s – Asfy (6.19) Mnb = 0.85f’cβ1 c b b (h/2-β1 c b /2) + A’sf’s((h/2-d’) + Asfy(d-h/2) (6.20) f’s = Es∈’s =
Siendo
6000(c b - d' ) ≈ f y (6.21) cb
Si la armadura es simétrica y f’s=fy entonces A’sf’s – Asfy =0, la ecuación (6.19) se transforma en Pnb = 0.85f’cβ1 c b b (6.22) La ecuación (6.20) también se simplifica como Mnb = 0.85f’cβ1 c b b (h/2-β1 c b /2) + As f y (d-d’)
(6.23)
ANALISIS DE LA FALLA POR TENSION c< cb
f s = fy ∈s = ∈y ∈cu = 0.003 ∈´s=
6000(c - d' ) ≤ fy c
ANALISIS DE LA FALLA POR COMPRESION c> cb
f s < f y ∈s < ∈y
fs=
6000(d - c) ≤ fy ∈cu = 0.003 ∈´s=∈y f ´s = fy c
PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR EL DIAGRAMA DE INTERACCION Basados en las fórmulas anteriormente desarrolladas, el procedimiento para elaborar el diagrama se puede resumir en los siguientes pasos (Se incluirán aquí el factor de reducción φ para trabajar con Pu ≤ φ Pn y Mu ≤ φ Mn ). En el eje X se colocarán los valores de Momentos y en el eje Y los de Carga axial. DATOS DE ENTRADA b h d d’ f’c fy As=A’s As=A´s = Ast / 2
Es
CALCULOS •
1. Se calculan los puntos claves de control como son: * Falla balanceada:
Cb =
6000 d 6000 + f y
f’s =
(6.18´)
6000(c b - d' ) ≤ fy cb
φPnb = φ[0.85f’cβ1 c b b + A’sf’s – Asfy]
φ = 0.7
φMnb = φ [0.85f’cβ1 c b b (h/2-β1 c b /2) + As f y (d-d’)]
(6.23)
2. Carga axial máxima (suponiendo Mn=0) φPoc = φ [0.85f’c (Ag-Ast) + Ast fy ]
φ =0.70 con estribos
Luego se obtiene 0.8φPoc y se calcula el correspondiente Momento:
(6.4)
0.8φPoc = φ[0.85f’c β1 cb+A’sfy-6000As(
d-c )] y se despeja c para hallar luego φMn c
* Punto de máxima tensión (Despreciando la resistencia del concreto) φPot = φ Ast fy
φ = 0.90 (6.24)
*Punto de Mot para el cual Po=0 . fs=fy (Intersección en el eje X) • Pn =0.85f’cab + A’sf’s – Asfy, con a=β1 c y f’s = Se llega a •
(
6000(c - d' ) ≤ fy c
0.85f'c β1 b 2 )c + 2c - h = 0 y se calcula c y luego Mot 6000A s
2. Para completar el diagrama se pueden asignar valores de C mayores o menores que Cb . Para C> Cb, se estará en fallas por compresión y para C
De manera alterna se pueden dar valores a c, profundidad del bloque a compresión, variando desde 0 hasta h con intervalos constantes n=h/c . El valor aproximado para Cb corresponderá al par (φMn, φPn) con mayor valor de φMn •
3. a = β1 c
•
∈’s =
β1= 0.85 si f’c≤280 β1= 0.85-0.05(f’c-280)/70 si f’c >280
0.003(c - d' ) c 0.003(c - d' ) f’s = Es∈’s = Es ≤ f y c
•
0.003(d - c) c 0.003(d - c) fs = Es ∈s = Es ≤ f y c
•
∈s =
•
• φPn = φ0.85f’c ab + A’s f ’s – Asfs •
φMn = φ0.85f’cab(h/2-a/2) + A’sf’s((h/2-d’) + Asfs(d-h/2)
•
e = Mn/Pn
NOTA: El valor de φ = 0.7 puede aumentarse linealmente hasta 0.9 en la medida en que disminuye desde φPn min o φPb hasta cero.
φPn
φPn min = 0.10 f´c Ag, Ag=bh. φPn min corresponde al límite para el cual se considera que un elemento se comporta como viga o columna. Si Pu ≤ φPn min el miembro debe diseñarse como viga (C.21.3 pag C-177 NSR-98) Este proceso repetitivo se puede programar en una hoja electrónica y graficar en el mismo programa Pn Vs Mn. Pn Po
Zona de falla a Compresión
e=Mn/Pn
(Mnb,Pnb) Zona de falla a Tensión
eb=Mnb/Pnb Mn Mo Figura 6.9. Diagrama de Interacción
Pot EJEMPLO 1.
Hacer el diagrama de interacción para una columna corta de sección transversal de 35x35 cms reforzada simétricamente en sus caras opuestas con 6#5 A-60 , concreto 210 Kg/cm2, DATOS: Cuantía ρ =Ast/bh= 12/(35x35) = 0.009796 d´= 5 cms d= h-d´= 35-5 = 30 cms Es = 2.000.000 Kg/cm2 NOTA: Se usará sólo carga nominal: Pn, Mn
3. Puntos claves del diagrama.
Cb =
6000 6000 d = * 30 = 17.65 cms 6000 + f y 6000 + 4200
•
Falla balanceada
•
Carga balanceada Pnb = 0.85f’cβ1 c b b = 0.85*210*0.85*17.75*35/1000=94.26 ton.
•
Momento balanceado Mnb = 0.85f’cβ1 c b b (h/2-β1 c b /2) + As f y (d-d’) =0.85*210*0.85*17.65*35*(35/2-.85*17.65/2)+6*4200*(30-5) = 15.67 ton-m
•
• •
Carga axial máxima Po = [0.85f’c (Ag-Ast) + Ast fy ] = (0.85*210*(35*35-12) + 12*4200)/1000 = 267 ton acturando por 0.80 P´o = 0.80*Po=213.54 ton Punto de máxima tensión Pot = Ast fy = - 12*4200/1000 = -50.40 ton Punto de Mot para el cual Po=0 a=Asfy/0.85f´cb= 6*4200/(0.85*210*35) = 4.03 cm Mo = 0.85f’cab(h/2-a/2)+Asfy(d-h/2) = 6*4200*(30-4.03/2) = 7.05 ton-m 4. Cálculo de otros puntos
Se obtuvo que Cb=17.65 cms Dando valores a C Cb se obtienen puntos para falla por compresión. •
Falla por compresión. Sea C= 25 cms:
a = β1c β1= 0.85 si f’c≤280 y a = 0.85 c = 0.85*25 = 21.25 cms ∈’s =
β1= 0.85-0.05(f’c-280)/70 si f’c >280
Luego
0.003(c - d' ) = 0.003*(25-5)/25 = 0.0024 > ∈’s = fy/E = 0.002 c
f´s = 4200 Kg/cm2 ∈s =
0.003(d - c) = 0.003*(30-25)/25 = 0.0006 c
fs=∈sEs = 0.0006*2.000.000 = 1200 Kg/cm2 Pn = 0.85f’c ab + A’s f ’s – Asfs = 0.85*210*21.25*35 + 6*4200 – 6*1200 = 151.8 Ton Mn = 0.85f’cab(h/2-a/2) + A’sf’s((h/2-d’) + Asfs(d-h/2) = 0.85*210*21.25*35*(35/2- 21.25/2) + 6*4200*(35/2-5) + 6*1200*(30-35/2) = 13.18 Ton-m e = Mn/Pn = 13.18 / 151.8 =0.0868 m = 8.68 cms. •
Falla por tensión
Sea C= 10 cms a = β1c = 8.50 cms ∈’s =
0.003(c - d' ) = 0.003*(10-5)/10 = 0.0015 < ∈’s = fy/E = 0.002 c
f ´s = 0.0015*2.000.000 = 3.000 Kg/cm2 ∈s =
0.003(d - c) = 0.003*(30-10)/10 = 0.0006 > ∈’y c
fs = 4200 Kg/cm2 Pn = 0.85f’c ab + A’s f ’s – Asfs = 0.85*210*8.5*35 + 6*3000 – 6*4200 = 45.90 Ton Mn = 0.85f’cab(h/2-a/2) + A’sf’s((h/2-d’) + Asfs(d-h/2) = 0.85*210*8.5*35*(35/2- 8.5/2) + 6*3000*(35/2-5) + 6*4200*(30-35/2) = 12.44 Ton-m e = Mn/Pn = 12.44 / 45.9 =0.27 m = 27.10 cms..
Los pares ordenados (Mu,Pu) obtenidos hasta ahora son DESCRIPCIÓN Mn (Ton-m) Pn (Ton)
Balanceado 15.67 94.26
Po 0 267
0.80Po 0 213.54
Pot 0 -50.4
Mot 7.05 0
C=25 13.18 151.8
C=10 12.44 45.9
De manera similar, dando otros valores a C, se pueden obtener mas puntos del diagrama y delinear una curva mas exacta. En el cuadro que se muestra a continuación aparecen los cálculos para valores de C variando a intervalos constantes, lo cual facilita la programación en una hoja electrónica: c sup Beta1 a=c*Beta1 35
0,85
29,75
e’s=0.003(c- f’s=e’sE es=0.003(d- fs=esE Pn Mn e=Mn/Pn d’)/c s c)/c s 0,00257 4200 -0,00043 -857 216 7,39 3,42
32,5 30 27,5 25 22,5 20 17,5 15 12,5 10 7,5 5
0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 1,85 2,85
27,63 25,50 23,38 21,25 19,13 17,00 14,88 12,75 10,63 8,50 13,88 14,25
0,00254 0,00250 0,00245 0,00240 0,00233 0,00225 0,00214 0,00200 0,00180 0,00150 0,00100 0,00000
4200 4200 4200 4200 4200 4200 4200 4000 3600 3000 2000 0
-0,00023 0,00000 0,00027 0,00060 0,00100 0,00150 0,00214 0,00300 0,00420 0,00600 0,00900 0,01500
-462 0 545 1200 2000 3000 4200 4200 4200 4200 4200 4200
201 185 168 151 133 113 93 78 63 46 73 64
9,17 10,72 12,05 13,18 14,13 14,96 15,65 15,01 13,94 12,44 13,81 12,39
4,57 5,81 7,17 8,74 10,65 13,19 16,84 19,13 22,20 27,09 18,79 19,41
COLUMNA TIPO 35x35 CUANTIA 0.011
300
250
CARGA AXIAL (TON)
200
150
100 (Mb,Pb)
50
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
-50
-100 MOMENTO (T-M)
Figura 6.10. Ejemplo de diagrama de interacción Se puede observar en la zona de falla a compresión que entre mayor sea la carga aplicada, menor es el momento que puede resistir; ésto se debe a que en estas zonas el concreto está
0.8Po
18
sobredeformado por lo que no le queda ningún margen para una deformación de compresión adicional por flexión. En la zona de falla por tensión puede verse que entre mayor sea la carga axial de compresión, mayor momento resistirá la columna, ya que los esfuerzos de tensión ocasionados por el momento serán reducidos por los de compresión por carga axial.
EJERCICIO 1. Desarrollar las fórmulas para diagramas de interacción con refuerzo simétrico en las cuatro caras.