curso curso de post-g post-grad rado o para profe profesor sores es ´ tica especialid especialidad ad en matem matematica a
COMBINATORIA Equipo de Dise˜ no: no:
Carlos Mauricio Canjura Linares Claudia Patricia Corcio Ernesto Ernest o Am´ erico erico Hidalgo Hidalg o Castel Caste l lanos Humberto Alfonso Serme˜ no Villalta Ederr Alexander Ede Alexa nder Jacobo Ar´evalo eval o Aar´ on Ernest Ern estoo Ram´ Ram´ırez Flores Flo res
28 de junio de 2010
1
´ INDICE
´ INDICE
´ Indice 1. Principios de Conteo
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.4. 1.5. 1.6. 1.6. 1.7. 1.8.
4
PRINCIPIO DE LA SUMA . . . . . . . . ´N . PRINCIPIO PRINCIPIO DE LA MULTIPLI MULTIPLICAC CACIIO ´N . . . . . . . PRINCIPIO PRINCIPIO DE BIYEC BIYECCI CIO ´ ´N . . . . . . . . . INCLUS INCLUSIION-EXCLUSI O RECURRENCIA. . . . . . . . . . . . . . . ´ MATEMA ´ TICA. . . . . . . INDUCC INDUCCIION PRINCIPIO DE LAS CASILLAS. . . . . . PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
2. Combin Combinaci acione oness y el N´ umero Combinatorio
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.4. 2.5. 2.6.
MODELO DE CONJUNTOS . . MODELO DE CAMINOS . . . . CADENAS DE CEROS Y UNOS ´ NGULO DE PASCAL . . . TRI TRIA BINOMIO DE NEWTON . . . . PROBLEMAS . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
18
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
3. Permutaciones y Arreglos
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.
4 5 6 9 10 12 13 14 18 20 23 24 25 27 33
PERMUTACIONES . . . . . . . . . . . . PERMUTACIONES CIRCULARES . . . ´N PERMUT PERMUTAC ACIONES IONES CON CON REPETICI REPETICIO ARREGLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
4. Extens Extension iones es del N´ umero Combinatorio
33 33 34 36 36 39
4.1. SEPARADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. MULTICOMBINATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3. PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5. Principios de Conteo 2
5.1. 5.2. 5.2. 5.3. 5.4.
´ - EXCLUSIO ´N PRINCIPIO PRINCIPIO DE INCLU INCLUSI SION ´ RDENES . . . . . . . . . . . . . . . . . DES DE SO RECURRENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
44
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
44 44 45 47
´ INDICE
´ INDICE
Introducci´ on on Una manera muy sencilla de definir a la Combinatoria es entenderla como aquella ´area area de la ma1 tem´atica atica que trata el problema de contar . Esta actividad tan natural y a la que nos aproximamos desde edades muy tempranas, tiene dos caracter´ caracter´ısticas centrales: 1. Para Para contar, hay que considerar considerar todas las posibilidades. 2. Y adem´as, as, hay que asegurarse que cada objeto de conteo se cuenta exactamente una vez, as as veces a un mismo objeto. es decir, hay que evitar contar dos o m´ Es decir, cada objeto se cuenta al menos una vez y a lo sumo una vez. S´ı, esto es evidente, pero pronto podr´a darse cuenta que esto puede resultar muy complicado de percibir. Para contar hay muchas formas, y la m´as as elemental es hacer un conteo exhaustivo, es decir, uno por uno elaborando un listado completo de los objetos, o lo que es lo mismo, un censo. Ahora bien, si lo que nos proponemos contar es la cantidad de n´umeros umeros de un mill´on on de cifras que comienzan con el d´ıgito 4, obviamente, no haremos un censo, nunca terminar´ıamos; ıamos; all´ all´ı entra en e n juego ju ego la combinatoria, la combinatoria proporciona prop orciona m´etodos etodos y t´ecnicas ecnicas para resolver este y otros problemas en el que el conteo exhaustivo no funciona. Por tal motivo, algunos consideran a la combinatoria como el arte de “contar sin contar”.2 Para llevar a cabo los conteos, se necesitar´an a n de ciertos teoremas, que por lo evidente de su veracidad veracidad,, se les llama principios . A continuaci´on on se hace una breve aproximaci´on on a los principios m´as as importantes en combinatoria, y a lo largo del texto se tendr´a la oportunidad de ir afinando la concepci´ concepci´on on de los principios as´ as´ı como agudizando la destreza de sus usos.
1
La Combinatoria es por supuesto mucho m´as as extensa que esto, pero para nuestros fines, esta definici´on on es la mejor. 2 Por lo general, la matem´atica atica resuelve los problemas que le incumbe con m´ etodos etodos ingeniosos que desaf´ desaf´ıan al sentido com´un. un.
3
1 Princi Principio pios s de Conteo Conteo
1.
Prin Princi cipi pios os de Con Conteo teo
En este apartado desarrollaremos algunos principios b´asicos asicos de conteo y enumeraci´ on . Cuando nos interesamos en determinar el n´umero umero de elementos en un conjunto dado, estamos en un caso de conteo; mientras que cuando nos interesa listar los elementos estamos en el caso de enumeraci´on. Ambos problemas son importantes; hay situaciones en las que nos interesa no s´olo olo saber cu´antos antos elementos hay en un conjunto dado, si no adem´as as saber cu´ales ales son tales elementos, de aqu´ aqu´ı que con frecuencia los m´etodos etodos de conteo y enumeraci´ on son inseparables. El prop´ on osito osito de este apartado es el de desarrollar algunas t´ecnicas ecnicas fundamentales de conteo en los que la enumeraci´on o n no aparece de manera expl´ expl´ıcita; se basan fundamentalmente fundamentalmente en algunos principios cuya simplicidad con frecuencia impide valorar su potencia; desarrollar la habilidad de aplicar correctamente tales principios requiere alguna pr´actica actica por lo que se proponen ejercicios diversos para la aplicaci´on on de los mismos en diferentes contextos.
1.1. 1.1.
PRIN PRINCI CIPI PIO O DE DE LA LA SUM SUMA A
Un concepto fundamental cuando se trata de contar, es el de cardinal de un conjunto. En el caso de los conjuntos finitos, el cardinal de un conjunto A es simplemente el n´umero umero de elementos que posee y se acostumbra denotarlo por |A| o bien por Card(A). La t´ecnic ecn icaa m´as as elemental para contar los elementos de un conjunto es la de separar sus elementos en clases disjuntas , de forma tal que su reuni´on on incluya todos los elementos del conjunto. En otras palabras se requiere que cada elemento del conjunto debe pertenecer a una sola de las clases y que todo elemento del conjunto pertenece a una de las clases en las que se separa el conjunto. Definici´ on on 1.1. Un conjunto finito A ha sido separado en n clases disjuntas A1 , A2 , A3 , . . . , An ,
si se satisface simult´ aneamente: i. ii .
Ai ∩ A j = ∅ para todo i = j.
n i=1
Ai = A.
Tambi´en en decimos que el conjunto A ha sido particionado y las clases disjuntas (o exlcuyentes) se denominan los elementos de la partici´ on . Teorema 1.1. Principio de la Suma: Si el conjunto A es posible separarlo en clases A1 , A2 , . . . , An , el total de elementos de A, es igual a la suma de los cardinales de cada una de las clases. Es decir
|A1 | + |A2 | + · · · + |An | = |A| El principio principio de la suma suele ser enunciado enunciado tambi´ tambi´ en en de la siguiente siguiente forma: si un suceso suceso A puede ocurrir de n maneras, un suceso B puede ocurrir de m maneras maneras y ambos sucesos no pueden ocurr o currir ir simult´ aneamente, entonces el suceso A o B puede ocurrir de ( n + m) formas. Por supuesto tiene aneamente, su versi´ versi ´on on cuando cuan do hay m´as as de dos sucesos, con la condici´on on obvia que dos cualesquiera de ellos no pueden ocurrir ocur rir simult´aneamente. aneamente. 4
´N 1.2 PRINCIPI PRINCIPIO O DE LA MULTIPL MULTIPLICA ICACI CIO
1.2. 1.2.
1 Principios de Conteo
´ PRIN PRINCIP CIPIO IO DE LA MUL MULTI TIPL PLICA ICACI CION
Cuando se trata de contar parejas ( x, y) conociendo el n´umero umero de opciones de cada una de las principio de la multipli multiplicaci´ caci´ on on que afirma componentes del par, se utiliza el conocido como principio que el total de posibles pares que se pueden formar es el producto del n´umero de alternativas que se dispone para la primera primera componente componente por el n´umero umero de alternativas para la segunda componente. Por ejemplo si se lanza al aire un dado dos veces y anotamos los posibles resultados, estos los podemos registrar mediante un par (x, y) registrando en la primera componente el resultado de la primera tirada y en la segunda componente el resultado de la segunda tirada. Siendo que en cada tirada hay seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6, el total de posibles pares es 36. En efecto para cada uno de los posibles resultados para la primera tirada tenemos 6 posibles resultados para la segunda segunda tirada y siendo que hay seis posibles posibles resultados resultados en la primera primera tirada, el total de resultados ser´a de 36. De manera completamente an´aloga aloga suponga que deseamos determinar el total de secuencias de tres letras, es decir ternas ( x,y,z ) que se pueden formar con las letras a,b,c,d,e,f , de forma tal que no se permite la repetici´on on de letras. Habiendo 6 opciones de letras por colocar en la primera posici´on, on, para la segunda posici´on on s´olo olo tendremos 5 opciones puesto que no se acepta la repetici´on on de letras en la terna; restricci´on on que nos deja en la tercera posici´on on s´olo olo con 4 letras como posibles opciones. As´ As´ı el total de ternas con la restricci´on on planteada planteada ser´a de 6 · 5 · 4 = 120. Teorema 1.2. Principio del Producto: Si A1 , A2 , A3 , . . . , Ak es una sucesi´ on de conjuntos con cardinales n1 , n2 , n3 , . . . , nk respectivamente, entonces el conjunto que se obtiene haciendo el producto
cartesiano de tales conjuntos tiene por cardinal el producto de los cardinales de los conjuntos dados. Es decir |A1 × A2 × · · · × Ak | = n1 n2 · · · nk En particular, cuando se trata del mismo conjunto A de cardinalidad n en cada uno de los factores, se obtiene k veces veces
| A × A × · · · × A | = nk
En otra versi´on on del principio de la multiplicaci´on, on, ´este este se presenta presenta en la forma siguiente: siguiente: si un conjunto puede ser particionado en k clases y cada una de las clases puede ser separada en t tipos de elementos, el total de tipos de elementos es kt . Otra versi´on on muy frecuente del principio de la multiplicaci´on on se presenta de la forma siguiente: si hay n1 alternativas de seleccionar un primer objeto y para seleccionar un segundo objeto se dispone de n2 formas, la selecci´on on del par ordenado de objetos puede ser realizada en n1 n2 formas. Analice el siguiente problema: Si desde Santa Ana a San Salvador se puede viajar por 3 rutas distintas de autobus, y de San Salvador a San Miguel se puede viajar por 5 rutas distintas de autobus, ¿de cu´antas antas formas distintas se puede viajar en autobus desde Santa Ana hasta San Miguel pasando pasan do por p or San S an Salvador? ¡Int´entelo! entelo!
5
´ 1.3 PRINCIPIO DE BIYECCION
1.3.
1 Principios de Conteo
´ PRINCIPIO DE BIYECCION
Consideremos el problema siguiente: En un campeonato de f´ utbol se enfrentan n equipos. En cada ronda los equipos perdedores son eliminados. Si en una ronda el n´umero de equipos a´un participando es impar, uno de los equipos, elegido mediante sorteo, descansa y pasa a la ronda siguiente. ¿Cu´antos juegos se realizan durante el campeonato? Este problema tiene por supuesto muchas maneras de ser abordado, pero en este caso vamos a destacar la forma que se apoya en el denominado principio de correspondencia . Definici´ on 1.2. Dos conjuntos A y B son tales que a cada elemento de A se le puede asociar uno y s´ olo un elemento de B y viceversa (a cada elemento de B se le puede asociar uno y s´ olo uno de los elementos de A), entonces decimos que A y B pueden ponerse en correspondencia biyectiva. En este caso se dice tambi´en que los conjuntos A y B son coordinables y escribimos en forma simb´ olica A ∼ = B .3 Teorema 1.3. Principio de Correspondencia: Si A y B son coordinables entonces tienen el mismo
n´ umero de elementos o cardinal. Veamos c´omo se aplica el principio anterior al problema propuesto: Como en cada partido hay un perdedor y s´olo uno y para cada perdedor hay uno y un ´unico partido, para contar el n´ umero de partidos nos basta contar el n´ umero de perdedores y siendo que al final del campeonato s´olo queda uno de los equipos, el n´ umero de perdedores es n − 1, que debe por supuesto ser el n´umero de partidos jugados en el campeonato. As´ı, este n´ umero debe ser n − 1. El principio anterior es importante cuando la tarea de contar los elementos de un conjunto A resulta m´as dif´ıcil que la de contar en un conjunto B que puede ponerse en correspondencia biyectiva con A. Se cuenta entonces en el conjunto B y autom´aticamente se ha contado en el conjunto A. He aqu´ı otro ejemplo en donde se aplica el principio de correspondencia biyectiva: Queremos determinar el total de formas que tenemos de seleccionar 9 elementos en un conjunto que posee 10 elementos. Siendo que hay una correspondencia biyectiva entre los conjuntos de 9 elementos con los conjuntos de 1 elemento, es suficiente para resolver el problema contar el n´umero de selecciones de 1 elemento, que son por supuesto 10 formas.
Analicemos ahora algunas ejemplos un poco m´ as complicados que utilizan estos tres principios fundamentales; con frecuencia, en un mismo problema se utiliza m´as de uno. EJEMPLO 1.1
´ Un profesor tiene 35 estudiantes en el curso de Algebra y 38 estudiantes en el curso de Geometr´ıa. ¿Cu´antos estudiantes tiene en total? 3
Un conjunto A se dice que es finito si es vac´ıo o si es coordinable con un conjunto de la forma {1, 2, 3, . . . , n} y en este u ´ ltimo caso se dice que el cardinal de A es n, o bien que el n´umero de elementos que posee es n. Cuando A es vac´ıo decimos que el conjunto tiene cero elementos.
6
´ 1.3 PRINCIPIO DE BIYECCION
1 Principios de Conteo
La respuesta 73 estudiantes s´olo ser´ıa v´alida en el caso de que ning´ un estudiante reciba los dos cursos impartidos por el profesor. Si hay estudiantes que reciben ambos cursos, el conteo exigir´ıa que se separe el total de estudiantes en las tres clases disjuntas: los que reciben s´olo el curso de ´ Algebra, los que reciben s´olo el curso de Geometr´ıa y los que reciben ambos cursos. Suponga por ejemplo que hay 10 estudiantes que reciben ambos cursos, entonces los conjuntos no ser´ıan ´ disjuntos; si descontamos los estudiantes comunes del curso de Algebra y Geometr´ıa, tendr´ıamos ´ 25 que reciben s´olo el curso de Algebra y 28 estudiantes que reciben s´olo el curso de Geometr´ıa. As´ı el total es la suma del n´umero de elementos que poseen los tres conjuntos disjuntos, es decir: 25 + 28 + 10 = 63. EJEMPLO 1.2
´ Se tienen 6 libros distintos de Algebra, 5 libros distintos de Geometr´ıa, y 4 libros distintos de Trigonometr´ıa. ¿De cu´antas formas es posible seleccionar un par no ordenado de libros que no sean de la misma asignatura? Siendo que los libros seleccionados deben ser de asignaturas diferentes, las posibilidades de combi´ ´ nar son: Un libro de Algebra y uno de Geometr´ıa; uno de Algebra y uno de Trigonometr´ıa y por u ´ltimo uno de Geometr´ıa y uno de Trigonometr´ıa; con ello hemos separado los pares posibles en casos disjuntos. Aplicando en cada uno de los casos el principio de la multiplicaci´on tenemos que las alternativas para cada caso son: 6 · 5, 6 · 4 y 5 · 4, respectivamente. As´ı, por el principio de la suma, el total de alternativas para hacer la selecci´on del par de libros es: 30 + 24 + 20 = 74. EJEMPLO 1.3
Se consideran las cadenas de ceros y unos de longitud 5, es decir secuencias con cinco caracteres entre los d´ıgitos cero y uno. Por ejemplo la cadena 00010 es de longitud cinco. ¿Cu´ al es el total de cadenas de ceros y unos de longitud 5? Observe que si P = {0, 1} , cada una de las cadenas puede ser identificada mediante el quinteto (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) del producto cartesiano P × P × P × P × P = P 5 , rec´ıprocamente, todo elemento del producto cartesiano P 5 est´a asociado a una cadena de ceros y unos de longitud cinco. En consecuencia, dada esta correspondecia biyectiva, el total de cadenas ser´a |P 5 | = 25 = 32. EJEMPLO 1.4
¿Cu´al es el n´ umero de subconjuntos que posee un conjunto A de cardinal n? Como en el ejemplo anterior, nos apoyaremos en la correspondencia biyectiva entre los subconjuntos de A con las cadenas de longitud n. Supongamos ordenados los elementos de A del primero al n-´ esimo elemento y adoptemos la convenci´ on siguiente: a cada subconjunto de A asociamos la cadena de longitud n, cuya componente en la posici´on k -´esima es 0 si el elemento k -´esimo de A no pertenece al subconjunto, o bien 1 si el elemento pertenece al subconjunto. Por ejemplo la cadena (0, 0, 0, 0, . . . , 0) est´a asociada al subconjunto vac´ıo; el subconjunto con s´ olo el primer elemento de A se asocia con la cadena (1, 0, 0, 0, . . . , 0) que posee s´ olo ceros salvo en la primera componente. Con esta convenci´on se logra en efecto la correspondencia biyectiva y podemos, en vez de contar subconjuntos de A, contar las cadenas de ceros y unos de longitud n, que como extensi´o n del ejemplo anterior ser´a |P n | = 2 n (utilizamos el mismo conjunto P del ejemplo anterior).
7
´ 1.3 PRINCIPIO DE BIYECCION
1 Principios de Conteo
EJEMPLO 1.5
Usando las letras a, b, c, d, e, ¿de cu´antas formas es posible formar una secuencia ordenada de tres letras en cada uno de los siguientes casos? a) Si la repetici´on de letras est´a permitida. b) Si no se permite la repetici´on de letras. c) Sin repetici´ on de letras y que la secuencia tenga a la letra e. d) Con repetici´on de letras conteniendo e. a) En el primero de los casos como la repetici´on est´a permitida, el problema es equivalente a determinar el n´umero de ternas del conjunto A3 , en donde A = {a,b,c,d,e}, que es 53 = 125. b) En el segundo caso no se permite la repetici´ on, se debe tomar en cuenta que para formar las ternas solicitadas, para la primera componente de la terna disponemos de todos los elementos del conjunto A; sin embargo para la segunda componente, disponemos de un conjunto con cuatro elementos puesto que debemos excluir el elemento colocado en la primera componente; de manera similar para la tercera componente s´olo dispondremos de un conjunto con tres elementos habiendo excluido los pertenecientes a la primera y segunda componente de la terna. As´ı, el total de ternas con la condici´ on solicitada es: 5 · 4 · 3 = 60. c) Para el tercer caso, en el que la letra e est´a obligada a pertenecer a la secuencia, podemos dividir en casos de acuerdo a la posici´on que ocupe la letra e en la terna, que son obviamente casos disjuntos. As´ı, si ocupa la primera posici´ on las ternas son de la forma ( e, x2 , x3 ) y para la segunda componente se dispone de cuatro elementos en tanto que para la tercera componente se dispone nada m´a s que de tres elementos, por lo que en este caso tendremos 4 · 3 = 1 2 posibilidades. Los otros casos a considerar son las ternas de la forma ( x1 , e , x3 ) y las ternas de la forma (x1 , x2 , e) que son igualmente 12 posibilidades en cada uno, por lo que en total tendremos 36 secuencias con la condici´on dada. d) Para el u ´ ltimo caso en el cual se permite repetici´on pero la secuencia contiene obligatoriamente a la e, haremos la separaci´on de ternas en las clases siguientes: ( e, x2 , x3 ), (x1 , e , x3 ) y (x1 , x2 , e), tomando en cuenta que en la primera clase tendremos para x2 y x3 cinco posibilidades, es decir tendremos 25 ternas en esta primera clase; en la segunda clase habr´a que excluir x1 = e, puesto que las ternas con e en la primera componente ya fueron contadas en las ternas de la primera clase, as´ı, en esta segunda clase de ternas tendremos 4 posibilidades para la primera componente y 5 para la tercera componente, es decir tendremos 20 ternas en esta clase; en la tercera clase debemos excluir los casos x1 = e y x2 = e puesto que las ternas de este tipo ya fueron consideradas en las dos clases anteriores y en consecuencia tendremos 4 posibilidades para x1 y 4 posibilidades para x2 , resultando 16 ternas de esta clase. En total tendremos 25 + 20 + 16 = 61 ternas. ¡Recuerde que contar significa tomar en cuenta todos los elementos del conjunto pero cada elemento tomado en cuenta s´olo una vez!
EJEMPLO 1.6
Considere una cuadr´ıcula 8 × 8. Determine el n´umero de cuadrados formados por v´ertices de la 8
´ ´ 1.4 INCLUSION-EXCLUSI ON
1 Principios de Conteo
cuadr´ıcula cuyos lados son paralelos a los segmentos de la cuadr´ıcula. Este es un t´ıpico problema en el que se evidencia la importancia de contar con m´etodo, de lo contrario la tarea se vuelve complicada. Tal como lo demanda el principio de la suma, lo mejor es separlos en clases disjuntas. As´ı, contaremos por separado los cuadrados de lado 1, los cuadrados de lado 2 y as´ı sucesivamente hasta los cuadrados de lado 8. Los cuadrados de lado 1 son 8 por cada fila y siendo que tenemos 8 filas, el total de cuadrados de lado 1 es 8 · 8 = 64. Para los cuadrados de lado 2 observe que para formarlos se requiere un par de filas consecutivas y en ellas los cuadrados de lado 2 que pueden formarse son 7; si se toma en cuenta que se pueden formar siete pares de filas consecutivas se obtiene que el total de cuadrados de lado 2 es 7 · 7 = 49. De forma completamente an´aloga para formar cuadrados de lado 3 requerimos disponer de tres filas consecutivas y en ellas es posible construir 6 cuadrados de lado 3; como se pueden formar seis tr´ıos de filas consecutivas, el n´ umero de cuadrados de lado 3 ser´a de 6 · 6 = 36 cuadrados. Despu´es de considerar los casos anteriores los siguientes casos son f´aciles de deducir: el total de cuadrados de lado 4 ser´a 5 · 5, el de cuadrados de lado 5, ser´a 4 · 4, los de lado 6, ser´an 3 · 3, los de lado 7 ser´an 2 · 2 y los de lado 8, 1 · 1. As´ı el total de cuadrados buscado ser´a 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5 + 6 · 6 + 7 · 7 + 8 · 8 = 204 cuadrados. EJEMPLO 1.7
Determine el n´umero de diagonales que posee un dec´agono. Por supuesto que dibujar las diagonales y despu´es contarlas es una de las opciones para resolver el ejercicio, pero obviamente es una soluci´on poco pr´actica y dif´ıcil de generalizar (y tambi´en dif´ıcil porque el dibujo puede complicarse demasiado). Vamos a utilizar la separaci´on de las diagonales en casos disjuntos para en seguida aplicar el principio de la suma. Recuerde que en un pol´ıgono se denomina diagonal al segmento que une dos v´ertices no consecutivos del pol´ıgono. Para separar en clases disjuntas vamos a considerar las diagonales que “salen” de cada uno de los v´ertices. Dado que en un dec´agono cada v´ertice tiene 7 v´ertices no consecutivos son siete diagonales que salen de cada v´ertice; como en un dec´agono tenemos 10 v´ertices, el total de diagonales ser´ a de 35 tomando en cuenta que cada diagonal ha sido contada dos veces, una vez por cada extremo de la diagonal.
1.4.
´ ´ INCLUSION-EXCLUSI ON
Clasificar, como ya se habr´a observado, es un m´etodo importante cuando se trata de contar objetos. Supone sin embargo que somos capaces de particionar el conjunto dado en clases disjuntas y esto no siempre es sencillo. Es necesario desarrollar otros m´etodos. Una estrategia que en ciertos casos ofrece alguna ventaja, es la de usar el criterio de contar en el complemento, en vez de contar directamente en el conjunto dado. Los dos ejemplos siguientes ilustran este caso. EJEMPLO 1.8
De las cadenas binarias de ceros y unos, de longitud 10, ¿cu´antas tienen la propiedad de poseer por lo menos un 0?
9
1.5 RECURRENCIA.
1 Principios de Conteo
EJEMPLO 1.9
Cinco ni˜ nos solicitan, en una sorbeter´ıa que dispone de sorbetes de 8 diferentes sabores, un sorbete cada uno. De todas las posibles solicitudes que pueden hacer, ¿en cu´antas de ellas los sabores elegidos por los ni˜ nos, coinciden en cuando menos dos de ellos? En la soluci´on de los dos problemas anteriores a´un cuando es posible clasificar en conjuntos dis juntos de manera directa, el n´umero de clases que resulta es demasiado alto y es preferible contar por su complemento. Hay ocasiones sin embargo en las que la clasificaci´on en el conjunto o en su complemento ofrece el mismo nivel de dificultad y en este caso el principio de inclusi´ on-exclusi´ on resulta ser un valioso recurso de conteo. En su versi´o n m´as elemental, el principio de inclusi´on- exclusi´o n nos dice que el n´umero de elementos en la reuni´on de dos conjuntos A y B , se calcula haciendo la suma de los n´umeros de elementos A mas los de B y se resta el n´umero de elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los elementos de la intersecci´on de ambos conjuntos. La interpretaci´on es obvia: la resta del n´umero de elementos de la intersecci´on de los conjuntos evita que ´estos se cuenten dos veces por cuanto est´an incorporados como elementos del conjunto A y como elementos del conjunto B . En expresi´on conjuntista, tenemos: |A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B | En el caso de la reuni´on de tres conjuntos A, B , C , los ajustes que debemos realizar para calcular el n´ umero de elementos de la reuni´on de los tres conjuntos son menos obvios. En este caso, si sumamos el n´ umero de elementos de A, B y C , observamos que los elementos comunes a dos de tales conjuntos han sido contados dos veces, mientras que los elementos comunes a los tres conjuntos han sido contados tres veces. Procedemos a corregir, restando los elementos comunes a dos de los conjuntos dados; en este caso tenemos tres posibilidades A con B ; A con C ; B con C . Con esta correcci´on los elementos estrictamente pertenecientes a dos de los conjuntos dados quedan contados s´olo una vez; sin embargo, los elementos comunes a los tres conjuntos, que anteriormente hab´ıan sido contados tres veces, ahora han sido descontados tres veces, lo que hace que en suma no hayan sido contados. Hacemos ahora la correcci´on final sumando el n´umero de elementos que son comunes a los tres conjuntos. Hemos obtenido en consecuencia el resultado siguiente:
|A ∪ B ∪ C | = |A| + |B | + |C | − (|A ∩ B | + |B ∩ C | + |C ∩ A|) + |A ∩ B ∩ C |
1.5.
RECURRENCIA.
La recursi´ on es un poderoso m´etodo de an´alisis que consiste en suponer que se conocen los valores de una funci´on de conteo para todos los valores previos a n, e intentar determinar, a partir de tal informaci´ on, el valor de tal funci´on para el valor de n. Cuando se trata de contar objetos en funci´o n de una o m´as variables, la condici´on ideal es la de lograr una f´ormula expl´ıcita que relacione tales variables. En ciertas ocasiones, sin embargo, tal condici´on resulta dif´ıcil de alcanzar y con frecuencia es suficiente obtener las suficientes relaciones que nos permitan generar un algoritmo de c´alculo para la resoluci´on de nuestro problema en el caso n-´esimo, a partir de la informaci´ on acerca de los casos previos, es decir buscar una recurrencia; 10
1.5 RECURRENCIA.
1 Principios de Conteo
en otras ocasiones incluso es preferible y m´as sencillo buscar tales relaciones. He aqu´ı algunos de ejemplos de c´omo esta t´ecnica permite resolver algunos problemas: EJEMPLO 1.10
Determinar el n´ umero de subconjuntos de un conjunto finito dado. Podemos determinar el n´umero de subconjuntos de un conjunto finito dado a partir de una recurrencia. En efecto, el n´umero de subconjuntos de un conjunto unitario es 2, y si denotamos el n´umero de subconjuntos de un conjunto con n elementos como S n , el n´umero de subconjuntos en el caso de un conjunto con ( n + 1) elementos puede ser calculado de la siguiente manera: consideremos el ´ultimo elemento incorporado, entonces s´olo hay dos posibilidades de subconjuntos, los que no incluyen el elemento ´ultimo que son en total S n , y los que s´ı lo incluyen, que se obtienen introduciendo ´este en cada uno de los subconjuntos de los n primeros elementos, que de nuevo son S n . Hemos demostrado as´ı que: S n+1 = 2S n
Esta relaci´on junto con la condici´on inicial S 1 = 2, permite calcular todos los valores de S n , de manera recurrente, para cualquier n´umero natural n S n = 2S n−1
= 2 (2S n−2 ) = 2 2 S n−2 = 22 (2S n−3 ) = 2 3 S n−3 .. .
= 2n−1 S 1 = 2 n
EJEMPLO 1.11
Determinar el n´ umero de diagonales que posee un pol´ıgono convexo de n lados. A´un cuando no podamos determinar tal n´ umero, podemos intentar establecer una relaci´on entre el n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados con las de un pol´ıgono de (n + 1) lados. Sea Dn el n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados. De lo que se trata es de establecer una relaci´on entre Dn y Dn+1 . Si agregamos un v´ertice a un pol´ıgono de n lados, ´este lo podemos imaginar ubicado entre dos de los n v´ertices antiguos. Este v´ertice puede ser conectado con n − 2 v´ertices antiguos para formar diagonales; as´ı se formar´ an n − 2 nuevas diagonales; sin embargo, un lado en el antiguo pol´ıgono (justamente el lado que un´ıa los dos v´ertices vecinos al nuevo v´ertice) se ha transformado en diagonal; en otras palabras el nuevo v´ertice ha generado (n − 1) nuevas diagonales. Concluimos entonces que debe cumplirse la relaci´on de recurrencia: Dn+1 = Dn + (n − 1)
Por otra parte, observe que D3 = 0. La informaci´on anterior es suficiente para calcular el n´umero de diagonales de cualquier pol´ıgono, simplemente aplicando de manera iterativa la relaci´ on anterior. ¡Int´entelo! 11
´ ´ 1.6 INDUCCION MATEMATICA.
1.6.
1 Principios de Conteo
´ MATEMATICA. ´ INDUCCION
La inducci´ on matem´ atica es una forma de demostraci´o n muy u ´ til para problemas de combinatoria, as´ı como de otras ´areas. La inducci´ on tiene un v´ınculo muy estrecho con la relaciones de recurrencia, de alguna manera, la inducci´on es un proceso en la direcci´on contraria a la recurrencia. La idea intuitiva de la inducci´on es la de fichas de domin´o, que puestas de pie una despu´es de otra en una fila y todas muy cercanas, caen todas si se asegura que cae una de ellas, porque la primera que cae bota a la segunda, la segunda a la tercera, y se sigue as´ı indefinidamente. De igual forma, un problema que se resuelve utilizando inducci´on requiere una hip´otesis que: Se verifique su veracidad para alg´un caso particular. La veracidad de la hip´otesis para un caso k implique la veracidad de la hip´otesis para un caso k + 1. Si esto es as´ı, entonces la hip´otesis ser´a cierta para todos los casos mayores al caso inicial, porque, dado que el primer caso es cierto, ´este obliga a que el segundo lo sea, y como el segundo es cierto, este obliga a que el tercero lo sea, y as´ı sucesivamente. Veamos la inducci´on en un la pr´actica: EJEMPLO 1.12
¿Cu´antos subconjuntos tiene un conjunto de cardinalidad n? Este problema ya lo resolvimos anteriormente utilizando recurrencia, ahora lo haremos con inducci´on y vea que ambas aproximaciones son muy parecidas. Como todo problema que exige un resultado general, es fundamental el an´alisis de casos particulares; por ejemplo, podemos comenzar contando cu´antos subconjuntos tiene un conjunto de n = 1, 2, 3 elementos, haciendo listados de forma exhaustiva. Caso n = 1: Considere el conjunto A = {x}, los subconjuntos de A son ∅ y {x}, es decir, S 1 = 2 (utilizamos la misma notaci´on que antes, S n representa la cantidad de subconjuntos de un conjunto de cardinalidad n). Caso n = 2: Considere ahora el conjunto B = {x, y}, los subconjuntos de B son ∅, {x}, {y } y {x, y}, por lo que S 2 = 4. Caso n = 3: Sea C = {x,y,z }, los subconjuntos de C son ∅, {x}, {y }, {z }, {x, y}, {y, z }, {z, x}, {x,y,z }, por lo que S 3 = 8. Ahora se ve un patr´on, pero para estar seguros, lo mejor es hacer unos casos m´as; la siguiente tabla muestra un resumen lo lo obtenido: n 1 2 3 4 5 S n 2 4 8 16 32
Parece entonces que S n es una potencia de 2, y si somos m´as cuidadosos, observar´ıamos que S n es 2n para n = 1, 2, 3, 4, 5; bueno, esto es una conjetura obtenida a partir de casos particulares, todav´ıa el problema no est´a resuelto porque no se ha garantizado que S n = 2n para todo natural n, pero eso es lo que haremos enseguida.
12
1.7 PRINCIPIO DE LAS CASILLAS.
1 Principios de Conteo
Nuestra conjetura ahora le daremos el valor de Hip´ otesis Inductiva , vamos a suponer que S n = 2n para alg´ un natural n, entonces ¿qu´e sucede si agregamos un elemento?, los subconjuntos del nuevo conjunto son: 1) Todos los subconjuntos del conjunto original de n elementos, y 2) los subconjuntos que se forman agregando el nuevo elemento a los subconjuntos anteriores, es decir (y tal como lo hicimos en recurrencia), S n+1 = 2 S n , pero por nuestra asumpci´on resulta que S n+1 = 2 (2n ) = 2 n+1 . Entonces ¿qu´e se demostr´o? bien, se demostr´o que si S n es una potencia de 2 entonces S n+1 es la siguiente potencia de 2, y dado que S 1 = 21 es una potencia de 2, entonces S 2 , S 3 , . . . , Sn , . . . recorren todas las restantes potencias de 2, y el resultado S n = 2 n es v´alido ahora para todo natural n. Es importante mencionar dos cosas: Es de vital importancia que nuestra hip´otesis inductiva se garantice para alg´un caso particular, de nada sirve que el caso n obligue al caso n + 1 si no se tiene garantizado que habr´a un caso inicial, que empuje al segundo, y que este empuje al tercero, etc. Esto ser´ıa equivalente a que las fichas de domin´o se pusieran muy cerca y se hacen todas las preparaciones posibles que garanticen que si una cae caer´a la siguiente, pero NADIE se toma la molestia de empujar alguna, en tal caso, pues nunca caer´a ficha alguna. Por otra parte, se puede suponer que la hip´otesis inductiva es cierta para un n, o bien, que es cierta para todos los k menores o iguales a n, de cualquier forma, lo importante es que esta suposici´ on implique la veracidad de la hip´otesis inductiva para el caso n + 1.
1.7.
PRINCIPIO DE LAS CASILLAS.
El principio de las casillas de Dirichlet , tambi´en conocido como el principio del palomar o principio de los cajones , es un principio f´acil de aceptar en su versi´on m´as elemental. Su aplicaci´on invade ´ambitos muy diversos y con frecuencia su utilizaci´on permite resolver problemas que distan mucho de ser triviales. La idea central del principio de casillas es la siguiente: si se tienen n + 1 bolas que ser´ an colocadas en n contenedores (las casillas), entonces forzosamente hay un contenedor que tendr´a dos o m´as bolas, ¡l´ogico! ¿cierto? A continuaci´ on se muestran otras versiones, pero que en escencia son lo mismo Teorema 1.4. Principio de Casillas: Versi´ on 1: Si m´ as de n bolitas se encuentran distribuidas en n cajas entonces hay una caja que
contiene al menos 2 bolitas. Versi´ on 2: Si m´ as de mn bolitas se encuentran distribuidas en n cajas entonces hay una caja que contiene al menos m + 1 bolitas. Versi´ on 3: Si la suma de n cantidades es mayor que S entones una de las cantidades es mayor que S . n
Versi´ on 4: Un segmento I de longitud t contiene varios segmentos cuyas longitudes suman m´ as que t, entonces al menos dos de los segmentos contenidos en I se solapan. Versi´ on 5: Un segmento I de longitud t contiene varios segmentos cuyas longitudes suman m´ as que kt, donde k es un entero positivo, entonces hay un punto del segmento I que est´ a contenido 13
1.8 PROBLEMAS
1 Principios de Conteo
en k + 1 de los segmentos contenidos en I . Tambi´en hay versiones an´ alogas a las ultimas ´ dos para figuras planas y ´ areas. Versi´ on 6: Sean q 1 , q 2 , . . . , qn enteros positivos. Si q 1 + q 2 + · · · + q n − n + 1 objetos son colocados en n cajas, llamadas C 1 , C 2 , . . . , Cn , entonces al menos una caja C i tiene q i objetos o m´ as. EJEMPLO 1.13
De un conjunto de 12 n´umeros enteros de dos d´ıgitos, siempre podemos seleccionar dos de ellos cuya diferencia tiene la forma aa.4 Obs´ervese primero que los n´umeros de la forma aa son todos los m´ ultiplos de 11 de dos cifras. Ahora bien, si hacemos la divisi´on de los n´ umeros dados por 11, los posibles residuos son 0, 1, 2, . . . , 10, y como se escogieron 12 n´umeros, hay por lo menos una pareja de n´umeros que tienen el mismo residuo, entonces su diferencia ser´a divisible por 11 y deber´a ser de la forma aa.
1.8.
PROBLEMAS
1. Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0. ¿Cu´antas configuraciones distintas pueden generar? 2. Un marino tiene 4 banderas distintas para hacer se˜ nales. ¿Cu´antas se˜ nales diferentes puede hacer si coloca 3 banderas en un m´astil una sobre otra? 3. El ascensor de un edificio de 5 plantas se pone en marcha con 3 pasajeros. ¿De cuantos modos distintos se pueden distribuir los pasajeros entre los pisos? 4. Se lanzan dos dados y se observa la suma de los puntos obtenidos. ¿En cu´antos casos el resultado es divisible por tres? 5. En cierto lenguaje de programaci´on un nombre de una variable puede formarse con una letra o bien una letra seguida de un un d´ıgito. ¿Cu´ antas variables diferentes pueden formarse? Asuma para este ejercicio 27 letras. 6. Se tiene una tira o banda formada por n rect´angulos iguales formando una fila. Cada rect´angulo puede colorearse de blanco o negro. a) ¿Cu´antas configuraciones diferentes se pueden hacer? b) ¿Cu´antas formas distintas tenemos de colorear la tira, de modo que se obtenga un patr´on sim´etrico? c) ¿Y si se desea con colores alternados? 7. ¿De cuantas maneras pueden colocarse un alfil blanco y uno negro en un tablero de a jedrez de modo que se ataquen mutuamente? 4
La notaci´on ab hace referencia a un n´umero cuya cifra de las unidades es a y la cifra de las decenas es b, y la se coloca la raya encima para evitar confundir este n´umero con ab, que representa el producto de a por b. Esta claro que esta notaci´on puede utilizarse para representar n´umeros de tres, cuatro o m´as cifras.
14
1.8 PROBLEMAS
1 Principios de Conteo
8. ¿De cu´antas formas es posible seleccionar dos cartas diferentes de una baraja de 52 cartas de forma tal que la primera carta sea un as y la segunda no sea una reina? ¿y si se demanda es que la primera carta sea de espadas y la segunda no sea reina? 9. ¿Cu´antos n´ umeros enteros hay entre 1000 y 10000 con la condici´on de que sus d´ıgitos sean diferentes? ¿y si se permite la repetici´on de d´ıgitos, pero no se permiten los d´ıgitos 2 o´ 4? ¿y cuando los d´ıgitos deben ser distintos y al menos uno de los d´ıgitos 2 y 4 debe aparecer? 10. Con los d´ıgitos del 0 al 9, ¿cu´antas secuencias de longitud 5 pueden ser formadas de forma tal que aparezcan exactamente dos de los diez d´ıgitos? 11. De cu´antas formas pueden ser colocadas en un tablero de ajedrez dos torres id´enticas en una fila com´ un o en una columna com´ un? ¿y si las torres no son id´enticas?5 12. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro d´ıgitos se pueden formar con los d´ıgitos 1, 2, 3, 4, 5 (con posible repetici´on) tales que sean divisibles por 4? 13. ¿Cu´antos cuadrados de longitud entera pueden formarse en una cuadr´ıcula de n × n (con los lados formados por segmentos de la cuadr´ıcula)? 14. ¿Cu´antas diagonales se pueden trazar en un pol´ıgono convexo de n lados? 15. Se dice que en un pol´ıgono se ha realizado una triangulaci´ on , cuando el interior del pol´ıgono se cubre con tri´angulos formados con v´ertices del pol´ıgono de forma tal que los tri´angulos no tengan en com´ un m´as que conjuntos de puntos de ´area cero. ¿Cu´antos tri´angulos se requieren en una triangulaci´ on en un pol´ıgono de n lados? 16. ¿Cu´antas secuencias de tres letras diferentes pueden ser formadas haciendo uso de las letras a,b,c,d,e,f en las cuales aparecen la letra e, o la letra f , o ambas e y f ? 17. Cuando se listan los n´umeros del 1 al 10000, ¿cu´antas veces se hace uso del d´ıgito 5? ¿y cu´antas veces aparece el “25”? 18. En un tablero de ajedrez, de cu´antas formas se pueden colocar dos reinas de forma tal que no est´en ni en la misma fila, ni en la misma columna ni en la misma diagonal?6 19. ¿Cu´antos n´ umeros positivos pueden formarse como suma de los n´umeros 1, 3, 5, 10, 20 y 50? 20. Considere una cuadr´ıcula de 5 × 5 ¿cu´antos rect´angulos podemos formar con los vert´ıces de dicha cuadr´ıcula cuyos lados sean paralelos a los segmentos de la cuadr´ıcula? 21. Una persona desea invitar a uno o m´a s de sus 10 amigos a su fiesta de cumplea˜ nos. ¿de cu´antas formas podr´ıa hacer tal invitaci´on? 22. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras distintas pueden formarse con los d´ıgitos impares? 23. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra. Para hacerlo pude optar viajar por avi´ on, autobus o tren, y en cada uno de estos medios puede elegir viajar en 1a clase o en clase tur´ıstica. ¿De cu´antas maneras distintas puede realizar el viaje? 5 6
Cuando un par de torres de ajedrez comparten fila o columna, decimos que las torres se est´an “atacando”. Las reinas no se est´an “atacando”.
15
1.8 PROBLEMAS
1 Principios de Conteo
24. En una fiesta se encuentran 10 hombres y 8 mujeres. ¿De cu´ antas maneras pueden integrarse en parejas para bailar una determinada pieza? 25. Un men´ u tur´ıstico permite seleccionar una entrada de entre cuatro posibles, una comida caliente de entre tres, y un postre de entre cinco. ¿De cu´antas formas puede elegir su men´u un turista si desea que el pollo guisado y el flan no aparezcan en el mismo men´u? 26. ¿Cu´antos boletos capicuas de 5 cifras hay? 27. Seis matrimonios posan en fila para una fotograf´ıa. ¿De cu´ antas maneras pueden ubicarse si los miembros de cada pareja deben aparecer juntos? 28. Se desea colocar 9 libros distintos en tres estantes en una biblioteca, 3 en cada estante. ¿De cu´antas pueden ubicarse? 29. Al ingresar a un colegio, 6 chicas debe optar entre asistir a las clases de ingl´ es o a las de franc´es, ¿de cu´antas maneras pueden repartirse si Paula y Daniela deciden elegir la misma materia y Cecilia no quiere compartir la elecci´on de ellas? 30. Un s´abado, cuando iban de compras, Juana y Teresa vieron a dos hombres alejarse en autom´ ovil de la fachada de una joyer´ıa, justo antes de que sonar´a una alarma contra robos. Aunque todo ocurri´o muy r´apido, cuando fueron interrogadas las dos j´ovenes, pudieron dar a la polica la siguiente informaci´on acerca de la placa (que consta de 2 letras seguidas de 4 d´ıgitos) del autom´ovil que huy´o: Teresa estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y el el ´ultimo d´ıgito era un 3 o´ un 8. Juana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer d´ıgito era definitivamente un 7. ¿Cu´antas placas diferentes tendr´a que verificar la polic´ıa? 31. ¿Cu´antos n´ umeros naturales menores o iguales a un mill´on no tienen dos cifras consecutivas iguales? 32. ¿De cu´a ntas maneras se pueden colocar 8 torres en un tablero de ajedrez tal que no se ataquen? 33. ¿De cu´antas maneras se puede escoger un cuadrado negro y uno blanco de un tablero de ajedrez tal que no pertenezcan a la misma fila ni a la misma columna? 34. Pruebe que el n´umero m´aximo de alfiles (todos iguales) que se pueden colocar en un tablero cuadrado de n × n casillas sin que haya dos que se ataquen es 2 n − 2, y que el n´umero de estas configuraciones es 2n . 35. Entre 20000 y 70000, encuentre el n´umero de enteros pares en los cuales no se repita ning´un d´ıgito. 36. Una emisora de radio dispone de seis programas para cubrir las dos horas de mayor audiencia. Dos de estos programas tienen una duraci´on de una hora y los cuatro restantes de 30 minutos, siendo todos los programas distintos. ¿De cu´antas maneras puede la emisora cubrir las dos horas de programaci´on? 37. ¿Cu´antos n´ umeros del 1 al 100000 no son divisibles ni por cinco ni por siete? 16
1.8 PROBLEMAS
1 Principios de Conteo
38. Tenemos los n´ umeros del 100000 al 999999. ¿Cu´antos de ellos cumplen que tienen al menos un d´ıgito cero o al menos un d´ıgito uno? 39. Dado el conjunto de d´ıgitos {1, 3, 6, 7, 9}, determine el n´umero de formas de formar n´umeros de 4 d´ıgitos tales que sean m´ultiplos de 3. 40. ¿Cu´antos divisores positivos tiene el n´umero 121 0? 41. Mar´ıa y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dados sale el mismo n´umero, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana Mar´ıa; y en cualquier otro caso hay empate. Calcule las probabilidades de gane de cada una y diga cu´al tiene mayores chances de ´exito. 42. ¿Cu´antos cubos diferentes, con sus caras numeradas de 1 al 6 pueden ser fabricados, si la suma de los n´ umeros que se encuentran sobre cada par de lados opuestos debe ser 7? 43. ¿De cu´antas maneras puede colorearse una cuadricula de 8 × 8 con los colores blanco y negro, de tal manera que no existan dos columnas pintadas iguales? 44. ¿De cu´antas manereas se pueden colocar las 32 piezas del ajedrez en el tablero sin que los reyes se est´en amenazando? 45. Dado el conjunto A = {1, 2, . . . , 10}, ¿cu´antos cuadrados se pueden formar con los puntos de A2 ? Nota: los cuadrados pueden ser oblicuos tambi´en. 46. Se dibujan n cuerdas no concurrentes en una circunferencia ( n ≥ 2). Estas cuerdas se cortan en m puntos al interior de la circunferencia, los cuales subdividen a las cuerdas en r segmentos. Determine r en funci´on de n y m.
Nota: En la figura anterior, se han dibujado n = 4 cuerdas, que se cortan en m = 4 puntos, los cuales subdividen a las cuerdas en r = 12 segmentos.
47. Sea X = {1, 2, 3, . . . , 100} y sea S = {(a,b,c) tales que a,b,c ∈ X, a < c y a < c}. ¿Cu´al es el cardinal de S ?
17
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2. 2.1.
Combinaciones y el N´ umero Combinatorio MODELO DE CONJUNTOS
Dado un conjunto de n elementos (n ∈ N), ¿cu´antos subconjuntos hay de k elementos (0 < k ≤ n)? A este n´umero le llamaremos el combinatorio de n escoger k . Definici´ on 2.1. N´ umero Combinatorio: Dado un conjunto de cardinalidad n, el n´ umero de subconjuntos de ´este que tienen cardinalidad k es el n´ umero combinatorio, denotado por
C nk , (nk ) , o bien nCk
Esta claro que este n´ umero puede interpretarse como la cantidad de formas de escoger k elementos de entre los n disponibles. 7 A pesar que de momento no podemos calcular este n´umero, s´ı podemos hacer un uso habilidoso de ´el a partir de su definici´on y de las propiedades que se derivan a partir de ´esta. Es importante mencionar que C n0 significa la cantidad de subconjuntos de cardinalidad cero que tiene un subconjunto de n elementos, y como el ´unico subconjunto que cumple eso es ∅ entonces C n0 = 1 para cualquier natural n; tambi´en es f´acil argumentar que C nn = 1 para todo natural n. EJEMPLO 2.1
Suponga que se tiene el conjunto A = {a,e,i,o,u} y se busca la cantidad de subconjuntos de A de 3 elementos:
{a,e,i}, {a,e,o}, {a,e,u}, {a,i,o}, {a,i,u}, {a,o,u}, {e,i,o}, {e,i,u}, {e,o,u}, {i,o,u} En total resultaron 10 por lo que C 53 = 10. Observe que para formar un subconjunto de 3 elementos de un conjunto de 5 elementos, pues lo que se hace es escoger cu´ales son los tres que conformar´an el subconjunto, y esto significa que al mismo tiempo se est´a no escogiendo a los restantes 2, por lo tanto, por cada subconjunto de 3 elementos s´ı escogidos existe uno y s´olo un subconjunto de no escogidos, y viceversa; es decir, por el principio de biyecci´on C 53 = C 52 . A continuaci´on se muestran los subconjuntos de elementos no escogidos de la sucesi´on de subconjuntos anteriores:
{o, u}, {i, u}, {i, o}, {e, u}, {e, o}, {e, i}, {a, u}, {a, o}, {a, i}, {a, e} Con este razonamiento y sin necesidad de construir todos los subconjuntos, si tenemos un conjunto de cardinalidad 9 se tendr´ıa que: C 90 = C 99 , C 91 = C 98 , C 92 = C 97 , C 93 = C 96 , C 94 = C 95 ¿Observa cu´al es el patr´on? Teorema 2.1. Para todo n ≥ k se cumple la siguiente identidad combinatoria
C nk = C nn−k 7
La primera notaci´on utilizada puede tener invertido el orden de los par´ametros dependiendo el autor que se consulte.
18
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.1 MODELO DE CONJUNTOS
Demostraci´ on. Dado que en un conjunto de n elementos, por cada subconjunto de k elementos existe uno y s´olo un subconjunto de n − k elementos (una vez escogidos k , los n − k son los no escogidos), y viceversa, entonces contar los subconjuntos de k elementos da el mismo resultado que contar los subconjuntos de n − k elementos, y de all´ı se sigue el resultado. EJEMPLO 2.2
Un combinatorio f´acil de calcular es C n1 , es decir, la cantidad de subonjuntos unitarios de un conjunto de n elementos, claramente C n1 = n, y por la identidad anterior tambi´en se cumplir´a C nn−1 = n. EJEMPLO 2.3 Calculemos C n2 .
Se trata por supuesto de elegir una pareja de elementos del conjunto que tiene n elementos. Para calcularlo podemos imaginar ordenados los elementos del conjunto dado. Consideremos primeramente las parejas que incluyen el primer elemento; ´este puede combinarse para formar la pareja con cualesquiera de los ( n − 1) elementos restantes, en consecuencia hay ( n − 1) parejas que incluyen el primer elemento. En seguida consideremos las parejas que no incluyen el primer elemento pero que incluyen el segundo elemento que son en total ( n − 2), ya que estas son las posibilidades de combinar el segundo elemento con cada uno de los elementos restantes. Las parejas que no incluyen ni el primero, ni el segundo elemento, pero s´ı el tercer elemento, son en n´umero igual (n − 3), y as´ı sucesivamente hasta llegar a considerar las parejas que no incluyen a ninguno de los (n − 2) primeros elementos, pero s´ı el pen´ultimo, que u ´ nicamente puede ser combinado con el ´ultimo, dando as´ı s´olo 1 posibilidad. El an´alisis anterior nos permite afirmar que el n´umero C n2 es igual a la suma de los n´ umeros naturales desde el 1 hasta el ( n − 1), cuyo resultado en representaci´on compacta de sumatoria es: n
2
C n =
i=
i=1
n(n − 1)
2
El m´etodo de an´alisis utilizado para calcular C n2 , lleva impl´ıcito un m´etodo para generar las diferentes alternativas de formar los subconjuntos deseados, problema que con frecuencia es tan o m´as importante que saber determinar el n´umero de posibilidades. Sin embargo, cuando de determinar s´o lo el n´ umero de alternativas se trata, el m´etodo de conteo anterior no resulta tan c´omodo y es preciso obtener otras propiedades que muestran un poco m´as su l´ogica interna y que eventualmente simplifican los c´alculos. Por ejemplo, ya se demostr´o que la cantidad de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2n ; podemos recalcular este n´umero dividiendo los subconjuntos en clases disjuntas: los subconjuntos de cardinalidad 0, los subconjuntos de cardinalidad 1, los subconjuntos de cardinalidad 2, ..., los subconjuntos de cardinalidad n − 1, los subconjuntos de cardinalidad n. Dado que la cantidad de subconjuntos de cada una de estas clases me la da un n´umero combinatorio, respectivamente C n0 , C n1 , C n2 , . . . , Cnn −1 , C nn , y por el principio de la suma, se tiene demostrado el siguiente teorema:
19
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.2 MODELO DE CAMINOS
Teorema 2.2. Para todo n se cumple la siguiente identidad combinatoria n
n
0
1
2
2 = C n + C n + C n + · · · +
C nn−1
+
C nn
=
C nk
k=0
Este analisis realmente es fruct´ıfero, podemos demostrar tambi´en este otro resultado Teorema 2.3. Identidad de Pascal: Para todo n y para todo k ≤ n se cumple la siguiente identidad
combinatoria −1 C nk = C nk−1 + C nk−1
Demostraci´ on. Si deseamos calcular C nk y consideramos un elemento en particular, los dos posibles casos (disjuntos) son: que se incluya o no ´este elemento en los subconjuntos por formar. Si el elemento se incluye, ´unicamente hace falta seleccionar ( k − 1) elementos de los (n − 1) restantes −1 para completar los k, y el total de formas de hacer esto es C nk−1 ; si no se incluye har´a falta seleccionar los k elementos de los n − 1 elementos restantes, es decir, hay C nk−1 posibilidades en este caso. Luego, el teorema queda demostrado por el principio de la suma. Una de las t´ecnicas b´asicas de conteo consiste en contar de dos maneras distintas un conjunto de objetos, lo que permite establecer algunas identidades. He aqu´ı un ejemplo t´ıpico: EJEMPLO 2.4
Supongamos que deseamos seleccionar una directiva de k personas en una asamblea de n personas y en la directiva debe tenerse 1 presidente. Si consideramos el problema de determinar el n´ umero de alternativas que se tienen para realizarlo, ´este podemos resolverlo en las dos formas siguientes: primero seleccionamos los k directivos y en seguida seleccionamos el presidente entre los k directivos; o bien, primero seleccionamos el presidente de entre los n asambleistas y en seguida seleccionamos los k − 1 directivos restantes de entre los n − 1 asambleistas restantes. Al realizarlo de la primera de las formas el n´umero de −1 alternativas es C nk C k1 ; en la otra forma indicada, se obtiene C n1 C nk−1 . As´ı, hemos logrado establecer las relaciones: −1 C nk C k1 = C n1 C nk−1 −1 kC nk = nC nk−1
2.2.
MODELO DE CAMINOS
Definici´ on 2.2. Puntos Reticulares: Llamaremos puntos reticulares o puntos l´ atices a puntos (a, b) en el plano cartesiano tales que a, b ∈ Z.
Considere ahora los puntos reticulares A(0, 0) y B (k, n − k ) ubicados en el primer cuadrante del plano, estos definen una ret´ıcula (o malla) tomando estos puntos como esquinas opuestas, y dicha ret´ıcula formada por cuadraditos de lado 1. ¿Cu´ antos caminos sobre la ret´ıcula de longitud m´ınima 20
2.2 MODELO DE CAMINOS
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
hay de A a B ? Observe que para que los caminos sean de longitud m´ınima, los movimientos permitidos s´olo son hacia la derecha → y hacia arriba ↑; as´ı, en total, hay que avanzar k unidades hacia la derecha y n − k hacia arriba. Entonces, el problema planteado lo puedo convertir en un problema de decisiones: me muevo de punto reticular a punto reticular, hay que avanzar n unidades, avanzando unidad por unidad y a cada paso decidiendo si es hacia la derecha o hacia arriba; pero k decisiones son obligatoriamente hacia la derecha, y dependiendo cu´ales de estas decisiones sean hacia la derecha se me definir´a un camino (el resto n − k decisiones forzosamente tendr´an que ser hacia arriba), y viceversa. Ahora bien, del conjunto de las n decisiones, la cantidad de formas de escoger k para que sean movimientos hacia la derecha es C nk , por lo tanto, el n´umero de caminos buscado es C nk . Teorema 2.4. El total de caminos sobre la ret´ıcula definida por A(0, 0) y B (k, n − k ), y de longitud m´ınima, es igual a C nk
...
.. .
..
.
B (k, n − k )
.. .
... A(0, 0)
Un detalle interesante es que para llegar al punto B (k, n − k ) existe ´unicamente dos formas: o se llega por el punto reticular B1 (k − 1, n − k ), o bien por B2 (k, n − k − 1); adem´as, observe que estos casos son excluyentes, porque un camino de A a B que pase por B1 y B2 tendr´ a que tener al menos un movimiento hacia la izquierda o al menos un movimiento hacia abajo, por lo que ya no ser´ıa un camino de longitud m´ınima. Caso 1: El total de formas de llegar de A a B pasando por B1 (cumpliendo las exigencias, que sean caminos de longitud m´ınima utilizando u´nicamente la ret´ıcula definida por A y B ) es, por el principio de la multiplicaci´on, el total de formas de llegar de A a B1 por el total de formas de llegar de B1 a B . Dado que para llegar de A a B1 se toman en total n − 1 decisiones, de las cuales −1 k − 1 son hacia la derecha, el total de caminos de longitud m´ınima de A a B1 es C nk−1 ; adem´as, como el total de formas de llegar de B1 a B utilizando caminos de longitud m´ınima es 1, se tiene −1 −1 que el total de formas de llegar de A a B pasando por B1 es C nk−1 . · 1 = C nk−1 Caso 2: Este se resuelve de forma muy similar al caso 1, el total de formas de llegar a A a B pasando por B2 es igual al producto de la cantidad de formas de llegar de A a B2 por la cantidad de formas de llegar de B2 a B . Para llegar de A a B2 , en total se toman n − 1 decisiones, de las 21
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.2 MODELO DE CAMINOS
cuales k son hacia la derecha, por lo que el total de caminos de A a B2 es C nk−1 . De aqu´ı se concluye f´acilmente que el total de caminos del caso 2 es C nk−1 . Finalmente, por el principio de la suma, dado que estos casos son excluyentes, el total de caminos de A a B es igual al total de caminos de A a B pasando por B1 m´as el total de caminos de A a B pasando por B2 , es decir −1 C nk = C nk−1 + C nk−1
Se obtuvo de nuevo la Identidad de Pascal (2.3). Esta identidad proporciona un algoritmo (no muy eficiente) para calcular el n´umero combinatorio de forma recursiva, ya que expresa el n´umero combinatorio de sub´ındice n en t´erminos de combinatorios de sub´ındices n − 1, que a su vez podr´ıan escribirse en t´erminos de combinatorios de sub´ındies n − 2, y as´ı sucesivamente hasta llegar a combinatorios de f´acil c´alculo. A continuaci´on mostramos una tabla k 0 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 6 10 15 21 28 36
3
4
5
6
7
8 9
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 1 10 5 1 20 15 6 1 35 35 21 7 1 56 70 56 28 8 1 84 126 126 84 36 9 1
Este modelo del n´umero combinatorio es independiente del modelo de conjuntos, observe que sin mucho esfuerzo pueden hacerse las deducciones C n0 = 1 = C nn , C n1 = n y C nk = C nn−k . ¡Int´entelo! De mayor reto es por ejemplo demostrar por este m´etodo el teorema (2.2); este lo podemos analizar de la siguiente forma: considere la siguiente cuadr´ıcula, el total de caminos de longitud n que parten de A(0, 0) formados s´olo con movimientos → y ↑ puede contarse de dos formas distintas, la primera por el principio de la multiplicaci´on, como en cada uno de los n movimientos se tienen las dos opciones, en total son 2 n caminos; la segunda es dividir estos caminos en casos excluyentes, los caminos que terminan en B0 (0, n), los que terminan en B1 (1, n − 1), y as´ı sucesivamente, hasta contar los que terminan en Bn (n, 0)
22
2.3 CADENAS DE CEROS Y UNOS
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
B0 (0, n) B1 (1, n − 1) B2 (2, n − 2)
A(0, 0)
Bn (n, 0)
Estos conteos devuelven C n0 , C n1 , . . . , Cnn , respectivamente, y de all´ı que 2n = C n0 + C n1 · · · + C nn
2.3.
CADENAS DE CEROS Y UNOS
Muchos problemas combinatorios, mediante la biyecci´on adecuada, pueden transformarse a problemas de cadenas de ceros y unos, el n´umero combinatario por s´ı mismo es un ejemplo de ello. Teorema 2.5. La cantidad de cadenas de k ceros y n − k unos es C nk .
Demostraci´ on. Hasta el momento se ha dicho que C nk pude interpretarse 1) Como la cantidad de subconjuntos de k elementos de un conjunto de cardinalidad n, o lo que es lo mismo, es la cantidad de formas de escoger k objetos de entre n objetos diferentes; y 2) representa la cantidad de caminos de longitud m´ınima (sobre la malla) que van del punto A(0, 0) al punto B (k, n − k ). Ahora bien, ambas interpretaciones del n´ umero combinatorio pueden asociarse a un tercer problema: ¿Cu´antas cadenas de ceros y unos se pueden formar con k ceros y n − k unos? Una cadena de k ceros y n − k unos puede interpretarse de la siguiente forma: Dado el conjunto A = {x1 , x2 , . . . , xn }, cada elemento puede o no ser escogido para conformar a un subconjunto; si denotamos por 0 a “s´ı se escoge” y por 1 a “no se escoge”, una cadena de k ceros y n − k unos representa la s´ı escogitaci´o n de k elementos de A y la no escogitaci´on de los restantes n − k , es decir, hace referencia la conformaci´on de un subconjunto de k elementos de A; adem´as, la posici´on de los ceros hace referencia a qu´e elemento de A se escogi´o; por ejemplo 011 · · · 0
n
representa que s´ı se escoge a x1 , que no se escogen x2 y x3 ,..., que s´ı escoge xn . El orden entre los ceros y unos puede cambiar, pero la cantidad de ceros debe ser k. Con los caminos, la biyecci´o n es a´ u n m´as evidente: a un movimiento a la derecha (avanza una unidad horizontalmente) se le asocia un 0, en total son k de estos movimientos, y a un movimiento hacia arriba se le asocia un 1, que son en total n − k ; por tanto, la cantidad de cadenas con k ceros 23
´ 2.4 TRIANGULO DE PASCAL
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
y n − k unos es igual a la de caminos de longitud m´ınima desde A(0, 0) a B (k, n − k ), que son en total C nk . Finalmente, se puede dar una aproximaci´on al problema de las cadenas de k ceros y n − k unos de forma directa: puedo interpretar esto como que si se tienen a disposici´on n espacios vac´ıos en los que se colocar´a o bien un 0 o bien un 1; adem´as, se tiene prefijada la cantidad de ceros y unos que deben colocarse en esos n espacios, en total son exactamente k ceros y obviamente los restantes n − k deben ser unos. Est´a claro que si se colocan de alguna manera los k ceros, las posiciones que deben ocupar entonces los unos est´an ya fijadas y no hay nada m´as que hacer, entonces, me basta conocer de cu´antas formas puedo colocar los ceros y luego, las posiciones de los unos quedan determinadas; pero este conteo es familiar: ¿De cu´antas formas puede escoger k espacios vac´ıos (para colocar los ceros) de los n espacios vac´ıos disponibles?... pues de C nk formas.
2.4.
´ TRIANGULO DE PASCAL
La siguiente pir´amide de n´ umeros es conocida como Tri´angulo de Pascal 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
7 8
9
36
6 10
56 84
10
35
21
1 4
20
15
28
3
3
5
1
2
4
6
1
5 15
35 70
126
1
6 21
56
126
1 1 7 8
28 84
1
36
1 9
1
.. .
Cada fila est´a formada por la anterior, cada n´umero es igual a la suma de los dos n´umeros que se ubican ligeramente a la izquierda y a la derecha de la fila anterior, y el n´umero de la primera fila es 1; en caso de que s´olo tenga uno de esos n´umeros, se considera igual a cero al que no aparece en la pir´amide. Teorema 2.6. Los n´ umeros del tri´ angulo de Pascal son n´ umeros combinatorios.
Demostraci´ on. Dado que el primer n´umero del tri´angulo es 1, la forma de construcci´on y la identidad de Pascal (2.3), el teorema queda demostrado. 24
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.5 BINOMIO DE NEWTON
2.5.
BINOMIO DE NEWTON
Considere la expresi´on
n veces
n
(x + y ) = (x + y )(x + y ) · · · (x + y )
Si se efect´uan todos los productos aparecer´an los t´erminos xn , xn−1 y, xn−2 y 2 , . . . , x y n−1 , y n con sus respectivos coeficientes; entonces la pregunta es ¿cu´al es la relaci´on que determina el coeficiente de cada t´ermino xk y n−k ? ¿Esta relaci´on depende de n, de k o de ambos? Analicemos algunos casos particulares: (x + y )0 (x + y )1 (x + y )2 (x + y )3 (x + y )4 (x + y )5
= = = = = =
1 x+y x2 + 2xy + y 2 x3 + 3x2 y + 3xy 3 + y 3 x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 x5 + 5x4 y + 10x3 y 2 + 10x2 y 3 + 5xy 4 + y 5
.. .
Si observamos los coeficientes, aparece la siguiente secuencia, ¿la reconoce? 1 1 1 1 1 1
1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 .. .
¡Claro!, vuelven a aparecer los combinatorios, se obtiene el Tri´angulo de Pascal. Ahora la cuesti´on es justificar por qu´e los coeficientes del desarrollo ( x + y )n son n´ umeros combinatorios. Lo primero que hay que hacer es entender c´omo se obtiene un coeficiente en particuar al desarrollar ( x + y )n . Veamos un ejemplo particular: EJEMPLO 2.5 Considere (x + y )4 = ( x + y )(x + y )(x + y )(x + y ), para desarrollarlo, de cada par´entesis debemos escoger la x o la y , y luego se multiplican esos cuatro n´umeros, al recorrer todas las posibles esco-
gitaciones se obtienen todos los t´erminos, que luego, se suman t´erminos semejantes. Veamos esto en acci´on: Se escribir´an las escogitaciones as´ı: xxyy representa escoger del primer par´entesis la x, del segundo par´entesis la x, del tercer par´entesis la y , del cuarto par´entesis la y . Entonces, las posibles escogitaciones son, por el principio de la multiplicaci´on, 25 = 32 (dos opciones por cada par´entesis); listadas una a una se obtiene 25
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.5 BINOMIO DE NEWTON
xxxx xxxy xxyx xxyy
= = = =
x4 xyxx = x3 y yxxx = x3 y yyxx = x2 y 2 x3 y xyxy = x2 y 2 yxxy = x2 y 2 yyxy = xy 3 x3 y xyyx = x2 y 2 yxyx = x2 y 2 yyyx = xy 3 x2 y 2 xyyy = xy 3 yxyy = xy 3 yyyy = y 4
Luego, el coeficiente representa la cantidad de veces que aparece el mismo t´ermino, por ejemplo, observe que el t´ermino x2 y 2 aparece 6 veces, entonces en el desarrollo de ( x + y )4 uno de los sumandos es 6x2 y 2 . Centremos nuestra atenci´on en este t´ermino, hay que buscar un m´etodo que permita calcular ese 6 de forma sistem´atica, quiz´as esto d´e una pista para abordar el caso general: Para que aparezca el t´ermino x2 y 2 , se necesita claramente un par de x y un par de y , pero una vez que se escoge el par de par´entesis de los cu´ales se selecciona la x, est´a claro que de los otros dos par´entesis deber´a escogerse la y ; as´ı, el total de forma de escogerse 2 par´entesis de los 4 es C 42 = 6. Exactamente los mismo sucede en el caso general, dado ( x + y )n , las veces que aparecer´a el t´ermino xk y n−k es igual a la cantidad de formas de escoger k par´entesis de los n (en cada uno de estos par´entesis se seleccionar´a la x, en los n − k se seleccionar´a la y ), y esto es C nk . As´ı, se obtiene la siguiente identidad algebraica llamada el Binomio de Newton: Teorema 2.7. Binomio de Newton: El desarrollo del binomio (x + y )n es n
n
(x + y ) =
C nn xn
+
C nn−1 xn−1 y
+
C nn−2 xn−2 y 2
1
+ · · · + C n xy
n−1
0 n
+ C n y =
C nk xk y n−k
k=0
Esta identidad es muy u ´ til para encontrar y demostrar identidades combinatorias, observe por ejemplo EJEMPLO 2.6 Si x = y = 1:
2n = (1 + 1)n = C nn + C nn−1 + C nn−2 + · · · + C n1 + C n0 Nos encontramos de nuevo con (2.2 ), que ya se deriv´o a partir de los subconjuntos de un conjunto de cardinalidad n, utilizando caminos y ahora con el binomio de Newton. Otro ejemplo EJEMPLO 2.7 Suponga que x = 1 , y = −1, se tiene entonces
(1 − 1)n = C nn − C nn−1 + C nn−2 − C nn−3 + · · · + (−1)n−k C nk + · · · + (−1)n C n0
k par
C nk
=
C nk
k impar
Esta es una relaci´on cuya deducci´on por los m´etodos anteriores es tremandamente dif´ıcil; con la identidad de Newton se puede ir muy lejos, incluso, es posible evaluar en x o en y valores complejos. 26
2.6 PROBLEMAS
2.6.
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
PROBLEMAS
1. ¿De cu´antas formas pueden 4 ni˜n as y 4 ni˜ nos ser dividos en dos equipos de 4 si cada equipo debe tener al menos a una ni˜na? 2. ¿De cu´antas formas pueden 5 ni˜n as y 3 ni˜ nos ser dividos en dos equipos de 4 si cada equipo debe tener al menos a un ni˜no? 3. En una rifa participan 100 personas, regal´ andose 3 televisores id´enticos. Qui´en dise˜no´ la rifo pens´ o que sacar un ticket, luego el segundo y finalmente el tercero era injusto, por lo que se sacan al mismo tiempo los 3 tickets. ¿Cu´al es la probabilidad que una persona que compr´ o un solo ticket gane? 4. Una asamblea de 14 personas desea elegir entre sus miembros un presidente, un vicepresidente y un secretario de actas. ¿De cu´antas formas puede realizarse la elecci´on? 5. Ocho promotores deben visitar 4 comercios. Para ello forman 4 parejas, debiendo cada una de ellas visitar un establecimiento. ¿De cu´antas formas pueden distribuirse el trabajo? 6. Adri´an tiene nueve pares distintos de calcetines, un d´ıa se levant´ o tarde para su clase de las 9:00AM y en la prisa tom´o aleatoreamente ocho calcetines sin mirarlos. ¿Cu´ a l es la probabilidad de que entre los calcetines tomados hayan exactamente dos pares correctos? 7. Se dispone de una colecci´o n de 30 pelotas divididas en 5 tama˜nos distintos y 6 colores diferentes, de tal manera que en cada tama˜no hay pelotas de todos los colores. ¿Cu´antas colecciones de 4 pelotas tienen exactamente 2 pares de pelotas del mismo tama˜no (que no sean las 4 del mismo tama˜ no)? 8. En un curso de Combinatoria hay 30 estudiantes, de los cuales 19 son mujeres. Para organizar una feria de ciencias, se pide que de este curso se presenten tres exposiciones, realizadas por parejas de estudiantes, tal que cada pareja est´a intengrada por estudiantes de distinto g´enero, y un estudiante no puede estar en dos o m´as parejas. ¿De cu´antas formas puede hacerse esto? 9. Se desea elegir una directiva, hay diez candidatos (cinco mujeres y cinco hombres) para los cargos de presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y vocal. ¿De cu´antas formas pueden elegirse los cargos? ¿De cu´antas formas es posible hacerlo si una mujer ser´a la presidenta? ¿De cu´antas maneras es posible si el tesorero ya est´a definido que ser´a Juan? 10. Una persona tiene seis amigos. Cada noche, durante cinco d´ıas, invita a cenar a un grupo de tres de ellos, de modo que el mismo grupo no sea invitado dos veces. ¿De cu´antas formas puede hacerlo? 11. Dados los conjuntos A = {1, 2, . . . , 6} y B = {1, 2, . . . , 10}, ¿cu´antas funciones estrictamente crecientes 8 f : A → B pueden definirse? ¿cu´antas adem´as cumplen que f (4) = 7? 12. Se dice que una mano de domin´ o (compuesta por 7 fichas de domin´o) tiene “falla” si alguno de los n´umeros entre el 0 y el 6 no aparece en la mano. Determine el n´umero de manos de domin´ o que no tienen falla. 8
Se dice que f es estrictamente creciente si a < b ⇒ f (a) < f (b).
27
2.6 PROBLEMAS
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
13. En cada subconjunto de 7 elementos del conjunto {1, 2, . . . , 10} se escoje el elemento mayor. ¿Cu´al es la suma de todos los elementos mayores? 14. Diez puntos est´ an marcados en el plano, no habiendo tres colineales. ¿Cu´antos tri´angulos pueden formarse? 15. ¿Cu´antos cuadril´ateros (convexos o no convexos) pueden formarse con los v´ ertices de un n−´ agono regular? 16. Dados seis puntos sobre una circunferencia, se trazan todas las cuerdas que estos puntos definen. ¿Cu´al es la probabilidad de que al escoger aleatoreamente cuatro de estas cuerdas se forme un cuadril´atero convexo? 17. De cierto n´umero de rectas coplanares se sabe que no hay tres de ellas que concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntos al cortarse. ¿De cu´antas rectas estamos hablando? 18. ¿Cu´antos puntos de intersecci´on producen 8 rectas coplanares, sabiendo que dos de ellas son paralelas y no hay tres concurrentes? 19. Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos est´an alineados y los restantes est´an dispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. ¿Cu´antos tri´angulos pueden formarse que tengan sus v´ertices sobre esos 9 puntos? ¿Cu´antas rectas distintas determinan esos puntos? 20. En una f´abrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales est´a unido a los dem´as por una cinta transportadora. Calcula el n´umero de centros de la f´abrica si se sabe que el n´ umero de cintas transportadoras es 66. 21. Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma diez puntos. Uniendo parejas de esos puntos ¿Cu´antos pent´agonos convexos distintos se podr´ıan formar? 22. Dado el conjunto de d´ıgitos {1, 3, 6, 7, 9}, determine el n´umero de maneras de formar n´umeros de 4 cifras tales que sean m´ultiplos de 3. 23. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro cifras cumplen la propiedad de que el producto de dichas cifras es un cuadrado perfecto? 24. Un cuadrado de lado 6 es dividido en 36 cuadrados de lado 1. Los puntos A y B son puntos medios de un par de lados opuestos del cuadrado. A cada lado de la l´ınea AB seis cuadrados unitarios son tomados aleatoriamente y coloreados de azul. Si el cuadrado grande es doblado sobre recta AB , calcule la probabilidad de qu´ e exactamente un par de cuadrados azules coincidan. 25. ¿De cu´antas maneras puede distribuirse 3n objetos distintos en tres cajas distintas de modo que cada caja tenga el mismo n´umero de objetos? 26. Calcule cu´ antas cadenas de ceros y unos de longitud 7: a) contienen exactamente 3 unos y 4 ceros. b) contienen 4 unos consecutivos. 28
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.6 PROBLEMAS
c) contienen como m´aximo 3 unos. d) no contienen 4 o m´as unos consecutivos. −1 27. Demuestre la identidad de Pascal C nk = C nk−1 + C nk−1 utilizando distintos modelos combinatorios. −1 −2 28. Demuestre que C nk = C 20 C nk−2 + C 21 C nk−2 + C 22 C nk−2 . −1 −1 −1 29. Demuestre C nk = C nk−1 + C nk−2 + · · · + C kk−1 es v´alido para todo k ≤ n.
30. Demuestre que 2n−1
k =0
31. Demuestre
C 2kn
(−2)k
=0
n
3r C nr = 4n
r =0
32. Hallar el n´ umero de caminos crecientes que empiezan en (0 , 0) y terminan en alguno de los puntos indicados. 33. Demuestre por diversos m´etodos la identidad de Vandermonde r r 0 1 C m C nr + C m C nr−1 + · · · + C m C n0 = C m +n
34. En la cuadr´ıcula de abajo B (10, 10)
X (6, 4)
A(0, 0)
a) ¿De cu´antas maneras podemos ir de la casilla A a la casilla B con movimientos siempre hacia la derecha o bien una casilla hacia arriba? b) ¿De cu´antas maneras se puede hacer esto si debemos pasar adem´as por la casilla X ? c) ¿Cu´antos caminos llevan de A a B sin pasar por ning´ un punto de u ´ltima l´ınea vertical (salvo B naturalmente) 29
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.6 PROBLEMAS
d) ¿De cu´antas maneras se llega de A a B pasando por un solo punto de la segunda l´ınea horizontal? 35. Demuestre por diversos m´etodos la siguiente identidad n
C 2nn =
C jn
2
j =0
36. Dentro de un paralelep´ıpedo rectangular de alambre A de dimensiones 5 × 4 × 6 de colocan alambre dividiendo a A en cubos de lado 1. ¿Cu´antos caminos diferentes de longitud m´ınima hay desde el v´ ertice inferior izquierdo de la cara anterior de A hasta el v´ertice superior derecho de la cara posterior de A? 37. Suponga que tiene una armaz´ o n c´ ubica de alambre de l × m × n (la armaz´on est´a formada por cubitos de alambre lado 1). Si una hormiga est´a ubicada en una esquina y quiere llegar caminando por los alambres a la esquina m´as alejada con el m´ınimo recorrido ¿de cu´ antas maneras puede hacerlo? ¿y de cu´antas formas podr´ıa hacerlo si la hormiga camina sobre una armaz´ on 4−dimensional de l × m × n × k ? ¿puede generalizar para m´as dimensiones? 38. Dado un pol´ıgono conexo tal que no tiene tres diagonales concurrentes, ¿cu´antos puntos de intersecci´on al interior del pol´ıgono forman las diagonales? 39. Demuestre la identidad −1 1 C pq C r0 + C pq−1 C r+1 + · · · + C p0−q C rq+q = C pq+r+1 r 40. Demuestre que C pn C pr = C nr C pn− −r siempre que n ≥ p ≥ r .
41. Calcule
n
k+
k=1
42. Demuestre que
n
j =0
j
C 2n =
1
k
C nk
1 2n 2 C 4n + (C 2nn ) 2
43. Demuestre las identidades combinatorias de Chu Shih Chieh C rr + C rr+1 + · · · + C nr = C nr+1 +1 C r0 + C r1+1 + · · · + C rk+k = C rk+k+1
44. Demuestre la identidad k 2 = 2 C k2 + C k1
y a partir de ella demuestre que
1 1 1 2 + 2 2 + · · · + n2 = n n + (n + 1) 3 2 30
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
2.6 PROBLEMAS
45. Demostrar que para todo natural n se cumple n+1 C 2( =2 n+1)
2n + 1 n+1
C 2nn
46. Resuelva las siguiente ecuaciones combinatorias: a) 2 2 2 C m −1 + C m + C m+1 = 19
b) x 7C 2xx−1 −2 = 2 C 2x
c) 0
1
2
C x + C x · C x =
d) 3
2
C n − C n =
x2
2
+2
n3 − 6n2 + 20
6
e) C n4 = 13 C n2
f) C 21n + C 22n + C 23n = 387n
g) −5 −7 C nn−1 = C nn−3 523 524 47. Calcule el valor de C 525 + C 525
48. En la expansi´ on de
20x3 y5
y2 + x
67
, determinar:
a) El vig´esimo t´ermino b) El coeficiente del t´ermino cuarenta y cinco c) El coeficiente de x23 , si es posible. Si no, argumente el por qu´e no existe. d) ¿Cu´antos t´erminos tiene la expansi´on? 49. Encuentre el coeficiente de x5 en la expansi´on de (1 + x + x2 )8 + (1 + x + x2 )9 . 50. En la expansi´ on de
x+
1 x3
6
7
+x +x
5
encontrar el coeficiente de x4 .
51. Encuentre el coeficiente del t´ermino a7 b4 ce2 en el desarrollo de (a + b + c + d + e)14 . 12! 52. ¿Cu´a l es la suma de todos los n´umeros de la forma si a,b,c var´ıan sobre todos los a!b!c! enteros no negativos que cumplen que a + b + c = 12? 31
2.6 PROBLEMAS
´ mero Combinatorio 2 Combinaciones y el Nu
53. Dada la expresi´ on (7x2 + 21x )25 , encuentre la cantidad de t´erminos de su expansi´ on, la suma 1 de los coeficientes de su expansi´on, el coeficinte de x 3 si es posible, y encuentre el i-´esimo t´ermino. +1 −1 k+1 k 54. Demuestre la identidad del hex´ agono: C nk−1 C n C n+1 = C nk−1 C nk−1 C nk+1 . El nombre viene del hecho que los coeficientes binomiales implicados forman una figura hexagonal alrededor de C nk en el tri´angulo de Pascal.
55. Encuentre el coeficiente de xn y de xn+r (con 1 ≤ r ≤ n) en la expansi´on de (1 + x)2n + x(1 + x)2n−1 + x2 (1 + x)2n−2 + · · · + xn (1 + x)n 56. ¿Cu´antos paralelogramos quedan determinados cuando un grupo de 6 rectas paralelas es intersecado por otro grupo de 6 rectas paralelas? 57. Un tablero de 5 × 5 es dividido en 25 cuadrados unitarios, de estos dos son pintados de azul y el resto pintado de blanco, diremos que dos coloraciones son iguales si una puede ser obtenida de la otra al rotar tablero. ¿Cu´antas coloraciones distintas existen? 58. Un pol´ıgono convexo de n lados es tal que no hay punto com´un alguno para cualesquiera tres de sus diagonales. Determine el n´ umero de tri´angulos que se forman de manera tal que dos de sus v´ertices sean v´ertices del pol´ıgono y el tercero sea una interseccci´on de dos diagonales. 59. Una rana se ubica en el tercer escal´ on de unas gradas, la rana se mueve un escal´on por salto. ¿Cu´antas formas existen para que la rana llegue por primera vez al octavo escal´o n en su noveno salto? 60. ¿De cu´antas formas pueden ordenarse los enteros del 1 al n bajo la siguiente condici´on: excepto por el primer entero de la izquierda, todo entero debe diferir por 1 de alg´un entero que est´e m´as la izquierda que este?
32
3 Permutaciones y Arreglos
3. 3.1.
Permutaciones y Arreglos PERMUTACIONES
Sea A un conjunto finito. Ordenar elementos de A es darle a cada elemento del conjunto una posici´on determinada, es decir definir qu´e elemento ocupa la primera posici´on, el que ocupa la segunda posici´on y as´ı sucesivamente. Dos ordenamientos de elementos de A se dir´a que son id´enticos si todos los elementos en ambos ordenamientos se encuentran en la misma posici´on; en consecuencia dos ordenamientos ser´an diferentes si difieren en la posici´on en la que se encuentra alguno de los elementos. Hay diversas formas de ordenar los elementos de un conjunto y en este apartado nos ocuparemos de contar el total de alternativas de ordenamiento de los elementos de un conjunto de cardinalidad n. EJEMPLO 3.1
¿De cu´antas formas pueden ordenarse los elementos del conjunto A = {a,b,c}? Los elementos del conjunto A = {a,b,c} se pueden ordenar de las siguientes seis formas: abc, acb, bac, bca, cab y cba. Observe que para contar los posibles ordenamientos nos basta definir el elemento que ocupar´a la primera posici´ on, el que ocupar´a la segunda y el de la tercera posici´on, lo que es equivalente a contar las ternas (x,y,z ) de elementos de A con la condici´on que los elementos de la terna sean todos diferentes. En este caso, la primera posici´on puede ser ocupada por uno cualesquiera de los elementos de A, es decir contamos en este caso 3 posibilidades; para la segunda posici´on ya s´ olo disponemos de 2 posibilidades y para la posici´on tercera s´olo hay 1 posibilidad. En general cuando el conjunto A tiene n elementos, el n´umero total de formas de ordenarlos es n! puesto que la primera posici´on puede ser ocupada por uno cualesquiera de los n elementos de A; la segunda posici´ on por cualquier elemento que no sea el colocado en la primera posici´on, por lo que las alternativas se reducen a ( n − 1); para la tercera posici´on se tienen ( n − 2) alternativas y as´ı sucesivamente dejando a la u ´ ltima posici´on con una u ´ nica alternativa, y por el principio de la multiplicaci´on las alternativas de ordenar los elementos de A ser´an n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1) = n!. A cada ordenamiento de los elementos de A se le denomina una permutaci´ on , y al total de permutacione se denota por P n . Tenemos entonces el resultado siguiente: Teorema 3.1. El total de permutaciones de n elementos, denotado por P n es
P n = n!
3.2.
PERMUTACIONES CIRCULARES
Supongamos que debemos colocar a n personas alrededor de una mesa circular en la que se dispone de n posiciones numeradas para su ubicaci´ on y deseamos determinar el total de alternativas de ordenamiento. Si dos ordenamientos dados los consideramos diferentes cuando las personas ocupan posiciones numeradas diferentes, entonces el n´umero de posibles ordenamientos ser´a igual a un ordenamiento en una fila, es decir, P n ; a estas les llamaremos permutaciones lineales . Sin embargo puede ser que s´olo nos interese la posici´on relativa que guardan entre s´ı las personas y no nos interese el n´umero de la posici´on que ocupan, a estas permutaciones les llamaremos permutaciones 33
´ 3.3 PERMUTACIONES CON REPETICION
3 Permutaciones y Arreglos
circulares ; si este es el caso hay n permutaciones lineales que dejar´ıan a las personas con la misma permutaci´on circular, en efecto, la rotaci´on de las personas pasando por las n posiciones numeradas dejan a las personas en la misma posici´on relativa. En consecuencia hay n permutaciones lineales por cada permutaci´on circular; como el total de permutaciones lineales es P n , el total de permutaciones circulares, el cual denotamos por C n , ser´a Teorema 3.2. El total de permutaciones circulares de n elementos, denotado por C n es
C n =
P n = (n − 1)! n
Hay otra manera de abordar esta mismo problema: Supongamos que una persona X se sienta primero, es indistinto qu´e asiento escoge dado que lo importante es c´ omo se ubiquen las restantes n − 1 personas, numeramos 1 al asiento que escogi´o X y a partir de este se numeran los restantes asientos (en orden horario o antihorario, no importa); ahora las n − 1 personas restantes pueden permutarse linealmente de P n−1 formas, y una vez que han decidido una permutaci´on lineal en particular, toman los asientos 2, 3, . . . , n en el orden prefijado, eso da nuevamente C n = P n−1 = (n − 1)! Ahora considere un problema parecido pero que entre l´ıneas lleva una restricci´ o n m´as, suponga que se tienen 5 objetos distintos y se quieren elaborar todos los collares posibles utilizando estos cinco objetos, ¿cu´antos hay? ¡Int´entelo!
3.3.
´ PERMUTACIONES CON REPETICION
Suponga ahora un problema distinto: se quieren permutar n objetos, pero no todos son distintos, hay dos clases de objetos, hay k1 objetos id´enticos de la primera clase y k2 objetos id´enticos de la segunda clase (obviamente k1 + k2 = n), ¿cu´antas permutaciones hay? EJEMPLO 3.2
¿Cu´antas permutaciones se pueden construir con 2 bolas negras id´enticas y 2 bolas blancas tambi´en id´enticas? Si las 4 bolas fuera todas distintas, el total de permutaciones (lineales) ser´ıa 4!; enlistemos todas las posibilidades, se denotar´ a por n1 y n2 a las bolas negras, y por b1 y b2 las blancas: n1 n2 b1 b2 n1 n2 b2 b1 n2 n1 b1 b2 n2 n1 b2 b1
n1 b1 n2 b2 n1 b2 n2 b1 n2 b1 n1 b2 n2 b2 n1 b1
n1 b1 b2 n2 n1 b2 b1 n2 n2 b1 b2 n1 n2 b2 b1 n1
b1 b2 n1 n2 b2 b1 n1 n2 b1 b2 n2 n1 b2 b1 n2 n1
b1 n1 b2 n2 b2 n1 b1 n2 b1 n2 b2 n1 b2 n2 b1 n1
b1 n1 n2 b2 b2 n1 n2 b1 b1 n2 n1 b2 b2 n2 n1 b1
Ahora, observe que, dado que las dos bolas negras son iguales entre s´ı, y las dos bolas blancas tambien son iguales entre s´ı, cada columna, realmente representa a la misma permutaci´ on, si les quitamos los sub´ındices quedar´ıa nnbb nnbb nnbb nnbb
nbnb nbnb nbnb nbnb
nbbn nbbn nbbn nbbn
bbnn bbnn bbnn bbnn
34
bnbn bnbn bnbn bnbn
bnnb bnnb bnnb bnnb
´ 3.3 PERMUTACIONES CON REPETICION
3 Permutaciones y Arreglos
Entonces, el total de permutaciones distintas bajo estas condiciones no es 4! sino que s´olo 6. ¿C´omo podr´ıamos calcular este 6 sin necesidad de hacer una por una todas las permutaciones?, la idea central est´a all´ı, se trata de, en primer lugar, suponer que todos los objetos son distintos, entonces, el total de permutaciones ya se sabe como calcularlo, es 4!; pero, dado que no todos los objetos son distintos, hay que ver cu´antas veces aparece una verdadera permutaci´o n en el conteo anterior; tome por ejemplo bnnb, cuando se suponen todos distintos, las letras b se pueden permutar de 2! formas mientras que las letras n se pueden permutar de otras 2! formas, por lo que bnnb aparecer´a 2!2! = 4 veces cuando consideremos distintos a los objetos (coincide con la tabla, ¿cierto?). Entonces 4! es el cu´adruple de las permutaciones que buscamos, es decir, que las 4! permutaciones con objetos repetidos son en total = 6. 2!2! Resolvamos ahora el caso general: se tienen k1 objetos de una clase y k2 objetos de otra clase (los objetos de una misma clase son id´ enticos entre s´ı), y denotamos por P (k1 , k2 ) al total de permutaciones de estos objetos. Tomando n = k1 + k2 , si todos los objetos fueran distintos, el total de permutaciones ser´ıa P n , pero en este conteo, cada permutaci´on de las buscadas aparece repetida k1 !k2 ! veces, por lo que Teorema 3.3. El total de permutaciones con repetici´ on de k1 objetos de un tipo y k2 objetos de otro tipo, denotado por P (k1 , k2 ) y tomando n = k1 + k2 es
P (k1 , k2 ) =
n! k1 !k2 !
Este argumento se puede generalizar: Teorema 3.4. Dados k1 objetos id´ enticos de una clase 1, luego otros k2 objetos id´enticos de una clase 2, ..., kr objetos id´ enticos de una clase r, y tomando n = k1 + k2 + · · · + kr , el total de
permutaciones es P (k1 , k2 , . . . , kr ) =
n! k1 !k2 ! · · · kr !
Por otra parte, ya antes se hab´ıa trabajado un problema muy similar a este, el de las cadenas de longitud n de ceros y unos, todos los ceros son iguales entre s´ı, todos los unos tambi´ en, y se est´a interesado en la cantidad de cadenas distintas que se pueden formar con k ceros y n − k unos, es decir, todas las permutaciones con k objetos de id´enticos de una clase y n − k de la otra; adem´ as, k ya se demostr´o que el total de estas cadenas es C n , entonces Teorema 3.5. El n´ umero combinatorio puede interpretarse como permutaciones con elementos
repetidos, y se relacionan as´ı C nk = P (k, n − k ) =
n! k!(n − k )!
Nota: En la relaci´ on anterior, observe que pueden darse los casos k = 0 (s´olo hay unos) y k = n (s´olo hay ceros), y seg´un los modelos de n´ umero combinatorio, C n0 = 1 = C nn , por lo que para que
la relaci´on anterior siga siendo v´alida en estos casos, se define 0! = 1. 35
3.4 ARREGLOS
3.4.
3 Permutaciones y Arreglos
ARREGLOS
Regresamos a ordenar objetos distintos, pero considerando que la cantidad de espacios es inferior o igual a la cantidad de objetos distintos que se ordenan; es decir, ¿cu´antas configuraciones de longitud k puede formarse si se tienen n objetos distintos (k ≤ n)? A estas configuraciones les llamaremos arreglos , y al total de arreglos de longitud k dados n objetos distintos se le denotar´ a por k 9 An . Este problema es una aplicaci´on directa del principio de la mutiplicaci´o n, y sin duda podemos argumentar el caso general sin inconveniente alguno: se tienen k espacios, en el primero puede ubicarse a cualquiera de los n objetos, hay etonces n opciones; en el segundo espacio puede ubicarse a cualquiera de los n objetos exceptuando el que se coloc´o en la primera posici´on, por lo que hay n − 1 opciones; en el tercer espacio puede colocarse a cualquiera de los n objetos exceptuando el que se coloc´o en la primera posici´on y el que se coloc´o en la segunda posici´on, por lo que hay n − 2 opciones; este argumento se sigue as´ı sucesivamente, hasta que en el espacio k puede ubicarse a cualquiera de los n objetos, exceptuando los que se colocaron en las anteriores k − 1 posiciones, por lo que hay n − (k − 1) opciones. As´ı Teorema 3.6. El total de arreglos de longitud k dados n objetos distintos ( k ≤ n) es
Akn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − (k − 1))
Pero esta expresi´on puede escribirse de forma m´as compacta multiplicanndo y dividiendo por (n − k )! Akn =
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − (k − 1))(n − k )! n! = (n − k )! (n − k )!
En particular si n = k se obtiene Ann = P n
Observe que C nk y Akn cuenta estructuras similares, la diferencia radica que cuando se calcula el combinatorio, u´nicamente interesa escoger k objetos de los n disponibles (el orden de los objetos no importa), en cambio, cuando se calcula la cantidad de arreglos, luego de escogerlos se construyen las k ! permutaciones (el orden s´ı importa), entonces Teorema 3.7. Dados n objetos distintos, la cantidad de arreglos y de combinaciones de longitud k ( k ≤ n) se relacionan por Akn = k !C nk
3.5.
PROBLEMAS
1. Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometr´ıa, 4 de Combinatoria ´ y 2 de Algebra. ¿De cu´antas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponde a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva? La notaci´on m´as usual para este n´umero es P nk , y a estas se les llama tambi´ en permutaciones, pero dado que permutar significa ´unicamente cambiar de orden, reservaremos esa palabra exclusivamente para el caso en el que hay igual n´umero de objetos que de espacios. 9
36
3.5 PROBLEMAS
3 Permutaciones y Arreglos
2. El equipo de Anita y el de Chepito juegan futbol con la regla adicional siguiente: gana qui´en primero obtiene cuatro goles y no hay empates . ¿De cu´antas formas puede ganar el equipo de Anita? 3. ¿De cu´antas formas es posible escoger 4 cartas de distinto manjar de una baraja de 52 cartas? 4. Un beb´e reci´en nacido puede tener 1, 2 ´o 3 nombres. ¿De cu´antas formas puede llamarse si se puede escoger de 300 nombres disponibles? 5. En una mesa redonda de 5 asientos se sientan 7 personas. ¿De cu´ antas formas pueden hacerlo si la persona 1 es enemiga de la persona 2 y si se sienta una no se sienta la otra? 6. ¿De cu´antas formas pueden entregarse 6 cartas urgentes si se tienen a disposici´on 3 couriers distintos? 7. ¿Cu´antas permutaciones hay que no tengan I juntas de la palabra PARANGUATIRIMICUARO? 8. A una conferencia han sido invitadas como exponentes 5 personas: A, B , C , D y E . ¿De cu´antas formas se pueden ordenar las exposiciones si B no debe preceder a A? ¿Cu´antas formas distintas ser´ıan si B debe hablar inmediatamente despu´es que A? 9. ¿De cu´antas formas pueden sentarse 5 mujeres y 5 hombres en una mesa redonda de tal forma que las personas vecinas de cada quien son de g´enero distinto? 10. ¿Cu´al es la cantidad de configuraciones distintas que pueden generar los m sem´aforos ubicados sobre una calle principal? 11. Una madre tiene 2 manzanas y 3 peras, y le da a su hija una fruta cada d´ıa (de lunes a viernes), ¿de cu´antas formas puede hacerlo? ¿De cu´antas formas podr´ıa hacerlo si tiene adem´ as 4 naranjas? 12. Una profesora distribuye 5 naranjas distintas entre sus 8 estudiantes de tal forma que cada estudiante recibe a lo sumo una naranja, ¿de cu´antas formas puede hacerlo? ¿Cu´antas formas ser´ıan si ya no se restringe la cantidad que puede recibir cada estudiante? 13. Un club deportivo de 30 miembros quiere hacer 4 equipos de 4 personas cada uno para que participen en un rally, ¿de cu´antas formas puede hacerlo? 14. ¿De cu´antas formas pueden distribuirse m + n + p objetos distintos en 3 cajas tal que cada una tenga m, n y p objetos respectivamente? 15. Determine el n´ umero de permutaciones de la palabra TONACATEPEQUE. 16. Dada una baraja de 4 manjares y 52 cartas (diamantes, corazones, espadas y tr´ eboles, 13 cartas de cada manjar), ¿de cu´antas maneras es posible escoger 4 cartas de distinto manjar tal que el valor de la carta de diamantes sea igual al valor de la de corazones, y el valor de la carta de espadas sea igual al valor de la de tr´eboles?
37
3.5 PROBLEMAS
3 Permutaciones y Arreglos
17. Con una baraja igual a la del ejercicio anterior, determine la probabilidad de obtener en la primera mano de un juego de p´oker: una escalera de color, un p´oker, una escalera, color, una casa llena, un tr´ıo, dos pares. 18. Si se juega con 6 dados, dos negros, dos verdes y dos rojos, ¿cu´ al es la probabilidad de obtener una escalera tal que los dados del mismo color tengan n´umeros consecutivos? (considere al 6 y al 1 como consecutivos tambi´en) 19. En El Salvador, los n´ umeros telef´onicos se forman con 8 cifras, siendo 2 el primero de ellas, y la segunda 2, 3, 4, 5 ´o 6; en Guatemala en cambio son s´olo 7 cifras pero con las mismas restricciones para sus primeras dos cifras. ¿Cu´antas comunicaciones pueden establecerse entre los habitantes de ambos pa´ıses? 20. ¿Cu´antos bloques coloreados diferentes, de forma c´ubica fija, puede hacerse si hay seis colores disponibles y cada bloque debe tener un color diferente en cada una de sus seis caras? 21. La familia P´ erez ha comprado una mesa circular nueva con seis sillas, justa para toda la familia. Para esta familia, no hay preferencias con respecto a cu´a l silla ocupar, s´olo les interesa saber quienes tienen a la par. ¿De cu´antas formas pueden sentarse si Juanita y Pedro est´an peleados y no quieren sentarse juntos? ¿y si la mam´a P´erez quiere sentarse a la par de Anita? 22. Hallar la cantidad de n´ umeros que se obtengan como permutaciones del n´umero 111122256 que sean divisibles por 12. 23. Seis matrimonios se re´ unen a cenar en una mesa circular. ¿De cu´antas formas pueden ubicarse, si cada hombre debe estar flanqueado por dos mujeres y los miembros de cada pareja deben estar juntos? 24. Cuatro bailarines y cuatro bailarinas interpretan una danza que consiste en formar una ronda tomados de la mano. ¿De cu´antas formas pueden ubicarse si en la figura deben aparecer alternadamente hombres y mujeres? 25. Sean k, n ∈ N. Demuestre que el n´umero de formas de sentar kn personas alrededor de k mesas distintas de modo que hay n personas en cada mesa es (kn)! nk
38
´ mero Combinatorio 4 Extensiones del Nu
4. 4.1.
Extensiones del N´ umero Combinatorio SEPARADORES
Considere el siguiente problema: EJEMPLO 4.1
Ana quiere comprar 10 dulces para regal´arselos a sus primitos; en la tienda hay dulces de tres sabores, menta, fresa y lim´on, ¿de cu´antas formas puede escogerlos? Si llamamos m a la cantidad de dulces de menta, f la cantidad de dulces de fresa y l la cantidad de dulces de lim´on, debe cumplirse que m + f + l = 10, y obviamente cada uno de estos n´umeros es mayor o igual a cero. Como siempre, lo mejor es analizar algunos casos particulares, por ejemplo m = 0, entonces f + l = 10, y las parejas soluci´ on son (f, l) = (0, 10), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0) en total hay 11 posibilidades. Si analizamos el resto de casos (todos disjuntos) m = 1, 2, . . . , 10, se obtendr´an respectivamente 10, 9, . . . , 1 posibilidades, por lo que la cantidad de formas que Ana puede hacer la compra es 11 + 10 + · · · + 1 = 66. Este m´etodo resolvi´o el problema y las cuentas no fueron largas ni dif´ıciles, sin embargo no nos da idea de como abordar un problema con m´as variables o con n´ umeros m´as grandes. Por ejemplo, si los sabores disponibles fueran 8 y la cantidad de dulces que Ana comprar´a es 100, el problema se vuelve much´ısimo m´as dif´ıcil y el m´etodo anterior no funcionar´a bien. Si se observa, este problema es distinto a todos los estudiados hasta el momento, y b´asicamente se trata de buscar combinaciones de objetos, pero no todos los objetos son distintos (para el caso, los dulces de fresa los consideramos todos iguales, los de menta tambi´en y los de lim´ on tambi´en). Hay una forma muy ingeniosa de resolver este problema, y por lo importante de la t´ecnica, suele dedic´arsele una secci´on. Haremos lo siguiente: los 10 dulces los vamos a interpretar como 10 objetos iguales, 10 bolas por ejemplo, y para distinguir cu´ales son de cada sabor, incluiremos 2 “separadores”; luego, estos 12 objetos se permutan, m es la cantidad de bolas que quedan a la izquierda del primer separador, f es la cantidad de bolas que quedan entre los separadores y l es la cantidad de bolas que quedan a la derecha del segundo separador. Adem´as, la cantidad de permutaciones con repetici´on con 10 12! bolas y 2 separadores es P (10, 2) = = 66. 10!2!
m
f
l
El problema general se resuelve de la misma forma:
39
´ mero Combinatorio 4 Extensiones del Nu
4.2 MULTICOMBINATORIO
Teorema 4.1. Dada una colecci´ on de objetos clasificados en k tipos de objetos (los objetos del
mismo tipo son iguales entre s´ı, y distintos de cualquier objeto de otro tipo), el total de formas de escoger n objetos es (n + k − 1)! P (n, k − 1) = n!(k − 1)!
|||||···| Demostraci´ on. Se considera en principio que los n objetos son todos iguales, y para distribuir los objetos entre las posibles k clases, se agregan k − 1 separadores. El total de configuraciones es igual a las permutaciones con repetici´on P (n, k − 1). Observe que la respuesta puede verse como un combinatorio tambi´en: en total, se tienen n + k − 1 espacios y se escogen los n (o bien los k − 1) en los que se ubican las bolas (o bien los separadores), por lo que la cantidad de configuraciones buscadas es −1 C nn+k−1 o bien C nk+ k−1
Finalmente, una versi´on muy utilizada de separadores es la siguiente: Teorema 4.2. El total de soluciones enteras no negativas de la ecuaci´ on x1 + x2 + · · · + xk = n n es C n+k−1
La relaci´on con el problema anterior es evidente, porque xi representa la cantidad de objetos del tipo i; el particular, el problema de Ana es equivalente a resolver la ecuaci´on x1 + x2 + x3 = 10, con xi ∈ Z+ un tipo, esto, en el esquema 0 . Note que hay configuraciones que tienen cero bolas de alg´ de los separadores, se da cuando los separadores est´an juntos, o cuando un separador est´a a la izquierda de todas las bolas o a la derecha de todas las bolas. Otro detalle importante que comentar es que a veces se busca configuraciones que tengan al menos uno de cada tipo, es decir, xi ≥ 1. En tal caso los separadores se ubican ´unicamente en los n − 1 espacios entre las n bolas, a lo sumo un separador por espacio; as´ı, el total de configuraciones con −1 esta nueva restricci´on es C nk−1 .
4.2.
MULTICOMBINATORIO
Dados n objetos distintos, el total de formas de escoger p de ellos es pn ; esto, como ya se estudi´o en reiteradas ocasiones, puede interpretarse con modelo de cajas: en la caja 1 se introducen los p objetos s´ı escogidos, y en la caja 2 los n − p objetos no escogidos, as´ı, este problema es equivalente a: ¿De cu´ antas formas es posible distribuir n objetos distintos en dos cajas, tal que en la primera caja siempre hayan p objetos? Lo interesante de este planteamiento es que se puede extender f´acilmente a m´a s n´ umero de cajas; al n´umero que obtendremos en ese caso se le llama multicombinatorio, y no es m´as que una extensi´on y generalizaci´on del n´umero combinatorio.
40
´ mero Combinatorio 4 Extensiones del Nu
4.3 PROBLEMAS
Definici´ on 4.1. Multicombinatorio: Al total de formas de distribuir n objetos distintos en k cajas, tal que en la primera caja siempre hayan x1 objetos, en la segunda caja x2 objetos, ..., en la k−´esima caja xk objetos, con x1 + x2 + · · · + xk = n, se le llama multicombinatorio de n escoger x1 , x2 , . . . , xk ,
y se denota
n x1 , x2 , . . . , xk
Es interesante que este problema puede resolverse sin mayores dificultades a partir del n´umero combinatorio est´andar, lo cual se enuncia en el siguiente teorema Teorema 4.3. El multicombinatorio de n escoger x1 , x2 , . . . , xk es:
n x1 , x2 , . . . , xk
k
=
s=1
n − (x1 + x2 + · · · + xs−1 ) xs
Demostraci´ on. De los n objetos escogemos los x1 que se colocar´an en la primera caja, lo cual se puede hacer de xn formas; luego, escogemos los x2 objetos de entre los n − x1 objetos restantes, que se colocar´an en la segunda caja, lo cual es posible de n−x x formas, y as´ı sucesivamente, hasta que para la caja k −´esima se escoger´an xk objetos de entre los n − (x1 + x2 + · · · + xk−1 ) = xk objetos, lo cual se podr´a hacer s´olo de una forma, xx . Por lo tanto, el total de posibilidades es
1
1
2
k k
n x1
n − x1 x2
n − (x1 + x2 ) n − (x1 + x2 + · · · + xk−1 ) ··· x3 xk
Este n´ umero tambi´en tiene modelos equivalentes por caminos y por relaciones algebraicas. El v´ınculo del multicombinatorio con expresiones algebraicas viene de desarrollar los multinomios, n por ejemplo (x + y + z )n , el coeficiente de xa y b z c (con a + b + c = n) es el multicombinatorio a,b,c ; ¡demu´estrelo!
Adem´as, es importante que identifique el nexo entre separadores y el multicombinatorio, son problemas aparentemente iguales, p ero son muy distintos; observe por ejemplo que el total de t´erminos del desarrollo del trinomio (x + y + z )n es igual a la cantidad de t´erminos xa y b z c , y esto es igual a la cantidad de soluciones de a + b + c = n, lo cual, por separadores es C n2+2 .
4.3.
PROBLEMAS
1. Determine el n´umero de formas que pueden ordenarse en un estante 4 libros distintos de ´ Combinatoria, 5 libros distintos de Geometr´ıa, 3 libros distintos de Algebra y 8 libros distintos ´ de C´alculo, si los de Geometr´ıa deben estar siempre antes que los de Algebra. 2. ¿En cu´antas de las permutaciones del n´umero 23814425 aparecen los d´ıgitos impares en forma creciente de izquierda a derecha? 3. Se han encargado 20 pupusas de entre los siguientes tipos: revueltas, de queso, de chicharr´ on, de frijol con queso, de queso con loroco y de ayote. ¿De cu´antas formas puede hacer la compra? 41
´ mero Combinatorio 4 Extensiones del Nu
4.3 PROBLEMAS
a) Si se tiene que llevar al menos 7 de queso. b) Si se tiene que llevar a lo sumo 2 de chicharr´on y 10 de ayote. c) Si se tiene que llevar al menos 3 de cada clase. 4. Encuentre el n´umero de secuencias no-decrecientes de largo 10 a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ··· ≤ a10
donde ai ∈ {1, 2, 3, . . . , 100} 5. ¿Cu´antas 11-combinaciones pueden formarse de las letras x, y , z si todas las letras deben aparecer al menos dos veces y a lo sumo 5? 6. ¿Cu´antas cadenas existen de 10 d´ıgitos ternarios (0, 1 o´ 2) que contengan exactamente dos 0, tres 1, y cinco 2? 7. ¿Cu´antas soluciones existen para la desigualdad x1 + x2 + x3 ≤ 11
donde x1 , x2 y x3 son enteros no negativos? 8. ¿De cu´antas formas pueden ordenarse n ceros y k − 1 unos si no hay dos 1 consecutivos? 9. Se tiran 12 dados id´ enticos al aire, ¿cu´al es la probabilidad de que uno de los n´umeros 1, 2, . . . , 6 no aparezca? 10. ¿De cu´antas formas puede distribuirse 20 bolas iguales en 6 cajas, de tal forma que en la primera caja hay al menos 4 bolas y en la ultima caja no m´as de 5? 11. Existen 5 formas de expresar el n´umero 4 como suma de dos enteros no negativos tomando en cuenta el orden: 4 = 0 + 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 + 0. Dados los naturales r y n, determine: a) El n´umero de formas de expresar 200 en r sumandos. b) El n´umero de formas de expresar n en 200 sumandos. c) El n´umero de formas de expresar n en r sumandos tales que todos sean mayores o iguales que 5. 12. Jos´e comprar´a 20 galletas de distintos sabores: fresa, chocolate, vainilla y lim´on. ¿De cu´antas formas puede hacer la compra si tiene que llevar un n´umero de galletas de vainilla que sea 4 veces el n´umero de galletas de lim´on? 13. Determine el n´ umero de soluciones enteras no negativas de 3 x1 + 5x2 + x3 + x4 + x5 = 20. 14. Determine el n´ umero de t´erminos de la expansi´on de (x1 + x2 + x3 + · · · + xn−1 )n−1 . 15. Determine el n´ umero de soluciones enteras no negativas de rx1 + x2 + x3 + · · · + xn = kr . 16. En la expansi´ o n de (a + b + c + d)48 42
´ mero Combinatorio 4 Extensiones del Nu
4.3 PROBLEMAS
17. Encuentre el n´umero de enteros positivos x tales que x ≤ 9999999 y la suma de sus d´ıgitos sea igual a 31. 18. Si Lorena tira un dado cinco veces, ¿cu´al es la probabilidad de que la sumas de sus cinco tiradas sea 20? 19. ¿Cu´antas soluciones hay, entre 1 y 9 inclusive, de la ecuaci´on x1 + x2 + x3 + x4 = 26? 20. Encuentre el n´umero de soluciones enteras positivas de la ecuaci´on: (x1 + x2 + x3 )(y1 + y2 + y3 + y4 ) = 77 a) Encontrar el coeficiente de a8 b10 c15 d15 . b) Determinar el n´umero de t´erminos de la expansi´on. 6
21. Determine el coeficiente de x5 en la expansi´on de (1 + x + x2 + · · · + x1000 ) .
43
5 Principios de Conteo 2
5.
Principios de Conteo 2
5.1.
´ - EXCLUSION ´ PRINCIPIO DE INCLUSION
El principio, tal comos se describi´o en el primer cap´ıtulo, puede ser extendido extendido de forma natural al caso de la reuni´on de n conjuntos. La forma que adopta el principio en este caso es: Teorema 5.1. Principio de Inclusi´ on - Exclusi´ on: Dados n conjuntos A1 , A2 , . . . , An , el cardinal
de la uni´ on est´ a dado por
n
i=1
|Ai | −
Ai =
i
|Ai ∩ A j | +
i
|Ai ∩ A j ∩ Ak | + · · · + (−1)n+1 |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An |
i
La f´ormula pretende asegurar que todos los elementos son contados una y s´olo una vez, lo que puede ser verificado despu´es de un momento de reflexi´on.
5.2.
´ DESORDENES
EJEMPLO 5.1
Si consideramos el orden de los n´umeros naturales 1, 2, 3, 4, en la permutaci´on 3142 ning´ un elemento est´a en su posici´on natural. A una permutaci´on con tal propiedad le denominaremos un desorden o un desarreglo. ¿De los 24 posibles ordenamientos de tales n´umeros, cu´antos des´ordenes existen? Denotemos por D4 tal n´ umero de des´ordenes; por F 1 el n´ umero de las permutaciones que dejan fijo un elemento en su posici´on; por F 2 las que dejan en su posici´on dos de los 4 elementos, por F 3 las que dejan en su puesto tres de los 4 elementos; de manera completamente similar definiremos F 4 . As´ı, por el principio de inclusi´ on-exclusi´ on (5.1) tenemos el siguiente resultado: D4 = 4! − F 1 + F 2 − F 3 + F 4
Ahora bien, F 1 se descompone en los que dejan fijo el 1 en su posici´on, que son 6, los que dejan fijo el 2, que son otras 6; hay 6 que dejan el 3 en su posici´on y 6 que dejan fijo el 4; as´ı, F 1 es 24. De las que dejan fijos dos de los cuatro elementos est´an los que dejan fijos el 1 y 2, los que dejan fijos el 1 y 3, el 1 y 4; los que dejan fijos el 2 y 3, el 2 y 4; finalmente tenemos los que dejan fijos el 3 y el 4. Como en cada uno de estos caso, que son seis, el n´umero de permutaciones es 2, resulta que F 2 es 12. El caso de que dejen fijos tres elementos contiene los casos siguientes: que dejen fijos 1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 3, 4 y el caso que dejen fijos 2 , 3, 4; en total son cuatro casos y cada uno de ellos tiene una permutaci´on por lo que F 3 es igual a 4. Finalmente, F 4 contiene una u ´nica permutaci´on, es decir F 4 es 1. En resumen tenemos: D4 = 24 − 24 + 12 − 4 + 1 = 9
Hay en consecuencia 9 des´ordenes en las permutaciones de orden 4. Esta claro que esta relaci´on se puede generalizar.
44
5.3 RECURRENCIA
5 Principios de Conteo 2
Teorema 5.2. El total de des´ ordenes de orden n, denotado por Dn , es
n
Dn =
(−1)k
k=0
n (n − k )! k
Demostraci´ on. El total de permutaciones es P n = n!. Tomando la misma notaci´on del ejemplo anterior, F k denota aquellas permutaciones que tienen a k (al menos) de sus elementos en la posici´on que les corresponde; as´ı, el total de de permutaciones de F k lo contamos primero escogiendo los k que quedar´an en la posici´on que les corresponde, lo cu´al es posible hacerlo de C nk formas, y luego permutando los restantes n − k objetos, lo cual es posible hacerlo de P n−k = (n − k )! formas, y por el principio de la multiplicaci´on, F k = C nk (n − k )!. Luego, por el principio de inclusi´on-exclusi´on: Dn = n! − F 1 + F 2 − F 3 + · · · + (−1)k F k + · · · + (−1)n F n
= (−1)0 C n0 (n − 0)! + (−1)1 C n1 (n − 1)! + (−1)2 C n2 (n − 2)! + · · · + (−1)n C nn (n − n)!
n
=
(−1)k
k=0
n (n − k)! k
Observe que esa expresi´on se puede manipular algebraicamente, y reescribirse como n
Dn = n!
k=0
5.3.
(−1)k k!
RECURRENCIA
EJEMPLO 5.2
La Torre de Hanoi: Se dispone de n discos de diferentes medidas y de tres clavijas en donde ´estos pueden ser colocados. Inicialmente todos los discos est´an colocados en una de las clavijas y ordenados de abajo hacia arriba de mayor a menor. El problema consiste en trasladarlos a otra de las clavijas siguiendo las reglas siguientes: i) ii )
Los discos se mueven uno por uno. En ning´ un caso puede colocarse un disco sobre un disco de radio menor.
Obs´ervese que para cumplir con la condici´on segunda resulta indispensable disponer de tres clavi jas. El problema consiste en determinar el n´ umero m´ınimo de movimientos requeridos para pasar 45
5.3 RECURRENCIA
5 Principios de Conteo 2
todos los discos de una clavija a otra . Sea mn el n´ umero m´ınimo de movimientos para pasar n discos de una clavija a otra. Es obvio que para poder mover el disco que se encuentra en el fondo, debemos pasar de una clavija a otra los n − 1 discos menores a otra clavija, lo que requiere mn−1 como n´ umero m´ınimo de movimientos. Hecho lo anterior, debemos pasar el disco mayor a la tercera clavija, lo que exige un movimiento, y finalmente pasar los n − 1 discos menores a esta u ´ ltima clavija, lo que por definici´on requiere nuevamente mn−1 movimientos como m´ınimo. As´ı en total se requieren como m´ınimo mn = 2mn−1 + 1 movimientos. Por otra parte, cuando se tiene s´olo 1 disco, obviamente, el n´umero m´ınimo de movimientos es m1 = 1; es decir: mn = 2mn−1 + 1 m1 = 1
Informaci´ on suficiente para calcular el valor de mn para los diferentes valores de n. EJEMPLO 5.3
La Sucesi´on de Fibonacci: Suponemos que cada mes la hembra de una pareja de conejos pare una pareja de conejos (de diferente sexo). Dos meses m´ as tarde la hembra de la nueva pareja pare una nueva pareja. Determinar el n´ umero de parejas de conejos al finalizar el primer a˜ no, si se supone que al inicio s´ olo se dispone de una pareja de conejos en edad reproductiva y que en el per´ıodo en menci´ on no hay defunciones. Por ejemplo, al final del primer mes tendremos dos parejas, al final del segundo mes se tendr´an tres parejas. Denotemos por F n el n´ umero de parejas al final del en´esimo mes. Este n´ umero de parejas debe ser igual al n´umero de parejas en el mes n − 1, que es igual a F n−1 , m´as los reci´en nacidos, cuyos padres u ´nicamente pueden ser las parejas existentes en el mes n − 2. As´ı, resulta la relaci´on:
F n = F n−1 + F n−2 F 0 = 1 F 1 = 2
De nuevo, con estas relaciones podemos calcular el valor de F n para los diferentes valores de n. Con ella se logra la conocida como sucesi´on de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .. El problema de determinar el n´umero de parejas de conejos al final del primer a˜no es simplemente el de calcular F 12 , que es igual a 377.
EJEMPLO 5.4
El Modelo de Reproducci´on de Conejos y las Cadenas de ceros y unos que no tienen dos unos seguidos. Veremos como este problema del n´umero de parejas de conejos al final del en´esimo mes puede ponerse en correspondencia con el problema de las cadenas de ceros y unos de longitud n que no tienen dos unos seguidos.
46
5.4 PRINCIPIO DE CASILLAS
5 Principios de Conteo 2
Suponga una cadena de ceros y unos tiene la propiedad de no tener dos unos consecutivos. Cada 1 en la cadena representar´a el nacimiento de una pareja; cada pareja de conejos, se identificar´a con el u ´ ltimo 1 en la cadena; los dem´as unos de la cadena que aparecen antes, representar´a n el ´arbol geneal´ ogico de la pareja que representa la cadena. La cadena de s´olo ceros estar´a asociada a la pareja original. La restricci´on de que las cadenas no tengan dos 1 consecutivos es justamente debido a que en el modelo cada pareja s´olo puede comenzar a procrear al finalizar el segundo mes. Por ejemplo, la cadena 00101001 es el documento de identidad de la pareja de conejos que naci´o al finalizar el octavo mes, cuyos padres nacieron en el quinto mes; sus abuelos nacieron al finalizar el tercer mes y sus bisabuelos la pareja de conejos original. Es evidente que esta correspondencia es biun´ıvoca; a cada cadena de ceros y unos con la propiedad de no tener dos unos seguidos, le corresponde una sola pareja de conejos y a cada pareja de conejos, le corresponde una sola cadena. Podemos ahora, apoyados en la correspondencia anterior, proponernos contar el n´umero de parejas de conejos, mediante el conteo de las cadenas de ceros y unos con la propiedad de no tener dos unos seguidos. S´ olo con el prop´osito de ilustrar nos restringiremos al caso de cadenas de longitud 6, el caso general puede ser analizado de forma completamente an´aloga. El problema es as´ı el de contar las cadenas de longitud 6 de ceros y unos con la propiedad de no tener dos unos seguidos. Obs´ervese primero que para que no hayan dos unos seguidos se requiere que el n´umero de unos sea menor o igual a tres, de lo contrario no se dispondr´a de suficientes ceros para separarlos. Podemos entonces clasificar nuestras cadenas seg´ u n el n´ umero de unos que posea: Cadenas que no tienen unos; los 6 son ceros y los espacios disponibles para colocar los unos, son 7. Se tiene entonces C 70 en este caso. Cadenas que tienen exactamente un uno. Obviamente la cadena debe tener 5 ceros, lo que permite disponer de 6 espacios para colocar el uno, en este caso el n´umero de cadenas debe ser C 61 . He aqu´ı la lista de todas estas cadenas: 100000, 010000, 001000, 000100, 000010, 000001. Cadenas que tienen exactamente dos unos. En este caso deben haber cuatro ceros, lo que permite disponer de 5 espacios para colocar los 2 unos. El total deben ser C 52 cadenas, que son los siguientes: 101000, 100100, 100010, 100001, 010100, 010010, 010001, 001010, 001001, 000101. Cadenas que tienen tres unos. Por supuesto la cadena tiene tres ceros y los espacios disponibles para colocar los tres unos, son 4; por lo tanto tendremos C 43 cadenas; estas son: 101010, 101001, 100101, 010101. El total de cadenas con la propiedad ser´a entonces la suma: 1 + 6 + 10 + 4 = 21, n´umero que corresponde a F 6 en la sucesi´on de Fibonacci.
5.4.
PRINCIPIO DE CASILLAS
El principio de casillas es posiblemente uno de los teoremas m´as evidentes, y cualquiera podr´ıa pensar que no tiene utilidad alguna una aseveraci´on tan evidente, sin embargo, en los problemas que se plantean en este cap´ıtulo se puede apreciar lo poco evidente que resultan muchos problemas cuya clave radica en el principio de casillas. EJEMPLO 5.5
Una recta no puede cortar internamente a los tres lados de un tri´angulo simult´ aneamente. 47
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
En este caso hay que crear tanto las cajas como los objetos; digamos que se traza la recta L,10 la cual genera dos semiplanos, ´estos ser´an las cajas; por otra parte, los v´ertices del tri´ angulo ser´an los objetos, que son en tres en total. Por el principio de casillas, hay un semiplano que tiene al menos dos v´ertices, por lo tanto, la recta L no corta al lado definido por esos v´ertices.
5.5.
PROBLEMAS
1. ¿Cu´antos enteros entre 1 y 1000, incluy´ endolos, no son divisibles entre 2, 3 o´ 5? 2. ¿Cu´antos n´ umeros naturales menores o iguales que 10000 son m´ultiplos de 4, 5 ´o 7? ¿Cu´antos son m´ ultiplos de 4, 10 ´o 14? 3. En cierta escuela hay 100 alumnos. De ellos, 50 saben ingl´es, 30 saben alem´ a n y 30 saben franc´es. Adem´as, 10 saben ingl´es y franc´es, 14 saben franc´es y alem´an, 11 saben ingl´es y alem´ an, y 6 saben los tres idiomas. Determinar cu´antos alumnos no saben ninguno de los tres idiomas. 4. Un grupo de 102 estudiantes se examinan en Matem´aticas, Sociales y Lenguaje. De entre ellos, 92 pasaron Matem´aticas, 75 Sociales y 63 Lenguaje, 65 pasaron Matem´aticas y Sociales, 54 Matem´aticas y Lenguaje y 48 Sociales y Lenguaje. ¿Cu´antos estudiantes pasaron las tres materias? 5. ¿Cu´antos n´ umeros del 1 al 1000000 no son ni cuadrados perfectos, ni cubos perfectos, ni potencias cuartas perfectas? 6. En un grupo de 100 indios hay 40 que hablan hindi, 40 que hablan bengal´ı y 20 que hablan penjabi. Hay 20 que hablan hindi y bengal´ı, y 5 que hablan hindi y penjabi. Hay 31 que hablan al menos dos de las tres lenguas y 33 que no hablan ninguna de ellas. ¿Cu´antos hablan las tres lenguas? 7. ¿Cu´antos n´ umeros menores que 400 tienen la propiedad de no tener divisor alguno en el conjunto {6, 10, 15}? 8. ¿Cu´antos n´ umeros naturales menores que 1000 tienen la propiedad de ser divisibles por 12, pero no divisibles ni por 5, ni por 7? 9. De todas las combinaciones posibles de 5 elementos del conjunto {1, 2, . . . , 10} ¿Cu´antas no incluyen ni el n´umero 8, ni el n´umero 9? 10. Determine el n´ umero de des´ordenes posibles del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. 11. Si se asume el orden natural en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, ¿cu´antas permutaciones dejan fijos en su posici´on exactamente a dos de los cinco n´umeros? 10
Como se busca cortar internamente a los lados del tri´angulo, suponemos que L no coincide con ninguno de los lados ni pasa por alg´un v´ertice.
48
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
12. Considere los n´ umeros naturales menores o iguales a 100 en su descomposici´on en factores primos. ¿En cu´antos de ellos no hay un factor primo repetido? 13. Un a˜ no es bisiesto cuando: i) ii)
Es m´ ultiplo de 4 pero no de 100, o Es m´ ultiplo de 400.
Por ejemplo, 1600 y 1924 fueron a˜nos bisiestos, mientras que 2200 no lo ser´a. Encuentre el n´umero total de a˜nos bisiestos entre los a˜nos 1000 y 3000. 14. ¿Cu´antas permutaciones de 1234 son tales que el 1 no est´a en la primera posici´o n, el 2 no est´a en la segunda posici´o n, el 3 no est´a en la tercera posici´o n, y el 4 no est´a en la cuarta posici´on? 15. En una oficina hay 10 empleados. Cada uno es especialista en una labor distinta a la de los dem´as. Para no aburrirse, les gusta intercambiar sus puestos; sin embargo, el buen funcionamiento de la oficina exige que en cada momento haya exactamente 4 empleados trabajando en su especialidad. ¿Cu´antas distribuciones de los puestos se pueden hacer bajo estas condiciones? 16. Se sabe que la clave de acceso de una comutadora es una permutaci´o n de CLAVE2654 . Sin embargo, como el due˜no sufre de dislexia, program´o en su compuradora la siguiente regla: Para conseguir acceso, es suficiente introducir 5 caracteres en la posici´on correcta, los caracteres restantes pueden estar en la posici´on correcta o no. ¿De cu´antas formas puede acceder a la computadora? 17. Ana quiere comprar 15 dulces, los sabores disponibles son: coco, vainilla, fresa y canela. Como a su mam´ a le gustan los dulces de coco, piensa llevar al menos 5 de este sabor; adem´as, nunca ha probado los dulces de canela, por lo que llevar´a a lo sumo 4 de este sabor. ¿De cu´antas formas puede Ana comprar los dulces? 18. Para comprar en una carnicer´ıa cada cliente toma un n´ umero (los n´umeros van saliendo ordenados 1, 2, . . . , n), pero el carnicero estaba de mal humor un d´ıa y decidi´ o atender a las n personas que esperaban su turno de una manera muy extra˜na. ¿De cu´antas formas puede atenderlos si los que tienen n´umero impar ser´an atendidos en su turno, mientras que los que tienen n´umero par no? 19. En un grupo de 102 estudiantes se examinan en Matem´ aticas, Sociales y Lenguajes. De entre ellos, 92 pasaron Matem´aticas, 75 Sociales y 63 Lenguaje, 65 pasaron Matem´aticas y Sociales, 54 Matem´aticas y Lenguaje, y 48 Sociales y Lenguaje. ¿Cu´antos estudiantes pasaron las tres materias? 20. Para rendir un examen, 4 alumnos se sientan en una fila de 10 asientos. ¿De cu´ antas maneras pueden ubicarse, si no puede haber alumnos sentados contiguamente? 21. Siete libros diferentes, tres de Historia, dos de Matem´atica y dos de Qu´ımica, son colocados en el estante de una biblioteca. ¿En cu´antas de las posibles formas de ubicarlos no aparecer´an todos los libros de una misma materia? 49
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
22. ¿De cu´antas formas se puede colocar tres x, tres y y tres z de modo que no aparezcan la misma letra tres veces consecutivas? 23. En cierto ecosistema hay 18 especies de animales. Cada especie depredadora caza 2 especies diferentes. A su vez cada especie no depredadora es perseguida por 3 especies diferentes. Adem´as, se sabe que toda especie es perseguida o depredadora, y ninguna de las dos cosas a la vez. ¿Cu´antas especies depredadoras hay? 24. Consideremos una cuadricula de n × n ¿cu´antos cuadrados tales que apoyen alguno de sus lados en el borde inferior o el borde izquierdo de de la cuadricula? 25. Consideremos una cuadricula de 8 × 10 casillas. ¿Cu´antos rect´angulos pueden marcarse en ella que tengan por lo menos uno de sus lados apoyado en alg´un borde? 26. ¿Cu´antas soluciones enteras tiene la ecuaci´on x1 + x2 + x3 = 28 si las variables est´an sujetas a la condici´on: 3 ≤ x1 ≤ 9, 0 ≤ x2 ≤ 8, 7 ≤ x3 ≤ 17? 27. ¿Cu´antas soluciones enteras tiene la ecuaci´on x1 + x2 + x3 + x4 = 20 si las variables est´an sujetas a la condici´on x1 ≤ 6, x2 ≤ 7, x3 ≤ 8, x4 ≤ 9? 28. Hallar el n´ umero de soluciones enteras de la ecuaci´on x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 que satisfacen las condiciones: 1 ≤ x1 ≤ 6, 1 ≤ x2 ≤ 7, 3 ≤ x3 ≤ 9, 4 ≤ x4 ≤ 11. 29. ¿De cu´antas formas se pueden distribuir 10 premios distintos entre 4 estudiantes de modo que exactamente dos estudiantes no reciban ninguno? ¿De cu´antas formas puede hacerse esto de modo que al menos dos estudiantes no reciban premio? 30. Demuestre mediante la definici´ on de coeficiente multinomial que:
n n1 , n2 , . . . , nm
31. Demuestre que
m
=
i=1
n−1 n1 , . . . , ni − 1, ni + 1, . . . , nm
n
n 1 , n2 , · · · , nm
(1)
= mn
donde el sumatorio contempla todas las soluciones enteras no negativas de n1 +n2 +· · · nm = n 32. Sea k,n,r ∈ N. Muestre que el n´umero de soluciones enteras de la ecuaci´on x1 + x2 + x3 + · · · + xn = r
tal que 0 ≤ xi ≤ k para cada i = 1, 2, . . . , n est´a dado por
n
(−1)i
i=0
n i
r − (k + 1)i + n − 1 n−1
33. Determinar el n´umero de regiones determinadas por n rectas en el plano. 34. Determine el n´ umero de cadenas de ceros y unos que tienen la propiedad de no tener dos unos consecutivos. 50
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
35. Supongamos que se desea cubrir un rect´angulo de dimensi´ on n × 2 con rect´angulos de 2 × 1. ¿De cu´antas formas es posible hacerlo? 36. ¿De cu´antas formas es posible descomponer un n´ umero natural como suma s´ olo de los naturales 1 y 2? 37. Llamamos triangulaci´ on de un pol´ıgono a su descomposici´ on en tri´angulos cuyos lados son ya sean diagonales o lados del pol´ıgono, de forma tal que el pol´ıgono queda completamente cubierto, sin superposiciones. a) Demuestre que, independiente de la triangulaci´o n, el n´umero de tri´angulos utilizados en la descomposici´on es el mismo e igual a n − 2. b) Demuestre que el n´umero de diagonales utilizadas en cualquier triangulaci´on es siempre n − 3. c) Determinar el n´umero de posibles triangulaciones de un pol´ıgono de n lados. 38. Considere un tri´ angulo equil´atero cuyo lado tiene longitud n. Se tri´angula trazando rectas paralelas a los lados que cortan segmentos de 1 a los lados del tri´angulo; se forman tri´angulos equil´ateros de diferentes longitudes de lado. Determine el n´umero total de tales tri´angulos. 39. Se dispone de un n´ umero ilimitado de monedas de las denominaciones de 1,5,10 y 25 centavos de d´olar. ¿De cu´antas formas se puede formar un total de 30 centavos? Determine una relaci´on de recurrencia que permita calcular el n´umero de posibilidades de cambiar una cantidad cualquiera de dinero. 40. Sean C un conjunto con 2n n´umeros reales, n ≥ 1 y an el n´ umero de comparaciones que deben efectuarse entre los elementos de C para determinar el m´aximo y el m´ınimo de C . Encontrar una relaci´on de recurrencia para calcular an y resolverla. 41. Tenemos cinco puntos con coordenadas enteras en el plano cartesiano. Probar que si sacamos los puntos medios para cada par de estos puntos, existir´a un punto medio cuyas coordenadas ser´an tambi´en enteras. 42. Una prueba de concurso posee diez preguntas de selecci´ o n m´ ultiple, con cinco alternativas cada una. ¿Cu´a l es el n´umero m´ınimo de candidatos que deber´ıan hacer el examen para garantizar que por lo menos dos de ellos tendr´an las mismas respuestas para todas las preguntas? 43. Dados 6 puntos sobre una circunferencia, coloreamos de azul o verde todos los segmentos que ellos determinan. Demuestre que entre todos los tri´angulos que quedan formados, hay por lo menos uno crom´atico, es decir, un tri´angulo con sus tres lados del mismo color. 44. Demuestre que si con 2 colores se pintan las diagonales de un pent´agono regular, siempre hay un v´ertice del que salen dos diagonales del mismo color. 45. Para una reuni´ on cient´ıfica se han contratado 5 traductores, que deber´an cubrir 6 lenguas diferentes. Si cada una de ´estas requiere el empleo de 3 traductores, demostrar que alguno de los int´erpretes deber´a traducir por lo menos 4 idiomas.
51
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
46. En un caj´on hay calcetines negros, rojos, azules y blancos. ¿Cu´a l es el menor n´umero de calcetines que hay que sacar para estar seguros de que hay al menos dos del mismo color? 47. En un estadio hay diez mil personas. Demostrar que hay al menos un grupo de 28 personas que nacieron el mismo d´ıa. 48. ¿Cu´a l es el mayor n´ umero de reyes que pueden ser colocados en un tablero de ajedrez de manera que ninguno d´e jaque a ning´ un otro? 49. A un estadio de f´utbol han asistido 37000 espectadores. ¿Cu´ antos de ellos, como m´ınimo, cumplen a˜ nos el mismo d´ıa? 50. Hay 100 personas sentadas en una mesa circular a distancia constante entre s´ı y al menos 51 de ellas son mujeres. Verificar que hay al menos 2 mujeres sentados en posiciones diametralmente opuestas. 51. Considere los primos 2, 3, 5. El conjunto A est´a formado por los n´umeros naturales que se generan multiplicando distintas potencias de estos primos, es decir, los n´umeros de la forma 2α 3β 5γ con α , β , γ enteros no negativos. Demuestre que de cualquier escogitaci´on de 9 n´umeros de A siempre hay 2 que al multiplicarlos generan un cuadrado perfecto. 52. Suponga que los n´ umeros del 1 al 10 est´an ubicados en alg´ un orden sobre una circunferencia. Prueba que alguna suma de tres n´ umeros consecutivos suma 17. 53. En un planeta llamado Ω (omega), m´ as de la mitad de la superficie es tierra firme. Probar que en Ω se podr´ıa excavar un t´unel recto a trav´es del centro del planeta, comenzando y finalizando en tierra firme. 54. ¿Cu´antas veces, como m´ınimo, debe lanzarse un par de dados para asegurarse que el puntaje obtenido (la suma de los dados) se repita? 55. Sean a,b,c,d enteros, demuestre que ( a − b)(b − c)(c − d)(d − a)(a − c)(b − d) es m´ ultiplo de 12. 56. Una prueba de aptitud posee 10 preguntas de selecci´on m´ ultiple, con cinco alternativas cada una. ¿Cu´al debe ser el m´ınimo n´ u mero de alumnos que deben dar la prueba (sin dejar respuestas vac´ıas) para el cual podamos garantizar que por lo menos dos de ellos tendr´ an exactamente las mismas respuestas para todas las preguntas? 57. En una caja hay 10 libros en franc´es, 20 en castellano, 8 en alem´ a n, 15 en ruso y 25 en italiano. ¿Cuantos debo sacar para estar seguro de que tengo 12 en un mismo idioma? 58. En un bar hay 95 mesas y un total de 465 sillas. ¿Podemos asegurar que hay una mesa con 6 sillas? 59. Se tiene un conjunto de diez n´umeros naturales. Demostrar que hay al menos un par cuya diferencia es m´ultiplo de 9. 52
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
60. Demuestre que si del subconjunto de n´umeros naturales 1, 2, . . . , 10 extraemos seis n´umeros, con seguridad habr´ a dos que suman 11. 61. De los n´ umeros 1, 2, . . . , 100 se toman 51. Demuestre que de estos, hay una pareja que son primos relativos, y que hay otra pareja tal que uno divide al otro y el cociente es potencia de 2. 62. Sean a1 , a2 , . . . , a100 y b1 , b2 , . . . , b100 dos permutaciones de 1, 2, 3, . . . , 100. Demuestra que, entre los productos a1 b1 , . . . , ai b j , . . . , a100 b100
hay dos con el mismo residuo al dividirse entre 100. 63. Los n´ umeros 1, 2, . . . , 9 se dividen en tres grupos. Probar que el producto de los n´umeros en uno de dichos grupos, sean cual sean estos, siempre debe ser mayor de 71. 64. En un cubo de lado 10 se colocan 999 puntos. ¿Es posible encontrar siempre un cubo de lado 1 dentro del cubo de lado 10 que no contenga alguno de los puntos? 65. Con los v´ertices de una cuadr´ıcula de 6 × 9 se forman 24 tri´angulos. Demuestre que hay 2 tri´angulos que tienen un v´ertice en com´un. 66. Las entradas de una matriz 3 × 3 son los n´ umeros 0, 1, −1. Probar que entre las ocho sumas que se obtienen por filas, columnas y diagonales, hay dos iguales. 67. Se tienen los n´ umeros 1, 2, . . . , 2n escritos en una pizarra. Se tachan n–1 de ellos. Probar que entre los n´ umeros que quedaron sin tachar en la pizarra, hay al menos dos de ellos que son consecutivos. 68. En una pizarra se escriben los n´umeros 1, 2, . . . , 2n, probar que si se eligen aleatoriamente n +1 n´ umeros de entre ellos, entonces entre los elegidos habr´a un par de modo que uno divide al otro. 69. Dados 27 n´ umeros impares positivos menores que 100, demostrar que hay al menos dos de ellos cuya suma es 102. 70. 17 personas se comunican por correo, enviando cada persona una carta a cada una de las dem´as. En las cartas s´olo son discutidas tres tem´aticas distintas. Las cartas enviadas mutuamente entre dos personas tratan ambas a cerca de una sola de esas tem´aticas, dado que una persona env´ıa una carta y la persona a la que va dirigida le responde. Pruebe que hay un grupo de al menos 3 personas tales que en todas las cartas que se enviaron entre s´ı discutieron a cerca de la misma tem´atica. 71. Algunos de los cuadritos de una cuadricula de 3 × 7 se pintan de negro y los otros se dejan en blanco. Probar que forzosamente las l´ıneas de la cuadr´ıcula forman un rect´ angulo en cuyas cuatro esquinas los cuadraditos tienen el mismo color (los cuatro blancos o los cuatro negros). 72. Dado un cuadrado de diagonal 3, se marcan al azar 10 puntos. Demostrar que siempre podemos encontrar al menos dos puntos que est´an a una distancia no mayor a 1.
53
5.5 PROBLEMAS
5 Principios de Conteo 2
73. En un tri´angulo de a´rea 4 se colocan nueve puntos. Muestre que hay tres de ellos que forman un tri´angulo de ´area menor o igual a 1. 74. Demuestre que un tri´ angulo equil´atero de lado 1 no puede ser cubierto totalmente con dos tri´angulos equil´ ateros de lados menores que 1. 75. Un disco cerrado de radio 1cm contiene 7 puntos tales que todas las distancias entre dos de ellos son mayores o iguales que 1, pruebe que uno de los 7 puntos es el centro del disco. 76. Nos damos un conjunto X de 10 n´ umeros naturales distintos comprendidos entre 10 y 99. Demostrar que hay dos subconjuntos distintos de X tales que la suma de los elementos de los dos subconjuntos dan el mismo resultado. 77. En un segmento I de longitud 10, inicialmente blanco, se han marcado 10 segmentos disjuntos con color rojo. Si no hay dos puntos en I a distancia 1 y ambos de color rojo, probar que la suma de las longitudes de los intervalos es a lo sumo 5. 78. Se dispone de 100 tarjetas, numeradas del 100 al 199. El valor de cada tarjeta es la suma de los d´ıgitos que aparecen en ella. ¿Cu´al es el numero m´ınimo de tarjetas que hay que extraer para asegurar que haya tres con el mismo valor? 79. Demostrar que en una fiesta siempre hay dos personas que conocen al mismo n´umero de personas. 80. Comprobar que en una reuni´ on de 6 personas siempre pasa que 3 de ellas se conocen entre s´ı o bien 3 de ellas no se conocen entre s´ı. 81. En una ceremonia de premiaci´on, n personas se saludaron entre s´ı estrech´ andose las manos. Prueba que durante la ceremonia hubo siempre dos personas que estrecharon el mismo n´umero de manos. 82. En una reuni´on hay 201 personas de cinco nacionalidades diferentes. Se sabe que en cada grupo de seis, al menos dos tienen la misma edad. Demuestra que hay al menos cinco personas del mismo pa´ıs, de la misma edad y del mismo sexo. 83. Demuestre las siguientes identidades albegraicas: a)
n
i = 1 + 2 + 3 + ··· + n =
i=1
b)
n(n + 1)
2
n
i(i + 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
i=1
3
c) n
i(i +1)(i +2) = 1 · 2 · 3+2 · 3 · 4 +3 · 4 · 5+ · · · + n(n +1)(n +2) =
i=1
54
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4