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REGLAS DE CONTEO 1. Combinatoria Para calcular probabilidades, con frecuencia será necesario contar el número de elementos que tiene un conjunto. Por ejemplo, para conocer la probabilidad de acertar una combinación de la lotería primitiva es preciso conocer el número de combinaciones totales que se pueden elegir. La combinatoria es una rama de las matemáticas que nos permite conocer este dato sin necesidad de enumerar las 13.983.816 combinaciones posibles que se pueden selecci onar. 1.1.- Principio de multiplicación Si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2 opciones para elegir un segundo objeto, …, nk opciones para elegir un k -ésimo -ésimo objeto, el número total de maneras de elegir los k objetos objetos es n1 n2 ... nk Ejemplo: Una marca de coches comercializa un determinado modelo en tres versiones: cinco puertas, tres puertas y familiar. El motor puede ser diésel o gasolina. Finalmente, hay disponibles cinco colores: rojo, blanco, gris, azul y verde. ¿Cuántos tipos de coches diferentes se fabrican del mismo modelo? De forma razonada, podemos deducir el principio de multiplicación y aplicarlo a este caso concreto: por cada versión del modelo podemos elegir dos motores diferentes y, a su vez, por cada motor podemos elegir entre cinco colores para la carrocería. Versión 3
Motor
2
Color
5
TOTAL
=
30
Se podrán fabricar 30 vehículos diferentes. 1.2.- Factorial de un número Definición: Sea n un número natural mayor que 1. Se llama factorial de n, y se representa por n!, al producto de los n primeros números naturales. Esto es,
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n! n ( n 1) ( n 2) ... 3 2 1
1.3.- Números combinatorios
m Definición: Se llama número combinatorio, y se representa por , al valor del n cociente
m m! n n!(m n)! El triángulo de Tartaglia o de Pascal representa estos números y nos permite encontrar su valor para cualesquiera m y n, siendo práctico solamente si m y n son menores de 10.
2.- Permutaciones 2.1.- Permutaciones ordinarias Dado un conjunto de n elementos, A {a1 , a2 ,..., an } , llamamos permutación de sus n elementos, o permutación ordinaria, a cada sucesión distinta que se pueda formar
con sus n elementos.
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Así pues, dos permutaciones ordinarias, o simplemente permutaciones, sólo difieren en el orden de sus elementos. El número de permutaciones que se pueden formar es: Pn n! n ( n 1) ( n 2) ... 2 1
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear en una fila cinco personas para una foto? P5 5! 120
2.2.- Permutaciones con repetición Supongamos que en cada permutación entran n elementos de los cuales el elemento a1 se puede repetir
el elemento a2 se puede repetir
… el elemento an se puede repetir de forma que
1
veces,
1 2
n
veces, veces,
2 ... n n . Entonces el número de permutaciones distintas que
se pueden formar es
Pn
1 , 2 ,..., n
n!
!
1 2
!... n!
Ejemplos: 1.- ¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar con la palabra mermelada ? El elemento m se repite 2 veces; el elemento e se repite 2 veces; el elemento a se repite otras 2 veces; además tenemos otros 3 elementos que sólo aparecen una vez. En total 9 elementos con repeticiones de 2,2,2. Permutaciones totales:
P9
2, 2,2
9! 2!2!2!
45360
2.- Se lanza una moneda al aire siete veces. ¿Cuántos resultados favorables hay de que salgan 3 caras y 4 cruces?
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P7
3, 4
7! 3!4!
35
3.- Variaciones 3.1.- Variaciones ordinarias Dado un conjunto de n elementos, A {a1 , a2 ,..., an } , llamamos variación ordinaria, o simplemente variación, de k elementos a cada sucesión distinta de k elementos que se pueda formar con los elementos de A. Así pues, dos variaciones difieren en el orden de sus elementos y en los elementos que las forman. k
El número de variaciones que se pueden formar se denota por V n y se lee variaciones de n elementos tomados de k en k y viene dado por el siguiente número: V n
n!
k
( n k )!
Obsérvese que si n=k las variaciones son permutaciones. De hecho, algunos autores llaman permutaciones de n elementos tomados de k en k a las variaciones. 3.2.- Variaciones con repetición Dado un conjunto de n elementos, A {a1 , a2 ,..., an } , llamamos variación con repetición de k elementos a cada sucesión distinta de k elementos que se pueda formar con los elementos de A de forma que cualquier elemento puede estar repetido hasta k veces. k
El número de variaciones que se pueden formar se denota por VRn , se lee variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k y viene dado por el
siguiente número: VRn n k k
Ejemplos: 1.- ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar con los números 1, 2 y 3?
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VR3 32 9 2
2.- Se lanzan un dado verde, otro rojo y otro azul al aire. Calcular el número de elementos del espacio muestral. VR6 63 216 3
3.- Se lanza una moneda al aire siete veces. ¿Cuántos resultados posibles hay? 7
7 VR2 2 128
4.- Combinaciones 4.1.- Combinaciones ordinarias Dado un conjunto de n elementos, A {a1 , a2 ,..., an } , se llama combinación ordinaria, o simplemente combinación, de k elementos a cualquier subconjunto que se pueda formar en A. Dos combinaciones serán distintas si tienen al menos un elemento diferente. El número de combinaciones de k elementos que se pueden formar de un conjunto de n elementos (o número de combinaciones de n elementos tomados de k en k ) viene dado por
n n! k C n k (n k )!k ! Ejemplo: De una baraja española de 40 cartas se extraen dos de ellas. ¿Cuántos casos favorables hay de que salgan dos oros? Hay 10 oros en la baraja y, puesto que el orden no influye en la extracción, serán combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2. Luego tendremos 10 10! 2 45 casos favorables. C 10 2 8 ! 2 ! 4.2.- Combinaciones con repetición
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Dado un conjunto de n elementos, A {a1 , a2 ,..., an } , se llama combinación con repetición de k elementos a cualquier subconjunto que se pueda formar en A repitiendo hasta k veces sus elementos Dos combinaciones serán distintas si tienen al menos un elemento diferente. El número de combinaciones con repetición de k elementos que se pueden formar de un conjunto de n elementos (o número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k ) viene dado por
n k 1 (n k 1)! k (n 1)!k !
CRn k
EJERCICIOS 1.
¿Cuántos resultados se pueden observar cuando se lanzan al aire tres monedas?
2.
Un estudiante tiene cuatro pantalones, ocho camisas, cinco jerseys y tres pares de zapatos. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir el estudiante?
3.
Un restaurante propone un menú en el que se pueden elegir entre cinco primeros platos, cinco segundos platos, cuatro postres y agua, vino o cerveza. ¿Cuántos menús distintos se pueden seleccionar?
4.
En una cadena de tiendas de aparatos electrónicos cada cliente puede diseñar su propio equipo de música. La cadena tiene disponibles componentes de las siguientes marcas: Amplificador: Kenwood, Pioneer, Sony, LG y Sherwood CD: Pioneer, Sony, LG y Techics Altavoces: Boston, Infinity y Polk Pletina: Sony, LG, Teac y Technis
El cliente puede formar su equipo eligiendo un elemento de cada tipo. (a)
¿De cuántas maneras puede diseñar el equipo?
(b)
¿De cuántas maneras se puede diseñar el equipo si se desea que el amplificador y el CD sean Sony?
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(c)
¿De cuántas maneras se puede diseñar el equipo si se desea que ningún componente sea Sony?
(d)
¿De cuántas maneras se puede diseñar el equipo si se desea que al menos un componente sea Sony?
5.
Un vehículo de reparto tiene que viajar a cinco pueblos distintos. ¿Cuántas rutas distintas puede llevar?
6.
¿De cuántas maneras se pueden sentar diez personas en un banco si hay cuatro sitios disponibles?
7.
Cinco matrimonios acuden juntos al teatro. El día anterior reservaron por teléfono diez butacas contiguas en una misma fila. Retiran las entradas y las reparten aleatoriamente entre los diez. Calcular: (a)
El número de formas en que se pueden sentar las diez personas.
(b)
El número de formas en que se pueden sentar las diez personas alternando los sexos.
(c)
El número de formas en que se pueden sentar las diez personas de manera que las cinco mujeres se sienten juntas.
(d)
El número de formas en que se pueden sentar las diez personas de manera que las cinco mujeres se sienten juntas y también los cinco maridos.
(e)
El número de formas en que se pueden sentar las diez personas alternando sexos de manera que cada marido se siente junto a su mujer.
8.
Cinco fichas rojas, dos blancas y tres azules se colocan en fila. Las de un mismo color no son distinguibles entre sí. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?
9.
Una caja contiene cuatro bombillas de 40 W, cinco de 60W y seis de 100 W. En una única extracción: (a)
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres bombillas de la caja?
(b)
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres bombillas de manera que exactamente dos de las bombillas sean de 100W?
(c)
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres bombillas de manera que al menos dos de las bombillas sean de 100W?
(d)
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres bombillas de manera que las tres tengan la misma potencia?
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(e)
¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres bombillas de manera que haya una de cada potencia?
10. De una baraja española de 40 cartas se hace una única extracción. (a)
¿De cuántas maneras es posible seleccionar 4 cartas?
(b)
¿De cuántas maneras es posible seleccionar 4 cartas siendo exactamente una de ellas un as?
(c)
¿De cuántas maneras es posible seleccionar 4 cartas siendo por lo menos tres de ellas ases?
(d)
¿De cuántas maneras es posible seleccionar 4 cartas siendo dos reyes y dos caballos?
(e)
¿De cuántas maneras es posible seleccionar 4 cartas siendo tres reyes y un caballo?
11. De una baraja española se extraen cuatro cartas y se quiere contar de cuántas maneras, M , es posible seleccionar al menos un as. El cálculo anterior se ha hecho de tres formas distintas:
Forma 1:
4 36 4 M 1 3 2
Exactamente 1 as.
36 4 2 3
Exactamente 2 ases.
36 4 36 1 4 0
Exactamente 3 ases.
Forma 2:
40 36 4 4
M
Formas de seleccionar 4 cartas de entre 40 cartas.
Formas de seleccionar 4 cartas de entre 36 cartas que no son ases.
Forma 3:
4 39 M 1 3
Formas de seleccionar 1 as de entre los 4 ases.
Formas de seleccionar 3 cartas de entre 39 cartas restantes.
Exactamente 4 ases.
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¿Son correctos todos los anteriores conteos? De no ser así, ¿cuáles son correctos y cuáles no? ¿Por qué? 12. ¿Cuántos ramos distintos, referente a la variedad, pueden formarse con flores de cinco variedades diferentes?
13. Dispones de los dígitos 1, 2 y 3. ¿Cuántos números distintos de 10 cifras puedes formar con ellos? ¿Cuántos de estos números están formados exactamente por tres unos y cinco doses?
14. El gerente de una empresa tiene a su cargo nueve analistas de sistemas. Necesita elegir a cuatro para realizar un trabajo T1, a tres para ejecutar un trabajo T2 y a dos para un trabajo T3. ¿De cuántas formas se puede hacer la asignación del trabajo? Si Pedro y Juan obligatoriamente van a ser asignados al T1 y María al T2, ¿de cuántas maneras se puede hacer esta nueva asignación
SOLUCIONES: 1. 8 resultados diferentes. 2. 480 formas de vestirse. 3. 300 menús diferentes. 4. a) 240
b) 12
c) 144
d) 96
c) 86400
d) 28800
e) 240
5. 120 rutas diferentes. 6. 5040 7. a) 3628800
b) 28800
8. 2520 colocaciones. 9. a) 455
b) 135
c) 155
d) 34
e) 120
10. a) 91390
b) 28560
c) 145
d) 12
e) 16
11. Forma 1 y forma 2 son correctas. En el razonamiento de la forma 3 se contabilizan combinaciones por duplicado. 12. 31 ramos. 13. 59049; 2520. 14. 1260; 90.