Aref Antar Neto José Luiz Pereira Sampaio Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte
COMBINATÓRIA MATRIZES E D ETERMI ETE RMI NA NT ES Noções de Matemática
VOLUME 4
Capa : Annysteyne Maia Chaves
CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte. Câmara Brasileira do Livro, SP
C724
Combinatória, matrizes e determinantes: 2º grau / Aref Antar Neto. (et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. (Noções de matemática; v.4) Suplementado por manual do professor. 1. Determinantes 2. Matemática (2º grau) 3. Matrizes I. Antar Neto, Aref, 1949 -
17. CDD – 512.896 18. – 512.943 17. – 512.83
79-1367
Índices para catálogo sistemático: 1. Determinantes: Álgebra 512.83 512.83 (17.) 512.943 (18.) 2. Funções: Álgebra 512.896 (17.) 512.943 (18.)
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Índice Parte I Capítulo 1. O conceito de matriz ...........................................................................11
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
― Matriz.........................................................................................11 ― Ordem de uma matriz ................................................................11 ― Matriz Quadrada........................................................................12 ― Notação geral ............................................................................12 ― Diagonal principal – diagonal secundária ..................................13 ― Algumas matrizes importantes...................................................16 ― Igualdade de matrizes ...............................................................18
Capítulo 2. Operações com matrizes ..................................................................21
2.1 2.2 2.3 2.4
― Adição de matrizes ....................................................................21 ― Multiplicação de uma matriz por um número real ......................24 ― Multiplicação de matrizes ..........................................................31 ― A matriz inversa.........................................................................47
Exercícios Suplementares .........................................................60
Parte II Capítulo 3. Cálculo de determinantes ..................................................................65
3.1 3.2 3.3 3.4
― Definições..................................................................................65 ― Menor e cofator..........................................................................69 ― Definição de determinante.........................................................70 ― Teorema de Laplace..................................................................72
Capítulo 4. Propriedades dos determinantes ......................................................77
4.1 ― Determinante da matriz transposta............................................77 4.2 ― Troca de filas ............................................................................. 78 4.3 ― Filas iguais.................................................................................80 4.4 ― Fila nula ..................................................................................... 81 4.5 ― Multiplicação de uma fila por uma constante.............................82 4.6 ― Filas proporcionais.....................................................................83 4.7 ― Adição de determinantes ........................................................... 89 4.8 ― Teorema de Cauchy .................................................................. 94 4.9 ― Adição de filas ........................................................................... 96 4.10 ― Abaixamento da ordem de um determinante...........................111 4.11 ― A matriz de Vandermonde ....................................................... 115
Capítulo 5. Outros temas importantes ................................................................121
5.1 ― Determinante do produto de matrizes......................................121 5.2 ― Comatriz...................................................................................121 5.3 ― Matrizes invertíveis .................................................................. 123 Exercícios Suplementares ...................................................... 129
Parte III Capítulo 6. Generalidades ................................................................................. 135
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
― Equações lineares ................................................................. 135 ― Sistema de equações lineares ............................................... 137 ― Expressão matricial de um sistema linear.............................. 139 ― Classificação de um sistema linear........................................ 142 ― Sistemas de Cramer .............................................................. 143
Capítulo 7. Resolução de sistemas lineares: o escalonamento ..................... 149
7.1 7.2 7.3 7.4
― Sistemas equivalentes ........................................................... 149 ― Sistemas escalonados ........................................................... 153 ― Método de eliminação de Gauss............................................ 156 ― Sistemas homogêneos de equações lineares........................ 167
Capítulo 8. Outros temas importantes .............................................................. 177
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
― Operações elementares sobre linhas .................................... 177 ― Matrizes equivalentes por linhas............................................ 177 ― Matriz escalonada.................................................................. 178 ― Característica de uma matriz ................................................. 180 ― Teorema de Rouché-Capelli .................................................. 183
Exercícios Suplementares ..................................................... 189
Parte IV Capítulo 9. Processos básicos de contagem ................................................... 193
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
― Introdução .............................................................................. 193 ― Diagramas de árvore ............................................................. 199 ― Princípio fundamental da contagem (regra do produto)......... 203 ― O problema do número de subconjuntos ............................... 215 ― O problema do número de funções........................................ 217 ― O problema do número de divisores ...................................... 219
Capítulo 10. Fatorial ......................................................................................... .. 222
10.1 ― Definição ................................................................................ 222 10.2 ― Função fatorial ....................................................................... 223
Capítulo 11. Combinações simples e arranjos simples ...................................230
11.1 ― Introdução e conceitos iniciais................................................230 11.2 ― Definições...............................................................................231 11.3 ― Arranjo ou combinação?.........................................................234 Capítulo 12. Cálculo do número de arranjos e combinações .........................237
12.1 ― Introdução...............................................................................237 12.2 ― Cálculo do número de arranjos...............................................237 12.3 ― Cálculo do número de combinações.......................................242 Capítulo 13. Problemas de arranjos e combinações .......................................247
13.1 ― Os problemas gerais...............................................................247 13.2 ― O problema do número de funções injetoras..........................259 13.3 ― O problema do número de submatrizes e menores................262 Capítulo 14. Permutações simples ....................................................................264
14.1 ― Definição.................................................................................264 14.2 ― O problema do número de funções bijetoras..........................272 Capítulo 15. Permutações com repetição .........................................................274
15.1 ― O conceito .............................................................................. 274 15.2 ― Cálculo do número de permutações com repetição................274 Exercícios Suplementares ...................................................... 279
Parte V Capítulo 16. Números binomiais ........................................................................283
16.1 ― Introdução...............................................................................283 16.2 ― Definição de número binomial ................................................ 283 16.3 ― Soma dos números binomiais de mesmo numerador.............284 16.4 ― Números binomiais complementares......................................286 16.5 ― Números binomiais consecutivos ........................................... 290 16.6 ― Relação de Stifel.....................................................................292 Capítulo 17. O triângulo de Pascal ....................................................................296
17.1 ― O triângulo de Pascal ............................................................. 296 17.2 ― Uma nota histórica..................................................................299
Capítulo 18. Binômio de Newton ................................................................. ...... 301
18.1 ― Introdução: como desenvolver x an ................................. 301
18.2 ― Desenvolvimento de x an ................................................. 303 18.3 ― Fórmulas do termo geral........................................................ 307 18.4 ― Algumas aplicações do Binômio de Newton .......................... 313 Exercícios Suplementares ..................................................... 317
Parte VI Capítulo 19. Complementos da análise combinatória..................................... 321
19.1 ― Permutações circulares ......................................................... 321 19.2 ― Arranjos com repetição .......................................................... 324 19.3 ― Combinações com repetição.................................................. 327 Exercícios Suplementares ..................................................... 333
Parte VII Capítulo 20. Noções de probabilidade.............................................................. 337
20.1 ― Experimento aleatório – resultados equiprováveis................. 337 20.2 ― Espaço amostral – evento...................................................... 338 20.3 ― Probabilidade................................................................... ...... 341 Capítulo 21. Soma de probabilidades ............................................................... 351 Capítulo 22. Produto de probabilidades ........................................................... 357
22.1 ― Exemplos iniciais ................................................................... 357 22.2 ― Probabilidade condicional ...................................................... 359 22.3 ― Probabilidade da interseção................................................... 362 Capítulo 23. Distribuição binomial .................................................................... 369
23.1 ― Introdução....................................................................... ....... 369 23.2 ― Expressão da distribuição binomial........................................ 371 Exercícios Suplementares ..................................................... 375 Respostas dos exercícios propostos ..................................... 377 Respostas dos exercícios suplementares.............................. 421
1.1 – MATRIZ A uma tabela de números, dispostos em linhas e colunas , colocados entre “colchetes”, damos o nome de matriz. Os números que a constituem são seus elementos.
Exemplos 4 2 7 2º) 3 1 2 2
1 2 linha 1º) 0 3
coluna
3 2 0 3 4º) 1 1 2 1 12
1 1 2 6 2 3º) 1 4 7 3 10 3 5 6
As linhas são numeradas de “cima para para a direita”, assim: 2 6 1 6 7 1 3 0 2 0 6 1 5
baixo” e as colunas, “da esquerda 1º linha 2º linha 3º linha 4º linha
1º 2º 3º coluna coluna coluna
1.2 – ORDEM DE UMA M MATRIZ ATRIZ A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e o número de colunas que a constituem. Para indicá-la, escreve-se em primeiro lugar o número de linhas e, em seguida, o número de colunas, colocando-se entre esses dois números o sinal
No 1º exemplo a matriz é de ordem 2 2 (lê-se: “dois por dois ”); ”); no 2º exemplo, a matriz é de ordem 2 3 (lê-se: “dois por três ”); ”); no 3º exemplo, a matriz é de ordem 3 4, e, no 4º exemplo, a matriz é 4 2. Podemos então dizer que uma matriz de ordem m n, ou simplesmente matriz m n, é uma tabela de números distribuídos em m linhas e n colunas. Observe, então, que o número de elementos que a constituem é m · n.
1.3 – MATRIZ QUADRADA Matriz quadrada é uma matriz constituída pelo mesmo número de linhas e colunas. Se uma matriz quadrada é de ordem n n, isto é, possui n linhas e n colunas, diz-se que ela é uma matriz quadrada de ordem n. Exemplos 1º) A matriz A 3 é quadrada de ordem 1. 1 4 B 2º) A matriz 4 2 é quadrada de ordem 2.
7 3 3 3º) A matriz C 2 0 5 é quadrada de ordem 3. 1 9 14
1.4 – NOTAÇÃO GERAL Para representarmos a matriz A, m n, indicamos cada um de seus elementos com uma letra minúscula afetada de dois índices, que indicam a posição ocupada por este elemento na matriz. Assim, um elemento genérico da matriz A será representado por: aij O primeiro índice, i, indica a linha a que esse elemento pertence, e o segundo índice, j, a coluna a que esse elemento pertence:
A
aij
i-ésima linha
j-ésima coluna
Exemplos 1º) Na matriz de ordem 2 3: a a a A 11 12 13 a21 a22 a23
a11 (lê-se: “a um um ”) ”) é o elemento que ocupa a 1a linha e a 1a coluna; a12 (lê-se: “a ”) é o elemento que ocupa a 1ª linha e a 2ª coluna; a 23 (lê-se: “a dois três ”) ”) um dois ”) é o elemento que ocupa a 2ª linha e a 3ª coluna. 2º) Na matriz
8 1 B 2 3 , tem-se: 3 2 a11 = 8, a12 = 1, a21 = 2, a22 = 3, a31 = 3 e a32 = –2. Em geral, a matriz A, de ordem m n, é representada por:
a11 a 21 A a31 ... a m1
a12 a22 a32 ... am2
a13 a23 a33 ... am 3
... ... ... ... ...
a1n a2n a3n ... amn
ou, com a notação abreviada :
A aij mn
1.5 – DIAGONAL PRINCIPAL – DIAGONAL SECUNDÁRIA Em uma matriz quadrada:
A aij nn o conjunto de seus elementos aij, tais que i = j, chama-se diagonal principal; o conjunto de elementos elementos tais que i + j = n + 1 chama-se diagonal secundária:
a11 a 21 A a31 ... a n1 a11 a 21 A a31 ... an1
a12 a22 a32 ... an2
a13 a23 a33 ... an3
a12 ... a1,n 2 a22 .. ... a2,n 2 a32 ..... a3,n-2 ... ... ... an2 ... an,n 2
... ... ... ... ...
a1n a2n a3n ... ann diagonal principal
a1,n 1 a1n diagonal secundária a2,n-1 a2n a3,n 1 a3n ... ... an,n 1 ann
Exercícios Resolvidos 1.1)
Seja a matriz:
1 3 7 0 4 1 A 4 3 2 7 2 5 a) b) c) d)
Qual é a sua ordem? Quantos elementos ela possui? Complete: a41 = ... a22 = ... a32 = ... a13 = ... Se aij = 0, então i = ... e j = ...
Solução a) b) c) d) 1.2)
A matriz é constituída por 4 linhas e 3 colunas, sua ordem é 4 3. Ela possui 4 · 3 = 12 elementos. a41 = 7, a22 = 4, a32 = 3 e a13 = 7. Na matriz, a21 = 0 e daí, i = 2 e j = 1.
Construa a matriz A aij 33 para a qual aij = i2 – j.
Solução Observe que a definição dada: aij = i2 – j indica como se obtém um elemento qualquer de A: eleva-se o seu primeiro índice ao quadrado e desse quadrado subtraímos o seu segundo índice , então: 2 2 2 a11 a12 a13 1 1 1 2 1 3 0 1 2 A a21 a22 a23 22 1 22 2 22 3 3 2 1 . a31 a32 a33 32 1 32 2 32 3 8 7 6 1.3)
Construa a matriz A aij 44 para a qual:
i j, se i j aij 1, se i j 0, se i j
Solução Observe que na matriz quadrada de ordem 4:
a11 a A 21 a31 a 41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a 44
os elementos para os quais i = j pertencem à diagonal principal , e eles todos são iguais a 1; aqueles para os quais i < j estão “acima da diagonal principal”, e para calculá-los somamos os seus índices; e, aqueles para os quais i > j estão “abaixo da diagonal principal”, e eles todos são iguais a zero. Então: 1 3 4 5 0 1 5 6 A 0 0 1 7 0 0 0 1
Exercícios Propostos 1.4)
Seja a matriz de ordem m n: 600 621 ... 517 407 440 ... 330 A aij mn ... ... ... ... 706 850 ... 1000 a) Quantos elementos ela possui? b) Complete: a21 = ... am2 = ... a1n = ... amn = ...
1.5)
Uma matriz possui 6 elementos. Qual é a sua ordem?
1.6)
Numa matriz quadrada de ordem n quantos elementos não pertecem à diagonal principal ?
1.7)
Numa matriz, chama-se elementos internos aqueles que não pertecem à primeira ou à última linha ou coluna. Quantos elementos internos possui uma matriz 5 6?
1.8)
Construa a matriz A aij 32 para a qual aij = 3i – j2.
1.9)
Construa a matriz A aij 44 para a qual:
i, se i j aij 0, se i j j, se i j 1.10) O símbolo delta de Kroneecker é definido por:
0, se i j ij 1, se i j Construa a matriz A aij 34 para a qual aij = 3i + j2 · ij.
1.11) Seja a matriz quadrada de ordem n: A aij nn. Denomina-se traço da matriz A à soma a11 + a22 + a33 + ... + ann dos elementos da diagonal principal de A, indica-se: n
tr(A) a11 a22 a33 ... ann aii i1
Considere a matriz A aij 33 para a qual aij = i · j; determine tr(A).
1.6 – ALGUMAS MATRIZES IMPORTANTES 1º) Matriz linha É a matriz constituída por uma única linha.
Exemplos a) A = [–1 3] b) B = [4 4 –5 2]
2º) Matriz coluna É a matriz constituída por uma única coluna.
Exemplos 0 a) A 3 2
1 2 0 b) B 7 2 0
3º) Matriz diagonal É a matriz quadrada na qual os elementos que não pertecem à diagonal principal são iguais a zero.
Exemplos 2 0 0 a) A 0 -1 0 0 0 6
0 0 0 c) C 0 0 0 0 0 0
7 0 b) B 0 0
0 5 0 0
0 0 0 0
0 0 0 8
4º) Matriz identidade É toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Será representada por I. Por exemplo:
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
1 0 I 0 1
Se quisermos colocar em evidência que a sua Assim: 1 0 1 0 I2 I3 0 1 0 1 0 0
ordem é n, escrevemos
In.
0 0 1
Para a matriz identidade In aij nn tem-se:
1, se i j aij ij 0, se i j 5º) Matriz nula É a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Será representada por O. Por exemplo: 0 0 0 0 0 0 O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Se quisermos colocar em evidência a sua ordem, escrevemos Omn. Assim:
0 0 0 O23 0 0 0 6º) Matriz transposta Seja a matriz A. Chama-se matriz transposta de A à matriz obtida de A, trocando-se, “ordenadamente” suas linhas por colunas (ou, o que conduz ao mesmo resultado: trocando-se suas colunas por linhas). t Indica-se a matriz transposta de A por A .
Exemplo 2 Se A 1
2 4 6 então At 4 3 0 6
1 3 0
Se A aij mn então A t bij nm onde
para todo i, l i m bij a ji para todo j, l j n
1.7 – IGUALDADE DE MATRIZES Elementos correspondentes Sejam as matrizes A e B de mesma ordem m n. Um elemento a da matriz A e um elemento b da matriz B dizem-se correspondentes se eles ocuparem a mesma posição nas respectivas matrizes .
Exemplo Nas matrizes de mesma ordem 2 2:
a a b b A 11 12 e B 11 12 a21 a22 b21 b22 os elementos a11 a12 a21 a22
e e e e
b11 b12 b21 b22
são correspondentes. Observe que, na notação, elementos correspondentes tem índices iguais.
Definição As matrizes A e B são iguais, se, e somente se, tem mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais, indica-se: A = B Então:
A aij mn
B bij pq
m p e n q A B para todo i, l i m a b ij ij para todo j, l j n
