CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Chaman Cristian Alexander Camala Camala Nina
25 de diciembre de 2017
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
25 de diciembre de 2017
Índice Contenido
1.
PRESENTACIÓN .................................................................................................................... 3
2.
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 4
3.
DEFINICIÓN ........................................................................................................................... 5 ........................................................................................... 5 ............................................................................................ 5 ............................................................................................... 6
Si P (c, ƒ (c)) es un punto de inflexión de ƒ y si existe ƒ ''(x)=0. ................................ 6 ........................................................................................................................ 6
ƒ
є Si ƒ ''(x) < 0 para todo x є a, b, entonces, ƒ es
Si ''(x) > 0 para todo x (a, b), entonces, ƒ es
en (a, b).
7
en (a, b). . 7
4.
OBSERVACIÓN ...................................................................................................................... 8
5.
EJERCICIOS DESARROLLADOS ......................................................................................... 10
EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................................................................................ 18 6.
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 19
Diapositivas ............................................................................................................................... 19
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1. PRESENTACIÓN En el presente trabajo titulado: “ Concavidad y Puntos de Inflexión” muestra la aplicación de la segunda derivada. Se ha incluido definiciones, teoremas, ejercicios desarrollados y ejercicios propuestos. La parte teórica se desarrolla de manera metódica, para el buen entendimiento del lector. La parte práctica se muestra ejercicios que se han desarrollado de manera explicativa guiado paso a paso para llegar al resultado final. Por medio de este trabajo podemos observar que será aplicado a lo largo de nuestra carrera y nos sirve como base aprender las diferentes aplicaciones de la derivada.
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2. INTRODUCCIÓN Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función ƒ cuya gráfica aparece en la figura. Note en primer lugar que la curva que ƒ representa, tiene tangente en todos sus puntos.
pero diferentes de x1, la curva se de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva en el punto x1.
Se observa que en los puntos “cercanos” a
encuentra por es
x1,
pero diferentes de x2, de la recta tangente. Se dice en este caso en el punto x2.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a
la curva se encuentra por que la curva es
x2,
El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de de la curva.
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3. DEFINICIÓN Sea ƒ una función derivable en un punto c .
ƒ
Sea ƒ una función derivable, si P (c, (c)) es un punto de la gráfica y si existe un intervalo abierto (a, b) sobre el eje X y c (a, b), tal que para todo (a, b). Si el punto Z ( (x)) correspondiente a la gráfica está por arriba de la recta tangente en , entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en P.
x ≠ c, xє
x, ƒ
є
Pc,ƒc
c, ƒ x, ƒ
Sea ƒ una función derivable, si P ( (c)) es un punto de la gráfica y si existe un intervalo abierto (a, b) sobre el eje X y c a, b) , tal que para todo (a, b). Si el punto Z ( (x)) correspondiente a la gráfica está , entonces la gráfica es por debajo de la recta tangente en cóncava hacia abajo en P.
x ≠ c, xє
є
Pc,ƒc
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c, ƒ c
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Un punto P ( de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo abierto (a, b) y c a, b) tal que la gráfica de ƒ sea cóncava hacia arriba sobre (a, c) y cóncava hacia abajo sobre (c, b) o recíprocamente.
є
Si P (c, ƒ (c)) es un punto de inflexión de ƒ y si existe ƒ ''(x)=0.
Sea ƒ una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto (a, b). Entonces:
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ƒ
є
Si ''(x) > 0 para todo x (a, b), entonces, ƒ es en (a, b).
є
Si ƒ ''(x) < 0 para todo x (a, b), entonces, ƒ es en (a, b).
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4. OBSERVACIÓN En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que “hay inflexión” sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura indica esta posibilidad. Allí se muestra inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.
ƒ
ƒ
ƒ
Note que los puntos A (c1, (c1)), B (c2, (c2)), C (c3, (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales . “candidatos” v iables para ser
o
, son
Puede suceder que, para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que y, sin embargo, el punto P (c, (c)) no es punto de inflexión.
ƒ ’’c = 0
ƒ
ƒ
Considere, por ejemplo, la función definida por: (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la figura:
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ƒ
ƒ’
Como (x) = x4, (x) = 4x3,
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ƒ ’’ x =12 x
ƒ ’’
ƒ
Para c = 0, se tiene: 0) = 12(0) 2=0; sin embargo el punto P (0, 0))= P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x=0, ''(x) > 0 y no cambia la concavidad de la curva.
ƒ
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5. EJERCICIOS DESARROLLADOS Determinar los intervalos en donde la función es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión.
ƒ = 3 10 12 + 10 + 9 SOLUCIÓN
ƒ = 3 10 12 + 10 + 9 => = 12 30 24 +10 => ′ = 36 60 24 ′ = 0 para determinar los puntos de inflexión 36 60 24 = 0 123 12 2 = 0 3 12 2 = 0 1 2 1 = 2 puntos de inflexión 3 de donde: = 3 < , > 0 => es cóncava hacia arriba en < ∞, > Para Para < < 2, < 0 => es cóncava hacia abajo en < ,2 > > 2, > 0 => es cóncava hacia arriba en < 2,+∞ > Para
1 〈∞, 〉 3 〈 13 ,2〉 〈2,+∞〉
>0
Cóncava hacia arriba
<0
Cóncava hacia abajo
>0
Cóncava hacia arriba
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ƒ = 2 + + 1 SOLUCIÓN
ƒ = 2 + + 1 => = 3 4 + 1 => ′ = 3 1 1 ′ = 0 para hallar los valores críticos 3 1 1 = 0 = 13 , = 1 1 1 3 => = 6 4 => = 23 2 ′′ = 0 para hallar los puntos de inflexión 23 2 = 0 2 de donde: = punto de inflexión 3 < , < 0 => es cóncava hacia abajo en < ∞, > Para Para > , < 0 => es cóncava hacia arriba en < ,+∞ >
2
〈∞, 3〉 〈23 ,+∞〉
<0
Cóncava hacia abajo
>0
Cóncava hacia arriba
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ƒ = 5 SOLUCIÓN
ƒ = 5 => ƒ′ = 5 15 => ƒ′ = 5 3 = 0 para hallar los valores críticos 5 3 = 0 = 0 , = ±√ 3 √ 3 0 +√ 3 => ƒ′′ = 20 30 => ƒ′′ = 102 3 ′ = 0 para determinar los puntos de inflexión 102 3 =√ 0 de donde: = 0 , = ± puntos de inflexión √ 26
0
+ √ 26
< √ , < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈∞, √ 〉 Para √ < < 0, > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈 √ ,0〉 Para 0 < < + √ , < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈0, √ 〉 Para > √ , > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈√ ,+∞〉 Para
〈∞, √ 6 〉 〈 √ 26 ,〉 〈0, √ 26 〉 〈√ 26 ,+∞〉
<0 >0 <0
Cóncava hacia arriba
>0
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo
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6 ƒ = 9
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SOLUCIÓN
6 ƒ = 9 12 4 => = 9 = 0 para hallar los valores críticos 12 4 = 0 9 43 = 0 = 0 , = ±√ 3 √ 3 0 +√ 3 12 2 => ′ = 9 ′ = 0 para hallar los puntos de inflexión 122 = 0 de donde: = ±1 puntos de inflexión
1
+1
Para < 1, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈∞,1〉 Para 1 < < 1 > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈1,1〉 Para > 1, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈1,+∞〉
〈∞,1〉 〈1,1〉 〈1,+∞〉
<0
Cóncava hacia abajo
>0
Cóncava hacia arriba
<0
Cóncava hacia abajo
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ƒ = + 1
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SOLUCIÓN
ƒ = + 1 1 => = + 1 = 0 para hallar los valores críticos 1 = 0 + 1 = ±1 1 1 3] 2[ => ′ = + 1 ′ = 0 para hallar los puntos de inflexión 2[ 3] = 0 + 1 de donde: = 0, = ±√ 3 puntos de inflexión √ 3
0
√ 3
< √ 3, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈∞,√ 3〉 Para √ 3 < < 0 > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈√ 3,0〉 Para < 0 < √ 3 < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈0, √ 3〉 Para > √ 3, > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈√ 3 ,+∞〉
Para
〈∞,√ 〉 〈√ 3,〉 〈0, √ 3〉 〈√ 3,+∞〉
<0 >0 <0 >0
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
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ƒ = 1 SOLUCIÓN
ƒ = 1 2 => = 5 1 = 0 para hallar los valores críticos 2 = 0 1 0 1 5 1 = 0 = ±1 es un punto de discontinuidad + 5 23 => = 25 1 ′ = 0 para hallar los puntos de inflexión + 5 23 = 0 25 1 de donde: = ±1 puntos de inflexión 1
+1
Para < 1, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈∞,1〉 Para 1 < < 1 > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈1,1〉 Para > 1, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈1,+∞〉
〈∞,1〉 〈1,1〉 〈1,+∞〉
<0
Cóncava hacia abajo
>0
Cóncava hacia arriba
<0
Cóncava hacia abajo
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= 4 −
SOLUCIÓN
= 4 − − 2 => = 4 => = 0 para hallar los valores críticos 2− = 0 4 = 2 = 4 ue es unto de discontinuidad − 2 1 => ′ = 4 => ′ = 0 2 1 − = 0 = 0, = 1, = 2 4 de donde:
Si Si Si Si
4
0,0,1, ,2, son los puntos de inflexión 0
Si
2
1
2
4
< 0, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈∞,0〉 0 < < 1, > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈0,1〉 1 < < 2, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈1,2〉 2 < < 4, > 0 => es cóncava hacia arriba en 〈2,4〉 > 4, < 0 => es cóncava hacia abajo en 〈4,+∞〉
〈∞,〉 〈,〉 〈,〉 〈,〉 〈,+∞〉
<0 >0 <0 >0 <0
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
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44 = + 4 SOLUCIÓN 44 = + 4 + 4 164 + 4 8 => ′ = + 4 12 8 => ′ = + 4 => = 0 para hallar los valores críticos 8 12 = 0 + 4 = ±2√ 3 , = 0 2√ 3 0 +2√ 3 96 + 4 38 96 + 4 2 24 => ′′ = + 4 24 + 16 24 => ′′ = + 4 => ′ = 0 para determinar los puntos de inflexión 24 24 + 16 = 0 = 2√ 2 2, = 2 2√ 2 + 4 = 2√ 2 2, = 2√ 2 +2
2√2 2 2 2√2 2√22 2√2+2
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〈∞,√ 〉 〈√ , √ 〉 〈 √ ,√ 〉 〈√ ,√ + 〉 〈√ + ,+∞〉
<0 >0 <0 >0 <0
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Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Determinar los intervalos en donde la función es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión.
= 3 6 = 9 = + 1 + 1 = + 1 1 4 = + 8 + 16 = − = = tan− + 3 = √ + 1 = 2 4 = sin +cos = +2 4 √ 4 = ( + 1) − 1 2tan = 3 + 3 tan− 1
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6. BIBLIOGRAFÍA ESPINOZA RAMOS, E. (2009): Análisis Matemático I. Editora EdukPeru E.I.R.L. Lima. http://www.damasorojas.com.ve/CRITSEGDER.pdf Tema: Criterio de la segunda derivada. http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf Tema: Concavidad y puntos de inflexión de una función. http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/graficofunciones.php#functions Graficador de funciones.
