Conduccion en Estado Transitorio

Conducción en estado transitorio David Fuentes Díaz

Escuela de Ingeniería Mecánica Universidad Industrial de Santander

Conducción transitoria

Introducción

• Probl roblem emas as que que dep depen ende denn del del tiem tiempo po – Surgen cuando cambian las condiciones de frontera • Es un un fenó fenóme meno no tra trans nsititor orio io:: – Hasta que se alcanza nuevamente el equilibrio equilibrio (condiciones de estado estable) –

– Se debe resolver la ecuación de conducción de calor en forma general. • Se obti obtienen enen solucio soluciones nes particul particulares ares a problem problemas as simplificados

Marzo 201 20111 - Esc Ing Mecanica Mecanica UIS

Transferencia Transferencia de calor por conducción transitoria

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Introducción

• Probl roblem emas as que que dep depen ende denn del del tiem tiempo po – Surgen cuando cambian las condiciones de frontera • Es un un fenó fenóme meno no tra trans nsititor orio io:: – Hasta que se alcanza nuevamente el equilibrio equilibrio (condiciones de estado estable) –

– Se debe resolver la ecuación de conducción de calor en forma general. • Se obti obtienen enen solucio soluciones nes particul particulares ares a problem problemas as simplificados



2


Resistencia interna despreciable

• El sóli sólido do se cons consid ider eraa como como un punto punto:: cap capac acita itanc ncia ia concentrada – Ejemplo: temple de una pieza

• En t=0, T pieza= T , para t>0 la temperatura de la pieza cambia hasta que T=T ∞ (se detiene la transferencia de ca or • Temp Temper eratu atura ra del del sóli sólido do es es uni unifor forme me en cual cualqu quie ierr tiem tiempo po.. – Gradientes de temperatura son insignificantes dentro del cuerpo – No se tiene en cuenta la conducción de calor al interior del cuerpo – De acuerdo a la ley de Fourier esto se puede alcanzar si la conductividad del sólido es infinita. • Caso real: k es de valor valor finito finito,, pero pero la resistencia resistencia térmica térmica interna interna del sólido puede ser mucho menor que la resistencia térmica del sólido y la interfase. Marzo 201 20111 - Esc Ing Mecanica Mecanica UIS


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Resistencia interna despreciable Caso práctico: Cuerpos de pequeñas dimensiones y conductividad elevada E sale Temperatura del sólido es uniforme: T = T (t )

Ecuación general: E entra -E sale = ∆E sistema dT

− ρ ⋅ V ⋅ C ⋅

dt

− ρ ⋅ V ⋅ C ⋅

= ∆ E sistema E sale = h ⋅ A ⋅ (T − T ∞ )

dt

= E sale = h ⋅ A ⋅ (T − T ∞ ) ⇒

T(t)

T − T ∞

=−

⋅

ρ ⋅ C ⋅ V

dt

Integrando y aplicando la condición inicial de T=T i en t=0: T

dT

T i

T − T ∞

∫

θ θ i

=

=−

t

A ⋅ h

∫ ρ ⋅V ⋅ C

T − T ∞ T i − T ∞

0

−

=e

A⋅h

t ρ ⋅V ⋅C


dt ⇒ ln

−

=e

T − T ∞ T i − T ∞

t

τ

τ =

=−

h, T ∞

A ⋅ h

t ρ ⋅ V ⋅ C

ρ ⋅V ⋅ C A ⋅ h

(tiempo característico)


4



• Calo Calorr inter interca camb mbia iado do dur duran ante te el proc proces esoo tra trans nsito itoririoo  −τ t   −τ t  E (t ) = −m⋅ C t = ∫ A⋅ h⋅θ ⋅ dt = ρ ⋅V ⋅C ⋅θ i ⋅1−e  = E i ⋅ 1−e  p ⋅ ∫ dT =∫ q ⋅ A⋅ d 0 0 o     T

t

t

Siendo Ei la variación de energía interna que sufriría la pieza si llegase al equilibrio .

θ θ i

0 Marzo 201 20111 - Esc Ing Mecanica Mecanica UIS

E E

−

= 1− e

t

τ

E i = ρ ⋅V ⋅ C ⋅θ i

Ei

t Transferencia Transferencia de calor por conducción transitoria

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• Influencia de

θ θ i

τ

τ =

⋅ V ⋅ C

A ⋅ h

0

θ θ i τ =

=

T − T ∞ T i − T ∞

ρ ⋅ V ⋅ C A ⋅ h

−

=e

A⋅h

t ρ ⋅V ⋅C

= R t C t

−

=e

t

t

τ

R t =Resistencia de calor por convección C t =Resistencia interna del sólido (despreciable)

Al aumentar Rt o Ct el sólido responde más lentamente Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS

Transferencia de calor por conducción transitoria

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• Validez del modelo (PARÁMETROS ADIMENSIONALES) Comparación entre la variación de temperatura en el interior de la pieza (conducción) con la variación de temperatura en el fluido. T

Ts,1

Qcond

Qcon

Bi<<1 Bi≈1

Ts,2

Bi>>1

En condiciones estacionarias, el calor que se transmite por conducción en la placa ha de ser igual al que se transmite por convección entre la superficie de la placa y el fluido en contacto con ésta

k placa ⋅ A L

Ts,2

T s ,1 − T s , 2

Ts,2

T s , 2 − T ∞

(T s ,1 − T s , 2 ) = h ⋅ A(T s , 2 − T ∞ ) =

L k placa ⋅ A

1 h ⋅ A

=

Rconduc. Rconvec.

=

h ⋅ L k placa

L x

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Número de Biot: Bi=

h ⋅ L k solido


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• Evolución de temperaturas en función del valor del numero de biot.

,

T x,0 =T ∞

T(x,0)=Ti

h, T∞

-L

L x


-L

L Bi<<1 T=T(t)

-L

L Bi= 1 T=T(x,t)

-L

L Bi>>1 T=T(x,t)


8


Resistencia interna despreciable Se considera adecuada la utilización del modelo de temperatura uniforme si Bi<<0.1

Bi =

h ⋅ Lcarac. k

   pared plana (e = 2 L) → Lcarac. = L    r o  V  ⇒ Lcarac. = ⇒ cilindro muy l arg o (r o ) → Lcarac. =  2 Aint ercambio  r   es era r o → carac. = 3  

En la práctica la solución de temperatura uniforme es aceptable en las siguientes condiciones: Placas: Bi<0.1 Cilindro: Bi<0.05 Esferas: Bi<0.03

(Diferencia de temperatura entre superficie y centro inferior al 5%)



9


Resistencia interna despreciable El modelo de temperatura uniforme anteriormente desarrollado se puede caracterizar en función del parámetro adimensional de Biot :

θ θ

−

=e

A⋅h

ρ ⋅V ⋅C p

⋅t

−

=e

h⋅ Lc k

⋅

k

⋅

t

ρ ⋅C p Lc ⋅ Lc

 h ⋅ Lc  = Bi  k  θ − Bi ⋅ Fo ⇒ =e ⇒ ⋅ t θ o =  L2c 

=e

− Bi⋅ Fo

Generándose de esta forma un nuevo número adimensional, número de Fourier, Fo , tiempo adimensional característico del transitorio .



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• Solución de problemas: – Dadas unas condiciones iniciales, Temperatura ambiente, h convectivo, propiedades del material • Determinar el tiempo necesario para alcanzar una temperatura determinada

– Dadas unas condiciones iniciales, Temperatura ambiente, h convectivo, propiedades del material • Determinar la temperatura alcanzada después de un tiempo



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Problema 1

Proceso de recocido de bolas de acero con las siguientes propiedades: ρ=7833 kg/m3, k=54 W/mK, cp=0.465 kJ/kgK, α=1.474x10-5 m2 /sg, de 8 mm de diámetro se recuecen calentándolas a 900°C en un horno y dejándolas enfriar con lentitud hasta alcanzar los 100°C en un ambiente a °

2

¿Cuánto tiempo tardará el proceso?



12


Problema 2 Los cojinetes de bolas (balines) se tienen que endurecer templándolos en un baño de agua a una temperatura de 35°C. Un empresario, desea diseñar un proceso continuo donde los cojinetes puedan rodar en un horno de calentamiento con temperatura uniforme de 900°C. Una vez los cojinetes han pasado por el hor no se introducen en el agua para el proceso de templado. Para evitar el deterioro prematuro de la banda transportadora, se requiere que los balines no salgan del agua a una temperatura superior de 90°C. Se suponen unos coeficientes de transfere ncia de convección entre los cojinetes y el aire en el horno de 200 W/m 2K, y entre el agua y los cojinetes de 500 . Encontrar la longitud de cada parte del proceso (es decir calentamiento y enfriamiento) Calcular el calor que se debe retirar en el agua para que la temperatura del agua permanezca constante. Otros datos: Temperatura inicial de los balines: 30°C. k=37 W/mK.


ρ=7800

kg/m3, cp=440 J/kg K,


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Problema 2

Balines

Horno

Movimiento de los balines

Aire: T=900°C

Agua: T=35°C Tanque de agua



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Problema 3 Un dispositivo electrónico (microprocesador) genera calor a razón de 30 W. El procesador tiene una masa de 20 gramos, calor específico de 850 J/Kg K y un área superficial de 5 cm2. El dispositivo se usa y al cabo de cierto tiempo se apaga debido a que se alcanzó el límite superior de temperatura de 75 ºC. ¿Cuanto tiempo duró funcionando? Si solo cuando se alcanza una temperatura de 45ºC es posible hasta encenderlo de nuevo? Otros datos: – T ambiente=25 ºC – h ambiente = 12 W/m2 K



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Efectos espaciales

• Ecuación general ρ ⋅ Cp ⋅

∂ T ∂ T ∂ T 2 2 2 = g + k ⋅ ∇ T ⇒ ρ ⋅ Cp ⋅ = k ⋅ ∇ T ⇒ = α ∇ T ∂ t ∂ t ∂ t

La ecuación general de conducción, para propiedades constantes, sin eneración interna de calor, es:

Q CONV

θ ( x, t ) = T ( x, t ) − T o ∂ T ∂ 2T en función de θ ⇒ ⇒ = α ⋅  ∂ t ∂ x 2 θ ( x, t ) = X ( x) ⋅ T (t )

2L Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS


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Efectos espaciales Se deben especificar dos condiciones de frontera y una condición iniciales Condiciones de frontera:

Q CONV

∂T ∂

=0

Distribución de temperatura simétrica

x = 0

∂T − k = h [T ( L, t ) − T α ] ∂ x x = L

2L

Condición de frontera en la superficie

Condición inicial

T(x,0)=T i

Solución estará en términos de los siguientes parámetros T=T(x, t, T i , T α , L, k, α , h)

Solución puede ser analítica o numérica



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Efectos espaciales Adimensionalizando se puede definir una ecuación general válida tanto para cilindros, como esferas y como placas. También se reduce el número de parámetros necesarios para la solución. θ *

θ = T − T α ;

=

θ θ o

=

T − T α T o − T α

Substituyendo

X = x L

0 ≤ θ ≤ 1

;

*

Condiciones de frontera:

*

t = Fo =

α t 2

Lc

Condición inicial:

*

∂

2

*

θ

*2

∂ X

∂θ

*

=

∂θ

∂ X

∂Fo

θ * ( X * ,0) = 1

=0

* X * =0

*

∂θ

*

= − Bi θ (1, Fo)

*

∂ X

Bi =

h ⋅ Lc k solido

;

Fo =

* X =1

α t L2c

Ahora la solución estará en términos de los siguientes parámetros Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS

θ * = f ( X * , Bi, Fo) Transferencia de calor por conducción transitoria

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Efectos espaciales

• Solución para placa plana, de espesor 2L, con convección por ambos lados Se introduce la diferencia de temperaturas, se separan variables, y se imponen condiciones de frontera: 2

Solución general: θ x, t = e −ξ α t ⋅ B ⋅ senX * + B ⋅ cos X * Dependencia del tiempo *

Reemplazando: θ

siendo Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS

C n =

=

T − T ∞ T i − T ∞

Dependencia del espacio

∞

=

∑

C n e

2

−ξ ´ n Fo

(

*

⋅ cos ξ n X

)

n =1

4sin(ξ n ) 2ξ n + sin( 2ξ n )

;

ξ n tan(ξ n ) = Bi


19


Efectos espaciales

• Solución aproximada Si Fo > 0.2, la solución de la serie semi-infinita se puede aproximar con el primer término de la serie (error < 2%). θ * =

T − T ∞ T i − T ∞

θ 0*

=

T 0 − T ∞

θ *

=

T − T ∞

T i − T ∞

T 0 − T ∞

= C 1e

= C 1e

*

2

−ξ ´1 Fo

(

2

−ξ ´1 Fo

T 0 − T ∞ T i − T ∞

*

⋅ cos ξ 1 X

)

Dependencia con el tiempo *

(

*

= θ 0 * cos ξ 1 X

)

Dependencia con el espacio

La dependencia de la temperatura con respecto al tiempo t en cualquier punto de la pared es la misma que la de la temperatura del plano medio. 1. 2.

Se debe hallar la temperatura del centro. Hallar la temperatura en cualquier x.



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Efectos espaciales

• Solución aproximada (Gráficas de Heisler) – Transmisión de calor convectiva en placas, cilindros y esferas en régimen transitorio • Cálculo analítico de la solución de la ecuación anterior. Hoy en día solución analítica fácilmente programable. • Resolución por métodos numéricos. • Primeras gráficas de respuesta de temperatura (1923) • Sólo válido para condiciones de temperatura inicial uniforme • Heisler (1947): aproximación con un término de la serie funcional solución . Limitaciones: – No son válidas para Fo < 0.2 – Gráficos difíciles de leer para Fo < 1 Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS


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Efectos espaciales • Transmisión de calor unidireccional transitoria para placa infinita de espesor 2L

Figura 1 x/L

L



∈ [0 ,1]

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Efectos espaciales • Transmisión de calor unidireccional transitoria para placa infinita de espesor 2L

Figura 2 x/L

L T(x, t ) − T∞ Ti − T∞

=

T − T∞

∈ [0 ,1]

To − T∞

⋅   To − T∞  FIG.2  Ti



− T∞ 

FIG .1

To: temperatura en el plano central de la placa=T(x=0,t) Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS


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Efectos espaciales • Transmisión de calor unidireccional transitoria para cilindro de radio r0 y longitud infinita r ∈ [0,1] Figura 3 r 0

r/r0



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Efectos espaciales • Transmisión de calor unidireccional transitoria para cilindro de radio r0 y longitud infinita r

r 0

Figura 4

T (r, t ) − T∞ Ti − T∞

∈ [0,1]

r/r0

 T − T∞   To − T∞   ⋅  T − T  T T −  o ∞  FIG.4  i ∞  FIG.3

= 

To: temperatura en el eje del cilindro=T(r=0,t) Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS


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Efectos espaciales • Transmisión de calor unidireccional transitoria para una esfera de radio r0 Figura 5 r/r0

r r 0



∈ [0,1]

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Efectos espaciales • Transmisión de calor unidireccional transitoria para una esfera de radio r0

Figura 6

r/r0

r r 0

T( r , t ) − T∞ Ti − T∞

∈ [0,1]

 T − T∞   To − T∞   ⋅  T − T  T −T   o ∞  FIG.6  i ∞  FIG.5

=

To: temperatura en el centro de la esfera=T(r=0,t) Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS


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Efectos espaciales

• Transferencia de calor Balance de energía: entre t = 0 y t > 0 E entra – E sale = E almacenada 0

- Q

= E(t) – E(0)

∫

Q = − ρ C p [T ( x, t ) − T i ]dV 0

Q Q0

p

=

∫

−

i

−

Ener ía inicial de la ared relativa a la tem eratura del medio. Es la energía máxima que se puede transmitir (cuando t→∞).

α

[T ( x, t ) − T i ] dV T i − T α

V

Solución para placa plana

=

1

V Q Q0

Solución general

∫

(1 − θ * ) dV

= 1−

sin

ξ 1

1

θ 0*

 Q    Q0 

Q = Q0 



28


Efectos espaciales • Energía intercambiada por una placa

Figura 7


 Q   ⋅ Q0 Q(t ) =   Q0  FIG.7 Q0 = ρ ⋅ V ⋅ C p ⋅ (T i − T ∞ )


29


Efectos espaciales • Energía intercambiada por un cilindro

Figura 8




30


Efectos espaciales • Energía intercambiada por una esfera

Figura 9




31


Efectos espaciales

• Soluciones analíticas: fórmulas • Distribución de temperatura

• Flujo de calor – Placa Q sin ξ 1 * θ 0 = 1− Q0 ξ 1

– Placa

θ *

= C 1e

2

− ξ 1 Fo

cos(ξ 1 x* )

– Cilindros

– Cilindros

θ *

= C 1e

2 − ξ 1 Fo

Q

*

J 0 (ξ 1 r )

Q0

θ

= C 1e

ξ 1

J 1 (ξ 1 )

– Esferas

– Esferas *

= 1−

2θ 0*

2

−ξ 1 Fo

1

ξ 1r *


*

sin(ξ 1 x )

Q Q0

= 1−

3θ 0* 3 1

ξ

[sin ξ 1 − ξ 1 cos ξ 1 ]


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Efectos espaciales

• Tablas Pared plana

Bi

ξ1

C1

(rad)

Cilindro infinito

ξ1

C1

(rad)

Esfera

ξ1

Pared plana C1

Bi

(rad)

ξ1

C1

(rad)

Cilindro infinito

ξ1

C1

(rad)

Esfera

ξ1

C1

(rad)

0.01

0.0998

1.0017

0.1412

1.0025

0.1730

1.0030

0.80

0.7910

1.1016

1.1490

1.1725

1.4320

0.02

0.1410

1.0033

0.1995

1.0050

0.2445

1.0060

0.90

0.8274

1.1107

1.2048

1.1902

1.5044

1.2488

0.03

0.1732

1.0049

0.2439

1.0075

0.2989

1.0090

1.0

0.8603

1.1191

1.2558

1.2071

1.5708

1.2732

0.04

0.1987

1.0066

0.2814

1.0099

0.3450

1.0120

2.0

1.0769

1.1795

0.1600

1.3384

2.0288

1.4793

0.05

0.2217

1.0082

0.3142

1.0124

0.3852

1.0149

3.0

1.1925

1.2102

1.7887

1.4191

2.2889

1.6227

0.06

0.2425

1.0098

0.3438

1.0148

0.4217

1.0179

4.0

1.2646

1.2287

1.9081

1.4698

0.2046

1.7201

0.07

0.2615

1.0114

0.3708

1.0173

0.4550

1.0209

5.0

1.3138

1.2402

1.9898

1.5029

2.5704

1.7870

0.08

0.2791

1.0130

0.3960

1.0197

0.4860

1.0239

6.0

1.3496

1.2479

2.0490

1.5253

2.6537

1.8338

0.09

0.2956

1.0145

0.4195

1.0222

0.5150

1.0268

7.0

1.3766

1.2532

2.0937

1.5411

2.7165

1.8674

0.10

0.3111

1.0160

0.4417

1.0246

0.5423

1.0298

8.0

1.3978

1.2570

2.1286

1.5526

2.7654

1.8921

0.15

0.3779

1.0237

0.5376

1.0365

0.6608

1.0445

9.0

1.4149

1.2598

2.1566

l.5611

2.8044

1.9106

0.20

0.4328

1.0311

0.6170

1.0483

0.7593

1.0592

10.0

1.4289

1.2620

2.1795

1.5677

2.8363

1.9249

0.25

0.4801

1.0382

0.6856

1.0598

0.8448

1.0737

20.0

1.4961

1.2699

2.2881

1.5919

2.9857

1.9781

0.30

0.5218

1.0450

0.7465

1.0712

0.9208

1.0880

30.0

1.5202

1.2717

2.3261

1.5973

3.0372

1.9898

0.40

0.5932

1.0580

0.8516

1.0932

1.0528

1.0164

40.0

1.5325

1.2723

2.3455

0.1599

3.0632

1.9942

0.50

0.6533

1.0701

0.9408

1.1143

1.1656

1.1441

50.0

1.5400

1.2727

2.3572

1.6002

3.0788

1.9962

0.60

0.7051

1.0814

1.0185

1.1346

1.2644

1.1713

100.0

1.5552

1.2731

2.3809

1.6015

3.1102

1.9999

0.7

0.7506

1.0919

1.0873

1.1539

1.3225

1.1978

?

1.5070

1.2733

2.4050

1.6018

3.1415

2.0000



1.2236

33


Efectos espaciales

• Funciones Bessel de primera clase. x


Jo(x)

J1(x)

0.0

1.0000

0.0000

0.1

0.9975

0.0499

0.2

0.9900

0.0995

0.3

0.9776

0.1483

0.4

0.9604

0.1960

0.5

0.9385

0.2423

0.6

0.9120

0.2867

0.7

0.8812

0.3290

0.8

0.8463

0.3688

0.9

0.8075

0.4059

1.0

0.7652

0.4400

1.1

0.7196

0.4709

1.2

0.6711

0.4983

1.3

0.6201

0.5220

1.4

0.5669

0.5419

1.5

0.5118

0.5579

1.6

0.4554

0.5699

1.7

0.3980

0.5778

1.8

0.3400

0.5815

1.9

0.2818

0.5812

2.0

0.2239

0.5767

2.1

0.1666

0.5683

2.2

0.1104

0.5560

2.3 2.4

0.0555 0.0025

0.5399 0.5202


34


Sólido semi-infinito Sólido que se extiende al infinito excepto en una dirección: Lagos, mar, tierra.

•Interesa

solamente la influencia de la temperatura en las regiones cercanas a la superficie.

•A cierta distancia la temperatura no se ve influenciada por el cambio de las condiciones en el exterior.

• Se considera transmisión de calor unidimensional en la dirección que aumenta la profundidad. T ∞

Ecuación diferencial ∂T

x


∂t

2

= α

∂ T ∂ x

2


35


Sólido semi-infinito

Ecuación diferencial

∂T ∂t

2

= α

∂ T ∂ x

2

Solución para:

•Cambio súbito en la temperatura de la superficie. •A licación re entina de un calor en la su erficie. •Exposición de la superficie a un fluido con una temperatura constante diferente a T sup y con h constante y uniforme. Cambio de variables:


η =

x

2 α t

− 2η

∂T ∂η

2

= α

∂ T 2

∂η


36


Sólido semi-infinito Soluciones Caso 1: Temperatura superficial constante T ( x, t ) − T s x η = = erf (η ); ; T i − T s 2 α t

qs'' (t ) =

k (T s − T i )

π α t

Caso 2: Flu o de calor constante en la su erficie T ( x, t ) − T s =

2q0'' (α t / π )1 / 2

k Caso 3: Convección superficial

e

2

−η

''

−

q0 x k

erfc (η )

 hx + h α t    h α t  T ( x, t ) − T i k k  = erfc (η ) − e  erfcη + T ∞ − T i k      2

2

Donde: erf

es la función error (en tablas) erfc = 1-erf (función error complementaria)



37


Tablas sólido semi-infinito w

erf w

w

erf w

w

erf w

0.00

0.00000

0.36

0.38933

1.04

0.85865

0.02

0.02256

0.38

0.40901

1.08

0.87333

0.04

0.04511

0.40

0.42839

1.12

0.88679

0.06

0.06762

0.44

0.46622

1.16

0.89910

0.08

0.09008

0.48

0.50275

1.20

0.91031

0.10

0.11246

0.52

0.53790

1.30

0.93401

0.12

0.13476

0.56

0.57162

1.40

0.95228

0.14

0.15695

0.60

0.60386

1.50

0.96611

0.16

0.17901

0.64

0.63459

1.60

0.97635

0.18

0.20094

0.68

0.66378

1.70

0.98379

0.20

0.22270

0.72

0.69143

1.80

0.98909

0.22

0.24430

0.76

0.71754

1.90

0.99279

0.24

0.26570

0.80

0.74210

2.00

0.99532

0.26

0.28690

0.84

0.76514

2.20

0.99814

0.28

0.30788

0.88

0.78669

2.40

0.99931

0.30

0.32863

0.92

0.80677

2.60

0.99976

0.32 0.34

0.34913 0.36936

0.96 1.00

0.82542 0.84270

2.80 3.00

0.99992 0.99998


Función error: erf ( w) =

2

w

π ∫0

v2

e − dv

Función error complementaria: erfc ( w) = 1 − erf ( w)


38



• Distribución de la temperatura con el tiempo T ∞, h T s

T s

x

q 0

T(x,0)=T i T(0,t)=T s

T

T

x

x

T(x,0)=T i -k dT/dx| x=0 =q 0

T

T(x,0)=T i -k dT/dx| x=0 =h[T ∞-T(0,t)]

t t

t

x


x


x

39



• Distribución de la temperatura con el tiempo T s T

T

T(x,0)=T i -k dT/dx| x=0 =q 0

T

T(x,0)=T i -k dT/dx| x=0 =h[T ∞-T(0,t)]

t t

t

x

x

La temperatura se La temperatura aumenta con aproximará a T s al aumentar t 1/2 aproximadamente. t. q x=0 disminuye con t 1/2 .


x

Tsup y Tinterior del cuerpo se aproximan a T∞. Al aproximarse Ts a T∞ q x=0 disminuye.


40



• Solución gráfica



41


Efectos multidimensionales Para problemas en dos y tres dimensiones. • Se obtiene mediante el producto de valores múltiples a partir de las gráficas para problemas uno-dimensionales. • Se basa en el hecho de que las ecuaciones diferenciales se pueden separar en el producto de dos o tres ecuaciones diferenciales ordinarias • Si las diferentes dimensiones son de magnitud comparable, la conducción de calor se da en todas las direcciones coordenadas, la distribución de temperaturas depende entonces de todas las direcciones. Coordenadas: • Cilindro : C(r, x, t) • Placa semi-infinita: P(x, y, t) • Sólido semi-infinito: S(x, t) Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS

Se asume que la temperatura inicial del cuerpo es uniforme, o que la temperatura superficial es constante


42


Efectos multidimensionales

• Transmisión de calor bidimensional transitoria placa de dimensiones 2L*2H L A N O I S N E M I D I B N I C U L O S

y

y hH 2H

x

hL

hL

hL hL

x

2L

hH

* hH

2L

θ ( x, y, t )    θ i   2 L⋅2 H Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS

θ ( x, t )  θ ( y, t )  = ⋅   θ θ  i  PLACA2 L  i  PLACA2 H Transferencia de calor por conducción transitoria

43



• Transmisión de calor bidimensional transitoria de un cilindro de dimensiones 2L, r0 x hL x L 0

= hr

hr

hr

hL

hr

hL

r0 0 r0 r

θ (r , x, t )   θ  CILINDRO i   RADIO r o

LONGITUD 2 L


=

θ (r , t )  θ ( x, t )  ⋅  θ  CILINDRO  θ  PLACA  i  RADIO r  i  ESPESOR 2 L o

INFINITO


44



• Transmisión de calor bidimensional transitoria de un prisma de dimensiones 2L*2H*2W hw hH T 

y

y H

hH

hw

2H z

hL hw

hL

2L 0 L

θ ( x, y, z , t )    θ i   2PRISMA L⋅2 H ⋅2W

hH

hL x

z W

0

θ ( x, t )  θ ( y, t )  θ ( z , t )  = ⋅ ⋅    θ θ θ  i  PLACA2 L  i  PLACA2 H  i  PLACA2W



45


Resumen sistemas bidimensionales



46


Resumen sistemas tridimensionales



47



• Transferencia de calor – Para sistemas en dos dimensiones  Q   Q  Total  max 

 Q  =  Q  max 

 Q    Q     + ⋅ 1 −     Qmax    Qmax  

– Para sistemas en tres dimensiones  Q   Q  Total  max  3 D

 Q   Q    Q     + = + ⋅ 1 −      Qmax 1  Qmax  2   Qmax 1   Q    Q     Q    Q  ⋅ 1 −  Q   ⋅ 1 −  Q    max  3   max 1    max  2 



48


Problema 4 Un cilindro de acero de dimensiones indicadas en el esquema, inicialmente a temperatura Ti= 100 ºC, se introduce de forma brusca en aceite a una temperatura de 20 ºC con un coeficiente de convección asociado, h =40 W/m2 K. Calcular al cabo de una hora las temperaturas en los puntos 1 y 2. Calcular la energía total intercambiada hasta que se llega al equilibrio térmico. Geometría del cilindro: Radio: r0 = 0.05 m = . Datos térmicos del acero: Conductividad térmica del acero: k acero = 1 0 W m-1 K-1 Difusividad térmica del acero:

= 0.279 10-5 m2 s-1 Densidad del acero: ρacero = 8169 kg m-3 αacero

=

-1

-1

Temperatura inicial de la pieza: Ti = 3 7 3 K Datos térmicos del aceite: Temperatura del aceite: T aceite = 2 9 3 K Coeficiente de convección: h aceite = 4 0 W m-2 K-1 2 r0 = 0.05 m

1

0

L = 0.2 m



49


Problema 5 Se extrae de un horno una pieza prismática metálica de 12 * 10 * 8 cm con temperatura uniforme de 400 ºC; dicha pieza se deposita para que se enfríe sobre una mesa en un ambiente a 25 ºC con un coeficiente de convección uniforme que se estima en 50 W/ m 2 K. Se desea conocer al cabo de 15 minutos la temperatura superficial en el centro de la cara de 10 cm * 8 cm NOTAS: Considerar que a través de la mesa el calor transmitido por conducción es despreciable. Se apoya sobre la mesa la superficie de 12 por 10 cm

us v a e mater a : α := 1.14× 10 ⋅ m s Conductividad del material: k := 15⋅ W m⋅ K-2 Coeficiente de convección: h := 50⋅ W m ⋅K Temperatura inicial de la pieza: Ti := ( 400 + 273.15) ⋅ K -

−

-

Temperatura ambiente: Tiempo transcurrido:

Tamb := ( 25 + 273.15) ⋅ K

8 cm.

t := 15⋅ 60⋅ s

Dimensiones de la pieza: Lx := 0.12⋅ m

Ly := 0.08⋅ m


12 cm.

10 cm.

Lz := 0.1⋅ m


50


Problema 6 Una empresa de alimentos desea diseñar un horno continuo para la cocción de panetones navideños (tortas en forma de cilindros cortos) con dimensiones 30 cm de diámetro y 25 cm de alto, como se muestra en la figura. A partir de datos experimentales se sabe que la torta tiene las siguientes propiedades: W(peso)=1.2 kg, Cp = 1250 J/kg K, k=0.7 W/m K. El cocinero, a través de su experiencia, sabe que el panetón queda cocinado cuando en su centro de masa se ha alcanzado una temperatura de 85°C. Par a que no se queme, no debe superarse una temperatura de 100°C en todos los puntos d el panetón. Para lograr la cocción los panetones se cargan en una banda transportadora, permitiendo la transferencia de calor del aire circundante hacia el panetón, sólo por las caras expuestas del panetón. Es decir, la cara que queda apoyada sobre la banda transportadora se considera adiabática. Para el proceso de cocción se usa aire caliente a 200°C y se con sidera que el coeficiente de transmisión de calor se puede calcular con la relación h=C*V 0.52, donde V es la velocidad del aire, C es una constante de valor 0.7. El panetón entra al horno a temperatura ambiente de 25°C, y se desean procesar 100 panetones por hora. Calcular: Las dimensiones del horno, la velocidad del aire necesaria, y el calor necesario.



51


Problema 6 Campana aire Panetón Aire: T=200°C Tent=25°C



52


Métodos numéricos

• Ecuación general

2

∇ T +

g

=

k

1 ∂T

α ∂t

• Discretización numérica espacial 2

∇ T dA = ∆ y SC

T i −1, j − T i , j x

+ ∆ x

T i , j −1 − T i , j y

+ ∆ y

g

T i +1, j − T i , j

+ ∆ x

T i , j +1 − T i , j y

g

• Calor generado ∫ k dV = k ∆ x ∆ y VC

• Discretización temporal n +1 n 1 ∂T 1 T i , j − T i , j dV = ∆ x ∆ y α α t t ∂ ∆ SC

∫



53


Métodos numéricos

• Agrupando n +1 n 1 T i , j − T i , j

α

∆t

∆ x ∆ y = ∆ y

T i −1, j − T i , j ∆ x

+ ∆ x

T i , j −1 − T i , j

+ ∆ y

∆ y

T i +1, j − T i , j ∆ x

+ ∆ x

T i , j +1 − T i , j ∆ y

+

g k

∆ x ∆ y

Para un sistema 1d, todas la temperaturas tomadas en el n +1 i

α

n

− i

∆t

∆ x =

Despejando para T

n+1

i −1

−

∆ x

i

i +1

+

−

i

∆

1 T i + = T i + n

n

+

g k

α ∆t ∆ x

2

∆ x

(T

n

i −1

Esquema explícito (Euler) n

n

+ T − 2T i +1

i

)

Reagrupando T = Fo(T + T ) + T (1 − 2Fo) Esquema condicionalmente estable Fo ≤ 12 n +1

i

n

n

i −1

i +1

n

i

Una vez establecidos las propiedades de material y ∆ x, ∆t queda determinado por la condición de estabilidad Marzo 2011 - Esc Ing Mecanica UIS


54


Métodos numéricos

Para un sistema 1d, todas la temperaturas tomadas en el tiempo n+1 T − T T − T T − T 1

α

n +1

i

∆t

n +1

n

i

∆ x =

i −1

n +1

+

∆ x

Despejando para T n+1 Reagrupando

n +1

i

1 T i n + = T i n +

n +1

i +1

∆

∆t ∆ x

2

(2 Fo + 1)T i n 1 − Fo T n 1 + T n 1 +

+

i −1

+

i

+

i +1

g

k

(T

n +1

i −1

∆ x

n +1

+ T

i +1

Esquema implícito n +1

− 2T i

)

n

= T i

Esquema incondicionalmente estable El ∆t tomado es independiente del material y del ∆ x. Se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales.



55


Problema 7 Un dispositivo electrónico (microprocesador) genera calor a razón de 30t W. El procesador tiene una masa de 20 gramos, calor específico de 850 J/Kg K y un área superficial de 5 cm2. El dispositivo se usa y al cabo de cierto tiempo se apaga debido a que se alcanzó el límite superior de temperatura de 75 ºC. ¿Cuanto tiempo duró funcionando? Si solo cuando se alcanza una temperatura de 45ºC es posible hasta encenderlo de nuevo? Otros datos: – T ambiente=25 ºC – h ambiente = 12 W/m2 K



56

Conduccion en Estado Transitorio

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