CONEXIÓN DE CARGAS TRIFASICAS La energía generada por la fuente es utilizada por elementos eléctricos que constituyen redes eléctricas o circuitos, a los cuales se les denomina habitualmente como cargas eléctricas eléctricas (L, Load). Load). Si estas estas cargas se conectan conectan a generadores generadores de señales trifási trifásica cass se pueden pueden arma armarr un sistem sistemaa trifásic trifásicoo Fuente/ Fuente/ Carga Carga de acuerd acuerdoo a dos dos configuraciones básicas, cargas en configuración estrella y cargas en configuración triángulo. Según el tipo de elementos que tiene la carga carga se habla de cargas cargas balanceadas balanceadas o desbalancea desbalanceadas. das. De acuerdo acuerdo a si las ramas que forman la carga trifásica trifásica contiene contiene elementos iguales o diferentes. diferentes. Así la unión de fuentes y cargas trifásicas trifásicas podrán tener cuatro tipos de conexión conexión diferentes según si las cargas puedan puedan conectarse en triangulo o en estrellas y si la fuente puedan configurarse como triangulo o estrella según el tipo de conexión de que se trate en cada caso. Conexión
Fuente
Carga
∆−∆
Triángulo Estrella Triángulo Estrella
triángulo estrella estrella
Y −
∆
∆ − Y Y − Y
Retorno por neutros No tiene No tiene No tiene Si tiene
Cabe destacar que solo en el caso de la conexión Y − Y es posible encontrar lo que se denomina retorno por tierra que consiste en la unión física de los puntos comunes de la fuente fuente y de la carga, a través través de la tierra física física por la cual cual puede derivar derivar una corriente no despreciable entre los puntos de tierra por la existencia de una resistencia entre los dos neutros. Esta situación situación crea una diferencia diferencia de potencial potencial entre las tierra que que puede llegar a ser dañino para los equipos equipos que se conectan conectan al sistema. La Impedancia de tierra, en particular su resistencia, puede variar desde Z on = 0 ( corto circuito) circuito) hasta hasta Z on ⇒ ∞ ( circuito Abierto) o bien bien puede puede tomar tomar un valor valor intermedio intermedio Z on ≠ 0 ( Zon = Zn ) Del punto de vista del tipo de elementos que configuran la carga se habla de cargas cargas balancea balanceadas, das, Z 1 = Z 2 = Z 3 , si toda todass rama ramass tien tienen en los los mism mismos os valo valore ress de elemento elementoss y desbalancea desbalanceados dos si los elemento elementoss presentan presentan característ características icas diferentes diferentes en cada rama. Z 1 ≠ Z 2 ≠ Z 3
A Fuente Trifásica Y ó ∆ N B C
Fig 1.8 Cargas desbalanceadas en conexión estrella.
A Fuentes Trifásicas Y ó ∆
Fig 1.9 Cargas desbalanceadas en conexión triangulo
SISTEMA TRIFASICO CON CARGAS BALANCEADAS Se dice que las impedancias de un sistema trifásico formando un triángulo o estrella son balanceadas cuando sus magnitudes y ángulo son iguales, y que al ser excitadas por fuentes trifásicas de tensiones simétricas, iguales en magnitud y desfasadas en 120º, harán que las corrientes en cada línea de conexión del sistema sean simétricas entre si, lo que también se cumple para las corrientes en las impedancias de Carga. SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES ESTRELLA Y CARGAS BALANCEADAS CONECTADAS EN TRIANGULO, SISTEMA Y − ∆
En la conexión de fuentes trifásicas en estrellas con cargas balanceadas conectadas en triangulo no existe el retorno por tierra por lo que no existe corriente a través de la tierra física, además, es posible encontrar una relación entre la corriente de línea y la corriente en cada fase de la carga, El
= V Z ;
E l
=
I Z
Z
= Iab − I ca ; Vab = EAB ; Vab = Z Iab I B = Ibc − I ab ; V bc = EBC ; V bc = Z I bc I C = I ca − I bc ; Vca = ECA ; Vca = Z Ica I A
Para el caso particular de la corriente de línea I A se cumple con la siguiente relación de vectores
I A I A
=
3 Em Z
I A
= Iab − I ca
I A
=
Vab Z
3 Em e j 30
=
−
V ca Z
3Em e− j 210
−
Z
Z
3E m
( cos(30) + jsen(30) ) −
I a
3 E m
=
I A
Z
Z
( − cos(30) + jsen(30) )
( 2cos(30) )
3 Em
3 3E m = Z 2 Z 3 E m
=
2
I a
I a
=
=
3 E m Z
Z e jS Z e j (0º − S Z )
otra forma de presentar la misma expresión es en términos de la magnitud de la corriente de fase en la carga 3 3 E m j (0º −S Z ) I a
=
como la magnitud de I ab es igual a I ab = entonces se cumple que
e
Z
3 E m Z
I a = 3 I ab e j (0º − S Z )
una tercera forma de presentar el mismo resultado es expresarlo en función del fasor de la corriente de fase en la carga I a =
3 3 E m
Z
e j (0º − S Z )
I a
= 3
3 E m Z
e j 30 e− j 30 e j (0º − SZ )
Como I ab = Entonces se cumple
I a
3 Em e j 30 Z e jS Z
= 3I ab e− j 30
Donde la corriente de línea tiene una magnitud igual a I A = 3 I ab manteniendo en forma constante un desfasaje de 30º en atraso respecto de la corriente de fase en la carga I a ( t ) = 3 * I ab ∗ sen (w ⋅t −30º ) ;
I a
= 3 ⋅ I ab ⋅ / − 30º
I b ( t ) = 3 * I bc ∗ sen ( w ⋅t −150º ); I b
= 3 ⋅ I bc ⋅ / − 30º
I c ( t )
=
3 * I ca ∗ sen( w t ⋅ +90º
;
I c
= 3 ⋅ I ca ⋅ / − 30º
Fig 1.10 Diagrama fasorial de las corrientes de línea y las corrientes en la Carga De este modo se puede mostrar que en un sistema trifásico formado por fuentes estrella y carga triángulo la suma instantánea de las corriente de línea es cero de la misma forma ocurre en las corrientes de fase en la carga
∑ I ∑ I
= 0 = I A + IB + I C
l
φ L
= 0 = I ab + Ibc + I ca
En los generadores conectados en estrella resulta obvio que la corriente de línea es igual a la corriente de fase proporcionada por el generador. I l
= I φ G
o bien
I l
= I A = I NA
I l
= I B = I NB ;
I l
= IC = I NC
SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES TRIANGULO Y BALANCEADAS CONECTADAS EN TRIANGULO, SISTEMA ∆ − ∆
CARGAS
En los sistemas trifásicos ∆ − ∆ no existe retorno por tierra por lo que tanto la fuente como la carga están levantados de tierra, además las fases de la fuentes se aplican directamente sobre las correspondientes fases de la carga así se cumple en general que EφG
= V φ L
o bien E AB = EAN = V ab
Vab
Vbc = I bc Z
= EBN = V bc ECA = ECN = V ca E BC
Considerando la línea para IA se cumple I ab
=
I ab I A
=
Em Z
=
Em Z
−
Z
Em e j 0º Z
= Iab − I ca
I A
Vab
( cos(0º ) + jsen(0º ) − I a
Vca = I ca Z
que
=
= I ab Z
−
V ca
Z Em e − j 240 Z
E m Z
( 1 + j 0.0 ) −
( cos(120º ) + jsen(120º ) ) E m Z
−0.5 + j
3 2
I a
I a
=
I A
3 E m Z
3 2
1 − j 2
I a
E m
= 3∗
Z
=
e − jS Z ∗ e− j (30º)
= 3Iab e− j (30)
De esta forma se cumple que la magnitud de la corriente de línea cumple con la relación I A = 3 I ab mientras que el ángulo de desfasaje de la corriente de línea
1.5 − Z
E m
j
3 2
desfasa a la corriente de fase en la carga en -30º, en este caso la corriente de línea resulta de una combinación de corriente suministradas por el generador trifásico conectado en triangulo.
SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES TRIANGULO Y BALANCEADAS CONECTADAS EN ESTRELLA, SISTEMA ∆ − Y
CARGAS
En este caso las cargas están levantadas de tierra y la corriente de línea es igual a la corriente de fase en la carga I l
= I φ L
= EAN = Van − V bn E BC = EBN = Vbn − V cn ECA = ECN = Vcn − V an
E AB
Van
= I an Z
Vbn = I bn Z Vcn = I cn Z
Para el calculo de las corrientes de línea se definen dos malla que toman la línea de la corriente IA como común y se plantean dos ecuaciones fasoriales Donde las corrientes de malla se definen como −( I B* + IC* ) = I A
I B*
= I B
I C*
= I C
− E AB = ZI B* + Z ( I B* + I C * ) ECA = ZI C* + Z ( I B* + I C* ) − E AB 2 Z Z I B* E = Z 2 Z * * I C CA
Sumando las ecuaciones de modo de expresarlas en función de I A se cumple
− E AB + ECA = 3ZI B* + 3ZI C *
− E AB + ECA = 3Z ( I B* + I C * ) − E AB + ECA = 3Z (− I A* ) 3 ZI *A = EAB − E CA donde se cumple que
Vφ A
= ZI A y EA= Em e-j0
3 ZI A = Em e j 0º − Em e− j 240 3 ZI A = Em ( cos(0º ) + jsen(0º ) ) − Em ( cos(120º ) + jsen(120º ) ) 3 ZI A
= Em ( 1) − Em −0.5 + j
3 2
3 ZI A
=
3 ZI A = 3 ∗ Em e − j (30º)
3 ZI A = Em e − j (30) 3Vφ Ae + j (30) = Em e− j 0 = EAB Así se concluye que la magnitud del voltaje entre línea de la fuente triángulo resulta ser 3 E φ A manteniendo un desfasaje en atraso respecto del voltaje de fase en la carga de 30 grados. En general se cumple que E = 3 E φ L l
SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES ESTRELLA Y CARGAS BALANCEADAS CONECTADAS EN ESTRELLA, SISTEMA Y − Y
3Em
3 2
−
j
1
2
En el caso de una conexión estrella-estrella con carga balanceada, es necesario considerar que, en este caso, se dispone de una vía de conexión entre las tierras de la fuente y de la carga. Y considerando que la carga es balanceada y la fuente equilibrada resulta que la corriente entre las tierra es cero, I N = 0, de modo que la diferencia de potencial existente entre los puntos comunes de fuente y carga también es cero, V on = 0, es decir, la fuente y la carga tienen un único punto en común, una única tierra,. en los hechos el voltaje de fase se aplica directamente sobre el elemento que se encuentra conectado a esa fase así las corrientes de línea son iguales a las corrientes de fase en la fuente y en la carga Eφ G
= V Z
o bien
= V an E BN = V bn ECN = V cn
E AN
Así se cumple que I φ g = I l = I Z
=
V Z Z φ
o bien I an = I bn
=
I cn
=
V an Z V bn Z V cn Z
Fig 1.11 Sistema trifásico balanceado estrella – estrella con retorno por tierra
Fig 1.12 Modelo circuital representativo del sistema trifásico balanceado con retorno por tierra.
SISTEMA TRIFASICO CON CARGAS DESBALANCEADAS Tal como se ha mencionado las cargas trifásicas balanceadas o desbalanceadas pueden ser conectadas en triangulo (delta) o en estrella a una fuente trifásica conectadas en triangulo o en estrella, la diferencia radica en el hecho de que en el caso de cargas desbalanceadas la conexión fuente estrella y carga estrella permite la conexión de las dos tierras a través de la tierra física creando por ella una vía de circulación de corriente por tierra. En general en un sistema desbalanceado las corrientes de línea son diferentes entre sí de la misma forma como lo son las corrientes en las cargas.
SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES ESTRELLA Y CARGAS DESBALANCEADAS CONECTADAS EN TRIANGULO, SISTEMA Y - ∆ En una configuración de este tipo no existe una conexión entre los puntos comunes de generador y carga., se dice que la carga se encuentra levantada de tierra y ellas pueden ser balanceadas o desbalanceadas. En cualquiera de los dos casos el voltaje de línea, E l del generador es igual al voltaje en cada fase que le corresponde de la carga, V Z El
= V Z ;
I Z
=
E l Z
= I ab − I ca ; Vab = EAB ; Vab = Zab Iab I B = Ibc − I ab ; V bc = EBC ; V bc = Z bc I bc I C = I ca − I bc ; Vca = ECA ; Vca = Zca Ica I A
Donde se cumple I A + IB + IC = 0 SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES TRIANGULO Y CARGAS DESBALANCEADAS CONECTADAS EN TRIANGULO, SISTEMA ∆ − ∆ En estos sistemas no existe conexión a tierra tanto en la fuente como en la carga, luego no existe retorno por tierra debido a que solo la conexión estrella contempla este tipo de conexión, Así se cumple que V Z = E l
;
con lo que se cumple que E AB = EAN = V ab
I Z
I A
=
E l Z
= I ab − I ca
Vab
= I ab Z ab
= EBN = V bc ECA = ECN = V ca E BC
= Ibc − I ab I C = I ca − I bc
= Ibc Z bc Vca = I ca Z ca
I B
Vbc
Donde se cumple I A + IB + IC = 0 SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES TRIANGULO Y CARGAS DESBALANCEADAS CONECTADAS EN ESTRELLA, SISTEMA ∆ − Y En estos sistema solo la carga tiene conexión a tierra por lo que también es un caso sin retorno por tierra, el voltaje entre línea de la fuente triángulo es igual al voltaje de fase del generador estrella Eφ G
= E l ;
I l
= EAN = Van − V bn E BC = EBN = Vbn − V cn ECA = ECN = Vcn − V an E AB
= Iφ L = I Z ;
I Z
=
E φ L Z
= I A Z an Vbn = I B Z bn Vcn = IC Z cn Van
Donde se cumple I A + IB + IC = 0 Para el calculo de las corrientes de línea se definen dos malla que toman la línea de la corriente IA como común y se plantean dos ecuaciones fasoriales Donde las corrientes de malla se definen como −( I B* + IC* ) = I A
I B*
= I B
I C*
= I C
− E AB = Zbn I B* + Zan ( I B* + I C * ) ECA = Z cn I C* + Z an ( I B* + I C* ) − E AB Z an + Zb n E = Z CA an
I B* * Z an + Z cn I C * Z an
I A −1 −1 * I = 1 0 * I B B I C * I C 0 1
Al igual que en los casos anteriores se cumple que I A + IB + IC = 0 SISTEMA TRIFASICO CON FUENTES ESTRELLA Y CARGAS DESBALANCEADAS CONECTADAS EN ESTRELLA, SISTEMA Y − Y En el caso de una conección estrella-estrella con carga desbalanceada, resulta que la corriente entre las tierra puede llegar a ser diferente de cero, I n ≠ 0, lo cual depende también de la impedancia existente en la tierra física entre los puntos comunes,
de modo que la diferencia de potencial existente entre los puntos comunes de fuente y carga puede llegar a ser diferente de cero, V on ≠ 0 , Considerando que la impedancia de tierra puede tomar valores que van desde Z n = 0 hasta Z n → ∞ pasando por Z n ≠ 0 , se presentan tres situaciones que permiten ser analizadas. Situación con impedancia de tierra igual a cero
Considerando que las cargas son desbalanceadas y el retorno por tierra tiene una impedancia igual a cero, Z n ; corto circuito, en este caso los puntos comunes están unidos en un solo punto con lo cual se cumple que las corrientes de fase en la fuente es igual a las corrientes de fase en la carga y el voltaje de fase en la fuente es igual al voltaje de fase en la carga Considerando entonces que Z an ≠ Zbn ≠ Z cn se cumple que I l
= Iφ G = I Z ; Eφ G = V Z ;
I Z
=
V Z Z φ
;
Además el voltaje entrelínea cumple la relación E L = 3 ⋅V φ G E φ
=
V Z
o bien
= V an E BN = V bn ECN = V cn
E AN
Así se cumple que Iφ g
= Il = I Z =
V Z Z φ L
Así se cumple que I A + IB + IC = 0
o bien
V an
I an
=
I bn
=
I cn
=
Z an V bn Z bn V cn Z cn
Situación con impedancia de tierra igual a INFINITO
Cargas desbalanceadas con impedancia de tierra igual a infinito (circuito abierto) la presencia de una línea abierta entre los nudos significa en la práctica que no hay corriente por tierra ( I N = 0) de modo que la suma de las corrientes de línea será también cero I n
=
0
luego se satisface
;
∑
I Z
=
0
En este caso se forman dos mallas cada una con una corriente de malla que toma la línea de la Corriente I A como común a ambas mallas , para lo cual se define que I B*
= I B
I C*
= I C
I A
= −( I B* + I C * )
I A −1 −1 * I = 1 0 * I B B I C * I C 0 1 Aplicando la ley de Kirchhof de Voltaje en ambas mallas se cumple
E BN − ECN = Z bn I B* + Z an ( IB* + I C * ) E BN − ECN = Z bn I B* + Z an ( IB* + I C * ) Z an I B* E BN − E AN Z an + Zb n E − E = Z * * Z Z + an an cn AN CN I C
donde la matriz Z de dimensión 4x4 esta formada por registros que contienen Z an y en aquellos que están en la diagonal principal se suma Z bn y Zcn respectivamente mientras que el vector columna de dos filas, de fuentes contiene registros formados con E bn y Ecn respectivamente menos E an en cada uno de ellos Invirtiendo la matriz Z de los componentes con el fin de calcular las corrientes de malla definidas en la red se cumple
I B* Z an + Zb n * = Z I C an
−1 EBN − E AN * E − E Z an + Z cn CN AN
Z an
I A −1 −1 I = 1 0 * Z an + Zb n B Z an I C 0 1
−1 EBN − E AN * E − E Z an + Z cn CN AN
Z an
Situación con impedancia de tierra DIFERENTE DE cero
En este caso se forman tres mallas cada una con una corriente de malla que se definen de modo que pasen por la impedancia de tierra , además se cumple que la corriente de línea es igual a la corriente en la fase correspondiente tanto en el generador como en la carga. I N = Iφ G = I φ L
I on I N
= I N = ∑ I Z
= I A + I B + I C
Así con cargas desbalanceadas con impedancia de tierra diferente de cero se puede demostrar que la corriente de tierra puede existir y será diferente de cero
Aplicando la ley de Kirchhof de Voltaje en ambas mallas se cumple E AN E BN ECN
= Z an I A + Z N ( I A + I B + I C ) = Zbn I B + Z N ( I A + IB + I C ) = Z cn I C + Z N ( I A + IB + I C )
E AN Z N + Z an E = Z BN N E CN Z N
ZN ZN
+ Zbn ZN
I A * I ZN B Z N + Zcn I C ZN
La solución de las ecuaciones matriciales obtenidas en los diferentes casos, balanceados o balanceados, hace uso de metodología de Inversión de la matriz de impedancias o bien utilizando la Regla de Cramer