MATEMÁTICAS 11 Conjuntos = ∈ / 3 < < 1 0 4,5,6,7,8,9.
CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos bien determinados. Es decir, dado un objeto y n conjunto, se puede establecer si el conjunto pertenece o no a al conjunto. Cada objeto del conjunto se conoce como elemento. Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Para representar conjuntos se utilizan los diagramas de Venn, diagrama lineal y entre llaves.
Entonces
=
2. Determinar por comprensión el siguiente conjunto.
= 6 6.
Entonces
= ∈ / 3 =
Relación de pertenencia: Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que determinan al conjunto. Para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan símbolos ∈ ∉ respectivamente. Ejemplo
= ,,, ∉;∈ DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Escribir por comprensión el conjunto formado por los elementos de la región rayada.
Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras: por extensión se nombra cada uno de los elementos que hace parte del conjunto y por comprensión se determina una característica común de todos los elementos. Ejemplo:
= 1,3,5,7,9,… Por extensión = / ú
Por
comprensión.
= ∈ / ∉ ∧ ∉
Ejemplos
Relación de inclusión: Un conjunto A esta
1. Determinar por extensión el siguiente conjunto
contenido en otro conjunto B, si todos los elementos de conjunto A pertenecen al conjunto B. se escribe ⊂ . En símbolos ⊂ ↔ (∀ ∈ → ∈ ).
JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES COMPUTADORES
MATEMÁTICAS 11 Conjuntos Cuando hay por lo menos un elemento de A que no está en B, se dice que A no está Contenido en B se escribe ⊄
Relación de igualdad: dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, es decir; = ↔ ⊆ ∧ ⊆ .
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Se representa ∪ en símbolos ∪ = / / ∈ ∨ .
Ejemplos: Diagrama de Venn en la unión 1. Dados los conjuntos A, B y C, representar gráficamente gráficamente la situación dada.
⊂ ⊂ La representación gráfica es: La unión cumple propiedades.
Idempotencia:
Conmutativa:
⊆ ⊆
Modulativa:
las
siguientes
∪ = ∪ = ∪
∪ ( ∪ ) = ( ∪
Asociativa:
) ) ∪
con
∪ ∅=
JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES COMPUTADORES
MATEMÁTICAS 11 Conjuntos Ejemplo: Determinar la unión de los conjuntos
= ∈ 6 < ≤ 11 1 1 = 2,3,5,8,15 = 7,8,9,10,11 2,3,5,8,15
Se tiene que
y
Asociativa: ∩ ( ∩ )
= ( ∩ ) ∩
Anulativa:
Distributiva:
∪ ( ∩ ) =
Distributiva:
∩ ( ∪ ) =
=
La unión de los conjuntos queda de la siguiente manera.
∩ ∅=∅
∪ = 2,3,5,7,8,9,10,11,15 INTERSECCIÓN
( ∪ ) ∩ ( ∪ )
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen A y B simultáneamente. Se representa ∩ en símbolos ∩ = / ∈ ∧ ∈ . El diagrama de Venn en la intersección
( ∩ ) ∪ ( ∩ )
La intersección entre conjunto cumple las siguientes propiedades.
Idempotencia: ∩ =
Conmutativa: ∩
= ∩
Ejemplo: Determinar dados
las
intersecciones indicadas = 1,3,7, = ∈ / ≤ 10 y = 3 a. ∩
∩ = 1,3,7 JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES COMPUTADORES
MATEMÁTICAS 11 Conjuntos b. ∩ ( ∩ )
El diagrama de Venn en el complemento. complemento.
∩ ( ∩ ) = ∩ 3 = 3
DIFERENCIA La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. se representa en símbolos = / ∈ ∧ ∉ . El diagrama de Venn en la diferencia.
Ejemplo:
= / = ∈ / ú ú Hallar
= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 = 2,4,6,8 Por tanto
= 0,1,3,5,7,9 ACTIVIDADES
Ejemplo: Se tienen los conjuntos = ,,, y = ,,, hallar y
= ,
1. Dado el conjunto A, formado por las letras de la palabra “esternocleidomastoideo”, escribe falso o verdadero según el valor de verdad de cada expresión. a. ∈ b. ℎ ∈ c. ∈ d. ∈
= , COMPLEMENTO El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U, que no pertenece a A. se representa y se lee complemento de A. en símbolos = / ∈ ∧ ∉ = .
e. ∈ f. ∈ g. ∈ h. ∈
i. ∈ j. ℎ ∈ k. ∈
2. Escribe por extensión los siguientes conjuntos. a.
= / ∈ ℕ , 7 = 9
b. =
/ ∈ ℤ, = 9
JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES COMPUTADORES
MATEMÁTICAS 11 Conjuntos c.
= / ∈ ℝ, = 1
d.
= {/ ∈ ℝ, = √ 25} 25}
e.
= / ∈ ℕ, < 12
f.
El cardinal de un conjunto es el numero de elementos que posee. El cardinal de un conjunto A se simboliza n(A) y se lee número de elementos de A. Determina el cardinal de cada conjunto.
= / ∈ ℤ+ , 1 = 8
g. =
/ ∈ ℤ−, < 3
3. Dados los conjuntos
= / = ,,,,,, ,,,,,,
a.
= / ∈ ℕ, < 10
b.
= / ∈ ℤ , 8 < < 2
c.
= / ∈ ℤ− , < 2
d.
= / ∈ ℕ , < 1 3
= /
e. = / ∈ ℕ , > 4 f. = / ∈ ℕ , = 1
=
g.
= /
5. Dados los conjuntos ,, , determina el conjunto indicado en cada caso. Y graficar.
= ,,,,,,,,, ,,,,,,,,, a. Indica cuales de los conjuntos están determinados determinados por extensión. extensión. b. Indica cuales de los conjuntos están determinados determinados por comprensión. c. Determina por extensión el conjunto U d. Determina por comprensión el conjunto E e. ¿Cuáles de los conjuntos son unitarios? f. ¿Qué conjunto es vacío?
= / ∈ ℤ+, ≤ 1 0
= 1,2,3,4,5,6,7,8,9 = 2,4,6,8,10 = 1,2,3,4,5 = 1,3,5,7,9 a. ∪ b. ∩ c. (∪)
d. e. f.
g. ∪ h. ∩
6. El siguiente diagrama representa las edades de los miembros de un grupo de danzas y un coro. Halla el conjunto indicado en cada caso.
g. ¿Cuál es el conjunto universal? 4. Lee la siguiente información
JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES COMPUTADORES
MATEMÁTICAS 11 Conjuntos están en teatro. Mientras que Michelle, Lia y Adelaida pertenecen a porras y voleibol, María y Juana están solo en porras. a. ¿Cuántas niñas practican al menos una de las tres actividades? actividades?
a. ( ( ∩ ) ) ∪ b. ( ∪ ) ∩ c. ∪ ( ) d. ∪
e. ∩ f. g. ( ∪ )
7. Utiliza el diagrama de Venn para representar la operación que se indica en cada caso.
b. ¿Cuáles actividades?
niñas
practican
las
tres
c. ¿Cuáles niñas practican teatro y porras? d. ¿Cuáles voleibol?
niñas
practican
solamente
e. ¿Cuántas niñas practican dos de las tres actividades?
a. ( ∪ ) b. ( ∩ ) 8. Con base en la siguiente información, realiza un diagrama de Venn. En un colegio practican voleibol, porras y teatro. Laura pertenece al grupo de voleibol y de porras, Alejandra únicamente pertenece al grupo de voleibol, Camila y Claudia pertenecen al grupo de teatro y de porras, Rosita, Susana y Ana están en los tres grupos, pero Natalia, Daniela y Lorena solo
JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES COMPUTADORES