Cap´ Cap ´ıtulo 3. Conjuntos infinito infinitoss y cardina cardinales les Lecci´on on 2. Conjuntos contables Son aquellos conjuntos con a lo m´as as tantos elementos como el conjunto de los n´umeros umeros naturales; nos proponemos demostrar que el conjunto de los n´umeros umeros racionales (a´ un cuando para algunos lectores sea dif un dif´´ıcil de creer) es contable. Diremos que un conjunto es contable si y s´ olo si es dominado por el de los n´ umeros naturales, es decir, A es contable si y s´ olo si A N . 3.17 Definici´ on on
Un conjunto se llamar´ a numerable si y s´ olo si es equipotente con N . potente N . Seg´ un el ejercicio 9 de la secci´on un o n 1, A es contable si y s´olo olo 3.18 Definic Definici´ i´ on on
si (A ≺ N )(A )(A ≈ N N ), ), o sea si y s´olo olo si A es finito o numerable. N´ otese entonces otese entonces que si un conjun conjunto to es con contable table y no es finito, deber´a ser numerable; como usaremos con frecuencia este hecho, lo destacaremos: Un con junto contable e infinito es numer numerable able . 3.19 3.1 9 Pro Propo posic sici´ i´ on on
a) Todo conjunto equipotente con uno contable es contable. b) To Todo do conjunto equipotente con uno numerable es tambi´en en numerable. c) Entre dos conjuntos numerables, siempre existe al menos una biyecci´ on del uno en el otro. otro. d) Si A Si A es contable y B es numerable, entonces existe al menos una inyecci´ on de A en B . Demostraci´ on Las partes b) y c) son consecuencias inmediatas de la simetr´ıa ıa y la transitividad de la equipotencia y las a) y d) se siguen de la proposici´on 3. Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es 3.20 Proposici´ on on numerable . Demostraci´ on Es pr´acticamente acticamente igual a la del ejercicio 5 de la secci´ on 1 anterior y no la haremos para que el lector ponga algo de su parte. on
1
Todo subconjunto de un conjunto contable es contable . Demostraci´ on Como A ⊆ B → A B, es una consecuencia inmediata de la 3.21 Proposici´ on
transitividad de la dominaci´on. Trivialmente N y N ∗ son numerables; tambi´en lo son seg´ un la Proposici´on 3.21, el conjunto de los naturales pares {0, 2, 4, 5, · · · } y el de los impares {1, 3, 5, 7, · · · }. M´as interesante es ver que Z tambi´en es numerable; la funci´on definida mediante el diagrama siguiente es una biyecci´on.
{. . . , −5, ↓ {. . . , 9,
−4, ↓ 7,
−3, ↓ 5,
−2, ↓ 3,
−1, ↓ 1,
0, ↓ 0,
1, ↓ 2,
2, ↓ 4,
3, ↓ 6,
4, . . . } = Z ↓ 8, . . . } = N
Para el lector que crea que las funciones solo se definen por “f´ormulas”, la anterior funci´on f : Z → N se puede determinar as´ı: f (n) = 2n si n ≥ 0 (f : Z → N ) = −2n − 1 si n < 0 Es decir que f 1 : Enteros no negativos → Naturales Pares, con f 1 (n) = 2n y f 2 : Enteros negativos → Impares, con f 2 (n) = −2n − 1, son biyecciones con dominios y codominios disyuntos de modo que su uni´on f = f 1 ∪ f 2 es tambi´en una biyecci´on. Nuevamente la proposici´ on 3.19 pone de presente que los conjuntos {2n | n ∈ Z } y {2n + 1 | n ∈ Z } de enteros pares e impares respectivamente, son numerables, lo mismo que Z ∗ = Z − {0}. Vayamos hacia la numerabilidad de conjuntos mayores. 3.22 Teorema
N ×N es numerable . Demostraci´ on [Primera Demostraci´on:]
Como la funci´on N → N × N definida mediante n → (n, 0) es trivialmente inyectiva, entonces N (N × N ); si logramos probar que (N × N ) N , el teorema de Cantor-Bernstein nos permite concluir inmediatamente que N ≈ N × N . Para obtener (N × N ) N , es suficiente hallar una funci´on f : N × N → N inyectiva. Una manera de hacerlo es tomar dos naturales mayores que 1 que sean primos relativos, por ejemplo 2 y 3 y definir f en la forma f (m, n) = 2 m · 3n ; es f´acil probar que f es inyectiva; si f (m, n) = f ( p, q ), 2m · 3n = 2 p · 3q , pero 2m divide a 2m 3n , luego 2m divide a 2 p 3q y siendo 2 primo con 3, 2 m divide a 2 p , de modo que m ≤ p. Intercambiando los papeles en el argumento anterior, m = p y utilizando la propiedad cancelativa del producto en la igualdad inicial se deduce 3n = 3q , luego n = q y (m, n) = ( p, q ). Demostraci´ on [Segunda demostraci´on] Que un conjunto sea numerable significa que podemos disponer sus elementos en
2
sucesi´ on infinita sin repeticiones de elementos, ya que si f : N → A es biyectiva, entonces A = {f (0), f (1), f (2), · · · } = {a0 , a1 , a2 , · · · }.
j. Se dice que ´esta es una numeraci´ con ai = aj cuando i = on biyectiva de A. Representemos gr´aficamente N × N y tracemos una sucesi´on de flechas, las cuales determinan la numeraci´on ( en forma diagonal) de los elementos de N ×N , como lo muestra el gr´afico adjunto. El gr´afico puede interpretarse intuitivamente como un cordel que va pasando por los puntos de N × N , es decir, sobre el cual se van marcando los puntos de N × N ; si lo estir´asemos, estos aparecer´ıan exactamente como uno marca los puntos de N sobre una semirrecta con origen inclu´ıdo. La estrategia con que se recorre todo N × N fu´e creada por G. Cantor y es uno de sus famosos procedimientos diagonales. Puede modificarse para producir una biyecci´on f de N × N sobre N y convencer categ´oricamente al m´as esc´eptico. Simplemente cambiamos el orden del recorrido, conservando la diagonalidad:
Comenzamos en (0, 0) (o sea que f (0, 0) = 0) y pasamos a (1, 0) y seguimos a (0, 1) (o sea que f (1, 0) = 1 y f (0, 1) = 2); saltamos a (2, 0) y continuamos 3
a (1, 1) y a (0, 2) (o sea que f (2, 0) = 3, f (1, 1) = 4, f (2, 0) = 5); saltamos a (3, 0), · · · Si convenimos que “(0, 0) est´ a sobre la diagonal cero”, entonces (0, 1) y (1, 0) est´ an en la diagonal 1, y (2, 0), (1, 1) y (0, 2) est´ an en la diagonal 2, · · · . Observamos que todos los puntos (x, y) de la diagonal n son tales que x + y = n y que la diagonal n est´ a constituida por n + 1 puntos. As´ı para averiguar el sitio que ocupa en la sucesi´on un punto (x, y) (comenzando a contar por 1), sumamos x + y; as´ı (x, y) est´ a en la diagonal x + y; sobre las diagonales anteriores hay 1 + 2 + 3 + · · · + (x + y) puntos; en la diagonal x + y, el punto (x, y) ocupa el lugar y + 1, luego el punto (x, y) est´ a en el lugar 1 + 2 + 3 + · · · + (x + y) + (y + 1) (comenzando a contar por 1), o sea (x + y)(x + y + 1) + y + 1; si comenzamos a contar por cero, (x, y) estar´a en el 2 (x + y)(x + y + 1) (x + y)(x + y + 1) lugar + y, es decir que f (x, y) = + y es la 2 2 biyecci´on de N × N sobre N que est´abamos buscando. Z × Z ∗ es numerable . Demostraci´ on Como Z ≈ N y
3.23 Corolario
Z ∗ ≈ N , entonces (ejercicio 7 de la secci´on 1 anterior) Z × Z ∗ ≈ N × N ≈ N . A primera vista Z × Z ∗ es mucho m´as numeroso que Q, ya que los racionales son clases de equivalencia de elementos de Z × Z ∗ y hay menos clases de equivalencia que elementos de Z ×Z ∗ ; esto implica que Q Z ×Z ∗ y siendo Z ×Z ∗ numerable, Q ser´a contable, pero por ser infinito Q resultar´a numerable. Para obtener realmente este resultado basta establecer de una manera rigurosa que Q Z × Z ∗ , para lo cual es suficiente demostrar que Q es equipotente con un subconjunto (infinito) de Z × Z ∗ .
Sea Q = {(0, 1)} ∪ {(m, n) ∈ Z × Z ∗ | n > 0 ∧ m primo relat. con n}.
Evidentemente Q es un subconjunto infinito (∀k ∈ Z, (k, 1) ∈ Q) de Z × Z ∗ y en consecuencia numerable. m La funci´on f : Q → Q dada por f (m, n) = es una biyecci´on puesto que n m f (0, 1) = 0 y para m = 0 se tiene que no es otra cosa que la forma irreducible n de un racional y es conocido que todo racional no nulo posee una ´unica forma irreducible. Enunci´emoslo formalmente: 3.24 Teorema
El conjunto de los racionales es numerable .
Sabemos que
un conjunto A es contable si y s´olo si existe una funci´on inyectiva f : A → N ; pero seg´ un el teorema 4, esto sucede si y s´olo si existe una funci´on sobreyectiva g : N → A. En esta forma obtenemos una estrategia alternativa para demostrar que un conjunto es contable: construir una funci´on de N sobre A. Mejor a´ un: 4
Un conjunto A es contable si y s´ olo si dado cualquier con junto B numerable, existe una funci´ on de B sobre A. Demostraci´ on Como B es 3.25 Teorema
numerable, hay una biyecci´on h : B → N . Si A es contable, existe una funci´on sobreyectiva g : N → A; la compuesta g ◦ h : B → N es la funci´on sobreyectiva buscada. Rec´ıprocamente si existe f : B → A sobreyectiva, la compuesta f ◦ h−1 es una funci´on de N sobre A, luego A es contable. Como una aplicaci´on del teorema 3.25, demostraremos nuevamente que Q es contable: Sabemos que Z × Z ∗ es numerable, de manera que basta hallar una funci´on de Z × Z ∗ sobre Q. La m´ as natural es aquella que a toda pareja (m, n) hace corresponder el racional m/n. Contrasta esta prueba tan sencilla con la anterior para la cual utilizamos la unicidad de la representaci´on de un racional como m/n con m y n primos relativos. Como un corolario m´as del teorema 3.22 se tiene el resultado siguiente: Si A1 , A2 , · · · An ( n ≥ 2) son conjuntos contables, su producto cartesiano tambi´en es contable . Demostraci´ on 3.26 Proposici´ on
a) Si A1 y A2 son contables, A1 N y A2 N , luego por la u ´ ltima parte del ejercicio 7 de la secci´on 1, (A1 × A2 ) (N × N ), y siendo N × N ≈ N , por la proposici´on 3 concluimos que A1 × A2 N . b) Supongamos que la propiedad vale para n y mostremos que tambi´en se tiene para n + 1: A1 × A2 × · · · × An × An+1 = (A1 × A2 × · · · × An ) × An+1 y este u ´ ltimo producto es contable ya que tanto A1 × A2 × · · · × An como An+1 lo son, y por la parte a) la propiedad se cumple para dos. Observemos que si todos los conjuntos son finitos, su producto tambi´en lo es y si todos los conjuntos son no vac´ıos y al menos uno es numerable, su producto cartesiano ser´a infinito y en consecuencia numerable. De suma utilidad son los dos resultados siguientes: La uni´ on de una colecci´ on numerable de conjuntos contables disyuntos dos a dos es contable . Demostraci´ on Sea {A0 , A1 , A2 , · · · } una 3.27 Proposici´ on
numeraci´ on biyectiva fija de la colecci´on numerable C de conjuntos contables disyuntos dos a dos; como cada uno de los Ak es contable, dispongamos sus elementos en una sucesi´on fija, Ak = {ak 0 , ak 1 , ak 2 , · · · } (finita o no seg´ un lo sea 5
Ak ). Definamos una funci´on f : n∈N An → N × N en la forma siguiente: Sea x ∈ n∈N An ; como los An son disyuntos dos a dos, existe un u ´ nico k tal que x ∈ Ak ; entonces x = akj con k, j u ´ nicos. Definimos f (x) = (k, j) haci´endole corresponder la pareja ordenada de sus sub´ındices (x pertenece al conjunto k´esimo y en ´el ocupa el j-´esimo lugar). Claramente f est´ a bien definida ya que los conjuntos son disyuntos dos a dos y adem´as es inyectiva ( si x = y, difieren en el conjunto al cual pertenecen, o si est´ an en el mismo, difieren en el lugar que ocupan en la sucesi´on). Entonces n∈N An N × N y como N × N ≈ N , entonces por la proposici´ on 3, n∈N An N . Una forma m´as t´ecnica de hacer
esta prueba es la siguiente: Debido a que cada uno de los An es contable, cada An es equipotente con un subconjunto Aˆn de N ; si Dn = {n} × Aˆn , trivialmente Aˆn ≈ Dn y por transitividad, An ≈ Dn . Existe entonces una biyecci´ on f n : An → Dn ; siendo disyuntos dos a dos tanto los dominios de las f n como los codominios, su uni´on es una biyecci´on f = n∈N f n : n∈N An → n=∈N Dn .
⊆
Como Aˆn ⊆ N , {n} × Aˆn = Dn ⊆ {n} × N luego n∈N Dn n∈N {n} × N = N × N o sea que f establece una equipotencia entre n∈N An y un subcon junto de N × N , lo cual prueba que n∈N An es contable (por las proposiciones 3.19 y 3.20).
El mismo argumento sirve para el caso en el cual la familia en vez de numerable es finita, luego “la uni´on de una colecci´on contable de conjuntos contables disyuntos dos a dos es contable”. La condici´on de ser disyuntos dos a dos se puede eliminar, ya que de no serlo, la uni´on posee intuitivamente menos elementos que en el caso de ser disyuntos. La uni´ on de cualquier colecci´ on contable de conjuntos con3.28 Teorema tables es tambi´en contable . Demostraci´ on Como la colecci´on {A0 , A1 , · · · An } posee la misma uni´on que la colecci´on numerable {A0 , A1 , A2 , . . . , A n , ∅, ∅, ∅, . . . }, basta considerar el caso numerable. Sea {A0 , A1 , A2 , . . . } una colecci´on numerables de conjuntos contables; definamos una nueva colecci´on numerable as´ı: B0 = n−1 A0 , B1 = A1 − A0 , B2 = A2 − (A0 ∪ A1 ) y en general Bn = An − k=0 Ak ; se observa que Bn ⊆ An , as´ı que los Bn son contables y disyuntos dos a dos; ∞ ∞ adem´ as n=0 An = n=0 Bn (el lector debe probar estas dos afirmaciones; vea el ejercicio 9 de la secci´on 3 del Cap. I), sigui´endose inmediatamente el teorema por la proposici´on 3.27. Como un ejemplo de su aplicaci´on probemos nuevamente p que Q es contable; para cada n entero mayor que cero, sea Z n = { | p ∈ Z }: n trivialmente Z n ≈ Z , as´ı que Z n es numerable. Por el teorema 3.28, ∞ n=1 Z n es contable, pero esta uni´on es precisamente Q, as´ı que ´este es contable; siendo infinito, es numerable.
Combinando este resultado con la proposici´on 3.26 se obtiene que tambi´ en n Q × Q, Q × Q × Q y en general Q , son contables. 6
Terminemos esta secci´on ilustrando la forma como se puede manipular un conjunto infinito y demostrando el teorema 8 usando funciones sobreyectivas. Mostremos que N puede descomponerse en infinitos subconjuntos infinitos disyuntos dos a dos: Como A0 tomemos el conjunto de los impares: A0 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · } = {2n + 1 | n ∈ N } ≈ N obtengamos A1 multiplicando por 2 todos los n´ umeros de A0 : A1 = {2, 6, 10, 14, 18, 22, · · · } = {2(2n + 1) | n ∈ N } ≈ N En general, Ak = {2k (2n + 1) | n ∈ N } ≈ N
.
∗ Claramente todos los Ak son numerables y ∞ as k=0 Ak = N − {0} = N . Adem´ si i = k, necesariamente Ai ∩ Ak = ∅ ya que la descomposici´on de un natural no nulo en la forma 2k (2m + 1) es u ´ nica.
Si (C k )k∈N es una familia numerable de conjuntos contables, por el teorema 7 existe para cada k una funci´ on f k : Ak → C k sobreyectiva. Como los Ak son ∞ disyuntos dos a dos, es una funci´on de k=0 f k ∞ ∞ ∗ N = k=0 Ak en k=0 C k tambi´en sobreyectiva. (ejercicio 12, secci´on 3, Cap. II), luego de nuevo por el teorema 3.25 se concluye que ∞ k =0 C k es contable.
Curso de Topololog´ıa General. http://www.virtual.unal.edu.co
7