BAB II PENDAHULUAN
2.1 Pengertian Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang abash dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Induksi matematika adalah metode penalaran deduktif. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements
n
A S(n) dengan A
N dan N adalah himpunan
bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.
2.2 Tahapan Induksi Matematika
Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam himpunan bilangan positif atau himpunan bilang asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari 3 langkah, yaitu : a. Langkah basis Menunjukan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1 b. Langkah induksi Menunjukan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k+1. c. Kesimpulan Definisi:
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bias benar atau salah. Misalkan, 1. P(1), benar 2. Jika untuk n=k yaitu P(k) benar, maka untuk n=k+1 harus kita buktikan P(k+1) benar Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n
Contoh Soal Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2 1 + 3 + 5 + …. + (2n (2n - 1) = n2
Penyelesaian (i)
Langkah Basis : Misalkan , p(n) adalah 1 + 2 + 3 + … + (2n - 1) = n 2 P(1) (2n - 1) = n 2 (2.1 - 1) = 12 1 = 1 ( benar ) Jadi, p(1) benar.
(ii)
Langkah induksi : mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu : n = k 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k 2 Kita harus memperlihatkan bahwa n= k+1 n = k+1 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2n - 1) = n2 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1)
= (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2k + 2 - 1)
= (k + 1)2
k 2
+
(2k + 1)
= (k + 1)2
(k + 1)2
= (k + 1)2
(Terbukti)
Jadi, p (k + 1) benar.
2.3
Prinsip-prinsip Induksi Matematika 2.3.1. Prinsip Induksi Sederhana.
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif. Untuk membuktikan pernyataan ini, diperlukan langkah-langkah seperti dibawah ini: a. Basis: tunjukan p(1) benar. b. Induksi: Misal p(n) benar untuk semua bilangan p ositif n
1
c. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi . d. Kesimpulan: Buktikan bahwa p(n+1) benar. Bila kita sudah menunjukkan semua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh Soal:
Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Penyelesaian: (i) Basis induksi: induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. (ii) Langkah induksi: induksi: Andaikan p Andaikan p((n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n (2n – 1) 1) = n2 adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ken adalah (2n (2n – 1)]. 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p bahwa p((n +1) juga benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2n (2n – 1) 1) + (2n (2n + 1) = (n (n + 1)2 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 1 + 3 + 5 + … + (2n (2n – 1) 1) + (2n (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n (2n – 1)] 1)] + (2n (2n +1) = n2 + (2n (2n + 1) = n2 + 2n 2n + 1 = (n (n + 1)2 Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Contoh 2 (Pembuktian rumus jumlah deret persegi) 1
Buktikan : 12+ 22+ 32+42...+n2 = n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli. 6
Bukti : 1
(i ) B asis i nd nduksi uksi : Untuk n = 1, maka diperoleh 12 = 6 .1 (1+1) (2.1+1) 1=1 (terbukti). 1
(ii) Langkah induksi :n = k, 12+ 22+ 32+42...+k 2 = 6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar. n = k+1,
1
12 + 22 + 32 + 42 ... + k 2 + (k + 1)2
= (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1).
12 + 22 + 32 + 42 ... + k 2 + (k + 1)2
= (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)
1
k (k + 1) (2k + 1) + (k + 1)2
6
(k + 1) [
1 6
k (2k + 1) + (k + 1) ]
1
6
6
6
(k + 1) [ k (2k + 1) + (k + 1) ] 1
(k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ]
6 1
6
1 6
1
= (k + 1) ((k + 1) + 1) 1 ) (2(k + 1) + 1) 6
1
= (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1) 6
1
= (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1) 6
1
= ( k + 1) ((k + 1) + 1) (2( k + 1) + 1) 6
1
(k + 1) [ 2k 2 + 7k + 6]
= (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)
6
6
1
1
(k + 1) [(k + 2)(2k + 3)]
= (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1)
6
6
1
1
6
6
(k + 1) [(k + 1 + 1) 1 ) (2(k + 1) + 1)] = (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) (Terbukti)
Contoh 3 (Pembuktian rumus jumlah deret kubik)
Buktikanlah bahwa jumlah kubik n bilangan bulat pertama adalah :
(i ) B asis i nd nduksi uksi : Untuk n = 1
(i i) L angkah ngkah ind induksi uksi :n = k, Asumsikan P(k) benar, sehingga
akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu
Perhatikan
Terbukti bahwa P(k+1) juga benar. Karena P(1) benar, dan bila P(k) diasumsikan benar berakibat P(k+1) juga benar, maka P(n) benar. Jadi, terbukti bahwa :
2.3.3
Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Misalkan p Misalkan p((n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p bahwa p((n) benar untuk semua bilangan bulat n n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. Basis: p(n Basis: p(n0) benar 2. Induksi: Andaikan p(n) benar untuk n ≥ n0 3. Kesimpulan: buktikan Kesimpulan: buktikan bahwa P(n + 1) benar. Jika p Jika p((n) benar maka p maka p((n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0
Contoh soal:
Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1 Penyelesaian: (i) Basis induksi. induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif ne gatif pertama), kita peroleh: 20 = 20+1 – 1. 1. Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1 1 = 21 – 1 1 = 2 – 2 – 1 1 =1 (ii)
Langkah induksi. induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1 adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1 juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut: 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) 1) + 2n+1 (hipotesis induksi) = (2n+1 + 2n+1) – 1 1 = (2 . 2n+1) – 1 1
= 2n+2 - 1 = 2(n+1) + 1 – 1 1 Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 1
2.2.3.
Prinsip Induksi Kuat
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bu lat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n
n0. Untuk
membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n0) benar, dan 2.
Jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n
n0.
Contoh soal:
Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n (n
2) dapat dinyatakan sebagai perkalian
dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat. Penyelesaian: Basis induksi. induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri. Langkah induksi. induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1: a.
Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat d apat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
b.
Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain, (n + 1)/ a = b atau (n + 1) = ab
yang dalam hal ini, 2
a
b
n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat
dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n +1 = ab. ab.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n (n
2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau
lebih) bilangan prima.
2.3
Pengertian Teori Binomial
Teori binomial merupakan perpangkatan dari jumlah atau selisih dua suku tanpa mengkalikan atau menjabarkannya , yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan oleh tanda “+” , atau tanda ““-“ sebagai contohx+y, contohx+y, 2x-5y.
2.4
Dasar Teori Binomial
Untuk mengetahui binomial ada beberapa materi yang harus dikuasai terlebih dahulu.Diantaranya :
Notasi Faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiapbilangan asli n, didefinisikan: n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) (n-2) x (n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2 n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) 2) × (n – (n – 1) × n atau n! = n × (n – (n – 1) 1) × (n – (n – 2) 2) × … × 3 × 2 × Contoh :
2! = 1∙2 = 2,
3! = 1∙2∙3 = 6 4! = 1∙2∙3∙4 = 2
5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120,
n! = 1∙2∙3…n, (r 1∙2∙3…n, (r – – 1) 1) ! = 1∙2∙3…(r – 1) 1)
Kombinasi
Susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen. Kombinasi r elemendari n elemen ditulis: nKr
Segitiga Pascal
Membahas mengenai Teori Binomial tidak akan lepas dari segitiga pascal. Segitiga pascal adalah suatu aturan geometri dalam sebuah segitiga. Segitiga pascal
terdiri dari beberapa baris dimana dalam setiap barisnya terkandung bilangan-bilangan yang berupa koefisien daripada bentuk ekspansi pangkat bilangan cacah dari binomial.
Bisa dilihat dari gambar diatas bahwa puncak atau bagian teratas dari segitiga pascal (baris ke 0) diisi dengan angka 1. Kemudian di bawahnya (baris ke 1) diisi dengan angka 1 dan 1. Kemudian baris elanjutnya (baris ke-2) tetap di isi dengan angka 1 dan 1 dibagian sisinya kemudian pada bagian dalam diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (1+1=2). Sedangkan Sed angkan untuk baris ketiga diisi dengan angka 1 dan 1 pada bagian sisi kemudian bagian tengahnya diisi dengan angka hasil dari penjumlahan dua buah bilangan yang ada pada baris ke-2 (1+2 =3). Kemudian perhatikan pada baris keempat, angka 4 di dapatkan dari hasil penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (1+3) begitu juga angka 6 diperoleh dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (3 + 3). dan be gitu seterusnya. 2.5 Teori Binomial 2.5.1 Ekspansi
Ekspansi merupakan salah satu penjabaran yang terdapat dalam Teori Binomial Newton.Ekspansi atau yang sering kita sebu tpenjabaran adalah caramenguraikan soalsoal teori binomial yang berbentukperpangkatan dari hasil perkalian berulang. Misalnyauntuk n = 1,n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, denganmengkalikansetiap factor diperoleh hasi l2orekspansisebagai berikut :
Ciri-ciri ekspansi yang benar untuk bilangan bulat positif 1.
Banyak suku suku di ruas kanan adalah satu suku lebih banyak daripada daripada pangkatnya atau eksponennya. Hal ini memberikan gambaran ekspansi suku.
2.
Suku pertama dari
adalah dan suku terakhir adalah
3.
Perhatikan hasil ekspansi pada ruas kanan. Jika dibaca dari kiri ke kanan, eksponen dari a berkurang 1 dan eksponen untuk b bertambah 1. 2.5.2 Koefisien Binomial Koefisian adalah nilai atau ketetapan, koefisien binomial merupakan nilai yang terdapatdi depan suku-suku binom yang sudah di ekspansikan. Untukmengetahui koefisiennya, harus diekspansikan terlebihdahulu.Dan untuk mengekspansikannya tinggalmengkalikan sesuai dengan eksponennya atau mengikutiaturan dalam segitiga pascal.Namun, bukan berarti untukmengetahui koefisiennya hanyam engikuti nilai-nilai yang terdapat dalam segitiga pascal.Karena hal tersebutdianggap kurang efisien, maka untuk mengetahuikoefisiennya ada formula yang lebih efisien sebagai berikut :
Xn-r . yr yr = . an-r . br
2.5.3
Hubungan Kombinasi dengan Binomial
Perhatikan ilustrasi berikut. Dalam aljabar, kita tahu bahwa = Penjabaran dari
.
merupakan perkalian dari 3 faktor. =
Lalu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga faktor itu. Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemudian mengalikannya,
maka
kita
peroleh aab,
dan
seterusnya.
Sehingga
kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb Jika dikalikan menjadi: ;
;
;
;
;
;
;
Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah
semua
Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari
muncul dari pemilihan a dari 2 faktor
dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan dalam sama bisa dilakukan untuk memperoleh koefisien
atau
cara. Cara yang
yang dalam hal ini merupakan
pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau
cara, dan seterusnya.
Melalui
hubungan
kombinasi
dengan
teorema
binomial, maka
kita
dapat
merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut:
= atau = Sifat-sifat perluasan ( a+b ) n
Suku pertama adalah an dan suku terahir adalah bn Jika kita berjalan dari suku pertama menuju suku terahir, maka pangkat dari aturun satusatu dan pangkat dari b naik satu-satu Jumlah pangkat dari a dan b pada setiap suku sama dengan n Terdapat n+1 suku Koefisien suku pertama adalah , koefisien suku kedua adalah , dan seterusnya dengan = dan 0≤r≤n
2.5.4. Menetukan Suku Pada Binom
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya mengenai teori binomial yang merupakan perpangkatan yang terdiri dari dua suku yang dipisahkan oleh oleh tanda “+”, ““-“. Berdasarkan pengertian tersebut kita dapat mengubah dari binom yang bentuknya pangkat menjadi tidak berpangkat dengan cara menjabarkannya.Sehingga yang awalnya terdiri dari dua suku menjadi lebih dari dua suku.
Adapun cara lain untuk mencari suku ke-n tanpa menggunakan penjabaran yaitu dengan menggunakan rumus berikut : Suku ke-(r+1) = xn-r yr , adapun formula untuk menentutakan suku ke r dari (a+x)n= 2.7 Soal Latihan Teori Binomial
1. Ekspansikan Jawab: Jikamemakaicararumit, biassajakitamenghitungdengancaramengalikansebanyak 6 kali. Tapi, karenarumit, kitagunakanteorema binomial. =.+.+.+.+.+.+. Ingatbahwa: Ingatbahwa: =.+.+.+.+.+.+. = + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. +
2. Tentukansuku ke-3 dariekspansi 5 Jawab : Suku ke-3 (S3) = =2 = 10 = 1080 3.Tentukan Koefisien x2y3 dari kombinasi ( x + 3y )5 Jawab : Xn-r . yr = . an-r . br = .12.33 = . 1 . 27 = . 27 = . 27 = 10 . 27 = 270
4. Sukuke 9 dari( + )¹². Sukuke 9 = )⁴
5. Tentukan jumlah koefisien dari ( -2x + 5y )6 Jawab : ( -2x + 5y )6 = -2x6 + 5 2 = + 55 = -2-60-150-800-150-60+5 =1217
