Seri Pendidikan Aktuaris Indonesia
Ruhiyat
50+ Soal & Jawab Matematika Aktuaria
DRAF 1 JAWABAN UJIAN PAI A60 - MATEMATIKA AKTUARIA 26 NOVEMBER 2014 Ruhiyat Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2015
1. Sebuah variable acak dari distribusi age-at-failure , dide…nisikan sebagai berikut: F x (x) = 1 0:10 (100 x)1=2 untuk 0 x 100. 1
Carilah nilai E (X ) yang paling mendekati, bila diketahui fungsi E (X ) =
R
Sx (x) dx
0
Jawab S x (t) = 1 F x (t) = 0:1 (100 x)1=2 , 0 t 100 1
E (X ) =
Z Z
S x (t) dt
0 100
=
0:1(100 t)1=2 dt
0
0:2 = (100 t)3=2 3 0:2 = (0 1000) 3 = 66:667 Jawaban: C. 66:67
1
100 0
2. Hitunglah nilai dari a •x:4 , diketahui sebagai berikut:
h i
• a •x:4 = E Y x:4 k 1 2 3 4
a•k 1:00 1:93 2:80 3:62
k1 jq x
0:33 0:24 0:16 0:11
Jawab
h i X
• a •x:4 = E Y x:4 3
=
a •k k1jq x + a•4
k=1
1
X
k1 jq x
k=4
= (1:00) (0:33) + (1:93) (0:24) + (2:80)(0:16) + (3:62) (1 0:33 0:24 0:16) = 2:2186 Jawaban: A. 2:2186
2
3. Sebuah perusahaan mesin cuci menyediakan garansi perbaikan untuk setiap mesin baru yang di jual. Perusahaan mengharuskan customer membayar 50 ( deductible ) untuk setiap perbaikan. Tabel di bawah ini menunjukkan biaya perbaikan selama ini. Loss amount
(x) 25 52 70 75 150
Event
A B C D E
Hitunglah berapa variance untuk biaya yang dibayarkan oleh perusahaan pada setiap kejadian kerusakan? Jawab Misalkan peubah acak X menyatakan biaya yang dibayarkan oleh perusahaan pada setiap kejadian kerusakan, maka Pr (X = x) =
(
1 , 5 0,
x = 0, 2, 20, 25, 100 selainnya.
E [X ] = (0) E X 2
=
02
1 1 1 1 1 147 + (2) + (20) + (25) + (100) = 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 11029 + 22 + 202 + 252 + 1002 = 5 5 5 5 5 5
11029 V ar [X ] = E X (E [X ]) = 5 2
2
Jawaban: D. 1341:44
3
147 5
2
=
33536 = 1341:44 25
4. Sebuah asuransi seumur hidup sebesar 1 untuk seorang berusia 41 tahun, dengan manfaat meninggal yang dibayarkan di akhir tahun kematian. Diketahui: (i) i = 5% (ii) P 40 = 0:9972 (iii) A 41 A40 = 0:00822 (iv) 2 A41 2A40 = 0:00433 (v) Z adalah nilai sekarang variabel acak dari asuransi ini. Hitunglah V ar (Z ). Jawab Ax = vq x + vp x Ax+1 A40 = vq 40 + vp 40 A41 1 1 A41 0:00822 = (1 0:9972) + (0:9972) A41 1:05 1:05 0:9972 0:0028 A41 A41 = + 0:00822 1:05 1:05 0:9972 0:0028 1 A41 = + 0:00822 1:05 1:05 (1:05 0:9972) A41 = 0:0028 + (0:00822) (1:05) 0:0028 + (0:00822) (1:05) A41 = 1:05 0:9972 = 0:21650
2
Ax = v 2 q x + v 2 px 2 Ax+1
2
A40 = v 2 q 40 + v 2 p40 2 A41 1 1 2 A41 0:00433 = (1 0:9972) + (0:9972) 2A41 2 2 1:05 1:05 1 0:0028 2 2 A41 (0:9972) A = + 0:00433 41 1:052 1:052 1 0:0028 2 1 (0:9972) A = + 0:00433 41 1:052 1:052 1:052 0:9972 2 A41 = 0:0028 + (0:00433) 1:052 0:0028 + (0:00433) (1:052) 2 A41 = 1:052 0:9972 = 0:071926
V ar [Z ] = 2 A41 (A41 )2 = 0:071926 (0:21650)2 = 0:02504 Jawaban: C. 0:02544 4
5. Sebuah anuitas menaik (temporary annuity due ) membayarkan 2 pada tahun pertama, 3 di tahun kedua dan 4 di tahun ketiga. Diketahui nilai berikut: px = 0:80 px+1 = 0:75 px+2 = 0:50 v = 0:90 Hitunglah variance terhadap nilai sekarang dari variabel acak anuitas ini (present value random variable ) Jawab Kemungkinan 1: x meninggal di tahun pertama anuitas = 2 peluang = q x = 1 0:80 = 0:2 Kemungkinan 2: x meninggal di tahun kedua anuitas = 2 + 3v = 2 + 3 (0:90) = 4:7 peluang = px q x+1 = (0:80) (1 0:75) = 0:2 Kemungkinan 3: x mencapai usia x + 2 anuitas = 2 + 3v + 4v 2 = 2 + 3 (0:90) + 4 0:902 = 7:94 peluang = 2 px = p x px+1 = (0:80)(0:75) = 0:6
Nilai Harapan (2) (0:2) + (4:7)(0:2) + (7:94)(0:6) = 6:104 Momen Kedua 22 (0:2) + 4:72 (0:2) + 7:942 (0:6) = 43: 044
Ragam
43: 044 (6:104)2 = 5:7852
Jawaban: C. 5:79
5
6. Jika X berdistribusi seragam pada (1; 3) , berapakah V ar (X ) ? Jawab (3 1)2 4 1 V ar [X ] = = = 12 12 3 Jawaban: B. 1=3
6
7. Aktuaris A dan B menggunakan tabel mortalita yang sama untuk menghitung premi dari suatu produk asuransi Dwiguna diskrit selama 2 tahun sebesar 1000. (i) Aktuaris A menghitung premi sebesar 608 di tahun pertama dan 350 di tahun kedua. (ii) Aktuaris B menghitung level premi untuk tahun pertama dan kedua. (iii) d = 0:05 Berapakah level premi yang dihitung Aktuaris B? (yang paling mendekati) Jawab A: 608 + 350vp x = 1000Ax:2 B: + vpx = 1000Ax:2 Ax:2 = A1x:2 + Ax:21 = = = =
vq x + v 2 px q x+1 + v 2 2 px v (1 px ) + v 2 px (1 px+1 ) + v 2 px px+1 v vpx + v 2 px v 2 px px+1 + v 2 px px+1 v vpx + v 2 px v = 1 d = 1 0:05 = 0:95
608 + 350 (0:95) px 608 + 332:5 px 380 px px
= 1000 0:95 0:95 px + 0:952 px = 950 950 px + 902:5 px = 342 = 0:9
+ vpx + (0:95)(0:9) + 0:855 1:855
= = = =
608 + 350vp x 608 + 350 (0:95) (0:9) 907:25 907:25 907:25 = = 489:08 1:855
Jawaban: C. 489
7
8. Tentukan nilai dari V ar (Y 95 ), bila menggunakan tingkat bunga tahunan 5% dan nilai sebagai berikut: l95 = 100, l96 = 70, l97 = 40, l98 = 20, l99 = 4, l100 = 0, a95 = 1:2352 dan 2 a95 = 1:1403. Jawab
i 0:05 = 1 + i 1:05 Ax = v dax
d =
A95 = v da95 1 0:05 = (1:2352) 1:05 1:05 = 0:8936 0 = 2 0
e = e2 v0 = v2 1 = 1:052 1 = 1:1025 1 + i0 = (1 + i)2 i0 = (1 + i)2 1 = (1:05)2 1 = 0:1025 i0 0:1025 d = = 1 + i0 1:1025 0
2
2
Ax = v 0 d0 2 ax
A95 = v 0 d0 2 a95 1 0:1025 = (1:1403) 1:1025 1:1025 = 0:8010
A95 (A95 )2 V ar [Y 95 ] = d2 0:8010 (0:8936)2 = 2 2
0:05 1:05
= 1:0933 Jawaban: A. 1:0933 8
9. Suatu asuransi seumur hidup diskrit untuk seorang berusia 40 tahun sebesar 1000. Diketahui: (i) i = 0:06 (ii) a•40:10 = 7:70 (iii) a •50:10 = 7:57 (iv) 1000A140:20 = 60 (v) A 40 = 0:16132 dan A 50 = 0:24905 dan A60 = 0:36913 (vi) a •40 = 14:8166 (vii)
10 E 40
= 0:53667 dan 10 E 50 = 0:51081 dan 20 E 40 = 0:27414
Pada tahun ke 10, tertanggung ingin memilih opsi membayar hanya untuk 10 tahun berikutnya, tetapi tetap terproteksi sebesar 1000 selama seumur hidup. Berapakah premi yang harus di bayar untuk 10 tahun berikutnya? Jawab P 40 a •40 = 1000A40 1000A40 P 40 = a •40 1000 (0:16132) = 14:8166 = 10:888 A50 = 1 d•a50 1 A50 a •50 = d 1 0:24905 = 0:06 1:06
= 13:267 P 40 a •50 = P •a50:10 P 40 a •50 P = a •50:10 (10:888) (13:267) = 7:57 = 19:082 Jawaban: D. 19
9
10. Sebuah select survival distribution dide…nisikan sebagai berikut: 1 S T (t; x) = 1 , untuk 0 x <, dan 0 < t < 40 x. Tentukan e [30]. 40 x
Jawab S T (t; x) = 1
t , 0 x < 40, 0 < t < 40 x 40 x 1
e[30] =
Z Z Z
t p[30] dt
0
10
= =
S [30] (0 + t;30) dt S [30] (0; 30) 0 10 1 10t dt 1 0 10
t2 = t 20 0 = 10 5 0 = 5 Jawaban: C. 5
10
11. Sebuah anuitas ditunda 10 tahun dengan pembayaran 10000 setahun di bayarkan setiap awal tahun (10 year deferred annuity-due ), di jual kepada Bapak X yang berusia 55 tahun, dengan premi neto tahunan yang dibayarkan selama masa penundaan. Sebagai tambahan, produk ini juga meyediakan pengembalian premi tanpa bunga bila Bapak X meninggal selama masa penundaan. Hitunglah premi level neto tahunan bila di ketahui: -a •55:10 = 8 -a •55 = 12 - (IA)155:10 = 2:5 Jawab a55 10 j•
= a•55 a •55:10 = 12 8 = 4
P •a55:10 = 1000010 j•a55 + P (IA)155:10 8P = 10000 (4) + 2:5P 5:5P = 40000 40000 P = = 7272:7 5:5 Jawaban: E. 7273
11
12. Sebuah kontrak dwiguna selama n tahun, dengan premi tunggal netto sebesar 600. Kontrak ini akan membayarkan sebesar 1000 bila tertanggung hidup di akhir tahun n, tetapi hanya akan membayarkan premi netto tunggal bila tertanggung meninggal dalam n tahun. Diketahui: Ax:n = 0:80. Hitunglah nE x . Jawab Ax:n = A1x:n + n E x 0:80 = A1x:n + n E x A1x:n = 0:80 n E x 600 600 600 400n E x n E x
= = = = =
1000n E x + 600A1x:n 1000n E x + 600(0:80 n E x ) 1000n E x + 480 600n E x 120 0:3
Jawaban: C. 0:30
12
13. Tentukan nilai dari 1000 2 V x:3 1 V x:3 , bila menggunakan tingkat bunga tahunan 6% dan nilai sebagai berikut: lx = 100, lx+1 = 90, P x:3 = 0:3251 Jawab t V x:n
= A x+t:nt P x:n a •x+t:nt
1 V x:3
= Ax+1:2 P x:3 a •x+1:2 = Ax+2:1 P x:3 a •x+2:1
2 V x:3
1000 2 V x:3 1V x:3 = 1000
Ax+2:1 P x:3 a •x+2:1 Ax+1:2 P x:3 a •x+1:2
= 1000 Ax+2:1 Ax+1:2 P x:3 a •x+2:1 a •x+1:2
0
Ax+2:1 =
X
v k+1 k px+2q x+2+k + vp x+2
k=0
= vq x+2 + vp x+2 = v 1
Ax+1:2 =
X
v k+1 k px+1q x+1+k + v 2 2 px+1
k=0
= = = =
vq x+1 + v 2 px+1 q x+2 + v 2 px+1 px+2 vq x+1 + v 2 px+1 v (1 px+1) + v 2 px+1 v vp x+1 + v 2 px+1
Ax+2:1 Ax+1:2 = v v vpx+1 + v 2 px+1
= vp x+1 v 2 px+1 0
a •x+2:1 =
X
v k k px+2
k=0
= 1
1
a •x+1:2 =
X
v k k px+1
k=0
= 1 + vp x+1 a•x+2:1 a•x+1:2 = 1 (1 + vp x+1) = vp x+1 13
px+1 = 1000
2 V x:3
lx+1 90 = = 0:9 lx 100
1 V x:3
= 1000 Ax+2:1 Ax+1:2 P x:3 a •x+2:1 a •x+1:2 = 1000
vp x+1 v 2 px+1 P x:3 (vp x+1)
= 1000vpx+1 (1 v) + P x:3 1 1 = 1000 (0:9) 1 + 0:3251 1:06 1:06 = 324:09
Jawaban: E. tidak ada jawaban yang benar.
14
14. Tentukan nilai dari a95 , bila menggunakan tingkat bunga tahunan 6% dan nilai sebagai berikut: l95 = 100, l 96 = 60, l97 = 50, l 98 = 30, l99 = 6, l 100 = 0. Jawab 1 2
3
4
a95 = vp 95 + v 2 p95 + v 3 p95 + v 4 p95 +
X
v k k p95
k=5
l96 l97 l98 l99 + v 2 + v 3 + v 4 + 0 l95 l95 l95 l95 1 60 1 50 1 30 1 6 = + + + 1:06 100 1:062 100 1:063 100 1:064 100 = 1:3104 = v
Jawaban: D. 1:31
15
15. Diketahui x (x) = (80 x)1=2 , for 0 < x < 80. Manakah dari nilai di bawah ini yang paling mendekati median dari distribusi T 20? Jawab 0 (x) = (80 x)1=2 , 0 < x < 80 t
Z Z h
S 0 (t) = exp
0 (y) dy
0
t
= exp
(80 y)1=2 dy
0
= exp
2(80 y)
1=2
1=2
1=2
2(80)
i
S 0 (20 + t) S 0 (20)
h h h
1=2
exp 2(60 t) = 1
t
0
= exp 2(80 t)
F 20 (t) = 1
i i i
1=2
2(80)
exp 2(60)1=2 2(80)1=2
= 1 exp 2(60 t)1=2 2(60)1=2 Pr (T 20 t) = 0:5
h h
1=2
1 exp 2(60 t)
1=2
2(60)
exp 2(60 t)1=2 2(60)1=2
i i
= 0:5 = 0:5
2(60 t)1=2 2(60)1=2 = ln 0:5 2(60 t)1=2 = 2 (60)1=2 + ln 0:5 1 (60 t)1=2 = (60)1=2 + ln 0:5 2 1 60 t = (60)1=2 + ln 0:5 2
t = 60 (60) = 5:249 Jawaban: D. 5:249
16
1=2
2
1 + ln 0:5 2
2
16. Sebuah tabel penurunan multiple (multiple decrement table ) dengan kejadian meninggal (1), ketidakmampuan- disability (2) dan batal (3) dimana pembatalan hanya terjadi pada akhir tahun. Diketahui: 0(1) (i) q 60 = 0:010 0(2)
(ii) q 60 = 0:050 0(3) (iii) q 60 = 0:100
(iv) Kejadian meninggal dan ketidakmampuan berdistribusi seragam sepanjang usia yang diasosiasikan dengan tabel penurunan single . (30) Hitunglah q 60 .
Jawab Jawaban: A. 0:094
17
17. Hitunglah premi neto tahunan dari produk asuransi selama 2 tahun dimana manfaat meninggal sebesar 1000 dibayarkan pada akhir tahun kematian. Premi neto tahunan dihitung berdasarkan equivalence principle . Diketahui: v = 0:90, q x = 0:10 dan q x+1 = 0:20 Jawab a •x:2 = 1 + vp x = 1 + (0:90)(0:90) = 1:81 A1x:2 = vq x + v 2 px q x+1 = (0:90) (0:10) + (0:90)2 (0:90) (0:20) = 0:2358 P •ax:2 = 1000A1x:2 1000 (0:2358) 1:81 = 130:2762431
P =
Jawaban: C. 130:27
18
18. Bila di ketahui informasi berikut: 100 V ar aT x = 9 = 4k
x+t = k untuk semua t Tentukanlah nilai dari k. Jawab t px = e
R t
0 x+r dr
R t
= e 0 kdr = ekt 1
Ax =
Z Z Z 0
=
1
0
v t t px x+t dt et ekt kdt
1
= k
e(+k)t dt
0
k + k k = 4k + k 1 = 5 =
2
1
Ax =
Z Z 0
=
1
v 2t t px x+t dt e2t ekt kdt
0
k 2 + k k = 8k + k 1 = 9 =
19
V ar aT x 2
=
Ax Ax = 2 1 1 2 9 5 = 16k 2 1 = 225k2
k2 = k = k = Jawaban: A. 0:02
20
100 9 100 9 100 9 100 9 9 22500 3 150 0:02
19. Tabel kehidupan diberikan seperti di bawah ini: x lx 0 100000 1 97408 2 97259 3 97160 4 97081 Berapakah yang akan meninggal antara usia 2 dan 4 tahun? Jawab l2 l4 = 97259 97081 = 178 Jawaban: B. 178
21
20. Hitunglah p 38 , bila di ketahui sebagai berikut: 20 23 V 15 =
0:585
20 24 V 15 =
0:600
i = 0:08 Jawab h t V x
=
Ax+t h P x a •x+t:ht , Ax+t , 20 23 V 15 20 24 V 15
t < h, t h.
= A38 = A39
Ax = vq x + vp x Ax+1 A38 A38 A38 A38 v p38
= = = =
vq 38 + vp 38 A39 v (1 p38 ) + vp 38 A39 v vp 38 + vp 38 A39 p38 (vA 39 v) A38 v = v (A39 1) 1 0:585 1:08 = 1 (0:600 1) 1:08 = 0:9205
Jawaban: C. 0:9205
22
21. Sebuah Anuitas seumur hidup ditunda yang dibayarkan di awal periode (deferred annuity due ) dengan masa penundaan selama 30 tahun, di jual kepada seseorang berusia 35 tahun. Di tawarkan juga …tur tambahan bila tertanggung meninggal selama masa penundaan, premi tunggal netto yang telah di bayarkan akan di kembalikan. Hitunglah premi tunggal netto per unit dari produk asuransi tersebut bila diketahui sebagai berikut: a•65 = 9:90 A 35:30 = 0:21 A 135:30 = 0:07 Jawab 1 v 30 30 p35 = A35:30
= A35:30 A135:30 = 0:21 0:07 = 0:14 P =
a35 + P A135:30 30 j•
P = a•65 v 30 30 p35 + P A135:30 P = (9:90) (0:14) + P (0:07) 0:93P = 1:386 1:386 P = 0:93 = 1:490322581 Jawaban: A. 1:49032
23
22. Diketahui tingkat kematian ( force of failure ) untuk perokok adalah 2 kali lipat bukan perokok, untuk semua usia diatas 55 tahun. Bila variable acak untuk age-at-failure berdistribusi seragam dengan ! = 75, hitunglah nilai dari e65:55, jika (65) adalah bukan perokok dan (55) adalah perokok dan saling independen. Jawab 10 t , 0 t 10 10 2 20 t = , 0 t 20 20
t p65
=
t p55
t p65:55
2
10 t 20 t = 10 20 1 = (10 t)(20 t)2 , 0 t 10 4000 10
e65:55 =
Z
t p65:55 dt
0
= = = =
10 1 4000 800t + 50t2 t3 dt 4000 0 1 50 3 1 4 10 2 4000t 400t + t t 4000 3 4 0 1 50000 10000 40000 40000 + 4000 3 4 3:541666667
Z
Jawaban: C. 3:54167
24
23. Sebuah survival model dide…nisikan sebagai berikut: cx S x (x) = , untuk 0 x c. Kemudian, sebuah tabel kehidupan (Life table ) c + x disusun berdasarkan distribusi tersebut dengan radix 100000. Dalam tabel tersebut, l35 = 44000. Diketahui pula ! = 90. Hitunglah probabilitas dari seorang berusia 10 tahun akan meninggal antara usia 30 dan 45. Jawab l35 = l0 S 0 (35) c 35 44000 = 100000 c + 35 11 c 35 = 25 c + 35 11c + 385 = 25c 875 14c = 1260 c = 90 90 10 = 80000 90 + 10 90 30 = 100000 = 50000 90 + 30 90 45 100000 = 100000 = 90 + 45 3
l10 = 100000 l30 l45
20j15 q 10
=
20 p10
= =
= Jawaban: D. 5=24
25
35 p10 l30 l45 l10 l10 50000 100000 3 80000 5 24
24. Sebuah asuransi diskrit seumur hidup sebesar 1000 dengan informasi sebagai berikut: Biaya tetap tahun pertama sebesar 70 (terdiri dari 50 biaya akuisisi dan 20 biaya maintenance ) dan biaya tetap tahun selanjutnya sebesar 20 (biaya maintenance ). 3% dari setiap premi yang di bayarkan d = 0:04, a •x = 20 dan a •x:20 = 10 Jawab Ax = = = = = = = G•ax:20 10G 9:7G G
= = = =
v dax v d (•ax 1) v d•ax + d 1 d d•ax + d 1 d•ax 1 (0:04) (20) 0:2
50 + 20• ax + 0:03G•ax:20 + 1000Ax 50 + 400 + 0:3G + 200 650 67:01030928
Jawaban: E. 67:01 (Anulir)
26
25. Diketahui bahwa q x(1) = 0:20 dan q x(2) = 0:10. Kedua penurunan (decrement ) tersebut berdistribusi seragam di antara interval (x; x + 1) dalam konteks multiple decrement . Diketahui pula persamaan berikut: 0
( j) t P x
= 1
( ) tq x 0(2)
(j )
( )
qx =qx
, dan t = 1
Tentukanlah nilai q x . Jawab Jawaban: B. 0:1121
27
26. Diketahui x = 0:04 untuk 0 < x 40 dan x = 0:05 untuk x > 40. Manakah dari pilihan nilai di bawah ini yang paling mendekati untuk e25:25 ? Jawab t px
= e
R t
0 x+r dr
Untuk t 15 t p25
= e
R t
0 25+r dr
R t
= e 0 0:04dr = e0:04t Untuk t > 15 R t
25+r dr t p25 = e 0 R 15 R t 15 25+r dr ) = e(R 0 25+r dr+ R t 15 = e( 0 0:04dr+ 15 0:05dr)
= e0:60:05(t15) 25
e25:25 =
Z Z Z
t p25 dt
0
15
=
25
t p25 dt
+
0
15
=
t p25 dt
15
0:04t
e
0
=
Z Z 25
dt +
15
15 25e0:04t 0 0:6
= 25e = 15:599
e0:60:05(t15) dt
+ 20e0:60:05(t15) 1:1
+ 25 + 20e
Jawaban: B. 15:6
28
25
15 0:6
+ 20e
27. Sebuah bond korporasi dengan durasi 10 tahun dan kupon sebesar 40 setahun, dengan tingkat gagal (default rate ) 2% setahun. Bila bond tersebut default maka tidak akan ada lagi pembayaran kupon selanjutnya. Pada tingkat yield rate 6%, berapakah ekspektasi nilai sekarang dari kupon tersebut? Diketahui pula bahwa anuitas pasti (tidak ada kemungkinan gagal) dari a 100:06 adalah 7:36. Jawab Jawaban: C. 266:44
29
28. Suatu polis asuransi biasanya memuat klausa bahwa bila usia tertanggung diketahui tidak tepat pada saat diterbitkan, maka manfaat dari polis tersebut dapat disesuaikan sebesar selisih kalau polis tersebut dibeli dengan usia yang tepat. Suatu polis asuransi berjangka diskrit selama 3 tahun sebesar 1000 dijual kepada seseorang yang menyatakan berusia 30 pada saat penerbitan polis. Akan tetapi, pada tahun ke tiga, di ketahui sesungguhnya orang tersebut berusia 31 tahun pada saat penerbitan polis. Bila diketahui: i = 0:04 q 30 = 0:01 q 31 = 0:02 q 32 = 0:03 q 33 = 0:04 Hitunglah berapa besar manfaat yang harus disesuaikan (besar manfaat yang dikurangkan). Jawab Jawaban: D. 335:90
30
29. T 80 dan T 85 adalah variabel acak independen berdistribusi seragam dengan ! = 100. Hitunglah probabilitas bahwa kejadian kedua (second failure ) terjadi 5 tahun dari sekarang. Jawab t80 , 0 < t80 < 20 20 t85 F 85 (t85) = , 0 < t85 < 15 15 F 80 (t80) =
Pr (T 80 5; T 85 5) = Pr (T 80 5)Pr(T 85 5) 5 5 = 20 15 1 = 12 Jawaban: A. 1=12
31
