Control

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

APUNTES DE CLASE DE

ELABORADO POR:

ING. FIDEL HUMBERTO ANDÍA GUZMÁN PROFESOR ASOCIADO A DEDICACIÓN EXCLUSIVA

ICA - PERU

2011

ÍNDICE SILABO PRESENTACIÓN SECCIÓN I INTRODUCCIÓN A SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO. Información Práctica sobre la asignatura. Motivación a Ingeniería de Control. Integración de Sistemas. Definiciones. Ejemplos de Sistemas de Control Control en lazo cerrado y control en lazo abierto. Clasificación de los sistemas de control. Problemas resueltos. Problemas propuestos. SECCIÓN II. MATEMÁTICA APLICADA. Variable compleja y funciones complejas. La transformada de Laplace. Transformada Inversa de Laplace. Expansión en fracciones parciales con c on MATLAB. Problemas resueltos. Problemas propuestos. SECCIÓN III MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS LINEALES. Construcción de modelos. Linealización de Sistemas lineales. Funciones Transferencia. Función transferencia de Sistemas con Retardo. Diagramas de Bloques. Álgebra de bloques. Gráficos de flujo de señales. Problemas resueltos Problemas propuestos SECCIÓN IV. MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS. Sistemas mecánicos.

Apuntes de Clase - Ingeniería de Control Automático

Sistemas eléctricos. Sistemas análogos. Sensores en sistemas de control. Amplificadores operacionales. Motores DC en sistemas de control. Sistema de seguimiento solar. Sistemas con retardo de transporte. Sistema de brazo robot. Sistema de nivel de líquido. Sistemas neumáticos Sistemas hidráulicos Sistemas térmicos Problemas resueltos. Problemas propuestos SECCIÓN V. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN DOMINIO DEL TIEMPO. Entradas típicas de prueba. Respuesta transitoria para un sistema de primer orden. Respuesta transitoria para un sistema de segundo orden. Medidas de desempeño para sistemas de segundo orden. Sistemas de orden superior. Análisis de sistemas realimentados. Relaciones entre la ubicación de los polos en el plano-s y la respuesta transitoria. Problemas resueltos. Problemas propuestos SECCIÓN VI. ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL EN DOMINIO DEL TIEMPO. Estabilidad. El criterio de ROUTH-HURWITZ para la estabilidad. Error de estad estacionario. Problemas resueltos. Problemas propuestos SECCIÓN VII. LUGAR DE LAS RAÍCES. Pasos para construir el LR. Obtención del lugar de las raíces con MATLAB. Problemas resueltos. Problemas propuestos SECCIÓN VIII. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN DOMINIO DE FRECUENCIA. Respuesta en frecuencia. Diagramas de BODE.

Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán

Profesor Asociado a D.E.

Departamento Académico de Electricidad y Electrónica FIME - UNICA

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Procedimiento general para graficar los diagramas de BODE. Obtención de los diagramas de BODE con MATLAB. Problemas resueltos. Problemas propuestos SECCIÓN IX. CRITERIO DE NYQUIST PARA LA ESTABILIDAD Y ESTABILIDAD RELATIVA Estabilidad y respuesta en frecuencia. Sobre el trazado de diagramas polares. Bases del criterio de NYQUIST. Implicaciones del criterio de NYQUIST. Obtención de los diagramas de NYQUIST con MATLAB. Estabilidad relativa: Márgenes de Estabilidad. Márgenes de estabilidad y diagramas de BODE. Magnitud de pico de resonancia Mr y frecuencia de resonancia r . Ancho de banda. Problemas resueltos. Problemas propuestos SECCIÓN X. ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y CONTROLADORES AUTOMÁTICOS INDUSTRIALES. Diseño con el controlador PD. Diseño con el controlador PI. Controlador PID. Reglas de sintonización o afinación para controladores PID. Problemas resueltos. Problemas propuestos BIBLIOGRAFÍA.




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PRESENTACIÓN Estos apuntes de clase, corresponden a la asignatura de Ingeniería de Control Automático que por años se dicta en la Escuela de Ingeniería Mecánica y Eléctrica y desde hace 09 años, en la Escuela de Ingeniería Electrónica de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Estos apunte, no son más que una parte de la recopilación, tal vez algo desordenada de mis preparaciones de clase de la asignatura de Ingeniería de Control Automático, del cual ejerzo la jefatura de la cátedra. Estos apuntes abarcan los temas de una Introducción a los sistemas de control automático, luego una revisión de la matemática que se utiliza en Ingeniería de Control, que como verán es bastante sencilla. Luego hacemos un estudio de los modelos matemáticos de sistemas, sin entrar en detalle al estudio de los modelos dinámicos, ya como se indica, es bastante amplio y requiere toda una asignatura para entenderlo. A continuación hacemos el análisis de los sistemas de control en el dominio del tiempo, hasta llegar a la importancia de la técnica del lugar de las raíces para determinar la estabilidad de los sistemas de control. Llegamos al análisis de los sistemas de control en el dominio de la frecuencia, centrando nuestra atención en la aplicación de los diagramas polares, diagramas de bode, diagramas de bode y el problema de la estabilidad relativa. Finalmente, concluimos con una introducción al diseño de controladores industriales, con especial énfasis en el PID. Hago notar que en algunos temas problemas resueltos y propuestos usando MATLAB, desde ya es una advertencia que esa herramienta será de uso común durante la asignatura, por lo que los estudiantes deben prepararse extracurricularmente en el manejo de este software de ingeniería. Espero, que estos apuntes sean de mucha utilidad para los alumnos y espero de ellos las sugerencias para mejorarlo hasta convertirlo en un texto de consulta.

Ing. Fidel Andía Guzmán Profesor de la Asignatura de Ingeniería de Control Automático

SECCIÓN I

INTRODUCCIÓN A SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO INFORMACIÓN PRÁCTICA SOBRE LA ASIGNATURA

Esta asignatura es una introducción al control automático. Se presentan principios, conceptos y técnicas fundamentales para el análisis y diseño de sistemas de control. Los sistemas que estudiaremos son lineales e invariantes en el tiempo, descriptos por su función transferencia en transformada Laplace. Nos restringiremos a sistemas de una entrada y una salida (SISO: single-input singleoutput ). Los objetivos de la asignatura: Aprender a Analizar y diseñar sistemas de control para plantas SISO. Usar herramientas de software moderno para analizar y resolver problemas de diseño de control.  

Conocimientos previos: Matemática Avanzada, Análisis de Señales y sistemas, Instrumentación y Mediciones Industriales. MOTIVACIÓN A INGENIERÍA DE CONTROL

El control por realimentación tiene una larga historia que comenzó con el deseo primordial de los seres humanos de dominar los materiales y las fuerzas de la naturaleza en su provecho. Los primeros ejemplos de dispositivos de control incluyen los sistemas de regulación de relojes y los mecanismos para mantener los molinos de viento orientados en la dirección del viento. Las plantas industriales modernas poseen sofisticados sistemas de control que son cruciales para su operación correcta.

Una planta industrial moderna: una sección de la refinería de petróleo austríaca OMV.


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La ingeniería de control ha tenido un enorme impacto en nuestra sociedad. Åström cita a Wilbur Wright (1901): « Sabemos como construir aeroplanos.» «Sabemos como construir motores.» « El no saber cómo equilibrar y maniobrar aún desafía a los estudiantes del problema de vuelo.» «Cuando esta única dificultad sea resuelta, la era del vuelo habrá arribado, ya que todas las demás dificultades son de menor importancia.»

¡Los hermanos Wright resolvieron cómo equilibrar y maniobrar y volaron el Kitty Hawk el 17 de diciembre de 1903!

De hecho, ninguno de los sistemas modernos (aviones, trenes de alta velocidad, reproductores de CD, etc.) podrían operar sin la ayuda de sofisticados sistemas de control. Por ejemplo, el regulador centrífugo de Watt tuvo un impacto fundamental durante la revolución industrial.

La fotografía muestra un regulador centrífugo de Watt usado en una máquina de vapor en una fábrica de telas cerca de Manchester, en el Reino Unido. Manchester fue el centro de la revolución industrial. La fábrica de telas está aún en operación.





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Regulador centrífugo de Watt (Figura de Dorf & Bishop, Modern Control Systems, 9ª Ed.)

¿Dónde se usa control? El control se usa en: Procesos industriales, Transporte, Autos, Trenes, Barcos, Aviones, Naves espaciales, Generación de energía, Transmisión de energía, Mecatrónica, Instrumentación, Artefactos electrónicos, Economía, Medicina, etc.

Un mejor control es la clave tecnológica para lograr: – – – – –

Productos de mayor calidad Minimización de desperdicios Protección del medio ambiente Mayor rendimiento de la capacidad instalada Mayores márgenes de seguridad

Todos estos elementos son relevantes en el control de una planta integrada como la planta de amoníaco de la figura. TIPOS DE DISEÑOS DE CONTROL

El diseño de sistemas de control también toma distintas formas, cada una de las cuales requiere enfoques ligeramente distintos. L@s ingenier@s de control deben resolver problemas en las distintas etapas de la «vida» de un sistema de control, por ejemplo: – – – –

Diseño inicial «de base» Construcción y ajuste Refinamiento y actualización Estudio «forense»





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Planta de Producción de Amoniaco

INTEGRACIÓN DE SISTEMAS

El éxito en ingeniería de control se apoya en tener un enfoque «global» de los problemas. Algunos de los elementos a tener en cuenta son: La planta, el proceso a ser controlado; Los objetivos; Los sensores; Los actuadores; Las comunicaciones; El cómputo; La configuración e interfaces; Los algoritmos; Las perturbaciones e incertidumbres. La planta La estructura física de la planta es una parte intrínseca del problema de control. Por lo tanto, l@s ingenier@s de control deben estar familiarizados con la «física» del proceso bajo estudio. Esto incluye conocimientos básicos de balances de energía, balances de masas, y flujo de materiales en el sistema. Objetivos Antes de diseñar sensores, actuadores, o configuraciones de control, es importante conocer los objetivos de control. Estos incluyen: – Qué es lo que se pretende alcanzar (reducción de energía, mayor producción, etc.). – Qué variables deben controlarse para alcanzar los objetivos. – Qué nivel de calidad se necesita (precisión, velocidad, etc.). Los sensores Los sensores son los ojos del sistema de control, que le permiten ver qué está pasando. De hecho, algo que suele decirse en control es: “Si se puede medir, se puede controlar”.





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Los actuadores Una vez ubicados los sensores para informar el estado de un proceso, sigue determinar la forma de actuar sobre el sistema para hacerlo ir del estado actual al estado deseado. Un problema de control industrial típicamente involucrará varios actuadores distintos (ejemplo: tren de laminación).

Tren de laminación moderno.

Las comunicaciones La interconexión de sensores y actuadores requieren el uso de sistemas de comunicación. Una planta típica va a tener miles de señales diferentes que deberán ser transmitidas largas distancias. Así, el diseño de sistemas de comunicación y sus protocolos asociados es un aspecto cada vez más importante de la ingeniería de control moderna. El cómputo En los sistemas de control modernos la interconexión de sensores y actuadores se hace invariablemente a través de una computadora de algún tipo. Por lo tanto, los aspectos computacionales son necesariamente una parte del diseño general.

Los sistemas de control actuales usan una gama de dispositivos de cómputo, que incluyen DCS (sistemas de control distribuido), PLC (controladores lógicos programables), PC (computadoras personales), etc.





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UNAC-PC: un entorno para implementación rápida de control de procesos.

Configuración e interfaces La cuestión de qué se conecta con qué no es trivial en el diseño de un sistema de control. Podría pensarse que lo mejor siempre sería llevar todas las señales a un punto central, de manera que cada acción de control esté basada en información completa (el denominado control centralizado). Sin embargo, esta raramente es la mejor solución en la práctica. De hecho, hay muy buenas razones por las que no conviene llevar todas las señales a un punto común. Algunas obvias son complejidad, costos, limitaciones en tiempo de cómputo, mantenimiento, confiabilidad, etc. Algoritmos Finalmente, llegamos al corazón de la ingeniería de control: los algoritmos que conectan sensores y actuadores. Es muy fácil subestimar este aspecto final del problema. Como ejemplo simple de nuestra experiencia diaria, consideremos el problema de jugar tenis a primer nivel internacional. Claramente, se necesita buena visión (sensores) y fuerza muscular (actuadores) para jugar tenis en este nivel, pero estos atributos no son suficientes. De hecho, la coordinación entre ojos y brazo es también crucial para el éxito.





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En resumen: Los sensores proveen los ojos, y los actuadores los músculos; la teoría de control provee la destreza.

PERTURBACIONES E INCERTIDUMBRE

Uno de los factores que hacen a la ciencia del control interesante es que todos los sistemas reales están afectados por ruido y perturbaciones externas. Estos factores pueden tener un impacto significativo en el rendimiento del sistema. Como ejemplo simple, los aviones están sujetos a ráfagas de vientos y pozos de aire; los controladores de crucero de los automóviles deben adecuarse a diferentes condiciones de la ruta y diferentes cargas del vehículo. HOMOGENEIDAD

Finalmente, todos los sistemas interconectados, incluyendo sistemas de control, sólo pueden ser tan buenos como el elemento más débil. Las consecuencias de este hecho en el diseño de control son que debe tenderse a que todos los componentes (planta, sensores, actuadores, comunicaciones, cómputo, interfaces, algoritmos, etc.) sean de una precisión y calidad aproximadamente comparable. ANÁLISIS COSTO-BENEFICIO

Para poder avanzar en ingeniería de control (como en muchas otras disciplinas) es importante saber justificar los gastos asociados. Esta justificación usualmente toma la forma de un análisis costo-beneficio. Las etapas típicas incluyen: Evaluación de un rango de oportunidades de control. Selección de una lista corta a examinar en más detalle. Decidir entre un proyecto de alto impacto económico o al medio ambiente. Consultar personal adecuado (gerencial, de operación, de producción, de mantenimiento, etc.). Identificar los puntos clave de acción. Obtener información de desempeño de un caso base para comparación ulterior. Decidir modificaciones a las especificaciones de operación. Actualizar actuadores, sensores, etc. Desarrollar de algoritmos. Probar algoritmos vía simulación. Probar de algoritmos sobre la planta usando sistemas de desarrollo rápido de prototipos. Obtener información de desempeño para comparar con el caso base. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




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Realizar la implementación definitiva. Obtener información de desempeño final alcanzado. Realizar el informe final del proyecto. DEFINICIONES: Variable controlada y variable manipulada.La variable controlada, es la cantidad o condición que se mide y controla. La variable manipulada, es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Por lo común, la variable controlada es la salida (el resultado) del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado. Planta.Parte o conjunto de partes de una máquina que funcionan juntas con el propósito de ejecutar una operación en particular. En sistemas de control, es un objeto físico que se va controlar, tal como: un dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial, etc. Procesos.Operación o desarrollo natural progresivamente continúo, marcado por una serie de cambios graduales que sucede uno al otro en una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinado. En sistemas de control, es cualquier operación que se va controlar, ejemplos: procesos químicos, físicos, económicos, biológicos, etc. Sistemas.Combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no es necesariamente físico. El concepto de sistema se aplica a fenómenos abstractos y dinámicos, tales como los que se encuentran en la economía, por lo que la palabra sistema debe interpretarse como una implicación de sistemas físicos, biológicos, económicos y similares. Perturbaciones.Señal que tiende a afectar negativamente el valor de salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y es una entrada. Control realimentado o retroalimentado.Se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo con base a esta diferencia. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL.Sistemas de control de velocidad.La figura muestra el principio básico del regulador de velocidad de Watt para una máquina. La cantidad de combustible que se admite para la máquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la velocidad de la máquina que se pretende y la velocidad real. La secuencia de acciones puede describirse del modo siguiente: el regulador de velocidad se ajusta de modo que, a la velocidad deseada, no fluya aceite a presión en ningún lado del cilindro de potencia. Si la velocidad real cae abajo del valor deseado debido a una perturbación, la disminución de la fuerza centrífuga del regulador de velocidad provoca que la válvula de control se mueva hacia abajo, aportando más combustible y la velocidad del motor aumenta sobre el valor deseado, el incremento en la fuerza centrífuga del controlador provoca que la válvula de control se mueva hacia arriba. Esto disminuye la provisión de combustible y la velocidad del motor se reduce hasta alcanzar el valor deseado. En este sistema de control de velocidad, la planta (el sistema controlado) es la máquina y la variable controlada es la velocidad de la misma. La diferencia entre la velocidad deseada y la velocidad real es la señal de error. La señal de control (la cantidad de combustible) que se va a aplicar a la planta (la máquina) es la señal de actuación. La entrada externa que se aplica para afectar la variable controlada es la perturbación. Un cambio inesperado en la carga es una perturbación. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




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Sistema de control de un Robot.Los robots industriales se usan con frecuencia en la industria para mejorar la productividad. Un robot puede realizar tareas monótonas y complejas sin errores de operación, puede trabajar en ambientes intolerables para operadores humanos. El robot industrial debe manejar partes mecánicas que tengan una forma y un peso determinado. Debe tener al menos un brazo, una muñeca y una mano. El robot industrial debe tener algunos dispositivos sensores. A los robots de nivel bajo, se les instalan microinterruptores en los brazos como dispositivos sensores. El robot toca primero el objeto y después, mediante los microinterruptores, confirma la existencia del objeto en el espacio y avanza al paso siguiente para asirlo. El robots de nivel alto usa un medio óptico para rastrear el fondo del objeto; reconoce el patrón y determina la presencia y orientación del objeto. Se requiere de una computadora para procesar las señales del proceso de reconocimiento de patrones (ver la figura). En algunos robots computarizados, el reconocimiento de patrones consiste en la lectura de los números de códigos que se fijan a cada parte. A continuación el robot levanta la parte y la mueve a un lugar conveniente para el ensamble, y después ensambla varias partes para formar un componente. Una computadora digital bien programada funciona como controlador.

Sistema de control de temperatura.La figura muestra un diagrama esquemático del control de temperatura de un horno eléctrico. La temperatura del horno eléctrico se mide mediante un termómetro, que es un dispositivo analógico. La temperatura analógica se convierte en temperatura digital mediante un convertidor A/D. La temperatura digital se introduce a un controlador mediante una interfase. Esta temperatura digital se compara con una temperatura que se ingresa mediante un programa y si hay una discrepancia (error) el controlador envía una señal al calefactor, a través de una interfase, un amplificador y un relevador, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado. Termómetro





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Control de temperatura del compartimiento del pasajero de un automóvil.La figura muestra un diagrama funcional del control de temperatura del compartimiento del pasajero de un automóvil. La temperatura deseada, convertida a un voltaje, es la entrada del controlador. La temperatura real del compartimiento del pasajero se convierte a un voltaje mediante un sensor y se alimenta al controlador para que éste la compare con la entrada. La temperatura ambiente y la transferencia térmica por radiación del sol, que no son constantes conforme se conduce el automóvil, funcionan como perturbaciones. Este sistema emplea tanto un control realimentado como una de prealimentación.

Sistemas Empresariales.Está formado por muchos grupos. Cada tarea asignada a un grupo representará un elemento dinámico del sistema. Para la correcta operación de tal sistema deben establecerse métodos de realimentación para reportar los logros de cada grupo. El acoplamiento cruzado entre los grupos funcionales debe reducirse a un mínimo para evitar retardos de tiempo inconvenientes para el sistema. Un sistema empresarial es un sistema en lazo cerrado. COMPONENTES BÁSICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL.-

1º) Objetivos de control (entradas) o señales actuantes. Causa del control o Respuesta deseada. 2º) Componentes del sistema de control (Controlador o manipulador más proceso). 3º) Resultados o salidas (variable controlada o efecto del control). Respuesta obtenida.

SISTEMA DE CONTROL (PROCESO)

OBJETIVO CAUSA

RESULTADOS EFECTO

CONTROL EN LAZO CERRADO Y CONTROL EN LAZO ABIERTO.

Sistemas de Control realimentados.Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




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Es el sistema que mantiene una relación prescrita entre la salida y la entrada de referencia, comparándola y usando la diferencia como medio de control. Ejemplo: el sistema de control de temperatura de una habitación. Los sistemas de control realimentados no e limitan a la ingeniería, sino que también se encuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo, el cuerpo humano es un sistema de control realimentado muy avanzado. Sistemas de control en lazo cerrado.Es otra denominación de los sistemas realimentados y se usan indistintamente. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la misma y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. Una acción de control realimentado implica la reducción del error del sistema.

Respuesta Deseada

Comparador

Regulador

Proceso

Salida

Medición

Sistema de control en lazo cerrado SISO Respuesta Deseada

REGULADOR

PROCESO

Salidas

MEDICIÓN Sistema de Control en lazo cerrado MIMO. Sistemas de Control en Lazo abierto.Son aquellos en que la salida no afecta la acción de control. En un sistema de control de lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Ejemplo, una lavadora. En un sistema de control de lazo abierto, la precisión del sistema depende de la calibración ya que a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control de lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y no hay perturbaciones internas ni externas. Un sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo abierto; por ejemplo el control de transito mediante señales operadas con una base de tiempo.

Respuesta Deseada

REGULADOR

PROCESO

Salida.

Comparación entre Sistemas de Control en Lazo Cerrado y Sistemas en Lazo Abierto.En un sistema de control en lazo cerrado la respuesta del sistema se vuelve relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema. Por tanto es posible usar componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta, caso que es imposible realizar con un sistema en lazo abierto. 













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En un sistema en lazo cerrado la estabilidad es una función principal lo cual puede conducir a la necesidad de corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante; en cambio, en un sistema en lazo abierto, la estabilidad no es un problema importante. En los sistemas en las que se conocen con anticipación las entradas y en las cuales no hay perturbaciones se aconseja el empleo de un control en lazo abierto. El sistema en lazo cerrado utiliza un número mayor de componentes que una en lazo abierto, por lo que un sistema en lazo cerrado suele tener un costo mayor que el de lazo abierto. Por lo general se recomienda una combinación adecuada de controles en lazo cerrado y lazo abierto para minimizar espacio y costos y ofrecer un desempeño satisfactorio del sistema en general.

Características de un buen Sistema Retroalimentado.Son características de un buen sistema retroalimentado: la estabilidad, ancho de banda, ganancia global, perturbaciones y la sensibilidad. Además se puede señalar: - La retroalimentación existe donde hay una secuencia cerrada de relaciones causa – efecto. - La retroalimentación o realimentación, puede incrementar la ganancia de un sistema en un intervalo de frecuencia pero reducirla en otra. - Un sistema es inestable si su salida está fuera de control. - La realimentación puede mejorar la estabilidad o ser dañina para la misma. - Puede incrementar o reducir la sensibilidad de un sistema. - Puede reducir el efecto del ruido. - Puede afectar el ancho de banda, la impedancia y las respuestas transitorias en frecuencias. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.-

Se pueden clasificar de diversos modos, por ejemplo: Sistemas de Control lineales y no lineales. Sistemas de control variantes con el tiempo y no variantes con el tiempo. Sistemas de control en tiempo continuo o analógicos (todas las variables son función del tiempo). Sistemas de control en tiempo discreto (datos muestreados) o sistemas digitales. Sistemas de control con una entrada y una salida. Sistemas de control con múltiples entradas y múltiples salidas. Sistemas de control con parámetros concentrados (ecuaciones diferenciales ordinarias). Sistemas de control con parámetros distribuidos (Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales). Sistemas de control determinísticos (Respuesta a la entrada predecibles y repetibles). Sistemas de control estocásticos (Respuesta a la entrada no es predecible ni repetible). RESUMEN  

      

La Ingeniería de Control está presente en virtualmente todos los sistemas modernos de ingeniería. El control es una tecnología a menudo «invisible», ya que el éxito mismo de su aplicación la vuelve indetectable. El control es la clave tecnológica para lograr productos de mayor calidad Minimización de desperdicios Protección del medio ambiente Mayor rendimiento de la capacidad instalada Mayores márgenes de seguridad El control es multidisciplinario (incluye sensores, actuadores, comunicaciones, cómputo, algoritmos, etc.) El diseño de control tiene como meta lograr un nivel de rendimiento deseado frente a perturbaciones e incertidumbre.





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PROBLEMAS RESUELTOS

P1.1 La figura P1.1(a) es un diagrama esquemático de un sistema de control de nivel de líquido. Aquí el controlador automático mantiene el nivel del líquido comparando el nivel real con un nivel deseado y corrigiendo cualquier error mediante un ajuste de la apertura de la válvula neumática. La figura P1.1 (b) es un diagrama de bloques del sistema de control. Dibuje el diagrama de bloques correspondiente para un sistema de control de nivel de líquido operado por personas.

Solución.En el sistema operado por personas, los ojos, el cerebro y los músculos corresponden al sensor, el controlador y la válvula neumática, respectivamente; como se muestra en la siguiente figura.

P1.2 Un sistema de ingeniería organizacional está formado por los grupos principales como son la administración, la investigación y el desarrollo, el diseño preliminar, los experimentos, el diseño y boceto de los productos, la fabricación y el ensamble y las pruebas. Esos grupos se conectan entre si para formar la operación completa. Para analizar el sistema, se reduce al conjunto de componentes más elemental necesario para ofrecer el detalle analítico y se representan las características dinámicas de cada componente mediante un grupo de ecuaciones simples. (El desempeño dinámico de tal sistema se determina de la relación entre el logro progresivo y el tiempo.) Dibuje un diagrama de bloques funcional que muestre un sistema de ingeniería organizacional. Solución.Un diagrama de bloques funcional se dibuja mediante los bloques para representar las actividades las actividades funcionales y conectando líneas de señales para representar la salida de información o de productos de la operación del sistema. Un diagrama de bloques posible se muestra enseguida.

P1.3 Dibújese un diagrama de bloques esquemático para un sistema de calefacción doméstica. Identifíquese la función de cada elemento del sistema controlado termostáticamente. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




Solución:

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Gas o fuente de poder

Temperatura Deseada

+

Válvula

Calentador

_

Temperatura del hogar

Sensor de Temperatura

PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1.

P1.4 Proporcione dos ejemplos de sistemas de control realimentados en los cuales una persona actúe como controlador. P1.5 En el pasado, los sistemas de control control han usado un operador operador humano como parte de un sistema de control de lazo cerrado. Dibújese el diagrama de bloques para el sistema de la l a válvula mostrada en la figura P1.5.

P1.6 La figura muestra un sistema de control de tensión. Explique la secuencia de las acciones de control cuando la velocidad de alimentación se modifica repetidamente durante un periodo breve.

P1.7 En un sistema de control de un proceso químico es importante controlar la composición química química del producto. Para controlar la composición, puede obtenerse una medición de ésta usando un analizador infrarrojo del flujo, como se muestra en la figura P1.7. Puede controlarse la válvula del flujo de aditivo. Complétese el lazo de realimentación de control y dibújese un diagrama de bloques que describa la operación del lazo de control.





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P1.8 Un sargento del Ejército Peruano se detenía en una joyería cada mañana a las 9 en punto y ajustaba su reloj comparándolo con el cronómetro del escaparate. Un día el sargento entró en el comercio y felicitó al dueño por la exactitud del cronómetro. ―¿Está ajustado con las señales de la hora de la Marina de Guerra del Perú?‖, preguntó el sargento. ―No‖, contestó el dueño, ―lo ajusto según el cañonazo de las 5 del fuerte Arica. Dígame sargento, ¿por qué se detiene todos los días y comprueba la hor a de su reloj?‖. El sargento contestó, ―yo soy el artillero del fuerte‖.

¿Es la retroalimentación predominante en este caso positiva o negativa? El cronómetro del joyero se atrasa un minuto cada 24 horas y el reloj del sargento se atrasa un minuto cada 8 horas. ¿Cuál es el error total en la hora del cañón del fuerte después de 15 días? – alumno es inherentemente un proceso con retroalimentación tendente a P1.9 El proceso proceso de aprendizaje profesor – reducir a un mínimo el error del sistema. La salida deseada es el conocimiento que se estudia y el estudiante puede ser considerado como el proceso. Con la ayuda del diagrama de bloques que define el sistema de control de lazo cerrado, constrúyase un modelo de realimentación para el proceso de aprendizaje e identifíquese cada bloque del sistema. P1.10 El control automático del nivel de agua mediante un flotador se usó en Oriente Medio para relojes de agua. El reloj de agua de la figura P1.10 se usó desde antes de Cristo hasta el siglo XVII. Analícese la operación del reloj de agua y establézcase en qué forma el flotador proporciona un control con retroalimentación que conserva la exactitud del reloj.





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SECCIÓN II

MATEMÁTICA APLICADA. APLICADA . SISTEMAS LINEALES, ESTACIONARIOS, ESTACIONARIOS, EN TIEMPO CONTINUO.

Los sistemas que vamos a considerar están descriptos por modelos lineales, estacionarios, en tiempo continuo. Éstos pueden siempre representarse por una ecuación diferencial ordinaria de la forma: d n y( t )

an

dt n

d n 1 y( t ) 1

dt n



1

a 0 y( t )

bm

d m u( t ) dt m



b0 u( t )

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Una función que es seccionalmente continua y de orden de exponencial tiene transformada de Laplace, la que se define: L f (t )

F ( s )

f (t ) e

0

st

dt para t ≥ 0.

La transformada de Laplace de algunas funciones que se encuentran con frecuencia, las pueden hallar en tablas de transformadas. Ejemplo.- Considere la función coseno: g ( t )

0 ,

para t 0

cos t ,

para t 0

Hallar su transformada de Laplace. Solución: Conocemos que: L sen t

F ( s )

s 2

2

La transformada de Laplace de la función coseno la obtenemos como: L cos t

L

1

1

d

sen t dt s

s 2

2

0

1

sF ( s )

f ( 0 )

s s 2

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VARIABLES COMPLEJAS Y FUNCIONES COMPLEJAS. Variable Compleja.Es aquel número complejo en el que la parte real y/o parte imaginaria con variables. En Transformada de Laplace, la notación s es una variable compleja, es decir: s

Donde es la parte real y

j

es la parte imaginaria.

Función Compleja.Es aquella función de s que tiene una parte real y una parte imaginaria, o bien: F ( s )

F x

j F y

Fx y Fy son cantidades reales. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




La magnitud de F(s) es: F ( s ) El ángulo de F(s) es:

F y2 .

F x2

tan

1

F y F x

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, medido en sentido antihorario a partir del eje real positivo.

Una función compleja G(s) es analítica en una región si G(s) y todas sus derivadas existen en tal región, ejemplos: 1. Probar que G ( s )

1 s ( s 1)

, es una función compleja analítica:

Respuesta:

Observamos que G(s) existe para todos los valores de ―s‖, excepto para s = 0 y s = -1. dG( s ) 2 s 1

La derivada de G(s):

2

ds

2

s ( s

1 )

, es analítica excepto en los puntos s = 0 y s = -1.

Por lo tanto G(s) es una función analítica, excepto en los puntos s = 0 y s = -1. 2. Probar que G( s) Respuesta.-

s 2 , es una función compleja analítica.

Se observa que G(s) existe para cualquier valor que asuma ―s‖, por tanto G(s) es analítica plano finito ―s‖.

en cada punto en el

Los puntos en el plano s en los cuales G(s) es analítica, se denominan puntos ordinarios. Singularidades, polos y ceros de una función.- Singularidades.- Los puntos en el plano s en los cuales G(s) no es analítica, se denominan puntos singulares - Polos.- Son los puntos singulares en los que G(s) o sus derivadas tienden a infinito. En el primer ejemplo del acápite anterior, s = 0 y s = -1; son puntos singulares y polos de la función G(s). - Ceros.- Son los puntos en los cuales la función G(s) es igual a cero.

Ejemplo: Sea G( s )

K ( s s( s

1 )( s

2 )( s

4 )

5 )( s

10 ) 2

Entonces G(s) tiene ceros en s = -2 y s = -4. Tiene polos en s = 0, s = -1, s = -5 y un polo doble (polo múltiple de orden 2) en s = -10. Note que G(s) se hace cero para s = . Dado que para valores grandes de s: K

G( s )

s

3

Es decir, G(s) posee un cero triple (cero múltiple de orden 3) en s = . Si se incluyen puntos en infinito, G(s) tiene la misma cantidad de polos que de ceros. En resumen, G(s) tiene cinco ceros (s = -2, s = -4, s = , s = y s = ) y cinco polos (s = 0, s = -1, s = -5, s = -10 y s = -10). El teorema de Euler.El teorema de Euler se obtiene a partir de las expansiones en series de potencia del coseno de y seno de y de la expresión algebraica de la función exponencial, de manera que: cos

jsen

e j

cos

jsen

e

O también: j

Sumando o restando estas dos ecuaciones, podemos encontrar expresiones para el seno y coseno en términos de la función exponencial: cos



1 2

e j

e

j



1

sen

23

e j

2 j

e

j

Teorema del Valor Final.Si g(t) y su derivada son transformables por el método de Laplace para algún valor de t cercano al infinito y el límite de g(t) cuando t tiende al infinito existe. Y si G(s) no tiene polos sobre el eje imaginario o al lado derecho de éste en el plano complejo ―s‖ (un polo simple en el origen está permitido), entonces:

lim g (t )

t

Ejemplo: Dado G( s )

10 s ( s 2 )

lim sG( s )

s

0

, ¿Cuál es el límite de g(t) cuando t tiende a infinito?

Como los polos de G(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo s; se puede aplicar el teorema de valor final. lim g ( t )

t

g ( )

lim sG( s )

s

lim s

0

s

0

10 s( s

lim

2 )

s

0

10 s

2

5

Teorema de Valor Inicial.Si f(t) y f’(t) son transformables, y existe el límite de f(t) cuando t se aproxima a cero por la derecha, luego: lim f (t ) t

0

s

lim sF ( s)

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.-

Se define por: L 1 F ( s )

f ( t )

1

c

2 j

j

c j

F ( s ) e st ds , para t

0

En donde c , la abscisa de convergencia, es una constante real y se eligió más grande que las partes reales para todos los puntos singulares de F(s). Por tanto, la trayectoria de integración es paralela al eje j y se deslaza una cantidad c a partir de él. Esta trayectoria de integración va hacia la derecha de todos los puntos singulares. Por la existencia de métodos más sencillos para obtener f(t), en la práctica rara vez se emplea esta integral. Expansión en Fracciones Parciales para encontrar las Transformadas Inversas de Laplace.-

Sea: G ( s)

Q( s ) P ( s )

, en donde Q(s) y P(s) son polinomios en s. Se supone que el grado de Q(s) es menor que el

de P(s). De no ser así, el polinomio Q(s) se divide entre el de P(s), hasta obtener un polinomio en s seguido de un residuo. Si G(s) se separa en componentes: F ( s )

F 1 ( s )

F 2 ( s )



F n ( s )

La transformada inversa se determinaría de la siguiente manera: L 1 { F ( s )}

L 1 { F 1 ( s )} L 1 { F 2 ( s )}



L 1 { F n ( s )}

f 1 ( t )

f 2 ( t )



f n ( t )

Veamos ahora los casos para distintas presentaciones de los polos de la función G(s). a) Si G(s) tiene polos simples, entonces:





K ( s

Q( s )

G( s )

P ( s )

( s

z1 )( s p1 )( s

24

z 2 )( s

z m )

p 2 ) .... ( s

p n )

a1 s

a2

p1

s

s

p k

p 2



an s

p n

; m < n.

El coeficiente de la k-ésima fracción parcial se obtiene haciendo: a k

( s

p k )

Q( s ) P ( s )

Además: a k } p k

L 1 { s

a k e

p k t

Finalmente: L 1 { G( s )}

a1e

p1t

p 2t

a2 e



an e

p n t

b) Si G(s) tiene polos de orden múltiple: G( s )

K ( s

Q( s )

z 2 )  ( s

z1 )( s

P ( s )

z m )

A1

s i ) r

( s

s

s i

A2 ( s

s i ) 2

...

Ar ( s

s i ) r

, ―r‖ es el

orden de la expresión, m < r; luego: ( s si ) r G( s) s

Ar Ar

d 1

d s

si

( s si ) r G ( s ) s

si



A1

d r

1 (r

1)! d s

1

r 1

( s si ) r G ( s ) s

si

c) Tiene Polos Complejos conjugados.En estos casos, conviene expandir G(s) en fracciones que contengan la transformada de Laplace una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CON MATLAB.

Considere la función: F ( s )

Q( s )

num

bn s n

P ( s )

den

s

n

bn 1 s n a n 1 s

1



n 1



b0 a0

En donde algunos de los ai y b j pueden ser cero. En MATLAB, los vectores renglón num y den especifican los coeficientes del numerador y del denominador de la función. Es decir: num

bn bn

den

1

an

1

 b0

1

 a0

El comando: r , p , k residue( num , den ) encuentra los residuos, los polos y los términos directamente de una expansión en fracciones parciales del cociente de dos polinomios Q(s) y P(s). La expansión en fracciones parciales de F(s) se obtiene mediante: Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




Q( s )

F ( s )

25

r ( 1 )

P ( s )

s

r ( 2 )

p( 1 )

s

r ( n )



p( 2 )

s

p( n )

k ( s )

En este caso, k(s) es un término directo. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES E INVARIANTES CON EL TIEMPO.

La solución de estas ecuaciones mediante el método de la Transformada de Laplace, implica dos pasos: 1. Se toma la transformada de cada término de la ecuación diferencial determinada, se convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en s y se obtiene la expresión para la transformada de Laplace de la variable dependiente reordenando la ecuación algebraica. 2. La solución en el tiempo de la ecuación diferencial se obtiene encontrando la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente. SEMINARIO Nº 2 5 ( s 1 )

1) Encuentre la transformada Inversa de Laplace de: Y ( s )

s( s 2 )( s 3 )

Solución: La expansión en fracciones parciales es: Y ( s )

5 ( s 1 )

A

s( s 2 )( s 3 )

s

B s

C 2

s

3

Donde A, B y C; se encuentran mediante: A

B

C

s

5 ( s 1 ) s( s 2 )( s 3 )

( s

2 )

s

5 ( s 1 ) s( s 2 )( s 3 )

5

( s 2 )( s 3 )

0

5 ( s 1 ) 3 ) s( s 2 )( s 3 )

( s

( s 1 )

5

5 s

2

5 s

3

s

6

0

( s 1 ) s( s 3 )

5 s

2

2

( s 1 ) s( s 2 )

10 3

3

1

10

s

Por tanto: L 1 { Y ( s )}

L 1

y( t )

5

L 1

6 s

5

5

6

2

e

2 t

10 3

5 2( s 3t

e

;

2 )

L

3( s

3 )

para t 0

2) Encuentre la transformada Inversa de Laplace de: F ( s )

s 2 ( s

s

1

2 )3

Solución: La expansión en fracciones parciales es: F ( s )

s 2 ( s

s

1

2 )3

A ( s

B 2 )

( s

2 )2

C ( s

2 )3

Donde:





C

3

( s s 2

B

s 2 s 1 2 ) ( s 2 )3 s

1 s

s

2

3

2

s 2 s 1 2 ) ( s 2 )3

d ( s d s

3

d 2 s ds A

26

s

1 d 2 ( s 2 d s 2 d 2 s ds

1 s

s

2

2 s

2

1 s

s 2 s 1 2 ) ( s 2 )3

3

2

3

1 s

2 s

2

s

2

2

2

Por tanto:

L 1 { F ( s )}

2

L 1

f ( t )

2e

s

2 t

L 1

2

3

2 t

3te

2

3 ( s

t 2 e

3 2 )

2 t

;

2

2

L

2

1

( s

2 )

3

para t 0

3) Encuentre la transformada Inversa de Laplace de: C ( s )

s s

2

6 2 s

2

Solución: La expansión en la suma de senos y cosenos es: C ( s )

s s 2

6 2 s

s 2

( s

6

s

5

1 )2

1

( s

1 )2

1

( s

1 1 )2

1

De aquí, se tiene: c( t )

L 1 { C ( s )}

5 L

1

1

( s

5e t sen t

1 )2 e

t

1

L

s

1

1 )2

( s

cos t ; para t

1 1

0

4) Expanda en fracciones parciales la siguiente expresión con MATLAB y obtenga f(t). F ( s )

Q( s )

2 s 3

P ( s )

s 3

5 s 2 6 s 2

3 s

6

11 s

6

Solución: Para esta función:

>> num = [2 5 3 6]; >> den = [1 6 11 6]; El comando [r,p,k] = residue(num,den); proporciona el resultado siguiente: >> [r,p,k] = residue(num,den) r= -6.0000 -4.0000 3.0000 p= -3.0000





27

-2.0000 -1.0000 k= 2 Luego: F ( s )

Q( s )

2 s 3

P ( s )

s 3

5 s 2 6 s 2

3 s

6

11 s

6

6 s

4

3

s

3

2

s

3 L

1

2

1

Aplicando transformada Inversa de Laplace, se obtiene: L 1 F ( s )

f ( t )

1

6 L

1

6e

3t

s

3

4 L

1

3e

t

2 t

4e

1 s

2

1 s

2 L 1 1

1

2 ( t )

5) Encuentre la solución de la ecuación diferencial: x 

3 x

2 x

5; x( 0 )

x( 0 )

2

Solución: Escribiendo la transformada de Laplace de x(t) como X(s), o bien: L{ x( t )}

X ( s )

Obtenemos: L{ x( t )}

sX ( s )

x( 0 )

L{ x ( t )}

s 2 X ( s )

sx( 0 )

x( 0 )

Por tanto, si aplicamos Transformada de Laplace a cada miembro, la ecuación diferencial se convierte en: s 2 X ( s )

sx( 0 )

x( 0 )

3 sX ( s )

x( 0 )

5

2 X ( s )

s

Sustituyendo las condiciones iniciales: s 2 X ( s )

2 s

2

3 sX ( s )

2

2 X ( s )

O bien: s 2

3 s

2 X ( s )

5

2 s

s

5 s

8

Despejando para X(s), tenemos que: X ( s )

2 s 2

8 s

5

s( s 2

3 s

2 )

2 s 2

8 s

s( s

1 )( s

5

5

2 )

2 s

1 s

3 1

2( s

2 )

La transformada inversa de Laplace de X(s) nos da: x( t )

1

L { X ( s )}

L 5 2

1

5 2 s e

t

L 3 2

e

1

1

s

1

L

3

1

2( s

2 )

2t

, para t 0

La cual es la solución de la ecuación diferencial determinada.





28

PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 2.

1. Halle los polos de F(s) si. F ( s )

1 s

1 e

.

Respuesta: s = j2kπ; k ε Ζ.

2. Halle el valor inicial de f’(t) cuando L f (t )

2 s 1

F ( s)

s 2 s 1

1

3. Halle la transformada inversa de. F ( s )

s ( s 2 2 s 2) 5 ( s 2)

4. Halle la Transformada inversa de: F ( s)

2

s ( s 1) ( s 3)

5. Halle F(s) y lim F ( s) si f(t) es: a

0

f(t) 1/a2 0

a

2a

t

-1/a2 ( s 4 2 s 3 3 s 2 4 s 5)

6. Halle la Transformada inversa de: F ( s) 7. Aplicando x  3 x 6 x

Transformada 0 ; x(0)

s ( s 1)

de

Laplace,

0 y x (0)

resolver

la

ecuación

diferencial:

3

8. Encontrar la solución de la Ecuación diferencial: x 2 x 5 x 3 ; x(0) 0 y x (0) 0 9. En el sistema mostrado; encontrar la oscilación resultante. Suponga que el cuerpo está inicialmente en reposo. x Fuerza impulsiva

k

δ(t)

M

b 10. Un impresor de chorro láser emplea un haz de láser a fin de copiar con gran rapidez para un computador. El láser se sitúa por una entrada de control r(t), de manera que se tiene: Y ( s )

5 ( s 1) ( s 2)( s 3) 2

R( s).

a) Si r(t) es una entrada escalón unitario, encuéntrese la salida y(t). b) ¿Cuál es el valor final de y(t)? 11. Hallar el valor final de f( t ) y de f’( t ) si: F ( s)

10( s s ( s 2

2) 4 s

8)

Nota: Aplique el teorema del valor final. 12. Hallar la solución de la ecuación de la Ecuación Diferencial: y‖ + 9y = sen 2t



;

y( 0 ) = y’( 0 ) = 0



29

13. Por transformada de Laplace, resolver el siguiente sistema: y’ – z’ –2y + 2z = sen t.

Si y(0) = z(0) = 0 .

y’ + 2z’ + y = 0

14. Hallar la Transformada de Laplace de: a. f ( t )

2 cos 2t ) b. f ( t )

t ( 3 sen 2t

s 1

15. Dado: F ( s )

s ( s 2 s

1 )

cos 2 t .cos 3 t c. f (t )

t

lim sF ( s ) ).

s

0

t

16. Hallar la Transformada de Laplace de: f ( t ) 1 2

2

s

cos 3t . cos 4t

; determinar los valores de f(0+) y f’(0+). (Utilice el teorema del valor inicial: Si

f(t) y f’(t) son transformables, luego: lim f ( t )

17. Dado: F ( s )

3 t

e

2 t

3

e

2 3

; determine f(0+) y f’(0+). Utilice el teorema del valor inicial.

18. Resuelva el Sistema de Ecuaciones Diferenciales: x1 (t )

x2 (t )

x 2 ( t )

2 x1 ( t )

3 x 2 ( t )

( t ) ; x1 ( 0 )

1; x 2 ( 0 )

0

19. Hallar la Transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

a) F ( s) b)

F ( s )

c) F ( s )

2 s 4

s 3

f) F ( s )

67 s 2 22 s 2

32 s 160 40 s

1 s s 2

2 s

5 s

2

2

s 2 s 1 s

3

s 3 s 1 s 2

d) F ( s ) e) F ( s)

43 s 3

s 3

5 s 2

9 s

s 1 s

7

2

2 s 12 s 2

2 s

5

20. Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

a) b) c)

d 2

x(t )

3

x(t ) 2 dt

3

2

dt

d 2 d 2

x(t ) dt 2

2

d

x(t ) dt d

x(t ) dt d

x(t ) dt


6 x(t )

0

;

x(0)

0 ; x (0)

3

2 x(t )

0

;

x(0)

a ; x (0)

b

5 x(t )

3

;

x(0)

0 ; x (0)

0




30

21. Obtener Las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:




SECCIÓN III MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS LINEALES. MODELOS EN CONTROL

El diseño de un sistema de control típicamente requiere un delicado balance entre limitaciones fundamentales y soluciones de compromiso. Para poder lograr este balance, es necesario tener una comprensión cabal del proceso en cuestión. Esta comprensión usualmente se captura en un modelo matemático. Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseños posibles sin comprometer al sistema real. Revisaremos algunas propiedades básicas de las funciones transferencias, los diagramas de bloques y los gráficos de flujo de señales, tres modelos matemáticos muy comúnmente usados en ingeniería de control. No discutiremos en detalle cómo obtener modelos matemáticos en forma analítica. La derivación de modelos matemáticos es una disciplina compleja en sí misma, elementos de la cual se estudian en otras asignaturas. EL POR QUÉ DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS EN CONTROL

Para muchos problemas es posible encontrar un controlador adecuado simplemente mediante prueba y error . Sin embargo, en muchos casos el enfoque de prueba y error no es factible, debido a complejidad, eficiencia, costo, o aún seguridad. En particular, es imposible mediante prueba y error responder a cuestiones como las siguientes antes de hacer pruebas: 

   

Dada una planta y un objetivo deseado de operación, ¿qué controlador puede alcanzarlo? ¿Se puede alcanzar el objetivo propuesto con algún controlador? Dados un controlador y una planta, ¿cómo operarán en lazo cerrado? ¿Por qué un lazo dado opera de la forma que lo hace? ¿Puede mejorarse? ¿Con qué controlador? ¿Cómo cambiaría la operación si se cambiaran los parámetros del sistema, o si las perturbaciones fueran mayores, o si fallara algún sensor?

Para responder sistemáticamente a estas cuestiones necesitamos modelos matemáticos. Los modelos matemáticos nos brindan los medios de capturar el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas. La importancia de los modelos matemáticos radica en que pueden ser: simulados en situaciones hipotéticas, ensayados en estados que serían peligrosos en el sistema real, y usados como base para sintetizar controladores.   

COMPLEJIDAD DE MODELOS

Al construir un modelo es importante tener en cuenta que todo proceso real es complejo, por lo que cualquier intento de construir una descripción exacta de la planta es usualmente una meta imposible de alcanzar. Afortunadamente, la realimentación usualmente nos permite tener éxito aún con modelos muy simples, siempre y cuando éstos capturen las características esenciales del problema.


32

Es importante destacar que los modelos empleados para control usualmente difieren de los utilizados, por ejemplo, para diseño del proceso. Los sistemas reales pueden ser arbitrariamente complejos, por lo que todo modelo deberá ser necesariamente una descripción aproximada del proceso. Introducimos tres definiciones para clarificar este enunciado. Modelo nominal. Es una descripción aproximada de la planta que se usa para el diseño de control. Modelo de calibración. Es una descripción más exhaustiva de la planta. Incluye características no usadas en el diseño de control pero que tienen directa influencia en el desempeño alcanzado. Error de modelo. Es la diferencia entre el modelo nominal y el modelo de calibración. Los detalles de este error podrían ser desconocidos, pero podrían disponerse de cotas aproximadas. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

Dos enfoques diferenciados para la construcción de modelos: Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra. En este enfoque se postula una determinada estructura de modelo, a la que se varían los parámetros, bien vía prueba y error, o bien vía algún algoritmo, hasta que la del comportamiento dinámico del modelo se ajusta al observado en la planta mediante ensayos. Analítico. Se basa en el uso de leyes físicas (conservación de masa, energía y momento). El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenológicas básicas que determinan las relaciones entre todas las señales del sistema.

En la práctica es común combinar ambos enfoques. Ejemplo. Consideremos un tanque cilíndrico de área A que descarga a través de un orificio en el fondo. Los principios físicos indican que el flujo de descarga q2 puede modelarse razonablemente como q2 ( t ) K h( t ) , donde h es el nivel de líquido en el tanque y K una constante a determinar, por ejemplo, usando principios físicos.

Por ejemplo, se mide h(t ) cada T segundos, donde T se elige tal que la variación sea pequeña. Así, h( t ) h( t T ) q2 ( t ) ˆ

h( t )

h( t

regresión lineal de q 2 ( t ) ˆ

T ) A T , y K podría estimarse haciendo una

sobre h( t ) para distintos valores de t .

Vemos en este ejemplo como el modelo final combina conocimiento físico con mediciones experimentales. Los modelos relevantes en control son a menudo bastante simples en comparación al proceso verdadero, y usualmente combinan razonamiento físico con datos experimentales.

Otra consideración de relevancia práctica es la inclusión del actuador en el proceso de modelado. Los actuadores son, en general, bastante alineales, y usualmente tienen su propia dinámica que, a veces, puede hasta dominar otras características del proceso (como suele pasar con válvulas, actuadores hidráulicos, rectificadores controlados) Así, de aquí en más, cuando nos refiramos al modelo de la planta, entenderemos que este modelo también incluye los actuadores, cuando sea necesario. LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES

Aunque casi todo sistema real tiene características no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales al menos dentro de ciertos rangos de operación. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




33

Como normalmente un sistema de control opera en las cercanías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho más simple, pero adecuado para el diseño de control. Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor de distintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos modelos linealizados. Muchos sistemas se presentan con modelos matemáticos no lineales, de allí la importancia de su linealización y esto se puede hacer mediante la expansión en serie de Taylor. Sea el sistema cuya entrada es x(t) y la salida es y(t). La relación entre y i x está dada por: y = f(x), un sistema no lineal. Si la condición normal o de equilibrio es x0, y0 se puede expandir esta ecuación en una serie de Taylor y a partir de allí obtener una aproximación lineal: y

f ( x )

df dx x

f ( x 0 )

( x

1 d 2 f 2! dx 2 x

x 0 )

x0

( x

x 0 )

....

x 0

Donde las derivadas son evaluadas en x = x0. Si la variación x – x0 es pequeña, se puede despreciar los términos de orden superior, entonces: y

Donde: y 0

f ( x0 ) y K

df

y 0

K ( x

x0 )

.

dx x

x0

En el caso en que el sistema no lineal fuera multivariable, es decir: y

f ( x1 , x 2 , , x n )

x0

( x10 , x 20 , , x n0 )

Con punto de operación en: La expresión para el sistema linealizado será: y

f ( x10 , x 20 , , x n 0 )

Ejemplo: Linealizar y Solución:

x12

f x1

( x1 x

f

x10 )

x 2

x0

( x 2 x

x0

x 20 )



f x n

( x n x

x n 0 )

x0

x1 x 2 , alrededor de x1 = 1; x2 = 2.

Hallando las derivadas parciales en el punto de operación: f x1

x1

1

x2

2

2 x1

f x2


x1

1

x2

2


x2

x1

4

1



34

( 1 )2

y( 1 , 2 )

( 1 )( 2 )

3

Luego: y

3

4( x1

4 x1

1 )

x 2

( 1 )( x 2

2 )

3

Ejemplo: Encontrar un modelo lineal para sistema hidráulico alrededor de un punto h = h0 si: El caudal de entrada es q1 El caudal de salida es q2. K h y que el área transversal del tanque es ―c‖. Se sabe que q 2 Solución: De acuerdo a las leyes de la mecánica de fluidos: Área por la velocidad de cambio de altura en el tanque = q1 – q2. c

dh

q1

dt

q2

Para pequeños cambios alrededor del punto de equilibrio: c

d ( h

h0 )

( q1

dt

q10 )

( q 2

q 20 )

O también: c

d h

q1

dt

q2

Pero linealizando la expresión para q2: q2

q 20

K 2 h0

( h

h0 )

O bien: q2

q 20

1 2 h0

( h

1

h0 ) , hacemos K 0

2 h0

K

; entonces:

K q2

K 0 h

Es decir c

d h dt

K 0 h

q1

FUNCIONES TRANSFERENCIA

Sea la ecuación diferencial: d n y( t ) dt n Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán

an

d n 1 y( t ) 1

dt n

1




a 0 y( t )

bm

d m u( t ) dt m



b0 u( t )



35

Si le aplicamos la transformada de Laplace, asumiendo condiciones iniciales nulas (y (0) = 0; y ’( 0) = 0; …) La convertimos en la siguiente ecuación algebraica: s nY ( s )

an 1 s n 1Y ( s )



bm s mU ( s )

a0Y ( s )



b0U ( s )

Que puede expresarse alternativamente como: Y ( s ) G( s )U ( s ) ; donde: G( s )

N ( s )

bm s m

bm s m

N ( s ) D( s ) 

b0 ;

s n



a n 1 s n

D( s )

s n

b0

1



a0

an 1 s n

1



a0

La función G(s) es la función transferencia del sistema. Es un modelo entrada-salida. Algunas definiciones pertinentes a funciones transferencia: Ceros del sistema: son las raíces de N (s) = 0. Polos del sistema: son las raíces de D(s) = 0. Grado relativo: es la diferencia en grados n - m entre numerador y denominador. Función transferencia propia: si m n. Función transferencia estrictamente propia: si m < n. Función transferencia bipropia: si m = n. Función transferencia impropia: si m > n. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS CON RETARDO

En general, vamos a considerar funciones transferencia racionales y propias, que corresponden a sistemas lineales, estacionarios y de dimensión finita (orden finito). Una excepción de gran importancia en la práctica es el caso de sistemas con retardo entre entrada y salida. Estrictamente, estos sistemas tienen dimensión infinita. Sin embargo, su representación mediante función transferencia es aún tratable, aunque deja de ser racional . La función transferencia de un retardo de T segundos es de la forma: G( s )

e

sT

y( t )

u( t

T )

Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplo simple de un sistema con retardo es el intercambiador de calor de la figura.

La función transferencia entre la entrada (tensión aplicada al elemento calefactor) y la salida (temperatura sensada) es aproximadamente de la forma: G( s )

Ke s

sT

1

Notar que K, T y dependen de la velocidad del ventilador, que puede ser variable. Aunque muy simple, este tipo de modelo es muy común en aplicaciones de control de procesos. DIAGRAMAS DE BLOQUES

Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple manipulación. Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema.





36

Los diagramas de bloques permiten ver la similaridad esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan el dominio físico). En esencia, un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tal diagrama a diferencia de una representación matemática puramente abstracta, muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes. ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE BLOQUES.1. Bloque funcional o simplemente elemento del diagrama de bloques.Es un símbolo que representa la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. La señal sólo puede pasar en la dirección de las flechas., por tanto un diagrama de bloques muestra explícitamente una propiedad unilateral. La flecha que señala el bloque indica la entrada y la que se aleja del bloque representa a la salida. Las flechas se conocen como señales. Función de Transferencia G(s)

2. Punto suma.Es un círculo con una cruz que representa el punto de suma o resta de señales. 3. Punto de ramificación o bifurcación.Es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma, sin perder su valor. 4. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado.En las siguientes figuras se puede observar un diagrama que representa al punto de suma y a un sistema en lazo cerrado. En este último, nótese que la salida C(s) se realimenta al punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La diferencia entre R(s) y C(s) determinan la señal de error E(s). Finalmente la salida se obtiene multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s).





37

5. Funciones de transferencia de distintas configuraciones.Según el diagrama de bloques de la figura, podemos definir algunos tipos de funciones de transferencia, muy utilizados en control lineal.

B( s )

-

Función de Transferencia en lazo abierto:

G( s ) H ( s ) .

-

Función de transferencia de la trayectoria directa:

E ( s )

C ( s )

G( s )

E ( s )

Si H(s) es la unidad, entonces la función de transferencia en lazo abierto y el de la trayectoria directa son iguales. -

Función de transferencia en lazo cerrado.- Para este sistema, la salida C(s) y la entrada R(s), se relacionan del siguiente modo: C ( s )

G( s ) E ( s )

E ( s )

R( s )

B( s )

R( s )

H ( s )C ( s )

Eliminando E(s) de estas ecuaciones, tenemos: C ( s )

G( s ) R( s )

H ( s )C ( s )

O bien: G( s )

C ( s )

1

G( s ) H ( s )

R( s )

6. Sistema en lazo cerrado sujeto a una perturbación.En el diagrama de la figura, asumiendo que el sistema tiene error cero, la respuesta para la perturbación se encuentra a partir de: C D ( s )

G2 ( s )

D( s )

1

G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )

La respuesta a la entrada de referencia, lo determinamos de la expresión siguiente, luego de asumir que la perturbación es cero. C R ( s )

G1 ( s )G2 ( s )

R( s )

1

G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )

La respuesta producida por la aplicación simultanea de la entrada de referencia y la perturbación se obtiene mediante: C ( s )

C R ( s )

C D G2 ( s )

1


G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )


G1 ( s ) R( s )

D( s )



38

7. Procedimientos para dibujar un diagrama de bloques.- Para dibujar el diagrama de bloques de un sistema, primero escriba las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. A continuación tome las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo las condiciones iniciales son cero y represente individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace. Por último, integre los elementos en un diagrama de bloques completo. ÁLGEBRA DE BLOQUES

La obtención de la función de transferencia mediante diagramas de bloques, es una operación sencilla. Para obtener la función de transferencia de un sistema complejo, se reduce los bloques a un bloque simple, empleando ciertas transformaciones, establecidas en el álgebra de bloques y que se muestran en la tabla siguiente extraídas de libro de INGENIERÍA DE CONTROL. 2da Edición (2001), W Bolton, pág. 150 y 151.:







39





40



41

EJEMPLO: Sea el siguiente diagrama, reducirlo a un bloque simple: R

+

+

G1

X

G2

Y

_

C

+ H 1

H 2

Solución: Eliminando lazo de realimentación H1, generamos la figura (a). Efectuando los bloques en serie nos conduce a la figura (b). Por último, eliminando lazo de realimentación H2 nos conduce a la figura (c). R

+ G1

_

G2 1 G 2 H 1

C

G1 G 2 1 G 2 H 1

C

H 2

(a) R

+ -

H 2

(b) R 1

G1 G 2 G 2 H 1 G1G 2 H 2

C

(c) EJEMPLO: Sea el siguiente diagrama, reducirlo a un bloque simple:

R

+

H 3

+

_

+ G1

C G2

+

H 1

H 2

Solución.Si se mueve el punto de bifurcación que contiene H3 hacia atrás del bloque que contiene a G2, obtenemos (a). Si eliminamos la realimentación positiva obtenemos la figura (b). Uniendo los lazos que contienen a H3/G2 y H2 conduce a la figura (c). Por último, la eliminación del lazo de realimentación conduce a la figura (d).





42

H 3

R

G2

+

+

+ G1

_

C G2

+

H 1

H 2

(a) H 3

R

+

+

G2

G1

_

C

G2 1 G 2 H 1

H 2

(b)

R

+

H 3 G2

+

H 2

C

G2 1 G 2 H 1

G1

(c) R 1

G 2 H 1

G1 G 2 G1 H 3

C G1G 2 H 2

(d) GRÁFICOS DE FLUJOS DE SEÑALES.

Es la notación simplificada de un diagrama de bloques. Es un medio gráfico de descubrir la relación salida – entrada entre las variables de un conjunto de ecuaciones algebraica o de un sistema en particular. Muy útil cuando la simplificación por el álgebra de bloques se hace complicado. Tiene la ventaja de que existe una fórmula que permite hallar la ganancia entre dos extremos, sin hacer mucho trabajo. La fórmula es conocida como fórmula de la ganancia de MASON . DEFINICIONES IMPORTANTES. Nodo.- Representa las variables. La señal en un nodo es igual a la suma de señales que arriban a él.

Ejemplo: Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




y 2

a12 y1

43

a32 y 3

a32 y3

a 23 y 2

a12

a 43 y 4

a43 a23

y1

y2

y3

y4

Ramas.- Son líneas que conectan los nodos de acuerdo a la relación CAUSA – EFECTO.

Ejemplo:

a12

y1 y 2

y2

a12 y1 , pero: y1

y 2 a12

O sea, no es bidireccional. Es decir, y2 depende de y1 y no al revés, aún cuando matemáticamente y1

y 2 a12

; el

gráfico no implica esto. Nodo de entrada.- sólo salen ramas de él. Nodo de salida.- Sólo ingresan ramas a él. Cualquier nodo se puede convertir en nodo de salida agregándole rama de ganancia unitaria. Trayectoria.- Rama o secuencia continua de ramas. Lazo.- Trayectoria cerrada que se origina o termina en el mismo nodo. Ganancia de Rama.- Considérese una sola rama: es el valor que multiplicado por la señal o suma de señales arribando al nodo de entrada, da el valor de la señal en el nodo de salida. Ganancia de Lazo.- Es el producto de todas las ganancias de las ramas que constituyen el lazo. FÓRMULA DE MASON

Dado un flujo de señales y una salida:

xi

Ganancia de flujo de señales

x j

La fórmula de la ganancia de Mason se define como: P ijk T ij

ijk

k

Donde: Pijk = ganancia de la k-ésima trayectoria que va de la variable xi a la variable x j. = Determinante del gráfico. = 1 – (Suma de las ganancias de todos los lazos) + (Suma del producto de la ganancia de dos lazos que no se tocan) – (Suma del producto de la ganancia de tres lazos que no se tocan) + …

Nota.- Dos lazos no se tocan, si no tienen ningún nodo en común.





44

= cofactor de la trayectoria Pijk. Es el determinante al que se le a retirado la ganancia de los lazos que tocan la késima trayectoria. ijk

Ejemplo.Sea el diagrama de bloques de la figura: H 3

+ R

+ X

+

G1

Y

_

C

G2 + H 1

H 2

Dibuje el gráfico de flujo de señales y mediante la fórmula de Masón, obtenga la relación C/R. Solución. El gráfico de flujo de señales es: R

1

X

G1

Y

G2

H3

P 1

G1 H 3

G1G2 ;

1

C

H1 - H2

Tenemos además: 1

C

G2 H 1 1

G1G2 H 2

1

Finalmente: T 1

G1G2

C R

1

G1 H 3

G2 H 1

G1G2 H 2

Ejemplo.- En el circuito de la figura, dibujar el gráfico de flujo de señales equivalente y encontrar T ij R 1

E 2 ( s ) E 1 ( s )

I2

I1 + C E1

I3 R 2

E2

_

Solución: Las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff y aplicando el método de Laplace, son: Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




45

I 1

( E 1

E 2 )Cs

I 2

( E 1

E 2 )

E 2

I 3 R 2

I 3

I 1

1 R1

I 2

El gráfico de flujo de señales equivalente es: I1 Cs E1

1

1 1/R1

1

R2

I2

1

I3

E2

E2

-1 Ganancia de lazos: L1 L2

El determinante del gráfico:

1

R2 R1 R2 C s

R 2 R1

R 2 C s

Las trayectorias con sus respectivos cofactores: P 1 P 2

O bien: T ij

R2 C s

1

1

2

1

R2 R1

E 2 ( s ) E 1 ( s )

R 2 R 2 C s R1 R 2 1 R 2 C s R1 1 R1C

s s

R1 R 2 R1 R 2 C

PROBLEMAS RESUELTOS.

1. Reducir el diagrama de bloques múltiples a un bloque simple.





46

Solución.Si se mueve el punto de bifurcación que contiene H 2 hacia atrás del bloque que contiene a G4, obtenemos (a). Si eliminamos la realimentación positiva obtenemos la figura (b). La eliminación del lazo que contiene H2/G4 produce la figura (c). Por último, la eliminación del lazo de realimentación conduce a la figura (d).

Ejemplo de Dorf & Bishop (2000)

2. Considere el sistema que aparece en la figura (a), simplifique este diagrama. Solución.Si se mueve el punto suma del lazo de realimentación negativa que contiene H2 hacia fuera del lazo de realimentación que contiene a H1, obtenemos (b). Si eliminamos la realimentación positiva obtenemos la figura (c). La eliminación del lazo que contiene H2/G1 produce la figura (d). Por último, la eliminación del lazo de realimentación conduce a la figura (e).





47

3. Encuentre las siguientes funciones de transferencia para el gráfico de flujo de señales mostrado en la figura. ( a ) Y ( b ) Y ( c ) Y Y 1 Y

8

Y1

7

7

7

0

G6

1

G1 Y2

Y 8 Y 1

G2 Y3

Y 4 Y 8

0

Y4 1

Y8 1

G3

-H1 Y4

G4

Y5

0

G5 Y6 -H2

1 Y7

Y7

- H3 Solución.- Se agrega rama unitaria en y4 para convertirlo en nodo de salida El determinante del gráfico es común y no depende de las trayectorias, entonces: Identificando lazos: L1

G2 H 1 ; L2

G5 H 2 ;

L3

G1G 2 G3 G4 G5 H 3 ;

L4

G3 G4 G5 G6 H 3

Luego:





1

( L1

L2

1

G2 H 1

L3

L4 )

G5 H 2

48

L1 L2

G1G2 G3G4 G5 H 3

G3G4 G5G6 H 3

G2 G5 H 1 H 2

Para (a): T 1

G1G2 G3G4 G5 ;

1

1

T 2

G3G4 G5G6 ;

1

1

Luego: Y 7

G1G2 G3G 4 G5

G3 G 4 G5 G 6

Y 1

Para (b): T b

G4 G5 ( 1

G2 H 1 )

Luego: Y 7

G4 G5 ( 1

G 2 H 1 )

Y 8

Para (c), primero hallamos

Y 4 Y 1

Y 8

0

Entonces: T 1

G1G2 ;

1

1

G5 H 2

T 2

G6 ;

1

1

G5 H 2

G5 H 2 )( G1G2

G6 )

De allí: Y 4

( 1

Y 1

Pero: Y 7 Y 7 Y 4

Y 1 Y 4

G1G2 G3G4 G5

G3G4 G5 G6 G3 G4 G5

( 1

G5 H 2 )( G1G2

G6 )

( 1

G5 H 2 )

Y 1

4. Suponga que el flujo Q y la altura H en un sistema de nivel de líquido se relacionan mediante: Q

0.2 H

Obtenga un modelo matemático linealizado que relacione el flujo y la altura cerca del punto de operación en estado estable (H0, Q0), en donde H0 = 2.25 m. y Q0 = 0.3 m3/s. RESPUESTA.Pero:

dQ dH

0.1

1 H 0

0.1

1 2.25

0.0667

Entonces: Q

Q0


(0.0667 ) ( H

H 0 )


0.3

0.0667 H

0.15



49

Finalmente: Q

0.15

0.0667 H

5. Frecuentemente se pasa por alto el hecho de que HS Black, quien desarrolló en 1927 un amplificador con retroalimentación negativa, había inventado tres años antes una técnica para diseñar circuitos conocida como corrección de alimentación directa. Algunos experimentos recientes han mostrado que esta técnica ofrece el potencial para obtener excelente estabilización del amplificador. En la figura (a) se muestra el amplificador de Black en la forma registrada en 1924. En la figura (b) se muestra el gráfico de flujo de señales. Determínese la función de transferencia entre la salida C(s) y la entrada R(s), así como entre la salida y la perturbación D(s). Se emplea G(s) para el amplificador representado por μ en la figura a).

RESPUESTA: De acuerdo al gráfico de flujo de señales (figura (b)) y con la l a aplicación de la fórmula de Mason, Mas on, se tiene: a) Para C(s)/R(s) = ¿? No hay lazos en el diagrama de flujo de señales, por lo tanto: = 1. Trayectorias: T1 = G(s), 1 = 1; T2 = G(s), 2 = 1; T 3

1 ) G ( s )

G ( s ).G ( s ).( ).(

G(s) ,

3

=1

Luego: C ( s ) R( s )

G( s )

G ( s )

G ( s )

G( s )

b) Para C(s)/D(s) = ¿? T 1

1,

1

1

1; T 2

(

C ( s ) D ( s )

1

G( s )

) G( s )

1,

1

2

Luego: ( 1)

0

En este caso, se puede observar que la perturbación no ocasiona ningún efecto en la salida. PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS Nº 3.3. -

1. Simplificar el siguiente diagrama de bloques. R(s

G1

+

G2 +



+

Y(s +



50

2. Simplificar el siguiente diagrama de bloques. H1 + R(s +

+

G

Y(s

H2

3. Reducir el siguiente diagrama de bloques a un solo bloque Y/R. H

R

G

G

-

G

G

Y

H H

4. Linealizar cada una de las siguientes ecuaciones: a) y ' 2 b) y '

5 yy'

5 y

y

3u '

u

1

En torno al punto de funcionamiento u 0 5. Dado el sistema: y ' xy

y

u2 .

u ' cos u

x 2

4

, obteniendo en cada caso la función de transferencia Y(s)/U(s).

2 . Obtener el modelo lineal y la función de transferencia Y(s)/X(s)

correspondiente al punto de funcionamiento x0 = 3. 6. Dado el sistema: y ' (t )

u (t ) y (t )

5, se pide linealizarlo en torno a los puntos a) u0 = 10; b) u 0 =

u 2 (t )

2. 7. Aplique la fórmula de ganancia de Mason para encontrar las funciones de transferencia: transf erencia:

Y 5 Y 4 Y 5 ; ; Y 1 Y 1 Y 3

8. Un cierto Sistema de Control se modela mediante el conjunto de ecuaciones diferenciales que se describe. (a) Si la entrada del sistema es y(t) y la salida es z(t), dibujar un diagrama de bloques que represente al sistema; (b) Expresar la Función de Transferencia del sistema. y '

z '

y '

2 z '

2 y

2 z

y

0

sen t

9. Encuentre las funciones de transferencia Y7/Y1 y Y2/Y1 en:





51

10. En el diagrama de bloques de un sistema de control que se muestra, obtenga las siguientes funciones de transferencia. (a)

Y ( s) R( s)

(b) N ( s )

0

Y ( s) N ( s)

R ( s )

0

11. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s) del siguiente sistema, utilizando la fórmula de Mason.

12. Encuentre las funciones de transferencia de los diagramas de bloques de la Figura 2 por reducción de bloques.





52

13. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado Y(s)/X(s) del siguiente sistema, utilizando la fórmula de Mason.

14. Hallar Y7(s)/Y1(s) y Y4(s)/Y1(s) a partir del diagrama de flujo mostrado:

15. Dado el sistema definido por las siguientes ecuaciones: dx2 (t ) dt dx3 (t ) dt dx4 (t ) dt dx5 (t ) dt

x1 (t ) 2 x3 (t ) 3 x4 (t ) 5 x5 (t )

dx5 (t ) dt 2 x 2 (t ) dx3 (t ) dt

3 x 4 (t ) x3 (t )

3 x1 (t )

x4 (t )

En las que x1(t) representa a la variable de entrada, construya el diagrama de bloques y aplique la fórmula de Mason para obtener la función de transferencia

X 5 ( s ) . X 1 ( s )

16. Linealice la ecuación no lineal: z

x 2

8 xy

3y 2

En la región definida por 2 x

4, 10

y

12.

17. El fluido que pasa por un orificio puede representarse mediante la ecuación no lineal:





53

Donde K es una constante. Determínese una aproximación lineal para la ecuación del flujo de fluidos. 18. Los trenes de levitación magnética son una alternativa de alta velocidad y muy baja fricción en comparación con las ruedas de acero sobre rieles de acero. Como se muestra en la figura, el tren flota en un colchón de aire. La fuerza de levitación está controlada por la corriente i de la bobina en las bobinas de levitación y se puede aproximar a la expresión: i2 F L

k 2 z

Donde z es el espacio de aire. A esta fuerza se opone la fuerza descendente F = mg. Determínese la relación linealizada entre el espacio de aire z y la corriente de control cerca de la condición de equilibrio.

19. Un amplificador no lineal puede describirse por las siguientes características: v0 (t )

2 vent 2 vent

vent

0

vent

0

El amplificador operará sobre un intervalo para vent de ± 0.5 V en el punto de operación. Descríbase el amplificador dentro de una aproximación lineal (a) cuando al punto de operación es vent = 0, y (b) cuando el punto de operación es vent = 1 V. Obténgase un bosquejo de la función no lineal y la aproximación para cada caso. 20. La figura muestra el diagrama de bloques del sistema de control de antena del campo de colectores solares. la señal N(s) denota las perturbaciones de las ráfagas de viento que actúan sobre la antena. La función de transferencia de la trayectoria directa Gd(s) se utiliza para eliminar el efecto de N(s) sobre la salida Y(s). Encuentre la función de transferencia Y(s)/N(s) tal que R(s) = 0. determine la expresión Gd(s) de tal forma que el efecto de N(s) sea eliminado por completo.

21. Considerar el sistema descrito por el diagrama de bloques:

Calcular la función transferencia que relaciona ―y” con ―n‖ e “ y‖ con ―d” . Especializar el caso donde F = 1, el controlador es un controlador PI con función de transferencia: C ( s )

1

1 s

y el proceso es un motor con función transferencia





P ( s )

54 3 s ( s

2)

Calcular la función transferencia desde la señal de referencia ―r” a la salida ―y” .

22. Encuentre las funciones de transferencia: ( a ) Y ( b ) Y

( c ) Y 7

7

7

Y 1 Y

8

Y 8 Y 1

0

Y 3 Y 8

0

( d ) Y 7 0

Y 3 Y 1

0

Comente los resultados obtenidos en c) y d). 23. Usando el álgebra de bloques. Reducir a un bloque simple y obtenga la función de transferencia del sistema.

Siendo: G1 = G2 = 1/s y G3

G4

10 s

1

; H1 = H2 = H3 = 2.

24. Encuentre las funciones de transferencia Y7/Y1 y Y2/Y1 en: (5p)

25. En el diagrama de flujo de señales. Hallar: a)


y 7 y , b) 7 y1 y5



SECCIÓN IV MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS Aún cuando hemos señalado que no vamos a considerar el estudio específico de modelos de sistemas físicos por ser toda una asignatura, vamos a reseñar algunos de ellos, para que sirvan de base al estudiante y pueda complementar su preparación, para poder aplicarlo a lo largo de la asignatura. SISTEMAS MECÁNICOS. Sistema Traslacional. Para el sistema de la figura: Por la segunda Ley de Newton: F

m.a

O bien:

m

d 2 y 2

dt

Donde:

b

dy dt

ky

b

du

ku

dt

m = masa en Kg. a = aceleración m/s2. b = coeficiente de fricción viscosa en Kg.s/m k = constante de proporcionalidad del resorte en Kg./m.

Tomando la relación U(s) a Y(s), la función de transferencia será: G ( s)

bs ms

2

k bs

k

Sistema Rotacional. Para el sistema de la figura: J 

b

T

J = Momento de Inercia de la carga (Kg-m2) ω = velocidad angular en rad/s.

T = Par, N-m.

La función de transferencia será: G ( s )

( s ) T ( s )

1 Js

b


56

SISTEMA ELÉCTRICO.

Sea el circuito eléctrico RLC, entonces: LsI ( s) 1 Cs

1

RI ( s)

I ( s )

Cs

I ( s )

E i ( s )

E 0 ( s )

Por lo tanto: E 0 ( s ) E i ( s )

LCs 2

1 RCs

1

SISTEMAS ANÁLOGOS. Analogía fuerza – voltaje. Para el sistema mecánico: d 2 x

m

2

dt

b

dx dt

kx

p

Para el sistema eléctrico: L

d 2 q dt 2

R

dq

1

dt

C

q

e

TABLA DE ANALOGÍA FUERZA – VOLTAJE. Sistemas Mecánicos. Fuerza p (Par T) Masa m (Momento de Inercia J) Coeficiente de fricción viscosa b. Constante del resorte k. Desplazamiento x (desplazamiento angular ) Velocidad dx/dt (velocidad angular ω)

Sistemas Eléctricos Voltaje e. Inductancia L Resistencia R Recíproco de la capacitancia 1/C Carga q. Corriente i.

Analogía fuerza – corriente. La ecuación del sistema eléctrico será:

2

C

d

2

dt

1 d

1

R dt

L

i s

Sistemas Mecánicos. Fuerza p (Par T) Masa m (Momento de Inercia J) Coeficiente de fricción viscosa b. Constante del resorte k. Desplazamiento x (desplazamiento angular ) Velocidad dx/dt (velocidad angular ω) Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán


Sistemas Eléctricos Corriente i. Capacidad C. Recíproco de la resistencia 1/R Recíproco de la inductancia 1/L Enlace de flujo magnético . Voltaje E. Departamento Académico de Electricidad y Electrónica FIME - UNICA


57

SENSORES EN SISTEMAS DE CONTROL. Potenciómetro. En la figura se muestra un potenciómetro rotatorio de 10 vueltas.

En la figura (a) e(t )

K s

c

(t ) E

Donde: K s

V / rad

2 N

En la figura (b) e(t )

K s

1

(t )

2

(t )

El diagrama de bloques se muestra en la Figura.

Tacómetros. La dinámica del tacómetro se puede representar por: et (t )

K t

d (t )

K t (t )

dt

La función de transferencia será: E t ( s) ( s)

K t s

AMPLIFICADORES OPERACIONALES. Los amplificadores operacionales se usan ampliamente en los controladores y compensadores electrónicos.





58

Amplificador operacional En la figura: G ( s )

E 0 ( s)

Z 2

E i ( s )

Z 1

Amplificador Inversor.- Considérese el amplificador operacional de la figura, se desea obtener el voltaje e 0,

Entonces: i1

ei

e R1

,

i2

e

e0 R 2

Como solo fluye una corriente insignificante hacia el amplificador, la corriente i 1 debe ser igual a la corriente i 2. Por tanto: ei

e

e

R1

e0 R2

Pero e’ se aproxima a cero, por tanto se tiene:

ei R1

e0 R2

e0

R 2 ei R1

O bien:

Amplificador no Inversor.- el circuito de la figura (a) es un amplificador no inversor y el circuito (b) es su equivalente. K es la ganancia diferencial del amplificador, entonces: e0


K ei


R1 R1

R2

e0



59

O también: R1

ei

R1

1

R2

K

e0

Como K >> 1, si R1/(R1 + R2) >> 1/K, entonces: e0



1

R2 R1

ei



60

Para el sistema de la figura, las funciones de transferencia de los componentes son:





Proporcional: Integral: Derivativo:

E P ( s)

R2

E ( s)

R1

E I ( s ) E ( s )

1 R i C i s

E D ( s ) E ( s )

61

Rd C d s

El voltaje de salida es: E 0 ( s)

E P ( s)

E I ( s )

E D ( s )

La función de transferencia del circuito con OPAM del PID es: G ( s )


E 0 ( s ) E ( s )


R 2 R1

1 R i C i s

R d C d s



62

MOTORES DE CD EN SISTEMAS DE CONTROL.

El par desarrollado en el eje del motor es directamente proporcional al flujo en el campo y a la corriente en la armadura. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




63

La relación entre el par desarrollado, el flujo y la corriente ia es: T m

K m i a

Donde: Tm es el par del motor (N-m) es el flujo magnético (webers) r es distancia en m. ia es la corriente de armadura en amperes. Km es la constante de proporcionalidad. La fuerza contraelectromotriz o voltaje generado entre terminales es: eb

K m

Centro de Rotación

m

Donde: eb es la fuerza contraelectromotriz en volts. ωm es la velocidad angular en rad/s. Para determinar el modelo matemático de motores de CD de imán permanente, se define los parámetros y variables del motor como sigue: ia(t) = Corriente de armadura. Ra = Resistencia de armadura. eb(t) = Fuerza contraelectromotriz TL(t) = Par de carga. Tm(t) = Par del motor. m(t) = Desplazamiento del motor. Ki = Constante del par.

La = Inductancia de la armadura. ea(t) = Voltaje aplicado. Kb = Constante de la fuerza contraelectromotriz. = Flujo magnético en el entre hierro. ωm(t) = Velocidad angular del rotor. Jm = Inercia del motor. Bm = coeficiente de fricción viscosa. Ya que es constante entonces: T m (t )

K i i a (t )

En donde Ki es la constante del par en N-m/A. Las ecuaciones de causa y efecto para el circuito del motor son: dia (t )

1

dt

La

ea (t )

T m (t )

K i ia (t )

eb (t )

K b

d 2

m 2

dt

d

1 J m

m

(t )

dt T m (t )

Ra La

ia (t )

K b 1 J m

1 La

eb (t )

m

T L (t )

Bm d J m

m

(t )

dt

El diagrama de bloques del sistema de un motor se representa en la figura: Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




64

La función de transferencia entre el desplazamiento del motor y el voltaje de entrada se obtiene del diagrama de estado como: m

( s)

E a ( s)

K i La J m s 3

( Ra J m

Bm La ) s 2

( K b K i

Ra Bm ) s

En este caso TL(t) se igualó a cero. SISTEMA DE SEGUIMIENTO SOLAR.

El diagrama de un sistema de seguimiento solar, se muestra en la figura:

El eje solar o la línea que va desde el engrane de salida hasta el Sol hace un ángulo r (t) con respecto al eje de referencia, y 0(t) denota el eje del dispositivo con respecto al eje de referencia. Con referencia a la figura, el objetivo del sistema de control es mantener el error entre r (t) y 0(t), (t), cerca de cero:





( t )

r

( t )

0

65

( t )

Cuando el dispositivo está alineado perfectamente con el Sol, (t) = 0, y ia(t) = ib(t) = I, o (t) = 0, y ia(t) = ib(t) = 0. Partiendo de la figura 7.1, se tiene: oa ob

W 2 W 2

L tan ( t ) L tan ( t )

Por proporcionalidad: ia ( t )

I

2 L I W

tan ( t ) ib ( t )

2 L I

I

W

tan ( t )

El discriminador de error se puede representar por las características no lineal, en donde para un ángulo pequeño (t), tan (t) se ha aproximado por (t) sobre la abscisa. La relación entre la salida del OPAM y las corrientes ia( t ) y ib( t ) es: e0 ( t )

R F ia ( t )

ib ( t )

Para la primera figura, la salida del amplificador de seguimiento se expresa como: ea ( t )

K e0 ( t )

et ( t )

K e s ( t )

El voltaje de salida del tacómetro, et, se relaciona con la velocidad angular del motor a través de la constante Kt: et ( t )

K t

m

( t )

La posición del engrane de salida se relaciona con la posición del motor a través de la relación del engrane 1/n. Por tanto: 1 0

n

m

Las ecuaciones del motor de CD son las mismas de las ya estudiadas, en todo caso las volvemos a describir: ea ( t ) Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán


Raia ( t )

eb ( t )



eb ( t )

K b

T m ( t ) T m ( t )

J

66

d

m

( t )

K i ia ( t ) m

( t )

B

d t

m

( t )

Donde J y B son los coeficientes de inercia y fricción viscosa del eje del motor. La inductancia del motor se desprecia. El diagrama de bloques del sistema de seguimiento solar se muestra en la siguiente figura:

SISTEMAS CON RETARDO DE TRANSPORTE.

En la práctica se puede encontrar retrasos puros en varios tipos de sistemas, especialmente en sistemas con transmisiones hidráulicas, neumáticas y mecánicas. Los sistemas de control computarizados también tienen retardos, ya que la computadora toma cierto tiempo ejecutar operaciones numéricas. En estos sistemas la salida no comienza a responder a la entrada sino hasta después de un intervalo de tiempo dado. La figura muestra algunos sistemas a los que se les observa el atraso de transporte o el atraso de tiempo puro. La figura (a) esboza un arreglo en el que dos fluidos diferentes se mezclan en proporciones adecuadas. Como se observa los puntos de supervisión se localizan a cierta distancia del punto de la mezcla, por tanto existe un retraso entre el punto de la mezcla y el lugar donde se detecta el cambio en la concentración. Sea v la velocidad del flujo de la solución mezclada y d la distancia entre los puntos de mezcla y medición, el tiempo de retardo está dado por: T d

d v

Segundos.

Suponiendo que el punto de concentración de mezcla es y(t) y que esta se produce sin cambios Td después en el punto de supervisión, la cantidad medida es: b(t )

y (t

B( s)

e

T d )

Siendo su transformada: T d s

Y ( s )

e

T d s

La función de transferencia entre b(t) y y(t) es: B ( s ) Y ( s ) Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




67

SISTEMAS DE BRAZO ROBOT.

En la figura se observa el esquema de un sistema simple de brazo robot.

Para evaluar la ubicación y orientación de los diversos puntos de un sistema de brazo robot, por lo común se utilizan técnicas de transformación de coordenadas. Sea el sistema de brazo robot simple de la figura siguiente, se supone que los brazos del robot se desplazan sólo en el plano de la página. La función del simulador de brazo robot es hallar el movimiento de cada punto del brazo a partir del conocimiento de los ángulos de rotación y ’. Las coordenadas x, y, z del punto P se pueden hallar mediante las ecuaciones geométricas: x

a cos

b cos(

')

y

a sen

b sen(

')

z

0

Por lo laborioso del cálculo, se utilizan matrices de transformación. Considérese el sistema de coordenadas de la figura siguiente. Supóngase que el sistema de coordenadas O-xyz está fijo en el espacio. El sistema de coordenadas O-x’y’z’ es un sistema de coordenadas rotatorio con origen en el punto O.





68

Los ángulos entre los ejes del sistema de coordenadas fijo y los ejes del sistema de coordenadas rotatorio se definen: ángulo entre el eje x y el eje x’. z’z ángulo entre el eje z y el eje z’. z’x ángulo entre el eje x y el eje z’. x’z ángulo entre el eje z y el eje x’. y’z ángulo entre el eje z y el eje y’.

ángulo entre el eje y y el eje y’. y’x ángulo entre el eje x y el eje y’. x’y ángulo entre el eje y y el eje x’. z’y ángulo entre el eje y y el eje z’.

x’x

y’y

Considérese el punto P, cuyas coordenadas en el sistema de coordenadas rotatorio son (x’, y’, z’) y el de coordenadas fijo del punto P es (x, y,z). Se definen los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y,z como i, j, k; y vectores unitarios a lo largo de los ejes x’, y’, z’ como i’, j’, k’. Nótese que el punto P es el extremo del vector OP, el mismo que se puede escribir de dos modos: 

O P

x xi

yj

zk

i j k y

y



O P

z



x' x' i'

y ' j '

z ' k '

i' j ' k ' y ' z '



69

Tabla.- Tipos de Sistemas de Robot (Adaptado de Ingeniería de Control Moderna – Katsuhiko Ogata)

SISTEMAS DE NIVEL DE LÍQUIDO. Resistencia y capacitancia de nivel de líquido.- Considérese el flujo a través de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R para el flujo del líquido en el tubo se define por: R


cambio en la diferencia de nivel , m 3 cambio en la velocidad de flujo, m


seg



70

Con referencia a la figura (a), si el flujo es laminar (Nº Reynolds < 2000) se tiene que: Q

KH

Donde Q = velocidad del flujo del líquido en estado estable, m 3/seg. K = coeficiente, m2/seg H = altura en estado estable, m. La resistencia R l se obtiene como: Rl

dH

H

dQ

Q

Si el flujo es turbulento (3000 < Nº Reynolds < 4000), entonces: Q

K H

2.5

Donde K = coeficiente, m /seg. La resistencia R t se obtiene a partir de: Rl

dH

2 H

2 H H

2 H

dQ

K

Q

Q

El valor del coeficiente K depende del coeficiente de flujo y del área de restricción, normalmente desconocido. Una forma de obtener la resistencia es mediante la curva de la altura versus el flujo como el de la figura (b), en la que se observa que: Rl

pendiente de la curva en el punto P

h

2 H

q

Q

La Capacitancia C de un tanque es igual a su área transversal, si esta es constante la capacitancia también lo es para cualquier altura; en todo caso la podemos definir por: R

cambio en el líquido almacenado, m 3 cambio en la altura, m

Nota: El flujo turbulento es no lineal, se puede linealizar en un punto de operación e intervalo pequeño. Debe señalarse que la capacidad (m 3) es diferente a la capacitancia (m 2). Modelo Dinámico del sistema de nivel de líquido.- Desde la figura (a) anterior definimos las variables: Q = velocidad de flujo en estado estable (antes de ocurrir el cambio), m 3/seg. qi = pequeña desviación de la velocidad de entrada de su v alor de estado estable, m 3/seg. q0 = pequeña desviación de la velocidad de salida de su valor de estado estable, m 3/seg. H = pequeña desviación de la altura a partir de su valor en estado estable, m. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




71

El flujo de entrada menos el flujo de salida durante un pequeño intervalo de tiempo es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque, de donde: Cdh

(q i

q0 ) dt

Pero: h

q0

R

De donde el modelo resultante es: RC

dh dt

h

Rqi

La función transferencia del sistema, considerando q i como entrada y h como salida es: H ( s )

R

Qi ( s)

RCs

1

Ejemplo.- Para el sistema de nivel de líquido con interacción:

Donde Q : Caudal en estado estacionario. H 1 : Nivel de líquido en el estado 1. H 2 : Nivel de líquido en el estado 1. Las ecuaciones diferenciales que modelan el sistema son: h1

h2

q1

R1 dh1

C 1

dt h2

R 2 C 2

dh2 dt

q

q1

q2 q1

q2

Si consideramos que q es la entrada y q 2 es la salida, la función de transferencia del sistema será: Q2 ( s) Q ( s)


1 R1C 1 R2 C 2 s

2


( R1C 1

R2 C 2

R2 C 1 ) s

1



72

La forma de obtener esta función de transferencia es mediante el álgebra de bloques, en la forma que se describe a continuación:

(a) Elementos del diagrama de bloques del sistema; (b) diagramas de bloques del sistema; (c) – (e) reducciones sucesivas. SISTEMAS NEUMÁTICOS. Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los controladores neumáticos de baja presión para los sistemas de control industrial, usados hoy ampliamente en los procesos industriales. Son atractivos por ser a prueba de explosiones, sencillos y de fácil mantenimiento. Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión.- Para el sistema de la figura (a); la resistencia del flujo de gas se define por: cambio en la diferencia de presión del gas, R


lb f ft 2

cambio en el flujo del gas, lb seg Profesor Asociado a D.E.



73

O bien: d ( P )

R

dq

La capacitancia del recipiente a presión se define por: C

cambio en el gas almacenado, lb lb cambio en la presión del gas, f 2 ft

O bien: dm

C

V

dp

d dp

Figura.- (a) Diagrama esquemático de un sistema de presión; (b) curva de la diferencia de presión frente al flujo.

Sistemas de Presión.- considérese la figura (a), suponiendo pequeñas desviaciones de las variables a partir de sus valores de estado estable, este sistema se considera lineal y se definen: P = presión del gas en el recipiente en estado estable (antes que cambie la presión), lb f /ft2

pi = cambio pequeño en la presión del gas que entra, lb f /ft2. p0 = cambio pequeño en la presión del gas en el recipiente, lb f /ft2. V = volumen del recipiente, ft 3. m = masa del gas en el recipiente, lb. q = flujo del gas, lb/seg. ρ = densidad gas, lb/ft 3.

Para valores pequeños de presión, la resistencia R se puede escribir: pi

R

p 0 q

Como el cambio de presión dp0 multiplicado por la capacitancia C es igual al gas añadido al recipiente durante dt segundos, de donde: Cdp0

qdt

O bien: C

dp0

pi

dt

p0 R

Es lo mismo que: RC


dp0 dt


p 0

pi



74

La función transferencia del sistema, considerando que p i y p0 son la entrada y salida, respectivamente es: P 0 ( s )

1 RCs

P i ( s )

1

Donde RC es la constante del tiempo del sistema. Válvulas con actuador automático.- Considérese el diagrama esquemático de una válvula con actuador automático como el de la figura. Supóngase que el área del diafragma es A, que para error cero la presión es P c y que el desplazamiento de la válvula es igual a X . Para las variaciones pequeñas de la presión de control p c y el desplazamiento de la válvula x; la ecuación de balance de la fuerza se escribe:  m x

A p c

b x

kx

Donde m = masa de la válvula y vástago de la válvula. b = coeficiente de fricción viscosa. k = constante del resorte.

Si las fuerzas producidas por la masa y la fricción son insignificantes, entonces la ecuación queda: A p c

kx

La función de transferencia entre x y p c será: X ( s)

A

P c ( s )

k

K c

SISTEMAS HIDRÁULICOS. El servomotor hidráulico de la figura, es un amplificador y actuador de la potencia hidráulica, controlado por una válvula piloto. Dicho servomotor constituye la base del circuito de control hidráulico.





75

Modelo Matemático del Servomotor hidráulico.- el flujo de aceite q(Kg/seg) por dt (seg) es igual al desplazamiento del pistón de potencia dy (m) por el área del pistón A(m2) por la densidad del aceite ρ(Kg/m2). Por tanto: A dy

q dt

Como el flujo de aceite q es proporcional al desplazamiento x de la válvula piloto, se tiene: q

K 1 x

Donde K1 es una constante positiva, entonces: A

dy

K 1 x

dt

La función de transferencia da como resultado un controlador integral de la forma: Y ( s )

K 1

K

X ( s)

A s

s

Controladores hidráulicos proporcionales.- Considere el controlador hidráulico de la figura (a). El controlador opera del modo siguiente: Si la entrada e mueve la válvula piloto a la derecha, se descubrirá el puerto II y el aceite a alta presión fluirá a través del puerto II hacia el lado derecho del pistón de potencia e impulsará éste a la izquierda. El pistón de potencia, al moverse a la izquierda, arrastrará con él en lace de realimentación ABC, con lo cual moverá la válvula piloto a la izquierda. Esta acción continúa hasta que el pistón del piloto cubre otra vez los puertos I y II.





76

El diagrama de bloques de la figura (b) corresponde al servomotor hidráulico (a), entonces: b a

Y ( s ) E ( s)

1

K

b s K b s a

b

Considerando que en condiciones normales de operación [Ka/[s(a + b)]] >> 1, la función queda: Y ( s)

b

E ( s )

a

K P

Que corresponde a un controlador proporcional cuya ganancia es K P. Amortiguadores.- El amortiguador de la figura funciona como un elemento de diferenciación. Se va obtener la función de transferencia entre el desplazamiento z y el desplazamiento y . se definen las presiones existentes en ambos lados del pistón como P 1(lbf /plg 2) y P2(lbf /plg2), respectivamente. Supóngase que la fuerza de inercia implícita es insignificante. La fuerza que actúa sobre el pistón, debe equilibrar la fuerza del resorte, por tanto: A( P 1

P 2 )

kz

Donde A = área del pistón, plg 2. k = constante del resorte lbf /plg.

El flujo q se obtiene: q

P 1

P 2 R

Donde q = flujo a través de la restricción, lb/seg. R = resistencia al flujo en la restricción, lb f -seg/plg2-lb. Para un diferencial de tiempo de tiene: q dt

A (dy

dz )

Es decir: dy

dz

q

dt

dt

A

P 1

P 2

RA

k z RA 2

O bien: dy

dz

dt

dt

k z RA 2

La función de transferencia de este sistema es:





Z ( s )

77

s

Y ( s )

Ts k

s

Ts

1 1

2

RA “El amortiguador, es un elemento diferenciador”.

1

1 Ts

SISTEMAS TÉRMICOS. Para la transferencia de calor por conducción o convección: q

K

Donde q = flujo de calor, kcal/seg Δθ = diferencia de temperatura, ºC.

K = coeficiente, kcal/seg ºC El coeficiente K se obtiene mediante: K

kA X HA,

, por conducción por convección

Donde k = conductividad térmica, kcal/m seg ºC. A = área normal para flujo de calor, m 2. ΔX = espesor del conductor, m. H = coeficiente de convección, kcal/m 2 seg ºC. Resistencia y capacitancia térmica.- La resistencia térmica para la transferencia de calor entre dos sustancias, se define mediante: cambio en la diferencia de temperatur a, º C cambio en el flujo de calor , kcal seg

R

Para transferencia de calor por conducción o por convección: R

d (

)

dq

1 K

La capacitancia térmica C se define mediante: C

cambio en el calor almacenado, kcal cambio en la temperatur a, º C

O bien C

mc

Donde m = masa de la sustancia considerada, kg. c = calor específico, kcal/kgºC. Sistemas térmicos.- Para el sistema de la figura (a), suponiendo tanque aislado, sin almacenamiento de calor en el aislamiento, líquido perfectamente mezclado, por tanto temperatura estable. Sean:





i

78

= temperatura en estado estable del líquido que entra, ºC.

= temperatura en estado estable del líquido que sale, ºC. G = velocidad de flujo del líquido en estado estable, kg/seg. M = masa del líquido en el tanque, kg. H = entrada del flujo de calor en estado estable, kcal/seg. hi = pequeño cambio en el flujo de calor de entrada. h0 = pequeño cambio en el flujo de calor de salida 0

θ = pequeño cambio de la temperatura.

Para temperatura constante en el líquido que ingresa y cambio en el flujo de calor de ingreso y salida, se tiene: h0

Gc

C

Mc 1

R

h0

Gc

La ecuación diferencial para este sistema es: C

d dt

hi

h0

Que puede escribirse así: RC

d

Rhi

dt

La función de transferencia que relaciona θ con h i es: ( s) R

H i ( s)

RCs

1

Para temperatura de ingreso del líquido variable, flujo de calor de entrada y flujo de líquido constantes y flujo de calor de salida variable, se tiene: C

Que se puede escribir:

d

Gc

dt

RC

i

h0

d i

dt

La función de transferencia que relaciona θ con θ i es:





79

( s)

1

( s )

RCs

i

1

Si la temperatura del líquido que ingresa y el flujo de calor de entrada cambian, en tanto que el flujo de líquido se mantiene constante, se tiene: RC

d dt

i

Rhi

La figura (b) muestra el diagrama de bloques correspondiente. Note que el sistema tiene dos entradas.





TABLA DE DIVERSOS TRANSFERENCIA.


MODELOS


CON

80

SUS

RESPECTIVAS

FUNCIONES





81





82



83

PROBLEMAS RESUELTOS Nº 4. Ejemplo 1: Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el peso se halla 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instante el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces 1. Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento. 2. Encuentre la posición del peso en cualquier instante . 3. ¿Cuál es la posición del peso en ? Solución Para hallar la constante del resorte F

kx

16

k (2)

k

8

Si el peso es 16 libras y asumiendo una aceleración de la gravedad igual a g 32 m

16

1 lb seg 2

32

2

pies seg 2

, la masa queda:

pies

Con lo cual el modelo matemático es x' '

8 x'

16 x

2

2 (t

2) 4 (t

4) ;

x(0)

3; x' (0)

0

El (- 2) que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una intensidad de 2 unidades, además recuerde que x(0) = 3, pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando transformada 2

s X ( s ) ( s

sx(0)

x' (0)

2

4) X ( s )

X ( s)

3 s

3 s

3

3 4) 2

( s

8 sX ( s) 4e

2 s

8

2 s

4e

4) 2

( s

8 x(0)

16 X ( s)

4e

2 s

8

e

4 s

s

4 s

e

s

8e

4 s

4) 2

s( s

Aplicando fracciones parciales: X ( s )

3 ( s

9 4)

( s

4e 4) 2

( s

4(t

2)3e

2 s

8e

4) 2

4 s

32e

( s

4)

s( s

(t

2)

83e

4 s

4) 2

De donde se obtiene que: x(t )

3e

4 t

9te

4 t

4 ( t

2)

4 ( t

2)

(t

4)

32(t 4)3e 4(t 4 ) (t 4) 32 Y así x(5) = 0,454137. La gráfica de x(t) se muestra en la figura:





84

Ejemplo 4: Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama

Solución El diagrama es como la siguiente figura y a la vez se transforma como muestra en la figura b De la malla I E i (s) = Z 1I + Z2I 2 .......(1) De la malla 2 -Z2I1+Z3 I2 + Z4I2=0....... (2) De la malla 3 E o (s)= Z4 I2................. (3) Por división de corriente sabemos que Ahora sustituimos la ecuación (5) en la ecuación (1) y nos queda La ecuación (6) la sustituimos en la ecuación (3) y nos queda

Para hallar la función de transferencia dividimos Eo (s)/ Ei (s)





85

Aquí sustituimos Z2=1/C1s, Z4=1/C2s, Z1=R1 y Z3 = R2, la función de transferencia y nos queda

Problema: Dinámica de un micrófono El funcionamiento de un micrófono dinámico se basa en el desplazamiento espacial producido por una bobina dentro de un campo magnético. Hay un diafragma que se desplaza con la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras, este desplazamiento se transmite a la ferrita de la bobina. La fuerza electromotriz generada en la bobina es proporcional a la inducción de campo, B, al número de espiras, n, a la longitud de espiras, l, y al desplazamiento relativo de la bobina:

Se considera el modelo simplificado unidimensional de fuerzas adjuntado, donde Md es a masa del diafragma y Mb la masa de la bobina.





86

En el desplazamiento horizontal del diafragma hacia la bobina, se conjetura un rozamiento viscoso,

y

un amortiguamiento, . Y de la bobina a la estructura está separada a través de un amortiguador . Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica del sistema. 2. Diagrama de bloques. 3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida. 1. El circuito análogo mecánico-eléctrico queda como:

La mecánica de traslación del sistema está definido por:

El desplazamiento de la bobina provocará una variación del flujo magnético sobre ésta y generará una fuerza electromotriz:





87

2. Las ecuaciones diferenciales son lineales, aplicando transformada de Laplace:

Las FDT resultantes son:

El diagrama de bloques resultante queda:

3. Se observa que la estructura corresponde con una realimentación positiva y seguida de un procesamiento en cascada:

Problema: Dinámica de un telégrafo Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




88

La figura muestra el modelo simplificado de un telégrafo. Ante la recepción de un pulso eléctrico se produce una fuerza magnética proporcional a la corriente de su bobina, originando un desplazamiento en la palanca que provoca el movimiento de la masa del martillo, el cual choca contra una campana, produciendo una onda sonora. Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinámica del telégrafo. 2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el efecto, (s), y la causa, e(s). Datos:

1. El conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales son:

2. La FDT resultante es:

Problema 5: Sistema de suspensión En la figura derecha se muestra un modelo de suspensión de vehículos de tracción. Haciendo suposiciones de simplificación y de reparto del peso del coche sobre las cuatro ruedas, se ha obtenido un segundo modelo.





89

Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado. 2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s). Datos El peso del vehículo es de una tonelada y las características del amortiguador están dadas por B = 500 Ns/m y K = 1000 N/m. 1. El modelo simplificado de suspensión del coche es:

2. El conjunto de ecuaciones requiere variaciones alrededor del punto de reposo. Su FDT es:

PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 4.1. Escriba la ecuación diferencial que describe el movimiento del sistema mostrado en la figura. Asuma que la barra a través de la cual se aplica la fuerza, no es flexible, no tiene masa o momento de inercia y todos los desplazamientos son pequeños.

2. Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico que aparece en la figura (a). Calcúlese además la función de transferencia del circuito eléctrico de la figura (b). Demuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idéntica y por tanto, son sistemas análogos.





90

3. Obtenga la función de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del sistema mecánico que se muestra en la figura.

4. Considere el circuito eléctrico que se muestra en la figura. Obtenga la función de transferencia E 0(s)/Ei(s) utilizando la aproximación de diagramas de bloques.

5. Obtenga la función de transferencia del sistema eléctrico de la figura. Dibuje un diagrama esquemático de un sistema mecánico análogo.





91

6. Obtenga la función de transferencia E0(s)/Ei(s) del circuito con amplificador operacional de la figura.

7. Obtenga la función de transferencia E0(s)/Ei(s) del circuito con amplificador operacional de la figura.

8. Considere el sistema de nivel de líquido de la figura. En estado estable los flujos de entrada y salida son Q y el flujo entre los tanques es cero. Las alturas de los tanques 1 y 2 son H . En t = 0 el flujo de entrada cambia de Q a Q q, donde q es un cambio pequeño en el flujo de entrada. Se supone que los cambios resultantes en las alturas (h 1 y h 2) y los flujos (q1 y q2) son pequeños. Las capacitancias de los tanques 1 y 2 son C 1 y C2, respectivamente. La resistencia de la válvula que está entre los tanques es R 1 y la de la válvula de salida R 2. Obtenga modelos matemáticos para el sistema, cuando (a) q es la entrada y h 2 la salida, (b) q es la entrada y q 2 la salida y (c) q es la entrada y h 1 la salida. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




92

9. La figura muestra un controlador hidráulico de tubos de chorros. El fluido hidráulico se expele del tubo a chorro. Si el tubo a chorro se cambia hacia la derecha de la posición neutral, el pistón de potencia se mueve hacia la izquierda y viceversa. La válvula de tubo a chorro no se usa tanto como la válvula de aleta, debido a un gran flujo nulo, a una respuesta más lenta y a características impredecibles. Su principal ventaja estriba en su insensibilidad a los fluidos sucios. Suponga que el pistón de potencia se conecta a una carga ligera, de modo que la fuerza de inercia del elemento de la carga es insignificante en comparación con la fuerza hidráulica que desarrolla el pistón de potencia. ¿Qué tipo de acción de control produce este controlador?

10. Explique la operación del sistema de control de velocidad de la figura.





93

11. Calcule la función de transferencia Z(s)/Y(s) del sistema hidráulico de la figura. Suponga que los dos amortiguadores del sistema son idénticos.

12. Considerando desviaciones pequeñas de la operación de estado estable, dibuje un diagrama de bloques del sistema de calefacción de aire de la figura. Suponga que las pérdidas de calor en el medio ambiente y la capacitancia de calor de las partes de metal del calefactor son insignificantes.

13. Considere el sistema del tanque de agua cónico de la figura; el flujo a través de la válvula es turbulento y se relaciona con la altura H mediante: Q

0.005 H

Donde Q es el flujo medido en m 3/seg y H está en metros. Suponga que la altura es 2 m. en t = 0 ¿Cuál será la altura en t = 60 seg?.





94

14. La figura muestra un controlador neumático. El relevador neumático tiene la característica K p c , donde K > 0 ¿Qué tipo de acción de control produce este controlador? de que p c Calcule la función de transferencia P c(s)/E(s).

15. Obténgase la función de transferencia del circuito diferenciador mostrado en la figura: R 1 C

V1(s)



R 2

V2(s)



95

16. Un circuito conmutador se emplea para convertir un nivel de voltaje de CD en un voltaje de salida de CD. El circuito de filtración para eliminar las altas frecuencias se muestra en la figura. Calcúlese la función de transferencia V2(s)/V1(s).

17. Para el sistema mecánico de la figura, obtener la respuesta temporal para una fuerza de excitación de 1.5 N, suponiendo que está en reposo antes de que se proporcione la excitación. Calcular analíticamente el valor del desplazamiento final, y verificarlo con Matlab. La masa del cuerpo es de 1 Kg, la constante del resorte k es de 100 N/m y el coeficiente de rozamiento viscoso b es de 2 Ns/m.

18. Obtener la respuesta temporal del desplazamiento y2 de la masa M y del desplazamiento y1 en el sistema de la figura. Simular en Matlab e interpretar físicamente la respuesta al escalón.

19. Para el siguiente conjunto motor-carga con acoplamiento flexible obtener la ecuaciones de desplazamiento angular del motor y de la carga con respecto al par motor.

Diagrama de cuerpo libre. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




96

20. Hallar el modelo matemático para el circuito RLC de la figura, y obtener su función transferencia. Obtener la respuesta temporal de este sistema para una entrada escalón unitario. Sobre qué componente y cómo actuaría para que el sistema sea estable (amortiguamiento crítico).

Donde: R=0 C=100 F L=0,5 Hy 21. Hallar el modelo matemático de un servosistema para el posicionamiento de un pequeño brazo robotizado. En la figura se muestra el esquema circuital sugerido.

Donde: r: desplazamiento angular del eje del mando del timón. (rad) c: desplazamiento angular del eje del timón. (rad) : desplazamiento angular del eje del motor. (rad) K1: ganancia del potenciómetro detector de error: 24/ volts/rad Kp: ganancia del amplificador:10 V/V ea: tensión aplicada a la armadura, en voltios. eb: fuerza contraelectromotriz, en voltios. Ra: resistencia de armadura:0.2 ohm. La: inductancia de armadura (despreciable) ia: corriente de armadura, en amperes. Kb: constante de fuerza contraelectromotriz:5.5x10 –2 Vseg/rad K: constante de par motor: 6x10-5 Nm/A. Jm: momento de inercia del motor: 1x10-5 Kg m2/rad. Bm: coeficiente de fricción viscosa del motor (despreciable). Jl: Momento de inercia de la carga:4.4x10-3 Kg m2/rad. Bl: coeficiente de fricción viscosa de la carga:4x10-2 Nm/rad/seg. n: relación de engranajes. N1/N2=1/10. 1. Dibujar el diagrama en bloques y obtener la función de transferencia de lazo cerrado. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




97

2. Obtener la respuesta temporal del sistema ante una entrada escalón unitario. 3. Simular el sistema resultante con simulink . Modificar la ganancia del amplificador (k=50). Restaurar la ganancia del amplificador a 10. Que ocurre si el rozamiento de la carga aumenta a bL=9x10-1 Nm/rad/seg. Proponer una modificación de los parámetros del sistema para que responda dentro de los 5 segundos. o o

o




SECCIÓN V ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN DOMINIO DEL TIEMPO. ENTRADAS TÍPICAS DE PRUEBA.

La selección de las señales de entrada a utilizar para analizar las características de un sistema, depende de la forma de las señales de entrada más habituales a que el sistema estará sometido en condiciones normales de operación. Las señales de prueba de entrada utilizadas más comúnmente son las funciones escalón, rampa, aceleración, impulso, sinusoidal y similares. ENTRADAS TÍPICAS. Señal de Prueba

F(s)

f(t); t ≥ 0

Gráfica δ ∞

Impulso o delta Dirac

Δ(s) = A

δ(t)

t μ(t)

Escalón o posición

(t )

A

A

A

U ( s)

s

t r(t) Rampa o velocidad

r (t )

At 2

A

R ( s )

s 2

t a(t) Aceleración o parabólico

a (t )

Kt 3

2 K

A( s)

s 3

t x(t) Sinusoidal

A y K son constantes.

x(t )

A sen t

R ( s )

A s

2

2

t


99

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA.

La respuesta transitoria de un sistema es la parte de la respuesta que se extingue cuando el sistema se estabiliza. RESPUESTA TRANSITORIA PARA UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

Sea un sistema de control cuyo modelo dinámico es una ecuación diferencial de primer orden de la forma: d c(t )

a1

dt

a0 c(t )

b r (t )

Su función de transferencia es: C ( s) R( s )

b

b a1 s

a1

a0

a0

Donde: K

a0

s

K 1

s

1

b , Ganancia de estado estacionario. a0 a1 , Constante de tiempo. a0

Interpretación física: Sea r(t) una función escalón unitario, R(s) = 1/s; entonces: K 1 . s 1 s

C ( s )

Descomponiendo en fracciones parciales, la expresión se convierte en: C ( s )

K

K

s

s

1

Aplicando transformada inversa, se obtiene: t

c (t )

K (1

e

)

c(t)

jω

K 0.632K

- 1/ t Respuesta en dominio del tiempo

Diagrama de polos

Donde – 1/ es el valor que hace cero la expresión s 1 . Si los polos están cerca al eje imaginario entonces el sistema tendrá una respuesta lenta, es decir que es grande. Si los polos están lejos del eje imaginario, el sistema tendrá una respuesta lenta y es pequeña. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




100

A continuación mostramos las curvas de respuesta ante una entrada del tipo impulso y del tipo rampa unitario. K

c(t )

t

t

e

c(t )

c(t)

K t

(1

e

)

c(t)

K/ r(t)

e

c(t)

t

t

RESPUESTA A LA FUNCIÓN IMPULSO

RESPUESTA A LA FUNCIÓN RAMPA.

RESPUESTA TRANSITORIA PARA UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN.

Sea un sistema de control cuyo modelo dinámico responde a una ecuación diferencial de segundo orden, tal como se muestra: a2

d 2 c dt 2

a1

d c

a0 c

dt

r (t )

La función de transferencia será: C ( s) R( s)

1

1 a 2 s 2

a1 s

a0

s 2

a2

a1 a2

s

a0 a2

K

C ( s) R( s)

s 2

2

2 n

s

n

2 n

Donde: K = 1/a0: Ganancia de estado estacionario. n

a0

rad : Frecuencia natural no amortiguada. seg

a2

a1 2 a0 a 2

: Coeficiente o factor de amortiguamiento (adimensional).

RESPUESTA A UNA ENTRADA ESCALÓN UNITARIO.

Sea la función de transferencia:





2 n

K

C ( s ) s 2

R( s)

101

2

2 n

s

n

Para una entrada Escalón unitario: C ( s)

2 n

K

( 2 s

2

) 2

s

n

n

1 s

Las raíces del término cuadrático son: r 1

n

n

r 2

n

n

2

1

2

1

c) Para sistema Sobreamortiguado,

> 1.

La solución será: c( t )

2 n

K 1

r 1 ( r 1

r 2 )

e

2 n

r 1t

r 2 ( r 2

r 1 )

d) Para sistemas críticamente amortiguados,

= 1.

e r 2t

Entonces: C ( s )

K

2 n

s( s

n

La respuesta será: c( t )

K 1

)2

n t

e

n

t e

n t

e) Para sistemas subamortiguados, 0 < < 1.

Las raíces del término cuadrático tiene la forma siguiente: r 1

j

n

1

2

n

r 2

j

n

1

2

n

Donde la parte real es el amortiguamiento y la parte imaginaria, la frecuencia de oscilación. La figura muestra el diagrama de los polos en el plano complejo s. La respuesta del sistema es: c( t )

n t

e

K 1

1

Donde:

d

1

n

n

2

sen 2

t

d

tan

1

1

2

rad = Frecuencia natural amortiguada. seg

rad = Atenuación. seg

A las raíces complejas también se denominan Polos dominantes del sistema. Si hubiera más de un par de raíces complejas, los polos dominantes serán los que más cerca se encuentren del eje imaginario





102

Diagrama de respuestas de un sistema de segundo orden a una entrada escalón

MEDIDAS DE DESEMPEÑO PARA SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

De acuerdo a la figura de la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario y para una ganancia K igual a 1, se tiene:

a) Tiempo de Crecimiento (tr ).- Tiempo que toma la respuesta en alcanzar el valor de estabilización por vez primera. Se representa mediante la ecuación: cos

t r

1

seg .

d

b) Tiempo de pico (tp).- Tiempo que demora la respuesta en levantarse desde cero hasta el primer valor pico, se expresa mediante la expresión: t p

seg . d





103

c) Sobreimpulso máximo (Mp).- Es la máxima cantidad que adquiere la respuesta por encima del valor de referencia en estado estable, se expresa en porcentaje y está definida por la siguiente expresión: M p

1

100 e

2

Una curva que expresa el comportamiento del sobreimpulso máximo (Mp) en función del coeficiente de amortiguamiento ( ). Nótese que conforme aumenta el valor de , desciende el Mp.

d) Tiempo de asentamiento (ts).- Medida del tiempo que toman las oscilaciones en desaparecer. Dependiendo de la diferencia de alturas con respecto a la referencia y al valor del primer sobreimpulso, definen dos criterios: Criterio del 5%: en ese tiempo la máximo altura es del 5% con respecto al primer impulso. 3

t s

seg . n

Criterio del 2%: en ese tiempo la máximo altura es del 2% con respecto al primer impulso. 4

t s

seg . n

e) Número de Oscilaciones (Nosc).- Es la relación que existe entre el tiempo de asentamiento y el periodo de oscilación, es decir: 4 N OS C

Tiempo de asentamiento Periodo

n

2

2

d n

d

2

1 2

1





104

Ejemplo.- En el sistema de la figura, si el factor de amortiguamiento es 0.6 y la frecuencia natural no amortiguada es 5 rad/s; hallar el tiempo de crecimiento, el tiempo de pico, el sobreimpulso máximo, el tiempo de asentamiento, el periodo de oscilación y el número de oscilaciones, para una entrada escalón unitario.

R(s)

+

C(s)

2 n

s( s

-

2

n

)

Solución: Tiempo de crecimiento: cos

t r

1

cos

0.6

0.6 2

5 1

d

1

0.554 seg .

Tiempo de Pico: t r

5 1

d

0.6

2

0.785 seg .

Sobreimpulso Máximo: 0.6

M p

2

1

100 e

100 e

1

0.6 2

9.48 %

Tiempo de Asentamiento: Criterio del 2%:

4

t s

4 5( 0.6 )

n

1.333 seg .

Criterio del 5 %:

3

t s

3 5( 0.6 )

n

1.000 seg .

Periodo de Oscilación: P

2

2 d

5 1

0 .6 2

1.57 seg

Número de Oscilaciones: N OS C



t s 1.333 1 .57 P 0 .849



105

Ejemplo.- Para el sistema de control que se muestra, encuentre los valores de K y Kt, para que el sobrepaso máximo de la salida sea aproximadamente 10% y el tiempo de crecimiento tr sea aproximadamente 0.4 s. (5.0 p) E(s) R(s)

K

+ -

G p ( s)

+ -

120 1

1 6 s

0.2 s

C(s)

K t

RESPUESTA.El diagrama de bloques del sistema se puede dibujar así: R(s)

+

C(s)

100 K s ( s

-

5(1

120 K t ))

La función de transferencia de lazo cerrado sería: C ( s )

100 K

R( s )

s

2

5(1

120 K t ) s

…… (1)

100 K

La expresión general para funciones de transferencia de segundo orden es: 2 n

C ( s ) s 2

R( s )

2

………. (2)

2 n

n s

Igualando los coeficientes de los denominadores de las expresiones (1) y (2), se tiene: 2 n

K

…….. (3)

100 2

K t

5

n

……. (4)

600

Datos del problema: MP = 10% y tr = 0.4 segundos; entonces para hallar :

e

1

0.1 , es decir

2

1 2.3026 2

( 2.3026)

2

2

2.3026 ; o también: ……. (5)

0.591

Para hallar n: 1

cos 0.591 n

0.4 1

2

6.8277 rad / seg …. (6)

0.591

Reemplazando (5) y (6) en (3) y (4):

K = 0.4662 y; Kt = 5.117x10- 3.

RESPUESTA DE SISTEMAS DE TERCER ORDEN AL ESCALÓN UNITARIO.-

Sea el sistema de tercer orden, cuya función de transferencia de lazo cerrado es: 2 n

C ( s ) R( s )


( s

p )( s 2


p 2

n s

2 n

)

( 0

1 )



106

La respuesta al escalón unitario de este sistema se puede obtener de la siguiente forma: c( t )

e

1

2

(

e 2

(

n t

2 2

2 )

1

(

2

2 ) cos 1

t

(

2 ) 2

1

1

sen 1

2

t

p t

2 )

( t

1

0 )

Donde: p n

Note que como: 2

(

2 )

2

1

1 )2

(

2

( 1

)

0

El coeficiente del término e- pt siempre es negativo.

Curva de respuesta al escalón unitario del sistema de tercer orden, con = 0.5.

RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR.-

La respuesta de un sistema de lazo cerrado para una entrada escalón unitario, se puede escribir como: m

K i

C ( s )

q

s

z i )

( s 2

2

r

( s j

( s 1

p j )

1

k

k

s

k

2 k

)

1

Donde q + 2r = n, orden del sistema. Expandiendo la ecuación anterior en fracciones parciales: Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




C ( s )

a j

q

a s

j 1

s

bk ( s

r

p j

107

k

s

k 1

2

k

)

2

c k

k

2 k

1

k

2

k s

,

k

Entonces: q

c( t )

a

a j e

r

p j t

bk e

j 1

k k t

r

cos

k

1

2 k

t

k 1

ck e

k k t

sen

k

1

2 k

t

t

0

k 1

Se observa que la respuesta de un sistema de orden superior, está compuesta por una cantidad de términos que incluyen funciones simples halladas en las respuestas de primer orden y segundo orden.

ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS Estructuras de realimentación:

La realimentación puede tener muchas propiedades deseables, tales como la capacidad de reducir el efecto de perturbaciones, disminuir la sensibilidad a errores de modelado, o estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible también con realimentación mal aplicada inestabilizar un sistema previamente estable, incorporar oscilaciones en una respuesta previamente suave, o generar alta sensibilidad a ruido de medición. Comenzamos el análisis de sistemas en realimentación con la estructura de control SISO de la siguiente figura, llamada de un grado de libertad, pues hay sólo una transferencia modificable para alcanzar los objetivos deseados: la del controlador K (s). Inicialmente analizaremos el lazo nominal, o sea, el formado con el modelo nominal de la planta G0(s). Más tarde veremos el efecto de considerar errores de modelado.

Sistema de control de un grado de libertad

Usamos funciones transferencia y transformadas Laplace para describir las relaciones entre las señales en el lazo: la entrada de referencia R (s), las perturbaciones Di (s); Do(s); Dm(s), el estado inicial de la planta x 0, la salida Y (s) y el control U (s). En particular, K (s) y G0(s) representan las funciones transferencia del controlador y el modelo nominal de la planta, que pueden representarse en forma racional en la forma: K ( s )

P ( s ) L( s )

,

G0 ( s )

B0 ( s ) A0 ( s )

Tomamos como salidas de interés en el lazo la salida perturbada de la planta, Y (s), y la señal de control U (s), que se relacionan a las entradas a través de las ecuaciones





U ( s )

Y ( s )

K ( s ) 1

G0 ( s ) K ( s ) 1

1

G0 ( s ) K ( s )

R( s )

Dm ( s )

108 f ( s , x0 )

G0 ( s ) Di ( s )

G0 ( s ) K ( s )( R( s )

Dm ( s ))

A0 ( s ) D0 ( s )

,

G0 ( s ) Di ( s )

f ( s , x0 ) A0 ( s )

Funciones de sensibilidad nominales: G0 ( s ) K ( s )

T 0 ( s )

1

B0 ( s ) P ( s )

G0 ( s ) K ( s )

A0 ( s ) L( s )

1

S i 0 ( s ) S u 0 ( s )

G0 ( s ) K ( s )

A0 ( s ) L( s )

G0 ( s ) 1

B0 ( s ) P ( s )

,

B0 ( s ) L( s )

G0 ( s ) K ( s )

A0 ( s ) L( s )

B0 ( s ) P ( s )

,

A0 ( s ) P ( s )

K ( s ) 1

,

A0 ( s ) L( s )

1

S 0 ( s )

B0 ( s ) P ( s )

G0 ( s ) K ( s )

A0 ( s ) L( s )

B0 ( s ) P ( s )

T 0(s): Función de sensibilidad complementaria S0(s): Función de sensibilidad Si 0(s): Función de sensibilidad a perturbación de entrada Su0(s): Función de sensibilidad de control

Las funciones de sensibilidad están relacionadas algebraicamente por: S 0 ( s )

T 0 ( s )

1 ,

S i 0 ( s )

S 0 ( s )G 0 ( s )

T 0 ( s ) K ( s )

S u 0 ( s )

S 0 ( s ) K ( s )

T 0 ( s ) G 0 ( s )

Con las funciones de sensibilidad y bajo condiciones iniciales nulas, las ecuaciones que relacionan la salida perturbada de la planta, Y (s), y la señal de control a las entradas; pueden expresarse en la forma compacta o matricial: G0 ( s ) K ( s ) Y ( s ) U ( s )

K ( s )

G0 ( s )

1

G0 ( s ) K ( s ) 1

K ( s )

G0 ( s ) K ( s )

R( s )

K ( s )

Di ( s )

G0 ( s ) K ( s )

D0 ( s ) Dm ( s )

Estabilidad de lazo cerrado en base al Polinomio Característico Lazo nominal es el resultante de conectar un controlador al modelo nominal de la planta. Estabilidad interna. Decimos que el lazo nominal es internamente estable si las ocho funciones transferencia de la última ecuación son estables. Esta definición es equivalente a pedir que todas las señales en el lazo sean acotadas para cada conjunto de entradas r (t );d i (t );d o(t ) y d m(t ) acotadas.





109

Teorema. [Estabilidad interna nominal] Dado el lazo cerrado de la figura anterior, con el controlador y modelo definidos por la primera ecuación. Entonces el lazo cerrado es internamente estable si y sólo si todas las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado tienen parte real negativa; es decir:

A0 ( s ) L( s )

B0 ( s ) P ( s )

0

La idea de estabilidad interna implica más que la estabilidad de la referencia a la salida. Además se requiere que no haya cancelaciones de polos inestables entre planta y controlador. La ecuación característica es de la forma p(s) = 0, donde p(s) es el polinomio característico del lazo cerrado. Ejemplo 1. Dadas

Puede verse que la función de sensibilidad complementaria nominal es estable:

Sin embargo, la sensibilidad a perturbación de entrada nominal es inestable:

Por el Teorema de estabilidad interna nominal, el lazo cerrado no es internamente estable, ya que A0 ( s ) L ( s )

B0 ( s ) P ( s )

( s 2)( s 2

4 s 3)

PROBLEMAS RESUELTOS. Problema Nº 2.- Para el sistema de control que se muestra, encuentre los valores de K y Kt, para que el sobrepaso máximo de la salida sea aproximadamente 4.3% y el tiempo de retardo td sea aproximadamente 0.1 s. La entrada es una señal Escalón Unitario. Utilice la fórmula siguiente para el tiempo de retardo: t d

1.1

0.125

2

0.469 n

E(s) R(s)

+

K

-

G p ( s )

+ -

100 1

0.2 s

1 20 s

C(s)

K t

Solución.El diagrama de bloques del sistema queda: Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




R(s)

110

+

C(s)

5 K s 0.2 s

-

( 1

100 K t )

O bien 5 K

C ( s ) 0.2 s 2

R( s )

( 1

25 K

100 K t ) s

s 2

5 K

5( 1

100 K t ) s

25 K

La expresión general para sistemas de segundo orden: 2 n

C ( s ) s 2

R( s )

2

2 n

s

n

Igualando coeficientes: 2 n

25 K 5( 1 100 K t )

2

2 n

K K t

n

…. (1)

25 2

n

5

…. (2)

500

De los datos del problema:

e

0.043

2

1

Aplicando Logaritmo neperiano miembro a miembro: 2

1

Ln 0.043

2

3.1465

3.1465 2

0.7076

2

1

2

9.9

….. (3)

9.9

Del dato del tiempo de retardo: t d

1.1

0.125( 0.7076 )

0.469( 0.7076 ) 2

0.1

n

De donde: n

14.233 rad / seg

….. (4)

Reemplazando (4) en (1), se tiene:





111

K = 8.103 ¡OK! Reemplazando (3) y (4) en (2), se tiene: Kt = 0.0303 ¡OK! PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 5.-

1.

Para el sistema de control que se muestra, encuentre los valores de K y Kt, para que el sobrepaso máximo de la salida sea aproximadamente 4.3% y el tiempo de retardo td sea aproximadamente 0.1 s. Simule en MatLab para verificar la exactitud de su solución. Utilice la fórmula siguiente para el tiempo de retardo: 1.1

t d

0.125

2

0.469 n

E(s) R(s)

+

K

G p ( s )

+

-

-

100 1

0.2 s

1 20 s

C(s)

K t

2. 3. 4.

5.

Repita el problema Nº 1 con un sobrepaso máximo de 10% y un tiempo de retardo de 0.05 s. Repita el problema Nº 1 con un sobrepaso máximo de 20% y un tiempo de retardo de 0.01 s. Con respecto a la figura del problema Nº 1, obtenga K y K t para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.6 y el tiempo de asentamiento de la respuesta al escalón unitario es de 0.1 s. Simule en MatLab para verificar la exactitud de sus resultados. Compare y grafique las respuestas al escalón unitario de los sistemas en lazo cerrado con realimentación unitaria con la función de transferencia de trayectoria directa que se dan. suponga condiciones iniciales cero. Use MatLab. a. Para Tz = 0, 1, 5, 20 G ( s) b. Para Tz = 0, 1, 5, 20 G( s)

6.

1 s( s

T z s

0.55 )( s

1

1.5)

T z s

s 2

2 s

2

Para el sistema mostrado; se debe determinar el valor de K y Kt de modo que el sobrepaso máximo sea del 20 % y el tiempo de asentamiento de 0.01 segundo (criterio del 2%). R(s)

+ -

K 25 s

+ -

100 1 0 .4 s

C(s)

K t







112


SECCIÓN VI ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL RELACIÓN ENTRE LA UBICACIÓN DE LOS POLOS EN EL PLANO-s Y LA RESPUESTA TRANSITORIA. Sea la función de transferencia de lazo cerrado: P i ( s )

C ( s ) R( s )

i

( s )

( s )

Donde: (s) = 0 es la ecuación característica del sistema. Los ceros y polos de la función de transferencia, son los que determinan la respuesta transitoria. Para un sistema de lazo cerrado, los polos de C(s)/R(s) son las raíces de (s) = 0 y los polos de P i ( s ) i ( s ) . Para un sistema sin raíces repetidas y una entrada escalón unitario, se tiene: C ( s )

M

1 s

i

N

Ai

1 s

Bk

k 1

i

s

2

2 k s

(

2

2

k

k

)

,

Donde Ai y B k son los residuos. Las raíces pueden ser s = - i o pares conjugados complejos como s = respuesta de este sistema será: M

c( t )

1

N

Ai e i 1

i t

Bk k 1

1

e

k t

sen

k

j k. la

t ,

k

k

Para que este sistema sea estable, requiere que la parte real de las raíces, estén ubicadas en la parte izquierda del plano s. La figura muestra la respuesta al impulso para diversas localizaciones de las raíces:

Sistema Estable.Un sistema es estable si sus polos están ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo s. Sistema con Estabilidad crítica o relativamente estable.-


114

Ocurre cuando un polo está ubicado en el eje imaginario del plano complejo s y los demás en el lado izquierdo del mencionado plano. Sistema Inestable.Un sistema es inestable cuando tiene al menos un polo en el lado derecho del plano complejo s.

ESTABILIDAD Y ANÁLISIS POLINOMIAL Consideremos el polinomio p(s) definido por: s n

p( s )

an 1 s n

1



a1 s

a0 ; donde ai

El problema a estudiar es determinar si p(s) tiene alguna raíz con parte real no negativa. Obviamente, podemos responder a esta cuestión calculando las n raíces de p(s). Sin embargo, en muchas aplicaciones interesa estudiar la relación entre la posición de las raíces y ciertos coeficientes del polinomio. Polinomio Hurwitz. Los polinomios que tienen todas sus raíces con parte real negativa se dicen polinomios Hurwitz . ALGUNAS PROPIEDADES POLINOMIALES DE INTERÉS: Propiedad 1 El coeficiente an-1 satisface: n

an

1

i i

; donde 1, 2, 3, …,

n son las raíces de p(s).

1

Propiedad 2 El coeficiente a0 satisface: n

a0

( 1 )

n i i

1

Propiedad 3 Si todas las raíces de p(s) tienen parte real negativa, entonces necesariamente ai > 0, i {0, 1, …, n1}. Propiedad 4 Si cualquiera de los coeficientes del polinomio es no positivo (negativo o cero), entonces al menos una de las raíces tiene parte real no negativa.

EL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Es uno de los métodos más usados para determinar si un polinomio es Hurwitz o no basándose en sus coeficientes. Es particularmente útil para polinomios de grado elevado. El procedimiento es el siguiente: 1. Escribir el polinomio en la forma a0 s n

a1 s n

1

a2 s n

2



an 1 s

an

2. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo y al menos uno de los coeficientes positivo, entonces existe al menos una raíz que es imaginaria o tiene parte real positiva (el polinomio no es Hurwitz). 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordenarlos en filas y columnas según el siguiente arreglo numérico,





115

a n a0 a n 1 a1

a2

a4

a6



a3

a5

a7



an

2

b1

b2

b3

b4



an

3

c1

c2

c3

c4











a 2 d 1 a 1 e1

d 2



a 0 f 1 a1 a 2

Con: b1

a0 a3 a1

También: c1

b1 a3

a1a 4

; b2

a1b2 b1

a 0 a5 a1

b1 a5

; c2

, 

a1b3 b1

,

El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces con parte real positiva es igual al número de cambios de signo en la primera columna de la tabla. Un polinomio Hurwitz tiene todos sus coeficientes, y también todos los términos de la primera columna de la tabla, positivos. El arreglo de Routh-Hurwitz, tiene algunos inconvenientes que hay que tener en cuenta: Presencia de un Cero Prematuro en la primera columna.- En estos casos, se reemplaza el cero por un número > 0 muy pequeño y se sigue evaluado el arreglo. Una fila de ceros prematuros en el arreglo.- En este caso, se construye una ecuación auxiliar a partir de la fila anterior a la fila de ceros, se deriva esta ecuación auxiliar y se reemplaza la fila de ceros por los coeficientes de la ecuación derivada.

Ejemplo 1.- Las siguientes ecuaciones características, corresponden a sistemas de control en lazo cerrado. Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz verifique si los sistemas son estables, de no serlos, indicar el número de raíces de la ecuación con parte real positiva: (a) s 4

8 s 3

6 s 2

14 s

6

0

(b) s 3

4 s 2

5 s

6

0

Solución.Efectuamos el arreglo de Routh-Hurwitz (a) s 4

1

6

6

s 3

8

14

0

s 2

4.25

6

s 1

2 .706

s 0

6

No existen cambios de signo en la primera columna, por tanto el sistema es ESTABLE.

(b) Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




s 3

1

5

s 2

4

6

s 1

3 .5

s 0

6

116


Ejemplo 2.- Las siguientes ecuaciones características, corresponden a sistemas de control en lazo cerrado. Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz verifique si los sistemas son estables, de no serlos, indicar el número de raíces de la ecuación con parte real positiva: (a) s 4

s 3

4 s 2

6 s

4

(b) s 3

0

s 2

4 s

4

0

Solución.Efectuamos el arreglo de Routh-Hurwitz (a) s 4

1

4 4

s 3

1

6 0

s 2

2 6

s 1

9

s 0

6

¡Existe 02 cambios de signo en la primera columna, el sistema es INESTABLE, con dos raíces con parte real positiva!

(b) s 3

1

4

s 2

1

4

s 1 s 0


4

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO. La respuesta permanente o estacionaria, es la parte de la respuesta que permanece después que la respuesta transitoria ha desaparecido. Clasificación de los sistemas de control.Los sistemas de control se pueden clasificar de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parabólica y otras. Los valores de los errores estacionarios debidos a esas entradas individuales son indicativos de la bondad del sistema.

Considere la función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s): G( s ) H ( s )

K T ( s

z 1 )( s

z 2 )( s

z m )

K ( T a s

1 )( T b s

1 )( T m s

1 )

s N ( s

p1 )( s

p 2 )( s

p n )

s N ( T 1 s

1 )( T 2 s

1 )( T n s

1 )





117

Esta ecuación incluye el término sN en el denominador, representado un polo de multiplicidad N en el origen. El esquema de clasificación que se presenta aquí está basado en la cantidad e integradores indicados por la función de transferencia de lazo abierto. Un sistema se denomina tipo 0, tipo 1, tipo 2, …, si N = 0, N = 1, N = 3, …, respectivamente. Esta clasificación es

diferente a la del orden de un sistema.

En la práctica, es muy raro tener sistemas de tipo 3 o superior, ya que resulta muy difícil diseñar sistemas estables con más de dos integradores en el paso directo. Errores en Estado Estacionario.Sea el sistema de la figura:

R(s)

+

E(s)

C(s)

G( s )

H ( s )

La función de transferencia de lazo cerrado es: C ( s )

G( s )

R( s )

1

G( s ) H ( s )

La función de transferencia entre la señal de error e(t) es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de entrada r(t) es: E ( s ) R( s )

1

C ( s ) H ( s )

1

R( s )

1

G( s ) H ( s )

El error actuante del sistema es: 1

E ( s )

1

G( s ) H ( s )

R( s )

Aplicando el teorema del valor final, el error en estado estacionario es: e ss

lim e( t )

t

lim E ( s )

s

lim

0

s

0

sR( s ) 1

G( s ) H ( s )

Constante KP de error estático de posición.El error estacionario del sistema para una entrada de escalón unitario es: e ss

lim

s

0

s 1

1

G( s ) H ( s ) s 1

1



lim G( s ) H ( s )

s

0



118

La constante KP de error estático de posición se define como: K P

lim G( s ) H ( s )

s

G( 0 ) H ( 0 )

0

Por lo tanto: 1

e ss

1

K P

Para un sistema tipo 0: K P

K ( T a s

lim

s

( T 1 s

0

1 )( T m s

1 )( T b s

1 )

1 )( T n s

1 )( T 2 s

1

K , y e ss

1 )

1

K

Para sistemas tipo 1 y superiores: K P

lim

s

0

K ( T a s

1 )( T b s

1 )( T m s

1 )

s N ( T 1 s

1 )( T 2 s

1 )( T n s

1 )

( N 1 ) , y ess = 0.

Constante KV de error estático de velocidad.El error estacionario del sistema para una entrada rampa unitaria, es: e ss

lim

s

0

s

G( s ) H ( s ) s 2

1

1

lim

s

1

0

sG( s ) H ( s )

La constante KV de error estático de velocidad se define como: K V

lim sG( s ) H ( s )

s

0

Por lo tanto: e ss

1 K V

Nota.- El error de velocidad no es la velocidad, sino la posición debido a una entrada rampa. Para un sistema tipo 0: K V

lim

s

Ks( T a s ( T 1 s

0

1 )( T b s 1 )( T 2 s

1 )( T m s 1 )( T n s

1 ) 1 )

0;

e ss

K ;

e ss

( N

2 ) ;

Para un sistema tipo 1: K V

lim

s

Ks( T a s

0

s( T 1 s

1 )( T b s 1 )( T 2 s

1 )( T m s 1 )( T n s

1 ) 1 )

1 K

Para un sistema tipo 2 o superior: K V

lim

s

0

Ks( T a s N

s ( T 1 s


1 )( T b s

1 )( T m s

1 )

1 )( T 2 s

1 )( T n s

1 )


e ss

0



119

La siguiente figura muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema tipo 1 con realimentación unitaria ante una entrada rampa. Los sistemas tipo 2 y superiores pueden seguir una entrada rampa con error nulo en estado estacionario.

Constante Ka de error estático de aceleración.El error en estado estacionario del sistema con una entrada parabólica unitaria, que está definida por: t 2

r ( t )

para t 0 2 0 para t 0

Está dado por: e ss

lim

s

0

lim

s

s

G( s ) H ( s ) s 3

1

0

1

1 2

s G( s ) H ( s )

La constante Ka de error estático de aceleración está definida por la ecuación: K a

lim s 2 G( s ) H ( s )

s

0

Por lo tanto : 1

e ss

K a

Nótese que el error de aceleración, es un error en posición. Para un sistema tipo 0: K a

lim

s

Ks 2 ( T a s

0

( T 1 s

1 )( T b s 1 )( T 2 s

1 )( T m s 1 )( T n s

1 ) 1 )

0;

e ss

Para un sistema tipo 1:





K a

lim

s

Ks 2 ( T a s

1 )( T b s

s( T 1 s

0

1 )( T 2 s

120

1 )( T m s 1 )( T n s

1 ) 1 )

0;

e ss

K ;

e ss

( N

3 ) ;

Para un sistema tipo 2: K a

lim

s

0

Ks 2 ( T a s

1 )( T b s

s 2 ( T 1 s

1 )( T 2 s

1 )( T m s 1 )( T n s

1 ) 1 )

1 K

Para un sistema tipo 3 o superior: K V

lim

s

0

Ks 2 ( T a s N

s ( T 1 s

1 )( T b s

1 )( T m s

1 )( T 2 s

1 )( T n s

1 ) 1 )

e ss

0

La siguiente figura muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema tipo 2 con realimentación unitaria, ante una entrada parabólica. El sistema tipo 3 o superior con realimentación unitaria responde ante una entrada parabólica con error nulo en estado estacionario.

Tabla Resumen.- Error en Estado estacionario en términos de la ganancia K. Entrada Escalón R(t) = 1

Sistema tipo 0

Entrada Rampa r(t) = t

Entrada Aceleración r(t) = t2/2

1 1

K

Sistema tipo 1

0

1 K

Sistema tipo 2

0

0

1 K

PROBLEMAS RESUELTOS. Problema Nº 1.- En la figura, se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control de un motor con realimentación por tacómetro. Encuentre el intervalo de la constante del tacómetro Kt para que el sistema sea estable. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




1

+

R (s)

121

s

-

100

+

( s

-

5)( s

C(s) 20 )

K t s RESPUESTA: El diagrama de bloques del sistema se puede dibujar así: R(s)

+

C(s)

100 s ( s 2

-

25 s

100

100 K t s )

Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es: C ( s )

100 s 3

R( s )

100 K t ) s 2

( 25

100 s

100

La ecuación característica del sistema es: s 3

( 25

100 K t ) s 2

100 s

100

0

Efectuamos el arreglo de Rout-Hurwitz: s

3

s

2

s1 s

1 ( 25

100( 25 25

0

100

100 K t ) 100 K t ) 100 100 K t 100

100 0 0

Para que el sistema sea estable, todos los coeficientes de la primera columna del arreglo debe ser del mismo signo, en nuestro caso el signo tiene que ser positivo; es decir que: 100 ( 25

100 K t )

25

100

0

100 K t

100 K t

24

K t

0.24

0

100 K t K t

25

0 , o también:

100 K t

0 , por lo tanto:

25

0.25

El rango de Kt para que el sistema sea estable es la intersección de ambos intervalos, resultado que este rango es: K t

0.24,

Problema Nº 2.- Determinar las constantes de error de posición, velocidad y aceleración para el sistema de retroalimentación unitaria cuyas funciones de transferencia de lazo directo y de realimentación, son: G ( s )


( s s 2 ( s


3 ) 1 )

, H ( s )

10 ( s

2 )



122

Por lo tanto, deducir el error de estado estable para entrada de escalón unitario, entrada rampa o velocidad unitaria y entrada de aceleración unitaria. Solución: La función de transferencia de lazo abierto es: L( s )

10( s

G( s ) H ( s )

2

s ( s

3 )

1 )( s

2 )

,

El sistema es tipo 2; por lo tanto: -

Para entrada Escalón Unitario: Kp = ; ess = 0 Para entrada Rampa Unitaria: Kv = ; ess = 0 Para entrada Aceleración Unitaria: K a

lim s 2 G( s ) H ( s )

s

0

lim

s

0

10( s ( s

3 )

1 )( s 2

e ss

K a

2 )

15 ¡OK!

0.1333 ¡OK!

K a

Problema Nº 4.- La ecuación característica de cierto sistema de control se muestra a continuación. Hallar el rango de K para el cual el sistema es estable. Determine el valor de K que cause oscilaciones sostenidas en el sistema, así como la frecuencia angular de oscilación. s 4

25 s 3 15 s 2

20 s K

0

Solución: Elaborando el arreglo de Routh-Hurwitz s 4

1

15 K

s 3

25

20

0

14 .2 K 284 25 K 14 .2 K

s 2 s 1 s 0

Para que el sistema sea estable, todos los coeficientes de la primera columna del arreglo tienen que ser de un mismo signo, entonces: K

0 K

284 0

K

25 K

0

11 .36

El rango de K para que es sistema sea estable es: 0 K 11.36 Las oscilaciones sostenidas lo causa el valor límite de K para la estabilidad, es decir K = 11.36. Para determinar la frecuencia de oscilación, construimos una ecuación auxiliar a partir de la fila que contiene a s2, luego reemplazamos ―s‖ por ― j ‖ y despejamos ― ‖ que es la frecuencia angular de oscilación, entonces:





14 .2 s 2

11 .36

2

11 .36

0

123 2

( 14 .2

)

11 .36

0;

¡OK!

0.894 rad / seg .

14.2

PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 6.-

1.

Considere el Sistema de Control con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia de lazo abierto es: 0.4 s

G ( s)

s ( s

1 0.6)

Obtenga la respuesta ante una entrada en escalón unitario. ¿Cuál es el tiempo de crecimiento de este sistema? ¿Cuál es el sobreimpulso máximo? 2.

Considere un sistema de control con retroalimentación unitaria con la función de transferencia de lazo cerrado: C ( s ) R ( s )

K s b s 2 as b )

Determine la función de transferencia de lazo abierto G (s). Muestre que el error en estado estacionario en la respuesta rampa unitaria resulta: e ss

1

a

K v

K b

(Así, si K = a, no habrá error estacionario en la respuesta ante la entrada rampa). 3.

Determine el rango de K para la estabilidad de un sistema de control con retroalimentación unitaria, cuya función de transferencia en lazo abierto es: G ( s)

4.

K s( s

1)( s

2)

Determine el rango de K para la estabilidad de un sistema de control con retroalimentación unitaria, cuya función de transferencia en lazo abierto es: G ( s )

10 s( s

1)(2 s

3)

¿Es estable este sistema? 5.

Para cada ecuación característica de los sistemas de control realimentados proporcionados, determine el límite de K para que el sistema sea estable. Determine el valor de K para que el sistema sea marginalmente estable. a) s 4 25 s 3 15 s 2 20 s K 0 b) s 3 ( K 2) s 2 2 Ks 10 0

6.

En las siguientes funciones de transferencia en lazo abierto, determine la estabilidad del sistema en lazo cerrado, utilizando el criterio de Routh Hurwitz. G( s ). H ( s )



10 ( 0.2 s s ( 0.8 s

1 )

1 )( 0.3 s

1 )



7.

124

Determine el rango de K para la estabilidad de los sistemas de control con retroalimentación unitaria, cuya función de transferencia en lazo abierto es: G( s )

K ( s 1 )( s 2

s ( s

3 ) 2 s 3 )

Obtenga además, los valores de K para que los sistemas sean marginalmente estables. Asimismo, obtenga la frecuencia que causará oscilaciones sostenidas en cada uno de los sistemas. 8. Determinar las constantes de error de posición, velocidad y aceleración para cada uno de los sistemas mostrados si: G ( s)

10 ( s s ( s

2

6 s

1) 10 )

, H ( s)

5

Por lo tanto, deducir el error de estado estable para entrada de escalón unitario, entrada rampa o velocidad unitaria y entrada de aceleración unitaria. 9. Determinar las constantes de error de posición, velocidad y aceleración para el sistema de retroalimentación unitaria con función de transferencia en lazo abierto de: G ( s )

10 ( s

3)

s 2 ( s

6)

Por lo tanto, deducir el error de estado estable para entrada de escalón unitario, entrada rampa o velocidad unitaria y entrada de aceleración unitaria.




SECCIÓN VII LUGAR DE LAS RAÍCES A menudo en un problema de diseño es necesario tener un esbozo rápido del comportamiento a lazo cerrado del sistema. Este es el tipo de información que da el Lugar de las Raíces. El Lugar de las Raíces permite examinar la ubicación de las raíces del polinomio característico en función de un parámetro variable (una ganancia, un cero del controlador, etc.). Consideremos la ecuación m

1

K F ( s )

0 ; donde F ( s )

M ( s ) D( s )

i 1 n i 1

( s

ci )

( s

p i )

(1)

Donde K > 0 y M (s); D(s) tienen grados m; n respectivamente. La solución del problema del lugar de las raíces requiere encontrar todos los puntos del plano complejo que son soluciones de (1) para todos los valores de K. Los puntos que pertenecen al lugar de las raíces cumplen con las siguientes condiciones: Condición de Magnitud. KF ( s)

1

Condición de Fase. KF ( s)

180º (2k

1),

(k

0, 1, 2, ...)

PASOS PARA CONSTRUIR EL LR

Hay 7 pasos para construir el LR: 1. Dibujar los polos y ceros de F (s) (lazo abierto). 2. Dibujar la parte del LR sobre el eje real. 3. Determinar el centroide y esbozar las asíntotas. 4. Determinar los puntos de bifurcación. 5. Determinar los ángulos de salida/llegada. 6. Calcular los cruces con el eje imaginario. 7. Dibujar el resto del LR. Pasos adicionales (no siempre son necesarios): 8. Seleccionar uno o varios puntos de prueba en una vecindad amplia del eje jω y el origen.- Se aplica la condición del ángulo de modo que la suma de ellos resulte ± 180º. 9. Determinar los polos de lazo cerrado.- Existe un polo de lazo cerrado, siempre y cuando el valor de K satisface la condición de magnitud, es decir: K

producto de las longitudes entre el punto s y los polos producto de las longitudes entre el punto s y los ceros

Sólo es necesario dibujar el LR en el semiplano superior al eje real, ya que el LR es siempre simétrico respecto del mismo. Aplicaremos las reglas sobre un ejemplo. Consideramos la función transferencia:


G0 ( s ) H 0 ( s ) ;

F ( s )

126

( s

G 0 ( s )

s 2

3) 4 s

5

; H 0 ( s )

100 ( s

0.5)( s

4)

Donde G0(s) representa un controlador y H0(s) el modelo nominal de la planta. Estudiaremos el LR de 1 + KF (s), que representa los polos del lazo cerrado nominal formado con G0(s) y H 0(s) para distintos valores de K, que representa en este caso la ganancia variable del controlador. Entonces: 1

KF ( s )

1

K

100( s ( s

Donde los polos son: s1 Los ceros son: s0

0.5 )( s 0.5 , s 2

3 )

4 )( s

2

1

K T

2 j1 , s 4

2

4 s 5 )

4 , s3

( s ( s

0.5 )( s

3 )

4 )( s 2 j1 )( s 2 j1 )

j1

3

1. Dibujar los polos y ceros a lazo abierto

Como el LR representa la posición de los polos a lazo cerrado a medida que K varía, comenzamos con los polos de lazo abierto, que corresponden a K = 0. Cada línea en el LR empieza en un polo de lazo abierto (K = 0) y termina en un cero a lazo abierto (K → ). Si el sistema a lazo abierto tiene más polos que ceros, algunas de las ramas del LR terminan en (ceros en) infinito. 2. Dibujar la parte del LR sobre el eje real.

Muchos LR tienen partes sobre el eje real. Las porciones del eje real que pertenecen al LR se determinan según la siguiente regla: Si hay un número impar de polos y ceros a lazo abierto a la derecha de un punto en el eje real, entonces el punto pertenece al LR.

3. Determinar el centroide y esbozar las asíntotas.

Las asíntotas indican a dónde tenderán los polos a medida que la ganancia tiende a infinito. Para sistemas con más polos que ceros, el número de asíntotas es igual al grado relativo n - m (número de polos menos número de ceros). En algunos sistemas no hay asíntotas; cuando el grado relativo es 0, toda rama del LR termina en un cero (finito). Las asíntotas son simétricas respecto al eje real, y parten de un punto s definido por las magnitudes relativas de los polos y ceros a lazo abierto. Este punto es el centroide. El centroide se obtiene con la fórmula:





n i

m

p 1 i

i 1

n

ci

m

127

(2)

Los ángulos de las asíntotas son η1; η2; …. ; ηn - m, dados por: ( 2k 1) k

n

m

; k = 1, 2, …., n-m

(3)

Para el ejemplo: el grado relativo n-m es igual a 3, quiere decir que habrá igual número de asíntotas; entonces: -

Centroide.( 0.5 4 2

j1 2 j1 )

( 3 )

1.5

4 1

-

Asíntotas (3): ( 2( 1 ) 1 ) 1

3 ( 2( 2 ) 1 )

2

3 ( 2( 3 ) 1 )

3

60º

3

180º 5

3

300º

3

4. Determinar los puntos de bifurcación.

Los puntos de bifurcación se producen donde dos o más ramas del LR se encuentran y luego divergen. Aunque es más común encontrarlos sobre el eje real, pueden ocurrir en cualquier parte del plano complejo. Los puntos de bifurcación son puntos donde se da un polo múltiple para algún valor de K. La forma más simple de encontrarlos es por prueba y error reemplazando valores de s en un entorno del posible punto de bifurcación en la ecuación característica, dependiente de K, hasta encontrar un mínimo. Para un cálculo más preciso, dada la ecuación del LR 1

M ( s ) K D( s )

0;

(4)

Los puntos de bifurcación pueden calcularse de la ecuación dK ds

D( s) M ( s)

D ( s) M ( s )

M ( s) 2

0

(5)

En el ejemplo:





( s

K T

128 4 )( s 2

0.5 )( s ( s

s 4

7.5 s 3

3 s 4

27 s 3

ds

5 )

3 )

17 s 2 ( s

dK T

4 s 9.5 s

10

3 )

84.5 s 2

102 s

38.5

3 )2

( s

,

0

Es decir que: 3 s 4

27 s 3

84 .5 s 2

102 s

38 .5

0

Las raíces de la expresión son: S1 = - 3.3851 + j0.7363 S2 = - 3.3851 - j0.7363 S3 = - 1.5317 S4 = - 0.6982 Si K es real y positivo en algún valor de s que satisfaga esta ecuación, entonces el punto es un punto de bifurcación. Resultando los dos valores reales. Siempre hay un número par de ramas en un entorno de un punto de bifurcación, ya que por cada rama que entra al punto de bifurcación debe haber una que salga de él. En el ejemplo, para s3 y s4 KT toma valores de 4.1644 y 4.6325 respectivamente, por lo que tales puntos son puntos de bifurcación. 5. Determinar los ángulos de salida/llegada.

Los ángulos de salida/llegada en qué dirección se mueven las raíces a medida que K va de 0 a polos a lazo abierto; llegada en los ceros de lazo abierto). Se calculan en c/u de los polos y ceros complejos a lazo abierto.

(salida en los

Ángulo de salida: En cada polo complejo sumar los ángulos θi desde los ceros al polo, luego restar los ángulos Φi desde los otros polos al mismo: n 1

m s

180º

i i 1

i

(6)

i 1

Ángulo de llegada: En cada cero, sumar los ángulos Φi desde los polos al cero, y restar los ángulos θi desde los otros ceros al mismo: n 1

m p

180º

i i 1

i

(7)

i 1

Por convención, los ángulos de salida/llegada se miden en relación al eje real, de modo que el eje real es 0.





129

Los polos y ceros reales siempre tendrán ángulos de salida/llegada de 0º o 180º, debido a la simetría de las raíces complejas. En el ejemplo, no hay ángulo de llegada. A continuación se dan los pasos para calcular el ángulo de salida. Los ángulos de los otras polos al polo complejo y del cero al polo complejo, será: tan

1

1

1

180º

2

90º

3

tan

1

tan 1 1

45º

45º

( 158 .2º

90º

1

1

158.2º

2.5

26.6º

2

El ángulo de salida, será: 180º

s

26 .6 )

49 .8º

50º

6. Calcular los cruces con el eje imaginario.

Los puntos de cruce con el eje imaginario marcan valores de K para los que el sistema a lazo cerrado es marginalmente estable. El lazo cerrado será inestable para valores de K para los que el LR está en el semiplano derecho del plano complejo. No todo LR intercepta el eje j ω, por lo que primero hay que determinar, si es posible, si definitivamente se cruza el eje (por ejemplo, cuando hay más de dos asíntotas), o si hay buenas chances de que se cruce (por ejemplo, si hay polos o ceros cerca del eje j ω y los ángulos de salida/llegada indican que podría haber un cruce). Hay tres formas de encontrar los cruces del eje j ω: Por prueba y error, buscando los puntos del eje j ω donde la fase de F ( j ω) es 180º. Por el criterio de Routh-Hurwitz, determinando el valor de K que hace al lazo cerrado inestable (y luego el correspondiente valor de s = j ω). Planteando la ecuación característica en s = j ω, igualando parte real e imaginaria a cero, y luego resolviendo los valores de K y ω. Cual método debe usarse depende de cuan precisamente deban conocerse los puntos de cruce. En ejemplo: usando la tercera forma, la ecuación característica es: s 4

7.5 s 3

17 s 2

( 9.5

K T ) s

( 3 K T

10 )

0

Reemplazando s = j : 4

j 7.5

3

17

2

j( 9.5

K T )

( 3 K T

10 )

0

Agrupando convenientemente, obtenemos dos ecuaciones simultáneas: 4

( 9.5


17

2

( 3 K T

K T )


7.5

10 ) 3

0

0  ( 1 )  ( 2 )



130

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: K T

20.777

2.01 rad / seg

K

0.20777

7. Dibujar el resto del LR.

Para finalizar el LR comenzamos de los polos a lazo abierto, conectando las porciones en el eje real, los puntos de bifurcación, los cruces del eje imaginario, terminando en los ceros finitos, o bien hacia infinito siguiendo las asíntotas. En general, los ceros tienden a «atraer» las ramas del LR, mientras que los polos las «repelen». El conocimiento del LR exacto sólo es necesario cerca del eje j ω, o en regiones donde se necesite particular conocimiento detallado del comportamiento del sistema. Las funciones rlocus y rltool de MATLAB calculan el LR exacto. OBTENCIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES CON MATLAB. Función rlocus Calcula y grafica el lugar de las raíces de un sistema LTI SISO. El gráfico del lugar de las raíces se utiliza para analizar el lazo de realimentación negativa de la Figura 1 y muestra las trayectorias de los polos a lazo cerrado cuando la ganancia K varía de 0 a . G( s )

sys 1

K sys

Figura de una Realimentación negativa y su función de transferencia

La función puede utilizarse de la siguiente forma: R=rlocus(sys,K) [R,K]=rlocus(sys)

Donde en el parámetro R matricial devuelve el lugar complejo de la raíz para la ganancia K. En el primer caso indicamos que intervalo de valores de ganancias estamos interesados, mientras que si no le ingresamos dicho parámetro, K varía de 0 a . El sistema puede ser ingresado como función transferencia, con el comando tf o zpk, o simplemente pasándole el numerador y el denominador del sistema, es decir rlocus(num,den). Función rlocfind.Esta función nos permite hallar la ganancia del gráfico del lugar de raíces correspondiente para un conjunto de polos dados. El comando ingresado de la siguiente forma: [K,polos]=rlocfind(sys);

Se utiliza para seleccionar la ganancia del lugar de las raíces generado por rlocus en forma interactiva. Luego de ejecutado dicho comando, aparece una cruz sobre el gráfico del lugar de las raíces con el que seleccionaremos el lugar deseado para los polos a lazo cerrado. La ganancia asociada con el punto seleccionado es la que este comando devuelve en la variable K y todos los polos a los que le corresponde esa ganancia los devuelve en la variable polos. Función sgrid.Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




131

Genera una grilla en el plano complejo ―s‖ para un lugar de las raíces ya existente o un mapa de polos y ceros. Se dibujan líneas de amortiguamiento ( ) y frecuencia natural ( n) constantes. El comando se utiliza de la siguiente forma: sgrid(z,wn) Algunos comandos de MATLAB de uso común.-

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dada la siguiente función de transferencia a lazo abierto G( s ) H ( s )

K s( s

2 )

,

Vamos a calcular el lugar de las raíces. Para ello ingresamos los siguientes comandos desde el WorkSpace de MATLAB sys=zpk([ ],[0 -2],1); o sys=tf(1,[1 2 0]); rlocus(sys); El diagrama que se obtiene es:

Si tomamos el mismo sistema pero le agregamos un polo en p = - 3 y otro en p = - 4, e ingresamos nuevamente los comandos correspondientes, obtenemos el diagrama de la siguiente figura, en donde observamos como el gráfico se ve forzado hacia la derecha debido a cada polo que agregamos.





132

2. Supongamos ahora una planta con la siguiente función de transferencia: G( s ) H ( s )

K ( s

1 )

s 2 ( s

)

, donde = 10, 9, 8 y 3

Si ejecutamos los mismos comandos que en el ejemplo anterior, es decir, ingresamos primero el sistema y luego le calculamos el lugar de raíces, obtenemos los resultados que se observan en las siguientes figuras:

Gráfica del Lugar de las Raíces para = 10 y = 9, respectivamente.

Gráfica del Lugar de las Raíces para = 8 y = 3, respectivamente.

Existen casos donde queremos analizar el comportamiento de un sistema a lazo cerrado (LC), pero donde el parámetro variable no aparece como un factor multiplicativo (como lo es la ganancia K en los ejemplos anteriores) del sistema a lazo abierto (LA). En esos casos tenemos que reescribir la ecuación característica de forma tal que el parámetro variable aparezca como un factor multiplicativo de G(s)H(s) y así podremos utilizar el comando rlocus. El ejemplo que sigue, ilustra como proceder en estos casos. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




133

Ejemplo: Consideremos una planta con función transferencia G0(s) y un controlador en realimentación con función transferencia C(s), donde: 1

G0 ( s )

( s

1 )( s

2 )

4( s

y C ( s )

) s

Queremos conocer cómo varía la ubicación de los polos a lazo cerrado para variando en +. Veamos que los polos a lazo cerrado del sistema son los ceros de: 1

4

( s s( s

2

s( s 2

) s

2 )

s s( s

2

2 )

4 s

4

s

2 )

s( s 2

0

s

2)

4

Si dividimos ambos miembros por s(s2 + s + 2), convertimos la ecuación a la forma 1 + kG(s), donde: k

4

y

G( s )

1 s( s 2

s

2 )

Lo único que queda ahora es ingresar el comando rlocus para obtener la figura correspondiente.

Ubicación de los polos a LC cuando el cero del controlador varía

3. Use MATLAB para mostrar el lugar de las raíces del sistema mostrado en el ejemplo ilustrativo de la teoría. El cálculo del LR con MATLAB, lo mostramos a continuación: >> sys=tf([100 300],[1 7.5 17 9.5 -10]); >> rlocus(sys)




0


134

Root Locus 8

6

4

2 s i x A y r 0 a n i g a m I -2

-4

-6

-8 -12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Real Axis

4. El 13 de abril de 1985 se lanzó un satélite de comunicaciones, pero el cohete de ignición no consiguió poner el satélite en la órbita deseada. En Agosto de ese mismo año el trasbordador espacial Discovery recuperó el satélite empleando un procedimiento complicado; un miembro de la tripulación, con sus pies sujetos a la plataforma de unos de los extremos del brazo robótica de la nave, empleó sus brazos para detener el giro del satélite y encender el interruptor del cohete. El diagrama de bloques del sistema de control del brazo robótico se muestra en la figura:

E(s) R(s)

+ -

+

K

-

1 s 2 ( s

Y(s)

6)

K t s

Para K ≥ 0 y Kt = 8: a. Determine el valor de los polos y ceros, también el centroide, el ángulo de las asíntotas y el o los puntos de bifurcación; b. Halle el o los ángulos de salida – llegada si es que existen, así como los puntos de cruce del lugar de las raíces con el eje imaginario del plano complejo s; c. Construya el Lugar de la Raíces del sistema de lazo cerrado, indicando lo hallado en los pasos a. y b. d. Si K = 40. ¿Dónde estarán ubicados los polos de lazo cerrado en el plano complejo s? RESPUESTA.La función de transferencia de lazo abierto cuando Kt = 8, es:





K

G( s ) H ( s )

s 2 ( s

135

K

6)

s( s 2

8 s

K

6 s

8)

s( s

2)( s

(1)

4)

a) Polos, ceros, centroide, ángulos de las asíntotas y punto de bifurcación: Nº de polos: n = 3; s 1 = 0, s2 = -2, s3 = -4. Nº de ceros: m = 0. Polos

Centroide:

Asíntotas (3):

Ceros

n

m

( 2k

1)

n

m

k

2

4

2

3

, entonces:

1

= 60º;

2

= 180º;

3

= 300º

Puntos de Bifurcación: Igualando a cero la ecuación (1), entonces K en función de s, será: K

s( s

2)( s

4)

( s

3

6 s 2

8s )

Maximizando K: dK ds

2 (3 s

12 s

8)

3 s 2

12 s

8

0

De donde obtenemos: s01 = - 0.8453 y s02 = - 3.1547. Probando cual de los puntos son puntos de bifurcación: Si s01 = - 0.8453, entonces: K

( 0.8453)( 0.8453

2)( 0.8453

4)

3.0792

0

Por consiguiente, s01 = - 0.8453 es punto de bifurcación. Si s02 = - 3.1547, entonces: K

( 3.1547)( 3.1547

2)( 3.1547

4)

3.0792

0

Por consiguiente, s02 no es punto de bifurcación. b) Ángulos de salida – llegada y cruce con el eje imaginario. Como no existen polos ni ceros complejos, entonces no hay ángulos de salida ni de llegada. Cruce con el eje imaginario: La ecuación característica del sistema de lazo cerrado es: s 3

6 s 2

8 s

K

0 , haciendo s = j se tiene: ( K

6

2

)

j (8

2

)

0

Igualando a cero cada miembro de la ecuación, se obtiene: K = 48 y el punto de cruce en Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán

j 2 2


j 2.828



136

c) El lugar de las raíces del sistema, será: Root Locus 8

6

4

2 s i x A y r 0 a n i g a m I -2

-4

-6

-8 -12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Real Axis

d) Si K = 40 < 48, los polos de lazo cerrado se ubicarán en el semiplano izquierdo del plano complejo s. 5. Encuentre los ángulos de las asíntotas y la intersección de las asíntotas del lugar de las raíces de las siguientes ecuaciones: Respuesta.(a) s 3

5 s 2

Entonces: s 3

( K 5 s 2

1) s s

K

0

K ( s

1)

0 1

Polos: s

0; s

Ceros: s 1 Grado relativo: n

m

5

21

2

2

; s

Intersección de las asíntotas:

1

(b) s 3

2 s


5 s

5

21

2

2

0

1)

5

21

5

21

2

2

2

2

1

5

2 (2(1) 1)

Ángulo de las Asíntotas: 3 s 2

s ( s 2

1)

2 ; entonces existen sólo dos ángulos o dos asíntotas. 0

K ( s 3

K ( s

2 6)

2

;

2 (2(2) 1) 2

2

1

2 ¡OK!

; 3 2

¡OK!

0




Entonces: 1 Polos: s1

s 2

K ( s 3

3 s 2 s

s3

2 s

6)

137

0

3

0

1; s j 2 ; s j 2 Ceros: s Grado relativo: n m 3 3 0 ; Entonces no existe asíntotas. ¡OK!.

6. Para la siguiente función de transferencia de lazo abierto, encuentre el ángulo de salida o llegada del lugar de las raíces en los polos y ceros designados. K

G ( s) H ( s)

2)( s 2

s( s

2 s

2)

, Ángulo de salida en s = -1 + j.

Respuesta. p p

180

(

1

2

3

)

180

( 45

135

90)

90 º ¡OK! jω - j1

1

-2

2

-1

0

3

- -j1

7. Marque los puntos en K = 0 y K = ∞ y el lugar de las raíces sobre el eje real para la configuración de polos y ceros mostrada en las figuras. Añada flechas sobre el lugar de las raíces en el eje real en la dirección en que K crece. Respuesta.-

Nota: De acuerdo a la teoría, el LR se inician en los polos (K = 0) y terminan en los ceros (K = ∞). En el problema (b) se puede observar que en el tramo 0, -1 y en el tramo -∞, -4 existe puntos de bifurcación o polos dobles que justifican la doble direccionalidad de las flechas.





138

8. Un sistema de control con realimentación unitaria tiene una función de transferencia de la trayectoria directa dada a continuación. Encuentre el o los puntos de ruptura. Asimismo, encuentre el o los valores de K para todos los puntos de ruptura. Respuesta. K

G ( s)

s( s

Entonces escribiendo en la forma: 1 K F (s) K

Se tiene: 1

s ( s

Es decir que: K

20)

s ( s

10 )( s

Luego:

4.2265 ;

0

s 3

20 )

s2

K ( 4.2265)

20 )

0

10)( s

Derivando para obtener el punto de ruptura: De donde: s1

10 )( s

30 s 2

dK

3 s 2

ds

200 s

60 s

200

0

15 .7735

384.9

0

K ( 15.7735)

8233.9

0

Para el punto de ruptura K tiene que ser positivo; entonces la respuesta será: s

4.2265;

K

384.9


1.

Trace el diagrama del lugar de las raíces para un sistema con: K

G ( s)

2.

s( s

0.5)( s 2

10 )

,

H ( s)

1

Considere el sistema de la figura. Determine los valores de la ganancia K y del coeficiente de 1 j 3 . Luego, utilizando retroalimentación Kh, de modo que los polos de lazo cerrado estén en s el valor de Kh determinado, trace el lugar de las raíces. R(s)

K

+ -

s 1

3.

0.6 s

C(s)

2

K h s

Trace el Lugar de las raíces para el sistema de la figura. Si el valor de la ganancia K es igual a 2, ¿dónde están ubicados los polos de lazo cerrado? R(s)

K

+ -

s ( s


2

4 s

C(s)

8)




4.

139

Considere el sistema que se ve en la figura. Este sistema incluye retroalimentación de velocidad. Determine el valor de la ganancia K tal que los polos dominantes de lazo cerrado tengan relación de amortiguamiento de 0.5. Utilizando la ganancia K calculada, obtenga la respuesta al escalón unitario. R(s)

K

+ -

s( s

C(s)

1)( s

2)

0.2s 1

5.

Dibuje el Lugar de las raíces para el sistema de control de lazo cerrado con: G ( s )

6.

4 s

5)

,

H ( s)

1

K ( s

9)

s ( s 2

4 s

11)

,

H ( s)

1

K ( s

0.2)

2

3.6)

s ( s

,

H ( s )

1

Bosqueje el lugar de las raíces para un sistema de control de lazo cerrado con: G ( s)

9.

1)( s 2

Ubique los polos de lazo cerrado en el lugar de las raíces de tal modo que los polos dominantes de lazo cerrado tengan una relación de amortiguamiento igual a 0.5. Bosqueje el lugar de las raíces para un sistema de control de lazo cerrado con: G ( s )

8.

s( s

Trace el lugar de las raíces para un sistema de control de lazo cerrado con: G ( s)

7.

K

K ( s s 3

0.5) s 2

1)

,

H ( s)

1

Trace el lugar de las raíces para el sistema que se muestra en la figura. Determine el rango de la ganancia K para la estabilidad. R(s)

+ -

s K s

1 5

1 s 2 ( s 2)

C(s)

10. Considere el sistema de la figura. Trace el lugar de las raíces cuando varía de 0 a ∞. Determine el valor de tal que la relación de amortiguamiento de los polos dominantes de lazo cerrado sea 0.5. R(s)

s

+ -



2 s 2 ( s 2 )

C(s)


SECCIÓN VIII ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN DOMINIO DE FRECUENCIA. RESPUESTA EN FRECUENCIA La respuesta en régimen permanente de un sistema a señales sinusoidales en un rango de frecuencias es lo que se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema. El interés de tratar entradas sinusoidales está en que la respuesta del sistema a estas señales contiene información sobre la respuesta a señales más generales. De hecho, toda señal periódica puede descomponerse en una serie de senos y cosenos, por el Teorema de Fourier. Conociendo la respuesta del sistema a las componentes sinusoidales de la señal de entrada, puede reconstruirse por Fourier la señal de salida. Teorema. ( Respuesta en RP a entradas sinusoidales ) Consideremos una función transferencia estable G(s) de orden n (o sea, con n polos, todos ellos con parte real negativa). Entonces, la respuesta en régimen permanente a una entrada

u ( t )

A sen ( t )

Es yrp ( t ) Donde G( j )

G( j ) e j

( )

( )) ;

A G( j ) sen ( t

, es decir,

G( j ) : Magnitud de G ( jω), Φ(ω): fase de G( jω).

Demostración: La entrada sinusoidal puede escribirse A sen( t )

A

e j

t

e

j t

2 j

Entonces, si obtenemos la respuesta del sistema a las entradas u (t ) superposición encontraremos la respuesta a la entrada sinusoidal (2). La transformada Laplace de e j t es £ e j

1

t

s

Y ( s )

t

y u (t )

e

j t

u(t ),

aplicando

. Así,

j

G( s )

1 s

,

j n

G( j ) s

e j

j

i

r i s

1

pi

En fracciones simples, donde pi ; i = 1…n son los polos de G(s) y r i los correspondientes residuos r i

lim

s

p i

( s

p i )G ( s ) . s j

Antitransformando (3) obtenemos y(t)

-1

L

n

G( j ) s

L

j

i

1

n

G( j )e

j t

r i e i

1

pi t

r i

1

s

pi


t G( j )e j

j ( t

t

De igual forma calculamos la respuesta a e es lo que se quería demostrar.

141

G ( j ) e j t

( ))

:

. Superponiendo ambas respuestas se obtiene la ecuación (1), que

La respuesta en régimen permanente de un sistema G(s) a una senoide de frecuencia ω es una senoide de igual frecuencia, con amplitud multiplicada por la magnitud de G( jω) y desfasaje igual a la fase de G( jω).

DIAGRAMAS DE BODE Los diagramas de Bode consisten de un par de gráficas: 1. La magnitud G( j ) versus la frecuencia angular ω. 2. La fase Φ(ω), también como función de ω. Los diagramas de Bode se suelen graficar en ejes especiales. El eje de abscisas es logarítmico en ω, es decir, lineal en Log (ω), donde el logaritmo es de base 10. Así se consigue una representación compacta sobre un rango amplio de frecuencias. La unidad del eje es la década, es decir, la distancia entre ω y 10ω para cualquier valor de ω.

La magnitud de la respuesta en frecuencia se mide en decibeles [dB], es decir, unidades de 20log G( j ) . La fase se mide en escala lineal en radianes o grados. Ejemplo: G ( s )

18 s s 2

6.06 s

100 102 .01

GRÁFICO APROXIMADO DE LOS DIAGRAMAS DE BODE





142

Los programas como MATLAB y SCILAB poseen comandos especiales (por ejemplo: bode, ltiview) para calcular y graficar diagramas de Bode. Sin embargo, existen reglas muy simples que permiten esbozar estos diagramas prácticamente sin hacer cálculos. Dada la función transferencia: m

( i s G ( s)

i

K

1)

1

, entonces:

n

s k

( i s i

1)

1

m

20 log G( j )

20 log K

n

20 log

20 log ( i j i

1)

20 log (

1

i

i

j

1)

1

Por otro lado, la fase de G( j ω) resulta: m

G( j )

K

k

n

( i j

2

i

1)

1

( i

i

j

1)

1

Así vemos de (4) y (5) que el diagrama de Bode de cualquier función transferencia puede obtenerse sumando y restando magnitudes (en dB) y fases de factores simples. Una ganancia simple K tiene magnitud y fase constantes. El diagrama de magnitud es una línea horizontal en 20 log K dB y la fase es una línea horizontal en 0 rad (si K > 0). El factor sk tiene un diagrama de magnitud que es una línea recta con pendiente igual a 20k dB/década, y fase constante igual a k . Esta línea cruza el eje horizontal de 0 dB en ω = 1. 2

El factor i s+1 tiene un diagrama de magnitud que puede aproximarse asintóticamente de la siguiente manera: o

o

para i 1 , 20 log ( i j 1) 20 log(1) 0 dB , es decir, para bajas frecuencias la magnitud es una línea horizontal (la asíntota de baja frecuencia). para i 1) 20 log( i ) dB , es decir, para altas frecuencias la 1 , 20 log ( i j 1

o

magnitud es una línea recta de pendiente 20 dB/década que corta el eje de 0 dB en (la i asíntota de alta frecuencia). el diagrama de fase es más complicado. Aproximadamente cambia a lo largo de dos décadas. Una 1 1 década por debajo de i la fase es 0 rad. Una década por arriba de i la fase es signo (

i

)

1

fase en o

rad . Uniendo ambos puntos por una línea recta da

2 i

signo (

i

)

4

rad . para la

. Es una aproximación basta.

( i) j ( i ) , la fase del diagrama de Bode del factor ( i s+1) Para i complejo, i ( i) j ( i) corresponde a la fase del número complejo 1

Ejemplo: Consideremos la función transferencia G ( s )


640

( s ( s

4)( s


1) 8)( s

10 )

:



143

Para dibujar la aproximación asintótica del diagrama de Bode primero llevamos a G(s) a una forma en que los polos y los ceros no aporten ganancia estática, G ( s )

2

( s (0.25 s

1)

1)(0.125 s

1)(0.1 s

1)

:

Usando las reglas aproximadas obtenemos el diagrama siguiente.

Diagrama de Bode exacto (línea gruesa) y aproximado (línea fina).

PROCEDIMIENTO GENERAL PARA GRAFICAR LOS DIAGRAMAS DE BODE.

1º.- Se escribe la función G(j ) como producto de factores básicos. 2º.- Identificar las frecuencias de cruce asociados con estos factores básicos. 3º.- Dibuje las curvas asintóticas de magnitud logarítmica con pendientes adecuadas entre las frecuencias de cruce. 4º.- Las curvas del ángulo de fase de G(j ) se traza agregando las curvas de ángulo de fase de los factores individuales. Ejemplo.Para el sistema en lazo abierto con retroalimentación unitaria mostrado. Bosquejar el diagrama polar, indicando valores de altas y bajas frecuencias, la frecuencia y puntos de cruce con el eje real o imaginario, si las hubiera. G ( s )

( s 100 ) s( s

1 )( s

10 )

Solución: La función expresada en términos de frecuencia es:





144

j 10 ( 1 ) 100 j j ( j 1 ) ( 10

G ( j )

1 )

Los factores con sus respectivas frecuencias de cruce, pendiente asintótica de magnitud y de fase, se describen a continuación: -

Ganancia Estacionaria: 20 log 10 = 20 dB.

-

Adelanto de primer orden (

-

+45º/dec. Integrador simple ( j ) 1 : Atraso de primer orden ( j 45º/dec.

-

Atraso de primer orden ( 45º/dec. dB 40

j 1 ) : 100

j 10

= 100 rad/seg; m. de magnitud = +20 dB/dec; m. de Fase =

1

2=

1.0 rad/seg; m. de magnitud = +20 dB/dec; m. de Fase = - 90º constante. 1 ) 1 : 3 = 1.0 rad/seg; m. de magnitud = - 20 dB/dec; m. de Fase = 1 ) 1 :

4

= 10 rad/seg; m. de magnitud = - 20 dB/dec; m. de Fase = -

- 20 dB/dec

20

- 40 dB/dec

0 - 20

- 60 dB/dec

- 40 - 60 - 80

- 40 dB/dec.

- 100

(rad/seg)

0.1

1.0

10

100

1000

- 90º

- 135º

- 45º/dec. - 90º/dec.

- 180º

- 45º/dec

G - 225º OBTENCIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE BODE CON MATLAB Función bode





145

Esta función nos permite obtener la respuesta en frecuencia de Bode para modelos LTI. Entre las formas más comunes de utilizar esta función se encuentran: 









bode(sys): dibuja el gráfico de Bode del modelo LTI sys (creado con tf o zpk). El rango de frecuencia y el número de puntos que tomará para graficar los elige en forma automática. bode(sys,wmin,wmax): dibuja el gráfico de Bode para frecuencias entre

min y

max (en rad/seg).

bode(sys,w): utiliza el el vector w de frecuencias propuesto para calcular el Bode. Dado que el vector debe estar en escala logarítmica, existe en MATLAB la función logspace que genera un vector de frecuencias en forma logarítmica. bode(sys1,sys2,...,w): dibuja el gráfico de Bode de varios modelos LTI en una sola figura. El parámetro es opcional, también se puede especificar color, tipo de línea y marcadores como se los utiliza con el comando plot. [mag,fase]=bode(sys,w) o [mag,fase,w]=bode(sys): devuelve la magnitud y la fase en grados. Este comando no dibuja en pantalla, mag(:,:,k) y fase(:,:,k) determina la respuesta en (k). Para obtener magnitudes en dB, debemos calcular magdb=20*log10 (mag).

Ejemplo 5. Dada la siguiente transferencia, queremos obtener el gráfico de Bode G( s )

2500 s( s

5 )( s

50 )

Para ello ejecutemos los siguientes comandos desde el workspace: G=zpk([ ],[0 -5 -50],2500); bode(G); Arrojando los siguientes diagramas:


1.

Para el sistema mostrado: a) Escribir la función de magnitud y de fase. Escribir las frecuencias de quiebre de cada uno de los términos.





146

b) Bosquejar el perfil asintótico de Bode, identificando las frecuencias de quiebre y las pendientes respectivas, tanto en el perfil de magnitud como en el de fase. 100 ( s

G ( s )

2.

(b) G ( s ) (c) G ( s )

T 1 s

1

T 2 s

1

T 1 s

1

T 2 s

1

T 1 s

1

T 2 s

(T 1

T 2

0)

(T 1

T 2

0)

(T 1

1

T 2

100 )

0)

Grafique las gráficas de Bode de: G ( s )

4.

1)( s

Dibuje los perfiles asintóticos de Bode de las tres funciones de transferencia siguientes: (a) G ( s )

3.

s( s

10 )

10( s 2

0.4 s

1)

s ( s 2

0.8 s

9)

Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia de lazo abierto: s

G ( s )

s 3

0 .5 s 2

1

Este es un sistema de fase no mínima. Dos de los tres polos en lazo abierto se ubican en el semiplano derecho del plano s del modo siguiente: Polos en lazo abierto en:

s = 1.4656 s = 0.2328 + j0.7926 s = 0.2328 – j0.7926

Grafique las gráficas de Bode de G(s) con MATLAB. Explique por qué la curva del ángulo de fase empieza a partir de 0º y tiende a +180º. 5.

Considere el sistema de la figura. Dibuje las gráficas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto G(s). determine el margen de fase y el margen de ganancia. R(s)

25

+ -

s ( s

C(s)

1)( s

10 )

G(s)

6.

Considere el sistema de la figura. Dibuje las gráficas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto G(s). determine el margen de fase y el margen de ganancia. R(s)

+ -

s ( s

2

20 ( s

1)

2 s

10 )( s

C(s)

5)

G(s)





147

7.

La figura muestra las gráficas de Bode de una función de transferencia G(s). Determine esta función de transferencia.

8.

En la figura aparecen las gráficas de Bode determinadas experimentalmente de un sistema G(j ). Determine la función de transferencia G(s).

9.

Para el sistema mostrado, Bosquejar las gráficas de Bode. Indique las frecuencias de quiebre y analice si el sistema en lazo cerrado es estable o no. G ( s)

100 ( s s ( s

5)

1)( s

10 )

10. Para el sistema mostrado, bosquejar sus gráficas asintóticas de Bode y analice la estabilidad del sistema. G ( s)



10 s( s

1)( s

10 )


SECCIÓN IX CRITERIO DE NYQUIST PARA LA ESTABILIDAD Y ESTABILIDAD RELATIVA PANORAMA: Estabilidad y respuesta en frecuencia El criterio de estabilidad de Nyquist Márgenes de estabilidad ESTABILIDAD Y RESPUESTA EN FRECUENCIA

Una herramienta clásica y durable para determinar la estabilidad de un lazo de realimentación es el criterio de estabilidad de Nyquist. En el criterio de Nyquist, la estabilidad del sistema a lazo cerrado se determina a partir de la respuesta en frecuencia del sistema a lazo abierto, G0(s)K (s), que se grafica en un diagrama polar .

Ejemplo:

k 0

G0 ( s ) K ( s )

( 1 s

1)( 2 s

1)

SOBRE EL TRAZADO DE DIAGRAMAS POLARES

Consideramos el diagrama polar de una función transferencia general de la forma F ( s )

k 0 s K

m i

0

( i s

1)

0

( i s

1)

n i

1. Extremo de bajas frecuencias, w →0. Depende del número de polos en 0 de F (s):

Si k = 0, el diagrama comienza en el valor real lim F ( s) 0 , con la fase de k 0 (0 o π rad). 0

Si k ≥ 1, el diagrama comienza en ∞ con fase k 0

2

rad.

2. Extremo de altas frecuencias, ω → ∞. Para funciones transferencia

estrictamente propias, el diagrama termina en el origen, con una fase que tiende a ( n

k

m)

2

.

Diagrama polar para distintos números de polos en el origen, pero un mismo grado relativo. Ejemplo: 1 polo en el origen y grado relativo 4.


149

k 0

F(s)

s( 1s 1)( 2s 1)( 3s 1)

BASES DEL CRITERIO DE NYQUIST

Para explicar el criterio de estabilidad de Nyquist consideremos primero una función genérica F (s), no necesariamente relacionada a un lazo de control. Supongamos que se tiene una curva cerrada orientada Cs en el plano s que encierra Z ceros y P polos de la función F (s). Asumimos que ningún polo se encuentra sobre la curva Cs. Al recorrer la curva C s en una dirección, la función F (s) mapeará Cs en otra curva cerrada orientada CF en el plano F . Mostraremos que el número de veces que CF encierra al origen del plano F está dado por la diferencia entre P y Z . Será útil recordar que cada vuelta en sentido horario (antihorario) alrededor del origen de una variable compleja implica que la fase de esta variable cambia en -2π rad (2π rad). Para empezar, supongamos que F (s) = s - c ;

Donde c es un punto en el plano s. Esta es una función simple con un único cero finito en c . Distinguimos dos casos: 1. El punto c está dentro de Cs. A medida que s recorre Cs en sentido horario, la fase de F (s) cambia en -2π rad. Es decir, la curva CF encierra al origen del plano F una vez en sentido horario. 2. El punto c está fuera de Cs. A medida que s recorre Cs en sentido horario, la fase de F (s) cambia en 0 rad. Es decir, la curva CF no encierra al origen del plano F .

De forma similar, si la función es F ( s )


( s


p) 1 ;



150

Podemos ver que a medida que s recorre Cs en sentido horario, la fase de F (s) cambia en +2π rad si p se encuentra dentro de Cs, y 0 rad si se encuentra fuera de Cs (¡pensarlo!). En el caso general en que m

F ( s)

k

i

1

n l

1

( s

ci )

( s

pl )

Cualquier cambio neto en la fase de F (s) surge de la suma de los cambios de fase debidos a los factores (s-c i) menos la suma de los cambios debidos a los factores (s-pl ). En síntesis, Versión del Principio del Argumento. Sea la función F (s) dada por (1) y una curva cerrada Cs en el plano s. Sea Z el número de ceros, y P el número de polos de F (s) dentro de la región encerrada por Cs. Entonces, a medida que s recorre en sentido horario Cs, la curva CF mapeada por F (s) encierra Z-P veces en sentido horario al origen del plano F.

Para aplicar esta versión del Principio del Argumento a estudiar estabilidad de sistemas a lazo cerrado, consideramos en particular la función F ( s )

1

G0 ( s ) K ( s )

Los ceros de F (s) son los polos a lazo cerrado del sistema de control. Los polos de F (s) son los polos a lazo abierto del sistema de control; es decir, los polos de G0(s)K (s). Asumimos G0(s)K (s) estrictamente propia, es decir, lim F ( s) s

1

Para analizar la existencia de polos en el semiplano derecho (SPD), usamos como Cs el contorno de Nyquist. El contorno de Nyquist es la unión de las curvas C i (el eje imaginario) y Cr (un 1 , el mapeo de Cr a través de semicírculo de radio infinito). Como lim F ( s ) s

F (s) se reduce al punto (1;0), por

lo que sólo es necesario graficar la respuesta en frecuencia F ( jω).

A medida que s recorre el contorno de Nyquist, el número de vueltas en sentido horario del mapeo F (s) = 1+G0(s)K (s) alrededor del origen determina el número de ceros en el SPD (polos inestables del sistema a lazo cerrado). De hecho, típicamente se grafica F (s) = G0(s)K (s), se corre el origen a -1 y se cuenta el número de vueltas en sentido horario alrededor del punto (-1;0). Teorema 1. [Criterio básico de Nyquist] Si una función transferencia propia a lazo abierto G0(s)K (s) tiene P polos en el semiplano derecho abierto (SPDA), y ninguno sobre el eje imaginario, entonces el sistema a lazo cerrado tiene Z polos en el SPDA si y sólo si el diagrama de Nyquist de G0(s)K (s) encierra N = Z- P veces en sentido horario al punto (-1;0).





151

IMPLICACIONES DEL CRITERIO DE NYQUIST

Si el sistema es estable a lazo abierto, para que el lazo cerrado sea internamente estable es necesario y suficiente que no haya cancelaciones inestables y que el diagrama de Nyquist de G0(s)K (s) no encierre al punto (-1;0). Si el sistema es inestable a lazo abierto, con P polos en el SPDA, entonces para que el lazo cerrado sea internamente estable es necesario y suficiente que no haya cancelaciones inestables y que el diagrama de Nyquist de G0(s)K (s) encierre P veces en sentido antihorario al punto (-1;0). Si el diagrama de Nyquist de G0(s)K (s) pasa por el punto (-1;0), existe una frecuencia ω0 Є tal que F ( jω0) = -1, es decir, el lazo cerrado tiene polos exactamente sobre el eje imaginario. Esta situación se conoce como condición de estabilidad crítica. ¿Cómo aplicar el criterio de Nyquist cuando existen polos a lazo abierto exactamente sobre el eje j ω, por ejemplo, en el origen? En estos casos no puede usarse el contorno de Nyquist visto — no podría calcularse el cambio de fase al pasar s = 0 — y debe usarse un contorno de Nyquist modificado . El contorno de Nyquist modificado se compone de tres curvas: Cr ; Ci y Ce . A medida que e → 0 y r → ∞, la región encerrada aún se expande a el SPDA, excepto por un área infinitesimal. Teorema 2. [Criterio de Nyquist] Dada una función transferencia propia G0(s)K (s) con P polos en el SPDA, entonces el lazo cerrado tiene Z polos en el SPDA si y sólo si el diagrama de Nyquist de G0(s)K (s) encierra N = Z - P veces en sentido horario al punto (-1;0) cuando s recorre el contorno de Nyquist modificado. Ejemplo: Consideremos el sistema G0 ( s ) K ( s )

k 0 s( 1 s

1)( 2 s

1)

Este sistema puede ser inestable si se aumenta suficientemente la ganancia k 0. P = 0 N = 2 Z = N +P = 2

Sistema a lazo cerrado inestable

OBTENCIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE NYQUIST CON MATLAB. Función Nyquist.-

Esta función nos permite obtener la respuesta en frecuencia de Nyquist para modelos LTI. Entre las formas más comunes de utilizar esta función se encuentran: 

nyquist (sys): dibuja el gráfico de Nyquist de sys que es un modelo LTI creado con los comandos tf o zpk. El rango de frecuencia y el número de puntos que utilizará para graficar son elegidos en forma automática.





152

Las distintas alternativas para este comando son las mismas que para la función bode, excepto el último de los ítems que se reemplaza por: 

[Re,Im]=nyquist(sys,w) o [Re,Im,w]=nyquist(sys): devuelve la parte real e imaginaria de la respuesta en frecuencia, a lo largo de . La respuesta a la frecuencia (k) está dada por Re(:,:,k)*Im(:,:,k)

Ejemplo 6. Dado el sistema cuya función transferencia viene dada por G( s )

1 ( s

1 )2

Obtener el diagrama de Nyquist.: Para ello ingresamos los siguientes comandos G=zpk([[ ],[-1 -1],1); nyquist(G) Y obtuvimos el siguiente diagrama:

ESTABILIDAD RELATIVA: MÁRGENES DE ESTABILIDAD

En el diseño de sistemas de control a menudo se necesita ir más allá de la cuestión de estabilidad a lazo cerrado. En particular, usualmente es deseable obtener alguna medida cuantitativa de cuan lejos de ser inestable está un lazo nominal; es decir, cuantificar la estabilidad relativa del lazo. Esta cuantificación puede lograrse definiendo medidas que describan la distancia de la respuesta en frecuencia nominal al punto de estabilidad crítica (-1;0). MÁRGENES DE GANANCIA Y FASE

Antes de dar una definición de margen de ganancia y margen de fase, daremos algunas definiciones previas: Cruce de fase.- es un punto en el cual la gráfica de G0(j )K(j ) interfecta al eje real negativo. Frecuencia de cruce de fase f .- Es la frecuencia en el cruce de la fase, o donde:





G 0 ( j

f

153

) K ( j

f

)

180 º

Cruce de ganancia.- Es el punto sobre la gráfica de G0(j )K(j ) en el cual la magnitud de G0(j )K(j ) es igual a la unidad. Frecuencia de cruce de ganancia g.- Es la frecuencia de G0(j )K(j ) en el cruce de ganancia, o donde: G0 ( j

g

) K ( j

g

)

1

Margen de Ganancia (Mg).Es la cantidad de ganancia en (dB) que se pueden añadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable y se define por: M g

20 log 10 G0 ( j

f

) K ( j

f

)

20 log 10 a

Margen de Fase (Mf ).Es el ángulo en grados que la gráfica de G0(j )K(j ) se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por el punto (-1, j0). M f

G 0 ( j

g

) K ( j

g

)

180 º

Nota.- Las definiciones anteriores sólo funciona para sistemas de fase mínima es decir, para sistemas que no tienen polos o ceros en el lado derecho del plano complejo s. No son aplicables para sistemas de fase no mínima (que tienen al menos un polo o cero en el lado derecho del plano complejo s). EJEMPLO:

En la figura se muestra el diagrama de bloques del sistema de dirección de un transportador eléctrico que sigue automáticamente una banda tendida sobre el piso de una fábrica. Para controlar la conducción y la velocidad del vehículo, se emplean sistemas con retroalimentación en circuito cerrado. Por medio de un arreglo de 16 fototransistores, el vehículo es sensible a la trayectoria de la cinta. Arreglo del fototransistor

R(s)

+

Dinámica del motor y del vehículo Dirección del vehículo

Error -

C(s)

1

K s( s 2

s

4 )

a) Selecciónese una ganancia K para que el margen de fase sea aproximadamente 30º. b) ¿Cuál es el margen de ganancia para ese valor de K? c) Con referencia en los resultados anteriores, diga si el sistema de lazo cerrado es estable o no. G( j g ) 180 º , sabiendo que la frecuencia de cruce Nota: Para obtener el Margen de Fase, emplee: MF de ganancia se obtiene de: MG

20 log L( j

f

G( j

) , cuando

g

)

L( j

1 . Para obtener el margen de ganancia se emplea: f

)

180 º .

Respuesta.En lazo abierto: L( s )



K s( s 2

s

4 )



154

En términos de frecuencia: K

L( j )

2

j ( 4

)

j

La función de magnitud: K

L( j )

1 2

( 4

)

2

2

2

La función de fase: 90º

L( j )

1

tan

2

4

a) Para determinar K, partimos de la condición de Margen de Fase: M f tan

90º g

1

180º

2

4

30º

g

60º

2

4

g

1

tan

3 rad / seg .

g

g

Pero, también de la definición, para el margen de fase: L( j

g

K

) g

K

Reemplazando el valor de

g

1;

1

( 4 g

2 g

)2 2

( 4

g

)

g

2 2

2 g

1 2 2

;

en K, se obtiene: K

2 3

b) Para obtener el margen de ganancia partimos de la condición del cruce de fase: L( j

f

)

180º

90º

tan

f

1

2

4

180º

f

Es decir: tan

f

1

2

4

90º

2 rad / seg .

f

f

Pero: 2 3

M g

1 f

Reemplazando el valor de

f en

( 4

f

) 2

2 f

;

2

Mg, se tiene: M g


2


1.25 dB



155

c) Como se observa: Mg > 0 y el Mf > 0, por lo tanto el sistema es ESTABLE. MÁRGENES DE ESTABILIDAD Y DIAGRAMAS DE BODE

Los márgenes de estabilidad pueden describirse y cuantificarse también en diagramas de Bode.

MAGNITUD DEL PICO DE RESONANCIA M r Y FRECUENCIA DE RESONANCIA

r

Son especificaciones de un sistema en dominio de frecuencia. Dan indicaciones de la estabilidad relativa. La magnitud del pico de resonancia (Mr ).- Es una indicación de la estabilidad relativa de un sistema en lazo cerrado estable. Lo deducimos de la siguiente expresión:

Sea de la figura: R(s)

2

+ -

C(s)

n

s( s

2

x

n

j

)

0 x Donde: 2

C ( s ) R( s )

n

s 2

2

2

s

n

n

La respuesta de frecuencia en lazo cerrado es: C ( j ) R( j )

1 ( 1

2 n


Me j

2


)

j 2 n



156

Donde: 2

1

M

,

2

( 1

2

) 2

tan

1

1

)2

( 2

n 2 2 n

n

n

Maximizando M, se obtiene el pico de resonancia: 1

M r

2

1 sen 2

2

1

Cuando el sistema es inestable, el pico de resonancia Mr deja de tener sentido. Frecuencia del pico de resonancia ( r ).- Es la frecuencia en la cual ocurre el pico de resonancia. Es el valor de la frecuencia cuando se maximiza M, entonces: r

Si > 0.707,

r = 0 y M r =

n

1

2

cos 2

n

0

0.707

1

ANCHO DE BANDA (BW).

Es la frecuencia en la cual la magnitud del pico de resonancia cae al 70.7% o 3dB debajo de su valor en la frecuencia cero. Se define mediante la expresión: 1

BW

n

1

2

2

4

4

4

2

2

2

El ancho de banda, da una indicación de las propiedades de la respuesta transitoria del sistema de control; también de las características al filtrado del ruido y robustez del sistema. El ancho de banda y el tiempo de crecimiento son inversamente proporcionales entre sí. El ancho de banda y el pico de resonancia son inversamente proporcionales entre sí para 0

0.707.

PICO DE SENSIBILIDAD

Un indicador alternativo de estabilidad relativa es el pico de la función de sensibilidad. Notemos que el vector desde el punto (-1;0) a G0( j ω)K ( j ω), para ω = ω1, corresponde a 1

G0 ( j ) K ( j )

S 0 ( j

1 1

El radio η del círculo tangente al gráfico de G0( j ω)K ( j ω) es la recíproca del pico

de la sensibilidad nominal. Cuanto mayor sea este pico, más cerca de la inestabilidad estará el lazo. El pico de sensibilidad es un indicador de estabilidad relativa más confiable que los márgenes de fase y ganancia: un sistema puede tener buenos márgenes de fase y ganancia y aún estar cerca de ser inestable.

Por otro lado, un bajo valor del pico de sensibilidad garantiza márgenes de ganancia y fase mínimos. Ing. Fidel Humberto Andía Guzmán




157


1.

Para los sistemas mostrados: Escribir la función en dominio de frecuencia, especificando las componentes real e imaginario, respectivamente. Bosquejar la gráfica polar para cuando la frecuencia crece desde cero hasta infinito, indicando altas y bajas frecuencias, puntos y frecuencias de cruce con alguno de los ejes. a) G H ( s )

2.

2 )

s ( s 2

2 s

5( s

b) G H ( s )

2 )

1 )( s 2

( s

2 ) 2 s

2 )

Para los sistemas mostrados: Escribir la función en dominio de frecuencia, especificando las componentes real e imaginario, respectivamente. Bosquejar la gráfica polar para cuando la frecuencia crece desde cero hasta infinito, indicando altas y bajas frecuencias, puntos y frecuencias de cruce con alguno de los ejes. a) G ( s )

3.

5( s

100 ( s s( s

5 )

1 )( s

10

b) G ( s )

10 )

s( s

1 )( 2 s

3 )

Dibuje las gráficas polares de la función de transferencia en lazo abierto: K (T a s

G ( s ) H ( s )

1)(T b s

s 2 (Ts

1)

1)

Para los dos casos siguientes: (a) 4.

T a

T

0.

T b

T

T T a 0. T T b 0 (b) Dibuje un lugar geométrico de Nyquist para el sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo abierto:

G ( s )

5.

0

K (1 s

1

Usando el criterio de estabilidad de Nyquist, determine la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Un sistema con la función de transferencia en lazo abierto: G ( s ) H ( s )

6.

s )

K s 2 (T 1 s

1)

Es inherentemente inestable. Este sistema se estabiliza si se agrega un control derivativo. Dibuje las gráficas polares para la función de transferencia en lazo abierto con y sin control derivativo. Considere el sistema en lazo cerrado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: G ( s ) H ( s )

10 K ( s s 2 ( s

0.5)

2)( s

10 )

Grafique las gráficas polares directa e inversa de G(s)H(s) con K = 1 y K = 10. Aplique el criterio de estabilidad de Nyquist a las gráficas y determine la estabilidad del sistema con estos valores de K. 7.

Considere el sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo abierto es: G ( s ) H ( s)

8.

K e

2 s

s

Encuentre el valor máximo de K para el cual el sistema es estable. Dibuje la gráfica de Nyquist para el G(s) siguiente:





G ( s )

9.

158

1 s ( s 2

0.8 s

1)

Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: G ( s )

1 s 3

0.2 s 2

s

1

Dibuje una gráfica de Nyquist de G(s) y examine la estabilidad del sistema en lazo cerrado. 10. Considere el sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es: G ( s)

as

1

s 2 Determine el valor de a tal que el margen de fase sea 45º. 11. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo abierto. Determine el valor de la ganancia K tal que el margen de fase sea 50º. ¿Cuál es el margen de ganancia de este sistema con esta ganancia K? G ( s )

K s ( s

2

s

4)

12. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo abierto. G ( s )

K s ( s 2

s

0.5)

Determine el valor de la ganancia K tal que la magnitud del pico de resonancia en la respuesta de frecuencia sea de 2 db o Mr = 2 db. 13. La figura muestra el diagrama de bloques de un sistema de control de procesos. Determine el rango de la ganancia K para la estabilidad. R(s)

e s s 1

K

+ -

C(s)

14. Considere un sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo abierto es: G ( s) H ( s)

K e

Ts

s( s 1) Determine el valor máximo de la ganancia K para la estabilidad como una función del tiempo muerto T. 15. Grafique la gráfica polar de: G ( s )

(Ts) 2

6(Ts)

12

(Ts) 2

6(Ts)

12

Demuestre que, para el rango de frecuencia 0 < T < 2 3, esta ecuación produce una buena aproximación para la función de transferencia de retardo de transporte, e Ts .




SECCIÓN X ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y CONTROLADORES AUTOMÁTICOS INDUSTRIALES 1.- DISEÑO CON EL CONTROLADOR P.D

La acción de control proporcional y derivativo se define por: u (t )

K p e(t ) K p Td

d e(t ) dt

La función de transferencia será: U ( s ) E ( s )

K p (1 T d s )

ó

Gc ( s ) K p

K d s

Donde: Kp = constante o ganancia proporcional Kd= constante de tiempo derivativo o tiempo de adelanto Kp y Kd son regulables. El diagrama de bloques, representa un proceso prototipo de 2° orden con su respectivo controlador P. D R(s)

+ -

+

K P

x

2 n

x

s ( s 2

n)

+

Y(s)

Gp (s) K D s

Gc(s) Sean los circuitos electrónicos operacionales, ambos representan a un controlador P.D.

R2 R1

Ei

-

-

R R

-

-

+

E0

+

C1 Gc ( s )

También se tiene el circuito:

E 0 ( s ) R2 E 1 ( s )

R1

R2C 1 s ; Donde: K P

R2 R1

; k D

R2C 1


160

R2 R

R

R R

Ein

-

Rd

Cd

+

E0

+

Gc ( s )

E 0 ( s )

R2

E in ( s )

R1

Rd C d s ; donde K P

R2 R1

; K D

Rd C d

El segundo nos permite seleccionar KP y KD de manera independiente. El diagrama de bloques de un control proporcional derivativo es :

+

E(s) -

C(s) K P K D s

x

Para una entrada rampa :

e(t)

u(t)

Acción de control P.D. Td

t

t

EFECTOS DE UN CONTROLADOR P.D. 1.- Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso máximo. 2.- Reduce el tiempo de crecimiento y el tiempo de establecimiento. 3.- Incrementa el ancho de la banda. 4.- Mejora el margen de ganancia, margen de fase y Mr 5.- Puede acentuar el ruido de alta frecuencia. 6.- Carece de efectividad para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. 7.- Puede utilizar un capacitador muy grande en el circuito original. El controlador P.D en esencia es un filtro paso-alto.





161

2.- DISEÑO DISEÑO CON EL CONTROLADOR P. I.

Esta definida por la ecuación. u (t )

K p e(t )

K P t e (t ) dt T i 0

La función de transferencia será: U ( s )

Kp (1

E ( s )

1 T 2 s

)

Donde: Kp Pero

= Ganancia proporcional Ti = Tiempo integral integral 1/Ti = Frecuencia de reposición = KI .

También se puede representar la F. T. Gc ( s )

K P

K I s

Diagrama de bloque para un sistema sistem a prototipo de 2do orden R( s ) x

n

x

K P

2

s ( s 2

Y(s) n)

K I / s

En el Amplificador Operacional.

R2

R1

-

Ein

C2

R R

-

+

G c ( s )

+

E 0 ( s )

R 2

R 2

E in ( s )

R1

R1C 2 s

; donde: K P

R 2 R1

y

E0

K I

R 2 R1 C 2

También en el circuito operacional operaci onal de mayor ventaja:





G c ( s )

162

E 0 ( s )

R 2

E in ( s )

R1

1 R i C i s

R2 R1

-

R

+

R

+

Ein

Ri

-

E0

Ci

+ Donde: K P

R 2 R1

;

K I

1 R i C i

KP y KI estan relacionados de manera independiente. Para diseños efectivos del controlador PI, tener cuidado con los valores del capacitor porque KI es muy pequeño. La función de transferencia de lazo abierto es : 2

G( s ) G c ( s ). G P ( s )

wn ( K P s K I ) s 2 ( s 2 wn )

EFECTOS INMEDIATOS : a) Añade un cero a la función de transferencia en lazo abierto. b) Añade un polo s = 0 a la F. T. de lazo abierto, incrementa el tipo de sistema. El error de estado estable (ess), se mejora en un orden. El control PI en esencia un filtro paso – bajo para una entrada escalón:

e(t) 1

u(t) 2Kp

escalón unitario

Acción de Control P.I.

Kp t

Solo proporcional

Ti

t

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL CONTROLADOR P.I. 1.- Mejora el amortiguamiento. Reduce el sobre impulso máximo. 2.- Incrementa el tiempo de crecimiento. 3.- Disminuye el ancho de Banda. 4.- Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y Mr. 5.- Filtra el ruido de A. F. 6.- Es mucho más cuidadosa que el controlador P.D. la selección de KI y KP, para que la implementación del circuito del controlador no sea excesivamente grande.





163

3.- CONTROLADOR P.I.D. La acción de control proporcional, integral y derivativa se define por: u(t )

K P t

K P e(t )

0

T i

e(t ) dt

K P

d e(t ) dt

La función de transferencia será: U ( s ) E ( s )

1

K P 1

T d s

T i s

o también G c ( s )

K I

K P K D s

s

(1 K D1 s ) K P 2

K I 2 s

Tiene las ventajas del control PI y del control P.D. mostrados individualmente. - La constante proporcional de la parte P.D. se hace unitaria, ya que solo se necesitan tres parámetros en el controlador PI.D.; entonces: KP = KI2 + KD1 KI2 KD = KD1 KP2 KI = KI2 Si consideramos que la parte P.D. nomás opera, entonces: Se selecciona KD1 para lograr una parte de la estabilidad relativa deseada; en el dominio del tiempo mediante el sobre impulso máximo y en el dominio de la frecuencia con el margen de fase. - Seleccione los parámetros KI2 y KP2 para que el requisito de estabilidad relativa sea satisfecho. Comportamiento del Controlador para una entrada rampa unitaria.

e(t)

u(t)

PID

PD

P

t

t

CIRCUITOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES DE UN CONTROLADOR CONTROLADOR P.I.D.

Z1

Z2

R 2

C2

R4

C1 R 1

Ein(s)


+


R3 E (s)

+

E0(s)



Donde:

E ( s )

Z 2

E in( s )

Z 1

De igual modo: Z 1

R1 R1C 1 s

1

;

E s )

E 0 ( s )

R 4

E ( s )

R 3

R2 C 2 s

Z 2

1

C 2 s

1

R2 C 2 s

E in ( s ) Note que:

164

R1C 1 s

C 2 s

1

R1

Se tiene: E 0 ( s )

R4 ( R1C 1 R2 C 2 )

E i ( s )

R3C 2 R1

K P T i T d

1

1

R1C 1 R2 C 2

( R1C 1 R2 C 2 ) s

R1C 1 R2 C 2

s

R4 ( R1C 1 R2C 2 ) R3 R1C 2

R1C 1 R2 C 2 R1C 1 R2 C 2 R1C 1 R2 C 2

K I K D

R4 R3 R1C 2 R4 R2C 1 R3

Control de una planta :

R (s)

+

-

X

K P 1

1 T i s

T d s

Planta

Y (s)

4.- REGLAS DE SINTONIZACIÓN O AFINACIÓN PARA CONTROLADORES P.I.D. Cuando una planta tiene modelo matemático conocido, se puede diseñar analíticamente el controlador P.I.D. pero cuando no es conocido se puede recurrir a métodos experimentales. REGLAS DE ZIEGLER – NICHOLS: Se han diseñado dos métodos, ambos buscan lograr un sobre impulso máximo del 25%. PRIMER MÉTODO: Para una planta con una respuesta en forma de s como se muestra (no se puede aplicar a plantas cuyas respuestas de simulación dinámica no tienen la forma indicada). No incluye integradores.





165

u(t)

c(t)

1

t

t

u(t)

c(t)

La curva se puede caracterizar con dos parámetros: tiempo de atraso L const ante de tiempo Ψ.

Se puede aproximar a una F.T. de transferencia de 1° orden con atrazo de tiempo puro. C ( s )

K e L s

U ( s )

Ts 1

c( t )

De acuerdo al método Ziegler Gc ( s )

Recta Tgte al punto de Inflexión.

K

Nichols da : K P 1 1,2

T L

1

s 0,6 T

1

T d s

T i s 1 2 L s 1

0,5 L s

2

L

0

s

L

T

Kp T/L 0,9T/L 1,2 T7L

Ti

t

Regla de Ziegler-Nichols.

Tipo de controlador P P.I P.I.D

∞

L/0,3 2L

Td 0 0 0,5L

SEGUNDO MÉTODO: Se hace Ti = y Td = 0; la acción proporcional se incrementa lentamente hasta que ocurra un ciclado continuo (oscilaciones sostenidos) de la planta a una amplitud constante. El controlador esta en el limite de la estabilidad. El período de oscilación se conoce como Pu y la ganancia proporcional como Ku. Basados en estos resultados Ziegler y Nichols sugirieron la siguiente tabla: Tipo de controlador P P.I P.I.D

Kp 0,5 Ku 0,45 Ku 0,6 Ku

Ti ∞

½ Pu 0,5 Pu

Td 0 0 0,125 Pu

Entonces el controlador queda:





1

Gc ( s ) K P 1

T d s

T i s

0,075 K u P u

1

0,6 K u 1 4

s Gc ( s )

166

0,5 P u s

0,125 P u s

2

P u s

Ejemplo.- La expresión mostrada representa la respuesta dinámica de un misil teledirigido, empleado por la Marina Norteamericana en la guerra de ocupación de Irak. Este misil requiere ser controlado mediante un controlador PID y opcionalmente podría ser con un controlador P.I. Diseñar el controlador a partir de las reglas de sintonización de Ziegler and Nichols para la ganancia última. Compruebe si el sistema controlado es o no estable. Note que el sistema tiene la función de transferencia del lazo directo como se muestra y realimentación unitaria. 8) 2 ) ( s 4 )

( s

G ( s )

s ( s

Respuesta.El diagrama de bloques del sistema con realimentación unitaria tiene la forma siguiente:

+

R(s)

8) s ( s 2 s 4 ( s

Gc(s)

-

C( s )

Donde la función de transferencia del controlador es: Gc ( s )

K P 1

1 T i s

T d s

Para el método de la ganancia última hacemos Ti = y Td = 0; por lo tanto KP = KU Reemplazando en el diagrama de bloques, obtenemos la función de transferencia del sistema de lazo cerrado: C ( s ) R( s )

K U ( s s ( s

2) ( s

4)

8) K U ( s

8)

8 K U

0

La ecuación característica del sistema es: s 3

6 s 2

(8

K U ) s

El arreglo de Routh-Hurwitz del sistema: s

3

1

s

2

6

s1 s 0

24

8

K U 8 K U

K U

3 8 K U

0

Para la estabilidad: KU > 0 y 24 > KU, o también: 0 < KU < 24.

0

Para oscilaciones sostenidas:


KU = 24,




167

Con este valor se construye una ecuación auxiliar a partir de la segunda fila del arreglo y hacemos s = j obtener la frecuencia última. Entonces: 6

2 U

8( 24)

0 , Entonces:

U,

para

32 , de donde:

2 U

4 2 rad / s

U

Para el periodo último: 2

P U

2

1.11072 s.

4

U

El controlador PID tiene la siguiente función de transferencia: Gc ( s ) K P 1

1 T i s

T d s

0,6 K u 1

Gc ( s )

0,125 P u s

0,5 P u s

o;

2

4

s

1

P u

0,075 K u P u

s

Reemplazando valores: Gc ( s )

2

s 3.6013

2

s

Para comprobar si el sistema controlado es estable, aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz, cuando la nueva ecuación característica es: s 2 ( s

2)( s

4)

2( s

3.6013 )2

0

O también: s 4

8 s 3

28 .405 s 2

69 .153 s

77 .813

0

El arreglo: s 4

1

28.405 77.814

s 3

8

69.153

0

s 2

19.761 77.814

0

s1

37.651

0

0

s 0

77.814

0

0

Todos los coeficientes de la primera columna son del mismo signo, por lo tanto el sistema es ESTABLE. Ejemplo: Diseñar un controlador PID para una planta que tiene la F.T. mostrada:

R(s)

+ -

1

Gc(s)

s s 1 s 5

C( s )

Respuesta: Gc ( s ) 18 1



1 1,405 s

0,35124 s


Control

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