Control Cascada

Control en Cascada Antonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe November 8, 2002

1

Introducci´ on

Existen algunas ocasiones en que el desempe˜ no de un esquema de control feedback puede mejorarse notablemente mediante el empleo de un esquema de control denominado ”en cascada”. La idea básica detrás del empleo de controladores en cascada la podemos explicar mejor empleando el siguiente ejemplo. En algunas ocasiones se acostumbra controlar la composición de los productos principales de una columna de destilación ejerciendo control sobre la temperatura de operación de alg´ un plato seleccionado para este propósito; este esquema de control puede resultar conveniente sobre todo cuando no se dispone de analizadores de composición en l´ınea o bien se dispone de estos medidores pero el retardo asociado el proceso de medición resulta demasiado grande de tal forma que crea problemas de estabilidad y mal desempe˜ no del esquema de control. En la figura 1 se muestra el esquema de control indirecto de composición de los fondos de una columna de destilación controlando la temperatura de alg´ un plato mediante la manipulación del flujo de vapor de calentamiento alimentado al rehervidor. AT

Tm set-point

Gc

vapor

Figura 1: Control de la temperatura de un plato de una columna de destilación manipulando el flujo de vapor.

El anterior esquema de control feedback deber´ıa proporcionar control aceptable de la temperatura del plato seleccionado (suponiendo que el controlador esté sintonizado de manera adecuada). Esta situación es, normalmente, correcta excepto cuando ocurren variaciones importantes en la presión de suministro del vapor de calentamiento. Para

entender este comentario se debe recordar que la presión a la que se suministra el vapor determina el flujo de vapor que pasa a través de la válvula de control. El conflicto que surge es que, por un lado, el controlador Gc fija el flujo de vapor que se debe usar para mantener a la temperatura medida Tm en el valor deseado. Sin embargo, como se explicó antes, debido a variaciones en la presión de suministro de vapor, la cantidad de vapor que pasa a través de la válvula pueder ser diferente del flujo de vapor demandado por el controlador. Como resultado el flujo de vapor no será el deseado por lo que el controlador sólo se percatará de esta situación (flujo de vapor no igual al deseado) hasta que la temperatura del plato no sea igual al set-point. Nótese claramente que este problema surge debido a que la variable manipulada (flujo de vapor) está sujeta a una perturbación (variación de la presión de vapor). Este problema de control se podr´ıa resolver si se emplea la estructura de control mostrada en la figura 2. Tm

AT

set-point

controlador Maestro

Gc T

set-point

Gc F

controlador Esclavo

vapor

Figura 2: Control en cascada de la temperatura de un plato de una columna de destilación manipulando el flujo de vapor. Observese que hemos introducido un controlador adicional GCF . El propósito de este controlador adicional consiste en ejercer acción de control de manera practicamente inmediata cuando el flujo de vapor solicitado por el controlador GCT no es igual al que pasa a través de la válvula de control (medido un poco antes de que ingrese a la válvula). Es importante notar las siguientes diferencias entre las estructuras de control de tipo feedback convencional y cascada mostradas en las figuras 1 y 2, respectivamente. • El esquema de control feedback sólo emplea un controlador, mientras que en el esquema de control en cascada se emplean dos controladores. El controlador externo se llama controlador ”maestro” (o primario), el controlador interno se llama controlador ”esclavo” (o secundario). • En el esquema de control feedback el controlador fija el flujo de vapor deseado para alcanzar el set-point en la temperatura del plato. En el esquema de control en cascada la función del controlador GCT es otra: fijar el set-point del flujo de vapor de calentamiento a emplear. 2

• En el esquema de control feedback el set-point del controlador se fija externamente (normalmente lo fija el operador del proceso). En el esquema de control en cascada el set-point de la variable a controlador sigue siendo fijado de manera externa. Sin embargo, el set-point del controlador esclavo es fijado por el controlador maestro. Es decir, la salida o resultado que produce el controlador maestro es simplemente el set-point al que debe operar el controlador esclavo. En términos de diagramas de bloques, el esquema de control en cascada de la figura 2 se puede representar tal como se muestra en la figura 3. d

r

+

T -

+

Gc M

+ F

+

Gc E

-

+

u

Gp

+

y

Figura 3: Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la figura 2.

Otro ejemplo de una situación práctica donde se puede utilizar el concepto de control cascada ocurre durante el control de la composición del destilado en una columna de destilación. Supongamos, por el momento, que se dispone de analizadores de composición en l´ınea, de tal forma que la composición del destilado se controla manipulando el flujo del reflujo tal como se muestra en la figura 4.

reflujo

destilado

AC

GcC

Figura 4: Control de la composición del destilado manipulando el flujo del reflujo.

Este esquema de control deber´ıa operar de manera adecuada (suponiendo que tanto el tipo de controlador como la sintonización de este se realizen de manera apropiada) 3

excepto, probablemente, por una situación. Observese que cuando el controlador calcula el flujo del reflujo, que se debe usar para mantener la composición del destilado en el valor deseado, dicha acción de control no afecta de manera inmediata a la composición. Esto ocurre porque el reflujo debe descender a través de todos los platos hasta llegar al rehervidor. En el rehervidor parte del l´ıquido alimentado se evapora. El vapor asciende, llega al condensador y entonces se retira parte del producto como destilado. Todo este circuito puede implicar que el tiempo transcurrido entre el instante en que el controlador decide modificar el flujo del reflujo y el cambio en la composición del destilado pudiera ser grande. La implicación, en téminos del control de la composición, es que, debido al gran retardo inherente en este esquema de control, el desempe˜ no del control a lazo cerrado se puede ver seriamente afectado. El anterior problema puede ser reducido, en alguna proporción, si se emplea el esquema de control en cascada que se muestra en la figura 5.

destilado

reflujo

AC

AT

set-point

Gc

T

GcC

Figura 5: Esquema de control en cascada de la composición del destilado manipulando el flujo del reflujo.

La idea del anterior esquema de control consiste en explotar la relación que existe entre la temperatura y la composición del destilado. De esta manera, si el flujo del reflujo modifica la temperatura de alg´ un plato de la columna seleccionado para este propósito, dicha temperatura nos permitir´ıa conocer, de manera más rápida, el efecto que el reflujo tiene sobre la composición permitiendo, entonces, ejercer acciones de control menos lentas para corregir por desviaciones en la composición deseada. Este esquema de control supone que la relación entre temperatura y composición es u ńica lo cual, estrictamente hablando, sólo es cierta en el caso de mezclas binarias. El diagrama de bloques del anterior esquema de control se muestra en la figura 6. Nótese en este diagrama que G1 representa la función de transferencia entre el reflujo y la composición del destilado, mientras que G2 representa la función de transferencia entre el reflujo y la temperatura del plato. 4

deseada + C

C

GcC

set-point +

-

d T

reflujo

Gc

T

G2

+

+

T

medida

d

G1

+

+

medida

C

Figura 6: Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la composición del destilado manipulando el flujo del reflujo.

2

Tipos de sistemas de control en cascada

Hasta ahora se han propuesto dos tipos de esquemas de control en cascada: en serie y en paralelo; los dos tipos de control en cascada han sido discutidos en la sección anterior.

2.1

Serie.

En este esquema la variable manipulada u tiene un efecto tipo ”domino” sobre la variable a controlar y. El esquema de control se denomina en serie ya que u afecta a una variable intermedia yi la cual, a su vez, afecta a la variable que se desea controlar y tal como se muestra en la figura 7. u

y

G2

i

G1

y

Figura 7: Sistema en Serie: la variable manipulada afecta a una variable intermedia la cual entonces afecta a la variable a controlar. Un requisito importante para que la aplicación del esquema de control en cascada presente ventajas sobre un controlador feedback puro, es que la respuesta dinámica de la planta G2 sea más rápida que la correspondiente respuesta dinámica de la planta G1 . Si este requisito se cumple entonces es muy probable mejorar el desempe˜ no del esquema de control a lazo cerrado usando el concepto de control en cascada. Por esta razon se acostumbra emplear un controlador puramente proporcional para el control de la planta G2 ; este controlador se sintoniza de manera tal que la respuesta obtenida de la planta G2 sea lo más rápida posible, sujeta a las restricciones de estabilidad sobre los valores de la ganancia del controlador. Para el control de la planta G1 podr´ıa emplearse un controlador PI o PID. 5

Ejemplo 1 Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado del sistema representado por las siguientes funciones de transferencia: G1 =

s3

G2 =

s2

+

2.1s2

0.2 + 1.2s + 0.1

1 + 2s + 1

probar el esquema de control para una perturbación unitaria estática. Comparar el desempeño del sistema de control en cascada contra el que se obtendr´ıa si se usa control feedback puro del tipo PI y PID. Considerar que la acción de control está restringida al rango [−5, +5]. Como sabemos, la raiz negativa más cercana al eje imaginario (o más peque˜ na en valor absoluto) del polinomio del denominador es la que domina la respuesta dinámica de un sistema dado. En este caso la raiz más peque˜ na de G1 es 0.1 y de G2 es 1, ambas en valor absoluto. Por lo tanto, las constantes de tiempo τ aproximadas de cada planta son: τ1 = 2π/0.1 ≈ 63 τ2 = 2π/1.0 ≈ 6 entonces, como τ1 > τ2 , en principio el sistema dinámico en cuestión parece ser un buen candidato para que, a través del uso de control en cascada, se pueda obtener mejor desempe˜ no del esquema de control que usando sólo control feedback puro. En la figura 8 se muestra la respuesta del sistema dinámico a lazo abierto cuando la entrada de cada planta experimenta un cambio escalón. Step Response 2.5

2

G1

Amplitude

1.5

G2 1

0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

Figura 8: Respuesta a lazo abierto ante un cambio unitario de las plantas G1 y G2 . Para dise˜ nar el esquema de control en cascada empezaremos controlando primero nar primero el controlador esclavo. Como se dijo la planta G2 , lo cual implica dise˜ 6

antes, para el control de la planta G2 se empleará control proporcional. El margen de ganancia para G2 es ”infinito” lo cual implica que, aunque en principio se puede emplear cualquier valor de ganancia del controlador, sujeto sólo a la restricción de saturación de la válvula de control, dise˜ naremos este lazo de control para lograr un factor de amortiguamiento ξ igual a 0.4. Del diagrama del lugar de las raices (root locus) obtenemos que para ξ=0.4 se debe usar una ganancia del controlador kc igual a 5. En la figura 9 se muestra la conducta dinámica a lazo cerrado de la planta G2 . 1.2 1

Respuesta

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2

0

1

2

3

4

5 (a) Tiempo

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 (b) Tiempo

6

7

8

9

10

1 0

U

−1 −2 −3 −4 −5

Figura 9: Respuesta a lazo cerrado de la planta G2 ante una perturbación unitaria a la salida de la planta.

Para dise˜ nar ahora el lazo del controlador maestro debemos primero entender que la ”planta” que el controlador maestro ”ve” (G3 ) está dada por el producto de la función de transferencia del lazo del controlador esclavo a lazo cerrado Gcl E multiplicada por la función de transferencia de la planta asociada al lazo maestro G1 , donde: G3 = Gcl E G1 kc G2 Gcl E = 1 + kc G2 usando G3 como la función de transferencia del sistema a controlar, dise˜ nemos un controlador PI usando la técnica de sintonización en el dominio de la frecuencia, donde especificamos que la altura máxima del pico resonante de la gráfica de ganancia del sistema sea de +2 db. De acuerdo a esta especificación, la ganancia kc y tiempo integral τI del controlador maestro son 1.416 y 6.3, respectivamente. En la figura 10 se muestra la respuesta del sistema de control a lazo cerrado empleando el esquema de control en cascada. Para comparar el desempe˜ no del esquema de control en cascada se dise˜ naron controladores PI y PID sintonizados con el mismo criterio anterios, es decir, usando +2 db 7

0.12 0.1 Respuesta

0.08 0.06 0.04 0.02 0 −0.02

0

5

10

15

20 (a) Tiempo

25

30

35

40

0

5

10

15

20 (b) Tiempo

25

30

35

40

1 0

U

−1 −2 −3 −4 −5

Figura 10: Respuesta a lazo cerrado del sistema de control ante una perturbación unitaria a la salida de la planta empleando control en cascada.

como altura máxima de la curva de ganancia. Los parametros de sintonización determinados fueron: (a) PI → kc =1.0516, τI =10.9949 (b) PID → kc =1.6548, τI =10.9949, τD =2.1717. En la figura 11 se muestran los resultados a lazo cerrado para ambos controladores.

2.2

Paralelo.

Existen algunos tipos de sistemas dinámicos donde hay una relación entre la variable manipulada u y alguna otra variable intermedia yi . Sin embargo, a diferencia del esquema en serie, la variable yi no afecta directamente a la variable controlada y. La variable controlada se ve afectada directamente por la variable manipulada tal como se muestra en la figura 12. Por comodidad redibujamos el diagrama de bloques del esquema de control en cascada en paralelo como se muestra en la figura 13. Para dise˜ nar el esquema de control en cascada para sistemas en paralelo, procedemos como anteriormente se ha hecho para el correspondiente sistema de control de tipo cascada en serie. Es decir, primero dise˜ namos el controlador esclavo y, a continuación se dise˜ na el controlador maestro. Sin embargo, debe notarse que cuando se dise˜ na el controlador maestro la función de transferencia de la ”planta” a controlar G3 estará dada por: G3 = Gcl E G1 8

(2.1)

0.8 PI PID Respuesta

0.6

0.4

0.2

0

0

10

20

30 (a) Tiempo

40

50

60

0 PI PID

U

−0.5

−1

−1.5

0

10

20

30 (b) Tiempo

40

50

60

Figura 11: Respuesta a lazo cerrado del sistema de control ante una perturbación unitaria a la salida de la planta empleando control PI y PID. K2 (2.2) 1 + K2 G2 el diagrama de bloques de este sistema reducido o transformado se muestra en la figura 14. on Para derivar la ecuación 2.2 debemos primero notar que Gcl E representa la funci´ de transferencia entre la acción de control u y el set-point de la variable ”interna” yir . Entonces del diagrama de bloques de la figura 13: Gcl E =

u = K2 (yir − yi ) = K2 (yir − G2 u) = K2 yir − K2 G2 u

(2.3) (2.4) (2.5) (2.6)

de donde, u K2 = Gcl E = r yi 1 + K2 G2 Ejemplo 2 Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado del sistema representado por las siguientes funciones de transferencia: G1 =

e−5s s2 + 2s + 1 9

y

u

i

G2

y

G1

Figura 12: Sistema en Paralelo: la variable manipulada afecta a variable yi y a la variable a controlar y.

r

y

r

C

+

K1

yi +

-

d T

u

K2

G2

+

yi

+

d

G1

+

+

y

Figura 13: Sistema control en cascada en paralelo.

G2 =

s2

1 + 2s + 1

probar el esquema de control para una perturbación unitaria estática. Comparar el desempeño del sistema de control en cascada contra el que se obtendr´ıa si se usa control feedback puro del tipo PI y PID. Considerar que la acción de control está restringida al rango [−5, +5]. En este caso la planta G2 es la misma que la usada anteriormente en el ejemplo 1. Por lo tanto, el dise˜ no del controlador esclavo es el mismo que para dicho ejemplo (es decir, el controlador esclavo es proporcional con ganancia igual a 5). Para el dise˜ no del controlador maestro empleamos un controlador PI sintonizado usando las reglas de Ziegler-Nichols. En la figura 15 se muestra el control a lazo cerrado del sistema empleando el esquema de control en cascada. Los valores de los parámetros de sintonización fueron 0.4519 y 3.8721 para la ganancia y tiempo integral, respectivamente. Para comparar el desempe˜ no del esquema de control en cascada, en la figura 16 se muestra la respuesta a lazo cerrado del sistema en cuestión usando un controlador PI sintonizado usando las reglas de ZN. La ganancia y el tiempo integral del controlador fueron 0.6186 y 12.8277, respectivamente. 10

G3 y

r

C

+

d

r

K1

yi

G

cl

u

E

G1

+

+

y

-

Figura 14: Sistema control en cascada en paralelo reducido.

3

Control en cascada de un reactor continuo tanque agitado

El objetivo de esta sección es proporcionar un ejemplo de un sistema no-lineal donde la aplicación del esquema de control en cascada, tanto en serie como en paralelo, resulta factible. El ejemplo es un tanto largo, pero muestra las caracter´ısticas básicas o fundamentales que se deben considerar cuando se desea aplicar este tipo de esquemas de control a sistemas que presentan conducta no-lineal. En particular, el ejemplo descrito a continuación, presenta regiones de operación con multiplicidades de salida. A continuación se presenta la descripción del problema en cuestión. Supongamos que la reacción A → B se lleva a cabo en un reactor continuo tipo tanque agitado. El modelo matemático (con las suposiciones usuales de mezclado perfecto, volumen constante y parámetros y propiedades f´ısicas también constantes) que representa la conducta dinámica del proceso está dado por: Q o dCa = (C − Ca ) − ko e−E/RT Ca dt V a UA Q o dT −∆H (T − Tc ) + ko e−E/RT Ca = (T − T ) − dt V ρV Cp ρCp dTc UA Qc o (Tc − Tc ) + (T − Tc ) = dt Vc ρc Vc Cpc el modelo matemático representando por el anterior conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales puede reescribirse en forma adimensional empleando, para este propósito, las variables de escalamiento mostradas en la siguiente tabla. x1 = Ca /Cao qc = Qc /Qo o a β = (−∆H)C ρCp T o q = Q/Qo δ2 = ρCp /ρc Cpc xo3f = (Tcf − T f o)γ/Tf o

x2 = (T − T o )γ/T o γ = E/RT o δ = U A/ρCp Qo τ = (Qo /V )t xo1 = Cao /Caf o

x3 = (Tc − Tco )γ/Tco κ(x2 ) = exp 1+xx22 /γ φ = (V /Qo )ko e−γ δ1 = V /Vc xo2f = (Tf − T f o)γ/Tf o

usando las anteriores variables adimensionales el modelo original queda expresado de la 11

0 −0.2 Respuesta

−0.4 −0.6 −0.8 −1 −1.2 −1.4

0

5

10

15

20

25 (a) Tiempo

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25 (b) Tiempo

30

35

40

45

50

1 0

U

−1 −2 −3 −4 −5

Figura 15: Respuesta a lazo cerrado enmpleando un esquema de control en cascada en paralelo.

siguiente manera. dx1 = q(x1f − x1 ) − φx1 κ(x2 ) dt dx2 = q(x2f − x2 ) − δ(x2 − x3 ) + βφx1 κ(x2 ) dt dx3 = δ1 [qc (x3f − x3 ) + δδ2 (x2 − x3 )] dt los valores de todos los parámetros se muestran en la siguiente tabla. φ δ q δ2 x2f qc

0.11 0.5 1 1 0 0.4

β γ δ1 x1f x3f

7 20 10 1 -1

La variable manipulada es el flujo de agua de enfriamiento qc , la perturbación al proceso ocurre en la temperatura del agua de enfriamiento x3f y la temperatura del reactor x2 es la variable controlada. 12

1

Respuesta

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

30

40

50 (a) Tiempo

60

70

80

90

100

0

10

20

30

40

50 (b) Tiempo

60

70

80

90

100

0 −0.2

U

−0.4 −0.6 −0.8 −1

Figura 16: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema de control feedback de tipo PI.

1. Determinar el estado estacionario alrededor del cual opera el proceso. 2. Cuales son las funciones de transferencia que se requieren evaluar para la implementación lineal de los esquemas de control en serie y paralelo ? Determinar dichas funciones de transferencia. 3. Implementar un controlador PI , sintonizados usando las reglas de ZN, para el control en cascada en serie de la temperatura del reactor; probar el esquema de control para cambio en la temperatura del agua de enfriamiento x3f de -1 a -0.2. Comparar el desempeño del esquema de control en cascada contra el que se obtendr´ıa usando un controlador PI feedback puro. En este caso, la implementación del control a lazo cerrado es lineal. 4. De manera semejante al caso anterior, implementar un controladore PI, sintonizados usando las reglas de ZN, para el control en cascada en paralelo de la temperatura del reactor; probar el esquema de control para cambio en la temperatura del agua de enfriamiento x3f de -1 a -0.2. Comparar el desempeño del esquema de control en cascada contra el que se obtendr´ıa usando un controladores PI feedback puro. 1. Bajo las condiciones de operación mostradas el estado estacionario del proceso 13

es u ńico y está dado por: x1 = 0.1947, x2 = 4.4301, x3 = 2.0167 2. Para la implementación lineal del esquema de control en cascada en serie requerimos las siguientes funciones de transferencia: x3 x 2 , qc x3 mientras que para el correspondiente esquema en parelelo se requieren las siguientes funciones de transferencia: x2 x3 , qc qc en ambos casos, para probar cualquier esquema de control también requerimos las funciones de transferencia de la perturbaciones sobre los estados del sistema: x2 x3 , x3f x3f a continuación se muestran las funciones de transferencia. x3 (s) qc (s) x2 (s) x3 (s) x2 (s) qc (s) x2 (s) x3f (s) x3 (s) x3f (s) ∆

= = = = = =

−30.17s2 − 86.19s − 118.4 ∆ 15.08s + 77.46 30.17s2 + 86.19s + 118.4 −15.08s − 77.46 ∆ 2s + 10.27 ∆ 2 4s + 11.43s + 15.7 ∆ 3 s + 11.86s2 + 27.14s + 22.48

3. En la figura 17 se muestra el diagrama de bloques del esquema en serie del control cascada. Para el dise˜ no del esquema en serie del control en cascada, primero se sintonizó el controlador del lazo esclavo empleando la función de transferencia x3 (s)/qc (s). El controlador fue puramente proporcional con ganancia igual a -0.5; esta parte del esquema de control se probó a lazo cerrado usando como perturbación la función de transferencia x3 (s)/x3f (s) cuya entrada fue modificada de -1 hasta -0.2. A continuación se sintonizó el lazo maestro. Nótese que la planta usada para sintonizar el lazo maestro G3 está dada por: G3 = Gcl E G1 14

x x

x

r 2

+

3f

-

K1

-

x

3 x 3f

q

+

x

3f

x

+ c

x

3 q c

K2

+

x

2 3f

+ 3

x x

2

+

x

2

3

Figura 17: Diagrama de bloques del esquema en serie del control cascada.

donde K2 G2 1 + K2 G2 x3 (s) = qc (s) x2 (s) = x3 (s)

Gcl E = G2 G1

además K2 es la función de transferencia del controlador esclavo. Si el orden (grado del polinomio del denominador) de la planta G3 es grande (en este caso el grado del polinomio del denominador fue 8) , la determinación de la ganancia final Ku y del periodo final de oscilación Pu puede resultar complicado. Sin embargo, sin importar el orden de G3 , la mayor´ıa de las veces será posible aproximar G3 por una función de transferencia de primer orden con retardo G4 con la cual determinamos Ku y Pu . Para determinar G4 primero se realizó una simulación a lazo cerrado de G3 , después se registraron los datos de salida y el tiempo de simulación y finalmente su usó el programa ControlStation para realizar el ajuste. La planta resultante está dada por: G4 =

0.6192 e−0.1327s 0.5495s + 1

del diagrama de root-locus de G4 obtenemos Ku =14.9904 y Pu =0.3741; por lo tanto los parámetros de sintonización del controlador maestro son Kc =6.8138 y τI =0.3118. Para sintonizar los controladores PI y PID, suponiendo control feedback puro, la (s) se aproximó en téminos de una función de transferfunción de transferencia xqc2(s) encia de primer orden con retardo G5 dada por: G5 =

−3.58 e−0.2257s 0.9172s + 1 15

los valores de la ganancia final Ku y el periodo final de oscilación Pu fueron 2.5497 y 0.6352. Los valores de los parámetros de sintonización fueron Kc =4.4963 y τI =0.5293. En la figura 18 se muestra el resultado del esquema en serie del control cascada a lazo cerrado; para propósitos de comparación también se incluye la respuesta a lazo cerrado usando un controlador feedback PI. 0.2

Cascada PI

x

2

0.1

0

−0.1

−0.2

0

1

2

3

4

5 Tiempo

6

7

8

9

10

0.1 0

q

c

−0.1 −0.2 −0.3 −0.4

Cascada PI 0

1

2

3

4

5 Tiempo

6

7

8

9

10

Figura 18: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema en serie de control cascada.

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Control Cascada

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