Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos
Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos 1.1 Introducción Las mayorías de las técnicas de diseño en el campo de la transformada s, se desarrollaron con limitaciones en la tecnología que sólo era posible implementar con componentes neumáticos o redes eléctricas y amplificadores. En particular, muchas restricciones fueron impuestas para asegurar la implementación de las redes eléctricas de compensación D(s), como redes formadas por resistores y condensadores. Con la computadora digital, estas limitaciones en la implementación ya no son relevantes y pueden ignorarse por su puesto estas restricciones. Uno de los métodos el cual elimina estas restricciones es el diseño directo en plano z, o diseño utilizando la transformada z, para este método de diseño es necesario trabajar con la función de transferencia discretizada G(z) de la planta en cuestión. 1.2 Algoritmo PID discreto (Método Indirecto) Uno de los algoritmos de regulación más empleado es la versión discreta del controlador continuo PID. Como se conoce dicho regulador, en función del tiempo, está dado por la siguiente expresión: ex presión: t d e(t ) 1 + m(t ) = K c e(t ) + T d e dt + m(0 ) d (t ) T i 0
(1.1)
Donde: t m(t) e(t) Kc Td Ti
Tiempo. Variable manipulada (salida del controlador). Señal de error (entrada al controlador). Ganancia proporcional del controlador. Tiempo de acción derivativa del controlador. Tiempo de acción integral del controlador.
La implementación de la expresión correspondiente al controlador continuo en forma discreta, se realiza
aproximando
las
componentes:
derivativa
d e(t ) D(t ) = K c T d e dt
integral
t I (t ) = K c e(t ) dt de la forma siguiente: T i 0
D(k ) = K c T d I (k ) = K c
[e(k ) − e(k − 1)] T
T k −1 T i
(1.2)
e (i )
i =0
Donde: T e(k)
Intervalo de muestreo. Señal de error en el instante t = kT .
Una forma alternativa de la acción integral más ventajosa es la siguiente: I (k ) = K c
T T i
k
e(i )
i =1
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos Que en la forma recursiva se escribe: T I (k ) = I (k − 1) + K c e(k ) T i
(1.3)
La expresión discreta del controlador PID al sustituir las expresiones (1.2) y (1.3) nos queda:
T T ´ m(k ) = K c e(k ) + d [e (k ) − e (k − 1)] + I (k − 1) + e(k ) + m (0 ) T T i
(1.4)
Siendo: I ´ (k − 1) =
I (k − 1)
K c Este algoritmo se denomina de posición, por cuanto se obtiene como resultado el valor total de la variable manipulada, y requiere que sea informado al algoritmo y almacenado en la memoria de la máquina al valor inicial de esta [m(0 )] . A fin de evitar esto, se emplea el llamado algoritmo de velocidad, el cual calcula el cambio de la variable manipulada en lugar de su valor total. La expresión del algoritmo de velocidad se calcula fácilmente dado que: ∆m(k ) = m(k ) − m(k − 1) De (1.4) se tiene, para el instante de muestreo k − 1 , que: T m(k − 1) = K c e(k − 1) + d [e (k − 1) − e (k − 2 )] + I ´ (k − 1) + m(0 ) T Y al sustraer esta expresión de la (6.4) se tiene que la del algoritmo de velocidad es la siguiente:
T d
T
∆m(k ) = K c [e(k ) − e(k − 1)] +
[e(k ) − 2e(k − 1) + e(k − 2 )] +
T T i
e(k )
(1.5)
Una forma más ventajosa de la expresión anterior, agrupando términos semejantes, de acuerdo con el tiempo requerido por el algoritmo para su procesamiento es la siguiente: ∆m(k ) = A [e(k ) + B e (k − 1) + C e (k − 2 )] Otra forma aún más compacta en que también puede escribirse es: ∆m(k ) = α 0 e(k ) + α 1 e (k − 1) + α 2 e (k − 2 ) Como se puede observar ambas ecuaciones están planteadas como ecuaciones en diferencias. De forma general para implementar dichos reguladores en la computadora digital, estos se implementan como filtro digital, que es como función de transferencia de pulsos (función de transferencia en transformada z) en potencias de z −1 . Por lo tanto es recomendable llevar estas ecuaciones del regulador a función de transferencia del regulador discreto, como se muestra a continuación. Tenemos que: m(k ) − m (k − 1) = A[e (k ) + B e (k − 1) + C e (k − 2 )] , ya que ∆m(k ) = m(k ) − m(k − 1) Aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación, obtenemos: M ( z ) − z −1 M ( z ) = A E ( z ) + AB z −1 E ( z ) + AC z −2 E ( z ) Extrayendo factor común y agrupando términos,
(
)
(
M ( z ) 1 − z −1 = E ( z ) A + AB z −1 + AC z −2
)
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos De la cual obtenemos la función de transferencia del filtro digital (regulador), la cual sería: −1 −2 M ( z ) A + AB z + AC z
=
−1 E ( z ) 1 − z Que llevada a potencias positivas de z obtendríamos,
2 M ( z ) A z + AB z + AC
E ( z )
=
z ( z − 1)
1.2.1 Determinación de parámetros de ajuste Los coeficientes A, B y C se relacionan con los parámetros de ajuste del algoritmo: K c , T d y T i mediante las expresiones siguientes:
T d
T
A = K c 1 +
+
T T i
−1− 2
B = 1+
T d
T d
T d
T T
C =
+
1+
T T d
+
T
T T i T T i Para su procesamiento, el algoritmo requiere del almacenamiento en memoria de los coeficientes A, B y C, de los dos últimos valores del error y del valor deseado. Para la forma compacta los coeficientes α 0 , α 1 y α 2 quedarían: α 0
= A
α 1
= AB
α 2
= AC
Cuando el regulador es PI, la acción derivativa sería t d = 0 , por lo que el término C = 0 y también α 2
=0.
En el caso del regulador PD no posee acción integral, por lo tanto 1 T i = 0, lo mismo que T i = ∞ y poseería los tres parámetros ( A, B y C ). T La componente integral e(k ) de la expresión (6.5) se determina al aproximar el área bajo la curva T i del error (integral del error) en el intervalo (k − 1) T − kT por un rectángulo de lados e(k ) y T (Fig. 1.1). Un resultado más exacto se obtiene aproximando dicha área por un trapecio de altura T y bases e(k − 1) y e(k ) , representado en la misma figura, o sea: I (k ) =
T [e(k ) + e (k − 1)] T i
2
Fig. 1.1 Aproximaciones rectangular y trapezoidal de la integral del error
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos
Esta modificación implica que los coeficientes A, B y C serán ahora: T d T d −1− 2 T T T T A = K c 1 + d + B = C = T T T T T 2T i 1 + d + 1 + d + T 2T i T 2T i Otra modificación del algoritmo se introduce para evitar los valores muy elevados de la componente derivativa cuando se producen cambios en los valores deseados a partir de un estado de equilibrio (e = 0) . Obsérvese que en el instante de cambio la componente derivativa es: T D(k ) = K c ⋅ d ⋅ e (k ) T y e(k ) puede tomar un valor muy alto cuando se cambia el valor deseado (e(k ) = r (k ) − c (k )) . Esto se evita sustituyendo la señal de error por la variable controlada en la expresión de la componente derivativa, ya que el valor de esa variable no se modifica bruscamente entre dos intervalos de muestreo sucesivos. La componente derivativa está dada entonces por: D(k ) = K c ⋅ T d [− c (k ) + 2c (k − 1) − c (k − 2 )] Realizar la acción derivativa de esta forma implica el aumento de la utilización de memoria, por cuanto se requiere almacenar los dos últimos valores leídos de la va riable controlada c. Una alternativa a utilizar con el mismo propósito consiste en limitar los valores de cambio de la variable manipulada.
1.3 Algoritmos de transformada z (Métodos Directos) Los algoritmos denominados de transformada Z, generalmente, son más ventajosos que el anterior. Según el de control en lazo cerrado básico, en el dominio de la transformada s:
. Fig. 1.2 Diagrama de bloques de un lazo de control con contador discreto
Un diagrama equivalente de la figura anterior en el dominio de la transformada z, sería:
Fig. 1.3 Diagrama de bloques de un lazo de control con contador discreto
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos Donde: R(z) C(z) D(z) HG(z) E(z) M(z)
Transformada z de la entrada del sistema. Transformada z de la salida del sistema. Función de transferencia discreta del controlador (algoritmo). Función de transferencia discreta del sistema controlado con el retenedor. Transformada z de la señal de error. Transformada z de la variable manipulada.
La expresión general de un algoritmo de transformada z es la siguiente: a 0 + a1 z −1 + + a n z − p = E ( z ) 1 + b1 z −1 + + bn z −n
M ( z )
Donde: z ai , bi
Operador de la transformada z. Parámetros del ajuste del algoritmo.
Al transformar la expresión anterior al dominio del tiempo se tiene: m(k ) + b1m (k − 1) + + bn m (k − n ) = a0 e (k ) + a1e (k − 1) + + a p e (k − p ) y al despejar m(k ) se obtiene la expresión siguiente: m(k ) = −b1m(k − 1) − − bn m(k − n ) + a 0 e(k ) + a1e (k − 1) + + a p e (k − p ) Esta expresión corresponde al algoritmo de posición, y el de velocidad se obtiene sustituyendo e y m por ∆ e y ∆ m , respectivamente. Aplicando las reglas de transformación de bloques (reglas de Mason), al diagrama de bloques de la Fig. 1.2 se tiene la siguiente expresión en transformada z: C ( z ) = H G ( z ) D ( z )[ R ( z ) − C ( z )] (1.6) Siendo
1 − e − sT
HG ( z ) = Ζ [G zoh ( s ) G ( s )] = Ζ
s
G ( s ) H ( s )
Despejando D(z) de la expresión (6.6) se tiene: C ( z ) D( z ) =
1 HG( z )
⋅
R( z ) C ( z )
1−
(1.7)
R ( z )
Otra forma de escribirla sería, T ( z ) D( z ) = G( z ) ⋅ [1 − T ( z )] Donde, C ( z ) D( z ) ⋅ G ( z ) T ( z ) = = R( z ) 1 + D ( z ) ⋅ G ( z )
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos Esta expresión es la fundamental para la determinación de los parámetros de ajuste del algoritmo. A partir de ella es posible calcular dichos parámetros al fijar la relación requerida entre la variable controlada y el valor deseado C ( z ) R ( z ) para un estímulo dado. Es necesario destacar que, al fijar esta relación hay que tener en cuenta las características del sistema controlado. Si este introduce un retardo de N T unidades de tiempo no es posible que la variable controlada se modifique antes de que se transcurra al menos un tiempo igual a dicho retardo. Como la transformada z del mencionado término de retardo es z − N la relación C ( z ) R ( z ) tiene que incluir dicho retardo, de lo contrario la expresión de D(z) necesitaría valores futuros del error para calcular el valor de la variable manipulada en un instante dado, lo cual obviamente es imposible.
1.3.1 Algoritmo de Batimiento (Deadbeat) El algoritmo de batimiento o de respuesta mínima e s aquel que satisface los requisitos siguientes: a) El tiempo de establecimiento es finito. b) El tiempo de salida es mínimo. c) El error de estado estacionario es nulo. Una respuesta que satisface a los anteriores requisitos es aquella en la cual al aplicarse un paso escalón en el valor deseado, el error es nulo en todos los instantes de muestreo posteriores al primero, tal como se indica en la Fig. 1.4.
Fig. 1.4 Respuesta de un algoritmo de batimiento
En este caso, se tiene que la variable controlada es igual al valor deseado retardado en un intervalo de muestreo, o sea: C ( z ) −1 = T ( z ) = z R( z ) y al sustituir en la expresión (6.7) se tendría que el algoritmo estaría dado por: D( z ) =
z −1
⋅
1
=
1
⋅
1
1 − z −1 HG ( z ) z − 1 HG ( z )
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos 1.3.1.2 Deadbeat con retardo
Si el sistema controlado tiene un retardo puro dado L, para que el algoritmo sea realizable, la relación C ( z ) R ( z ) se modifica a: C ( s )
−( N +1)
= T ( z ) = z
y por tanto D( z ) =
− + z ( N 1)
⋅
1
=
1
⋅
1
R( s ) 1 − z −( N +1) HG ( z ) z ( N +1) − 1 HG ( z ) Donde N es el entero más próximo a la relación del retardo puro del sistema en fracción del período de muestreo ( L/T ).
1.3.2 Algoritmo de Dahlin El lograr que el error se anule en solo un intervalo de muestreo como se plantea en el algoritmo anterior, es una exigencia muy fuerte para la mayoría de los sistemas industriales. El algoritmo de Dahlin es una modificación del de batimiento en la cual la respuesta del sistema en lazo cerrado a un paso escalón es equivalente a la de un sistema de primer orden con retardo, o sea, la transformada de Laplace de la variable controlada está dada por: C ( s ) =
e
− Ls
⋅
1
sT ′ + 1 s
Donde el retardo L y la constante de tiempo T ′ , actúan de hecho como parámetros de ajuste. La transformada z correspondiente a la expresión anterior es: ′ 1 − e −T T z −( N +1) C ( z ) = ′ 1 − z −1 1 − e −T T z −1
(
(
)(
)
)
Donde N es el entero más próximo al número de intervalos de muestreo del retardo de tiempo L. Si R(z) es un paso escalón, su transformada z es: 1 R( z ) = 1 − z −1 La relación C ( z ) R ( z ) queda: C ( z ) R( z )
( 1 − e T T ) z ( N 1) = T ( z ) = −
′
−
+
′
1 − e −T T z −1
y al sustituir en la expresión del diseño expresión (1.7) se obtiene para el algoritmo: ′ 1 − e −T T z −( N +1) 1 D( z ) = ⋅ ( N 1) T T ′ −1 T T ′ 1 − e− z − 1 − e − z − + HG ( z )
(
)
Al realizar el diseño de un algoritmo atendiendo sólo a la forma deseada de la respuesta se produce, en general, una excesiva oscilación del elemento de acción final que lo afecta mecánicamente y reduce su vida útil. Esta operación excesiva del elemento de acción final se refleja en la existencia de un polo de la función transferencial del algoritmo en las proximidades del punto –1 del plano complejo z . Una forma de evitar la excesiva oscilación mencionada es mediante la eliminación en dicha función transferencial del referido polo y la modificación de la ganancia, para ello se sustituye z=1 en el término que aporta el polo a eliminar.
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos 1.3.3 Algoritmo de Kalman En este algoritmo se soluciona el problema de las excesivas oscilaciones del elemento de acción final, estableciendo en adición a la relación C ( z ) R ( z ) , la forma de variación de la variable manipulada m. Para el estudio del algoritmo de Kalman, se considera un ejemplo en el cual se plantea como requisito, que al aplicarse un estímulo escalón unitario, el error sea nulo a partir del segundo intervalo de muestreo después de la aplicación de este, o sea, c(n ) = 1 para n ≥ 2 . En el primer intervalo de muestreo la variable controlada toma un valor intermedio designado por c1 . Por otra parte, la variable manipulada tomará dos valores distintos desde el instante en que se estimule el sistema hasta que alcance el valor final de estado estacionario. La variable manipulada y controlada en las condiciones definidas se muestra gráficamente en la Fig. 6.5. De acuerdo a los requisitos planteados la transformada z de la variable controlada será: C ( z ) = c1 z −1 + z −2 + z −3 + Como R es un escalón unitario, la relación C ( z ) R ( z ) queda: C ( z ) −1 c1 z −1 + z − 2 + z −3 + = 1 − z R( z ) Al multiplicar y agrupar se tiene: C ( z ) −1 −2 = c1 z + (1 − c1 ) z R( z )
(
)(
)
Haciendo p1 = c1 y p2 = 1 − c1 la relación C ( z ) R ( z ) queda C ( z ) −1 −2 = p1 z + p2 z R( z ) Por lo que debe cumplirse que: p1 + p 2 = 1
Fig. 1.5 Características empleadas en el diseño del algoritmo de Kalman
Para la variable manipulada de acuerdo con los requisitos definidos se tiene: −1
M ( z ) = m0 + m1 z
−2
+ m f z
−3
+ m f z
+
-9-
(1.8)
(1.9)
(1.10)
Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos La relación M ( z ) R ( z ) será: M ( z ) −1 m0 + m1 z −1 + m f z −2 + = 1 − z R( z ) Que al procesar convenientemente se obtiene: M ( z ) −1 −2 = m0 + (m1 − m0 ) z + (m f − m1 ) z R( z )
(
)(
)
Similarmente, haciendo q 0 = m 0 ; q1 = m1 − m 0 y q 2 = m f − m1 la relación M ( z ) R ( z ) queda: M ( z ) −1 −2 (1.11) = q0 + q1 z + q1 z R( z ) Como el valor de la variable c en estado estacionario es 1, si K es la ganancia del sistema, entonces 1 y la anterior igualdad se convierte en: m f = K 1 (1.12) q 0 + q1 + q 2 = K Dividiendo miembro a miembro la Ec. (1.8) por Ec. (1.10) y si se designa por P(z) y Q(z) a los polinomios de la derecha de cada una de dicha expresiones, respectivamente se tiene: C ( z ) M ( z )
=
P ( z ) Q( z )
Por otra parte, la relación anterior coincide con la función transferencial del sistema controlado HG ( z ) , luego se puede decir que: P ( z ) HG ( z ) = (1.13) Q( z ) Como se puede observar los polinomios P(z) y Q(z) coinciden con los del numerador y del denominador de a función transferencial de pulsos. Es posible que para que se cumplan las igualdades Ec. (1.9) y Ec. (1.11) sea necesario multiplicar el numerador y el denominador de HG ( z ) por una constante. Si se hace la sustitución de HG ( z ) por la igualdad Ec. (1.13) y C ( z ) R ( z ) según la Ec. (1.8) en la ecuación de diseño Ec. (1.6), obtiene la función transferencial de pulsos del regulador: Q( z ) P ( z ) D( z ) = ⋅ P ( z ) 1 − P ( z ) Que al simplificarla finalmente queda: Q( z ) D( z ) = 1 − P ( z )
(1.14)
En el ejemplo, se ha supuesto que la variable manipulada toma dos valores antes de alcanzar el valor final, por tanto, la Ec. (1.13) se puede cumplir sólo si el sistema controlado es de segundo orden. En general, el número de dichos valores debe ser igual al del orden del sistema. Si la condición Ec. (1.10) no se cumple, debe de lograrse de todos modos, ya que es la que garantiza cero error en estado estable. Esto se puede logra dividiendo el numerador P(z) y denominador Q(z)
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Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos de la función de transferencia HG(z) por las suma de los coeficientes de P(z) en particular
(
p ), para este caso
p = p1 + p 2 . Y con los nuevos valores de P(z) y Q(z) sustituirlos en la Ec. (1.14).
Otra forma más general para los casos que
p ≠ 1sería sustituir los valores de P(z) y Q(z) sin hacer
ningún cambio en la siguiente ecuación, la cual es una derivación de la Ec. (1.14). Q( z ) D( z ) = p − P ( z )
(1.15)
1.3.3.1 Ajustes para cambios en la carga
Los ajustes anteriores se han determinado para cambios en la referencia o valor deseado, los cuales, en general, dan resultados satisfactorios para cambios en la carga. No obstante, si se requiere realizar el diseño para cambios en la carga se puede utilizar el método general empleado para cambios en la referencia, o sea: a) Determinar la función correspondiente al estímulo. b) Seleccionar la salida deseada para la función anterior. c) Calcular la expresión del controlador D(z). Para determinar la expresión correspondiente a D(z) considere el lazo de control de la figura 1.6 Del diagrama de la figura 1.6 se tiene que la transformada z de la variable controlada es: C ( z ) = NG ( z ) + M ( z ) HG ( z ) Sustituyendo la transformada z de la variable manipulada por: M ( z ) = [ R ( z ) − C ( z )] D ( z ) Se tiene: C ( z ) = NG ( z ) + [ R ( z ) − C ( z )] D ( z ) HG ( z ) Al despejar C ( z ) se obtiene: NG ( z ) C ( z ) = 1 + D( z ) HG ( z ) De donde se puede despejar D(z) y se obtiene la siguiente expresión para el regulador discreto en transformada z: NG ( z ) − C ( z ) D( z ) = C ( z ) HG ( z )
Fig. 1.6 Lazo de control discreto para cambios en la variable de cargas
Al aplicarse el método de diseño descrito hay que tener en cuenta que si bien los cambios en la referencia se producen sólo en los instantes de muestreo, los de la variable de carga no, ya que son externos al sistema de control. De acuerdo con esto, al calcular el algoritmo de regulación debe suponerse que la variable de carga cambia de valor L unidades de tiempo antes del instante de
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