Control Feedforward (Prealimentaci´on) on) Antonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe October 8, 2007
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Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
El efecto de las pertubaciones sobre el proceso a controlar, consiste en alejar a este del punto de operaci´on on desead deseado. o. En el esquem esquemaa de control control feedbac feedback k tradic tradicion ional, al, el controlador corrige por desviaciones en el punto de operaci´on on solamente hasta que la perturbaci´on on ha afectado a la operaci´on on del proceso. Una idea que se ha explotado para mejorar el desempe˜no no de esquemas de control, consiste en la posibilidad de medir las perturbaciones que ingresan al proceso, de manera tal que el controlador actue sobre la planta a´un un antes de que tales perturbaciones alejen al proceso del set-point deseado. Para lograr este prop´osito, osito, la perturbaci´on on medida d se alimenta a un controlador denominado feedforward K f f (o de prealimentaci´on) on) el cual genera una acci´on on de control u para tratar de mantener a la variable controlada y cerca del set-point. El diagrama de bloques del esquema esquema de control control feedforw feedforward ard se muestra muestra en la figura 1. En esta figura on de transferencia del proceso a controlar y Gd es la funci´on on de G p representa la funci´on transferencia de la perturbaci´on. on. d
Gd
K
u ff
+ Gp
+
y
Figura 1: Esquema de control de tipo Feedforward.
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Diseno n ˜ o del controlador Feedforward
Como se muestra en la figura 1, el controlador feedforward requiere el dise˜no del controlador K f f . A pesar de que, en principio, principio, uno podr´ podr´ıa utilizar utilizar diversas diversas formas formas para representar al controlador K f f , la funci´on on de transferencia de K f f normalmente se obtiene de la correspodiente funci´on on de transferencia entre y y d. Del Del diagr diagram amaa de bloques de la figura 1: y = G p u + Gdd
= G p K f f d + Gd d
(2.1) (2.2)
recordemos que el prop´osito del controlador feedforward consiste en, idealmente, mantener al proceso a controlar siempre en el valor de operaci´on deseado. Para lograr este objetivo es necesario que y = 0 (es decir, el proceso nunca se desvia del set-point). Entonces la ecuaci´on 2.2 se puede reescribir como, 0 = G p K f f d + Gd d
(2.3)
de esta ecuaci´on podemos obtener la funci´on de transferencia de K f f que lograr´ıa, idealmente, rechazar perfectamente el efecto de la perturbaci´on d sobre la respuesta del proceso. K f f = −
Gd G p
(2.4)
la estructura de K f f puede hacerse m´as clara si suponemos que las funciones de transferencia de la planta G p y de la perturbaci´on Gd son de primer orden con retardo: k p e−θp s τ p s + 1 kd = e−θd s τ d s + 1
G p =
(2.5)
Gd
(2.6)
en t´erminos de estas funciones de transferencia, el controlador feedforward K f f estar´ıa dado por: kd τ p s + 1 (θp −θd )s (2.7) K f f = e k p τ d s + 1 −
como observamos de esta ecuaci´on, el controlador feedforward ideal o perfecto no es otra cosa que un controlador proporcional al cual se la ha adicionado un compensador lead-lag.
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Desventajas del control Feedforward
Desde luego, como cualquier otro esquema de control, el controlador feedforward no est´a exento de algunas desventajas. Entre estas podemos mencionar el efecto que los errores de modelamiento tienen sobre el desempe˜no del controlador. Estos errores de modelamiento surgen debido a que, para dise˜nar K f f , requerimos de los modelos matem´ aticos, o funciones de transferencia, del modelo del proceso a controlar G p y de la perturbaci´on Gd . Existen al menos dos situaciones concretas cuando el controlador feedforward no debe ser usado. •
Cuando el orden del lag de la planta G p es mayor que el correspondiente orden del lag de Gd. Para ilustrar este punto supongamos que la funci´on de transferencia de G p es de segundo orden sin retardo: 1 G p = 2 s + 2s + 1 2
y que la funci´on de transferencia de Gd es de primer orden sin retardo: Gd =
1 s+1
en este caso K F estar´a dado por: s2 + 2 s + 1 s+1
K f f =
la imposibilidad de usar esta funci´on de transferencia para representar a K f f , radica en el hecho de dicha funci´on de transferencia es f´ısicamente irrealizable o no implementable debido a que el grado (2) del polinomio del numerador de K f f es mayor que el grado (1) del polinomio del denominador. •
El retardo de la planta θ p es mayor que el retardo asociado a la perturbaci´on θd . Supongamos que las funciones de transferencia de la planta y perturbaci´ on, respectivamente, est´an dadas por: G p =
1 e−2s 2s + 1
Gd =
1 e−s 10s + 1
y
en este caso, la funci´on de transferencia del controlador K f f estar´ıa dada por: K f f =
2s + 1 s e 10s + 1
n´otese que el exponente del t´ ermino exponencial es positivo, lo cual implica el empleo de un elemento predictor. De nueva cuenta, la expresi´on anterior de K f f no podr´ıa ser usada como controlador, debido a la imposibilidad de implementarlo f´ısicamente. Otro problema que se puede presentar con el uso de controladores feedforward se refiere a la posibilidad de que la funci´on de transferencia de K f f sea inestable. Para entender la raz´on por la que podr´ıa surgir este problema, reescribamos la ecuaci´ on 2.4 de la siguiente forma: K f f = −
= N d Dd N p Dp
−
N d D p N p Dd
(3.8)
donde N d y Dd representan a los polinomios en el numerador y denominador de la funci´on de transferencia de la perturbaci´on Gd . De manera semejante, N p y D p representan a los polinomios en el numerador y denominador de la funci´on de transferencia de la planta G p . N´otese que el polinomio del numerador de la planta N p se encuentra en el denominador de K f f . Si sucede que la planta es de fase no-m´ınima (es decir, 3
posee un cero positivo), entonces dicho cero positivo se transformar´a en un polo positivo de K f f . Esto implica que K f f es inestable. Para ilustrar este punto, considere las siguientes funciones de transferencia de la planta y perturbaci´on, respectivamente: G p =
s−1 s+1
Gd =
1 2s + 1
entonces, K f f = −
(s + 1) (s 1)(2s + 1) −
como podemos observar, el controlador es inestable con un polo positivo en s = 1. A´un cuando en teor´ıa la funci´ on de transferencia de K f f tambi´en podr´ıa ser inestable debido a un polo inestable en Gd, dif´ıcilmente uno considerar´ıa seriamente el empleo de s´olo control feedforward si la perturbaci´on desestabliza al proceso. Esta observaci´on resulta importante ya que el esquema de control feedforward no cambia las caracter´ısticas de estabilidad del proceso. Es decir, si la planta G p es estable a lazo abierto, cuando se aplique control feedforward permanecer´a estable. Si, por el contrario, la planta G p es inestable, la aplicaci´on de control feedforward puro jam´as podr´a estabilizar la planta. Esto se debe a que, como se muestra en la figura 1, el esquema de control feedforward no utiliza informaci´on de la variable controlada. Es decir, no existe retroalimentaci´on hacia el controlador del valor de dicha variable. Como consecuencia del punto discutido anteriormente (no retroalimentaci´on del valor de las variables controladas), el control feedforward no puede tomar ninguna acci´on correctiva cuando ingresan al proceso perturbaciones no medidas. La misma situaci´on se presenta si el modelo del proceso G p y la perturbaci´on Gd contienen errores de modelamiento. El esquema de control feedforward es incapaz de corregir por desviaciones en el punto de operaci´on deseado en la presencia de errores de modelamiento. Debido a que estas dos u ´ ltimas desventajas del control feedforward constituyen, precisamente, las fortalezas del control feedback (rechazo de perturbaciones no medidas y correcci´on por errores de modelamiento), en algunas aplicaciones pr´acticas se acostumbra usar en forma combinada los esquemas de control feedback y feedforward. De esta forma se tendr´an acumuladas las ventajas de cada tipo de esquema de control. Este punto ser´a abordado m´ as adelante.
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Ejemplos de control feedforward
En esta secci´on presentamos dos ejemplos que muestran la forma como el uso del control feedforward coadyuva al rechazo de perturbaciones cuando estas pueden ser medidas. Ejemplo 1 Dada la siguiente planta: G p =
3 0.5s + 1 4
usar el esquema de control feedforward puro para rechazar la perturbaci´on unitaria (d cambia de 0 a 1) representada por la siguiente funci´on de transferencia: Gd =
De la ecuaci´on 2.4, K f f = −
5 2s + 1
(2.5s + 5) (6s + 3)
en la Figura 2 se muestra la respuesta de la planta cuando la perturbaci´on d cambia de 0 a 1. Tambi´ en se muestra la conducta din´amica de la variable manipulada u. Como puede notarse de esta figura, el rechazo de la perturbaci´on es perfecto. La raz´on de este rechazo perfecto puede entenderse facilmente examinando la Figura 2c. En esta Figura se grafican las respuestas de la funci´on de transferencia de la perturbaci´on Gd y de la planta G p justo antes de que ambas entren al sumador para asi obtener la respuesta global de la planta y. El control es perfecto debido a que los dos efectos anteriores se cancelan mutuamente. Ejemplo 2 Considere las mismas plantas del ejemplo 1 pero modificadas para incluir retardos debido a mediciones: G p Gd
3e−2s = 0.5s + 1 5e−3s = 2s + 1
emplear un controlador feedforward para el control de este sistema cuando la perrturbaci´on d cambia de 0 a 1. De nueva cuenta, de la ecuaci´on 2.4, K f f = −
(2.5s + 5) −s e (6s + 3)
en la Figura 3 se muestran la respuesta din´amica de la planta, de la acci´on de control y, de nueva cuenta, la respuesta din´amica de la perturbaci´on y de la planta antes de que ingresen al sumador.
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Control Feedback y Feedforward simult´ aneos
Anteriormente mencionamos que los esquemas de control feedback y feedforward poseen, por separado, ventajas importantes. Entre estas podemos mencionar las siguientes. •
•
El control feedforward tiene la capacidad de eliminar el efecto de perturbaciones medidas sobre la respuesta de la planta. El control feedback puede corregir el efecto de pertubaciones no medidas sobre la respuesta de la planta a lazo cerrado. 5
−15
x 10 2 y
0 0
1
2
3
4
5 (a) Tiempo
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5 (b) Tiempo
6
7
8
9
10
0 −0.5 u
−1
−1.5 −2 0 5
y
Perturbacion Planta
0
−5 0
1
2
3
4
5 (c) Tiempo
6
7
8
9
10
Figura 2: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de la acci´ on de control y (c) comparaci´ on entre la respuesta de la perturbaci´on y la planta antes de que se sumen ambas se˜ nales.
•
El controlador feedback puede tambi´ en corregir el efecto de errores de modelamiento sobre el sistema de control a lazo cerrado.
resulta entonces razonable, como una forma de obtener las ventajas de ambos esquemas de control, el uso combinado de los esquemas de control feedback y feedforward. En la Figura 4 se muestra el diagrama de bloques del sistema combinado de control feedback m´as control feedforward. El siguiente ejemplo ilustra las ventajas de dicho esquema combinado comparado al uso de s´olo el esquema de control feedback. Ejemplo 3 Emplear un esquema combinado de control feedback y feedforward para el 6
−4
15
x 10
10 y
5 0
−5 0
1
2
3
4
5 (a) Tiempo
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5 (b) Tiempo
6
7
8
9
10
0 −0.5 u
−1
−1.5 −2 0 5
y
Perturbacion Planta
0
−5 0
1
2
3
4
5 (c) Tiempo
6
7
8
9
10
Figura 3: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de la acci´ on de control y (c) comparaci´ on entre la respuesta de la perturbaci´on y la planta antes de que se sumen ambas se˜ nales.
control del sistema descrito en el ejemplo 2: G p Gd1
3e−2s = 0.5s + 1 5e−3s = 2s + 1
donde Gd1 representa el efecto de la pertubaci´on d1 que, suponemos, se mide. Supongamos tambi´en que existe otra perturbaci´on Gd2 que afecta a la respuesta de la planta y que no 7
d K + + -
K fb
+
Gd
ff +
u
+
Gp
y
Figura 4: Esquema de control combinado de tipo Feedforward m´as Feedback.
se mide dada por: Gd2
4e−5s = 5s + 1
a) Usando control feedforward, determinar el desempe˜no del esquema de control cuando ambas perturbaciones medida y no medida ( Gd1 y Gd2 , respectivamente) ingresan al proceso. b) Emplear un esquema combinado de control feedforward y feedback para el control del sistema descrito antes. Emplear las reglas de ZN para sintonizar el controlador feedback. a) En la Figura 5 se presenta el desempe˜no del esquema de control feedforward cuando ambas perturbaciones Gd1 y Gd2 ingresan al proceso. Como vimos antes en el ejemplo 2, el esquema de control feedforward toma acci´on correctiva cuando la perturbaci´on se mide. Si alguna perturbaci´on no medida ingresa al proceso, el sistema de control feedforward no tiene forma de ejercer alguna acci´on correctiva, debido a que nunca se entera del ingreso de dicha perturbaci´on. b) Los par´ametros de ZN para la sintonizaci´ on del controlador PI feedback son amicas kc =0.2273 y τ I =2.3426. En la Figura 6 se muestran las respuestas din´ de la variable controlada y las obtenidas por el controlador feedforward y feedback; tambi´en se muestra la respuesta total del esquema de control obtenida como la suma de ambos controladores. Como podemos notar, el desempe˜ no del esquema combinado de control feedback y forfeedward es claramente superior al del control feedforward.
8
4 2 y
0 −2
0
2
4
6
8
10 (a) Tiempo
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 (b) Tiempo
12
14
16
18
20
0 −0.5 u
−1
−1.5 −2 5
y
0 Perturbacion medida Planta Perturbacion no medida
−5
0
2
4
6
8
10 (c) Tiempo
12
14
16
18
20
Figura 5: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de la acci´ on de control y (c) comparaci´ on entre las respuestas de la perturbaci´on medida, la planta y la perturbaci´on no medida antes de que se sumen las se˜nales.
9
1.5
1
y
0.5
0
−0.5
0
5
10
15
20
25 (a) Tiempo
30
35
40
45
50
0.5 Feedforward Feedback Combinado
0 −0.5 −1 u
−1.5 −2 −2.5 −3
0
5
10
15
20
25 (b) Tiempo
30
35
40
45
50
Figura 6: (a) Respuesta de la variable manipulada, (b) de las acciones de control de los controladores feedforward (–),feedback(-.) y acci´on de control obtenida por ambos (-).
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