MODELADO DE CONTROL PID PARA LA VARIABLE FLUJO
Andrade Javier
[email protected] Escuela Politécnica del Ejército Tapia Fausto
[email protected] Escuela Politécnica del Ejército
Abstract
Resumen Los transmisores de presión diferencial, en conjunto con una platina de orificio como elemento primario de flujo, son instrumentos muy comunes para registrar flujo, la dificultad del sistema es que no tiene linealidad, obligando a los controladores incluir subrutinas para este tipo de señales. En este trabajo se linealiza el flujo en función de presión diferencial y un lazo PID para un sistema de bombeo hidráulico regulado por un variador AC. Como resultado de la práctica, se registró curvas del sistema en función del tiempo, para control P, PI y PID, frente a cambios de set y perturbaciones de entrada. Palabras claves: Escuela Politécnica del Ejército sede Latacunga ESPEL, Contol PID, Linealización de flujo, Control de bombeo hidráulico.
1 INTRODUCCION El equipo para el estudio de la variable flujo, cuenta con un sistema de bombeo instrumentado, que permite manipular el caudal mediante la variación de la velocidad del motor de la bomba, utilizando un variador AC, comandado por una entrada 4-20mA, en línea se dispone de un elemento primario de medición de flujo acoplado hidráulicamente a un manifold de un transmisor de presión diferencial, según el diagrama de tubería e instrumentación P&ID adjunto en el anexo B.
2 OBJETIVO Desarrollar un modelo de linealización y control PID para flujo utilizando una señal de presión diferencia y poder ser aplicado por un controlador sencillo.
3 PROCEDIMIENTO Para poner en marcha el control sobre el equipo es preciso documentar el proceso, las funciones involucradas y los modelos de control que se van a configurar en el controlador. Primero se realiza el diagrama de tubería e instrumentación P&ID existente, luego se analiza la función, para nuestro caso es flujo en función de presión diferencial, luego se configura el sistema de control en el controlador, paralelamente se calibra el instrumento de medición de presión diferencial, se configura el variador de velocidad, finalmente se establece la comunicación entre los dispositivos.
4 DIAGRAMA DE TUBERÍA E INSTRUMENTACIÓN P&ID (DTI) En la siguiente figura se muestra la disposición de los equipos, tanque, bomba, válvulas e instrumentos, su función es un sistema sencillo de bombeo hidráulico donde la bomba succiona agua del tanque de almacenamiento, a la descarga de la bomba se tiene un elemento primario de flujo que permite conectar un transmisor de presión diferencial y un rotámetro en línea, para finalmente retornar al tanque.
5 ANALISIS FUNCIONAL DEL PROCESO El proceso de flujo o caudal es medido de manera indirecta por presión diferencial y la manipulación de la variable es mediante la modificación de la velocidad del rotor lo que se asumió como relación directamente proporcional. En la siguiente figura se aprecia la curva del sistema en azul y los puntos de operación a tres velocidades diferentes, se aprecia la relación proporcional entre la velocidad y el flujo sin presentar problemas si se asume una relación lineal.
Figura 1 - Curvas características de bomba centrífugas y de sistemas de bombeo
Por otro lado, la medida de presión diferencial no es lineal con respecto al flujo, tiene una relación cuadrática de la siguiente forma:
F 2 = k ⋅ ∆P Ecuación 1
Para ello existen dos maneras de linealizar la función, la primera y la más directa es extrayendo la raíz cuadrada a cada lado de la ecuación, pero esto implica que el controlador tenga en sus funciones la subrutina para sacar una raíz, la ecuación quedaría de la siguiente manera:
F = k ' ⋅ ∆P Ecuación 2
La segunda manera es una linealización de la función en cuestión, utilizando las dos primeras expresiones de la serie de Taylor alrededor de un valor inicial, se expresa de la siguiente manera: _ _ df _ f [x(t )] = f x + x ⋅ x(t ) − x dx
Ecuación 3
Para el caso de este estudio se tiene la ecuación del sistema: _
∆ P (F ) = k 0 ⋅ F02 Ecuación 4
Aplicando series de Taylor a la Ecuación del sistema se tiene:
_ d ∆ P _ ⋅ F − F_ ∆P(F ) = ∆ P + 0 dF Ecuación 5
Reemplazando la Ecuación 4 en la Ecuación 5 se obtiene:
_ d∆ P ⋅ F − F_ ∆P (F ) = k 0 ⋅ F02 + 0 dF Ecuación 6
donde:
_ d∆ P = 2⋅k ⋅ F 0 0 dF Ecuación 7
Finalmente se obtiene la expresión linealizada reemplazando la Ecuación 7 en la Ecuación 6: _ ∆P (F ) = k 0 ⋅ F02 + 2 ⋅ k 0 ⋅ F0 ⋅ F − F 0
Ecuación 8
Despejando F se obtiene
F=
∆P(F ) F0 + 2 ⋅ k 0 ⋅ F0 2
Ecuación 9
Nótese que la expresión linealizada requiere de un valor inicial F0 que puede ser la misma lectura de presión diferencial, éste método es útil cuando se requiere trabajar con microcontroladores que no tengan una subrutina de raíz cuadrada. Donde:
F:
Flujo actual
Fo :
Flujo inicial
P:
Presión
ko :
Constante
6 CALIBRACION DEL INSTRUMENTO La salida analógica del instrumento se la ajustó según el rango de lectura que permite el rotámetro en línea, los datos de los instrumentos se describen a continuación: Rotámetro Campo: 0 a 8 GPM Alcance: 8 GPM Resolución: 0.2 GPM Precisión: 2.5% Transmisor de Presión Diferencial Salida: 4-20mA
Alimentación: 15 a 60Vdc Para la calibración se tomaron valores de 1.5GPM (4mA) y 7.75GPM (20mA), como se mencionó antes el instrumento de presión diferencial no presenta linealidad con respecto a la variable flujo por lo cual la linealización se lo realizó dentro del programa del PLC, extrayendo la raíz cuadrada del diferencial de presión.
7 CONFIGURACION DE LAZO PID Para la configuración del control PID es preciso definir la función a ser implementada:
M (t ) = K P ⋅ e + K I ∫ edt + M INICIAL + K D ⋅ t
0
de dt
Ecuación 10
Resolviendo la ecuación 9 para configurar el sistema de control en el PLC quedaría de la siguiente manera:
M (t ) = K P ⋅ ( SPn − PV n ) + K P ⋅
TS ⋅ ( SPn − PV n ) + M TI Ecuación 11
Donde:
M (t ) : Salida del controlador al actuador SP :
Set Point
PV : Variable de Proceso
KP :
Ganancia Proporcional
TS :
Tiempo de muestreo
TI :
Tiempo integral
TD :
Tiempo diferencial
M X : Valor Inicial de integrador
X
+ KP ⋅
TD ⋅ ( PV n −1 − PV n ) TS
8 SINTONIZACION DEL PROCESO Para la sintonización se ha utilizado el método Ziegler-Nichols de ganancia límite, que recomienda iniciar con un ajuste proporcional, para ello es preciso encontrar la constante proporcional crítica ajustando el tiempo integral en +INF (un valor muy grande), el tiempo derivativo en cero e incrementar la ganancia proporcional hasta que el sistema se torne totalmente oscilatorio con período y amplitud constante, se procede a obtener el período de oscilación y se calculan las ganancias y los tiempos según la siguiente tabla para un criterio de estabilidad de área mínima:
CONTROL
GANANCIA PROPORCIONAL
P PI PID
Kp = 0.50 Kpo Kp = 0.45 Kpo Kp = 0.60 Kpo
TIEMPO INTEGRAL (MINUTOS) -----Ti = T / 1.2 Ti = T / 2
TIEMPO DERIVATIVO (MINUTOS) ----------Td = T / 8
Tabla 1 – Sintonización del PID
9 RESULTADOS Una vez configurado todo el sistema de comunicación, calibración y puesta en marcha del equipo, se procedió a tomar las curvas de tendencia que el sistema muestra, para ello se inició con hallar la constante proporcional crítica, luego el período de oscilación para finalmente poner en sintonía el sistema y someterlo a perturbaciones y a cambios de referencia. Se obtuvo del proceso de búsqueda de la constante crítica y el período de oscilación los siguientes resultados: Kpo = 4.0 T = 4.4 seg En la siguiente figura se muestra el sistema totalmente oscilatorio:
Figura 2 - Sistema ajustado a la ganancia crítica Se aprecia la oscilación constante del sistema, nótese que la consigna se encuentra en 60% y la variable de proceso tiene una oscilación sostenida.
Realizando los cálculos correspondientes para el criterio de estabilidad de área mínima se obtuvieron los valores indicados en la tabla siguiente:
CONTROL
GANANCIA PROPORCIONAL
P PI PID
2.0 1.8 2.4
TIEMPO INTEGRAL (MINUTOS) -----0.0611 0.03667
TIEMPO DERIVATIVO (MINUTOS) ----------0.009167
Tabla 2 – Resultados de la sintonización
Se configuró el control proporcional, luego el control PI y el control PID, se sometió permanentemente a un cambio escalón y luego a rampa, finalmente se procedió a realizar una perturbación cambiando de posición la válvula de descarga.
Figura 3 - Control Proporcional (P) sometido a cambio de consigna tipo escalón
La consigna cambia de 30% a 60% en menos de un segundo, nótese la oscilación de la variable de proceso.
Figura 4 - Control proporcional integral (PI) sometido a cambio de consigna tipo escalón
Frente al cambio escalón la consigna oscila menos que en el caso anterior donde se aplicó únicamente el control proporcional.
Figura 5 - Control proporcional integral derivativo (PID) sometido a cambio de consigna tipo escalón
La misma perturbación anterior pero con escalón descendente y escalón ascendente, nótese que la variable de proceso demora más que los casos anteriores en alcanzar la consigna pero es menos oscilatoria.
Figura 6 - Control proporcional integral derivativo (PID) sometido a perturbación externa, cierre parcial de válvula de descarga.
La perturbación ocasiona que el sistema alcance un nuevo equilibrio y el sistema de control ajusta la salida para mantener la variable de proceso sobre la consigna.
Figura 7 - Control proporcional integral derivativo (PID) sometido a cambio de consigna tipo rampa
Nótese que la variable de proceso sigue la curva de consigna en escalones, esto es característico en el modelado PID, puesto que requiere de períodos de tiempo para ser resuelto.
Figura 8 - Control proporcional integral derivativo (PID) sometido a cambio de consigna muy variable en el tiempo.
Nótese el desfase en el tiempo entre la consigna y la variable de proceso.
10 CONCLUSIONES •
La implementación de un control continuo para un proceso de flujo conlleva la respectiva selección del elemento primario y su transmisor que para el caso se trata de una placa orifico y un transmisor de presión diferencial que exigen calibración de acuerdo a los valores de la variable a ser medida. Por otra parte se selecciona el elemento de control final siendo una variador de velocidad para una bomba de agua, la cual permite variar en forma continua el caudal de acuerdo a una consigna dada.
•
La linealización permite incorporar en un microcontrolador este tipo de control, utilizando las funciones elementales de suma y resta, con ésta herramienta de cálculo se pueden producir transmisores de presión diferencial para flujo que generen señales lineales en función de flujo con la incorporación de un micro controlador que realice la linealización
•
El método de sintonización de lazos de control de Ziegler-Nichols de ganancia límite permite un procedimiento sencillo para una optimización del lazo de control cuando no se tiene la respectiva modelación matemática del sistema a sintonizarse. En este caso en particular se obtuvo muy buenos resultados con los datos obtenidos de la sintonización del lazo para todos los tipos de control P, PI, PID.
•
La realización del método de sintonización requiere la respectiva visualización de las tendencias de la consigna, variable de proceso y carga de proceso en el tiempo, para lo cual se recomienda obtener un sistema que nos permita tales observaciones para el óptimo desarrollo de la sintonización.
•
Una vez que el sistema se ha estabilizado, se procedió a cerrar la válvula de descarga, ocasionando una restricción que incrementó la caída de presión, moviendo la curva del sistema hacia la izquierda (Ver figura 1) situando al punto de operación en un nuevo equilibrio de mayor presión y menor caudal, obligando al sistema de control mover la curva de la bomba (la velocidad del impulsor) hasta ubicar el caudal sobre la consigna de caudal.
11 RECONOCIMIENTOS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DATOS DE LOS AUTORES Andrade Javier Escuela Politécnica del Ejército Sede Latacunga (ESPEL) E-mail:
[email protected]
ANEXOS A. PLANO ELECTRICO Y ELECTRONICO DEL PROCESO DE FLUJO
CIRCUITO ELECTRICO DE ALIMENTACIÓN
CIRCUITO ELECTRICO DE POTENCIA
CIRCUITO DE CONTROL
CONEXIONADO DEL PLC
