Controle de Gestion Serie2

INSTITUT NATIONAL DES TECHNIQUES ECONOMIQUES ET COMPTABLES

En collaboration avec le Centre National d'Enseignement à Distance - Institut de Lyon

C ONTRÔLE DE GESTION UE 121

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Ce fascicule comprend : La série 02 Les devoirs 2 et 3 à envoyer à la correction

Le contrôle de gestion outil de décision

Marc RIQUIN Bernard MOISY (devoirs)

2008 – 2009

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L’ensemble des contenus (textes, images, données, dessins, graphiques, etc.) de ce fascicule est la propriété exclusive de l’INTEC-CNAM. En vertu de l’art. L. 122-4 du Code de la propriété intellectuelle, la reproduction ou représentation intégrale ou partielle de ces contenus, sans autorisation expresse et préalable de l’INTEC-CNAM, est illicite. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorise que « les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » (art. L. 122-5).

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PRÉSENTATION DE LA SÉRIE

Lien avec le référentiel Introduction et présentation des objectifs I. Coûts complets par la méthode des coûts à base d’activités II. Coût variable

3.2 3.2 ; 2.4

III. Coût spécifique

3.2

IV. Coût marginal

3.2

V. Coût cible ou target costing

4.2

VI. Les variables aléatoires

2.4

VII. Exercices corrigés ANNEXE 1 : Table de la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) ANNEXE 2 : Dérivée et extremum d’une fonction

« La comptabilité de gestion est une comptabilité pour ceux qui gèrent, ce que n’est pas directement la comptabilité financière. Elle est à considérer comme un système d’aide à la décision pour les managers ». (Henri BOUQUIN, Comptabilité de gestion, Sirey) Intégrée au processus global de contrôle de gestion, la comptabilité de gestion est un outil qui doit permettre aux décideurs : – d’identifier les problèmes, – de repérer et évaluer les solutions, – de choisir celles qui leur conviennent. Le choix d’un coût repose sur sa pertinence, c’est-à-dire sa capacité à répondre à un besoin particulier d’information. Ce besoin peut résulter d’une obligation légale (évaluation des stocks, des productions immobilisées, prise en compte de la sous-activité) et/ou d’une nécessité de gestion. La pertinence ou adéquation avec les problèmes de gestion à résoudre est contingente à l’organisation, aux objectifs et besoins du décideur. Le lien entre les coûts et les décisions sera présenté lors de la présentation des différentes méthodes. Le problème posé au décideur est de déterminer les charges à inclure dans les coûts. La typologie proposée par le PCG 1982 (schéma présenté en introduction de la série 01) conduit à différencier, en fonction du contenu, deux types de coûts : – Les coûts complets : cette partie se focalisera sur la méthode des coûts à base d’activité, la méthode classique des centres d’analyse ayant été présentée en série 01. – Les coûts partiels qui ne prennent en considération que la partie jugée pertinente des charges. Cette partie présentera la méthode du coût variable et son prolongement, la méthode du coût spécifique, ainsi que la méthode du coût marginal. La comptabilité de gestion est un outil d’aide à la décision qui est utile aussi bien pour le pilotage stratégique (fixation d’un prix de vente, abandon ou maintien d’une activité, intégrer les attentes des clients, s’intéresser aux coûts des différents éléments de la chaîne de valeur, étude du risque…) que

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CONTRÔLE DE GESTION

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pour le pilotage opérationnel (mesure de la performance par la connaissance la plus objective possible des coûts, influencer les comportements de ceux qui sont en charge des coûts et de la valeur créée…). Cette série présentera également l’étude du risque, notamment par la prise en compte de données aléatoires, et la méthode du coût cible.

ERRATUM

En série 01, à la fin de la page 23, lire « série 04 » (et non pas « série 08 »).

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Objectifs de la série – – – – – – – – –

Savoir choisir un coût en réponse à un problème de gestion. Connaître les avantages et limites de chaque méthode de calcul de coûts. Savoir calculer un coût complet avec la méthode des coûts par activité. Savoir expliquer la notion de subventionnement. Savoir définir le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management). Connaître la méthodologie de mise en œuvre de la méthode à base d’activités. Savoir appréhender (calcul et interprétation) le risque : seuil de rentabilité, marge de sécurité, levier opérationnel. Savoir prendre en compte les données aléatoires. Savoir calculer un coût marginal, un optimum économique et un optimum technique.

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SÉRIE 02 PLAN DE LA SÉRIE

LE CONTRÔLE DE GESTION OUTIL DE DÉCISION.................................................................................11 I.

LES COÛTS COMPLETS PAR LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (OU MÉTHODE ABC) .............................................................................. 11 A. PILOTAGE ET COÛTS COMPLETS .......................................................................................... 11 B. L’ÉVOLUTION DU CONTEXTE A CONDUIT À LA CRISE DU MODÈLE CLASSIQUE PAR LES CENTRES D’ANALYSE ..................................................................... 11 1. Hypothèses implicites de la méthode des centres d’analyse ................................................. 11 2. Limites de la méthode classique.............................................................................................. 12 3. L’évolution de l’objet de coût.................................................................................................. 13 4. Le contexte concurrentiel......................................................................................................... 13 C. FONDEMENTS DE LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (ABC) ............. 14 1. Le subventionnement croisé .................................................................................................... 14 2. Du produit à l’activité .............................................................................................................. 16 3. Le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management)........................ 17 D. MÉTHODOLOGIE DE MISE EN ŒUVRE................................................................................. 17 1. L’élaboration de la carte des activités ..................................................................................... 17 2. La simplification de la carte et le regroupement des activités par inducteur........................ 18 3. Synthèse des principales étapes............................................................................................... 19 E. APPRÉCIATION CRITIQUE........................................................................................................ 19 F. APPLICATION CORRIGÉE ......................................................................................................... 20 1. Énoncé....................................................................................................................................... 20 2. Éléments de réponse................................................................................................................. 22 3. Complément sur l’inducteur référence.................................................................................... 25

II.

LA MÉTHODE DES COÛTS VARIABLES (OU DIRECT COSTING) ............................ 26 A. LE MODÈLE « COÛT-VOLUME-PROFIT » ............................................................................. 26 1. Comportement des charges...................................................................................................... 26 2. Charges semi-variables (ou semi-fixes) .................................................................................. 27 B. LES MARGES SUR COÛTS VARIABLES ................................................................................ 27 C. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE.......................................................................................... 27 1. Intérêts....................................................................................................................................... 28 2. Limites....................................................................................................................................... 28 D. LE SEUIL DE RENTABILITÉ...................................................................................................... 29 1. Définition et calcul ................................................................................................................... 29 2. Enrichissements du modèle de base ........................................................................................ 31

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E. APPRÉCIATION DU RISQUE ..................................................................................................... 36 1. Date d’atteinte du seuil de rentabilité (parfois appelée point-mort)...................................... 36 2. Marge de sécurité ..................................................................................................................... 36 3. L’indice de prélèvement........................................................................................................... 37 4. Levier opérationnel (ou levier d’exploitation ou coefficient de volatilité)........................... 37 5. Prise en compte de données aléatoires .................................................................................... 38 F. POLITIQUE DE PRIX OPTIMAL ................................................................................................ 42 1. Élasticité prix de la demande................................................................................................... 42 2. Recherche de l’optimum et de la zone de profitabilité .......................................................... 42 3. Limites de cette approche ........................................................................................................ 44

III.

LA MÉTHODE DES COÛTS SPÉCIFIQUES (OU DIRECT COSTING ÉVOLUÉ) ....... 44 A. LES MARGES SUR COÛT SPÉCIFIQUE .................................................................................. 45 B. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE.......................................................................................... 46 1. Intérêts....................................................................................................................................... 46 2. Limites....................................................................................................................................... 46

IV.

LE COÛT MARGINAL......................................................................................................... 47 A. COMPOSANTES DU COÛT MARGINAL................................................................................. 47 1. Structure suffisante................................................................................................................... 47 2. Structure insuffisante ............................................................................................................... 47 B. MODÉLISATION MATHÉMATIQUE........................................................................................ 49 1. Évolution des coûts .................................................................................................................. 49 2. Étude théorique du coût marginal ........................................................................................... 50 3. Représentations graphiques ..................................................................................................... 53 C. UTILITÉ POUR LA GESTION..................................................................................................... 55 1. Intérêts....................................................................................................................................... 55 2. Limites....................................................................................................................................... 56 D. CONCLUSION................................................................................................................................ 56

V.

LA MÉTHODE DES COÛTS CIBLES (TARGET COSTING)............................................ 56 A. LES FONDEMENTS DE LA MÉTHODE ................................................................................... 56 1. La phase amont de conception................................................................................................. 57 2. Le renversement dans l’analyse du marché ............................................................................ 57 B. LES ÉTAPES DE LA MÉTHODE ................................................................................................ 58 1. Détermination du coût cible..................................................................................................... 58 2. Détermination du coût estimé.................................................................................................. 58 3. Optimisation du coût ................................................................................................................ 59 C. CONCLUSION................................................................................................................................ 60

VI.

LES VARIABLES ALÉATOIRES ....................................................................................... 61 A. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES (OU DISCONTINUES)........................................ 61 1. Fonction de distribution ou loi de probabilité......................................................................... 61 2. Fonction de répartition ............................................................................................................. 62 3. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète .................................................................. 63 B. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES................................................................................ 63 1. Fonction de répartition : F(x)................................................................................................... 64 2. Densité de probabilité : f(x) ..................................................................................................... 64

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SÉRIE 02

C. PROPRIÉTÉS DES VALEURS CARACTÉRISTIQUES ........................................................... 65 1. Propriétés de l’espérance mathématique................................................................................. 65 2. Propriétés de la variance .......................................................................................................... 66 D. LOIS USUELLES DE PROBABILITÉ......................................................................................... 66 1. Loi binomiale............................................................................................................................ 66 2. Loi de Poisson .......................................................................................................................... 69 3. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson....................................................... 71 4. Loi normale............................................................................................................................... 71 5. Approximations par une loi normale....................................................................................... 75

VII. EXERCICES CORRIGÉS..................................................................................................... 75 ANNEXE 1 : TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE N (0, 1) ..................... 112 ANNEXE 2 : DÉRIVÉE ET EXTREMUM D’UNE FONCTION ............................................. 113 DEVOIR 2 À ENVOYER À LA CORRECTION........................................................................ 117 DEVOIR 3 À ENVOYER À LA CORRECTION........................................................................ 121

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SÉRIE 02

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LE CONTRÔLE DE GESTION OUTIL DE DÉCISION

I.

LES COÛTS COMPLETS PAR LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (OU MÉTHODE ABC)

A. PILOTAGE ET COÛTS COMPLETS Selon le PCG 1982, le coût complet est « constitué par la totalité des charges qui peuvent lui être rapportées ». Il conduit à la détermination d’un coût de revient. Les applications du coût complet sont essentiellement le domaine du pilotage stratégique à long terme : – Faut-il lancer tel produit nouveau ? La décision s’appuiera sur le coût de revient prévisionnel. Sur les marchés où la concurrence est faible, le coût de revient permet de fixer un prix de vente. Sur les marchés où la concurrence est importante, le prix de vente est imposé par le marché et le coût de revient devient un coût cible à ne pas dépasser. – Gérer le portefeuille d’activités et de produits par comparaison des rentabilités. Pour être exploitables dans le cadre de la gestion à court terme (comparaisons de coûts), ils ne doivent pas subir l’influence des variations d’activité ( imputation rationnelle des charges fixes, technique présentée en série 01). Plus traditionnellement, les coûts complets sont les bases d’évaluation de certains éléments du bilan : stocks (article 321-2 du PCG sur le coût d’acquisition), productions immobilisées (article 321-3 du PCG sur le coût de production ; article 333-1 du PCG sur l’incorporation des charges financières ; article 321-3 du PCG sur la quote-part de charges correspondant à la sous-activité). Deux méthodes de calcul d’un coût complet sont à connaître : la méthode des centres d’analyse (présentée en série 01) et la méthode des coûts à base d’activités.

B. L’ÉVOLUTION DU CONTEXTE A CONDUIT À LA CRISE DU MODÈLE CLASSIQUE PAR LES CENTRES D’ANALYSE

1. Hypothèses implicites de la méthode des centres d’analyse La méthode des « sections homogènes » est issue des travaux de 1928 du lieutenant-colonel RIMAILHO dans le cadre de l’organisation des ateliers de l’armée et a été développée par la CEGOS (1936), cabinet de conseils et formation pour les entreprises. Pour comprendre la pertinence de ce modèle, il convient de le resituer dans le contexte où il est apparu. Dans les années 1930, les caractéristiques essentielles sont les suivantes : – Pénurie relative (économie de l’offre). – Produits standardisés fabriqués en grandes séries. – Procédés de fabrication stables.

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– Prépondérance de la fonction production au sein des entreprises. – Prépondérance des charges directes dans les coûts. – Gestion taylorienne qui dissèque le travail humain et sépare les fonctions de conception, d’exécution et de contrôle. – La notion de performance est assimilée à la baisse des coûts de revient. Ces hypothèses sont, en majeure partie, remises en cause avec la crise du fordisme : – Turbulence de l’environnement économique. – Émergence de nouveaux facteurs de compétitivité. – Diversification des besoins et éducation des consommateurs. – Etc. Le modèle classique est centré sur la connaissance du coût de production. Or, avec la crise du fordisme, la fonction production a perdu de son poids au profit des fonctions d’amont et d’aval (recherche et développement, marketing, gestion des ressources humaines, logistique et approvisionnements…). Enfin, le concept de chaîne de valeur (PORTER), qui est une vision transversale des organisations, sera à l’origine de nouvelles méthodes.

2. Limites de la méthode classique a. La pertinence de cette méthode repose sur l’hypothèse d’une part prépondérante des charges directes dans l’ensemble des charges. C’était le cas au moment de l’élaboration de la méthode. Cependant, à partir des années 1970-1980, la production s’est caractérisée par une différenciation poussée des produits, une diversité des tailles des produits, une diminution du travail humain, un passage d’une économie de l’offre à une économie de la demande (saturation des marchés, exigence des consommateurs...). En conséquence, la prépondérance de la main-d’œuvre directe a disparu et des fonctions autres que la production émergent (fonction recherche et développement ; la fonction marketing devient prépondérante ; les activités de support telles que la qualité, la maintenance, la logistique, les ressources humaines prennent de l’importance…). Contexte initial

Années 1970-1980 Charges directes

Charges directes Charges indirectes

Charges indirectes

L’arbitraire pouvant exister pour le traitement et l’imputation des charges indirectes qui était admissible quand les charges indirectes ne représentaient qu’une faible proportion des charges totales ne rend plus la méthode pertinente. Pour reprendre une expression de Philippe LORINO1, le renversement de la pyramide des coûts fait que les coûts indirects sont majoritaires et que la « pyramide repose sur son sommet ». 1

Le contrôle de gestion stratégique (Dunod).

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b. L’hétérogénéité des activités dans les centres d’analyse Le coût d’un centre regroupe un ensemble de charges et chacune doit être corrélée avec l’unité d’œuvre du centre (revoir série 01). Cette condition peut conduire à subdiviser un centre d’analyse en sections homogènes dans lesquelles les charges sont liées à l’unité d’œuvre. Cependant, le risque est de créer une « usine à gaz ». c. La répartition des centres auxiliaires Les centres auxiliaires fournissent des prestations aux centres principaux, mais ne participent pas directement à la production. La répartition secondaire fait perdre le caractère d’homogénéité des charges des centres principaux et remet fondamentalement en cause la condition requise pour la création d’un centre d’analyse, à savoir le lien avec l’unité d’œuvre. Ce problème est amplifié par l’importance croissante des centres de services et des charges indirectes.

3. L’évolution de l’objet de coût La tendance est à la personnalisation accrue des prestations, ce qui se matérialise par la différenciation physique des produits et des doses variables de services (livraison rapide, installation, montage, garantie prolongée, formation...). La complexité croissante est correctement suivie en ce qui concerne les consommations physiques déterminées par les volumes produits. En revanche, la consommation de services internes qui n’obéit pas à des lois volumiques est mal traitée, et c’est celle qui se développe le plus rapidement. La différenciation des produits conduit ainsi à une perte de fiabilité des coûts affichés.

4. Le contexte concurrentiel La concurrence n’est plus fondée sur le seul prix et n’est plus cantonnée dans un espace relativement restreint. L’incertitude accrue rend la possession de stocks coûteuse et les délais risqués. La « chronocompétition » conduit à la réactivité et à la production de lots de plus petites tailles, et à long terme au raccourcissement de la durée de vie des produits.

Synthèse Le modèle classique est un modèle daté fondé sur une approche fonctionnelle (cloisonnement des fonctions) et centré sur le coût de production qui ne correspond plus aux nouvelles formes d’organisation caractérisées par le développement des autres fonctions, par des processus de production de plus en plus intégrés et par une approche transversale de la chaîne de valeur. La répartition secondaire est en contradiction avec l’homogénéité de l’activité d’un centre d’analyse. Risque d’arbitraire dans l’imputation des charges indirectes (hétérogénéité des activités d’un centre d’analyse appréhendée par une seule unité d’œuvre) aux objets de coût. Risque de coûts non pertinents puisque les charges indirectes sont devenues majoritaires et donc de prise de décision erronée. La méthode des coûts par activités est une réponse.

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C. FONDEMENTS DE LA MÉTHODE DES COÛTS À BASE D’ACTIVITÉS (ABC) Face aux insuffisances des modèles traditionnels et aux nouvelles exigences du contrôle de gestion, un nouveau cadre de référence, issu du programme de recherche Cost Management System (CMS) mené par des consultants et des universitaires américains (KAPLAN, COOPER, PORTER) et diffusé en France par Pierre MEVELLEC dès 1985, a été élaboré : la méthode des coûts à base d’activités (Activity Based Costing).

1. Le subventionnement croisé Indépendamment du poids croissant des charges indirectes, le reproche essentiel de la méthode des centres d’analyse porte sur le système d’imputation des charges indirectes qui n’est pertinent que si l’activité des centres d’analyse est homogène. En l’absence d’une telle homogénéité, des phénomènes de « subventionnements croisés » (selon l’expression de Pierre MEVELLEC) peuvent être observés. EXEMPLE

Une entreprise produit dans un atelier de production deux produits P1 et P2. Les données sont les suivantes :

Quantités produites Poids unitaire (tonne)

P1

P2

1 500 0,2

500 0,1 Centre production 70 000 € Tonne produite À déterminer À déterminer

Total après répartition secondaire Unité d’œuvre Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

Travail à faire 1. Calculer les charges unitaires indirectes de production imputées. 2. Le centre production comporte en fait deux activités : le montage et le contrôle.

Temps de contrôle par produit


P1

P2

0,02 heure

0,06 heure

Montage

Contrôle

49 000 Tonne produite 350 À déterminer

À déterminer Temps passé À déterminer heures À déterminer

Calculer les charges unitaires indirectes de production imputées.

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3. L’activité de contrôle est en fait réalisée par lots dont la taille dépend du produit.

Nombre de lots Taille du lot

P1

P2

2 lots 750

10 lots 50

Calculer les charges unitaires indirectes de production imputées. 4. Conclure. Éléments de réponse 1. Nombre d’unités d’œuvre : 1 500 0,2 + 500 0,1 = 350 Centre production 70 000 € Tonne produite 350 200


Charges unitaires1 indirectes de production imputées : P1

Coût unitaire imputé

P2

Q

CU

M

Q

CU

M

0,2

200

40

0,1

200

20

Ce premier calcul repose sur l’hypothèse d’une homogénéité des charges indirectes du centre de production et suppose que l’unité d’œuvre retenue traduise l’activité de ce centre. 2.

Temps de contrôle par produit


P1

P2

0,02 heure

0,06 heure

Montage

Contrôle

49 000 Tonne produite 350 140

21 000 Temps passé 60 heures 350

Charges unitaires indirectes de production imputées : P1 Montage Contrôle Coût unitaire imputé

1

P2

Q

CU

M

Q

CU

M

0,2 0,02

140 350

28 7 35

0,1 0,06

140 350

14 21 35

Bien lire les questions : un coût unitaire est demandé.

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La deuxième approche conduit à rejeter l’hypothèse d’homogénéité des charges indirectes en distinguant deux centres d’analyse ayant chacun leur unité d’œuvre. Cette deuxième approche permet un calcul plus précis en mettant en évidence le coût du contrôle de chaque produit et montre que le coût de P1 était surestimé avec la première approche car le coût du contrôle n’était pas abordé. 3.

Nombre de lots Taille du lot

P1

P2

2 lots 750

10 lots 50

Coût du lot contrôlé : 21 000 / (2 + 10) = 21 000 / 12 = 1 750 Il est important de comprendre qu’il ne s’agit pas d’un coût par produit, mais par lot, le nombre de lots permettant de réaliser la production totale. Ce coût est ventilé entre les produits : P1

P2

Coût du lot contrôlé Nombre de lots Coût pour la production

1 750 2 3 500

1 750 10 17 500

Coût du contrôle pour un produit

2,3333

35

Calcul des charges unitaires indirectes de production imputées : P1 Montage Contrôle Coût unitaire imputé

P2

Q

CU

M

Q

CU

M

0,2

140

28,00 2,33 30,33

0,1

140

14 35 49

La troisième approche appréhende l’activité contrôle en fonction du nombre de lots contrôlés et montre que les produits P1 n’ont que 2 contrôles contre 10 pour les produits P2. Ce troisième calcul montre que la deuxième approche surévaluait le coût du contrôle des produits P1 car elle était volumique, c’est-à-dire liée au nombre de produits contrôlés, et ne tenait pas compte du nombre de contrôles effectués. 4. Cet exemple montre que le système traditionnel de rattachement des charges indirectes au coût des produits peut générer des distorsions. L’hétérogénéité des activités du centre d’analyse aboutissait dans le premier calcul au subventionnement du produit B par le produit A. En effet, l’unité d’œuvre retenue était volumique, c’est-à-dire liée au seul volume de production, et ne permettait pas d’appréhender la plus grande complexité du produit B (plus long à contrôler et produit en nombreuses séries de petite taille).

2. Du produit à l’activité Les produits sont trop éphémères et trop variés pour qu’ils puissent continuer à servir de base aux systèmes de calcul des coûts. Les organisations doivent trouver une notion plus stable que le produit. Cette notion est la notion de compétence, de savoir-faire.

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Une compétence s’exprime par des actions constitutives d’activités, et s’il est délicat d’évaluer directement les compétences, il est possible de mesurer les consommations et les productions caractéristiques des activités correspondantes. Ressources consommées

ACTIVITÉS

Produits

La méthode part donc de la constatation que ce ne sont pas les produits qui consomment les ressources de l’entreprise mais les activités.

3. Le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management) La méthode des coûts à base d’activités se fonde sur le concept de chaîne de valeur, mis en évidence par M. PORTER. L’analyse de la chaîne de valeur permet de comprendre à quel endroit et de quelle manière l’entreprise crée de la valeur pour le client et comment elle se procure un avantage concurrentiel. Le management à base d’activités ou ABM (Activity Based Management) est une phase additionnelle à la méthode ABC. L’ABM va au-delà du constat de coûts et permet de réorganiser l’entreprise pour améliorer le rapport valeur/coût des activités : Quelles sont les activités principales de l’entreprise ? Quelles sont les activités à développer ? Quelles sont les activités à externaliser ?... Deux termes sont souvent associés à l’ABM : – Reengineering (reconfiguration des processus) : pour améliorer les processus créateurs de valeur en visant la réduction des coûts, l’amélioration des délais, de la qualité, la satisfaction du client… – Benchmarking (étalonnage comparatif) : recherche de l’efficience en se comparant à un « meilleur » choisi parmi les concurrents ou les partenaires.

D. MÉTHODOLOGIE DE MISE EN ŒUVRE

1. L’élaboration de la carte des activités Cette première étape vise à représenter l’organisation par ses activités. Elle s’attache à répondre à trois questions : Quelles sont les activités présentes ? Quelles ressources consomment-elles ? Quelle est leur production ? Parallèlement, pour préparer non plus le calcul des coûts mais la gestion des coûts (ABM), d’autres questions sont posées : Quelles sont les causes de l’activité ? Quelles sont ses performances ? a. Identifier les activités L’outil privilégié est l’entretien avec les acteurs. Cette approche a le double avantage de sensibiliser et d’associer les opérationnels au futur modèle de fonctionnement de l’organisation. Le paradoxe est que tout le modèle se fonde sur la notion d’activité bien qu’il n’existe aucune définition normalisée de celle-ci… b. Évaluer les ressources consommées par les activités Il s’agit de faire disparaître l’arbitraire lié à l’imputation des charges indirectes aux différents coûts : avec la méthode traditionnelle, les charges indirectes sont indirectes par rapport aux produits ; avec la

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méthode ABC, elles deviennent directes par rapport aux activités (mais demeurent indirectes par rapport aux produits). L’affectation des charges selon leur traçabilité (une charge traçable est allouée à un coût selon une unité non arbitraire) répond ainsi à une critique forte de la méthode des centres d’analyse. c. Choix des inducteurs de coût Un inducteur de coût mesure ce que fait une activité et comment les objets de coûts consomment les activités. Il permet d’allouer le coût de l’activité en fonction du nombre d’inducteurs consommés par les objets de coût (produit, processus, projets, clientèle...). Il est important de remarquer que l’inducteur exprime une relation de causalité, c’est-à-dire qu’il indique le facteur causal qui explique la consommation des ressources.

2. La simplification de la carte et le regroupement des activités par inducteur La carte des activités peut aboutir à un modèle complexe qui présenterait deux inconvénients majeurs : coût de maintenance et de traitement, et surtout un affichage peu clair des messages à faire passer. Le recensement des activités conduit généralement à des simplifications : – Élimination des activités peu consommatrices de ressources et qui participent faiblement à la création de valeur. – Regroupement des activités par facteurs de causalité : quand plusieurs activités ont le même inducteur, elles sont regroupées dans des centres de regroupement.

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3. Synthèse des principales étapes Le schéma suivant retrace les principales étapes de la méthode des coûts à base d’activités : Charges incorporées Charges indirectes

Centre 1

Identification des coûts par activité

Regroupements des coûts par activité

Calcul des coûts complets

A1

Charges directes

Centre 2

A2

A3

A4

Centre 3

A5

A6

Regroupement inducteur 1



Coût de l'inducteur 1



Objet de coût X

Objet de coût Y

Objet de coût Z

Seules les charges indirectes sont traitées différemment. Les produits consomment des activités qui consomment des ressources. Les charges indirectes demeurent indirectes par rapport aux objets de coûts produits.

E. APPRÉCIATION CRITIQUE Face à l’engouement soulevé par la méthode, quelques limites ont été présentées : – La notion d’activité est ambiguë. – Le frein humain est une difficulté fréquemment citée par les entreprises qui ont implanté la méthode : la mise en place est parfois ressentie comme une remise en cause des compétences et du pouvoir et suppose l’adhésion du personnel.

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– Il ne faut pas créer une « usine à gaz » ni une organisation trop sommaire. Un arbitrage entre simplicité et complexité s’impose. – La similitude dans le procédé de calcul des coûts conduit des auteurs à rappeler que la méthode des « sections homogènes » se fonde sur l’homogénéité de l’activité du centre d’analyse et qu’en ce sens la méthode des coûts à base d’activités ne constituerait qu’un « retour aux sources ». Cependant, c’est oublier que : – la logique des inducteurs est fondée sur l’étude des causalités alors que celle des unités d’œuvre est celle d’une imputation aux coûts ; – la structure du calcul est différente : les activités consomment les ressources, les produits consomment les activités ; – la méthode permet de prendre conscience des problèmes de transversalité et ouvre sur une meilleure gestion des activités et des processus (ABM) : le calcul des coûts ne suffit pas à appréhender la valeur créée par une organisation. L’adoption d’une comptabilité à base d’activités est ainsi une étape vers une comptabilité stratégique. Le principal problème vient du fait que la méthode ABC/ABM dissocie l’analyse des coûts du découpage de l’entreprise en centres de responsabilités, c’est-à-dire que le découpage comptable ne coïncide plus avec la structure fonctionnelle et budgétaire.

F. APPLICATION(1)

1. Énoncé La société A produit en juste à temps trois produits X, Y et Z pour lesquels les données suivantes ont été constatées : A. Production

Quantités produites Lots de 2 000 Lots de 1 000 Lots de 500 Lots de 100

X

Y

Z

40 000 10 20 / /

30 000 5 15 10 /

15 000 / 5 10 50

B. Nomenclature des produits et prix d’achat des composants X

Y

Z

Prix des composants

Composant A

0,1 kg

0,2 kg

0,1 kg

Composant B

/

/

0,3 kg

80 € par kg

40 € par kg

Composant C

/

0,5 kg

0,6 kg

100 € par kg

Composant D

0,2 kg

/

0,3 kg

90 € par kg

Composant E

0,4 kg

0,6 kg

/

10 € par kg

Composant F

0,5 kg

/

/

20 € par kg

Composant G (Emballages)

1 unité

1 unité

1 unité

Temps machine en atelier 2

3 heures

5/3 heure

2 heures

(1) L’exercice 1 constitue un entraînement complémentaire.

30 € par unité

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SÉRIE 02

21

Les composants A, B et D sont livrés par lots de 500 kg ; le composant C par lots de 1 000 kg ; les composants E et F par lots de 2 000 kg et les emballages par lots de 5 000 unités. C. Charges indirectes Toutes les charges sont indirectes à l’exception des composants et des emballages. La société A a été découpée en cinq centres d’analyse : C1 : approvisionnement C2 : atelier 1 C3 : atelier 2 C4 : contrôle C5 : administration C1

C2

C3

C4

C5

Total des charges indirectes

282 500 €

525 000 €

813 000 €

25 000 €

164 550 €

Unités d’œuvre

Kg achetés

Kg consommés

Heures machine

Nombre de produits

Coût de production

D. Prix de vente X 89 €

Y 115 €

Z 180 €

E. Activités et inducteurs de coûts Centre d’analyse

Activités

Montant en € 18 000

Inducteur de coût

C1

Relations fournisseurs

C1

Contrôle réception

C1

Suivi des stocks

80 000

Nombre de références

C1

Logistique interne

59 500

Nombre de manipulations(1)

C2

Ordonnancement

C2

Conception

300 000

Nombre de modèles

C2

Production

200 000

Nombre de lots fabriqués

C3

Ordonnancement

213 000

Poids des composants

C3

Production

600 000

Temps machine

C4

Contrôle

C5

Administration générale

125 000

25 000

25 000 164 550

Nombre de références Nombre de lots réceptionnés

Nombre de lots fabriqués

Nombre de lots fabriqués Coût ajouté(2)

(1) Le nombre de manipulations pour un produit est le nombre de lots pour le produit nombre de références composant pour le produit. (2) Le coût ajouté est la somme de tous les frais internes à l’exception des frais de l’activité administration générale.

De manière à éviter une approche volumique, l’inducteur nombre de références sera réparti au prorata des quantités consommées par les différents produits. Travail à faire 1. À l’aide des renseignements A à D, calculer les coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et les résultats analytiques par la méthode des centres d’analyse. 2. Commenter les résultats obtenus.

22


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3. À l’aide des renseignements A à E, recalculer les coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et les résultats analytiques par la méthode des coûts à base d’activités (par souci de simplification, il ne sera pas fait de calcul en fonction de la taille des lots fabriqués). 4. Conclure.

2. Éléments de réponse 1. Méthode des centres d’analyse a. Calcul du coût des unités d’œuvre Total des charges indirectes Unités d’œuvre Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

C1

C2

C3

C4

C5

282 500 Kg achetés 106 500(1) 2,6526

525 000 Kg consommés 106 500(1) 4,9296

813 000 Heures machine 200 000(2) 4,0650

25 000 Nombre de produits 85 000 0,2941

164 550 Coût de production 9 280 503(3) 0,0177

(1) 40 000 (0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,5) + 30 000 (0,2 + 0,5 + 0,6) + 15 000 (0,1 + 0,3 + 0,6 + 0,3) Il n’y a pas de stocks en raison du juste à temps. (2) 40 000 3 + 30 000 5/3 + 15 000 2 (3) Voir tableau suivant : 40 000 87,5877 + 30 000 110,926 + 15 000 163,2810

b. Coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et résultats analytiques X Q 0,1

Composant A Composant B Composant C Composant D 0,2 Composant E 0,4 Composant F 0,5 Emballages 1 Coût direct C1 1,2 C2 1,2 C3 3 C4 1 Coût production C5 87,59 Coût de revient Prix de vente Résultat unitaire Résultat total

CU 40 80 100 90 10 20 30 2,6526 4,9296 4,0650 0,2941 0,0177

Y M 4 0 0 18 4 10 30 66 3,1831 5,9155 12,1950 0,2941 87,5877 1,5530 89,1407 89 –0,1407 –5 629,35

Q 0,2

1

CU 40 80 100 90 10 20 30

1,3 1,3 5/3 1

2,6526 4,9296 4,0650 0,2941

110,93

0,0177

0,5 0,6

Z M 8 0 50 0 6 0 30 94 3,4484 6,4085 6,7750 0,2941 110,9260 1,9668 112,8928 115 2,1072 63 217,28

Q 0,1 0,3 0,6 0,3

1

CU 40 80 100 90 10 20 30

1,3 1,3 2 1

2,6526 4,9296 4,0650 0,2941

163,28

0,0177

M 4 24 60 27 0 0 30 145 3,4484 6,4085 8,1300 0,2941 163,2810 2,8951 166,1760 180 13,8240 207 360

Résultat de la société : 264 947,93 2. Le produit X est déficitaire. Il n’est pas possible de prendre une décision sur le maintien ou l’abandon du produit pour l’instant. Pour répondre à cette question, il convient soit de calculer la marge sur coût variable (ce qui n’est pas possible puisque la ventilation charges variables-charges fixes n’est pas communiquée), soit de recalculer les coûts avec une méthode plus adaptée pour prendre en compte la complexité des produits tant au niveau de leur composition que de leur production.

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SÉRIE 02

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3. Méthode des coûts à base d’activités a. Calcul du coût des inducteurs Les activités qui possèdent le même inducteur doivent être regroupées. Activité Relations fournisseurs Suivi des stocks Contrôle réception Logistique interne Ordonnancement Production Contrôle Conception Ordonnancement Production Administration générale

Montant 18 000 80 000 98 000 125 000 59 500 25 000 200 000 25 000 250 000 300 000 213 000 600 000 164 550

Inducteur

Nombre de références(1) Nombre de lots réceptionnés(2) Nombre de manipulations(3)

Nombre de lots fabriqués(4) Nombre de modèles(5) Poids des composants(6) Temps machine(6) Coût ajouté(7)

Volume

Coût

7 125 595

14 000 1 000 100

125 3 106 500 200 000 1 645 500

2 000 100 000 2 3 0,1

(1) 7 références (de A à G). (2) Nombre de lots reçus : A : (40 000 0,1 + 30 000 0,2 + 15 000 0,1) / 500 = 23 B : 15 000 0,3 / 500 = 9 C : (30 000 0,5 + 15 000 0,6) / 1 000 = 24 D : (40 000 0,2 + 15 000 0,3) / 500 = 25 E : (40 000 0,4 + 30 000 0,6) / 2 000 = 17 F : 40 000 0,5 / 2 000 = 10 G : (40 000 + 30 000 + 15 000) / 5 000 = 17 Total = 125 (3) Nombre de manipulations : X : (10 + 20) 5 = 150 Y : (5 + 15 + 10) 4 = 120 Z : (5 + 10 + 50) 5 = 325 Total = 595 (4) Nombre de lots fabriqués : X : 10 + 20 = 30 Y : 5 + 15 + 10 = 30 Z : 5 + 10 + 50 = 65 Total = 125 (5) Trois produits. (6) Voir question 1. (7) charges indirectes sauf administration : 282 500 + 525 000 + 813 000 + 25 000

b. Étude préalable de l’inducteur référence Le coût d’une référence est de 14 000 €. Pour éviter un phénomène de subventionnement, il sera calculé le coût par unité de composant consommé (d’autres solutions sont envisageables, comme le montre le complément proposé en paragraphe C. Il faut donc bien lire les sujets pour répondre convenablement aux exigences des questions).

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Productions Composant A Composant B Composant C Composant D Composant E Composant F Composant G

X

Y

Z

40 000 0,1

30 000 0,2

15 000 0,1 0,3 0,6 0,3

0,5 0,2 0,4 0,5 1

Poids total 11 500 4 500 24 000 12 500 34 000 20 000 85 000

0,6 1

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1

Coût unitaire : 14 000 / Q 1,2174 3,1111 0,5833 1,1200 0,4118 0,7000 0,1647

Imputation aux produits de l’activité gestion des composants pour un produit :

Composant A Composant B Composant C Composant D Composant E Composant F Composant G Total

X

Y

Z

0,1217 0,0000 0,0000 0,2240 0,1647 0,3500 0,1647 1,0252

0,2435 0,0000 0,2917 0,0000 0,2471 0,0000 0,1647 0,9469

0,1217 0,9333 0,3500 0,3360 0,0000 0,0000 0,1647 1,9058

c. Coûts de revient (avec le détail unitaire des coûts) et résultats analytiques Seules les charges indirectes étant imputées différemment, il convient de reprendre le total partiel des charges directes de la question 1. X (1)

Calcul

Y M

Calcul

Z M

Calcul

Références 1,025 0,947 (2) 50 1000 / 40 000 Lots réception 1,250 42 1 000 / 30 000 1,400 33 1 000 / 15 000 150 100 / 40 000 120 100 / 30 000 Manipulations 0,375 0,400 325 100 / 15 000 30 2 000 / 40 000 Lots fabriqués 1,500 30 2 000 / 30 000 2,000 65 2 000 / 15 000 1 100 000 / 40 000 Modèles 2,500 1 100 000 / 30 000 3,333 1 100 000 / 15 000 48 000 2 / 40 000 Poids 2,400 39 000 2 / 30 000 2,600 19 500 2 / 15 000 120 000 3 / 40 000 Temps machine 9,000 50 000 3 / 30 000 5,000 30 000 3 / 15 000 Coût ajouté(3) 18,050 15,680 18,050 0,1 15,680 0,1 30,207 0,1 Administration 1,805 1,568 Coût direct 66,000 94,000 Coût de revient 85,855 111,248 Prix de vente 89,000 115,000 Résultat unitaire 3,145 3,752 Résultat total 125 800 112 560

M 1,906 2,200 2,167 8,667 6,667 2,600 6,000 30,207 3,021 145,000 178,228 180,000 1,772 26 584,5

(1) La méthode ABC donne le coût des activités pour une production totale. Pour obtenir un coût unitaire, il convient de diviser par la production. (2) Lots réceptionnés de composants A, D, E, F et G pour X : 50 = 40 000 [(0,1 / 500) + (0,2 / 500) + (0,4 / 2 000) + (0,5 / 2 000) + (1 / 5 000)] 50 lots à 1 000 pour 40 000 produits X Lots réceptionnés de composants A, C, E et G pour Y : 42 = 30 000 [(0,2 / 500) + (0,5 / 1 000) + (0,6 / 2 000) + (1 / 5 000)] Lots réceptionnés de composants A, B, C, D et G pour Z : 33 = 15 000 [(0,1 / 500) + (0,3 / 500) + (0,6 / 1 000) + (0,3 / 500) +(1 / 5 000)] (3) Total partiel pour imputer l’administration.

Résultat de la société = 264 944,5 €

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4. Le résultat de la société est évidemment le même (aux arrondis près) puisque seules les charges indirectes ont été imputées différemment. La comparaison des coûts et des résultats montre qu’avec la méthode classique des centres d’analyse les produits X et Y subventionnaient le produit Z (le coût unitaire de revient de Z augmente tandis que celui de X et, dans une moindre mesure, celui de Y diminuent).

Coût de revient ABC Résultat unitaire ABC Coût de revient classique Résultat unitaire classique

X

Y

Z

85,855 3,145 89,1407 –0,1407

111,248 3,752 112,8928 2,1072

178,228 1,772 166,1760 3,8240

En effet, les inducteurs de coûts de la méthode ABC ont permis de montrer que le produit X fabriqué en grandes séries et faible consommateur de lots subventionne le produit Z fabriqué en petites séries et consommateur de lots. Le produit Z est fabriqué en petites séries et utilise 4 références. Il nécessite donc plus de manipulations, plus de frais de lancement, plus d’efforts pour gérer les références. Le calcul de coûts avec la méthode à base d’activités permet de prendre en compte ces différences alors que la méthode classique des centres d’analyse impute les charges indirectes en fonction des volumes de production. Il ne faut donc abandonner aucun modèle. Le résultat négatif du produit X avec la méthode des centres d’analyse provenait d’une imputation volumique des charges indirectes.

3. Complément sur l’inducteur référence Le texte aurait pu proposer une autre méthode. Par exemple : « L’imputation au coût total d’un produit se fera en remarquant qu’un produit ne consomme qu’un tiers de référence si elle est commune aux trois produits, une demi-référence si elle n’est commune qu’à deux produits et bien entendu une référence si elle n’est utilisée que par un produit. » La méthode étant différente, l’imputation obtenue ne sera pas la même pour cet inducteur.

Composant A (commun à X, Y et Z) Composant B (spécifique à Z) Composant C (commun à Y et Z) Composant D Composant E Composant F Composant G (Emballages) Total

X

Y

Z

1/3

1/3

1/3 1 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1 1/3 8/3

1/2 1/3 5/3

1/3 8/3

L’imputation unitaire du coût des références pour X serait : (14 000 8/3) / 40 000 = 0,933 L’imputation unitaire du coût des références pour Y serait : (14 000 5/3) / 30 000 = 0,778 L’imputation unitaire du coût des références pour Z serait : (14 000 8/3) / 15 000 = 2,489

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II.


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LA MÉTHODE DES COÛTS VARIABLES (OU DIRECT COSTING) L’approche par les coûts partiels consiste à ne retenir dans les coûts que la partie jugée pertinente des charges, les autres charges étant constituées en masses qui ne seront pas réparties. Les méthodes de coûts partiels visent ainsi à un pilotage par le calcul de marges qui mesurent la capacité contributive des différents produits aux charges communes : Marge = Chiffre d’affaires – Coût partiel Les méthodes de coûts partiels visent ainsi à n’inclure dans les coûts que : – des charges affectables sans ambiguïté (notion de traçabilité), – des charges contrôlables, c’est-à-dire celles maîtrisées par les décideurs. REMARQUE

Les systèmes de gestion peuvent combiner les coûts complets et les coûts partiels. Une analyse des charges en fonction de deux critères permet d’identifier les différentes approches :

Variables

Fixes

Directes

Indirectes

– Matières consommées – Marchandises vendues – Charges de personnel – Sous-traitance – Dotations aux amortissements de moyens exclusivement dédiés à un objet de coût – Charges de personnel

– Énergie consommée (des compteurs peuvent les rendre directes) – Frais de transport – Dépenses de communication – Charges administratives – Loyers

Le coût variable (ou opérationnel) est constitué de l’ensemble des charges qui varient avec le volume d’activité (l’activité étant appréciée par les opérations de production et/ou de vente). Directes

Indirectes

Variables Fixes

Le terme anglo-saxon « direct costing » est un faux ami dont la traduction est coût variable.

A. LE MODÈLE « COÛT-VOLUME-PROFIT » Le modèle de comportement des coûts à court terme est fondé sur la relation : Y = aX + b Avec Y = coût total a = coût variable unitaire X = niveau d’activité B = charges de structure (ou charges fixes totales)

1. Comportement des charges Coût variable total

Charges fixes totales

Activité

Coût variable total = aX

Activité

Coût fixe total = b Changement « brutal » par paliers

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Coût variable unitaire

Charges fixes unitaires

Activité

Activité

Coût variable unitaire = aX / X = a

Coût fixe unitaire = b / X

2. Charges semi-variables (ou semi-fixes) Activité Charges totales

2 000

2 400

2 600

3 200

50 000

55 000

60 000

70 000

25,00

22,92

23,08

21,88

Charges unitaires

Les charges semi-variables sont des charges qui ne sont pas constantes au niveau unitaire comme les charges variables, ni au niveau global comme les charges fixes. Ces charges doivent être décomposées en une partie fixe et une partie variable par une équation du type : y = ax + b. L’utilisation de la fonction régression linéaire d’une calculatrice permet ainsi d’obtenir : Y = 17X + 15 400

B. LES MARGES SUR COÛTS VARIABLES Les charges de structure constituent une masse non répartie entre les objets de coût. Cette méthode ne cherche pas à calculer un coût complet mais à dégager la marge sur coût variable qui mesure la contribution de l’élément étudié à la rentabilité de l’ensemble étudié. X Chiffre d’affaires Charges variables Marges sur coûts variables Charges de structure Résultat

Y

Z

TOTAL

M/CV CF R

Taux de marge sur coûts variables = Marges sur coûts variables / Chiffre d’affaires

C. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE

La méthode n’est pertinente que si le poids des charges variables est important dans la structure des coûts.

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1. Intérêts – Simplification et rapidité des calculs de coûts quand l’organisation s’est donné les moyens de distinguer les charges variables des charges fixes. – Dans les centres de responsabilité, les décideurs subalternes ne peuvent généralement pas agir sur les charges de structure. Par ailleurs, les charges variables unitaires sont peu sensibles aux variations du niveau d’activité. En conséquence, dans les centres de responsabilité, les coûts variables sont plus faciles à comparer dans le temps et sont mieux maîtrisés que les coûts complets par les responsables. – Le modèle permet d’établir des scénarios d’évolution des coûts induits par les variations d’activité (budgets). – Le modèle offre au décideur des informations sur le risque d’exploitation1 (seuil de rentabilité, marge de sécurité, levier opérationnel). Combinée à l’étude du risque, la méthode peut conduire le décideur à privilégier des options réduisant la rigidité, synonyme de charges de structure : sous-traitance, recours aux emplois précaires plutôt que stables… – Dans un marché segmenté, la méthode permet de fixer le prix de vente de chaque segment. – La méthode permet de prendre des décisions sur l’abandon, le maintien, la réorientation ou le développement des activités si on suppose que les charges fixes ne sont pas modifiées par la décision. – En cas de rationnement des ressources de financement, la méthode permet d’orienter les actions sur les activités les plus créatrices de marges sur coûts variables.

2. Limites – Le modèle suppose une proportionnalité entre le coût et le volume. Or, le volume n’est qu’un facteur parmi d’autres. – La méthode incite à pousser les ventes des produits à forte marge sur coûts variables sans se soucier des conséquences sur les activités de support (recherche et développement, logistique, gestion de la qualité…). Il peut en résulter une progression des charges fixes. De plus, le marché doit pouvoir absorber le supplément de production ; il ne doit pas exister de goulots d’étranglement tout au long du processus de production et de distribution et les capacités de production doivent pouvoir être utilisées pour un produit ou un autre dans le cas de substitution. – La tendance est à l’accroissement des charges de structure. – Les aspects stratégiques relatifs à l’abandon d’un produit sont à prendre en considération : image de marque, couvrir une gamme, complémentarité, entrée d’un nouveau concurrent pour prendre le créneau laissé… Par ailleurs, l’abandon d’un produit peut entraîner de nouveaux coûts : réorganisation, coûts de produits de remplacement… – L’analyse est essentiellement valable à court terme, car à long terme les décisions stratégiques (nouveaux produits, nouveaux marchés, nouveaux canaux de distribution, délocalisation…) se répercutent sur les charges de structure. – Les stocks devront être évalués au coût complet (un coût partiel sous-évaluant les stocks).

1

Le risque d’exploitation sera traité au paragraphe E. Appréciation du risque

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La méthode est plus un outil de gestion à court terme (contrôle d’exécution des centres de responsabilité) qu’un outil adapté à la prise de décisions stratégiques.

D. LE SEUIL DE RENTABILITÉ

1. Définition et calcul Il s’agit du chiffre d’affaires qui permet d’obtenir un résultat nul. Le résultat est nul si la marge sur coûts variables permet de couvrir les charges de structure. Soit t = taux de marge sur coûts variables CF = charges de structure X = le seuil de rentabilité Il y a plusieurs manières d’aborder le même problème : X est tel que

tX = CF

X est tel que

tX – CF = 0

X est tel que

Chiffre d’affaires = Charges variables + Charges fixes X = (1 – t) X + CF

EXEMPLE 1 (monoproduction)

Le compte différentiel (c’est-à-dire fondé sur la distinction charges variables-charges de structure) annuel de la société B est le suivant :

Chiffre d’affaires Charges variables Marges sur coûts variables Charges de structure Résultat

Q

CU

M

20 000 20 000 20 000

50 30 20

1 000 000 600 000 400 000 300 000 100 000

Taux de marge sur coûts variables : 400 00 / 1 000 000 ou 20 / 50 = 40 % Calcul et détermination graphique du seuil de rentabilité : a. Détermination à partir de l’équation : MCV = CF Soit X le seuil de rentabilité en euros. X est tel que : 0,4X = 300 000 X = 750 000 € Le seuil de rentabilité en volume est : 750 000 / 50 = 15 000 unités REMARQUE

Un calcul direct du seuil de rentabilité en volume est possible avec la marge unitaire. Soit X le seuil de rentabilité en volume : 20X = 300 000 X = 15 000 unités Le seuil de rentabilité en euros est : 15 000 50 = 750 000 €

30


R1211-F2/4

La détermination graphique consiste à tracer l’équation de la MCV (soit 0,4X) et l’équation des charges fixes (soit 300 000) et à rechercher l’intersection des deux droites.

Charges de structure et MCV

500 000

MCV = 0,4X

400 000

Zone de bénéfices 300 000 CF = 300 000 Zone de pertes car MCV < CF

200 000 100 000

Chiffre d'affaires

0 0

250 000

500 000

750 000 SR

1 000 000

1 250 000

REMARQUE

Il est possible de tracer 20X en retenant les volumes de production en abscisses. Le seuil est alors en volume. Pour déterminer la date d’obtention du seuil de rentabilité, il faut se demander : combien de mois fautil pour obtenir un chiffre d’affaires égal à 750 000 €, sachant que pour 12 mois il est égal à 1 000 000 € ?

12 mois :1 000 000 Une « règle de trois » permet de poser et de résoudre le problème : m mois : 750 000 m est tel que : 750 000 12 = 1 000 000 m m = 9 mois soit fin septembre b. Détermination à partir de l’équation : résultat = 0 Soit X le seuil de rentabilité en euros. X est tel que : 0,4X – 300 000 = 0 X = 750 000 € Le seuil de rentabilité en volume est : 750 000 / 50 = 15 000 unités La détermination graphique consiste à tracer l’équation du résultat (soit 0,4X – 300 000) et à rechercher l’intersection avec l’axe des abscisses.

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SÉRIE 02

31

Résultat

200 000

R = 0,4X − 300 000

100 000

Zone de bénéfices 0 −100 000

0

250 000

500 000

Zone de pertes R<0

−200 000

750 000 SR

1 000 000

1 250 000 Chiffre d'affaires

−300 000 −400 000 −500 000

c. Détermination à partir de l’équation : Chiffre d’affaires = Charges totales Les charges variables sont proportionnelles au chiffre d’affaires et représentent 60 % de ce chiffre d’affaires. Soit X le seuil de rentabilité en euros. X est tel que : X = 0,6X + 300 000 X = 750 000 € La détermination graphique consiste à tracer l’équation du chiffre d’affaires (soit Y = X) et l’équation des charges (soit 0,6X + 300 000), puis à rechercher l’intersection des deux droites. Coût total et chiffres d'affaires

1 000 000

CA, équation Y = X Zone de bénéfices CT = 0,6X + 300 000

500 000

Zone de pertes CA < CT Chiffre d'affaires

0 0

250 000

500 000

750 000 SR

1 000 000

1 250 000

2. Enrichissements du modèle de base a. Variation des charges de structure Les charges de structure ne sont fixes que pour une structure donnée et varient brutalement par palier quand la structure est modifiée.

32


R1211-F2/4

EXEMPLE 2

La structure actuelle de la société B ne lui permet pas de produire et vendre plus de 22 000 unités par an. Pour l’année à venir, elle prévoit un accroissement important de son marché et, pour y répondre, elle doit investir. Les nouveaux équipements dont le coût d’acquisition est de 2 000 000 € seront amortis linéairement sur 10 ans et mis en service le 1er janvier. Cette nouvelle structure permettrait de produire et vendre jusqu’à 35 000 unités. Travail à faire 1. En supposant que le taux de marge sur coûts variables reste inchangé, calculer le seuil de rentabilité. 2. Représenter graphiquement le changement de structure et étudier l’opportunité de cet investissement. Éléments de réponse 1. L’augmentation des charges de structure de 2 000 000 / 10 = 200 000 € par an. Les charges fixes sont désormais égales à 500 000 €. Le nouveau seuil de rentabilité X est tel que : 0,4X = 500 000 X = 1 250 000 € soit 25 000 unités 2. 700 000 600 000 Bénéfices 500 000 Pertes Résultat maximal possible dans l'ancienne structure avec 22 000 unités.

400 000 300 000 200 000 100 000 0 0

250 000

500 000

750 000 SR1

1 000 000

1 250 000

1 500 000

1 750 000

SR2

Avec l’ancienne structure, le résultat maximal était de : 22 000 20 – 300 000 = 140 000 €, ce qui correspond à un chiffre d’affaires de 1 100 000 €. Le changement de structure est opportun s’il permet d’obtenir au moins le même résultat. Le chiffre d’affaires correspondant est : 0,4X – 500 000 140 000 soit 1 600 000 €. Si l’investissement est réalisé, la société B sera en perte entre 1 100 000 € et 1 250 000 €, alors que dans l’ancienne structure elle faisait un bénéfice (mais limité à la vente de 22 000 unités). Entre 1 250 000 € et 1 600 000 €, le seuil de rentabilité est atteint, mais le résultat est inférieur au maximum possible avec l’ancienne structure.

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SÉRIE 02

33

En conclusion, le changement de structure n’est opportun que si la société réalise un chiffre d’affaires supérieur à 1 600 000 €. b. Variation du taux de marge sur coûts variables EXEMPLE 2

(suite)

L’investissement effectué en début d’année par la société B sera totalement opérationnel début avril et permettra alors une réduction des coûts variables de 20 %. Les ventes annuelles prévisionnelles sont de 32 400 unités et sont réparties régulièrement sur l’année. Travail à faire 1. Calculer le seuil de rentabilité. 2. Représenter graphiquement la détermination du seuil de rentabilité. Éléments de réponse 1. Le chiffre d’affaires obtenu fin mars : 32 400 3/12 50 = 405 000 € La marge sur coûts variables obtenue fin mars : 405 000 40 % = 162 000 € Début avril, la marge sur coûts variables passera à [50 – (30 0,8)] = 26 €. Le taux de marge sur coûts variables sera alors : 26 / 50 = 52 % Fin mars, le montant des charges de structure qui reste à couvrir est : 500 000 – 162 000 = 338 000 € Le chiffre d’affaires complémentaire X à réaliser pour atteindre le seuil de rentabilité est tel que : 0,52X = 338 000 Soit X = 650 000 € Le seuil de rentabilité est donc : 405 000 + 650 000 = 1 055 000 € 2. La résolution graphique est plus délicate car il faut déterminer l’équation de la marge sur coûts variables dans le repère d’origine pour tracer la droite. En effet, l’équation y = 0,52X est l’équation au 1er avril et non pas au 1er janvier. La méthode la plus simple est de poser que, dans le repère d’origine, l’équation est : y = 0,52X + b, et que cette droite passe par le point (405 000 ; 162 000). Il faut donc résoudre : 162 000 = 0,52 405 00 + b soit b = –48 600 L’équation est donc : y = 0,52X – 48 600

34


R1211-F2/4

MCV et charges fixes (milliers d'euros)

900 800

MCV

700 600 500 y = 0,52X − 48 600 pour CA > 405

400 300 y = 0,4X pour CA < 405

200 100

SR = 1 055

0 0

135

270

405

540

675

810

945

1 080 1 215 1 350 1 485 1 620 Chiffre d'affaires (milliers d'euros)

c. Variations saisonnières EXEMPLE 3

La société C communique les données prévisionnelles suivantes :

Chiffre d’affaires

Trimestre 1

Trimestre 2

Trimestre 3

Trimestre 4

500 000

1 000 000

2 000 000

800 000

Les charges variables représentent 70 % du chiffre d’affaires et les charges de structure annuelles sont de 800 000 €. Les chiffres d’affaires mensuels d’un trimestre seront supposés réguliers. Travail à faire Déterminer le seuil de rentabilité et sa date d’obtention algébriquement et graphiquement. Éléments de réponse Le SR étant atteint quand la marge sur coût variable est égale aux charges fixes, il convient de calculer le cumul des marges sur coût variable. Trimestres

CA

CA

MCV

MCV

1

500 000

500 000

150 000

150 000

2

1 000 000

1 500 000

300 000

450 000

3

2 000 000

3 500 000

600 000

1 050 000

4

800 000

4 300 000

240 000

1 290 000

À la fin du trimestre 2, la MVC cumulée est égale à 450 000 €. Le seuil de rentabilité est atteint pendant le trimestre 3 pour lequel on suppose la linéarité du chiffre d’affaires et de la MCV. Le chiffre d’affaires du trimestre 3 doit dégager une MCV égale au montant des charges fixes restant à couvrir, soit une MCV : 800 000 – 450 000 = 350 000 €

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SÉRIE 02

35

Pour 3 mois du trimestre 3, la MCV = 600 000 et pour m mois, la MCV doit être égale à 350 000.

3 mois : 600 000 Une « règle de trois » permet de poser et résoudre le problème : m mois : 350 000 m est tel que : 350 000 3 = 600 000 m m = 1,75 mois Le chiffre d’affaires complémentaire du troisième trimestre est : (2 000 000 / 3) 1,75 = 1 166 667 € Le seuil de rentabilité : 3 500 000 + 1 166 667 = 4 666 667 € En supposant des mois de 30 jours, le seuil de rentabilité est atteint 1 mois et 23 jours (23 = 0,75 30) après la fin du deuxième trimestre, soit le 23 août. MCV cumulées et charges fixes

1 400 000

MCV cumulées

1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000 Trimestres

0 0

1

2

SR 23 août

3

4

d. Multiproduction EXEMPLE 4

La société D fabrique deux produits A et B dont les marges sur coûts variables unitaires sont respectivement de 20 € et 60 €. Les charges fixes sont égales à 300 000 €. Le raisonnement correct consiste à exprimer le seuil de rentabilité en fonction des quantités A et B vendues : 20A + 60B 300 000 Il y a une infinité de solutions : tous les couples A et B qui respectent l’inéquation. B

6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000

A

0 0

5 000

10 000

15 000

20 000

36


EXEMPLE 4

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(suite)

La société D fabrique deux produits A et B dont les marges sur coûts variables unitaires sont respectivement de 20 € et 60 €. Les charges fixes sont égales à 300 000 €. Le taux moyen de marge sur coûts variables (compte tenu des volumes vendus, 12 000 produits A et 8 000 produits B) est de 25 %. Travail à faire 1. Déterminer le seuil de rentabilité global, c’est-à-dire sans faire la distinction entre les 2 produits, en euros et en volume. 2. En supposant la structure des ventes constante, calculer le seuil de rentabilité en nombre de produits A et B. Vérifier. 3. Que penser de ce raisonnement ? Éléments de réponse 1. Seuil de rentabilité global : 300 000 / 0,25 = 1 200 000 €

12 000 20 + 8 000 60 = 36 12 000 + 8 000 2. Seuil de rentabilité global en volume : 300 000 / 36 8 334 produits La marge sur coûts variables moyenne est :

Nombre de produits A : 8 334 12 000 / (12 000 + 8 000) = 5000,4 5 001 Nombre de produits B : 8 334 12 000 / (12 000 + 8 000) = 3 333,6 3 334 REMARQUE

Il convient d’arrondir par excès car il est préférable de dépasser le seuil de rentabilité plutôt que ne pas l’atteindre… Vérification : 5 001 20 + 3 334 60 = 300 060 € 3. Ce raisonnement global qui consiste à appliquer le contexte de la monoproduction au niveau global n’est pas très pertinent car une marge moyenne ne reflète pas la diversité des taux de marge des différents objets de coût.

E. APPRÉCIATION DU RISQUE

1. Date d’atteinte du seuil de rentabilité (parfois appelée point-mort) Plus le seuil de rentabilité est atteint tôt dans l’année, plus la sécurité est importante.

2. Marge de sécurité La marge de sécurité représente la baisse du chiffre d’affaires qui peut être supportée sans subir de pertes. En valeur absolue : En valeur relative (indice de sécurité) :

MS = CA – SR CA SR MS = CA

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SÉRIE 02

37

3. L’indice de prélèvement Il exprime le pourcentage du chiffre d’affaires nécessaire pour couvrir les charges fixes : CF 100 IP = CA Plus l’indice est faible, plus facilement l’entreprise peut atteindre son seuil de rentabilité.

4. Levier opérationnel (ou levier d’exploitation ou coefficient de volatilité)1 Le levier opérationnel exprime le pourcentage de variation du résultat obtenu par une variation en pourcentage du chiffre d’affaires. Il s’agit donc de l’élasticité du résultat par rapport au chiffre d’affaires. R LO = Variation relative R / Variation relative CA = R CA CA Ainsi, un levier opérationnel = 2 signifie que l’augmentation (la baisse) de 10 % du chiffre d’affaires entraîne une augmentation (une baisse) de 20 % du résultat. Cette première formulation est peu pratique car il faut calculer les variations du chiffre d’affaires et du résultat. Si on suppose que les conditions d’exploitation sont stables d’une période à l’autre (taux de marge sur coûts variables et charges fixes constants), ce qui signifie que la variation du chiffre d’affaires ne peut provenir que des quantités, le calcul peut se simplifier : R R CA R CA LO = R = = CA R CA CA R CA Or CA = CA1 – CA0 et R = R1 – R0 Si le taux t de marge sur coûts variables et CF sont constants : R = (CA1 t – CF) – (CA0 t – CF) R = (CA1 – CA0) t (CA1 CA 0 )t CA CA MCV LO = = t = CA1 CA 0 R R R

LO =

1

Cf. exercice corrigé 10.

MCV R

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Une dernière formulation est possible : CA CA CA LO = t = t = t = t CF t CA CF R t CA t t Or

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CA CA = CF CF CA t CA t t

CF = SR t LO =

CA 1 = CA – SR MS relative

Conclusions : – La variabilité du résultat est d’autant plus grande que l’indice de sécurité est faible. – La variabilité du résultat est d’autant plus élevée que les charges fixes le sont. Appliqués aux données initiales de l’exemple 1, les résultats sont : – Marge de sécurité en valeur absolue : 1 000 000 – 750 000 = 250 000 € – Marge de sécurité en valeur relative : 250 000 / 1 000 000 = 25 % Un raisonnement en valeur relative (c’est-à-dire en pourcentage) est plus significatif : le chiffre d’affaires peut baisser de 25 % avant d’être en perte. – Indice de prélèvement : 300 000 / 1 000 000 = 30 % 400 000 1 = =4 – Levier opérationnel : 100 000 0,25 Pour déterminer le levier opérationnel à partir de la première formulation, il est nécessaire de calculer le résultat pour un niveau d’activité différent. Prenons par exemple une variation de –10 % des quantités (tout autre pourcentage, positif ou négatif, aurait pu être retenu) : Chiffre d’affaires Charges variables Marges sur coûts variables Charges de structure Résultat

Pour mémoire

Q

CU

1 000 000 600 000 400 000 300 000 100 000

18 000 18 000 18 000

50 30 20

M 900 000 540 000 360 000 300 000 60 000

60 000 100 000 100 000 Levier opérationnel : =4 900 000 1 000 000 1 000 000 Très forte variabilité du résultat (donc risque) : si les volumes vendus augmentent (baissent) de 10 %, le résultat augmente (baisse) de 40 %.

5. Prise en compte de données aléatoires1 Les principaux aspects mathématiques pour comprendre ce paragraphe sont exposés en partie VI de cette série. Le chiffre d’affaires étant aléatoire, ce paragraphe permet de compléter l’étude du seuil de rentabilité par le calcul de probabilités relatives au chiffre d’affaires.

1

Les exercices corrigés 3, 4, 5, 9 et 10 illustrent cette partie du cours.

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SÉRIE 02

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a. Propriétés à connaître RAPPELS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES Les propriétés de l’espérance mathématique et de la variance sont les mêmes que la variable aléatoire soit discrète ou continue. Soit a et b deux constantes, et Xi une variable aléatoire. Propriétés de l’espérance

Propriétés de la variance 2

E(aX) = aE(X)

V(aX) = a V(X)

E(aX + b) = aE(X) + b

V(aX + b) = a2V(X)

E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2)

– Cas de variables indépendantes : V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2) – Cas de variables non indépendantes : V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2) + 2 cov (X1 ; X2)

Xm suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1). L’annexe 1 présente la table nécessaire au calcul des probabilités. Si une variable aléatoire X suit une loi normale N (m ; ), alors la variable T =

Si X suit une loi N (m1 ; 1) et si Y suit une loi N (m2 ; 2), avec X et Y indépendantes, alors : X + Y suit N (m1 + m2 ; 12 + 22 ) X – Y suit N (m1 – m2 ; 12 + 22 ) b. Calcul de probabilités EXEMPLE 5 En réalité, en reprenant les données initiales de l’exemple 1, les quantités vendues Q ne sont pas certaines et suivent une loi normale N (20 000 ; 4 000).

Travail à faire 1. Calculer la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité. 2. Calculer la probabilité de vendre : Plus de 22 000 unités ? Moins de 21 000 unités ? Entre 19 000 et 20 000 unités ? 3. Exprimer la loi suivie par le chiffre d’affaires. Calculer la probabilité d’avoir un chiffre d’affaires inférieur à 900 000 € avec la loi suivie par le chiffre d’affaires. Vérifier la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité avec la loi suivie par le chiffre d’affaires. Quel est le chiffre d’affaires qui sera dépassé dans 95 % des cas ? 4. Exprimer la loi suivie par le résultat. Calculer la probabilité d’avoir un résultat inférieur à 75 000 € avec la loi suivie par le résultat. Vérifier la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité avec la loi suivie par le résultat. Quel est le résultat qui sera dépassé dans 95 % des cas ?

40


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Éléments de réponse 1. La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité exprimée avec la loi des quantités est : P(Q > 15 000) Le changement de variable donne : P(T >

15 000 20 000 ) 4 000

P(T > –1,25) = 1 – [P(T < –1,25)] (attention : –1,25 et non pas +1,25) 1 – (–1,25) = 1 – [1 – (1,25)] = (1,25) = 0,8944 La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité est égale à 89,44 %, ce qui est assez fort. Cette appréciation du risque est toutefois subjective car il est possible de penser que la probabilité de ne pas atteindre le seuil de rentabilité qui est égale à 10,56 % (100 – 89,44) est significative. 2. P(Q > 22 000) = P(T >

P(Q < 21 000) = P(T <

22 000 20 000 ) = P(T > 0,5) = 1 – (0,5) = 1 – 0,6915 = 0,3085 4 000

21 000 20 000 ) = P(T < 0,25) = 0,5987 4 000

P(19 000 < Q < 20 000) = P(

19 000 20 000 20 000 20 000
(0) – (–0,25) = (0) – [1 – (0,25)] = 0,5 – 1 + 0,5987 = 0,0987 3. Le chiffre d’affaires est : CA = 50 Q Le chiffre d’affaires CA est une variable aléatoire qui suit une loi normale car Q suit une loi normale. Il convient de déterminer les paramètres de la loi suive par CA : E(CA) = E(50Q) = 50E(Q) = 50 20 000 = 1 000 000 V(CA) = V(50Q) = 502 4 0002 (CA) =

(la variance de Q est l’écart type au carré)

502 4 0002 = 200 000

CA suit donc la loi normale N (1 000 000 ; 200 000) 900 000 1 000 000 P(CA < 900 000) = P(T < ) = P(T < –0,5) = (–0,5) = 1 – (0,5) = 0,3085 200 000 La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité exprimée avec la loi du chiffre d’affaires est : 750 000 1 000 000 ) = P(T > –1,25) = 0,8944 P(CA > 750 000) = P(T > 200 000 Le chiffre d’affaires k qui sera dépassé dans 95 % des cas est exprimé par : P(CA > k) = 0,95 k 1 000 000 k 1 000 000 P(T > ) = 0,95 posons t = 200 000 200 000 Il faut donc trouver t, tel que : P(T > t) = 0,95 1 – p(T < t) = 0,95 P(T < t) = 0,05 (t) = 0,05 La plus petite probabilité qui peut être lue dans la table est (0) = 0,5. La valeur t recherchée est donc négative et, pour la déterminer, il faut utiliser la propriété (–t) = 1 – (t). (–t) = 1 – 0,05 (–t) = 0,95

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SÉRIE 02

41

La lecture de la table montre que –t est compris entre 1,64 (car (1,64) = 0,9495) et 1,65 (car (1,65) = 0,9505), et que –t est exactement au milieu de cet intervalle. k 1 000 000 d’où k = 671 000 € –t = 1,645 donc t = –1,645 soit –1,645 = 200 000 4. Le résultat est : R = 20Q – 300 000 Le résultat R est une variable aléatoire qui suit une loi normale car Q suit une loi normale. Il convient de déterminer les paramètres de la loi suive par R : E(R) = E(20Q – 300 000) = 20E(Q) – 300 000 = 20 20 000 – 300 000 = 100 000 V(R) = V(20Q – 300 000) = 202 4 0002 (R) =

(la variance de la constante est nulle)

202 4 0002 = 80 000

R suit donc la loi normale N (100 000 ; 80 000) P(R < 75 000) = P(T <

75 000 100 000 ) = P T < –0,3125) (–0,31) = 1 – (0,31) = 1 – 0,6217 80 000

= 0,3783 La probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité exprimée avec la loi du résultat est : 0 100 000 ) = P(T > –1,25) = 0,8944 P(R > 0) = P(T > 80 000 EXEMPLE 6

Le volume des ventes d’un produit suit une loi normale. Il y a 9 chances sur 10 de se situer dans un intervalle compris entre 6 000 et 9 000 unités, intervalle centré sur le volume moyen espéré. Travail à faire 1. Déterminer les paramètres de la loi normale suivie par le volume des ventes. 2. Calculer la probabilité de vendre moins de 6 546 unités. Éléments de réponse 1. L’espérance est la moyenne de l’intervalle : 7 500 unités. L’écart type est obtenu en posant : P(6 000 < Q < 9 000) = 0,90 6 000 7 500 9 000 7 500 1500 P(
6 546 7 500 ) = P(T < –1,046) (–1,05) 912 (–1,05) = 1 – (1,05) = 1 – 0,8531 = 0,1469 = 14,69 %

2. P(Q < 6 546) = P(T <

42


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F. POLITIQUE DE PRIX OPTIMAL Pour conclure cette partie sur le coût variable, ce paragraphe a pour objectif d’expliquer comment cette méthode, conjuguée à la notion d’élasticité prix de la demande, permet de déterminer le prix de vente qui maximise le résultat.

1. Élasticité prix de la demande L’élasticité de la demande par rapport au prix permet de mesurer l’impact des variations de prix sur la demande et de déterminer le prix de vente optimal. L’élasticité de la demande par rapport au prix, notée eD/P, exprime le pourcentage de variation de la demande obtenue par une variation en pourcentage du prix :

D eD/P = Variation relative D / Variation relative P = D P P Pour un bien « normal », si le prix augmente (diminue), la demande diminue (augmente). L’élasticité prix est alors un nombre négatif. Ainsi une élasticité eD/P = –1,8 signifie que si le prix augmente de 10 %, la demande baisse de : +10 % –1,8 = –18 % Les produits de luxe ont au contraire une élasticité prix positive. Le prix étant associé à la qualité et des effets de snobisme font que si le prix diminue (augmente), la demande diminue (augmente). EXEMPLE 7

En réalité, en reprenant les données initiales de l’exemple 1, présenter le compte de résultat différentiel sachant que l’élasticité de la demande par rapport au prix est de –2, si le prix baisse de 5 %. Calcul du nouveau prix : 50 95 % = 47,50 € Le volume vendu augmentera de : – 2 –5 % = + 10 % et sera de : 20 000 1,1 = 22 000 Q

CU

M

Chiffre d’affaires Charges variables

22 000 22 000

47,50 30

1 045 000 660 000

Marges sur coûts variables Charges de structure Résultat

22 000

17,50

385 000 300 000 85 000

Cette politique n’est pas opportune car elle diminue le résultat.

2. Recherche de l’optimum et de la zone de profitabilité a. Le prix optimum est celui qui permet de maximiser le résultat (ou la marge sur coûts variables, comme il sera constaté avec le calcul de la dérivée). En reprenant les données initiales de l’exemple 1, le résultat est : R = 50 20 000 – 30 20 000 – 30 000

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SÉRIE 02

43

D On sait que : D = –1,8 P P Pour simplifier, posons d’où

D = d et D

P =p P

d = –1,8 et d = –1,8 p p

Si le prix varie, il devient : 50(1 + p) Et les quantités sont alors : 20 000(1 + d)

(attention : ne pas mettre 1 – d. Le signe de d dépendra du signe de p qui ne sera connu qu’après dérivation).

Pour déterminer l’optimum, il convient d’exprimer le résultat en fonction des variations relatives du prix et de la demande : R = 50(1 + p) 20 000(1 + d) – 30 20 000(1 + d) – 30 000 R(p) = 50(1 + p) 20 000(1 – 1,8p) – 30 20 000(1 – 1,8p) – 30 000 R(p) = 1 000 000(1 – 1,8p + p – 1,8p2) – 600 000 + 1 080 000p – 30 000 R(p) = 1 000 000 – 800 000p – 1 800 000p2 – 600 000 + 1 080 000p – 30 000 R(p) = – 1 800 000p2 + 280 000p + 100 000 L’optimum est atteint quand la dérivée1 s’annule (il sera admis qu’il s’agit d’un maximum) : R'(p) = –3 600 000p + 280 000 S’annule pour : 0 = –3 600 000p + 280 000 Soit : –3 600 000p = –280 000 p = –280 000 / –3 600 000 = +0,07777 soit +7,78 % d = –1,8p = –1,8 0,07777 = –0,14 soit –14 % Le prix optimal est : 50(1 + p) = 50(1 + 0,07777) = 53,888 53,89 € Le nouveau volume correspondant : 20 000(1 + d) = 20 000(1 – 0,14) = 17 200 Le résultat optimal est : Q

CU

M

Chiffre d’affaires Charges variables

17 200 17 200

53,89 30

926 908 516 000

Marges sur coûts variables Charges de structure Résultat

17 200

23,89

410 908 300 000 110 908

b. La zone de profitabilité est la fourchette de prix dans laquelle le résultat est positif. Elle se détermine à partir des racines2 du trinôme du second degré obtenu en exprimant le résultat en fonction des variations relatives du prix. R(p) = –1 800 000p2 + 280 000p + 100 000 = b2 – 4ac = 280 0002 – 4(–1 800 000 100 000) 893 532,312

1

Cf. annexe 2 : Dérivée et extremum d’une fonction.

2

Cf. annexe 2

44


Les deux racines sont : 280 000 + 893 532,31 –0,1704 p1 = 2 1800 000

p2 =

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280 000 893 532,31 2 1800 000

1 0,326

Les deux résultats obtenus indiquent la fourchette dans laquelle le prix peut se situer pour rester bénéficiaire, à savoir : 50(1 – 0,1704) = 41,48 € et 50(1 + 0,326) = 66,30 € Résultat

150 000

100 000

Zone de profit

p −0,25 −0,2 −0,15 −0,1 −0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

+7,78 % −50 000

−100 000

3. Limites de cette approche Difficultés pratiques pour déterminer le coefficient d’élasticité. De plus, la demande est incertaine et dépend de nombreux autres facteurs que le prix (revenu, conjoncture, dépenses de publicité…), la concurrence peut réagir, le changement de prix peut être incohérent avec la stratégie de positionnement et d’image.

III.

LA MÉTHODE DES COÛTS SPÉCIFIQUES (OU DIRECT COSTING ÉVOLUÉ)1 Cette méthode, également dénommée coût propre ou méthode des marges contributives ou méthode des marges et apports, est un prolongement de la méthode des coûts variables. Cette méthode incorpore aux coûts les charges spécifiques : – Charges variables.

1

Les exercices corrigés 6 et 8 mettent en application la méthode des coûts spécifiques.

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SÉRIE 02

45

– Charges fixes spécifiques : charges fixes qui peuvent être rattachées sans arbitraire à un coût (charges fixes directes). Directes

Indirectes

Variables Fixes

A. LES MARGES SUR COÛT SPÉCIFIQUE Les charges fixes communes constituent une masse non répartie entre les objets de coût. Cette méthode cherche à dégager la marge sur coût spécifique qui mesure la contribution de l’élément étudié à la rentabilité de l’ensemble étudié. X

Y

Z

TOTAL

Chiffre d’affaires Charges variables Marges sur coûts variables Charges fixes spécifiques (CFS)

M/CV

Marges sur coût spécifique Charges fixes communes (CFC)

M/CS

CFS CFC R

Résultat EXEMPLE

Une entreprise produit et vend trois produits X, Y et Z pour lesquels les éléments suivants sont communiqués : Chiffre d’affaires Charges directes Charges indirectes

X

Y

Z

50 000 50 000 20 000

180 000 90 000 10 000

100 000 90 000 20 000

Travail à faire 1. Calculer les résultats en coûts complets. Conclure. 2. Les charges sont variables à hauteur de 30 000 pour X, de 80 000 pour Y et de 60 000 pour Z. Calculer les marges sur coûts variables. Conclure. 3. Les charges fixes spécifiques sont de 30 000 pour X, de 10 000 pour Y et de 30 000 pour Z. Calculer les marges sur coûts spécifiques. Conclure. Éléments de réponse 1. Coûts complets Chiffre d’affaires Coût complet Résultat

X 50 000 70 000 –20 000

Y 180 000 100 000 80 000

Z 100 000 110 000 –10 000

Total 330 000 280 000 50 000

On constate un problème sur X et Z. Est-ce un problème lié à l’imputation des charges indirectes ? Si oui : recalculer les coûts avec une méthode plus pertinente (ABC).

46


R1211-F2/4

Il faut étudier les marges sur coûts variables avant de prendre une décision. 2. Marges sur coûts variables Chiffre d’affaires Coût variable Marges sur coûts variables Charges fixes Résultat

X 50 000 30 000 20 000

Y 180 000 80 000 100 000

Z 100 000 60 000 40 000

Total 330 000 170 000 160 000 110 000 50 000

Il ne faut donc pas abandonner X et Z dont la marge sur coûts variables est positive. Abandonner X et Z diminuerait la marge totale sur coûts variables de 60 000 € (perte de la marge de X et de Z) et rendrait résultat total négatif (–10 000 €). 3. Marges sur coûts spécifiques Chiffre d’affaires Coût variable Marges sur coûts variables Charges fixes spécifiques Marges sur coûts spécifiques Charges fixes communes Résultat

X 50 000 30 000 20 000 30 000 –10 000

Y 180 000 80 000 100 000 10 000 90 000

Z 100 000 60 000 40 000 30 000 10 000

Total 330 000 170 000 160 000 70 000 90 000 40 000 50 000

L’examen des marges sur coût spécifique doit être réalisé avec précaution car son niveau dépend du volume d’activité pour lequel elles sont calculées. En effet, si la marge sur coûts variables augmente (hausse possible du prix de vente, augmentation possible des volumes vendus, baisse possible des coûts variables), la marge sur coût spécifique augmente. Dans le cas d’une marge sur coûts spécifiques négative, indépendamment des considérations stratégiques (image de marque, complémentarité des gammes, ne pas laisser la place à un concurrent…), il est impératif de s’assurer de l’impossibilité d’augmenter l’activité (absence de débouchés, saturation des contraintes de production…) avant de condamner un objet de coût.

B. APPRÉCIATION DE LA MÉTHODE

1. Intérêts – Cette méthode est un intermédiaire entre le coût variable et le coût complet. Elle présente l’intérêt d’être un coût partiel plus exhaustif et donc plus précis que le coût variable, et dans sa composition d’être plus sûre que le coût complet. – Elle permet le même type d’applications que la méthode du coût variable dont elle est le prolongement, et en particulier la prise de décision relative au maintien ou à l’abandon d’une activité en mettant en évidence la contribution de chacune à la couverture des charges fixes communes. – Elle permet le calcul de seuils de rentabilité spécifiques.

2. Limites – La méthode étant le prolongement du coût variable, les limites sont sensiblement les mêmes. – Les stocks devront être évalués au coût complet (un coût partiel sous-évaluant les stocks).

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SÉRIE 02

47

Conclusion sur les coûts partiels Les méthodes de coûts partiels permettent d’organiser le calcul des coûts par centre de responsabilité. Elles facilitent la prise de certaines décisions, les simulations et la prévision. Elles évitent l’arbitraire de certaines répartitions. Cependant, elles ne permettent pas la fixation d’un prix de vente du fait de l’absence de résultat par objet de coût. L’évolution du contexte fait que les coûts variables et les coûts directs représentent une part de moins en moins importante dans la structure des charges. Le coût spécifique constitue un élément de réponse à cette évolution. Les coûts partiels ne peuvent suffire. Ils constituent un outil de pilotage des centres de responsabilité et fournissent un complément d’information adapté à certaines décisions.

IV.

LE COÛT MARGINAL « Coût constitué par la différence entre l’ensemble des charges d’exploitation nécessaires à une production donnée et l’ensemble de celles nécessaires à cette même production majorée ou minorée d’une unité » (PCG 1982). Le coût marginal est donc la variation du coût total. La définition peut être étendue à un nombre quelconque d’unités. Dans ce cas : Coût marginal = CT / Q De même, dans une vision plus réaliste, la notion est applicable à une série nouvelle, un lot supplémentaire, une production additionnelle… L’analyse marginale n’a de sens qu’a priori pour prendre des décisions essentiellement relatives à l’acceptation de commandes supplémentaires et à la fixation des prix.

A. COMPOSANTES DU COÛT MARGINAL Le coût marginal est un coût estimé qui ne s’intéresse qu’au coût engendré par la variation d’une unité, et c’est cette simplification qui fait l’intérêt de la méthode. Pour le calculer, deux situations sont à distinguer.

1. Structure suffisante Dans ce cas, le coût marginal est égal au coût variable de l’unité supplémentaire.

2. Structure insuffisante Le coût marginal est alors égal au coût variable de l’unité supplémentaire majoré du coût de la structure supplémentaire.

48


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EXEMPLE 1

Une entreprise produit et vend 1 000 planches à voile par an au prix unitaire de 400 €. Sa capacité de production est de 1 200 produits, et l’analyse des coûts est la suivante : Coût variable unitaire : 200 € (dont 40 € de charges de personnel) Charges de structure : 150 000 € Un centre de vacances contacte l’entreprise pour commander 150 planches au prix de 300 €. L’acceptation de cette commande se ferait en recourant aux heures supplémentaires, ce qui majorerait les charges de personnel de 25 %. Travail à faire 1. Déterminer le résultat annuel avant la prise de décision. 2. L’entreprise doit-elle accepter cette commande ? 3. Déterminer le résultat annuel si l’entreprise accepte cette commande. Éléments de réponse 1. Chiffre d’affaires Charges variables Marge sur coûts variables Charges de structure Résultat

400 000 –200 000 200 000 150 000 50 000

La structure est suffisante : le coût marginal est alors égal au coût variable de l’unité supplémentaire. Charges de personnel Autres charges variables Coût marginal Recette marginale Résultat marginal

50 160 210 300 +90

2. La recette marginale étant supérieure au coût marginal, il faut accepter cette commande. 3. Il ne faut pas tout recalculer, mais faire un raisonnement à la marge : Résultat marginal total : 90 150 = 13 500 Résultat total : 50 000 + 13 500 = 63 500 EXEMPLE 2 Une entreprise produit et vend 1 000 planches à voile par an au prix unitaire de 400 €. Sa capacité de production est de 1 200 produits, et l’analyse des coûts est la suivante : Coût variable unitaire : 200 € (dont 40 € de charges de personnel) Charges de structure : 150 000 €

Un centre de vacances contacte l’entreprise pour commander 300 planches au prix de 240 €. L’acceptation de cette commande se ferait en recourant aux heures supplémentaires, ce qui majorerait les charges de personnel de 25 %. Travail à faire 1. L’entreprise doit-elle accepter cette commande, sachant que les charges de structure augmenteront de 12 000 € ? 2. Quel doit être le prix de vente unitaire minimum de cette série ?

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SÉRIE 02

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Éléments de réponse 1. La structure est insuffisante : le coût marginal est alors égal au coût variable de l’unité supplémentaire majoré du coût de la structure supplémentaire.

Charges de personnel Autres charges variables Accroissement des charges de structure

Calcul

Montant total

50 300 160 300

15 000 48 000 12 000

Coût marginal

75 000

Coût marginal unitaire : 75 000 / 300 = 250 Montant unitaire

Montant total

250 240 –10

75 000 72 000 –3 000

Coût marginal Recette marginale Résultat marginal

Il faut refuser cette commande car la recette marginale est inférieure au coût marginal. 2. Le prix de vente minimum est le coût marginal unitaire, soit 250 €.

B. MODÉLISATION MATHÉMATIQUE

1. Évolution des coûts a. Évolution du coût total Dans le contexte élémentaire « coût-volume », l’évolution des charges avec l’activité est représentée par une droite :

Coût total

y = ax + CF Activité

50


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En réalité, les charges totales sont plus proches d’une courbe en (S) qui illustre la relation entre le coût total et le rendement.

Coût total

Activité

Rendements constants

Rendements croissants Effet d'expérience, économie d'échelle.

Rendements décroissants Structure qui arrive à saturation, dysfonctionnements, augmentation des pannes, problèmes de qualité...

b. Conséquences sur le coût moyen

Coût moyen

Activité

Le coût moyen décroît en zone de rendements croissants car le coût marginal est inférieur au coût moyen.

Le coût moyen est constant en zone de rendements constants car le coût marginal est proche du coût moyen.

Le coût moyen croît en zone de rendements décroissants car le coût marginal est supérieur au coût moyen.

2. Étude théorique du coût marginal L’évolution du coût marginal peut être déterminée par l’analyse statistique de coûts constatés sur plusieurs périodes pour différents niveaux d’activité. L’ajustement du nuage de points fournit une courbe représentative de la fonction du coût total. Soit CT = f(Q) la fonction qui exprime le coût total en fonction des quantités Q produites.

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51

a. Coût marginal D’après la définition du coût marginal, quand les quantités produites augmentent de Q, le coût devient CT + CT. C f(Q + Q) Le coût marginal de l’unité est : soit Q Q Si Q tend vers zéro, c’est-à-dire pour un accroissement infime de la production, et si f est dérivable : C Coût marginal = lim Q0 Q Cette limite est la dérivée de la fonction du coût total. Coût marginal = CT'(Q) Cette approche suppose que les coûts puissent s’exprimer par des fonctions continues et dérivables, ce qui n’est pas toujours le cas dans la réalité et en particulier dans le cas des productions par lots. EXEMPLE 3 Supposons CT(Q) = 6Q3 – 150Q2 + 8 000Q Coût marginal = Cmarg(Q) = 18Q2 – 300Q + 8 000

b. Optimum technique Il s’agit du niveau d’activité pour lequel le coût moyen est minimum pour une structure donnée. CT(Q) Le coût moyen est : CM (Q) = Q 3 2 CM(Q) = (6Q – 150Q + 8 000Q) / Q = 6Q2 – 150Q + 8 000 Une fonction atteint un optimum quand sa dérivée première s’annule1. L’optimum technique est donc le point qui annule la dérivée du coût moyen, et il sera admis qu’il s’agit d’un minimum.2 CM'(Q) = 12Q – 150 S’annule pour Q = 12,5 Le coût minimum est donc : CT(12,5) = 88 281,25 REMARQUE

CM(Q) = CM'(Q) =

CT(Q) Q

CT'(Q).Q CT(Q).1 Q

1

2

=

CT'(Q) CT(Q) – Q Q2

Cf. annexe 2.

La représentation graphique du coût moyen montre qu’il décroît pour atteindre un minimum puis qu’il croît à nouveau. Sinon, pour démontrer qu’il s’agit d’un minimum, il convient de remarquer que la dérivée seconde (dérivée de la dérivée) est positive. 2

52


Cette dérivée s’annule pour :

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CT'(Q) CT(Q) = Q Q2 CT'(Q) =

CT(Q).Q Q2

CT(Q) Q À l’optimum technique : Coût marginal = Coût moyen CT'(Q) =

Vérification : Cmarg(12,5) = 7 062,5 CM(12,5) = 7 062,5 c. Optimum économique Il s’agit du niveau d’activité qui maximise le résultat total. Soit CA(Q) la fonction du chiffre d’affaires. Le résultat en fonction des quantités est : R(Q) = CA(Q) – CT(Q) Le résultat est optimal quand sa dérivée première s’annule : R'(Q) = CA'(Q) – CT'(Q) Cette dérivée s’annule pour : CA'(Q) = CT'(Q) Soit : Recette marginale = Coût marginal Supposons que le prix de vente unitaire soit égal à 7 550 €. R(Q) = 7 550Q – (6Q3 – 150Q2 + 8 000Q) = –6Q3 + 150Q2 – 450Q R'(Q) = –18Q2 + 300Q – 450 = b2 – 4ac = 3002 – 4(–18 –450) = 57 600 = 2402 Les deux racines sont : 300 + 240 = 1,66 Q1 = 2 18

Q2 =

300 240 2 18

= 15

Il y a donc deux optima : R(15) = 6 750(maximum) Vérification : Cmarg(15) = 7 550 R(1,66) = –361(minimum) Vérification : Cmarg(1,66) = 7 550

CAmarg = 7 550 CAmarg = 7 550

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3. Représentations graphiques a. Prix de vente constant (reprises des données de l’exemple 3) CA(Q) = 7 550Q CT(Q) = 6Q3 – 150Q2 + 8 000Q Q 1 1,2/3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12,5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

CT(Q) CT(Q)/Q CT’(Q) 7 856 7 856 7 718 12 894 7 768 7 550 15 448 7 724 7 472 22 812 7 604 7 262 29 984 7 496 7 088 37 000 7 400 6 950 43 896 7 316 6 848 50 708 7 244 6 782 57 472 7 184 6 752 64 224 7 136 6 758 71 000 7 100 6 800 77 836 7 076 6 878 84 768 7 064 6 992 88 281 7 063 7 063 91 832 7 064 7 142 99 064 7 076 7 328 106 500 7 100 7 550 114 176 7 136 7 808 122 128 7 184 8 102 130 392 7 244 8 432 139 004 7 316 8 798 148 000 7 400 9 200 157 416 7 496 9 638 167 288 7 604 10 112 177 652 7 724 10 622 188 544 7 856 11 168 200 000 8 000 11 750 212 056 8 156 12 368 224 748 8 324 13 022 238 112 8 504 13 712 252 184 8 696 14 438 267 000 8 900 15 200

CA(Q) 7 550 12 533 15 100 22 650 30 200 37 750 45 300 52 850 60 400 67 950 75 500 83 050 90 600 94 375 98 150 105 700 113 250 120 800 128 350 135 900 143 450 151 000 158 550 166 100 173 650 181 200 188 750 196 300 203 850 211 400 218 950 226 500

R(Q) –306 –361 –348 –162 216 750 1 404 2 142 2 928 3 726 4 500 5 214 5 832 6 094 6 318 6 636 6 750 6 624 6 222 5 508 4 446 3 000 1 134 –1 188 –4 002 –7 344 –11 250 –15 756 –20 898 –26 712 –33 234 –40 500

R(Q)/Q –306 –217 –174 –54 54 150 234 306 366 414 450 474 486 487,5 486 474 450 414 366 306 234 150 54 –54 –174 –306 –450 –606 –774 –954 –1 146 –1 350

Coût marginal = Recette marginale Seuil de rentabilité 1

Minimum du coût moyen. Le coût marginal passe par ce point.

Coût marginal = Recette marginale

Seuil de rentabilité 2

54


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Coût marginal

Coûts et prix

10 000 9 500 9 000 8 500

Coût moyen 8 000 Recette marginale

7 500 7 000 6 500 6 000 5 500 5 000

Activité 0

1

2

3

4

5

6

A

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C D

b. Prix de vente variable EXEMPLE 4 Le prix de vente sera supposé décroître régulièrement de 50 € chaque fois que l’activité augmente d’une unité. Les données relatives aux coûts seront celles de l’exemple 3.

Q

CT(Q)

CT(Q) / Q

CT'(Q)

Prix unitaire

CA(Q)

CA(Q) / Q

R(Q)

R(Q) / Q

1

7 856

7 856

7 718

7 550

7 550

7 550

–306

–306

2

15 448

7 724

7 472

7 500

15 050

7 525

–398

–199

3

22 812

7 604

7 262

7 450

22 500

7 500

–312

–104

4

29 984

7 496

7 088

7 400

29 900

7 475

–84

–21

5

37 000

7 400

6 950

7 350

37 250

7 450

250

50

6

43 896

7 316

6 848

7 300

44 550

7 425

654

109

7

50 708

7 244

6 782

7 250

51 800

7 400

1 092

156

8

57 472

7 184

6 752

7 200

59 000

7 375

1 528

191

9

64 224

7 136

6 758

7 150

66 150

7 350

1 926

214

10

71 000

7 100

6 800

7 100

73 250

7 325

2 250

225

11

77 836

7 076

6 878

7 050

80 300

7 300

2 464

224

12

84 768

7 064

6 992

7 000

87 300

7 275

2 532

211

13

91 832

7 064

7 142

6 950

94 250

7 250

2 418

186

14

99 064

7 076

7 328

6 900

101 150

7 225

2 086

149

15

106 500

7 100

7 550

6 850

108 000

7 200

1 500

100

16

114 176

7 136

7 808

6 800

114 800

7 175

624

39

17

122 128

7 184

8 102

6 750

121 550

7 150

–578

–34

18

130 392

7 244

8 432

6 700

128 250

7 125

–2 142

–119

19

139 004

7 316

8 798

6 650

134 900

7 100

–4 104

–216

20

148 000

7 400

9 200

6 600

141 500

7 075

–6 500

–325

R1211-F2/4

SÉRIE 02

Coût marginal

Coûts et prix

8 000

55

Coût moyen

7 500

Prix moyen

7 000

Recette marginale

6 500

6 000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C B D

c. Commentaire des deux graphiques L’optimum économique est le point C pour lequel la recette marginale est égale au coût marginal. L’optimum technique est le point B pour lequel le coût moyen est minimum. Il est à noter que le coût marginal passe par le minimum du coût moyen. La zone de bénéfice est située entre A et D. A est le premier seuil de rentabilité : le coût moyen devient inférieur au prix de vente moyen. Quand on dépasse le point C, le résultat se détériore jusqu’à devenir négatif au-delà du point D. Ceci s’explique par la loi des rendements décroissants, alors que dans le calcul classique du seuil de rentabilité, on suppose que la MCV unitaire est stable, ce qui fait que plus l’activité est importante, plus le résultat augmente.

C. UTILITÉ POUR LA GESTION

1. Intérêts – – – –

Opportunité ou non d’accepter une production supplémentaire. Politique de prix différentiels selon la saison, la clientèle, le taux d’occupation : Yield Management. Détermination du prix de vente optimum. Opportunité d’une sous-traitance : le coût d’achat d’un bien sous-traité est comparé au coût marginal obtenu en interne. – Peut servir de prix de cession interne (cf. série 04). – Dissipe l’illusion d’une croissance infinie des profits qui est implicite dans le modèle « coûtvolume-profit ». En effet, la plupart des entreprises sont soumises aux rendements décroissants.

56


R1211-F2/4

2. Limites – La méthode se heurte à des difficultés pratiques : W Comment évaluer dans les coûts totaux le coût d’une unité supplémentaire ? La méthode suppose qu’il est possible de faire des expériences pour x unités, puis x + 1… ce qui n’est pas réaliste, d’autant plus que les facteurs de productions ne sont généralement pas divisibles. W La méthode suppose qu’il est possible d’ajuster les coûts observés par une fonction. – La méthode incite à accepter toute offre tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal. Cette logique peut compromettre la rentabilité globale de l’entreprise : W par un transfert de clientèle habituelle vers le prix marginal, W en provoquant une réaction de la concurrence, W en cassant une image de marque, W en créant une distinction artificielle de la clientèle… – Dans le cas d’un changement de structure, l’accroissement envisagé suppose une certaine pérennité. – Le modèle du coût marginal est uniquement volumique, alors que la cause des coûts résulte de facteurs divers.

D. CONCLUSION Le coût marginal est un outil a priori et ponctuel pour prendre des décisions exceptionnelles. Il est indispensable de l’accompagner de réflexions stratégiques, commerciales et industrielles.

V.

LA MÉTHODE DES COÛTS CIBLES (TARGET COSTING) La méthode du coût cible a été développée dans l’industrie automobile au Japon pendant la période 1970-1980. Le développement de la méthode des coûts cibles (ou coûts objectifs) s’inscrit dans une démarche stratégique de coût global (ou life cycle cost) qui consiste à analyser la rentabilité sur l’ensemble du cycle de vie, depuis le coût de conception jusqu’au coût de destruction.

A. LES FONDEMENTS DE LA MÉTHODE La comptabilité de gestion ne s’intéresse qu’à la phase de production, or actuellement 70 % à 90 % des coûts sont des coûts de conception (en amont de la production) et des coûts de maintenance et de services liés au produit (en aval de la production). Par ailleurs, les modèles traditionnels sont adaptés à des produits parvenus à maturité dont la durée du cycle de vie est assez longue. La méthode part d’un constat simple : ce sont les produits qui génèrent le profit de l’entreprise, et cette profitabilité (résultat/chiffre d’affaires) se joue essentiellement dans la phase de conception.

R1211-F2/4

SÉRIE 02

57

1. La phase amont de conception Traditionnellement, les efforts de réduction des coûts ont porté sur la recherche de gains de productivité lors de la fabrication. Le point de départ de la méthode a été de constater qu’environ 80 % des coûts du cycle de vie d’un produit étaient préengagés lorsque la première unité du produit est lancée en fabrication alors même que 80 % de ces coûts ne seront effectivement dépensés qu’après cette date. Ainsi, la majorité des coûts qui seront supportés durant les phases de production et de distribution des produits dépend de choix réalisés lors des phases de conception et de développement. En conséquence, il est plus facile de réduire les coûts au moment de la conception. Il est donc logique de se tourner vers l’amont en se préoccupant des coûts lors même de la conception des produits. Le raccourcissement de la durée du cycle de vie des produits conjuguée au fait que lorsque la production commence, environ 80 % des coûts de l’ensemble du cycle sont engagés même s’ils ne seront dépensés qu’ultérieurement, met en évidence l’importance de la phase initiale de conception. Coûts totaux provoqués par le produit au long de son cycle de vie Coûts engagés

80 %

Coûts dépensés

Conception

Début de production

Fin du cycle

Phases du cycle de vie

Adapté de la Revue française de comptabilité, n° 255 C’est dès la phase de conception du produit que les décisions concernant les caractéristiques du produit et l’organisation de sa production auront des conséquences difficilement réversibles sur des dépenses qui se poursuivront pendant tout le cycle de vie. Les coûts décidés sont maîtrisables : choix de sous-traitance, de technologie, analyse de la valeur... Les coûts dépensés sont suivis par le contrôle de gestion comptable classique.

2. Le renversement dans l’analyse du marché La méthode du coût cible se fonde sur le principe que le prix est imposé par le marché. Le prix ne dépend donc pas du coût, et c’est au contraire le coût qui doit être adapté au prix du marché. Le coût apparaît alors comme une variable d’action qui est limitée par deux contraintes : – Le prix imposé par le marché. – La marge choisie par l’entreprise.

58


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Philippe LORINO désigne par le terme coût cible, le coût qui répond à cette équation : Coût cible = Prix de vente imposé par le marché – Profit cible La méthode du coût cible est un ensemble de méthodes et d’outils de gestion visant à adapter le coût complet prévisionnel des produits aux objectifs de profitabilité fixés pour l’ensemble du cycle de vie.

B. LES ÉTAPES DE LA MÉTHODE

1. Détermination du coût cible Le coût cible se déduit du prix de vente imposé par le marché et du profit cible. a. La fixation du prix de vente Les techniques d’étude de marché conduisent à déterminer un prix prévisionnel et un volume prévisionnel qui évolueront au cours du cycle de vie du produit. b. La fixation du profit cible Un objectif de rentabilité de l’ensemble du portefeuille de produits est fixé sur un horizon temporel en fonction des options stratégiques, du mode de financement, de la stratégie commerciale, de la croissance attendue... Une quote-part du profit global planifié est alors attribuée à chaque produit et constitue son profit cible. Le coût cible se déduit de l’équation précédemment présentée : Coût cible = Prix de vente imposé par le marché – Profit cible c. Décomposition du coût cible À ce stade, le coût cible n’est pas opératoire car trop global. Aussi doit-il être décomposé en fonction des composantes en coûts cibles partiels. Cette décomposition nécessite : – l’identification des différentes fonctions que le produit est censé remplir ; – l’évaluation de l’importance relative que le consommateur attribue à chacune des fonctions ; – l’analyse des relations entre les composants et les fonctions ; – la définition d’un coût cible par composant : la part du coût du composant dans le coût total doit être cohérente avec sa part relative de contribution à la valeur créée pour le client. Le coût cible représente ainsi une mesure de la valeur perçue par le consommateur, ce qu’il est prêt à payer pour l’ensemble des fonctions attachées au produit, et chaque composant du produit devrait engendrer un coût correspondant à la valeur que lui attribue le consommateur. (Voir exercice corrigé n° 2.)

2. Détermination du coût estimé Dans un deuxième temps, compte tenu de son pôle de compétences (hommes, technologie, organisation du travail, communication), l’entreprise estime le coût qu’elle est capable de réaliser. Comme le coût cible, le coût estimé doit couvrir l’ensemble du cycle de vie.

R1211-F2/4

SÉRIE 02

59

Compte tenu de son aspect stratégique, la connaissance de ce coût futur suppose précision et justesse. L’estimation fait appel à trois types de méthodes. a. Les méthodes paramétriques Fondées sur la corrélation entre les coûts et les paramètres physiques du produit (poids, volume, dimension, puissance...), elles débouchent sur une relation Y = aX + b. Ces méthodes sont simples et rapides mais trop approximatives. Aussi ne sont-elles à utiliser que comme première approximation. b. Les méthodes analogiques Elles prennent comme point de départ le coût d’un produit existant analogue au produit nouveau. Le coût estimé est dérivé des modifications apportées au produit nouveau. Ces méthodes supposent des conditions techniques stables et un concept de produit non innovant. c. Les méthodes analytiques Elles consistent en une analyse technique détaillée du produit nouveau. La pertinence du modèle d’allocation des charges aux coûts est fondamentale pour obtenir un coût estimé fiable. La prise en compte dans le coût des produits de leur complexité (nombre de composants, niveau de standardisation...), de leur mode de fabrication (nombre d’opérations, taille des lots...) doit être correctement évaluée pour percevoir les phénomènes de subventionnement croisé. C’est pourquoi les méthodes de coûts à base d’activités (ABC) sont fréquemment utilisées dans la démarche du coût cible.

3. Optimisation du coût Dans la plupart des cas, le coût estimé est supérieur au coût cible et, en conséquence, l’objectif sera de résorber l’écart. Pour cela, des techniques d’optimisation sont à mettre en œuvre. Les améliorations doivent toujours être effectuées dans une perspective valeur-coût : il ne s’agit pas de réduire le coût si cela devait affecter la valeur perçue, mais d’optimiser le rapport entre ces deux notions. Ce processus d’amélioration est mis en œuvre à toutes les étapes du cycle de vie : a. Pendant la conception L’analyse de la valeur est la technique fondamentale utilisée pour rapprocher le coût estimé du coût cible sans affecter la valeur perçue par le client. Selon l’Afnor, l’analyse de la valeur est définie comme « une méthode de travail structurée et systémique à caractère technico-économique qui vise à ne laisser subsister dans un produit que ce qui est nécessaire à la satisfaction du client ». L’analyse de la valeur passe par une analyse fonctionnelle pour recenser, caractériser, hiérarchiser et valoriser les fonctions du produit. Chacune des fonctions identifiées doit être valorisée pour le producteur (coût) et pour le client (prix que le client est prêt à payer pour cette fonction).

60


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L’analyse fonctionnelle consiste à : – rechercher les fonctions ; – classer les fonctions entre fonctions principales et fonctions contraintes ainsi qu’entre fonctions d’usage et fonctions d’estime ; – différencier les fonctions de service répondant aux besoins des utilisateurs des fonctions techniques choisies par le concepteur-réalisateur pour assurer des fonctions de service ; – hiérarchiser les fonctions ; – valoriser les fonctions. L’analyse fonctionnelle permet souvent d’éliminer une multitude de « petites tâches » inutiles et d’adapter le bien en fonction des besoins du consommateur pour obtenir non pas la qualité maximale, mais la qualité optimale. Par ailleurs, la conception modulaire des produits, et plus généralement la différenciation retardée des produits, permet de valoriser les interactions entre produits et processus de production. b. Pendant la phase de production L’optimisation doit se poursuivre par l’effet d’apprentissage et par une dynamique permanente de progrès (« kaizen »). Pendant la phase de production, la « maintenance des coûts » consiste à contrôler les coûts réels pour les maintenir proches des coûts cibles et pour éliminer les causes d’écarts. Le modèle de MAKIDO résume la maîtrise des coûts recherchée par l’optimisation du coût : Coût cible

Coût estimé Conception et réduction du coût

Coût réel Maintenance du coût

C. CONCLUSION La méthode des coûts cibles est une vision tournée vers le marché qui s’inscrit parfaitement avec les démarches de qualité totale et de benchmarking. Elle implique une vision transversale des organisations : le marketing pour les études de marché, les études et méthodes pour la conception et les choix de processus, le contrôle de gestion pour la valorisation des coûts et des performances, les approvisionnements dans le choix des composants... L’analyse de la valeur est souvent source d’innovations : produits, procédés, organisation. Cependant, elle se heurte à des difficultés d’évaluation : – Si l’entreprise dispose d’une certaine marge de manœuvre dans la fixation du prix de lancement en fonction de sa stratégie (écrémage ou pénétration), elle doit anticiper les réactions des concurrents. – Une autre difficulté concerne la répartition du profit global sur une longue période entre les différents produits du portefeuille. – Quels éléments retenir dans le calcul du coût estimé et comment appréhender les phénomènes d’apprentissage ? – La méthode nécessite une implication forte pour surmonter la culture budgétaire des territoires et aboutir à une coopération transversale et non hiérarchique entre les différentes fonctions. La conception du coût cible reste bien souvent le fait des professionnels de la conception et ignore la vision transversale.

R1211-F2/4

VI.

SÉRIE 02

61

LES VARIABLES ALÉATOIRES1 Une variable aléatoire est une application qui permet d’associer à chaque résultat d’une épreuve (ou éventualité) une probabilité. L’étude du référentiel (ou ensemble des éventualités prises par une variable aléatoire) conduit à distinguer : – les variables aléatoires discrètes : variables dont l’ensemble des valeurs possibles est dénombrable ; – les variables aléatoires continues : variables dont l’ensemble des valeurs possibles est infini car défini par toutes les valeurs d’un intervalle réel.

A. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES (OU DISCONTINUES)

1. Fonction de distribution ou loi de probabilité La fonction de distribution ou loi de probabilité d’une variable aléatoire X est l’application qui, à chaque valeur possible xi, associe la probabilité P(xi) ou P(X = xi). Cette fonction qui peut être représentée par un diagramme en bâtons est telle que : n

P(xi ) = 1

i =1

EXEMPLE 1

Un représentant a relevé le nombre quotidien de commandes qu’il a obtenues sur une année de 300 jours de travail : Nombre quotidien de commandes Nombre de jours

0 30

1 60

2 120

3 75

4 15

Total 300

Les conditions passées étant stables, il souhaite déterminer la loi de probabilité du nombre quotidien de commandes. La variable aléatoire étudiée est X : « nombre quotidien de commandes ». Les valeurs xi prises par X sont : {0, 1, 2, 3, 4}. Il s’agit d’un ensemble fini qui constitue le référentiel de la variable aléatoire X. V

Les probabilités associées à chaque valeur xi sont assimilables aux fréquences de la série statistique. 30 Ainsi : 0,1 = 300

V

1 Cette partie du cours a pour objectif de présenter les éléments fondamentaux nécessaires à la compréhension de la partie II.E.5. Appréciation du risque par la prise en compte de données aléatoires.

62


R1211-F2/4

La loi de probabilité peut être représentée par un tableau ou par un diagramme en bâtons, représentation graphique adaptée à une variable discrète : Diagramme en bâtons xi P(X = xi) ou P(xi)

0 0,1

1 0,2

2 0,4

3 0,25

4 0,05

P(xi) = 1

0,4

0,4

P(xi)

Ainsi, selon la loi de probabilité définie, le représentant a, par 0,3 exemple, une probabilité égale à 40 % d’obtenir deux commandes chaque jour. 0,2

0,25 0,2 0,1

0,1

0,05

0 0

1

2

3

4

xi

2. Fonction de répartition La fonction de répartition d’une variable aléatoire est l’application F qui, à tout réel x, associe la probabilité F(x) que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x. F(x) = P(X x) V F(x) est une fonction monotone croissante de 0 à 1, représentée par une courbe en escalier des probabilités cumulées croissantes. V

Pour tous réels a et b : P(a < X b) = F(b) – F(a)

EXEMPLE 1

(suite)

Déterminer et représenter la fonction de répartition du nombre de commandes du représentant, puis calculer P(X < 0), P(X 0), P(X 2), P(X > 2), P(X < 3), P(0 < X < 3). Fonction de répartition : x ]– , 0[ [0 , 1[ [1 , 2[ [2 , 3[ [3 , 4[ [4 , [

F(x) 0 0,1 0,3 0,7 0,95 1

1 F(x) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x 0

1

2

3

4

5

Calcul des probabilités : P(X < 0) = 0 P(X 0) = F(0) = P(X = 0) = 0,1 P(X 2) = F(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7 P(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1 – F(2) = 1 – 0,7 = 0,3 P(X < 3) = P(X 2) = 0,7 P(0 < X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = P(0 < X 2) = F(2) – F(0) = 0,7 – 0,1 = 0,6

R1211-F2/4

SÉRIE 02

63

3. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète Les caractéristiques ont pour objectif de synthétiser la variable aléatoire sous la forme de valeurs significatives. a. Espérance mathématique L’espérance mathématique, notée E(X), exprime la tendance centrale de la variable aléatoire X. L’espérance mathématique de X est la moyenne arithmétique des valeurs prises par X pondérées par les probabilités associées à chacune de ces valeurs : n

E(X) =

xi P(xi )

i =1

b. Variance et écart-type La variance, notée V(X), exprime la dispersion de la variable aléatoire par rapport à la tendance centrale. La variance de X est la somme des écarts élevés au carré entre les valeurs prises par X et son espérance mathématique, pondérés par les probabilités associées à chacune de ces valeurs : n

V(X) =

[xi E(X)]2 P(xi )

i =1

La variance n’a pas la même unité que la variable étudiée (la variance est le résultat de calculs élevés au carré : il s’agit d’un indicateur « quadratique »). Aussi est-il préférable de retenir l’écart-type, racine carrée de la variance, pour annuler l’effet des carrés. L’écart-type, mesure de la dispersion d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique, est utilisé en gestion pour apprécier le risque. D’une façon générale, plus il est élevé, plus le risque est grand. L’écart-type, noté (X), est la racine carrée de la variance : (X) =

V(X)

Il n’est pas demandé de retenir les formules de calcul, mais de savoir exploiter les fonctions statistiques de votre calculatrice. EXEMPLE 1 (suite) Espérance mathématique : E(X) = 1,95 contrat Écart-type : (X) = 1,0234 contrat

B. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES L’étude de problèmes économiques peut conduire à présenter les résultats possibles sous forme d’intervalles. Une variable aléatoire est continue quand l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre est défini par toutes les valeurs d’un intervalle réel.

64


R1211-F2/4

Le nombre de valeurs d’un intervalle étant infini, la probabilité attachée à un point tend intuitivement vers 0 : P(X = x) = 0 Une variable aléatoire continue se définit par sa fonction de répartition et par sa densité de probabilité.

1. Fonction de répartition : F(x) La fonction de répartition d’une variable aléatoire est l’application F qui, à tout réel x, associe la probabilité F(x) que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x. F(x) = P(X x) Les propriétés d’une fonction de répartition sont les suivantes : V

F(x) est une fonction croissante de 0 à 1 :

lim F(x) = 0 et x

lim F(x) = 1 x+

F(x)

Courbe représentative de F(x) : 1

−∞ V

0

x +∞

Pour tous réels a et b : P(a < X b) = F(b) – F(a)

2. Densité de probabilité : f(x) La fonction de densité d’une variable aléatoire X continue est la fonction f qui, à tout réel x, associe la dérivée de la fonction de répartition sur chacun des intervalles où F est dérivable : f(x) = F'(x) Les propriétés d’une fonction de densité sont les suivantes : V

V

f(x) est une fonction dont les valeurs sont positives sur l’ensemble de définition de la variable aléatoire puisqu’elle est la dérivée d’une fonction croissante. La probabilité d’un intervalle [a, b] se calcule en intégrant la fonction de densité f : f(t)

b P(a < X b) =

f (t) dt = F(b) – F(a)

= [F(x)]ba

a

a

0

b

t

R1211-F2/4

SÉRIE 02

V

65

De même, la fonction de répartition F de la variable aléatoire X peut s’exprimer par la primitive de f qui tend vers 0 quand x tend vers moins l’infini : f(t) x

P(X x) =

f (t) dt = F(x)

0 V

x

t

f(x) est telle que l’aire entre l’axe des abscisses et la courbe est égale à 1 : f(t)

+

f (t) dt = 1

0

t

C. PROPRIÉTÉS DES VALEURS CARACTÉRISTIQUES Les propriétés de l’espérance mathématique et de la variance sont les mêmes que la variable aléatoire soit discrète ou continue. Soit a et b deux constantes, et X une variable aléatoire.

1. Propriétés de l’espérance mathématique V

Espérance de aX : E(aX) = aE(X)

V

Espérance de aX + b : E(aX + b) = aE(X) + b

V

Espérance de la somme de variables aléatoires X1 , X2, ..., Xn : E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... E(Xn)

V

Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes X1 , X2 : E(X1 X2) = E(X1) E(X2)

66


R1211-F2/4

2. Propriétés de la variance V

Variance de aX : V(aX) = a2V(X)

V

Variance de aX + b : la variance et l’écart-type d’une constante sont nuls. V(aX + b) = a2 V(X)

V

Variance de la somme de variables aléatoires X1, X2 :

Il faut distinguer le cas des variables aléatoires non indépendantes du cas des variables indépendantes. Variables aléatoires non indépendantes

Variables aléatoires indépendantes

V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2) + 2 cov (X1, X2)

V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2)

Avec cov(X1, X2) = covariance de X1 et X2 = (X i X)(Yi Y) = EXEMPLE 1

1 X i Yi XY N

(suite)

Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type du résultat quotidien R du représentant, sachant que chaque contrat conclu génère un produit de 1 000 €, des charges variables de 200 €, et que les charges fixes quotidiennes sont de 500 €. Le résultat R en fonction des quantités est : R = (1 000 – 200)X – 500 = 800X – 500 L’espérance du résultat quotidien est : E(R) = E(800X – 500) = 800E(X) – 500 avec : E(X) = 1,95 E(R) = 800 1,95 – 500 = 1 060 € La variance du résultat quotidien est V(R). V(R) = V(800X – 500) = 8002V(X) Avec : V(X) = 1,0234 2 puisque l’écart-type est la racine carrée de la variance V(R) = 8002 1,02342 = 670 302,44 L’écart-type du résultat quotidien est : (R) =

670 302,44 = 818,72 €

D. LOIS USUELLES DE PROBABILITÉ

1. Loi binomiale a. Épreuve de Bernoulli Une variable aléatoire discrète X1 suit une loi de Bernoulli si le référentiel de l’épreuve est l’alternative : réalisation de l’épreuve (avec la probabilité p) ; non-réalisation de l’épreuve (avec la probabilité q, avec q = 1 – p). Succès = réalisation de l’épreuve Probabilité p Résultat d’une épreuve de Bernoulli : deux éventualités Échec = non-réalisation de l’épreuve Probabilité q =1 – p

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SÉRIE 02

67

La valeur de la variable de Bernoulli est 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec : xi

1

0

P(X1 = xi)

p

q

E(X1) = (1 p) + (0 q) = p V(X1) = (12 p) + (02 q) – p2 = p – p2 = p(1 – p) = pq

L’espérance mathématique d’une variable de Bernoulli est : E(X1) = p La variance d’une variable de Bernoulli est : V(X1) = pq Présentation d’épreuves de Bernoulli : – – – – –

Épreuves Sexe d’un enfant à la naissance. Résultat d’un candidat à un examen. Résultat du jet d’une pièce. Contrôle de qualité. Signe d’un nombre.

– – – – –

Référentiel Fille ou garçon. Admis ou refusé. Pile ou face. Conforme ou non conforme. Positif ou négatif.

b. Définition de la binomiale Soit une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de réalisation de l’événement succès est égale à p. Cette épreuve est reproduite n fois, les répétitions étant indépendantes (c’est-à-dire que la probabilité de succès est égale à p au cours des n épreuves). La variable aléatoire X étudiant le nombre de succès au cours des n épreuves de Bernoulli indépendantes suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B (n , p). X est une variable aléatoire discrète dont les valeurs possibles sont les entiers compris entre 0 et n. Pour que X soit égale à k, une des possibilités est qu’il y ait succès au cours des k premières épreuves, puis échec pendant les (n – k) épreuves suivantes. La probabilité de cet événement est égale à pk qn – k. Cependant, seul le nombre k de succès est pris en compte sans que l’ordre où ils se réalisent intervienne, et il y a donc

Ckn

combinaisons qui réalisent l’événement X = k.

En conséquence, pour tout nombre entier naturel k, tel que 0 k n, la loi de probabilité de X est donnée par : P(X = k) = Avec

Ckn

pk qn – k

n! (n k)! k!

c. Caractéristiques d’une variable aléatoire binomiale Une variable aléatoire X qui suit une binomiale est la somme de n variables de Bernoulli Xi indépendantes et peut, en conséquence, se définir par X = X1 + X2 + ... + Xn. L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale est : E(X) = E(X1 + X2 + ... + Xn)

68


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D’après les propriétés de l’espérance mathématique : E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) = p + p + ... + p E(X) = np La variance V(X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale est : V(X) = V(X1 + X2 + ... + Xn) D’après les propriétés de la variance, et puisque les variables Xi sont indépendantes : V(X) = V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn) = pq + pq + ... + pq V(X) = npq

et

(X) =

npq

d. Somme de variables aléatoires binomiales indépendantes de même probabilité p Si X suit une loi binomiale B (n1 , p) et si Y suit une loi binomiale B (n2 , p), avec X et Y indépendantes mais de même probabilité p, alors X + Y est la somme de (n1 + n2) variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p, et X + Y suit une loi B (n1 + n2 , p). EXEMPLE 2

Le responsable du rayon vidéo d’un grand magasin a constaté que 95 % des lecteurs de DVD et des téléviseurs de la marque M fonctionnent sans problème pendant quatre ans. Une promotion a été effectuée pour Noël : 30 lecteurs de DVD et 50 téléviseurs de la marque M ont été vendus en une journée. Travail à faire 1. Soit X la variable aléatoire étudiant « le nombre de pannes des 30 lecteurs de DVD de la marque M sur une période de quatre ans », calculer les probabilités que : – aucun ne soit tombé en panne, – 10 soient tombés en panne, – au plus 5 soient tombés en panne, – au moins 6 soient tombés en panne. 2. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X. 3. Soit Z la variable aléatoire étudiant « le nombre total de pannes des 30 lecteurs de DVD et des 50 téléviseurs de la marque M sur une période de quatre ans », calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire Z. Éléments de réponse 1. Dans un premier temps, il faut identifier la loi suivie par la variable aléatoire X étudiant « le nombre de pannes des 30 lecteurs de DVD de la marque M sur une période de quatre ans ». Pour un lecteur de DVD, il s’agit d’une épreuve de Bernoulli dont l’alternative est : – il y a une panne, avec une probabilité de 5 % ; – il n’y a pas de panne, avec une probabilité de 95 %. Cette épreuve est répétée 30 fois de façons indépendantes. La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale B (30 ; 0,05).

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69

2. V

Calcul préalable de points :

k

0

P(X = k) P(X k)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,2146 0,3389 0,2586 0,1270 0,0451 0,0123 0,0027 0,0004 0,00007 0,00001 0,00000 0,2146 0,5535 0,8121 0,9391 0,9842 0,9965 0,9992 0,9996 0,99967 0,99968

Les valeurs P(X = k) sont obtenues en appliquant la formule Par exemple, P(X = 1) =

Ckn

1

pk qn – k

30! 0,051 0,9529 = 0,3389 (30 1)! 1!

REMARQUE

Certaines calculatrices permettent d’obtenir directement les résultats. V

Calcul des probabilités :

P(X = 0) =

0

0

30 – 0

C 30 0,05 0,95 = 0,2146 = 21,46 % 10 P(X = 10) = C30 0,0510 0,9530 – 10 0 % P(X 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 5) = 99,65 % P(X 6) = 1 – P(X < 6) = 1 – P(X 5) = 1 – 0,9965 = 0,0035 = 0,35 %

E(X) = 30 0, 05 = 1,5 lecteur de DVD V(X) = 30 0, 05 0, 95 = 1,425 lecteur de DVD

V

(X) =

1,425 = 1 lecteur de DVD

3. La variable aléatoire Z est la somme de deux variables aléatoires binomiales indépendantes de même probabilité. La variable Z suit donc une loi binomiale B (30 + 50 ; 0,05). E(Z) = 80 0, 05 = 4 appareils en panne. V(Z) = 80 0, 05 0, 95 = 3,8 appareils en panne. (Z) =

3,8 = 1,95 appareil en panne.

2. Loi de Poisson La loi de Poisson modélise les variables aléatoires qui étudient les événements où le futur est indépendant du passé et les événements rares (files d’attente, pannes, mortalité, accidents, nombre d’appels à un standard...), et suppose les propriétés suivantes : – La probabilité p de réalisation d’un événement pendant un intervalle de temps infiniment petit de durée dt est proportionnelle à dt. – La probabilité d’avoir plus d’une réalisation d’un événement donné dans un intervalle de temps tend vers zéro : la loi de Poisson est également appelée loi des événements rares. a. Définition d’une loi de Poisson Une variable aléatoire discrète X suit une loi de Poisson de paramètre notée P (), avec nombre réel positif, quand sa loi de probabilité est définie par : P(X = k) = e–

k k!

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REMARQUE

Connaissant P(X = k), il est possible de calculer rapidement P(X = k + 1) : P(X = k + 1) = P(X = k)

k +1

b. Caractéristiques d’une variable aléatoire de Poisson Il sera admis que l’espérance E(X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson est : E(X) = Il sera admis que l’écart-type (X) d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson est : (X) =

c. Somme de variables aléatoires de Poisson indépendantes Si X suit une loi de Poisson P (1) et si Y suit une loi de Poisson P (2), avec X et Y indépendantes, alors X + Y suit une loi P (1 + 2). EXEMPLE 3 Le nombre moyen de taxis qui traversent un carrefour entre neuf et dix heures est de 30 véhicules et suit une loi de Poisson.

Travail à faire 1. Calculer les probabilités pour que, sur une période de dix minutes entre neuf et dix heures, traversent : aucun taxi, trois taxis, quatre taxis, cinq taxis, au plus cinq taxis. 2. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type du nombre de taxis qui traversent le carrefour pendant dix minutes. Éléments de réponse 1. Dans un premier temps, sachant que = 30 pour une heure (ou 60 minutes), il convient de déterminer , nombre moyen de taxis traversant le carrefour pour l’intervalle de 10 minutes : Pour 10 minutes, d’après la proportionnalité, = 30

10 =5 60

La variable aléatoire X qui étudie « le nombre de taxis qui traversent le carrefour pendant un intervalle de 10 minutes » suit donc une loi de Poisson P (5). P(X = 0) = e–5

50 0,007 = 0,7 % 0!

P(X = 3) = e–5

53 0,140 = 14 % 3!

P(X = 4) = e–5

5 54 = P(X = 3) 0,175 = 17,5 % 4! 4

P(X = 5) = e–5

55 5 = P(X = 4) 0,175 = 17,5 % On remarquera que : P(X = 4) = P(X = 5) 5 5!

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P(X 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 5) = 0,616 = 61,6 % 2. E(X) = V(X) = = 5 taxis (X) =

5 = 2,236 taxis

EXEMPLE 4 Deux machines A et B fonctionnent indépendamment l’une de l’autre. Le nombre de pannes pour un mois donné de 30 jours suit une loi de Poisson de paramètre = 25 pour la machine A et de paramètre = 20 pour la machine B.

Travail à faire Calculer la probabilité que, pour un jour donné, il n’y ait pas de pannes. Éléments de réponse La variable aléatoire étudiant « le nombre quotidien de pannes » suit une loi de Poisson de paramètre = (25 + 20) / 30 = 1,5 P(X = 0) = e–1,5

1,50 0,2231 = 22,31 % 0!

3. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson Une variable aléatoire suivant une loi binomiale B (n , p) peut être approchée par une loi de Poisson P () si les trois conditions suivantes sont réunies : n est suffisamment grand, p est voisin de zéro, et le produit np pas trop grand. En pratique, les conditions d’approximation sont les suivantes : Si n 30 (ou n 50) et p 0,1 et np 15 (ou np 5) alors B (n , p) peut être approchée P () avec = np L’approximation permet de simplifier les calculs.

4. Loi normale La loi normale ou loi de Laplace-Gauss modélise les variables aléatoires qui résultent de nombreuses causes indépendantes dont les effets s’additionnent, sans que l’une soit prépondérante. Cette loi est la plus répandue car elle traduit la complexité des phénomènes physiques et socioéconomiques souvent distribués normalement. Par ailleurs, elle permet d’approximer, sous certaines conditions, la loi binomiale et la loi de Poisson. a. Loi normale centrée réduite Si une variable aléatoire continue X suit une loi normale N (m , ), alors la variable Xm suit la loi normale centrée réduite N (0 , 1). T=

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Ce théorème permet de limiter l’étude des lois normales à celle de la loi normale centrée réduite pour laquelle il existe une table (cf. annexe 1 en fin de série). La variable T étant continue P(T t) = P(T < t) puisque le paragraphe 6-2 précise que P(T = t) = 0 La représentation graphique de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite est la suivante : f(t)

−3

−2

−1

t 0

1

2

3

Le calcul de P(T t), noté également (t), se fonde sur les propriétés suivantes : – La fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. – L’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1. Première conséquence : (0) = 0,5

f(t)

Donc si (t) < 0,5 t est négatif.

(0) −3

π(0) −2

−1

t 0

1

2

3

Deuxième conséquence : (–t) = 1 – (t) f(t)

f(t)

π(−t) −4

−3

−t −2 −1

1 − π(t) t 0

1

2

3

4

−4

−3

−2

−1

0

1

t

t 2

3

4

b. Utilisation de la table de répartition de la loi normale centrée réduite La table de répartition de la loi normale centrée réduite donne les valeurs de (t) pour des valeurs positives de t et pour calculer P(T t). EXEMPLE 5 Le chiffre d’affaires mensuel d’un commerce suit une loi normale de moyenne 12 000 € et d’écarttype 1 500 €.

Travail à faire 1. Calculer la probabilité que le chiffre d’affaires mensuel soit : – égal à 12 000 – inférieur à 12 000 – inférieur à 13 000 – inférieur à 10 000

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SÉRIE 02

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– compris entre 10 500 et 13 500 – supérieur à 10 500 2. Calculer le chiffre d’affaires mensuel qui – ne sera pas dépassé dans 95 % des cas, – sera dépassé dans 80 % des cas. Éléments de réponse 1. La variable aléatoire C exprimant le chiffre d’affaires mensuel suit une loi normale N (12 000 , 1 500). C 12 000 La variable T = suit la loi normale N (0 , 1). 1500 V

P(C = 12 000) = 0

V

P(C < 12 000) ou P(C 12 000) = P(T

12 000 12 000 ) = P(T 0) = (0) = 0,5 1500

V

P(C < 13 000) ou P(C 13 000) = P(T

13 000 12 000 ) = P(T 0,66) = (0,66) = 0,7454 1500

10 000 12 000 ) = P(T –1,33) = (–1,33) 1500 (–1,33) = 1 – (1,33) = 1 – 0,9082 = 0,0918

V

P(C < 10 000) ou P(C 10 000) = P(T

10 500 12 000 13 500 12 000 T ) = P(–1 T 1) 1500 1500 (1) – (–1) = (1) – [1 – (1)] = 2(1) – 1 = 0,6826 V

P(10 500 < C < 13 500) = P(

10 500 12 000 ) = P(T > –1) = 1 – P(T < –1) = 1 – [1 – P(T < 1)] 1500 1 – [1 – (1)] = (1) = 0,8413 V

P(C > 10 500) = P(T >

2. Le problème est inversé : il s’agit de déterminer t à partir des valeurs connues de (t). P(C < c) = 0,95 c 12 000 ) = 0,95 P(T < 1500 P(T t) = 0,95 (t) = 0,95

V

t ... 1,6 ...

...

Pour simplifier, posons : t =

0,04

0,05

0,9495

0,9505

t = 1,645 soit 1,645 = P(C > c) = 0,8 c 12 000 ) = 0,8 P(T > 1500 P(T > t) = 0,80 1 – P(T < t) = 0,8 P(T < t) = 0,2

c 12 000 1500

La lecture de la table indique que t est compris entre 1,64 et 1,65. Comme 0,95 est exactement au milieu de l’intervalle [0,9495 – 0,9505], on en déduit que t = 1,645.

c 12 000 d’où : c = 14 467,5 1500

V

Pour simplifier, posons : t =

c 12 000 1500

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(t) = 0,20 (remarque : t est négatif puisque 0,2 < 0,5) D’après la symétrie : (–t) = 1 – (t) (–t) = 1 – 0,20 (–t) = 0,8 La table indique que –t est compris entre 0,84 et 0,85, mais très proche de 0,84 qui sera la valeur retenue (une interpolation linéaire donnerait : –t = 0,841). c 12 000 Donc : –t = 0,841 et t = –0,841 soit –0,841 = d’où : c = 10 738,50 1500 c. Somme et différence de variables aléatoires normales indépendantes Si X suit une loi normale N (m1 , 1) et si Y suit une loi normale N (m2 , 2), avec X et Y indépendantes, alors : X + Y suit une loi normale N (m1 + m2 ,

12 + 22 )

X – Y suit une loi normale N (m1 – m2 ,

12 + 22 )

Dans les deux cas, l’écart-type est la racine de la somme des variances. En effet, les variables étant indépendantes, V(X – Y) = V(X) + V(–Y) = V(1X) + V(–1Y). Or V(aX + b) = a2V(X) D’où : V(X – Y) = 1V(X) + (–1)2 V(Y) = V(X) + V(Y) et (X – Y) =

12 + 22

EXEMPLE 6 Le chiffre d’affaires mensuel d’un magasin A suit une loi normale N (15 000 , 2 000), et celui d’un magasin B, géographiquement éloigné et ainsi indépendant de celui du magasin A, suit une loi normale N (20 000 , 3 000).

Travail à faire Le propriétaire de ces deux magasins désire calculer la probabilité que : 1. Le chiffre d’affaires mensuel total soit supérieur à 30 000 €. 2. La différence entre les chiffres d’affaires mensuels des deux magasins soit de plus de 6 000 €. Éléments de réponse 1. Le chiffre d’affaires mensuel total Z des deux magasins suit une loi normale :

N (15 000 + 20 000 ,

20002 + 30002 ) = N (35 000 , 3 605,55).

P(Z > 30 000) = P(T >

30 000 35 000 ) = P(T > –1,38) = (1,38) = 0,9162 = 91,62 % 3 605,55

2. La différence D entre les chiffres d’affaires mensuels suit une loi normale :

N (20 000 – 15 000 ,

20002 + 30002 ) = N (5 000, 3 605,55)

6 000 5 000 6 000 5 000
P(–6 000 < D < +6 000) = P(

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5. Approximations par une loi normale D’après le théorème de la limite centrale, la loi binomiale et la loi de Poisson convergent vers la loi normale quand n est grand. L’intérêt de ces approximations est de simplifier les calculs. En toute rigueur, l’approximation d’une variable aléatoire discrète par une variable aléatoire continue nécessite d’effectuer une correction de continuité. Cependant, par souci de simplification, cet aspect ne sera pas abordé. a. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Une variable aléatoire suivant une loi binomiale B (n , p) peut être approchée par une loi normale si n est grand et si p est proche de 0,5 (0,3 p 0,7). En pratique, les conditions d’approximation sont les suivantes : Si n 30 et p et q sont proches de 0,5 ou si np > 15 et nq > 15 ou si npq > 10 alors la loi B (n , p) peut être approchée une loi normale N (np ,

n pq ).

b. Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale Une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P () peut être approchée par une loi normale si est grand. En pratique, les conditions d’approximation sont les suivantes : Si > 15 alors la loi P () peut être approchée une loi normale N (,

).

VII. EXERCICES CORRIGÉS Exercice 1 : Coûts complets (méthode des centres d’analyse et méthode ABC) Les dirigeants de la société A ont acquis la certitude que leur système de calcul de coûts actuellement en vigueur ne s’avère plus pertinent. C’est pourquoi ils souhaiteraient mettre en place un calcul des coûts par activités. Organisation du processus productif : La production est organisée en juste à temps. Dans un premier temps, le centre usinage, totalement informatisé, fabrique deux produits intermédiaires PIA et PIE qui consomment unitairement : Éléments Matière première X Matière première Y Composants PO Composants PL Main-d’œuvre directe Autres charges directes Centre usinage

Produit intermédiaire PIA Quantité Prix 12 € le kg 0,25 kg 17,6 € le kg 1 kg 5€ 1 unité / / 15 € 0,01 h 3€ 1 0,15 uo à déterminer

Produit intermédiaire PIB Quantité Prix 12 € le kg 0,4 kg 17,6 € le kg 0,5 kg / / 13 € 1 unité 15 € 0,005 h 4€ 1 0,2 uo à déterminer

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Les produits intermédiaires ainsi obtenus transitent ensuite par le centre montage, partiellement automatisé, où il leur est adjoint une pièce spécifique en des proportions différentes pour les transformer en produits finis. Les consommations de ressources pour chacun d’eux sont les suivantes : Produits A

Éléments

Produits B

Quantité

Prix

Quantité

Prix

1 unité / 1 0,25 h / 0,25 uo

à déterminer / 25 16 10 à déterminer

/ 1 unité 2 0,3 h / 0,3 uo

/ à déterminer 25 € 16 € 12 € à déterminer

Produit intermédiaire PIA Produit intermédiaire PIB Pièces PT Main-d’œuvre directe Autres charges directes Centre montage

La phase de production terminée, les produits finis transitent dans le centre distribution où ils subissent un contrôle qualité avant leur expédition auprès de la clientèle. Le prix de vente du produit A est de 98 € et celui du produit B est de 163 €. Quantités produites et vendues de la période : – produits A : 20 000 unités, – produits B : 15 000 unités. REMARQUE

Les coûts des unités d’œuvre ou des inducteurs de coûts se feront avec 5 décimales. Travail à faire 1. À l’aide de l’annexe 1 exclusivement, calculer les coûts complets et les résultats analytiques des produits A et B selon la méthode classique des centres d’analyse. 2. À l’aide des annexes 1, 2 et 3, recalculer ces coûts complets selon la méthode des coûts par activités. Que constatez-vous en terme de rentabilité des produits ? 3. Dans une note, il vous est demandé : – d’expliquer l’origine de tels écarts, – de préciser l’intérêt de la méthode des coûts par activité, pour la prise de décision en gestion. NOTA BENE

Toutes les données numériques de ce dossier sont relatives à une même période. ANNEXE 1 Tableau des charges indirectes de la période étudiée

Centres

Montant en €

Nature de l’unité d’œuvre

Approvisionnement

180 000

Valeur des approvisionnements (matières, composants, pièces)

Usinage

240 000

Heures machines

Montage

500 000

Heures de main-d’œuvre directe

Distribution Administration

70 000

Coûts de production des produits finis

160 000

Coûts de production des produits finis

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ANNEXE 2 Achats de la période étudiée et nombre de commandes Quantités achetées Matière première X Matière première Y Composants PO Composants PL Pièces PT

Nombre de commandes

11 000 kg 27 500 kg 20 000 unités 15 000 unités 50 000 unités

8 12 10 5 20

Prix d’achat unitaires 12 € le kg 17,6 € le kg 5 € l’unité 13 € l’unité 25 € l’unité

Production de la période étudiée Quantités produites

Nombre de lots(1)

Taille des lots

20 000 15 000

200 75

100 200

Produits finis A Produits finis B

(1) Les lots sont constitués dès la phase d’usinage.

Service maintenance (interventions sur la période étudiée) Nombre d’interventions : – Centre usinage : 25 (dont 10 pour les PIA) – Centre montage : 25 (dont 10 pour les PIA) Activités réalisées dans les différents centres assortis de leurs coûts respectifs

Pour chaque centre ont été recensées les activités les plus pertinentes et représentatives en terme d’évolution de coûts indirects. Puis les coûts de chaque centre ont été ventilés entre les activités s’y rapportant. Centres

Coûts totaux en €

Activités

Approvisionnement

180 000

Usinage

240 000

Montage

500 000

Gestion des matières Gestion des composants Gestion des pièces Réglage des machines Planification des ordres Lancement des fabrications Maintenance Montage manuel Montage automatisé Gestion des lots Maintenance Contrôle de qualité Expédition Organisation générale

Distribution Administration

70 000 160 000

Coûts des activités en € 56 000 51 000 73 000 22 000 52 800 125 000 40 200 247 500 155 000 82 500 15 000 42 000 28 000 160 000

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Détermination des inducteurs de coûts Activités

Inducteurs de coûts

Gestion des matières Gestion des composants Gestion des pièces Réglage des machines Planification des ordres Lancement des fabrications Maintenance Montage manuel Montage automatisé Gestion des lots Maintenance Contrôle de qualité Expédition Organisation générale

Quantités achetées Nombre de commandes Quantités achetées Nombre de lots Nombre de lots Heures machines Nombre interventions Heures de MOD Heures machines(1) Nombre de lots Nombre d’interventions Temps de contrôle(2) Nombre de lots Chiffre d’affaires

(1) 1 250 dont 500 pour produits A (2) 312,5 h dont 1 h par lot pour A

Éléments de réponse 1. a. Calcul du coût des unités d’œuvre Approv.

Usinage

Montage

Distribution

Administration

charges indirectes Unités d’œuvre

180 000 Valeur des approvi.

240 000 Heures machines

500 000 Heures MOD

Nombre d’unités d’œuvre Coût de l’unité d’œuvre

2 161 000 0,08329

6 000 40,00000

9 500 52,63158

70 000 Coûts de production des produits finis 3 737 125 0,01873

160 000 Coûts de production des produits finis 3 737 125 0,04281

Justification du nombre d’unités d’œuvre : – Valeur des approvisionnements : Éléments Matière première X Matière première Y Composants PO Composants PL Pièces PT

Q

PU

Montant

11 000 27 500 20 000 15 000 50 000

12 17,6 5 13 25

132 000 484 000 100 000 195 000 1 250 000 2 161 000

– Heures machines usinage : PIA PIB

20 000 15 000

0,15 0,2

3 000 3 000 6 000

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– Heures MOD montage : PIA PIB

20 000 15 000

0,25 0,30

5 000 4 500 9 500

– Coûts de production des produits finis (voir calculs suivants) : 3 737 125 = 1 822 452,20 + 1 914 672,80 b. Coûts de production des produits intermédiaires PIA Q Matière première X Matière première Y Composants PO Composants PL approvisionnements Main-d’œuvre directe Autres charges directes charges directes Centre approvisionnement Centre usinage Coûts de production PI

CU

5 000 20 000 20 000 0

12 17,6 5

200 20 000

15 3

512 000 3 000 20 000

0,08329 40 36,88235

PIB Montant

Q

60 000 352 000 100 000 0 512 000 3 000 60 000 575 000 42 646,92 120 000 737 646,92

6 000 7 500 0 15 000

13

75 15 000

15 4

399 000 3 000 15 000

CU 12 17,6

0,08329 40 40,89064

Montant 72 000 132 000 0 195 000 399 000 1 125 60 000 460 125 33 234,61 120 000 613 359,61

Coûts de production des produits finis PFA Q Pièces PT Main-d’œuvre directe Autres charges directes charges directes hors PI Produits intermédiaires Centre approvisionnement Centre montage Coûts de production PF

20 000 5 000 20 000 20 000 500 000 5 000 20 000

PFB

CU

Montant

25 16 10 36,88235 0,08329 52,63158 91,12261

Q

500 000 80 000 200 000 780 000 737646,92 41 647,39 263 157,895 1 822 452,20

30 000 4 500 15 000 15 000 750 000 4 500 15 000

CU 25 16 12 40,89064 0,08329 52,63158 127,6449

Montant 750 000 72 000 180 000 1 002 000 613359,61 62 471,08 236 842,10 1 914 672,80

Coûts de revient et résultats analytiques PFA Coûts de production PF Centre administration Centre distribution Coûts de revient Chiffres d’affaires Résultats analytiques

PFB

Q

CU

Montant

Q

CU

Montant

20 000 1 822 452,20 1 822 452,20 20 000 20 000 20 000

91,12261 0,01873 0,04281 96,73071 98 1,26928

1 822 452,20 34 136,31 78 025,85 1 934 614,36 1 960 000,00 25 385,64

15 000 1 914 672,80 1 914 672,80 15 000 15 000 15 000

127,64485 0,01873 0,04281 135,50071 163 27,49929

1 914 672,80 35 863,70 81 974,15 2 032 510,65 2 445 000,00 412 489,35

Résultat total = 437 875,00 Au vu des résultats analytiques, les deux produits semblent rentables selon la méthode des centres d’analyse.

80


R1211-F2/4

Cependant, la méthode classique ne prend pas suffisamment en considération les spécificités de production des deux produits, d’où les doutes des gestionnaires et leur volonté d’appliquer la méthode à base d’activités. 2. Calcul du coût des inducteurs Activités

Inducteurs de coûts

Volume

(1)

Gestion des matières Gestion des pièces Gestion des composants Réglage des machines Planification des ordres Gestion des lots Expédition

56 000 Quantités MP achetées 38 500 (1) 73 000 Quantités pièces achetées 50 000 51 000 Nombre de commandes(2) 15 22 000 52 800 82 500 28 000 185 300 Nombre de lots(3) 275 (4) Lancement des fabrications 125 000 Heures machines usinage 6 000 Montage automatisé 155 000 Heures machines montage(5) 1 250 Maintenance 40 200 Maintenance 15 000 55 200 Nombre interventions(6) 25 Montage manuel 247 500 Heures de MOD(7) 9 500 Contrôle de qualité 42 000 Temps de contrôle(8) 312,50 Organisation générale 160 000 Chiffre d’affaires 4 405 000 (1) 11 000 + 27 500 = 38 500 pour les matières ; 20 000 + 30 000 = 50 000 pour les pièces (2) 10 + 15 = 25 (3) 200 + 75 = 275 (4) 3 000 + 3 000 = 6 000 (5) Lire annexe. 1 250 dont 500 pour A (6) Lire annexe. 25 dont 10 pour A (7) Heures de montage des PF : 5 000 + 4 500 = 9 500 (8) Lire annexe. 312,5 (dont 1 200 = 200 pour A)

Coût 1,45455 1,46 3 400

673,81818 20,8333 124

2 208 26,05263 134,4 0,03632

Coûts de revient et résultats analytiques PFA Q charges directes PI charges directes PF Gestion des matières Gestion des pièces Gestion des composants Réglage des machines Lancement fabrications Montage automatisé Maintenance Montage manuel Contrôle de qualité Organisation générale Coûts de revient Chiffres d’affaires Résultats analytiques

CU

25 000 1,45455 20 000 1,46 10 3 400 200 673,818 3 000 20,8333 500 124 10 2 208 5 000 26,05263 200 134,4 1 960 000 0,03632 20 000 98,2118 20 000 98 20 000 –0,21188

PFB Montant 575 000,00 780 000,00 36 363,75 29 200,00 34 000,00 134 763,60 62 499,90 62 000,00 22 080,00 130 263,15 26 880,00 71 187,20 1 964 237,60 1 960 000,00 –4 237,60

Q

CU

13 500 1,45455 30 000 1,46 5 3 400 75 673,818 3 000 20,8333 750 124 15 2 208 4 500 26,05263 112,5 134,4 2 445 000 0,03632 15 000 133,5251 15 000 163 15 000 29,47487

Montant 460 125,00 1 002 000,00 19 636,43 43 800,00 17 000,00 50 536,35 62 499,90 93 000,00 33 120,00 117 236,84 15 120,00 88 802,40 2 002 876,91 2 445 000,00 442 123,09

R1211-F2/4

SÉRIE 02

81

Résultat total = 437 885,49 (aux arrondis près résultat de la méthode classique) Le produit A qui semblait rentable est déficitaire avec ce système de calcul. Cette deuxième méthode est plus pertinente compte tenu de la coexistence d’activités multiples dans chaque centre. Avec le système classique, le produit A était subventionné par le produit B. 3. L’origine des écarts entre les deux méthodes de calcul provient : – de l’effet de diversité des activités : réfutant ainsi l’hypothèse d’homogénéité du système classique des centres d’analyse. Au sein d’un centre d’analyse, les produits consomment les ressources de plusieurs activités et dans des proportions variables ; – de l’effet coût relatif des activités : le coût des activités diffère ; – de l’effet taille des séries : les séries sont de tailles différentes et consomment des ressources indépendantes du volume de la série. Cela signifie qu’une part des charges est consommée indépendamment de la taille de la série (réglage des machines, contrôle de la qualité…).

Exercice 2 : Coût cible La société A produit des montres. Chaque année, elle renouvelle environ un quart de ses produits. En effet, chaque modèle créé a une durée de vie prévue de 4 ans car la concurrence et les désirs des clients obligent à trouver de nouveaux modèles et à innover. Une « équipe projet » est réunie avec l’appui de la direction générale autour du bureau d’études afin de travailler sur la conception d’un nouveau modèle. Dans un premier temps, ce groupe a défini les principales fonctions et qualités attendues par les clients. Six fonctions classées en deux grands groupes de fonctions ont été distinguées : les fonctions mécaniques, directement liées aux performances techniques de la montre, et les fonctions esthétiques, liées aux demandes plus subjectives des futurs utilisateurs. Une étude de marché a permis de mesurer le degré d’importance des fonctions du produit mesuré par les consommateurs sur une échelle de notation de 0 à 10 : Fonction 1 2 3 4 5 6

Notation

Facilité de lecture Précision Design Étanchéité Durée de vie Solidité

8 5 10 3 4 7

Les services techniques ont estimé les fonctions remplies par les composants. La matrice des apports des composants aux fonctions (en pourcentage de chaque fonction) est la suivante : Fonctions Composants C1 (Bracelet) C2 (Électronique) C3 (Pile) C4 (Boîtier) C5 C6

1 5 20

2

5 100

4

100

5

6

50

5

25 55

40

50

95

20

40 20

100

100

100

100

60 40

70

Total

3

82


R1211-F2/4

Cette montre pourrait être lancée au début de l’année prochaine. L’étude de marché indique que les ventes prévisionnelles seraient de 200 000 unités la première année et diminueraient régulièrement de 50 000 unités les années suivantes. Le prix de vente serait de 15 € HT les deux premières années et de 12 € pour les dernières années. La société a pour objectif un taux de profitabilité de 40 % la première année. Ce taux diminue de cinq points régulièrement les années suivantes. Le coût de la montre estimé par le bureau des méthodes est le suivant : Composants

Coût (euros)

C1 (Bracelet) C2 (Électronique) C3 (Pile) C4 (Boîtier) C5 C6 Total

3,0 5,0 0,5 3,0 1,5 2,0 15 €

% 20 % 33,33 % 3,33 % 20,00 % 10,00 % 13,33 % 100 %

La ventilation du coût estimé par fonction faite par le bureau des méthodes est la suivante : Fonctions

1

2

3

4

5

6

Total

En %

22

30

8

30

5

5

100

En euros

3,3

4,5

1,2

4,5

0,75

0,75

15

Travail à faire 1. Calculer le coût cible. Pour cela, calculer : le prix de vente moyen, le taux de marge moyen. 2. Calculer le pourcentage d’importance de chaque fonction selon la perception des clients, puis ventiler le coût cible par fonction. 3. Calculer le degré d’importance (en pourcentage) de chaque composant selon la perception des clients. 4. Calculer l’index des valeurs qui exprime pour chaque composant le dépassement du coût par rapport à l’utilité apportée. Pour cela, comparer le degré d’importance des composants perçu par le bureau des méthodes avec celui perçu selon les clients. Interpréter ces index. 5. Comparer le coût cible au coût estimé en faisant une ventilation par fonction. Commenter les écarts constatés et proposer quelques pistes envisageables de réduction des coûts. Éléments de réponse 1. Calcul du coût cible Années Prix Volume Chiffre d’affaires Taux de profitabilité Marge en euros

1

2

3

4

15 200 000 3 000 000 40 1 200 000

15 150 000 2 250 000 35 787 500

12 100 000 1 200 000 30 360 000

12 50 000 600 000 25 150 000

Prix moyen

14,10

Marge moyenne (4,995 arrondie à 5)

5,00

Coût cible = Prix moyen – Marge moyenne

9,10

Total 500 000 7 050 000 2 497 500

R1211-F2/4

SÉRIE 02

83

2. Pourcentage d’importance de chaque fonction selon la perception des clients Fonction 1 2 3 4 5 6

Facilité de lecture Précision Design Étanchéité Durée de vie Solidité Total

Notation

Perception en %

Coût cible par fonction

8 5 10 3 4 7 37

8 / 37 = 21,62 % 13,51 % 27,03 % 8,11 % 10,81 % 18,92 % 100 %

9,10 21,62 % = 1,97 1,23 2,46 0,74 0,98 1,72 9,10

3. Le degré d’importance (en pourcentage) des composants selon la perception des clients est obtenu par calcul matriciel, en faisant le produit de la matrice des apports par la matrice des pourcentages des fonctions. 5 20

50

5

25 55

40

50

95

10

40 20

60 40

70

21,62 % 13,51 % 27,03 % 8,11 % 10,81 % 18,92 %

5

25,27 18,38 5,41 46,08 3,78 1,08

=

% % % % % %

Exemple d’interprétation : selon la perception des clients, le composant C1 devrait contribuer pour 25,27 % au coût de la montre. 4. Index des valeurs Composants

% de coût

% d’importance

Index des valeurs

20 33,33 3,33 20,00 10,00 13,33

25,27 18,38 5,41 46,08 3,78 1,08

0,79 1,81 0,62 0,43 2,65 12,34

C1 (Bracelet) C2 (Électronique) C3 (Pile) C4 (Boîtier) C5 C6

Il convient de trouver des améliorations pour diminuer les coûts trop élevés (index supérieur à 1) ou investir pour améliorer des composants jugés utiles (index inférieur à 1). 5. Comparaison par fonction du coût estimé et du coût cible Fonctions Coût estimé en % Coût estimé €

1 22

2 30

3 8

4 30

5

6

5

5

Total 100

3,3

4,5

1,2

4,5

0,75

0,75

15

21,62

13,51

27,03

8,11

10,81

18,92

100

Coût cible €

1,97

1,23

2,46

0,74

0,98

1,72

Écart %

0,38

16,49

–19,03

21,89

–5,81

–13,92

Écart €

1,33

3,27

–1,26

3,76

–0,23

–0,97

Coût cible en %

9,1 0 5,9

Le coût estimé est supérieur de 5,90 € au coût cible. Ce dépassement important (65 % du coût cible) concerne les fonctions 1, 2 et 4. Trop d’importance est accordée à ces fonctions, alors que les fonctions 3, 5 et 6 ont été sous évaluées par le bureau des méthodes. Il convient donc de recentrer la montre sur les fonctions attendues par les consommateurs pour en réduire le coût.

84


R1211-F2/4

L’index des valeurs montre que trop d’importance a été accordée à l’électronique, et surtout aux composants C6 et C5. Il faut donc dans un premier temps commencer par rechercher des composants plus adaptés (qualité optimale et non maximale). Pour réduire les coûts, les pistes suivantes peuvent être étudiées : – Une renégociation des prix, l’appel à de nouveaux fournisseurs, regroupement des achats avec des partenaires, réduction des coûts d’approvisionnement par une meilleure organisation… – Étude de la sous-traitance. – Différenciation retardée. – Ne pas oublier qu’il y aura des phénomènes d’apprentissage, le kaizen. – Etc.

Exercice 3 : Variables aléatoires L’entreprise X est une société anonyme spécialisée dans la fabrication d’un produit A. Afin d’élargir la clientèle existante, elle décide de faire paraître des annonces dans des revues professionnelles. Lors d’une campagne similaire antérieure, elle a constaté que le nombre x de commandes parvenues à la suite de la parution d’une seule annonce est une variable aléatoire X dont la loi de probabilité figure dans le tableau suivant : xi

0

1

2

P(X = xi)

0,2

0,65

0,15

Travail à faire 1. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la variable aléatoire X. Quelle est la signification de l’espérance mathématique dans ce cas précis ? 2. L’entreprise décide de faire paraître 30 annonces dans des revues professionnelles. Les commandes consécutives à la parution dans les différentes revues sont indépendantes. Si Y est la variable aléatoire représentant le nombre de commandes reçues à la suite de la parution des 30 annonces ; quels sont alors l’espérance mathématique et l’écart-type de Y ? Indiquer les propriétés sur lesquelles la réponse est fondée. La marge sur coûts variables étant de 5 000 € par produit vendu, calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la marge sur coûts variables pour 30 annonces. 3. Soit Z la variable aléatoire représentant le nombre d’annonces dont la parution ne provoque aucune commande. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par Z lorsque l’entreprise passe 30 annonces ? b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de Z. c. On décide d’approcher Z par une loi normale. Déterminer un intervalle [a , b] centré autour de l’espérance mathématique de Z tel que : P(a < Z < b) = 0,95 Éléments de réponse 1. E(X) = (0,2 0) + (0,65 1) + (0,15 2) = 0,95 V(X) = (0,2 02) + (0,65 12) + (0,15 22) – 0,952 = 0,3475 (X) =

0,3475 = 0,58949

L’espérance signifie que pour une annonce passée, l’entreprise obtient moins d’une commande supplémentaire (0,95).

R1211-F2/4

SÉRIE 02

85

2. E(Y) = E(X1 + X2 + ... + X30) = 30E(X) = 30 0,95 = 28,5 V(Y) = V(X1 + X2 + ... + X30). Les variables étant indépendantes : V(Y) = V(X1) + ... + V(X30) = 30V(X) = 30 0,3475= 10,425 (Y) = 10,425 = 3,2287 E(Marge) = E(5 000 Y) = 5 000 E(Y) = 142 500 € V(Marge) = V(5 000 Y) = 5 0002 V(Y) = 260 625 000 € (Marge) =

260 625 000 = 16 143,88 €

3. Pour une annonce, la probabilité p de ne pas obtenir de commande est 0,2. a. Z est la répétition de 30 variables de Bernoulli indépendantes. Z suit donc une loi binomiale B (30 ; 0,2). b. E(Z) = 30 0,2 = 6 V(Z) = 30 0,2 0,8 = 4,8 (Z) =

4,8 = 2,19

c. D’après le texte, l’approximation possible de Z est : N (6 ; 2,19). P(a < Z < b) = 0,95 avec a = 6 – k et b = 6 + k (6 k) 6 (6 + k) 6 k P(6 – k < Z < 6 + k) = P(
Exercice 4 : Variables aléatoires Une entreprise fabrique et commercialise des produits de consommation courante en très grand nombre. Il y a une probabilité constante égale à 0,1 qu’un article choisi au hasard dans la production ne satisfasse pas aux normes imposées. Travail à faire 1. On prélève au hasard 10 articles. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un article non conforme parmi ces 10 articles. 2. On prélève au hasard 50 articles. Soit X le nombre d’articles non conformes parmi ces 50 articles. – Indiquer la loi suivie par X. – Montrer que cette loi peut être approchée par une autre loi que l’on précisera. – À l’aide de cette loi, calculer la probabilité qu’il y ait au moins 5 articles non conformes parmi ces 50 articles. 3. a. On prélève au hasard 500 articles. Soit X le nombre d’articles non conformes parmi ces 500 articles. – Indiquer la loi suivie par X. – Montrer que cette loi peut être approchée par une autre loi que l’on précisera. – À l’aide de cette loi, calculer la probabilité qu’il y ait au moins 50 articles non conformes parmi ces 500 articles.

86


R1211-F2/4

b. Le coût de revient d’un article est de 20 € et le prix de vente de 30 €, pour l’hypothèse de fabrication envisagée. Le client décide de ne pas régler les articles non conformes. – Exprimer le bénéfice en fonction de X pour une commande de 500 articles. – Calculer l’espérance et l’écart-type de son bénéfice. Éléments de réponse 1. Il s’agit d’une loi binomiale B (10 ; 0,1). P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 10) = 1 – P(X = 0) P(X = 0) =

C100

0,10 0,910 = 0,3487

D’où : P(X 1) = 1 – 0,651 = 0,6513 2. Il s’agit d’une loi binomiale B (50 ; 0,1). Les conditions d’approximation par une loi de Poisson sont réunies : n 50, p 0,1 et np 5. La loi d’approximation est donc la loi de Poisson P(50 0,1) = P(5). P(X 5) = 1 – P(X 4) = P(X = 0) + ... + P(X = 4) = 0,56 3. a. Il s’agit d’une loi binomiale B (500 ; 0,1), qui peut être approchée par une loi normale N (500 0,1 ; 500 0,1 0,9 ), soit N (50 ; 6,708). P(X 50) = P(T 0) = 1 – P(T 0) = 0,50 b. Soit X le nombre d’articles non conformes. Chiffre d’affaires des articles conformes : 30(500 – X) Coût de revient de tous les articles produits : 20 500 Bénéfice : 30 (500 – X) – 20 500 = 5 000 – 30 X E(Bénéfice) : E(5 000 – 30 X) = 5 000 – 30 E(X) = 5 000 – 30 50 = 3 500 V(Bénéfice) : V(5 000 – 30 X) = (–30)2 V(X) = 40 500 (Bénéfice) :

40 500 = 201,246

Exercice 5 : Variables aléatoires Une entreprise de vente par correspondance décide une campagne de promotion. Elle envoie 10 000 lettres à des clients potentiels, leur proposant l’envoi gratuit de son catalogue s’ils lui retournent un coupon-réponse inclus dans la lettre. L’expérience a montré que, dans ce genre de campagne promotionnelle, sur 100 personnes atteintes, 15, en moyenne, demandent l’envoi du catalogue gratuit. On peut par ailleurs considérer que les réponses des personnes contactées sont indépendantes les unes des autres. Les coûts d’une telle campagne sont les suivants : – chaque lettre envoyée coûte 1 €, – chaque catalogue expédié gratuitement coûte 5 €, – les autres coûts peuvent être évalués globalement à 8 000 €.

R1211-F2/4

SÉRIE 02

87

Travail à faire 1. On considère que le nombre de demandes de catalogues gratuits reçues par l’entreprise est une variable aléatoire X et le coût total de la campagne promotionnelle une variable aléatoire Y. a. Déterminer la loi de probabilité suivie par X. Justifier. b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X. c. Indiquer pourquoi la loi suivie par X peut être approchée par une loi normale. Préciser ses paramètres. d. Calculer, selon cette dernière loi, la probabilité que X soit supérieure à 1 450. e. Déterminer, selon la même loi, la valeur de X qui a la probabilité 0,80 d’être dépassée. 2. a. Exprimer Y en fonction de X. b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de Y. c. Si l’on admet que X suit une loi normale, déterminer la loi de probabilité de Y. Justifier. d. Donner la signification concrète de l’espérance mathématique de Y. 3. La probabilité que le coût de la campagne soit compris entre 25 000 € et 26 000 € est-elle supérieure à 0,95 ? L’entreprise a élaboré une statistique du nombre d’achats zi effectués dans l’année suivant la réception du catalogue par 200 de ses clients : Nombre d’achats zi

0

1

2

3

4

5

6

7

Nombre de clients ni

28

53

53

37

18

8

3

0

4. Calculer la moyenne, l’écart-type et la variance de Z. 5. On considère que le nombre d’achats réalisés dans l’année par un client détenteur du catalogue est une variable aléatoire Z dont on cherche à déterminer la loi de probabilité. Compte tenu des résultats de la question précédente, indiquer pourquoi on peut envisager que Z suit une loi de Poisson. Éléments de réponse 1. a. Chaque lettre envoyée génère l’alternative : retour du coupon avec la probabilité p = 0,15 et nonretour du coupon avec la probabilité q = 1 – 0,15 = 0,85. Les réponses sont 10 000 épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de X est donc une loi binomiale B (10 000 ; 0,15). b. E(X) = 10 000 0,15 = 1 500 demandes. (X) =

10 000 0,15 0,85 = 35,707 35,71 demandes.

c. Les conditions sont largement réunies : n est grand et par ailleurs np >15 et nq > 15. Il est donc possible d’approcher la loi binomiale B (10 000 ; 0,15) par la loi normale N (1 500 ; 35,71). d. P(X > 1 450) = 1 – P(X 1 450) = 1 – P(T

1 450 1500 ) = 1 – (–1,4) = 1 – 0,0808 = 0,9192 35,71

e. La valeur V recherchée est telle que : P(X > V) = 0,8 1 – P(X < V) = 0,8 V 1500 V 1500 P(T ) = 0,2 posons t = 35,71 35,71

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(t) = 0,2 (–t) = 1 – (t) = 0,8 soit –t 0,84 et t = –0,84 V 1500 Donc : = –0,84 d’où V 1 470 demandes. 35,71 2. a. Y = Coût d’envoi des 10 000 lettres + Coût d’envoi des catalogues gratuits + Coûts fixes Y = (10 000 1) + (5 X) + 8 000 = 5X + 18 000 b. E(Y) = E(5X + 18 000) = 5E(X) + 18 000 = 5 1 500 + 18 000 = 25 500 € (Y) = (5X + 18 000) = 5 (X) = 5 35,71 = 178,55 € c. Si X suit une loi normale, alors Y = aX + b suit une loi normale. Y suit la N (25 500 ; 178,55). d. E(Y) = 25 500 € est le coût moyen de la campagne.

25 000 255 00 26000 255 00
4. La calculatrice donne : E(Z) = 2 achats (Z) = 1,4036688

V(Z) = 1,40366882 = 1,97

5. Z est une variable aléatoire discrète dont l’espérance et la variance sont très proches. On peut donc penser que Z suit une loi de Poisson P(2).

Exercice 6 : Coûts spécifiques Une entreprise fabrique des produits X et des produits Y et les écoule dans deux régions différentes. Une étude prévisionnelle laisse espérer la vente de 80 000 X et 15 000 Y dans la région 1 ; 20 000 X et 10 000 Y dans la région 2. Les coûts prévisionnels sont calculés pour la fabrication et la vente de 100 000 X et 25 000 Y. Charges de production prévisionnelles X 50 € par unité 1 000 000 €

Charges variables Charges fixes directes Charges fixes indirectes

Y 80 € par unité 500 000 € 200 000 €

Charges de distribution prévisionnelles

Charges variables Charges fixes directes Charges fixes indirectes

Région 1 Région 2 5 % du chiffre d’affaires 5 % du chiffre d’affaires 2 000 000 € 1 200 000 € 100 000 €

Frais généraux : 500 000 € Prix de vente pratiqués Les produits sont vendus au même prix quelle que soit la région : X : 100 €

Y : 140 €

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Travail à faire Le P-DG se demande s’il doit continuer à vendre dans les deux régions. 1. Calculer la marge sur coût spécifique pour chaque région et le résultat prévisionnel. 2. Aider le P-DG à prendre une décision. 3. Vérifier en calculant le résultat qu’obtiendrait l’entreprise en abandonnant les ventes dans la région 2. Élément de réponse 1. Aide à la prise d’une décision Coût de production de X et Y X (100 000) Charges variables

50 € 100 000

Y (25 000)

5 000 000

Charges fixes directes Coût spécifique Coût spécifique unitaire

80 € 25 000

2 000 000

1 000 000 6 000 000 60 €

500 000 2 500 000 100 €

Coût de revient spécifique et marge sur coût spécifique par région Les frais fixes « directs » de production sont indirects si on raisonne par région car le fait d’arrêter de vendre dans une région oblige néanmoins à continuer à fabriquer les deux produits. Il faut donc partir du coût variable de production des produits vendus. Région 1 Coût de production variable Charges variables de distribution (1) Charges fixes directes de distribution Coût de revient spécifique Chiffre d’affaires

Région 2

X : 50 80 000

4 000 000

X : 50 20 000

1 000 000

Y : 80 15 000

1 200 000

Y : 80 10 000

800 000

X : 5 80 000

400 000

X : 5 20 000

100 000

Y : 7 15 000

105 000

Y : 7 10 000

70 000

2 000 000 7 705 000 X : 100 80 000 Y : 140 15 000

Marge sur coût spécifique

10 100 000

1 200 000 3 170 000 X : 100 20 000 Y : 140 10 000

2 395 000

3 400 000 230 000

1. Pour X : 100 5 % = 5 €. Pour Y : 140 5 % = 7 €.

Résultat prévisionnel Marge globale sur société unipersonnelle : 2 395 000 + 230 000 Charges fixes indirectes – Charges de production : 1 000 000 + 500 000 + 200 000 1 700 000 – Charges de distribution 100 000 – Frais généraux 500 000 Résultat prévisionnel

2 625 000 2 300 000

325 000

2. Décision à prendre Il vaut mieux continuer à vendre dans les deux régions. Si, par exemple, on abandonne la région 2, le résultat risque de diminuer de 230 000 €, c’est-à-dire de la marge sur coût spécifique que l’on peut réaliser dans la région 2.

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3. Vérification Si on abandonne la région 2, on n’aura plus besoin de fabriquer que 80 000 X et 15 000 Y. Coût de production de X et Y X (80 000) Charges variables

50 80 000

Charges fixes directes Coût spécifique Coût spécifique unitaire (1)

Y (15 000) 4 000 000

80 15 000

1 000 5 000 000 62,50 €

1 200 000 500 000 1 700 000 113,33 €

1. On remarquera la dégradation des coûts spécifiques unitaires du fait de la baisse d’activité

Coût de revient et résultat Région 1 Coût de production variable Charges variables de distribution

X : 50 80 000

4 000 000

Y : 80 15 000

1 200 000

X

: 5 80 000

400 000

Y:

7 15 000

105 000

Charges fixes directes de distribution

2 000 000

Coût de revient spécifique

7 705 000


X : 100 80 000 Y : 140 15 000

Marge sur coût spécifique (1) Charges fixes indirectes (2) – Charges de production : 1 000 000 + 500 000 + 200 000 – Charges de distribution – Frais généraux Résultat (3)

10 100 000 2 395 000 2 300 000

1 700 000 100 000 500 000 95 000

re

1. On retrouve la même valeur qu’à la 1 question. 2. À proprement parler toutes les charges directes si on analyse par région, puisqu’il n’y a plus qu’une région. 3. Le résultat a bien baissé de 230 000 €, par rapport au calcul effectué à la 1re question.

Exercice 7 : Seuil de rentabilité La société REDUK fabrique un produit vendu au prix unitaire de 10 € et incorporant en charges directes variables 5 € de main-d’œuvre et 1 kilo de matière première M. Cette matière est achetée 4 000 € la tonne pour des quantités mensuelles totales inférieures ou égales à 10 tonnes. Au-delà de 10 tonnes, le fournisseur accorde sur les quantités supplémentaires une réduction de 10 %. Ainsi, si REDUK commande 20 tonnes par mois, il lui est facturé (10 4 000) + (10 4 000 0,9) soit 76 000 €, ce qui représente un coût unitaire moyen de 3 800 € à la tonne. Par ailleurs, les frais fixes mensuels sont de 38 000 €. Travail à faire Calculer le seuil de rentabilité mensuel exprimé en nombre de produits. Donner une représentation graphique.

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Éléments de réponse Les 10 premières tonnes de matière M achetées 4 000 € la tonne permettent de fabriquer 10 000 produits rapportant une marge sur coûts variables unitaires de : 10 – (5 + 4) = 1 € et une marge globale de : 10 000 1 = 10 000 €. Au-delà, la marge unitaire passe à : 10 – (5 + 3,6) = 1,4 Pour couvrir les charges fixes qui sont au total de 38 000 €, il faut un supplément de marge de : 28 000 = 20 000 produits 38 000 – 10 000 = 28 000 € soit un supplément d’activité de : 1,4 Le seuil de rentabilité SR est donc : 10 000 + 20 000 = 30 000 produits Autre raisonnement On pose : Marge totale = Frais fixes Soit (10 000 1) + [(SR – 10 000) 1,4] = 38 000 d’où : SR =

38 000 10 000 + 10 000 = 20 000 + 10 000 = 30 000 1,4

Représentation graphique Euros Marge / CV 40 000

Frais fixes = 38 000

30 000

20 000

10 000

Nombre de produits 10 000

20 000

30 000

40 000

= SR

Exercice 8 : Coûts complets – Coûts partiels – Seuil de rentabilité – Élasticité La société Télé-Ménager-Services-Express est une filiale d’un groupe de la grande distribution, spécialisée dans le dépannage des appareils de cuisine, des récepteurs de télévision, hi-fi, etc. TMSE a été créée en mars N et pour le premier mois le chiffre d’affaires avait été de 170 000 €, avec une perte d’exploitation évaluée à 48 000 €. On distingue trois modalités d’intervention : – Les dépannages au siège : les clients apportent directement leurs appareils à l’atelier pour réparation. Il n’y a pas alors de frais de déplacement. – Les dépannages à domicile : sur appel téléphonique, un technicien se déplace chez le client dans la journée, effectue un diagnostic rapide, et procède à l’intervention sur place si celle-ci est simple (changement d’un fusible par exemple).

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– Les « enlèvements » : si la panne est plus compliquée, le technicien, qui ne dispose évidemment pas dans sa camionnette de toutes les pièces de rechange nécessaires, procède à un enlèvement de l’appareil et le dépose à l’atelier pour réparation. Après celle-ci, l’appareil sera ramené chez le client (ce qui occasionne donc deux « déplacements » pour une intervention). TMSE axe sa publicité sur le service, dans le cadre d’une stratégie de différenciation. Sans fonctionner 24 heures sur 24, la société se déplace de 7 à 23 heures, et dispose à cet effet d’un standard téléphonique fonctionnant en « 2 8 ». Du point de vue comptable, TMSE a défini 3 centres d’analyse permettant de traiter ses charges indirectes selon la méthode du « direct costing évolué », c’est-à-dire en imputant les charges indirectes variables sur la base d’un coût variable de l’unité d’œuvre : – Centre Administration qui gère la promotion commerciale, l’administration générale et financière, la comptabilité. L’activité de facturation, notamment, génère des charges variables proportionnelles au nombre de factures émises, donc au nombre d’interventions ou de réparations (on notera que les dépannages à domicile sont également facturés par ce centre, les techniciens n’effectuant aucun encaissement). – Centre Transports qui gère le parc de camionnettes utilisées par les techniciens lors de leurs déplacements à domicile. Ce centre génère notamment des charges variables proportionnelles au nombre de déplacements (carburants par exemple). On fait l’hypothèse simplificatrice d’un kilométrage moyen égal pour tous les déplacements. – Centre Atelier qui gère les achats de pièces et les réparations au siège. Ce centre génère notamment des charges variables proportionnelles au nombre d’heures de travail des techniciens directement occupés à effectuer les réparations. Pour la période correspondant au mois d’avril N, on dispose des données suivantes : a. Les techniciens ont effectué 400 dépannages à domicile et procédé à 200 enlèvements. L’atelier a effectué en tout 2 000 réparations. b. Le chiffre d’affaires réalisé est le suivant : – dépannages directs au siège : 144 000 €, – dépannages à domicile : 30 400 €, – dépannages au siège à la suite d’un enlèvement : 36 000 €. c. Les charges de personnel se décomposent ainsi : – charges indirectes : 43 000 € : W centre Administration : 14 000, dont 2 000 de variables, W centre Transport : 13 000, dont 7 000 de variables, W centre Atelier : 16 000, dont 12 000 de variables ; – charges directes variables (main-d’œuvre des techniciens se rendant à domicile) : 9 600 € pour les dépannages à domicile et 4 800 € pour l’activité « enlèvement » ; – charges directes fixes 12 000 € (il s’agit des frais de fonctionnement du standard téléphonique ; la société considère que ces charges sont spécifiques à l’activité « dépannage à domicile », pour laquelle le système a été mis en place). d. Les achats de pièces de rechange s’élèvent à 132 000 €. Ces achats concernent les dépannages à domicile pour 8 000 € et les réparations à l’atelier pour 124 000 €, dont 16 000 € pour les interventions suite à un enlèvement. Il n’y a pas de variations de stock de pièces. e. Les services extérieurs s’élèvent à 28 160 € : – 10 160 pour l’Administration (dont 4 000 de fixes) ; – 8 000 pour le Transport (dont 3 000 de fixes) ; – 10 000 pour l’Atelier (dont 5 000 de fixes).

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f. Les dotations aux amortissements, considérées comme des charges indirectes fixes, s’élèvent à 19 000 €, dont 3 000 pour le centre Administration et 9 000 pour le centre Transport. Le reste concerne l’Atelier. g. Dans l’atelier, les heures de travail productives imputables aux réparations s’élèvent à 4 000 €, dont 400 pour les réparations suite à enlèvement. Travail à faire 1. Calculer le nombre de déplacements et le nombre de factures émises pour avril N. 2. Établir le tableau de répartition des charges indirectes et de calcul des coûts variables des unités d’œuvre pour avril N. (Chaque centre d’analyse doit donner lieu à une colonne dédoublée permettant de séparer les charges indirectes fixes des charges indirectes variables.) 3. Établir le compte de résultat de la comptabilité financière pour avril N. 4. Procéder à l’analyse des résultats d’avril N en utilisant le direct costing évolué. On établira un tableau présentant en colonnes les 3 activités de la société, et faisant apparaître successivement la marge sur coûts variables, le taux de marge par rapport au chiffre d’affaires, la contribution (ou marge sur coûts spécifiques, après déduction des charges fixes directes spécifiques) et le résultat net. 5. Calculer le seuil de rentabilité mensuel, en euros (on fera l’hypothèse d’une stabilité de la répartition du chiffre d’affaires par activités). Donner une représentation graphique. Calculer la marge de sécurité. 6. Commenter les résultats obtenus dans les questions précédentes. 7. La direction envisage d’allouer un budget mensuel de publicité dans la presse régionale de 10 000 €, dont l’effet serait de doubler le nombre de dépannages à domicile (et donc, indirectement, les enlèvements), et d’augmenter les réparations en direct au siège de 40 %. Cette initiative vous semble-t-elle intéressante ? Quel serait, dans ces conditions, le résultat mensuel ? 8. Le secteur de la réparation étant très concurrentiel, l’élasticité du volume des ventes par rapport au prix est très élevée et a été évaluée à –3. La société envisage donc de baisser ses prix de 10 %. Cette stratégie vous semble-t-elle profitable ? Commenter dans une optique stratégique. Éléments de réponse 1. a. Nombre de déplacements – Chaque « enlèvement » occasionne in fine 2 déplacements, d’où un nombre total de déplacements dus aux enlèvements égal à : 200 2 = 400 – Le nombre total de déplacements est donc : 400 + (200 2) = 800 (400 correspondant aux dépannages à domicile plus 200 2 correspondant aux enlèvements.) b. Nombre de factures émises – L’atelier effectue 2 000 interventions dont 200 suite à enlèvement ; il y a donc 1 800 réparations « directes siège ». – On émet donc en tout : 1 800 + 200 + 400 = 2 400 factures

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2. Tableau de répartition des charges indirectes et de calcul des coûts variables des unités d’œuvre Éléments

Total

Charges de personnel Services extérieurs Dotations aux amortissements Totaux Nature de l’unité d’œuvre

43 000 28 160 19 000 90 160

Administration Fixes 12 000 4 000 3 000 19 000

Nombre d’unités d’œuvre Coût variable de l’unité d’œuvre

Transport

Variables 2 000 6 160 – 8 160 facture

Fixes 6 000 3 000 9 000 18 000

Atelier

Variables 7 000 5 000 – 12 000 déplacement

2 400 3,4 €

800 15 €

Fixes 4 000 5 000 7 000 16 000

Variables 12 000 5 000 – 17 000 heure de travail 4 000 4,25 €

3. Compte de résultat de la comptabilité financière DÉBIT Achats pièces détachées Services extérieurs Charges de personnel (1) Dotations aux amortissements

132 000 28 160 69 400 19 000 248 560

Prestations de services (2) Résultat (perte)

CRÉDIT 210 400 38 160

248 560

(1) 69 400 = 43 000 + 9 600 + 4 800 + 12 000 (2) 210 400 = 144 000 + 30 400 + 36 000

4. Tableau d’analyse des résultats dans l’optique coûts partiels Éléments Chiffre d’affaires Charges variables : – Pièces de rechange – Déplacements techniciens – Imputation des charges indirectes variables : • administratives • de transport • d’atelier (–) Total charges variables = Marges sur coûts variables Taux de marge (–) Charges fixes spécifiques = Contributions par activités (–) Charges fixes indirectes = RÉSULTAT NET

Totaux 210 400 132 000

Dépannages directs au siège 144 000 108 000

Dépannages à domicile

Enlèvements

30 400 8 000

36 000 16 000

14 400

–

9 600

4 800

8 160 12 000 17 000 183 560 26 840 12,76 % 12 000 14 840 53 000 –38 160

1 800 3,4 = 6 120 – 3 600 4,25 = 15 300 129 420 +14 580 10,12 % – +14 580

400 3,4 = 1 360 400 15 = 6 000 – 24 960 +5 440 17,89 % 12 000 (–) 6 560

200 3,4 = 680 200 2 15 = 6 000 400 4,25 = 1 700 29 180 +6 820 18,94 % – +6 820

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5. Seuil de rentabilité SR :

Marge Frais fixes = 65 000 (53 000 + 12 000)

65 000 Déficit de 38 160 26 840

CA = 210 400

SR

SR 65 000 = 210 400 26 840 d’où : SR = 210 400

65 000 509 538 (aux arrondis près) 26 840

La marge de sécurité est négative : 210 400 – 509 538 = –299 138 6. – On peut tout d’abord critiquer l’affectation des 12 000 € de fonctionnement du standard à la seule activité « dépannage à domicile », imposée par l’énoncé : en effet, le standard profite également à l’activité enlèvement. – Ceci veut dire qu’il ne faut pas tirer de conclusions de la contribution négative des dépannages à domicile. Le point important est que toutes les marges sur coûts variables sont positives. Toutes les activités sont donc intrinsèquement profitables et doivent être développées. – Certes, le déficit est important et l’entreprise est très loin de son seuil de rentabilité ; mais il s’agit d’une entreprise en phase de démarrage et il est tout à fait logique d’attendre la fin d’une période de « montée en puissance » pour atteindre un « régime de croisière » profitable. Il n’est pas rare de devoir attendre 2 ou 3 exercices annuels pour atteindre le seuil de rentabilité. Ici, l’erreur serait de conclure hâtivement à la nécessité de réduire les frais fixes, par exemple. 7. – On doit calculer l’accroissement de marge M et le comparer à l’accroissement des frais fixes FF que représente le budget de publicité : M = (14 580 0,4) + 5 440 + 6 820 = 5 832 + 5 440 + 6 820 = 18 092 (On utilise l’hypothèse de proportionnalité de la marge par rapport à l’activité.) Comme M > FF 18 092 > 10 000 On peut en conclure que le projet est intéressant. – La variation du résultat R serait : R = M – FF = 18 092 – 10 000 = 8 092 et le résultat prévisionnel mensuel serait : Rp = R + R = – 38 160 + 8 092 = –30 068

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On peut évidemment remarquer que cette mesure, intéressante en soi, est insuffisante pour atteindre le seuil de rentabilité. Il faudrait certainement envisager une politique commerciale plus active pour que la « montée en puissance » évoquée plus haut s’effectue plus rapidement. 8 – Une élasticité de –3 peut être interprétée de la façon suivante : une baisse des prix de 10 % entraîne une augmentation du volume des ventes de 30 %. – On peut calculer la variation du chiffre d’affaires CA et la comparer à la variation des charges variables FV (les charges fixes étant inchangées). CA = [(210 400 1,3 0,9) – 210 400] effet volume effet prix

CA = 246 168 – 210 400 = 35 768 – Par ailleurs : FV = 183 560 0,3 = 55 068 – Donc : R = CA – FV = 35 768 – 55 068 = –19 300 Cette variation étant négative, la politique envisagée n’est pas intéressante. Le secteur étant concurrentiel, les marges sont faibles et toute réduction de prix ne s’accompagnant pas de baisse des coûts (gains de productivité par exemple) est suicidaire. Il vaut mieux persévérer dans la stratégie de différenciation par le service.

Exercice 9 : Concordance entre le résultat par coûts partiels et le résultat en coûts complets - Risque A. La société GLATEX est l’un des spécialistes européens des tissus techniques à base de fibre de verre utilisées dans l’industrie du bâtiment. Le service approvisionnement achète la fibre de verre à la tonne et en gère le stockage. Au début du mois N, le stock de fibre de verre était de 60 tonnes valorisées au coût d’achat complet moyen pondéré unitaire de 1 150 euros la tonne, incluant une partie variable de 1 060 euros. On néglige les variations de stock des autres composants entrant dans la composition des produits finis. Les charges indirectes d’approvisionnement sont imputées en fonction du tonnage sur l’ensemble des matières achetées, fibre de verre et autres composants. Le service fabrication est un atelier très automatisé qui produit et conditionne le tissu en bobines disponibles en deux largeurs : standard (S) et extra-large (XL). Les charges indirectes de fabrication sont imputées au coût de production en fonction du temps de fonctionnement de la chaîne intégrée de production. L’atelier travaille selon le principe de deux équipes journalières. Il n’y a pas de stock initial de bobines au début du mois N. Le service distribution prend en charge la commercialisation des produits sur le marché européen. Les charges indirectes correspondantes sont imputées proportionnellement au chiffre d’affaires hors taxes exprimé en euros. Le service administration est en charge des problèmes comptables, juridiques et financiers. Il est considéré comme un centre auxiliaire qui refacture une partie de ses charges à chacun des trois autres services, proportionnellement aux coefficients suivants : – approvisionnement............................. 1 – fabrication........................................... 4 – distribution ......................................... 3

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B. L’analyse des comptes de gestion pour la période correspondant au mois N donne les renseignements suivants : – Achats W 340 tonnes de fibre de verre à 900 € la tonne ; W 200 tonnes d’autres composants pour un montant total de 80 000 €. – Services extérieurs : au total 278 400 €, qui se répartissent ainsi : W administration : 25 000 € (fixes) ; W approvisionnement : 98 400 €, dont 12 000 fixes ; W fabrication : 56 000 €, dont 15 000 fixes ; W distribution : 99 000 €, dont 22 000 fixes. – Charges de personnel : au total 398 500 € ; W administration : 43 000 € (fixes) ; W approvisionnement : 15 000 € (fixes) ; W fabrication : 243 500 €, dont 190 000 fixes ; W distribution : 97 000 €, dont 72 000 fixes. – Dotations aux amortissements : au total 157 000 €, fixes, qui se répartissent ainsi : W administration : 12 000 € ; W approvisionnement : 17 000 € ; W fabrication : 70 000 € ; W distribution : 58 000 €. – Ventes W 1 500 bobines S à 400 € l’unité ; W 800 bobines XL à 500 € l’unité. C. Pendant le mois N, l’atelier de fabrication a produit 2 000 bobines S et 800 bobines XL. On dispose des renseignements suivants concernant l’activité : Production de :

S

XL

Consommation de fibre de verre en tonnes Consommation d’autres composants en tonnes Temps d’utilisation de la chaîne en heures

210 140 85

120 60 65

Il n’y a pas de différences d’inventaire sur le stock de fibre de verre. On dispose des statistiques de vente en volume des bobines S au cours des 12 derniers mois : Mois

Quantités vendues Q

Mois

Quantités vendues Q

M1 M2 M3 M4 M5 M6

1 640 2 000 1 800 2 000 2 080 2 200

M7 M8 M9 M10 M11 M12

2 300 1 800 2 100 2 040 2 100 1 700

La comptabilité analytique utilise les principes du direct costing pour calculer des marges sur coûts variables, pour les besoins de la gestion prévisionnelle, mais également, après imputation des charges indirectes fixes, des coûts complets pour être en mesure de valoriser ses stocks.

98


R1211-F2/4

Travail à faire Tous les calculs demandés concernent le mois N. 1. Établir le tableau de répartition des charges indirectes, en distinguant la partie fixe et la partie variable du coût de l’unité d’œuvre. 2. Calculer, dans un tableau, les coûts d’achat globaux et unitaires, en distinguant la partie fixe et la partie variable. 3. Établir le compte de stock de fibres de verre qui fonctionne en coût complet. Calculer la partie fixe du coût unitaire complet moyen pondéré qui servira à valoriser le stock final. 4. Calculer, dans un tableau, les coûts de production globaux et unitaires des bobines S et XL, en distinguant la partie fixe et la partie variable. 5. Calculer, dans un tableau, les coûts de revient globaux et unitaires des produits vendus, en distinguant la partie fixe et la partie variable, ainsi que les résultats analytiques. Commenter ces résultats. 6. Établir le compte de résultat de la comptabilité financière. 7. Calculer les corrections à apporter aux charges fixes de la période du fait de l’existence de variations de stocks, dans l’optique du calcul du résultat de la période dans le cadre de la méthode du direct costing. 8. Calculer les marges sur coûts variables et retrouver le résultat de la période dans l’optique direct costing. Commenter. 9. On suppose que la société GLATEX est assurée de vendre 800 bobines XL. Calculer dans ces conditions le seuil de rentabilité exprimé en nombre de bobines S. 10. Calculer la probabilité d’atteindre ce seuil de rentabilité et commenter. Éléments de réponse 1. Tableau de répartition Éléments

Totaux

Adm.

Approvisionnement Fixes Variables

Fabrication Fixes Variables

Distribution Fixes Variables

Services extérieurs

278 400

25 000

12 000

86 400

15 000

41 000

22 000

77 000

Charges de personnel

398 500

43 000

15 000

–

190 000

53 500

72 000

25 000

Dotations

157 000

12 000

17 000

–

70 000

–

58 000

–

Répartition primaire

833 900

80 000

44 000

86 400

275 000

94 500

152 000

102 000

–80 000

10 000

40 000

–

30 000

0

54 000

315 000

94 500

182 000

Répartition secondaire Totaux

833 900

Unité d’œuvre Nombre Coûts unitaires fixes et variables

100

86 400

102 000

Tonne

Heure

Euro de CA

540

150

1 000 000

160

2 100

630

0,182

0,102

Coûts unitaires totaux 260 par tonne

2 730 par heure

0,284 par euro de CA

R1211-F2/4

SÉRIE 02

99

2. Calcul des coûts d’achat Éléments Prix d’achat Charges indirectes VARIABLES Coût variable d’achat global

Total

Fibre de verre (340 tonnes)

386 000

340 900 =

306 000

86 400

340 160 =

54 400

472 400 54 000

80 000

200 160 =

32 000 112 000

1 060

560

340 100 =

34 000

Coût d’achat complet global

200 pour

360 400

Coût variable d’achat unitaire Charges indirectes FIXES

Autres composants (200 tonnes)

200 100 =

20 000

394 400

Coût d’achat complet unitaire

1 060 + 100 =

1 160

132 000 560 + 100 =

660

3. Stock de fibre de verre Stock initial (60 1 150) Achats (340 1 160)

69 000 394 400

Consommation pour S (210 1 158,50) Consommation pour XL (120 1 158,50) Stock final (70 1 158,50)

463 400

Coût unitaire complet moyen pondéré :

243 285 139 020 81 095 463 400

69 000 + 394 400 = 1 158,50 60 + 340

La partie fixe de ce coût unitaire, utilisée dans la question suivante, est : 1 158,5 – 1 060 = 98,5 4. Calcul des coûts de production Éléments Consommations de fibre de verre (partie variable) Consommations d’autres composants (partie variable) Charges indirectes variables Coût de production variable global Coût de production variable unitaire Consommations de fibre de verre (partie fixe) Consommations d’autres composants (partie fixe) Charges indirectes fixes Coût de production fixe global Coût de production fixe unitaire Coût de production complet global Coût de production complet unitaire

Total

S (2 000 unités)

349 800

210 1 060 = 222 600

120 1 060 = 127 200

112 000

140 560 =

60 560 =

94 500 556 300

85 630 =

32 505

210 98,5 =

20 000

140 100 =

315 000 367 505

85 2 100 =

923 805

78 400 53 550 354 550 177,275 20 685 14 000 178 500 213 185 106,5925 567 735 283,8675

XL (800 unités)

65 630 =

120 98,5 = 60 100 = 65 2 100 =

33 600 40 950 201 750 252,1875 11 820 6 000 136 500 154 320 192,9 356 070 445,0875

100


R1211-F2/4

5. Coûts de revient et résultats analytiques (Les calculs ne sont explicités que pour les produits S.) Éléments Chiffres d’affaires Coût variable de production des produits vendus Coût variable de distribution Coût de revient variable global Coût de revient variable unitaire Coût fixe de production des produits vendus Coût fixe de distribution Coût de revient fixe global Coût de revient fixe unitaire Coût de revient complet global Coût de revient complet unitaire Résultats analytiques globaux unitaires

Total

1 500 S

800 XL

1 000 000 1 500 400 = 467 662,50 1 500 177,275 = 102 000 600 000 0,102 = 569 662,50

600 000 265 912,50 61 200 327 112,50 218,075 314 208,75 1 500 106,5925 = 159 888,75 182 000 600 000 0,182 = 109 200 496 208,75 269 088,75 179,3925 1 065 871,25 596 201,75 397,4675 –65 871,25

+3 798,75 2,5325

400 000 201 750 40 800 242 550 303,1875 154 320 72 800 227 120 283,9 469 670 587,0875 –69 670 –87,0875

Le produit XL génère une perte importante ; cette perte peut s’expliquer par une politique de prix inadaptée, mais également par une imputation arbitraire des charges indirectes fixes. On ne peut pas conclure ; il faut poursuivre l’analyse au niveau des marges sur coûts variables dans une optique direct costing pour pouvoir véritablement porter un jugement sur les produits. 6. Compte de résultat de la comptabilité financière Achats de fibre de verre Achats d’autres composants Variation de stocks de fibre (69 000 – 81 095) Services extérieurs Charges de personnel Dotations

306 000 80 000 –12 095 278 400 398 500 157 000 1 207 805

Ventes Production stockée (produit S : 500 283,8675) Perte

1 000 000 141 933,75 65 871,25

1 207 805

On remarquera que le résultat de la période (–65 871,25) correspond à la somme algébrique des résultats analytiques calculés dans la question précédente, du fait de l’inexistence de différences de traitement comptable. 7. Corrections à apporter aux charges fixes de la période du fait des variations de stocks Les charges fixes de la période sont : 54 000 + 315 000 + 182 000 = 551 000 € La relation « Résultat = Somme des marges – Charges fixes », caractéristique du direct costing, n’est parfaitement vérifiée que s’il n’y a pas de variations de stocks. S’il y a des variations, la partie de charges fixes comprise dans les stocks doit être considérée comme une différence de traitement comptable. Ici, cette correction est de : (+) charges fixes comprises dans le stock initial de fibre de verre ................................ [60 (1 150 – 1 060)]

+ 5 400

(–) charges fixes comprises dans le stock final de fibre de verre................................... (–) 6 895 (70 98,5)

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(–) charges fixes comprises dans le stock final de produits S ........................................ (–) 53 296,25 (500 106,5925) Soit au total........................................................................................................................ (–) 54 791,25 Les charges fixes à retrancher de la somme des marges pour retrouver le résultat de la période, dans la question suivante, sont donc 551 000 – 54 791,25 = 496 208,75 8. Marges sur coûts variables et analyse du résultat dans une optique direct costing Éléments

Total

Prix de vente unitaire Coût de revient variable Marge unitaire Quantités vendues Marges globales Charges fixes corrigées du fait des variations de stocks Résultat

430 337,5

S 400 (–) 218,075 (=) 181,925 () 1 500 272 887,50

XL 500 (–) 303,1875 (=) 196,8125 () 800 157 450

(–) 496 208,75 (–) 65 871,25

Les marges des deux produits sont toutes deux positives, ce qui relativise les résultats de la cinquième question. Pas question d’abandonner le produit XL ! 9. Seuil de rentabilité Si la quantité de XL est fixée à 800, le seuil de rentabilité S exprimé en nombre de produits standards est tel que : marges charges fixes 181,925 S + (196,8125 800) 551 000 181,925

S 551 000 – 157 450 S

393 550 181,925

S 2 163,254

soit S = 2 164

10. Probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité L’exploitation d’une calculatrice donne : E(Q) = 1 980 (Q) = 194,2507 Comme R = mQ – FF on a : E(R) = mE(Q) – FF et (R) = m (Q) Ici, l’espérance du résultat E(R) est donc : E(R) = (181,925 1 980) – 393 550 = 360 211,50 – 393 550 = –33 338,50 et l’écart-type du résultat (R) est : (R) = 194,2507 2 181,9252 = 35 339,06

102


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En passant, par changement de variable, à la variable « centrée, réduite » qui est tabulée, on a donc :

0 (33 338, 50) 35 339, 06 = Prob {T 0,9434} = 1 – Prob {T < 0,9434}

Prob {R 0} = Prob T

On peut aussi poser, plus simplement :

2 164 1 980 194 = Prob {T 0,94}

Prob {N 2 164} = Prob T

La lecture dans la table de la fonction de répartition donne : – pour 0,94 : 0,8264 – pour 0,95 : 0,8289 Nous pouvons donc arrondir à : Prob {T < 0,9434} 0,83 D’où : Prob {R 0} 1 – 0,83 0,17 Il n’y a que 17 chances sur 100 d’atteindre le seuil de rentabilité, ce qui est très faible : l’exploitation est très risquée et doit être jugée non rentable. La perte importante enregistrée pour le mois N n’est pas uniquement conjoncturelle : la structure actuelle des charges interdit de rentabiliser l’exploitation. L’entreprise doit donc soit entreprendre une action commerciale pour augmenter sa part de marché, soit envisager une restructuration pour abaisser ses charges fixes. Sinon, sa pérennité à terme est compromise.

Exercice 10 : Levier opérationnel Les sociétés SEDAINE et POPINCOURT sont dans le même secteur d’activité (le textile-habillement), réalisent le même chiffre d’affaires (3 400 000 €) et le même résultat (170 000 €). Par contre, elles ont fait des choix stratégiques très différents, SEDAINE sous-traite complètement sa production, alors que POPINCOURT possède son propre atelier de confection. La structure des charges, dans l’optique d’une analyse en direct costing, est donc très différente. Pour SEDAINE, ces charges sont les suivantes (en milliers d’euros) : – Achats d’articles de confection sous-traités :.......................... 2 975 – Autres frais variables : .............................................................. 85 – Frais de personnel fixes :.......................................................... 119 – Dotations aux amortissements : ............................................... 34 – Autres frais fixes :..................................................................... 17 TOTAL :

3 230

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On remarquera que les charges fixes sont peu importantes. Par contre, pour POPINCOURT, nous avons : – Achats de matières premières (tissus, fils...) :.......................... 1 360 – Autres frais variables : ............................................................... 340 – Frais de personnel fixes :........................................................... 646 – Dotations aux amortissements : ................................................ 731 – Autres frais fixes :...................................................................... 153 TOTAL :..................................................................................... 3 230 Travail à faire 1. Présenter, dans un tableau comparatif, les calculs menant à la détermination, pour SEDAINE et pour POPINCOURT, du seuil de rentabilité SR, de la marge de sécurité absolue MSA, et de la marge de sécurité relative MSR (sous forme d’un coefficient et sous forme d’un pourcentage). 2. Représenter graphiquement la détermination des seuils de rentabilité (à partir de la marge sur coûts variables M/CV et des charges fixes F). Commenter la différence de situation entre les deux entreprises et l’impact de la structure des charges sur leur vulnérabilité. 3. Exprimer, pour chaque société, le résultat R en fonction du chiffre d’affaires X. Utiliser les relations « Volume-Coût-Profit » obtenues, du type R = f(X), pour étudier, dans une optique de gestion prévisionnelle, l’impact d’une hausse, puis d’une baisse de 20 % du niveau d’activité sur le résultat. 4. Les calculs de la question précédente mettent en évidence un « effet de levier opérationnel » sur le résultat. Pour quelle société cet effet joue-t-il de la façon la plus spectaculaire ? Pourquoi ? En utilisant le schéma classique de détermination du seuil de rentabilité par la droite exprimant le résultat en fonction du chiffre d’affaires, représenter graphiquement cet effet de levier opérationnel dans le cas de la baisse de 20 %. Commenter la situation respective de chaque société.

marge sur coûts variables résultat Démontrer que ce coefficient est égal à l’inverse de la marge de sécurité relative (exprimée non pas en pourcentage, mais sous la forme d’un coefficient). Vérifier que ce coefficient de levier opérationnel permet bien de mesurer l’intensité de l’effet de levier opérationnel, et qu’il peut être utilisé pour prévoir la variation du résultat en fonction de la variation du chiffre d’affaires pour SEDAINE et POPINCOURT.

5. On appelle « coefficient de levier opérationnel », noté L, le rapport :

6. Soit E l’élasticité du résultat R par rapport au chiffre d’affaires X. Si X varie de X, R varie de R et on a : R E= R X X Démontrer que, dans le cadre des hypothèses du direct costing (fixité des charges de structure et proportionnalité des charges variables par rapport au chiffre d’affaires), l’effet de levier peut s’exprimer en termes d’élasticité, c’est-à-dire que L = E. Vérifier numériquement cette égalité dans le cas de SEDAINE et POPINCOURT. 7. Exprimer la variation du résultat R ainsi que le résultat prévisionnel Rp en fonction de l’élasticité, du résultat R, et de la variation relative du chiffre d’affaires. Utiliser la relation obtenue pour calculer, pour chaque société, connaissant par hypothèse la valeur des élasticités, le résultat prévisionnel dans le cas d’une baisse de 30 % du chiffre d’affaires. Commenter les différences dans le degré de « volatilité » du résultat entre les deux sociétés.

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8. Peut-on conclure, à partir des résultats des questions précédentes, qu’une entreprise a toujours nécessairement intérêt à sous-traiter sa production pour avoir plus de flexibilité, moins de vulnérabilité, moins de volatilité de son résultat ? 9. Les deux sociétés répondent à une demande identique, suivant une loi normale d’espérance 3 000 000 et d’écart-type 500 000 (en euros). Calculer pour chaque société la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité. Les résultats obtenus vont-ils dans le même sens que les conclusions précédentes ? 10. La notion d’effet de levier est souvent utilisée en gestion. Connaissez-vous d’autres effets de levier, développés dans d’autres disciplines ? D’une manière très générale, quel est l’intérêt pour le management de l’entreprise ? Éléments de réponse 1. Calcul des seuils de rentabilité et des marges de sécurité (Les données comptables sont en milliers d’euros.) Éléments

SEDAINE

POPINCOURT


3 400

3 400

Achats Autres frais variables Total des charges variables Marge sur coûts variables

2 975 85 3 060 340

1 360 340 1 700 1 700

119 34 17 170

646 731 153 1 530

Frais de personnel Dotations aux amortissements Autres frais fixes Total des charges fixes Seuil de rentabilité SRs =

3 400 170 340

= 1 700

SRp = Marge de sécurité absolue MSAs = MSAp =

–

3 400 – 1 700 = 1 700 –

Marge de sécurité relative

1 700

MSRs = MSRp =

3 400 (soit 50 %) –

= 0,5

–

3 400 1 530 1 700

= 3 060

– 3 400 – 3 060 = 340

340

= 0,1 3 400 (soit 10 %)

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2. a. Représentation graphique Coûts et marges sur coûts variables

2 000

1 530

Marge sur coûts variables POPINCOURT

{

1 700

Charges fixes POPINCOURT

RÉSULTAT POPINCOURT

1 000

en grisé : zone de profit

Marge sur CV SEDAINE 340

{

Charges fixes SEDAINE 170

0

1 000

SRs = 1 700

SRp = 3 060

X = 3 400

MSAs = 1 700

MSAp = 340

RÉSULTAT SEDAINE

4 000

Chiffre d'affaires

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b. Commentaire Comme SEDAINE sous-traite sa production, elle a peu de frais fixes : son seuil de rentabilité SR est très bas (1 700) et sa marge de sécurité très forte. Son exploitation est donc peu risquée : si le chiffre d’affaires baisse, la marge de sécurité la protège des pertes. Par contre, le risque d’exploitation est beaucoup plus fort pour POPINCOURT. Comme la valeur du seuil de rentabilité dépend de la structure des charges, la vulnérabilité de l’entreprise est liée à cette structure. 3. a. Fonction R = f(X) Soit m le taux de marge sur coûts variables, X le chiffre d’affaires et F le montant des frais fixes. Nous avons : R = (m.X) – F Application numérique : Société Taux de marge m

SEDAINE

340 3 400

Frais fixes F R = f(X)

= 0,10

170 R = 0,10 X – 170

POPINCOURT

1 700 3 400

= 0,5

1 530 R = 0,5 X – 1 530

b. Impact d’une hausse ou d’une baisse de 20 % En cas de hausse de 20 % : X = 3 400 1,2 = 4 080 En cas de baisse de 20 % :

X = 3 400 0,8 = 2 720

Impact sur le résultat : Société Hypothèse +20 % Résultat prévisionnel Taux de variation

SEDAINE

POPINCOURT

(4 080 0,10) – 170 = 238

(4 080 0,5) – 1 530 = 510

238 170 100 = +40 % 170

510 170 100 = +200 % 170

(2 720 0,10) – 170 = 102

(2 720 0,5) – 1 530 = –170

102 170 100 = 40 % 170

170 170 100 = 200 % +170

Hypothèse –20 % Résultat prévisionnel Taux de variation

4. a. Intensité de l’effet de levier Nous constatons que, quand le chiffre d’affaires augmente (ou baisse) de 20 %, le résultat de SEDAINE augmente (ou baisse) de 40 %, celui de POPINCOURT de 200 %. Il y a donc un « effet d’amplification » (la variation du résultat est beaucoup plus importante que celle du chiffre d’affaires), et cet effet est beaucoup plus accentué pour POPINCOURT (5 fois plus) que pour SEDAINE (2 fois plus). L’effet de levier mis en évidence est d’autant plus fort que la proportion des charges fixes est grande.

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b. Représentation graphique Pour mieux faire apparaître la différence de situation entre les sociétés, nous avons intérêt à dissocier les deux courbes dans deux graphiques ainsi déposés (on a noté CA' la valeur du chiffre d’affaires résultant de la baisse de 20 %) : R SEDAINE :

CA'

CA actuel

+170 +102 2 720 0

SRs = 1 700

(X)

_170

R

3 400

R=f

CA (X)

POPINCOURT :

+170 2 720 0

3 400 SRp = 3 060

R

=

f(X

)

_170

_1 530

en grisé : zone de profit

CA

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c. Commentaire Dans le cas de SEDAINE, comme la marge de sécurité est élevée, la baisse de 20 % du chiffre d’affaires entraîne certes une baisse du résultat (–40 %), qui passe de 170 à 102, mais ce résultat reste positif. La pérennité de SEDAINE n’est pas compromise, sa vulnérabilité est faible. Par contre, dans le cas de POPINCOURT, comme le seuil de rentabilité est élevé, du fait de l’importance des charges fixes, la marge de sécurité est faible et cette même baisse de 20 % entraîne une baisse beaucoup plus forte du résultat (200 %), qui devient négatif, passant de +170 à –170. La vulnérabilité de POPINCOURT est beaucoup plus forte. La structure des charges (répartition charges fixes – charges variables) détermine l’importance de l’effet de levier opérationnel. L’absence de flexibilité (beaucoup trop de charges fixes) est pour POPINCOURT un handicap en cas de baisse de l’activité. 5. a. Montrez que L =

1 MSR

Considérons le schéma classique de détermination du seuil de rentabilité : D

Marge sur CV

}

A

Frais fixes

R = Résultat

}

B

MSA

S Seuil de rentabilité

O

C Chiffre d'affaires X

Les triangles OCD et ABD étant semblables, les côtés homologues sont proportionnels, notamment : DC DB = OC AB soit :

Résultat Marge sur coûts variables = Marge de sécurité absolue Chiffres d’affaires

M /CV R = X MSA donc : L =

d’où :

M/CV X = R MSA

M /CV X 1 = = R MSA MSA X

L=

1 Marge de sécurité relative

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SÉRIE 02

109

b. Application à SEDAINE et POPINCOURT Dans le cas de nos deux sociétés, nous avons bien : Société L=

M /CV R

=

1 = MSR

SEDAINE

POPINCOURT

340 =2 170 1 =2 0,5

1 700 = 10 170 1 = 10 0,10

Le coefficient L permet bien de mesurer l’intensité de l’effet de levier opérationnel. Il représente le rapport entre le taux de variation du résultat et le taux de variation du chiffre d’affaires : il faut multiplier par 2 pour SEDAINE, et par 10 pour POPINCOURT. Si le chiffre d’affaires augmente de x %, le résultat augmente de L. x % : de 2x % pour SEDAINE et de 10x % pour POPINCOURT. L’effet est évidemment beaucoup plus intense pour POPINCOURT. Nous pouvons utiliser L en gestion prévisionnelle et retrouver les résultats précédents. Par exemple, si le chiffre d’affaires augmente de 20 %, le résultat de SEDAINE augmente de 2 20 = 40 %, et passe à 170 1,4 = 238 ; le résultat de POPINCOURT augmente de 10 20 = 200 %, et passe à 170 3 = 510. On retrouve bien les résultats de la question 3. 6. a. Montrez que L = E sous les hypothèses du direct costing : R = m.X – F En différenciant cette expression, on obtient : R = mX 0

R mX mX d’où : E = R = R = X X R X X Marge sur coûts variables =L Résultat

E=

b. Application numérique (dans le cas d’une variation de 20 %) Société X R X R R R X X

E

= = = 3 400 0,2 = = = =

On retrouve bien les valeurs de L.

SEDAINE 3 400 170 680 238 – 170 = 68

68 = 0, 4 170 0,2 0, 4 = 2 ( Ls ) 0, 2

POPINCOURT 3 400 170 680 510 – 170 = 340

340 =2 170 0,2 2 = 10 ( L P ) 0, 2

110


R1211-F2/4

7. a. Expression de Rp Nous avons :

R E= R X X

d’où

R X = E R X

R = E

X R X

comme : R P = R + R

X R P = R+ E R X X R P = R+ 1+ E

X b. Calculs prévisionnels dans le cas d’une baisse de 30 % (en milliers d’euros) Pour SEDAINE : Rp = 170 [1 – (2 0,3)] = +68 k€ Pour POPINCOURT : Rp = 170 [1 – (10 0,3)] = –340 k€ c. Commentaire Le résultat de POPINCOURT est beaucoup plus « volatile » que celui de SEDAINE : une petite baisse du niveau d’activité peut provoquer un effondrement du résultat, voire des pertes importantes. On voit que le coefficient de levier, la marge de sécurité relative et l’élasticité du résultat expriment sous des formes différentes le même phénomène : le risque d’exploitation dû au manque de flexibilité et qui entraîne une vulnérabilité se traduisant par la volatilité du résultat. 8. Intérêt de la sous-traitance Ce qui précède montre qu’en cas de récession, l’entreprise a évidemment intérêt à être flexible et à sous-traiter sinon elle sera handicapée par les frais fixes trop élevés. Mais par contre, en cas de reprise des affaires, l’effet de levier opérationnel joue également, mais cette fois à la hausse, en avantageant l’entreprise qui dispose du potentiel de production. Si le chiffre d’affaires augmente de 20 %, le résultat de SEDAINE n’augmentera « que » de 40 %, alors que celui de POPINCOURT triplera ! La « stratégie SEDAINE » est donc valable si l’on anticipe la crise et si on redoute la prise de risque ; par contre, la « stratégie POPINCOURT » sera beaucoup plus « payante » en période d’expansion. On ne peut pas avoir le beurre et l’argent du beurre... face aux aléas conjoncturels, l’entreprise doit arbitrer entre rentabilité et sécurité. C’est un dilemme classique en gestion stratégique ! 9. Seuils de rentabilité probabilisés a. Pour SEDAINE, il faut calculer : Prob {X 1 700} X E(X) 1 700 3 000 = Pr ob 500 s(X) = Prob {t 2,6} = Prob {t < +2,6}

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SÉRIE 02

111

La lecture dans la table donne : 0,9953. Cette probabilité est très proche de 1 : SEDAINE a la certitude presque absolue d’atteindre son seuil de rentabilité, ce qui est logique dans la mesure où celui-ci est très bas. b. Pour POPINCOURT Prob {X 3 060}

1 700 3 000 Prob t 500 = Prob {t 0,12} = 1 – Prob {t < 0,12} = 1 0,5478 = 0,4522 Cette probabilité est très, très faible, inférieure à 0,5 : POPINCOURT a moins d’une chance sur deux d’atteindre son seuil de rentabilité, qui est, comme nous l’avons vu, très élevé. c. Comparaison avec les conclusions précédentes Ces résultats vont dans le même sens que les conclusions des questions précédentes : l’exploitation de POPINCOURT est beaucoup plus risquée que celle de SEDAINE. Plus les charges fixes sont élevées, plus le seuil de rentabilité est élevé, et, toutes choses égales par ailleurs, plus la probabilité d’atteindre ce seuil de rentabilité est faible. 10. Les effets de levier en général Il existe d’autres effets de levier, par exemple : – l’effet de levier financier, qui exprime l’impact du ratio d’endettement sur la rentabilité des fonds propres, que l’on étudie en gestion financière ; – l’effet de levier juridique, qui exprime la possibilité de contrôler, avec peu de capital, un groupe important, par le biais d’une cascade de sociétés holding ; – les Anglo-Saxons qualifient le « leverage » (LMBO : Leverage Management Buy Out) la Reprise d’une entreprise par ses salariés (RES), permettant le rachat grâce à une mise de fonds faible et quelques avantages fiscaux. L’expression « levier » renvoie de façon métaphorique à l’utilisation, en physique, du bras de levier qui permet de soulever une lourde charge avec une petite force :

Un effet de levier exprime toujours la possibilité, avec une faible utilisation de moyens, d’obtenir un effet décuplé. Ceci est fondamental en gestion : on peut définir le management comme l’art de savoir intelligemment faire jouer à son profit les effets de leviers !

112


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ANNEXE 1 Table de la loi normale centrée réduite N(0, 1) : P(T t) = (t) t

Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : P(T t) = (t) =

f (x)dx

t

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

4,0 0,99997

4,5 0,99999

Table pour les grandes valeurs de t t (t)

3,0 0,99865

3,1 0,99904

3,2 0,99931

3,3 0,99952

3,4 0,99966

3,5 0,99976

3,6 0,99984

3,8 0,99992

NOTA BENE

La table donne les valeurs de (t) pour t > 0. Si t est négatif, on prend le complément à l’unité de la valeur lue dans la table : (–t) = 1 – (t)

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SÉRIE 02

113

ANNEXE 2 Dérivée et extremum d’une fonction 1. Dérivées usuelles à connaître pour le cours par correspondance de contrôle de gestion Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet pour tout nombre x de I un nombre dérivé f '(x) = b , alors la fonction définie sur I par x f '(x) s’appelle fonction dérivée première de f, et cette fonction est notée f. Fonction f(x) (b étant une constante réelle)

f (x) = b

Dérivée f’(x)

f '(x) = 0

f (x) = ax + b

f '(x) = a

f (x) = ax

f '(x) = n ax n 1

f (x) =

n

1 x

f '(x) =

1 x2

Fonction

Dérivée

U ' V UV '

U V

V2

EXEMPLES

Dérivée f '

Fonction f

f (x) =

100 + 4x x

f (x) = 5x 2 + 20x 5

f (x) =

1 3 x 4x 2 + 12x + 5 3

f '(x) =

100

+4 x2 f '(x) = 10x + 20

f '(x) = x 2 8x + 12

2. Utilisation de la dérivée Lorsque la dérivée d’une fonction s’annule en un point x0 (et change de signe en ce point), alors fonction f présente un extremum (minimum ou maximum) en ce point.

114


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EXEMPLE 1

Rechercher l’extremum de la fonction

f (x) =

100 + 4x x

Pour rechercher l’extremum, il faut résoudre :

0=

100 x2

4 = 4=

+4

100 x2

100

x2 =

x2

100 4

x = 25 x = 25 = 5 ou 5 EXEMPLE 2


f (x) = 5x 2 + 20x 5

Pour rechercher l’extremum, il faut résoudre :

0 = 10x + 20 10x = 20 x=

20 = 2 10

EXEMPLE 3


f (x) =

1 3 x 4x 2 + 12x + 5 3

Pour rechercher l’extremum, il faut résoudre : 0 = x 2 8x + 12 La résolution de cette équation du second degré se fait par le calcul du discriminant noté . 2 = b – 4 ac 2 2 = (–8) – 4 ( 1 12) = 16 = 4 Le discriminant étant > 0, il y a deux racines qui annulent la dérivée. Ces deux racines sont : x1 =

b + ( 8) + 4 = =6 2a 2 1

et x2 =

b ( 8) 4 = =2 2a 2 1

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SÉRIE 02

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3. Primitive Soit f une fonction définie sur un intervalle I (non vide et non réduit à un point). On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I et telle que la fonction dérivée F’ soit égale à f. EXEMPLE

Fonction f

f (x) = 2 x – 5

Primitive F 2 F(x) = x – 5x + b (b étant une constante réelle)

f (x) = 6 x2 – 20x – 5

F(x) = 2x – 10x – 5x + b (b étant une constante réelle)

3

f (x) = x2 – 8x + 12

1 3 2 x – 4 x + 12 x + b 3 (b étant une constante réelle) F(x) =

2

116


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DEVOIR 2 À envoyer à la correction L’entreprise Novatex est une ancienne filiale d’un grand groupe textile aujourd’hui disparu. Ce dernier avait été fondé en 1919 par un jeune industriel à l‘esprit pionnier. Mais, en 1979, les premiers craquements s’étaient fait sentir. Les grandes filatures de produits courants avaient été fermées sous l’effet de la concurrence venant du Portugal puis de l’île Maurice. Le déclin semblait inexorable, puisqu’à l’exclusion de la filiale « Création et haute couture » ne subsistait que Novatex. Novatex est réorganisée pour répondre aux besoins des chaînes de magasins d’habillement de surfaces importantes (entre 1 000 et 4 000 m) situés sur de fortes zones de chalandise. La production doit être importante, fabriquée dans un temps très court pour répondre à de brusques variations des demandes. Les coûts doivent être bas, sans que la qualité en souffre. Novatex compte sur les délais de réponse aux nouvelles tendances de la mode pour contrer les importations d’Asie du Sud-Est. Le processus de production, situé sur un site unique en banlieue de Roubaix, est classique : – Approvisionnements. – Coupe. – Assemblage automatisé (thermocollage). – Assemblage manuel (couture). – Contrôle. – Conditionnement. En revanche, la direction du développement, la DAF (direction administrative et financière), la direction commerciale et la direction générale sont situées non loin de la gare TGV de LILLE. Vous êtes chargé(e) de faire le diagnostic du système d’analyse des coûts actuel, puis de proposer des améliorations éventuelles.

Partie A (7 points) Actuellement, l’analyse des coûts se fait en coûts complets par la méthode classique des centres d’analyse sur trois lignes de produits : – Street fashion (SF). À partir d’une structure vestimentaire simple et standard en coton, des ajouts tendances sont ajoutés. Il faut savoir répondre rapidement à des évènements (concerts, exploits sportifs, etc.) – Soirée simple (BCBG). Des tissus plus élaborés sont utilisés, nécessitant une coupe plus complexe à partir de modèles envoyant des signaux décalés sur une base classique. – Sportwear (SW). Leurs signes distinctifs viennent de logos que les prospects peuvent reconnaître sur des vedettes sportives en vue. L‘analyse des coûts des produits se fonde sur un produit de base pour chaque ligne de produits, appelé soit SFbase, soit BCBGbase ou soit SWbase ; les autres produits d’une même ligne seront évalués à partir de coefficients d’équivalence. Par exemple, le produit SF12 sera évalué en multipliant le coût unitaire de SFbase par 1,07.

118


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Travail à faire 1. À partir des informations données en annexe A, il vous est demandé de calculer les coûts de revient unitaires (avec deux décimales) et globaux de chaque type de produits de base pour la saison du premier semestre N, sachant qu’il y a deux saisons par an. 2. Commenter les résultats obtenus, ainsi que la structure des coûts. ANNEXE A La production se fait en juste à temps ; les stocks de produits finis ou intermédiaires sont négligeables. Les matières premières sont achetées au début de chaque saison et sont, en principe, intégralement consommées. Des réassortiments peuvent arriver, mais ils n’affectent généralement pas les évaluations faites. Productions et ventes : Volumes Prix de vente HT

SFbase

BCBGbase

SWbase

90 000

30 000

150 000

45

78

31

Consommations de matières premières en mètres (il s’agit de longueurs), sachant que les rouleaux de tissu ou d’ajout ont des largeurs standards : MP1 MP2 MP3 MP4 MP5 MP6 MP7 MP8 MP9 MP10 MP11 MP12 Total (en mètres)

SFbase 0,20

BCBGbase

SWbase 0,20

0,7 0,30 0,3 0,4 0,1 0,1 0,05 0,03 0,01 0,1 0,89

0,2

0,1

0,2 1,40

0,3 0,1 1,1

Coût du mètre 12 26 10 18 6 2 5 3 6 2 4 5

Les charges indirectes (7 740 000 ) sont réparties entre les différents services selon les modalités suivantes : Centres d’analyse Approvisionnement

Charges (en ) 1 200 000

Unités d’œuvre Quantités achetées en mètres

Coupe

300 000

Nombre de produits de base fabriqués

Assemblage automatisé

600 000

Minutes de thermocollage

Assemblage manuel

3 000 000

Minutes de piquage

Contrôle

240 000

Nombre de produits de base fabriqués

Conditionnement

150 000

Nombre de produits de base vendus

Direction du développement

300 000

Coût de production des produits vendus

DAF

450 000


Direction commerciale

600 000


Direction générale

900 000


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DEVOIR 2

119

Temps d’assemblage par unité de produits de base fabriqués :

Thermocollage Piquage

SFbase

BCBGbase

SWbase

15 s

1 mn

25 s

2 mn 30 s

6 mn

2 mn

Partie B (13 points) Il est envisagé de s’inspirer des apports de la comptabilité à base d’activités (ABC) pour améliorer le pilotage de l’entreprise. Une analyse approfondie des processus de production a été faite, et les résultats sont communiqués en annexe B. Travail à faire 1. À partir des données de l’annexe B, il vous est demandé de calculer les coûts de revient unitaires (avec deux décimales) et globaux de chaque type de produits de base pour la saison du premier semestre N, sachant qu’il y a deux saisons par an. (Le coût des inducteurs sera arrondi à la troisième décimale). 2. Commenter les résultats obtenus. Les comparer avec les résultats obtenus en partie A. 3. Proposer des améliorations des rentabilités à partir des éléments fournis en annexe C. ANNEXE B L’analyse des processus a permis de dégager un certain nombre d’activités et d’inducteurs de coûts. Activités Approvisionnement

Relations fournisseurs Contrôle réception

Coupe

Nombre de références matières Nombre de manipulations

Ordonnancement

Nombre de lots

Préparation Thermocollage

Assemblage manuel

Nombre de références matières

Approvisionnement coupe Classement Assemblage automatisé

Inducteurs de coût

Charges

(1)

120 000

(1)

480 000

(2)

600 000 120 000

Nombre de manipulations Nombre de manipulations Minutes de thermocollage

(2)

180 000

(2)

240 000

(2)

Classement

Nombre de manipulations MP7 à MP12

Piquage

Minutes de piquage

Contrôle

Contrôle terminal

Nombre de lots

Conditionnement

Emballage

Produit de base vendu

360 000 (3)

90 000 2 100 000 240 000

(4)

Direction du développement

Conception

Nombre de modèles

Direction commerciale

Commercialisation

Nombre de modèles

DAF et Direction générale

Administration

Coût ajouté : somme des charges indirectes en dehors des coûts de ces 2 centres

150 000 300 000 600 000 1 350 000

(1) Nombre de références : 12. L’imputation au coût total d’un produit se fera en remarquant qu’un produit ne consomme qu’un tiers de référence si elle est commune aux trois produits, une demi-référence si elle n’est commune qu’à deux produits et bien entendu une référence si elle n’est utilisée que par un produit. (2) (Nombre de références matières de MP1 à MP6) (Nombre de lots) ; soit par exemple pour SFbase : 3 522 = 1 566. (3) (Nombre de références matières de MP7 à MP12) (Nombre de lots) ; soit par exemple pour SFbase : 5 522 = 2 610. (4) Pour SF, nous avons 6 modèles, pour BCBG 3 modèles et pour SW 3 modèles.

120


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Nombre et taille des lots mis en fabrication : SFbase

BCBGbase

SWbase

Lots de 10 000 pièces

2

1

10

Lots de 1 000 pièces

20

10

30

Lots de 200 pièces

/

/

100

Lots de 100 pièces

500

10

/

90 000

30 000

150 000

Volumes totaux

Seul le modèle sur base peut être fabriqué en lots de 200 pièces. ANNEXE C Vous interrogez quelques membres du personnel en vue d’améliorer l’efficience de l’entreprise ; il apparaît que l’on aurait pu passer de 2 lots à 3 lots de 10 000 pièces pour SFbase à la place de 10 lots de 1 000 pièces ; de même aurait-on pu diviser par dix le nombre de lots de 100 pièces au profit de lots de 1 000 pièces.

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DEVOIR 3 À envoyer à la correction

Partie A (12 points) La société Krokenbourg produit et commercialise de la bière en fut (BF), de la bière de luxe (BL) et du panaché (PA) au travers d’un réseau de quatre grossistes situés à Strasbourg (ST), Paris (PA), Marseille (MA) et Bordeaux (BO). Il existe des charges fixes spécifiques aux produits (50 000 pour BL, 140 000 pour BF et 30 000 pour PA). Il existe également des charges spécifiques aux marchés (60 000 pour Strasbourg, 60 000 pour Paris, 40 000 pour Marseille et 40 000 pour Bordeaux). Enfin, les frais généraux de l’entreprise se montent à 350 000 . Le coût variable de distribution se monte à 10 % du chiffre d’affaires. Les autres frais variables, par unité de produit, pour l’année N sont les suivants :

Mat premières MOD Transport

ST 0,45 1,20 0,08

Bière de luxe PA MA 0,45 0,45 1,20 1,20 0,20 0,20

Prix de vente HT en pour l’année N Bière de luxe Bière en fûts Panaché Ventes en N en unités

BO 0,45 1,20 0,30

Strasbourg 3,00 140 2,20

ST 26 40 8

Bière en fûts PA MA 26 26 40 40 12 14

Paris 3,00 150 2,40

BO 26 40 18

ST 0,30 1 0,08

Marseille 2,60 120 2,00

Panaché PA MA 0,30 0,30 1 1 0,20 0,20

BO 0,30 1 0,30

Bordeaux 2,20 110 2,00

Strasbourg

Paris

Marseille

Bordeaux

Bière de luxe

120 000

70 000

43 000

18 000

Bière en fûts

8 000

6 500

2 400

2 500

54 000

32 000

28 000

32 000

Panaché

Pour l’année N+1, les prix, les coûts unitaires variables et les charges fixes spécifiques sont inchangés ; en revanche les marchés potentiels ont évolué : Marché potentiel en N+1

Strasbourg

Paris

Marseille

Bordeaux

Bière de luxe

150 000

90 000

50 000

30 000

Bière en fûts

10 000

8 500

4 000

4 000

Panaché

60 000

80 000

50 000

50 000

Capacités de production, en unités de produits, pour N+1 : Bière de luxe : 280 000 ; Bière en fûts : 25 000 ; Panaché : 150 000.

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Travail à faire 1. Calculer, pour l’année N, les marges sur coûts variables par couple produit marché, puis les marges sur coûts spécifiques par marché, par produit et enfin le résultat global. Pour présenter vos calculs, les formes suivantes seront utilisées : – Matrice des marges sur coûts variables unitaires par couple produits*marché : Bière de luxe

Bière en fûts

Panaché

Strasbourg Paris Marseille Bordeaux

– Matrice des marges sur coûts spécifiques :

Bière de luxe

Bière en fûts

Panaché

Strasbourg

MCV totale

MCV totale

MCV totale

Paris

MCV totale

MCV totale

MCV totale

Marseille

MCV totale

MCV totale

MCV totale

Bordeaux

MCV totale

MCV totale

MCV totale

Charges fixes spécifiques par marché

Marges sur coûts spécifiques par marché

Charges fixes spécifiques par produits Marges sur coûts spécifiques par produit Frais généraux : Résultat

2. Commenter les résultats obtenus. 3. Compte tenu des capacités de production et des marchés potentiels de N+1, calculer, pour l’année N+1, les marges sur coûts variables par couple produit marché, puis les marges sur coûts spécifiques par marché, par produit et enfin le résultat global. Pour répondre à cette question, il conviendra de satisfaire en priorité les couples produit marché dont les marges sur coûts variables unitaires sont les plus fortes. 4. Commenter les résultats obtenus. 5. Proposer des mesures pour optimiser le résultat global de N+1 et calculer ce résultat. 6. Quelles sont les limites de ce type d’analyse ?

Partie B (8 points) En vue d’une relance de l’activité dans la région bordelaise, Krokenbourg désire s’associer avec un partenaire local. Celui-ci est sensible à la détermination du (ou des) seuil(s) de rentabilité, ainsi qu’aux possibilités de développement par des politiques de prix. Il conviendra donc d’analyser sa situation personnelle.

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DEVOIR 3

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Il est décidé d’explorer le marché de la bière en fûts auprès des débitants de boissons pour les convaincre de se lancer dans la bière en fûts et, si possible, de se lancer dans la bière de luxe puis dans le Panaché. Les débitants de boissons pratiquent un coefficient multiplicateur de 2,5 pour déterminer le prix de vente au consommateur final (soit : PVHT au consommateur = 2,5 PVHT du grossiste). Le PVHT aux grossistes d’un fût de 30 litres se monte actuellement à 120 . Les grossistes ont l’habitude de pratiquer un coefficient multiplicateur de 1,25. Les débitants de boissons considèrent que l’investissement dans une tireuse (machine permettant de délivrer des « demi ») et dans l’aménagement induit de 5 000 doit être rentabilisé en un an. De plus, des frais de gestion se montent à 1 000 par an, les frais de manutention à 500 par mois et les frais de service des verres à 300 par mois. Le grossiste estime ses charges fixes à 40 000 par an et ses charges variables (autres que le prix d’achat des fûts) à 10 % du chiffre d’affaires. On considère que la demande adressée aux grossistes serait de 4 000 fûts par an, ce qui correspond à 50 cafetiers distribuant 80 fûts par an. Un cabinet de conseil en marketing a estimé l’élasticité de la demande par rapport aux prix à –2 que ce soit pour la demande des cafetiers au grossiste ou pour la demande des consommateurs finaux adressée aux cafetiers. Travail à faire 1. Quel est le seuil de rentabilité en nombre de fûts pour la région bordelaise du point de vue du grossiste ? Quelle est la marge de sécurité relative (ou indice de sécurité) ? 2. Quel est le seuil de rentabilité en nombre de fûts du point de vue du cafetier ? Quelle est la marge de sécurité relative (ou indice de sécurité) ? 3. Commenter ces deux résultats. 4. Krokenbourg désire étudier une possibilité d’optimiser le résultat par une politique de prix adéquate. Quelles variations de prix x (P/P = x) peuvent être envisagées par les débitants de boissons (ce sera x1) ou par le grossiste (ce sera x2) pour arriver à un résultat maximum ? 5. Comment concilier le fait que x1 soit différent de x2 ?

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Controle de Gestion Serie2

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