convolucion discreta (1)

1- Cada estudiante realizará dos ejercicios de convolución discreta, para ello el estudiante escogerá las dos señales de entrada x(n) y las dos respuestas al impulso h(n), las señales x(n) y h(n) tendrán tres (3) muestras de longitud, por lo cual la longitud de las salidas y(n), será de cinco muestras. Señal de entrada: 𝑥(𝑛) = [3 5 2] Respuesta al impulso: ℎ(𝑛) = [6 1 8]

Para Resolverlas esta convolucion, procedemos a multiplicar las dos señales y Realizamos la suma para obtener nuestro y(n): 3 5 2 6 1 8 Multiplicamos por 3 3 ∗ 6 = 18 3∗1=3 3 ∗ 8 = 24 Obtenemos: 18 3 24

Multiplicamos Por 5 5 ∗ 6 = 30 5∗1=5 5 ∗ 8 = 40 Obtenemos: 30 5 40

Multiplicamos Por 2 2 ∗ 6 = 12 2∗1=2

2 ∗ 8 = 16 Obtenemos: 12 2 16

Sumamos los Resultados 0 0 0 0

18 0 0 18

3 30 0 33

24 5 12 41

40 2 42

16 16

Segunda Convolucion

Señal de entrada: 𝑥(𝑛) = [2 4 6] Respuesta al impulso: ℎ(𝑛) = [3 6 9]

Para Resolverlas esta convolucion, procedemos a multiplicar las dos señales y Realizamos la suma para obtener nuestro y(n): 2 4 6 3 6 9 Multiplicamos por 2 2∗3=6 2 ∗ 6 = 12 2 ∗ 9 = 18 Obtenemos: 6 12 18

Multiplicamos Por 4 4 ∗ 3 = 12 4 ∗ 6 = 24 4 ∗ 9 = 36 Obtenemos: 12 24 36

Multiplicamos Por 6 6 ∗ 3 = 18 6 ∗ 6 = 36 6 ∗ 9 = 54 Obtenemos: 18 36 54

Sumamos los Resultados 0 0 0 0

6 0 0 6

12 12 0 24

18 24 18 60

36 36 72

54 54

2- Cada estudiante realizará un ejercicio de transformada Discreta de Fourier, en la cual la señal x(n) también debe tener una longitud de tres (3) Muestras. Este también debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word, sin omitir procedimientos, también se debe calcular la magnitud de la transformada y la respuesta en fase. Para este ejercicio las muestras serán: [2 4 6]

Ecuación Característica:

N=∞

X(k) = ∑ X(n) e

−j2πkn N

n=−∞

Reemplazamos los Valores:

Con K=0 X(0) = 𝑋(0) e

−j2π(0)(0) 3

+ 𝑋(1) e

−j2π(0)(1) 3

+ 𝑋(2) e

−j2π(0)(2) 3

X(0) = 2(−1𝑗) + 4(−1𝑗) + 6(−1𝑗) Agrupamos términos similares: X(0) = 2 + 4 + 6 + 1𝑗

Sumamos términos:

X(0) = 2 + 4 + 6 + 1𝑗 Primer termino X(0) = 12 + 𝑗

Con K=1 X(1) = 𝑋(0) e

−j2π(1)(0) 3

+ 𝑋(1) e

−j2π(1)(1) 3

Reemplazamos valores y aplicamos teorema de Euler:

+ 𝑋(2) e

−j2π(1)(2) 3

2𝜋 2𝜋 4𝜋 4𝜋 X(1) = 2(1) + 4 (cos ( ) − 𝑗 sin ( )) + 6 (cos ( ) − 𝑗 sin ( )) 3 3 3 3 −1 −1 √3 √3 X(1) = 2(1) + 4 ( − 𝑗 ) + 6( +𝑗 ) 2 2 2 2 Multiplicamos los términos X(1) = 2 − 2 − 𝑗

4√3 6√3 − 3+𝑗 2 2

Agrupamos términos: X(1) = −𝑗

4√3 6√3 +𝑗 +2−2−3 2 2

Dividimos 4 y 6 entre 2 X(1) = −𝑗2√3 + 𝑗3√3 + 2 − 2 − 3 Sumamos y Restamos elementos similares: numeros imaginarios = −𝑗2√3 + 𝑗3√3 = 1.732 numeros reales = 2 − 2 − 3 = −3 X(1) = 1.732𝑗 − 3

Segundo termino: X(1) = −3 + 1.732𝑗

Con K=2

X(2) = 𝑋(0) e

−j2π(2)(0) 3

+ 𝑋(1) e

−j2π(2)(1) 3

+ 𝑋(2) e

−j2π(2)(2) 3

Reemplazamos valores y aplicamos teorema de Euler:

4𝜋 4𝜋 8𝜋 8𝜋 X(2) = 2(1) + 4 (cos ( ) − 𝑗 sin ( )) + 6 (cos ( ) − 𝑗 sin ( )) 3 3 3 3 −1 −1 √3 √3 X(2) = 2(1) + 4 ( + 𝑗 ) + 6( +𝑗 ) 2 2 2 2 Multiplicamos los términos X(2) = 2 − 2 + 𝑗

4√3 6√3 − 3−𝑗 2 2

Agrupamos términos: X(2) = 𝑗

4√3 6√3 −𝑗 +2−2−3 2 2

Dividimos 4 y 6 entre 2 X(2) = 𝑗2√3 − 𝑗3√3 + 2 − 2 − 3 Sumamos y Restamos elementos similares: numeros imaginarios = 𝑗2√3 − 𝑗3√3 = −1.732 numeros reales = 2 − 2 − 3 = −3 X(1) = −1.732𝑗 − 3 Tercer término: X(1) = −3 − 1.732

Entonces la Transformada discreta de Fourier Nos Quedaría: Muestras: [2 4 6] Primer Término: X(0) = 12 + 𝑗 Segundo Termino: X(1) = −3 + 1.732𝑗 Tercer Término: X(1) = −3 − 1.732 En total Tenemos: X(k) = [12 + 𝑗 − 3 + 1.732𝑗 − 3 − 1.732]

Comprobación Con Octave: