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2ara poder mane"ar una señal ar!itrari ar!itrariaa x-n (ue puede tener
Convolución De &eñales )n 0atla! −¿
Resumen En esta práctica se hablara como se realiza la convol convoluci ución ón para para señale señaless discr discreta etas, s, se mencio mencionar nara a algunos algunos ejemplos de donde se puede aplicar esta operación, se intentara expl explic icar ar un poco poco de cómo cómo se obti obtien enee la ecua ecuaci ción ón de la convolución, se mostrara el algoritmo empleado para aplicarlo en Matlab Matlab para para la elabor elaboraci ación ón del progr programa ama que nos calcul calculee la convolución, y se presentara el resultado obtenido, inalmente se comentara si se logró realizar este programa para eectuar dicha operación!
I. LI NTRODUCTION a convolución es una operación fundamental en procesamiento de señale señaless por su estrec estrecha ha relaci relación ón con los proces procesos os de transmisión de las señales filtrado de señales entre otros cuando se tra!a"a en el dominio temporal#$%. &e trata de una operación matem'tica (ue com!ina dos señales para producir una tercera señal. )n el campo de las señales di*itales es mu+ important importante e +a (ue permite permite o!tener la señal de salida de un sistema a partir de la señal de entrada + la respuesta al impulso #,%. )n otras pala!ras la respuesta +-n de un sistema lineal e invariante en el tiempo -LTI a la función entre la señal de entrada + la respuesta impulsional. &e utili/ó 0atla! como herramien herramienta ta de apo+o para reali/a reali/arr un al*oritmo al*oritmo (ue nos permita calcular calcular la convolución convolución de dos señales.
infinitos valores el con"unto de impulsos unitarios de!e ser tam! tam!i5 i5nn infi infini nito to para para cont conten ener er un n6 n6me mero ro infi infini nito to de despla/am despla/amient ientos. os. &upon*amos &upon*amos ahora ahora (ue se multipli multiplica ca la n −k secuencia x-n con . δ ¿ ¿ dado (ue δ(n-k) es cero en todos los puntos e1cepto en n 7 k donde vale uno el resultado de esta multiplicación en otra secuencia (ue vale cero en todos los puntos e1cepto en n 7 k donde vale x-k como se ilustra en la 8i*ura , por lo tanto X k (n ) δ ( n− k )= X ( ( k ) δ ( n −k ) )n otras
pala!ras
-, cada
mult multip ipli lica caci ción ón de la seña señall x-n po porr un impu impuls lsoo un unit itar ario io 0ultiplicación de "igura#!0ultiplicación unitario despla/ado !
una señal x-n con un impulso
despla/ada k unidades + se e1trae de la secuencia x-n el valor en el punto n 7 k +a (ue el impulso unitario vale uno en ese punto. "igura$. Ilustración *rafica de la
convolución.
)s decir II. A NÁLISIS
&upon* &upon*am amos os (ue se tiene tiene una señal ar!itrar ar!itraria ia x-n (ue se (uiere e1presar como la suma de impulsos unitarios. 2rimero se esco*e las señales elementales X k ( n) como #3%4 X k (n ) =δ ( n− k ) donde k representa el retra/o del impulso unitario.
∞
x ( k ) δ ( n− k ) ∑ =− =−
x ( n )=
MATEMÁTICO MATEMÁTICO
-$
k
∞
9hora (ue se ha e1presado una señal de entrada ar!itraria x-n como la suma ponderada de impulsos estamos preparados para determinar la respuesta de un sist sistem emaa LTI en repo reposo so a cual cual(u (uie ierr seña señall de entrada. 2rimero se denotar' la respuesta del sistema y-n k a un impulso unitario en el instante n 7 k mediante el s:m!olo especial h-n k de ; ∞ < k < ∞. )s decir#3% y ( n , k )=h ( n , k ) =¿ T#δ(n-k)%
-3
-=
,
&e o!serva (ue n es el :ndice temporal + k indica la posición del impulso o instante en el (ue el impulso unitario es distinto a cero. &i el impulso a la entrada del sistema se escala una cierta cantidad ck ≡ x-k la respuesta del sistema (uedar' escalada por la misma cantidad esto es #3% C k h ( n , k )= x ( k ) h ( n ,k )
-F
8inalmente si la entrada es la señal ar!itraria x-n es e1presada como la suma ponderada de impulsos#3%4
2aso dos4 invertimos cual(uiera de los dos vectores en este caso se eli*ió invertir a h-n (ue se e1presara como hi-n + (ueda de la si*uiente manera4 Ai-n 7 #@$ $ , $% 2aso tres4 9(u: por conveniencia para aplicar el al*oritmo a 0atla! se o!tienen los vectores de la si*uiente manera4 1-n 7 #B B B B $ , 3
%$∞
x ( k ) δ ( n− k ) ∑ =−
x ( n )=
k
-G
9plicamos la multiplicación elemento a elemento de cada vector + los vamos sumando as: como se indica
entonces la respuesta del sistema es la correspondiente suma ponderada de la respuesta a los impulsos es#3%
+$-n 7 -@$-B -$-B -,-B.-B-3-B-$ 7 B
∞
y ( n )=
x ( k ) h ( n , k ) ∑ =− k
-E
∞
De hecho si la respuesta del sistema al impulso unitario δ-n se denota por h-n esto es#3%
hi-n 7 #B @$ $ , $ B B B% de i*ual manera
entonces por la propiedad de invarian/a en el tiempo la respuesta del sistema al impulso unitario despla/ado δ ( n− k ) es#3% h ( n− k )=T [ δ (n− k )]
+$-n 7 -B-B -@$-B -$-B.-$-$-B-, 7 $ -H
por lo tanto ∞
x ( k ) h ( n− k ) ∑ =− k
ahora despla/amos hi una posición hacia la derecha + o!tenemos lo si*uiente4 1-n 7 #B B B B $ , 3
%$h ( n) ≡T [ δ ( n)]
y ( n )=
hi-n 7 #@$ $ , $ B B B B%
∞
->
∞
#3%La ecuación -> representa la convolución.
Como se puede apreciar solamente despla/amos hacia la derecha hi-n + vamos a*re*ando ceros por la parte derecha de am!os vectores hasta (ue ha+amos multiplicado todo el vector hi-n por 1-n el e"emplo (ue si*ue es para el pen6ltimo valor (ue es como si*ue4 1-n 7 #B B B B $ , 3 $ B B B B% hi-n 7 #B B B B B B@$ $ , $B B% +E-n 7 -B-B -B-B -B-$.-@$-3-$-$ -B-B7
III.0)TODOLO?I9 Como sa!emos para reali/ar el c'lculo de la convolución de dos señales discretas4 2asó uno4 &i tenemos definidos nuestras señales discretas vectores por e"emplo h-n 7 #$ ,$ @$% 1-n 7 #$ , 3
%$ 3
Con lo (ue en 0atla! !as'ndonos en el al*oritmo anterior se reali/ó el si*uiente pro*rama a continuación el códi*o4
hasta la ,$ iniciamos el ciclo for con el cual "igura%. Resultado de la convolución en haremos (ue se va+a 0atla!. despla/ando el vector + realice la multiplicación + la suma + finalmente en la l:nea ,, o!tenemos la convolución de estos vectores. IJ. R)&ULT9DO& 9 continuación podemos o!servar la convolución hecha en 0atla! donde utili/amos los mismos vectores antes mencionados h-n 7 #$ ,$ @$% 1-n 7 #$ , 3
%$J.CONCLU&IKN 'sicamente en las l:neas $ + , se declaran los vectores en las l:neas = + F se calcula el tamaño de los vectores la l:nea E invertimos cual(uiera de los vectores propuestos en este caso invertimos n la l:nea $B llenamos un vector con ceros como se indica en el al*oritmo la l:nea $$ centramos el vector de manera (ue nos (ueden en este caso cuatro ceros a la i/(uierda + cuatro a la derecha dicho de otra manera de esta forma 1-n 7 #B B B B $ , 3 $ B B B B% de la l:nea $=
La convolución es mu+ importante en el procesamiento di*ital de señales por e"emplo cuando (ueremos aplicar un filtro a una ima*en se diseña una m'scara para el filtro (ue se re(uiera + esta se multiplica por la matri/ de la ima*en en otras pala!ras aplica la convolución. en 0atla! se lo*ró hacer el al*oritmo para poder reali/ar esta operación con dos señales discretas.