Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto r especto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal . Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto
en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde:
definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano φ: Coordenada acimutal , definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radio vector sobre el plano p lano . : Coordenada vertical o altura , definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano . ρ: Coordenada
radial ,
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes. Relación con otros sistemas de coordenadas
Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las
coordenadas cilíndricas y las cartesianas:
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es:
Nótese que no aparece un término los vectores de la base.
. La dependencia en esta coordenada está oculta en
Efectivamente:
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por
Diferenciales de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son
el
ρ=cte:
φ=cte:
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas cilíndricas da
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado
Relación con las coordenadas cartesianas
Sobre los conjuntos abiertos:
Existe una correspondencia unívoca esféricas, definidas por las relaciones:
entre las coordenadas cartesianas y las
Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde , en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto
tal que La función inversa relaciones inversas:
. entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las
Relación con las coordenadas cilíndricas
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones
y sus inversas
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
Nótese que no aparecen término en en el vector .
o . La dependencia en estas coordenadas está oculta
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por
Diferencial de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son
=cte:
θ=cte:
φ=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas esféricas da
Operadores diferenciales en coordenadas esféricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales
El gradiente viene dado por:
La divergencia viene dada por:
El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:
El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:
