Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o o colatitud colatitud φ φ y el azimut azimut θ. θ. Algunos autores utilizan la latitud latitud,, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de !"# a !"# $de %&' a %&'radianes %&' radianes(, (, siendo el cero el plano )* )*.. +ambin +ambin puede -ariar la medida del azimut, segn se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de "# a /0"# $" a '% en radianes( o de 12"# a 312"# $% a %(. 4e debe tener en cuenta qu con-ención utiliza un autor determinado.
Índice 5ocultar 6
1 7on-enc 7on-enciones iones utilizadas
•
o
1.1 7on-ención no estadou estadounidense nidense
o
1.' 7on-enció 7on-ención n estadou estadounidense nidense ' 8elación con otros sistemas de coordenadas coordenada s
•
o
'.1 8elación con las coordenadas cartesianas cartesia nas
o
'.' 8elación con las coordenadas cil9ndricas
•
/ 9neas y super;icies coordenadas
•
< =ase coordenada
•
> ?i;erenciales de l9nea, super;icie y -olumen
o
>.1 ?i;erencial de l9nea
o
>.' ?i;erenciales de super;icie
o
>./ ?i;erencial de -olumen
•
0 @peradores di;erenciales en coordenadas es;ricas
•
Base tambin
Convenciones utilizadas 5editar 6 Convención no estadounidense 5editar 6
a mayor9a de los ;9sicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben: •
φ la colatitud, de "# a /0"#
•
θ el azimutal, de "# a 12"#
Esta es la con-ención que se sigue en este art9culo. En el sistema internacional, los rangos de -ariación de las tres coordenadas son:
a coordenada radial es siempre positi-a. 4i reduciendo el -alor de llega a alcanzarse el -alor ", a partir de aC9, D -uel-e a aumentar, pero θ pasa a -aler %θ y φ aumenta o disminuye en % radianes.
Convención estadounidense 5editar 6 Actualmente, el con-enio usado en los EE es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa θ y para re;erirse al polar, latitud o colatitud se usa φ.
Relación con otros sistemas de coordenadas 5editar 6 Relación con las coordenadas cartesianas 5editar 6 4obre los conjuntos abiertos:
EFiste una correspondencia un9-oca las es;ricas, de;inidas por las relaciones:
entre las coordenadas cartesianas y
Estas relaciones se Cacen singulares cuando tratan de eFtenderse al propio eje donde punto
,
, en el cual φ, no está de;inida. Además, φ no es continua en ningn tal que
.
a ;unción in-ersa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en trminos de las relaciones in-ersas:
7oordenadas es;ricas y ejes cartesianos relacionados.
Relación con las coordenadas cilíndricas5editar 6 7omo sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las es;ricas, está el de las coordenadas cil9ndricas, que se relaciona con el de las es;ricas por las relaciones
y sus in-ersas
Líneas y superficies coordenadas 5editar 6 as l9neas coordenadas son aquellas que se obtienen -ariando una de las coordenadas y manteniendo ;ijas las otras dos. Para las coordenadas es;ricas, estas son: •
9neas coordenadas : 4emirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
•
9neas coordenadas θ: 4emic9rculos -erticales $meridianos(
•
9neas coordenadas φ: 7ircun;erencias Corizontales $paralelos(.
as super;icies coordenadas son aquellas que se obtienen ;ijando sucesi-amente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: •
4uper;icies Gcte.: Es;eras con centro en el origen de coordenadas.
•
4uper;icies θGcte.: 7onos rectos con -rtice en el origen.
•
4uper;icies φGcte.: 4emiplanos -erticales.
as l9neas y super;icies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un sistema ortogonal.
Base coordenada 5editar 6 A partir del sistema de coordenadas es;ricas puede de;inirse una base -ectorial en cada punto del espacio, mediante los -ectores tangentes a las l9neas coordenadas. Esta nue-a base puede relacionarse con la base ;undamental de las coordenadas cartesianas mediante las rel aciones
e in-ersamente
En el cálculo de esta base se obtienen los ;actores de escala
?isponiendo de la base de coordenadas es;ricas se obtiene que la eFpresión del -ector de posición en estas coordenadas es
Hótese que no aparecen trmino en o . a dependencia en estas coordenadas está oculta en el -ector .
Diferenciales de línea, superficie y volumen 5editar 6 Diferencial de línea 5editar 6 n desplazamiento in;initesimal, eFpresado en coordenadas es;ricas, -iene dado por
Diferenciales de superficie5editar 6 a eFpresión general de un di;erencial de super;icie en coordenadas cur-il9neas es complicada. 4in embargo, para el caso de que se trate de una super;icie coordenada,
el resultado es
y eFpresiones análogas para las otras dos super;icies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas es;ricas, los di;erenciales de super;icie son •
Gcte:
•
θGcte:
•
φGcte:
Diferencial de volumen5editar 6 El -olumen de un elemento en coordenadas cur-il9neas equi-ale al producto del jacobiano de la trans;ormación, multiplicado por los tres di;erenciales. El jacobiano, a su -ez, es igual al producto de los tres ;actores de escala, por lo que
que para coordenadas es;ricas da
Operadores diferenciales en coordenadas esféricas5editar 6 El gradiente, la di-ergencia, el rotacional y el laplaciano poseen eFpresiones particulares en coordenadas es;ricas. Estas son: •
Iradiente
•
?i-ergencia
•
8otacional
•
aplaciano
