Copia de matematicas 5

U N I V E R SI SI D A D A U T O N O M A D E Y U C A T A N E S CU CU E L A P R EP EP A R A T O R I A D O S

MATERIAL DE APOYO DE

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

TÉCNICAS DE CONTEO 1. ¿Cuántos matrimonios matrimonios diferentes diferentes se pueden efectuar efectuar entre 3 hombres y 7 mujeres?.

H1 H2 H3

M1 M2 . . . M7

3 x 7 = 21 Matrimonios

2. Calcular ¿Cuántos números números de 3 cifras distintos pueden formarse con con los dígitos 2, 3, 5, 7 y 9? ¿Cuántos son múltiplos de 5?

P5,3 = 5 x 4 x 3 = 60 _ _ 5 = P4,2 = 4x3 = 12 3. Entre Cancún Cancún y Cozumel Cozumel hay 6 barcos haciendo haciendo los viajes. ¿De ¿De cuántos modos distintos puede hacer el viaje de ida y vuelta una persona si el el viaje de vuelta debe hacerlo en una embarcación distinta al de ida?

B1 B2 . . B6

B1 B2 . . B6

6 x 5 = 30 de ir y regresar

4. Cuatro parejas van a ir juntas al teatro y compran boletos para 8 asientos de la misma fila. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las 4 parejas sin que alguna quede separada?. Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

1

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

TÉCNICAS DE CONTEO 1. ¿Cuántos matrimonios matrimonios diferentes diferentes se pueden efectuar efectuar entre 3 hombres y 7 mujeres?.

H1 H2 H3

M1 M2 . . . M7

3 x 7 = 21 Matrimonios

2. Calcular ¿Cuántos números números de 3 cifras distintos pueden formarse con con los dígitos 2, 3, 5, 7 y 9? ¿Cuántos son múltiplos de 5?

P5,3 = 5 x 4 x 3 = 60 _ _ 5 = P4,2 = 4x3 = 12 3. Entre Cancún Cancún y Cozumel Cozumel hay 6 barcos haciendo haciendo los viajes. ¿De ¿De cuántos modos distintos puede hacer el viaje de ida y vuelta una persona si el el viaje de vuelta debe hacerlo en una embarcación distinta al de ida?

B1 B2 . . B6

B1 B2 . . B6

6 x 5 = 30 de ir y regresar

4. Cuatro parejas van a ir juntas al teatro y compran boletos para 8 asientos de la misma fila. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las 4 parejas sin que alguna quede separada?. Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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P1 P2 P3 P4 Pi = Parejas P4,4 = 4x3x2x1 = 12 x 2x 2x2 x2 = 384 maneras 5. En un plano plano hay 15 puntos de los los cuales cuales 4 y solo 4 son colineales. colineales. a) Calcular cuántas rectas determinan b) ¿Cuántos triángulos forman?.

C 15,2 = 15!/(13! 2!) = 105 supuestas rectas Pero como hay 4 puntos colineales (sobre una misma recta) C4,2 = 6 105 – 5 = 101 rectas b) C15,3 = 15! / (12! 3!) = 455 Triángulos supuestos triángulos. Pero como 4 son alineados hay que hacer un ajuste: C4,3 = 4 455 – 4 = 451 Triángulos reales 6. El testigo de un atraco atraco reporta que la placa placa del automóvil automóvil que huyó era un número de 6 cifras. Recuerda las tres primeras cifras pero ha olvidado las otras 3. ¿Cuántas licencias licencias tiene que investigar la policía?

___ ___ ___ 10 x 10 x 10 = 1000

7. ¿Cuántos enteros enteros impares positivos de tres dígitos dígitos pueden formarse usando los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

___ ___ ___ 4 x 3 1,3,5

12 x 3 = 36 Números impares

8. Doce ingenieros ingenieros del departamento de instrumentación instrumentación de una fábrica fábrica tienen que distribuirse en grupos de 4 hombres para el estudio de proyectos. ¿Cuántos grupos distintos es posible formar?

C12,4 =

495 grupos.

Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

2

9. Dados seis puntos de una circunferencia, circunferencia, ¿Cuántos ¿Cuántos triángulos inscritos pueden dibujarse tornando estos puntos corno vértices.?

C6,3 = 20 Triángulos. 10. Dados once puntos en una circunferencia, ¿Cuántos hexágonos pueden dibujarse con esos puntos como vértices vértices..

C11,6 = 462 Hexágonos. 11. La Sra. Sra. Pérez Pérez tiene tiene cinco sombre sombreros, ros, nueve nueve vestidos vestidos,, tres bolsos bolsos y seis pares de zapatos. ¿De cuántas maneras diferentes puede salir vestida de su casa?.

Somb. Vest. Bol. Zap. 5 x 9 x 3 x 6 = 810 diferentes atuendos. 12.En un grupo de teatro hay 10 hombres y 6 mujeres. Cuatro de los hombres pueden actuar como actores masculinos principales y los otros actuarán en papeles secundarios, tres de las mujeres pueden actuar en papeles femeninos principales y las otras en papeles secundarios. ¿De cuántas maneras pueden elegirse los actores para una obra de teatro que exige un actor principal, una actriz principal, dos actores secundarios y tres actrices secundarias.?

C4,1xC6,2xC3,1xC3,3 = 4x15x3x1 = 180 maneras. 13.El jefe de cocina de un restaurante quiere usar algunas carnes y vegetales que sobraron el día anterior para preparar un platillo de tres clases de carne y cuatro vegetales. Si hay 5 clases de carne y siete vegetales disponibles, ¿Cuántos ¿Cuántos platillos puede preparar el cocinero?

C5,3 x C7,4 = 10 x 35 = 350 platos distintos. 14.. Un 14 Unaa señ señor oraa tie tiene ne 11 ami amiga gass de de con confi fian anza za.. a) ¿De cuántas maneras puede invitar a 5 de ellas a comer? Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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b) ¿De cuántas maneras si 2 de ellas no se llevan y no asisten juntas, es decir decir si una va la otra no va.

C11,5 = 462 formas distintas. b) C9,5 = 126 (maneras sin que vayan las personas que no se llevan) C9,4 = 128 128 x 2 = 256 256 (maneras, en las cuales una de ellas va y la otra no) Maneras totales = 126 + 256 = 378 15.Las placas de automóviles de cierto país están formadas por 2 letras y 3 números. ¿Cuántas ¿Cuántas placas pueden obtenerse? ¿Cuántas si las placas no pueden tener letras repetidas

a)

___ ___ ___ ___ ___ 26 26 10 10 10 = 26x26x10x10x10= 676,000

b) ___ ___ ___ ___ ___ 26 25 10 10 10

= 26x25x10x10x10 = 650,000

16.Una persona mete la mano en su bolso y saca dos monedas sin verlas y sin tratar de palpar su forma. Calcular la cantidad de dinero que puede sacar, suponiendo que tenía 2 monedas de $ 5, 2 de $ 1 y 3 de $ 10.

2 --------$ 5 2 --------$ 1 3 --------$ 10

(1,1) (1,5) (1,10) grupos posibles= (5,1) (5,5) (5,10) (10,1) (10,5) (10,10) 6 cantidades diferentes

17.Calcular 17. Calcular el número de maneras en que pueden sentarse en fila 3 niños y 3 niñas, si los hombres y las mujeres deben quedar alternados. alternados .

___ ___ ___ ___ ___ ___ H M H M H M 3 3 2 2 1 1


R= 3x3x2x2x1x1 = 36 x2 72 formas

4

18. ¿En cuántas formas se puede dar una mano de póker de 5 cartas, de un mazo de 52?

C 52,5 = 2’ 598,960 “partidas” distintas.

19.En una pecera existen 4 peces dorados y 2 plateados. ¿De cuántas maneras es posible sacar 2 peces?. ¿De cuántas maneras si deben ser del mismo color?.

a)

C6,2 = 15 formas.

b) C4,2 + C2,2 = 6 + 1 = 7 maneras. 20.El automóvil de Tomás tiene 3 asientos en la parte delantera y tres en la parte de atrás. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 6 pasajeros, si Tomás ocupa el lugar de chofer y Gertrudis, la novia de Tomás, se sienta junto a él?.

P4,3 = 4x3x2 = 24 maneras

(Tomás se incluye entre los pasajeros).

21.Un grupo de 5 personas se disponen a entrar en un túnel y deben hacerlo en fila. a) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden enfilar?. b)¿De cuántas si sólo 3 de ellos conocen el túnel y uno va al frente como guía?.

a)P5,5 = 5x4x3x2x1 = 120 maneras. b)P3,1 x P4,4 = 3 x 24 = 72 maneras.

22.Un grupo de investigadores está compuesto por 4 Biólogos 5 Químicos y 3 Médicos. Un experimento que llevarán a cabo requiere de 2 Biólogos, 1 Químico y 2 Médicos. a) Calcule de cuántas maneras distintas puede encargarse el experimento al personal disponible. b) Calcule cuántos, si entre los biólogos hay un jefe que necesariamente participa en el experimento. Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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4 ------- Biol. 5 ------- Qui. a) C4,2xC5,1xC3,2 = 90 maneras 6 ------- Med. b) C3,1xC5,1xC3,2 = 45 maneras 23.De los 8 hombres de la tripulación de una barca, dos de ellos solo pueden remar por el lado izquierdo y tres sólo por el lado derecho. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar la tripulación?

1 2

3 4 5

De los 8 tripulantes (1,2,3,4,5,6,7y 8) 1 y 2 solo reman por la izq. 3,4 y 5 solo reman por la derecha.

C3,2 = 3 parejas que van por el lado izquierda. P4,4 = 24 maneras de colocarse los 4 de la izq. P4,4 = 24 maneras de colocarse los 4 de la der. Manera total = 24 x 24 x 3 = 1728 formas


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PROBABILIDAD CLASICA 1. Calcule la probabilidad de que al tirar una moneda 3 veces, obtenga: a) Exactamente un sol b) Exactamente dos soles c) Al menos un sol

(a,s)(a,s)(a,s)= E= (aaa)(aas)(asa)(ass)(saa)(sas)(ssa)(sss) Multiplicación cartesiana

a) b) c)

P (A) = 3/8 = 37.5% P (B) = 3/8 = 37.5% P (C) = 7/8 = 87.5 %

2. Calcule la probabilidad de al tirar dos dados corrientes a) El producto de sus números sea primo b) Los dos números resulten distintos c) Los dos números resulten distintos y el mayor sea impar

Respuestas posibles: E= (21)(22)... . .

.

E=36

(61)(62)

(26)

. . .

(66)

a)Resp. Fav. = (12),(13)(15)(21)(31)(51) P(A) = 6/36 = 16.67% b).- Resp. Fav. [Excepto (11)(22)(33)(44)(55)(66)]= 30 P(B) = 30 /36 = 62.5% c) Resp.Fav.=[(13)(15)(23)(25)(31)(32)(35)(45)(51)(52)(53)(54) P( C) = 12/36 = 33.33%. 3. En un lote de 20 libros hay 8 de matemáticas, 7 de física y 5 de química. Si 6 de tales libros son elegidos al azar calcule la probabilidad de que ocurra que:


7

a) Los 6 libros sean de igual asignatura b) Sean 2 de matemáticas y los otros 4 no lo sean c)Al menos uno sea de matemáticas.

a) C8,6 + C7,6

E20,6 = 38,760 = 28 +7 = 35 P(A) = 35 / 38,760 = .09%

b) C8,2 x C12,4 = 28x495 = 13,860 c)P(C) = 1 - C12,6 / C20,6

P(B) = 13,860/38,760= 35.76% = 1- 924/38,760= 97.61%

4. Consideremos las 6 letras A, B, C, p, q, r. Si se les ordena aleatoriamente, calcule la probabilidad de que ocurra que: a) La primera letra sea mayúscula b) La primera y la última letra sean mayúsculas

___ ___ ___ ___ ___ ___ 6 5 4 3 2 1

E = 6x5x4x3x2x1x= 720

a) Resp.fav. = 3x5x4x3x2x1 = 360 b)Resp.fav. = 3x4x3x2x1x2=144

P(A) = 350/720 = 50% P(B) = 144/ 720 = 20%

5. Calcular la probabilidad de que en una familia con 3 hijos se tenga: a) Los 3 del mismo sexo b) Al menos una mujer

E= [(HHH)(HHM)(HMH)(HMM) (MHH)(MHM)(MMH)(MMM)]

a) P(A) = 2/8 = 25%

b) P(B) = 7/8 = 87.5%

6. En una urna hay 14 pelotas, de las cuales 5 son blancas 3 son negras y 6 son azules. Si se extraen 4 pelotas, calcular la probabilidad de que: a) De las 4, exactamente 2 sean blancas


8

b) De las 4. sean 2 blancas y 2 azules

E = C144 = 1001 a) P(A) = C5,2xC9,2 /1001 = (10x36)/1001=360/1001= 35.96% b) P(B) C5,2xC6,2 /1001 = (10x15)/1001= 150/1001 = 14.98 % 7. Se tienen 7 bolillas marcadas con los números 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; Si 4 de ellas se ordenan al azar, para formar un número de 4 cifras, calcule la probabilidad de que el número formado resulte ser: a) Mayor que 5,000 b) Mayor que 4000 y menor que 8,000

E = P7,4 = 7x6x5x4 = 840 a) Resp. fav.= 4x6x5x4 =480 = P(A) = 480/840 = 57.14 % b) Resp. Fav.=3x6x5x4=360

P(B)=360/840 = 42.86 %

8. En un lote de 30 monedas hay 13 de cien pesos, 10 de cincuenta pesos y 7 de veinte pesos. Si 4 de tales monedas se eligen al azar, calcule la probabilidad de que: a) Las 4 resulten de igual denominación b) Ninguna resulte ser de veinte pesos

E = C30,4 = 27,405 a) Resp. fav. = C13,4+C10,4+C7,4 = 960 b) Resp. fav. C23,4 = 8,855

P(A) = 960/27,405 3.5 % P(B) = 8,855/27,405 = 32.31 %

9. En un salón de clases. Hay 40 alumnos de los cuales 15 son mujeres y 25 son hombres; de los 25 hombres 7 hablan inglés y de las 15 mujeres 8 hablan inglés; si se selecciona un alumno al azar, calcular la probabilidad de que: Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

9

a) Hable inglés b) Sea una mujer M

7 H

a) P(A) = 15/40 b) P(B) =15/40

8 7

= 37.5% = 37.5%

18

10.En un lote de 6 libros, 2 son de matemáticas y 4 no lo son. Si se ordenan al azar en un librero, calcule la probabilidad de que: a) Los 2 libros de matemáticas queden juntos. b) Los 2 libros de matemáticas queden en los 2 primeros lugares.

E= P66 = 6x5x4x3x2x1=720 a) Resp.fav.= P5,5 x2 = 120x2=240

P(A) = 33.33 %

b) Resp. fav = 2x1x4x3x2x1 = 48

P(B) = 48/720= 6.67%

11.Si un matrimonio tiene 4 hijos ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 más grandes sean varones? E= (HM) (HM) (HM)(HM) = [(HHHH)(HHHM)...(MMMM)]

16 resultados

(multiplicación cartesiana)

a)Resp. fav. [(HHHH)(HHHM)(HHMH)(HHMM)] P(A) = 4/16 = 25% 12.De un grupo de 10 niños, 4 tienen ojos verdes. Si 2 niños se seleccionan al azar, calcular la probabilidad de que: a) Los 2 tengan ojos verdes b) Ninguno tenga ojos verdes.

E= C102 = 45 a) P(A) = C4,2 /45 = 6/45 =13.33% b)P(B) = C6,2 /45 = 15/45 =33.33%


10

13.De un lote de 16 radios, hay exactamente 5 que están descompuestos, si se toman 3 radios al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) Ninguno sea defectuoso b) Uno defectuoso y 2 buenos

E = C16,3 = 560 a) P(A) = C11,3 /560 =165/560 = 29.46% b) P(B) = C5,1xC11,2= 275/560 = 49.11% 14.En un corral para aves, hay 5 gallinas, 3 palomas y 4 guajolotes. Si son seleccionadas al azar 3 aves, ¿cuál es la probabilidad de que: a) Todas sean gallinas b) Haya 2 guajolotes y 1 gallina

E = C12,3 = 220 a) P(A) =C5,3 / 220 = 10/220 = 4.55% b) P(B) = (C4,2xC5,1) /220 =30/220 = 13.64% 15.En una ánfora hay 5 canicas azules y 4 rojas, cuál es la probabilidad de que al sacar 2 canicas al azar: a)Ambas sean de igual color b)Sean de diferente color

a) P(A) =(C5,2 +C4,2)/36 = 16/36 = 44.44% b) P(B)=(C5,1xC4,1)/36 = 20/36

= 55.55 %

16.Calcular la probabilidad de que salga un número mayor a 2 al lanzar un dado normal.

P(A) = 4/6 = 66.67% 17.Se sacan 2 cartas al azar de una baraja normal de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que: Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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a) Los 2 sean corazones b) Una corazón y una trébol

E = C52,2 = 1326 a) P(A) = C13,6 /1326 = 5.88% b) P(B) = (C13,1xC13,1)/1326 = 169/1526= 12.75% 18.¿Qué probabilidad tendrá de aparecer una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules?.

P(A) = 4/12 = 33.33% 19.Tres tornillos y 3 tuercas están en una caja, si se saca 2 piezas al azar. Encontrar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca.

P(A) = (C3,1x C3,1 ) / C6,2 = 9/15 = 60% 20.Calcular la probabilidad de que aparezca por lo menos un sol al lanzar 3 monedas corrientes.

E= 8 Respuestas posibles P(A)= 7/8 = 87.5% 21.Calcular la probabilidad de que en una familia de 3 hijos se tenga: a) Exactamente un hombre b) Al menos una mujer

E = 8 respuestas posibles = E= [(HHH)(HHM)(HMH)(HMM) (MHH)(MHM)(MMH)(MMM)] a) P(A) =3/8= 37.5% b) P(B) =7/8= 87.5% Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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22.Si se tiran dos dados corrientes, calcular la probabilidad de que la suma de los números sea: a) Menor de 5 b) Mayor que 4 y menor que 10 c)Un múltiplo de 3

E = 36 = [(1,1)(12)...(6,1)(66)] A = 6 = [ (11)(12)(13)(21)(22)(31) ] a) P(A) = 6/36 = 16.67% b) B= [excepto (11)(12)(13)(21)(22)(31)(46)(64) (55)(56)(65)(66)] P(B) = 24/36 = 66.67% c) C=[(12)(15)(21)(24)(33)(36)(42)(45)(51)(54)(63)(66)] P(C)= 12/36 = 33.33 % 23.Una clase consta de 8 hombres y 6 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos cafés. Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar: a) Tenga ojos cafés b) Sea hombre y tenga ojos cafés H

M 4 4

3

a) P(A) =7/14

= 50%

b) P(B) = 4/14 = 28.57 %

3

24.Una clase consta de 6 niños y 10 niñas, si se escoge al azar un comité de 3. Hallar la probabilidad de que: a) Seleccionar exactamente 2 niños b) Seleccionar por lo menos un niño

a) P(A)= ( C6,2xC10,1 )/C16,3 = 150 /560 = 26.79%


13

b) P(B) = 1 - C10,3 / C16,3 = 1 – 120/560 = 78.57% 25.En una urna hay 14 pelotas, de las cuales 5 son blancas, 3 son negras y 6 son azules. Si se extrae al azar 4 pelotas, calcular la probabilidad de que: a) Las 4 sean azules b) De las 4 sean 2 blancas y 2 negras

E = C14,4 = 1001 a) P(A) = C6,4 /1001=115/1001= 1.5% b) P(B) = (C5,2xC3,2) /1001= 30 /1001 = 2.99 % 26. De 120 estudiantes, 60 estudian inglés, 50 estudian español y 20 inglés y español. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante: a) Estudie inglés pero no español b) No estudie inglés ni español

I 40

E 20

30 30

a) P(A) = 40/120= 33.33% b) P(B) = 30/120 = 25% 27.-En un Club Deportivo de 80 personas se tienen que. a) 30 personas practican fútbol b) 25 personas practican béisbol Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

14

c) d) e) f) g)

30 personas practican tenis 11 personas practican fútbol y béisbol 10 personas practican fútbol y tenis 9 personas practican béisbol y tenis 7 personas practican los 3 deportes

Si una persona del Club es seleccionada al azar, encontrar la probabilidad de que: a) Practique béisbol, pero no fútbol ni tenis b) Practique futbol o béisbol, pero no ambos deportes c) La persona no participa ninguno de los 3 deportes

F

a) P(A)= 12/80 =15%

B

16

4

b) P(B)=33/80=41.25%

12

7

c) P(C)=18/80= 22.5%

18 T


15

PROBABILIDAD AXIOMATICA 1. Sean A y B eventos en P(A) = 3/8; P (B) = 1/2 y P (A  B)=1/4 , hallar: a) P (A B) c b) P ( A ) c) P ( Bc ) c c d) P (A B ) c c e) P (A B ) f) P (A Bc) g) P (B Ac )

a) P(AUB)=)P(A)+P(B)-PA B= P(AUB =3/8+1/2-1/4= 62.5% b) P(Ac)= 1- P(A) = 1- 3/8 = 5/8 = 62.5% c) P(Bc) = 1-P(C) = 1 - ½ = ½ = 50% d) P(Ac B c) = P (AUB)c = 1 – P(A B)= 1- 5/8=3/8 = 37.5% e) P(Ac U B c)= P(A B)c = 1 - PA B= 1- ¼ = 75% f) P(A Bc)= P (A-B) = P(A) –P(A B) = 3/8 -1/4 1/8=12.5% g) P(B Ac)= P(B –A) = P(B) – P(A B)= ½ - ¼ = ¼ = 25% c

2. Dados A y B dos eventos con P (AB)=3/4, P(A )=2/3 y P(A  B) = 1/4. Encontrar: a) P (A) b) P (B) c c) P (A B )

a) P(A) = 1 – (PAc ) = 1 - 2/3 = 1/3 =

33.3%

b) P(B) = P(AUB) – P(A) + P(A B) P(B) = 3 / 4 - 1/3 + 1 / 4 = 2 / 3 = 66.7%


16

c) P(A Bc) = P (A – B) = P(A) – P(A B) = 1/3 – 1 / 4 = 1/12 = 8.33% 3. Si R y S son dos eventos con P (R c (R ) = 5/8. Hallar: a) P (R) b) P (S) c c) P (R S )

a) P(R) = 1 – P(Rc) = 1 – 5/8

S)

= 7/8, P (R

=

S)

1/4 y P

37.5%

b) P(S) = P (RUS) – P(R) + P(R S) =

7 / 8 - 3 / 8 + 1 / 4 = 6/8 = ¾ = 75 %

c) P(R Sc) = P(R – S)= P(R) – P(R S) 3/ 8 – 1 / 4 = 1/8 = 12.5 % Dados R y S dos eventos con P (R) = 1/2, P (R  S) = 3/4 y P (Sc)= 5/8. Hallar: a) P (R S) b) P (Rc Sc) c c c) P (R S ) d) P (S Rc)

a) P(R S) = P(R) + P(S) – P(RUS) = 1 / 2 +3/8 – ¾ =12.5% b) P(R S)c = 1 –P(RUS)=1 - 3 /4 = 1 /4 = 25% c) P(R S)c = 1- (R S)= 1 – 1/8 = 7/8 = 87.5 % d) P(S - R) = P(S) –P(R S)= 3/8 – 1/8 = 1 / 4 = 25.%


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PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DE EVENTOS INDEPENDIENTES 1. En cierta ciudad, el 70% de la Población tiene cabellos negros, 15% tiene ojos verdes y 10% tiene cabellos negros y ojos verdes. Se escoge una persona al azar. a) No tiene cabellos negros, ¿cuál es la probabilidad de que también, tenga ojos verdes?. b) Si tiene ojos verdes, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos negros?.

CN 60

OV

E

a) P(A) = 5/30 = 16.67% b) P(B) = 10/15 = 66.67%

5

10

25

2. En una oficina hay 70 empleados, de los cuales 20 son solteros y 50 son profesionistas; además de los profesionistas 45 son casados. Si se selecciona un empleado al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es soltero, sea profesionista. b) Sea casado y profesionista.

S

Prof. 5

C

45

15


25

a) b) c) d)

18

P(A) = 5 /20 = 25% P(B) = 45/50 = 90% P(A) = 5 /20 = 25% P(B) = 45/50 = 90%

3. En un corral hay 3 conejos, 5 chivos y 4 gallinas. Se selecciona al azar una pareja de animales, si se sabe que estos son mamíferos, ¿cuál es la probabilidad de que sean de la misma especie?.

P(A) = C5,2 / C8,2 + C3,2 / C8,2 = 10 /28 + 3/28 = 13/28 46.4% 4. Se lanza una moneda al aire y posteriormente se tira un dado. Calcula la probabilidad de obtener un 6, dado que haya caído cara.

E =[ (a1)(a2)(a3)(a4)(a5)(a6) (s1)(s2)(s3)(s4)(s5)(s6) ] Er = 6 resultados

P(A) = 1 /6 = 16.67 %

5. Suponga que se representa con las letras B y b los genes que determinan el color de los ojos de una persona. Si la persona tiene dos genes bb, la persona tiene ojos azules; de lo contrario tendrá ojos cafés. Si se sabe que un hombre tiene los ojos cafés. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga genes BB?.

BB

Bb

bB

bb

a) P(A) = 1 /3 = 33.33 %

6. En cierta Universidad de México, el 65% de los alumnos de primer ingreso reprueban Cálculo, el 50% Algebra y el 40% reprueban las dos materias. a) Calcular la probabilidad de que un alumno repruebe Algebra si ya reprobó Cálculo. b) Calcular la probabilidad de que repruebe Cálculo si ya reprobó Algebra. Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

19

C

A

25 40

10

a) P(A) = 40/65 = 61,54% b) P(B) = 40/50 = 80%

7. La Escuela A tiene 300 alumnos de los cuales, 100 son mujeres. La Escuela B tiene 420 alumnos, de los cuales 140 son mujeres. Si se selecciona al azar es alumno de cada Escuela, calcular la probabilidad de que: a) Ambos sean hombres b) Sólo el de la Escuela B sea hombre

A

100 M

B

200 H

140 M

280 H

a)

P (A ) = 200/300 x 280/ 420 = 44.4 %

b)

P(B) = 100/300 x 280 /420 = 22.22 %

8. Tres matrimonios amigos esperan su primer bebé; calcular la probabilidad de que al nacer sean: a) Varones todos b) Uno de las 3 sean varón

a) P(A) = ½ x ½ x ½ = 1/8 =

12.5 %

b) P(B) = ( ½ x ½ x ½ ) x 2 = 3/8 = 37,5 % 9. En una caja hay 7 manzanas, de las cuales 3 están maduras y en otra caja hay 6 peras, de las cuales 4 están maduras, si se selecciona al azar una fruta de cada caja, calcular la probabilidad de que. Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

20

a) Ambas frutas están maduras b) Una de las dos frutas estén maduras

a) P(A) = 3/7 x 4/6 = 28.57% b) P(B) = 3/7 x 2/6 + 4/7x4/6 = 6/42 + 16/42 = 22/42 =52.38% A

B

10.Cuatro personas llamadas Norte, Sur, Este y Oeste reciben cada una 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas: Si Sur tiene un as exactamente, ¿cuál es la probabilidad de que su compañero Norte tenga las otras 3 ases.

P(A) = (C3,3 xC 36,10 / C39,13 = 1716 / 54,834 = 3.13 % 11.Un equipo gana (G) con la probabilidad de 0.5; pierde (P) con probabilidad de 0.3 y empata (E) con probabilidad de 0.2, el equipo juega dos veces: Hallar la probabilidad de que el equipo gane una vez por lo menos.

(GPE)(GPE) = Multiplicación Cartesiana

P(A) =

.5 x .5 .5 x .3 .5 x .2 .3 x .2 .2 x .5

=. 25 = .15 = .10 = .15 = .10

[(GG)(GP)(GE) E= (PG) (EG)]

= 75 %

12.La Secretaria de Turismo estima que una persona que visita la Florida visitará Disney World, Bush Garden o ambos lugares, con probabilidad de 0.5, 0.3 y 0.2 respectivamente. Determine la


21

probabilidad de que una persona que va a Florida visitará Bush Garden dado que la persona visitó Disney World.

A= “Visita D.W.” ; B = “Visita B.G.” = (A B) = “Visita DW y BG” P(B/A) = P (A B) / P(B) = .2 / .5 = .4 = 40% 13.Cinco hombres de cada 100 y 25 mujeres de cada 10,000 sufren daltonismo, ¿cuál es la probabilidad de escoger un hombre daltónico, si se sabe que ya se escogió una persona dalt6nica de una muestra con igual número de hombres que de mujeres?.

A = “La persona seleccionada es hombre” B = “La persona seleccionada tiene daltonismo” (A B)=La persona seleccionada es hombre daltónico” P (A/B) = P (A B)/ P(B) =

.

5/100 . = 95.25% 5/100 + 25/10,000

14.Una Urna contiene 7 bolas rojas y 2 bolas blancas. Se extraen 3 bolas consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener primero dos bolas rojas y después de una bola blanca?

Con reposición 7/9 x 7/9 x 2/9 = 98/729 = 13.44 % Sin reposición 7/9 x 6/8 x 2/7 = 84 /504 = 16.67% 15.La Astronave Apolo tiene 5 componentes: La máquina principal, el sistema de propulsión, el módulo de mando, El módulo de exploración y la máquina LEM. Si cada uno de estos componentes Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

22

son considerados independientes entre si y la probabilidad de que cada uno de ellos funcione satisfactoriamente es de 0.9, ¿cuál es la probabilidad de que todos los sistemas funcionen adecuadamente?

P(X) = .9 x .9 x .9 x .9 x.9 = .59% 16.A una rata se le permite escoja al azar uno de 5 laberintos diferentes. Si las probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en 3 minutos son 60%, 30%, 20%, 10% y 10% respectivamente y la rata escapa en 3 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo laberinto?

.6

S NS

1/3 1/3

.3

NS

1/3 1/3

.2

.1 S

1/3 .1

P A/B) =.

S S NS

NS

S NS

1/5 x .3 . 1/5 x .6 + 1/5 x.3 + 1/5 x .2 + 1/5 x .1 + 1/5 x .1 = .06 / .26 =

23.07%

17.Se supone que una cierta prueba detecta cáncer con probabilidad del 80% entre gente que padece cáncer, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba indicará este hecho un 90% de las veces e indicará que tiene cáncer un 10% de ellas. Suponiendo


23

que el 5% de la gente de la Población de prueba padece cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar índica que tiene cáncer, ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?

.8 E .05 95

P(A/B) =

.2

S

.1 .9

DC (DC)c DC (DC)c

. .05 x .8 .05x.8 + .95x.1

.

.04 / .135 = 29.63%

18.En una fábrica de tornillos se tienen 3 tipos de máquinas las cuales producen respectivamente, el 50%, 30% y 20% de la producción de cierto tipo de tornillo; si respectivamente el 5, 3 y 1% de la producción de cada máquina es defectuosa: a) Hallar la probabilidad de obtener un artículo defectuoso. b)¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo seleccionado al azar, que resultó defectuoso, provenga de la primera máquina?


24

A

.5 .3

.05

B

.2 C

D .95 B .03

D

.97

B

.01

D

.98

B

a) P(A) = .5x.05 + .3x.03 + .2x.01 = 3.6% b) P(A/B) = .025 /.036 = 69.44% 19.En una Escuela, 35% de los alumnos son del primer grado, 25% son del segundo, 20% son del penúltimo y 20% son del último grado Todos los del primer grado cursan Matemáticas, 50% de los de segundo, 20% de los de penúltimo y solamente 10% de los del último grado. Si se escoge al azar un alumno y este cursa Matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo año?

1

M

I .35

.5 M .25 II Mc M .2 .2 III Mc

. .2

.1 M IV Mc


25

a) P(A/B)= . .25 x .5 .= .125 / .535 = 23.36% . .35x1 + .25x.5 + .2x.2+.2x.1

.

20. Los participantes de un congreso son hospedados en 3 hoteles M, N y R, de modo que; en M hay 60 extranjeros y 32 nacionales; en N hay 42 extranjeros y 18 nacionales y en R hay 64 extranjeros y 27 nacionales. Los organizadores del congreso tienen los correspondientes registros de los hoteles mencionados con relación a los congresistas. Si un registro se selecciona al azar y de él se selecciona también al azar un congresista que resulta ser nacional, calcular la probabilidad de que el registro sea: a) Del hotel M b) Del hotel N

1/3

M

E

60/92 32/92 42/60

1/3

N

18/60

1/3 64/91

R 27/91

N E N

E N

P(A/B) = . . 1/3 x 32/92 .= 1/3x32/92+1/3x18/60+1/3x27/91

.1159/.3148 = = 31.77 %

21. Tres alhajeros idénticos tienen dos compartimientos. En cada compartimiento del primer alhajero hay un reloj de oro. En cada compartimiento del segundo alhajero hay un reloj de plata; el tercer alhajero en un compartimiento hay un reloj de oro, en tanto en el Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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otro hay un reloj de plata. Si seleccionamos un alhajero aleatoriamente uno de los compartimientos y hallamos un reloj de plata. ¿Cuál os la probabilidad de que el otro compartimiento tenga un reloj de oro?

A

1

O

1/3 1/3

1

B

1/3 C

1/2 O 1/2

a) P(A/B ) = .

P

P

1/3 x 1 /2 1/3 x 1 /2 + 1/3 x 1


27

. = 1/3 = 33.33%

EJERCICIOS DE ESTADISTICA 1. Dada la siguiente tabla de datos ordenados. Hallar las medidas de centralización y construir el histograma de frecuencias.

x

f

50 52 53 55 58

3 9 21 13 4

a) X = (50x3+52x9+53x21+55x13+58x4)/50 = 2678/50 = 53.56 b) Mdn = 53 (es el dato que esta en medio) c) Moda = 53 (valor de mayor frecuencia) 2. Calcule las medidas de tendencia central para el conjunto de datos que se presentan a continuación:

x

f

fa

3 5 7 9 11 13

8 11 2 21 6 5

8 19 21 42 48 53

a) X= (3x8+5x11+7x2+9x21+11x6+13x5)/ 53 = 407/53 = 7.68 b) Mdn = 9 ( dato que ocupa el orden 27, el de en medio) c) Moda = 9 3. Encontrar la desviación media para los siguientes datos agrupados: Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

28

mk 44 49 54 59 64 69 74

Intervalo

f

42 – 46 47 – 51 52 – 56 57 – 61 62 – 66 67 – 71 72 – 76

2 9 31 50 51 30 7

f 2 9 31 50 51 30 7

a) X = 11005 / 180 = 61.14;

mk . f 88 441 1674 2950 3264 2070 518 =11005

mk- x 17.14 12.14 7.14 2.14 2.86 7.86 12.86

mk- x .f 34.28 109.26 221.34 107 145.86 235.8 90.02 =943.56

DM= 943.56 /180 = 5.24

4. Los salarios semanales de 100 empleados de un supermercado se distribuyen como indica la tabla. Calcular la media aritmética, la desviación media y la desviación estándar.

Salario

f

140 – 159 160 – 179 180 – 199 200 – 219 220 – 239 240 – 259

7 20 33 25 11 4


29

149.5 169.5 189.5 mk 209.5 229.5 249.5

7 20 33 f 25 11 4 =100

1046.5 3390 6253.5 mk .f 5237.5 2524.5 998 =19450

45 25 5 mk -x 15 35 55

2025 625 25 2 (mk -x) 225 1225 3025

315 14175 500 12500 165 825 2 mk -x f (mk -x) f 375 5625 385 13475 220 12100 =1960 =58325

a) X = 19,450 /100 = 194.5 b) D.M= 1960 /100 = 19.6 c) s2 = 58,325 /100 = 583.25

s=

583.25

= 24.15

5.-Una firma de Contadores Públicos efectuó 50 balances contables anotando el tiempo empleando en cada uno de ellos, dichos tiempos medidos en minutos se distribuyeron como min. en el cuadro. Calcular la varianza, la desviación estándar y construir el polígono de frecuencias. Tiempo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59


f 3 5 10 12 20

30

mk

f

mf

mk2

mk2f

14.5

3

43.5

210.25

630.75

24.5

5

122.5

600.25

3001.25

34.5

10

345

1190.25

11902.25

44.5

12

534

1980.25

23763

54.5

20

1090

2970.25

29405

=50

=2135

=98,702.5

a) X = 2135 / 50 = 42.7 s2 = 98,702.5 / 50 - (42,7 )2 = 1974.05 – 1823.29 = 150.76 s = 150.76 = 12.27

DISTRIBUCION BINOMIAL 1. En un proceso de producción el 9% de los artículos resultaron defectuosos; si toma al azar una muestra de 13 artículos, calcular la probabilidad de que en ella: a) Se encuentren exactamente 3 defectuosos b) Se encuentren menos de 3 defectuosos

a) P(x =3) = C13,3 .093 .9110 = 286x.000729x.3894 8.11% b) P(x=0) C13,0 .090 .9113 =.2935 P(x=1) C13,1 .091 .9112 .3773 P(x=2) C13,2 .092 .9111 .2239


31

89.47%

2. Si el 60% de los automóviles de Mérida producen exceso de gases en sus escapes, ¿qué probabilidad existe de que, al escoger 5 autos al azar, tengamos 3 que no produzcan exceso de gases?

P(x=3) = C5,3 .43 .62 = 10x.064x.36 =

23.04%

3. En una flotilla de camiones, estos tienen un probabilidad de accidente por viaje de 1%, ¿Cuál es la probabilidad de que ningún camión tenga accidentes al enviar 3 a un viaje?

P( x= 3) C3,3 .993 .010 = 1x.9702x1 = 97.03% 4. Una compañía tiene una deserción del 30% en sus cursos de entrenamiento, ¿Cuál es la probabilidad de que en próximo curso donde participan 9 personas, deserten 4 de ellas?

P (x= 4) = C9,4 .34 .75 = 126x .0081x.1681 = 17.15 % 5. La probabilidad de que cierto tipo de tubo de vacío resista una prueba determinada es 85%. Hallar la probabilidad de que de 20 tubos: a) Resistan exactamente 17 b) Resistan al menos 3

a) P(x = 17) C20,17 .8517 .153 = 1140 x .0631x.00338 24.28% b) P(x=0) = C20,0 .850 .1520 = 3.33 x 10-17 P(x=1) = C20,1 .851 .1519 =20x.85x2.216x10-16 P(x=2) = C20,2 .852 .1518 = 190x.7225x10 -15 3.79x10-15 R = 1 – 3.79x 10-15 = 99.999% 6. Un agente de una compañía de seguros vende pólizas a 5 personas, todas de edad idéntica y con buena salud. De acuerdo con las tablas de Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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los actuarios de probabilidad de que una persona de esa edad específica esté viva dentro de 30 años es 2/3. Hallar la probabilidad de que en 30 años: a) Los 5 estén vivos. b)Al menos 3 estén vivos.

a)

P (x = 5) = C5,5 .6675 .3330 = 13.20 %

b)

P ( x= 3) = C5,3 .6673 .3333 = 10x.2967x.1109 = .329 P ( x= 4) = C5,4 6674 .3331 = 5x.1979x.333 = .333 P (x=5) = C5,5 .6675 .3330 = .1320 R = 79.05 %

7. Hallar la probabilidad de que en una familia de 4 hijos al menos uno de ellos sea niño.

P (x = 0) = C4,0 .50 .54 = 1x1.0625 = 6.25 % P ( x=1,2,3,4) = 100% -6.25 = 93.75% 8. Suponga que el 90% de los refrescos que se venden en la nevería de una escuela se piden “fríos". Si 11 personas ordenan sus refrescos, calcule la probabilidad de que: a) Exactamente 6 de ellos los quieran "fríos" b) Al menos 2 quieren refrescos “calientes"

a) P(x=6) = C11,6 .96 .15 = 462x.5314x.00005= .25% b) P(x=0) = C11,0 .10 .911 = 1x1x.3138 =.3138 P(x=1) = C11,1 .11 .910 = 11x .1x.3486=.3845 .6973  1-.6973 = 30.27% 


33

DISTRIBUCION NORMAL 1. Encontrar el valor del área bajo la curva normal estándar a) Entre z = 0 y z = 1.62 b) Entre z = 1.09 y z = 0 c) Entre z = 0.72 y z = 2.53 d) Entre z = 2.62 y z = 1.17 e) A la derecha de z = 1.32 f) A la izquierda de z = 0.85 g) A la derecha de z = 1.50 h) A la izquierda de z = 1.06

a) Area = 44.74%

0 1.62

b)

0


Area = 36.21%

1.09

34

Area = .4943-.2642= 23.01%

c)

0 .72

2.53

d) Area = .4956-.379=11.66%

0

1.17

2.62

e)

0

Area = .5000-.4066 = 9.34%

1.32

f) Area = .5000+.3023 = 80.23% Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

35

0

.85

g) Area = .5000-.4332 = 6.68%

0

1.5

h)Area=.5000+.3554=85.54%

0

1.06


36

2. En un proceso para enlatar refrescos, el contenido por lata tiene distribución normal con media a 350 ml. y desviaci6n estándar de 5 ml. Calcule el porcentaje de latas cuyo contenido: a) Sea menor a 345 ml. b) Entre 348 y 353 ml.

-1

0

a) Z = (345-350) / 5 = -1 34.13% b) Z1 = (348-350) /5 = -0.4 Z2= (353-350)/5=.6 38.12% 3. La altura media que alcanzaron las plantas de maíz es de 2.75 mts. con una desviación estándar de 0.63 mts. Asumiendo que las alturas tienen una distribución normal; ¿Cuál es la proporción de plantas con altura mayor a 3.5 mts. Si es seleccionan unas plantas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que midan entre 2.0 y 3.0 mts?.

0

1.19

a) Z=(3.5-2.75)/.63 = 1.19 Area= 11.70% b) Z1=(2-2.75)/.63 = -1.19 y Z2=(3-2.75)/.63 =.39 Area = 53.84% 4. Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuyen normalmente con media de 1248 días y una desviación estándar de 185 días. Si un fabricante desea


37

garantizar sus baterías por 36 meses ¿Que porcentaje de baterías deberían ser cambiadas estando a aún en vigor la garantía?

-.91

0

Z = (1080 – 1248) / 185 = -0.91 el Area = 0.5000-.3186= 18.14% 5. Las estaturas de 300 estudiantes están distribuidas normalmente con media igual a 1.70 mts. y desviación estándar de 10 cms. ¿Cuántos estudiantes tienen estaturas? a) Mayor de 1.85 mts. b) Menor de 1.55 mts. c) Entre 1.59 y 1.81 mts.

0

1.5

a) Z= (185-170)/10 = 1.5

Area = .5 -.4332 =.0668x300=20

b) Z= (155-170)/.1 = -1.5

Area = .5 - .4332= .0668x300=20

c) Z1= (1.59-1.70)/.1 = -1.1 y Z2= (1.81-1.70)/.1=1.1 Area = .3643+.3643=.7286x300= 219


38

6. La calificación media de un examen final fue 72 puntos y la desviación estándar de 9. El 10% de los estudiantes recibirán una calificación A, ¿cuál es la calificación mínima que debe obtener un estudiante para recibir una A.

0 .1

Z1= (x-72)/9

.25 = (x-72)/9

x = 72 + 2.25 = 74.25 pts

7. Si los diámetros de los cojinetes de municiones están normalmente distribuidos con media de 0.614 pulgadas y desviación estándar de 0.0025 plg. Determine el porcentaje de los cojinetes de municiones con diámetros: a) Entre 0.610 y 0.618 pulgadas b) Mayor que 0.617 pulgadas

a) Z1= (.61-.614)/.0025 =-1.6 Z2=(.618-.614)/.0025= 1.6 Area = .4452+.4452 = 89.04% b) Z= (.617-.614)/.0025 = 1.2 Area = 38.49%


39

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.- Se tienen seis paños de los colores siguientes: rojo, verde, azul, amarillo, negro y morado. ¿Cuántas banderas tricolores es posible hacer con los paños? ; Si se toman al azar tres paños cual es la probabilidad de que forme una bandera de color verde rojo y amarillo.

a) P6,3 = 6x5x4 = 120 b) P (A) = 1/120 = .83% 2.- Cuatro libros diferentes de Matemáticas, seis de Física y dos de Química han de ser colocados en librero. ¿ Cuántas colocaciones distintas admiten. Si se colocan al azar cuál es la probabilidad de qué: a) Los libros de cada asignatura queden juntos. b) Solo los de Matemáticas queden juntos.

Formaciones totales = P12,12 = 47’900,160 a) P3,3x P4,4 x P6,6xP2,2 = 207,300

P(A) = 207,300/47’900,160 = .04%

b) P4,4 x P9,9 = 8709120 /47’900,160 = 1.82% 3.- En el juego de poker se dan a cada jugador cinco cartas de una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que en una partida un jugador reciba: a)Una corrida (cinco correlativas) b)Un full ( una tercia y un par) c)Un par de ases d)Un par cualquiera e)Un poker ( cuatro cartas iguales)

E = C52,5 = 2’598,960 Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

40

a)10(C4,1x C4,1x C4,1x C4,1x C4,1) = 10,240

P(A) = 10,240/2’598,960 = .39%

b) R.P. =13 C4,3 12 x C4,2 = 13x4x12x6= 3744/2’598,960 = .14% c)R.P. = C4,2x C12,3 x 43 = 63,360 P( C )= 63,360/2’598,960= 2.44% Combinaciones de clase 2 para 4 ases que hay; excluyendo el grupo de ases, nos quedan 12 grupos de 4 cartas (48 en total). De estos 12 puedo seleccionar 3 (combinaciones), de ellos para extraer una carta de cada uno de los tres seleccionados (garantía de que no se obtenga otro par o tercia etc.), C4,1 x C4,1x C4,1 =48 = 43 d) R.P= 13(C4,2x C12,3x43) = 823,680 e) 13 (C4,4 x C48,1) = 693

P(D)= 823,680/2’598,960 31.69%  

P(B) = 693/ 2’598,960 = .024%

4.- De cuantas maneras pude elegirse una comisión formada por dos físicos y tres matemáticos a partir de un grupo de cinco físicos y seis matemáticos. Si la comisión se integra al zar cuál es la probabilidad de que: a) Un físico determinado esté presente. b) Un físico y un matemático determinados estén presentes.

Maneras totales = C5,2x C6,3 = 10 x 20 = 200 a) R.F = C5,1 x C6,3 = 5 x 20 = 100 b) R.F. = C5,1 x C6,2 = 5 x 15 = 75

P(A) = 100/200 = 50% P(B) = 75/200 = 37.5 %

5.- Un hombre tiene en su bolsillo un billete de $20,uno de $50,uno de 100, y uno de $200. Cuántas sumas diferentes de dinero podrá formar dicho individuo con el dinero que trae en el bolsillo si saca aleatoriamente en cada ocasión por lo menos un billete.


41

Cuál es la probabilidad de que saque menos de $200.

Sacando un sólo billete forma 4 cantidades distintas: 20,50,100 y 200 Sacando dos billetes se forma 6 cantidades distintas:70,120,150, 220,250 y 300 pesos. Sacando 3 billetes se forman 3 cantidades distintas: 170,270 y 350. Si se saca 4 billetes se forma: 370 pesos

En total se puede formar 11 distintas cantidades . b) P(A) = 7/11 = 63.64% 6.- Una caja contiene una moneda corriente y una de dos águilas. Se escoge al azar una moneda y se lanza; si aparece águila se lanza la otra moneda, si aparece sol se lanza la misma moneda. a) Hallar la probabilidad de que salga águila en el segundo lanzamiento. b) Si resultó águila en el segundo lanzamiento hallar la probabilidad de que también haya aparecido águila en el primer lanzamiento.

a)1/2x1/2x1+ 1/2x1/2x1/2+1/2x1x1/2

P(A) = .25+.125+.25 = 62.5%

b) P ( A ) =

. ½ x 1x ½ + ½ x ½ x 1 . = .5/.625= 80% ½ x ½ x1+ ½ x ½ x ½ + ½ x 1 x ½

7.- El envío de cartas en cadena es un fraude que tuvo su inicio en los Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

42

E.U en 1935. Este proceso consiste en que una persona recibe una carta con una lista de cinco nombres, luego envía una carta con un billete de $50 dentro de ésta a la primera persona de la lista, tacha el nombre de ésta y agrega el suyo al final de la misma. Suponga que Ud. recibe una de estas cartas y luego escribe a cinco personas, quienes lo hacen a otras 5 y éstas a su vez envían cartas a otras 5 y así sucesivamente. a) ¿En cuántas otras listas aparecerá su nombre? b) ¿ Cuánto dinero recibirá si no se rompe la cadena?

a) Primer envio : aparece mi nombre al final de la lista en 5 cartas. al segundo envío aparece mi nombre en cuarto sitio en 25 cartas. Y así sucesivamente. 5+25+125+625+3125 = 3905 listas b) cantidad total = 3905 x $50 = $ 195,250

8.- Hay dos tarjetas en un cajón. Una de ellas es negra en ambas caras y la otra en negra por una cara y blanca por la otra. Se saca una tarjeta al azar y se coloca sobre una mesa (la cara que está hacia arriba también se escoge al azar). Si se sabe que la carta hacia arriba es negra, cuál es la probabilidad de que la cara que está hacía abajo sea negra.


43

B

1 /2 N 1 /2

P(A) = . 1 /2 x 1 . 1 /2 x 1 + 1 /2 x 1 /2

1 /2 1

N

P (A) = 66.67%

1 /2 10.- Una caja contiene tres monedas, dos de ellas normales y una de dos soles. Se selecciona al azar una moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces soles, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos soles.?

P(A) = . .333x 1 x 1 . = .333/.4995 = 66.67% .333x1x1+.333x.5x.5 + .33x.5x.5 11.- En el turno matutino de la escuela preparatoria dos acuden a clase diariamente 900 alumnos de primer año y 420 de tercero. El 62% de los estudiantes de primero son mujeres y en tercero hay 226 mujeres. Si un alumno de esta población es seleccionado al azar y resulta ser hombre, cuál es la probabilidad de que sea de tercer año .


44

M .62

1º

H

900/1320

.38

M 420/1320

226/420

3º

194/420

H

P(A)= (420/1320 x 194 / 420) / (420/1320 x194x420 + 900/1320 x .38) P(A) = .1470 / .4061 = 36.19% 12.- La población de un parque zoológico está integrada por 30% de animales carnívoros, 45% de mamíferos, 25% de aves y 10% de reptiles. También se sabe que 15% de estos animales son carnívoros y mamíferos, 7% son aves carnívoras y 8% reptiles carnívoros. Si tres animales son seleccionados aleatoriamente cuál es la probabilidad de qué: a) Todos sean carnívoros b) Dos sean mamíferos y una ave c) Uno reptil no carnívoro, otro carnívoro y el tercero ave no carnívora.

C R

2 8

7

18 A

15 M

30


E = C100,3 = 161,720

20

45

a)R.F. = C30,3 = 4060

P (A) = 4060 / 161,720 = 2.51 %

b)R.F. = C45,2 C25,1 = 21,525

P(B) = 21,525 / 161,720 = 13.31%

c) R.F.= C2,1x C30,1x C18,1 = 1080

P (C)= 1080 / 161,720 = .67%

13.- Se tiene dos canastas como sigue: La canasta A contiene 5 naranjas dulces y 3 naranjas agrias La canasta B contiene 4 naranjas dulces y 5 naranjas agrias Si una canasta es seleccionada al azar y se extrae de ella una naranja. Hallar la probabilidad de que la naranja sea dulce y provenga de la canasta B. D 5/8

½ ½

A

3/8

4/9

B

A D

5/9

A

P ( A ) = 1 /2 x 4/9 = 4 /18 = 22.22 % 14.- En un concurso de conocimientos por equipos, participan las secciones A, B y C de una escuela. El equipo A está formado por 2 hombres y 3 mujeres, el equipo B lo integran 3 hombres y 2 mujeres y el C por cuatro mujeres y un hombre. Si se selecciona al azar un elemento de cada equipo, calcular la probabilidad de que: a) Todos sean del mismo sexo. Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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b) La mayoría sean mujeres.

B

A

C

a) 2/5x3/5x1/5 + 3/5x2/5x4/5 = .048+.192 = 24% b)

MMH MHM HMM (.6x.4x.2) + (.6x.6x.8) + (.4x.4x.8) = .048+.288+.128 = 46.4%

15.- En el juego de dominó hay 28 fichas, de las cuales 7 son dobles. Una mano consta de 7 fichas. ¿Cuántas manos posibles de dominó hay? ¿Cuál es la probabilidad de un juego tenga dos fichas dobles?.

Manos posibles = C28,7 = 1’184,040 R.F. = C7,2 x C21,5 = 21 x 20,349 = 427,329 P(A) = 427,329/1’184,0409 = 36.1% 16.- La cerradura de una caja fuerte tiene 26 letras. La manera de abrirla consiste en formar 3 letras diferentes en cierto orden. ¿Cuántas formaciones diferentes se pueden hacer?.

P26,3 = 26x25x24 = 15,600 17.- Se considera un tetraedro como dado y se tira dos veces, se toma en cuenta el número que aparece en la cara sobre la que reposa. Sea A el evento que indica que la suma de los números es igual o mayor a 6. Sea B el evento que indica que el primer número es 4. Determinar P (A/B).

E = [ (11)(12)(13)(14) (21)(22)(23)(24) (31)(32)(33)(34) Material de apoyo :Mat. IV Elaborado por:IQI Juan A.Trejo Peña

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(41)(42)(43)(44)] P(B) = 4/16 P (A B) = 3/16

P(A/B)= 3/16 / 4/16 = 75%

18.- la tasa de sobrevivencia durante intervenciones quirúrgicas de alto riesgo es igual a 80%. Cuál es la probabilidad de sobrevivan exactamente 4 de los próximos 5 pacientes.?

n= 5 p=.8 x=4

P (x=4) = C5,4 .84 .2 = 5x.4096x.2 = 40.96%

19.- En un población determinada 85% de sus habitantes tienen factor sanguíneo Rh positivo, 45% factor “O” y 30 % factor O y Rh positivo. Si se elige una persona al azar, determinar la probabilidad de qué: a) Su tipo de sangre no sea O b) Su tipo de sangre sea tipo O ó bien sea Rh positivo. Base 100 Rh+ 55

Rh30 15

a) P(A) = 55/100 = 55% b) P(B) =(45 + 55)/100 = 100%

20.- Las lecturas de colesterol en mg/dl correspondientes a un grupo de personas de determinada edad están distribuidas normalmente con media de 210 y desviación estándar de 15. ¿ Qué porcentaje de esta población tiene valores: a) mayores a 220. b) mayores de 190.

a) Z = (220 –210) /15 = 1.33

Area = .5000-.4082 = 9.18%


48

0

1.33

b) Z= (190 –210)/15 = -1.33 Area = .5000+.4082 = 90.82%

21.- Los pesos de sandías maduras cultivadas en un huerto están distribuidas normalmente con desviación estándar de 1.2 kg. Obtenga el peso medio de las sandías maduras si solo 3% pesa menos de 7.5 kg.

Para un área de .03 el valor de Z = .84 Z = (x-7.5)/1.2 x= 1.2x.84 + 7.5 = 8.51 Kg 22.- Complete la tabla siguiente de valores de Z, si A representa el área localizada a la derecha de la curva normal estandarizada. A Z

.4345 1.51

.2486 .67

.0987 .25

.1591 .41

.4993 3.18

23.- El tiempo de espera de cierto banco está distribuido normalmente con promedio de 18 minutos y desviación estándar de 4 minutos. Encuentra la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar tenga


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que esperar: a) entre 17 y 20 minutos b) menos de 15 minutos. a)

Z1= (17-18)/4 = -.25

Z2= (20-18)/4 = .5

Área = .0987+ 1915 = 29.02% b) Z = (15-18)/4 = -.75

Área = .5000 - .2734 = 22.66% 24.- Una pistola de radar mide la velocidad de los lanzamientos que hacen los pichers de un equipo de beisbol durante un mes de juego. Estos lanzamientos se distribuyen normalmente con velocidad promedio de 85 millas por hora. Cuál es la desviación estándar si el 30% de los lanzadores tiran velocidades superiores a las 92 mi/hr.

Z = 92-85 / s

.84 = 7 / s

El 30% de área nos dá un valor de Z=.84

s= 7/.84 = 8.33 mi/hr


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25.- La tabla siguiente contiene las alturas en pulgadas de 100 alumnos de una escuela. Alturas f (Plg) 60-62 2 63-65 18 66-68 44 69-71 27 72-74 9 a) Hallar la media, mediana y moda b) Desviación media, varianza y desviación estándar. Alturas 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74

f fa 2 2 18 20 44 64 27 91 9 100

Mk 61 64 67 70 73

mkxf 122 1152 2948 1890 657 =6769

mk-x 6.69 3.69 .69 2.31 5.31

mk-x f 13.38 66.42 30.36 62.37 47.79 =220.32

(mk-x)2 44.76 13.62 .476 5.34 28.20

a) x = 6769 / 100 = 67.69 ; Mdn = 65.5 + (50-20/44) x3= 67.55 moda = 65.5 + [26/(26+17)]x3 = 67.31 b) D.M. = 220.32 / 100 = 2.20 Var.= 753.38 /100 = 7.53


s = 2.74

51

mk-x)2f 89.51 245.09 20.95 144.07 253.76 =753.38

26.- La tabla siguiente representa los salarios semanales de 70 empleados de una fábrica:

Salarios 250-259 260-269 270-279 280-289 290-299 300-319 320-379

f

8 10 16 15 10 8 3 =70

fa

mk

mkxf

8 18 34 49 59 67 70

254.5 264.5 274.5 284.5 294.5 309.5 349.5

2036 2645 4392 4267.5 2945 2476 1048.5 =19810

(mk-x)2xf

6498 3422.5 1156 33.75 1322.5 5618 13266.7 =31317.5

(1/mk) x f

Log G

Log Gxf

.031 .038 .058 .053 .034 .026 .009 =.249

2.4056 2.4224 2.435 2.4541 2.4691 2.4907 2.5434

19.24 24.22 39.02 26.81 24.69 19.93 7.63 =171.54

a) Hallar mediana, moda , media geométrica y media armónica b) Desviación estándar c) Cuartil tercero, decil sexto y percentil 24. d) Construir histograma y ojiva menor que.

a) x = 19810/70 = 283, Mdn= 279.5 + [(50-34)/15]x10=290.15 moda = 269.5+[1/(1+5)]x10= 271.17 Log G = 171.54 / 70 = 2.45

G = 281.83

H = 70 / .249 = 281.12. b) s2 = 31,317.5/70 = 447.39 c) Q3 =( 3x70 /4 = 52.5) D6 = (6x70/10 =42)

Q3 =289.5 + (52.5-49/10)x10 =293

279.5 + (42 – 34/15)x10 = 284.33

P24 = ( 24x70/100 = 16.8)


s = 21.15

259.5 + (16.8-8/10)x10 = 268.3

52

27.- La probabilidad de que n hombre viva 25 años más es 60% y la probabilidad de que su esposa vivirá 25 años más es 75%. Hallar la probabilidad de que:

a) Ninguno viva dentro de 20 años b) Al menos uno esté vivo.

P(A ) = .4 x .25 = 10% P( B) = .6x.25 + .4x.75 + .6x75 = .15+.3+.45 = 90% 28.- Una secretaria ha escrito 4 cartas para 4 personas diferentes y ha rotulado sus correspondientes sobres. Si coloca las cartas aleatoriamente calcule la probabilidad de que: a) las 4 vayan a personas equivocadas b) Al menos una vaya a persona equivocada

E = 4x3x2x1 = 24 maneras de colocarlas P (A) = 8/24 = 33.33% RF= (BCDA,BDAC,CADB,CDAB DABC,DCAB,ACDB,ADBC) P(B)= 1 – 1/24 = 95.83% 29.- De una muestra de 126 empleados de una empresa se obtuvo la siguiente distribución de kilómetros recorridos para transportarse de su hogar al trabajo.

Distancia 1-2.9 3-4.9 5-6.9 7-8.9 9-10.9 11-12.9 13-17.8

f 2 6 12 50 35 15 6 126

fa 2 8 20 70 105 120 126

mk mkf Log G log Gxf 1.95 3.9 .2900 .58 3.95 23.7 .5966 3.58 5.95 71.4 .7745 9.29 7.95 397.5 .9004 45.02 9.95 348.25 .9978 34.92 11.95 179.25 1.0773 16.16 15.4 92.4 1.1875 7.13 1,116.4

116.68

1/mk .5128 .2531 .1681 .1258 .1005 .0837 .0649

f1/mk 1.03 1.52 2.02 6.28 3.52 1.25 .3896

mk-x f 13.82 29.46 34.92 45.5 38.15 46.35 39.24

mk2f 7.61 93.61 424.83 3160.13 3465.08 2142.03 1422.96

16.00

247.44

10,716.25

a) Hallar media, mediana, moda, media geométrica y media armónica.

c) Desviación media, estándar, cuartil tres, decil uno y percentil 5.


53

a) x = 1116.4 /126 = 8.86 Mdn = 6.95 + (63-20/50)x2.9 = 9.44

Moda = 6.95 + [38/(38+15)]x2.9= 9.03 Log G = 116.68/126 = .9260

G = 8.43

H = 126 /(1/16) = 7.83 b)

Q3 = 8.95 + [(94.5 –70)/35]x2.9 = 10.98 D1 = 4.95 + [ (12.6-8)/2]x2.9 = 6.06 P5 = 2.95 + [(6.3-2)/6]x2.9 = 5.03 D.M= 247.44/ 126 = 1.96 s2= 10,716.25/126 - 8.86 2 85.05 – 78.45 = 6.6 s = 2.56


54

Copia de matematicas 5

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