Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática Carrera de Ingeniería Civil Física II Examen de Recuperación (Corrección) Paralelos 1 y 2 Docente: Dr. Raúl Eduardo Puebla. 17 de agosto de 2016 Nombre: Paralelo:
Instrucciones El examen tiene dos secciones: 4 preguntas teóricas sobre 2.5 puntos cada una y 3 ejercicios: 2 sobre 3 puntos y 1 sobre 4 puntos. En total el examen es calificado sobre 20 puntos. Todas las preguntas deben ser respondidas con su debida explicación. Pregunta sin explicación
tendrá nota 0. Duración del examen: 120 minutos. Éxitos! Preguntas Teóricas (10 puntos): 1) (2.5 puntos) Agua fluye suavemente en una tuberia horizontal. La figura muestra como varía la energía cinética de un elemento de fluido que se mueve a lo largo del eje x. Coloque en orden descendente de acuerdo con su radio a las secciones de la tubería de acuerdo a las
letras mostradas en la figura. Explique su respuesta.
a) r A > rB > rC b) rB > rA > rC c) r B > rC > rA d) ninguna de las anteriores
la energia cinética K cinética K = 12 mv 2 , donde m es la masa del elemento de fluido y v y v su velocidad. Ya que el elemento de fluido conserva su masa, K mayor mayor implica mayor velocidad. Por lo tanto: vA > vC > vB
De la ecuación de continuidad tenemos que: AA vA = A = A B vB = A C vC
Donde AA , AB , AC son las areas transversales de cada sección de la tubería. Por lo que: AC vA = > 1 AA vC
1
(1)
AB vA = > 1 AA vB AB vC = > 1 AC vB
(2) (3)
Entonces: AB > AC y AC > AA . Como A = A = π πrr2 entonces: rB > rC > rA . 2) (2.5 puntos) Un péndulo de longitud l se suelta luego que se lo ha desplazado un ángulo θ (en radianes) en sentido anti-horario. Si la masa del peso que cuelga del péndulo es m. Cuál es la energía cinética del péndulo cuando este pasa por su punto más bajo si suponemos θ es pequeño (g es la gravedad). Explique.
1. 12 mglθ 2 2. mglθ 2 3. 12 mgθ 2 4. 2mglθ 2 1 2 La energía en el punto más bajo es: E K K = 2 mvmax , donde vmax es la velocidad del cuerpo
que cuelga del péndulo. La velocidad máxima viene dada por: vmax = θ˙max l = ωθθmax θ˙max = ω ω = gl
Por lo tanto: vmax =
g θ l l max
g 1 E K θ l K = 2 m l max g 2 1 2 E K K = 2 m l θmax l
2
1 1 2 2 E K K = 2 mglθ max = 2 mglθ
2
3) (2.5 puntos) La figura muestra un sistema mecánico donde un bloque de masa m está suspendida de un resorte de constante k constante k.. Este bloque a su vez esta conectado a una cuerda horizontal que pasa por una polea en Q y en el otro extremo esta conectado a un bloque de masa M . La densidad de masa de la cuerda es µ. Al oscilar, el primer bloque genera una onda viajera sinusoidal en la cuerda. Demuestre que la logitud de onda de esta onda viene
dada por la expresión: λ = 2π
M mg µk
Frecuencia de oscilación de la onda es igual a la frecuencia de oscilación del sistema masa-resorte. Por lo tanto f = k/m/2π . Por otro lado la velocidad de la onda de una
/µ. Además, en el caso de una onda sinusoidal se cumple que cuerda tensa es igual a: v = T /µ. f λ = v = v . La tensión en la cuerda es igual al peso que cuelga de ella: T = M g. Por lo tanto:
k/m/2 k/m/2π · λ =
Mg/µ
despejando λ: λ = 2π
M mg µk
4) (2.5 puntos)Dos silbatos de tren, A y B, tienen una frecuencia de 392 Hz. A está estacionario y B se mueve a la derecha (alejándose de A) a 35.0 m/s. Un receptor está entre los dos trenes y se mueve a la derecha a 15.0 m/s (figura). No sopla el viento. Según el receptor, a) ¿qué
frecuencia tiene A? b) ¿Y B?
Considerando la velocidad del sonido vs = 344 m/s. En el primer caso, cuando la fuente esta
a la izquierda del receptor se cumple que: f obs obs =
vs −vr f vs −vf o
En este caso A la velocidad de la fuente v fuente vf = v A f obs obs =
344−15 355
= 0 y velocidad del receptor v receptor vr = v L = 15 m/s
392 = 374, 374,9 Hz.
En el caso del tren B, este se encuentra a la derecha del receptor, en este caso: 3
vs +vr f obs obs = vs +v f o f 344+15 f obs 371,31 Hz obs = 344+35 392 = 371,
Problemas (10 puntos) 5) (3 puntos) Un contrabandista produce etanol (alcohol etílico) puro durante la noche y lo almacena en un tanque de acero inoxidable cilíndrico de 0.3 n de diámetro con un pistón hermético en la parte superior. El volumen total del tanque es de 250 litros. En un intento por meter un poco mas de alcohol, el contrabandista apila 1420 Kg de lingotes de plomo sobre el pistón. Qué volumen adicional de etanol puede meter el contrabandista en el tanque?
(Suponga que las paredes del tanque son rígidas) Datos: Compresibidad del etanol (k) = 110×10 1 litro = 10 3 m3 .
−
11
[Pa 1 ]. −
−
La compresibidad es igual a: k
Este a su vez es igual: B=−
−
1
= B,
donde B es el modulo de compresibidad volumétrica.
∆ p
∆p
V 0
Por lo tanto: ∆V k = ∆ pV ∆V = −k∆ pV 0 ∆ p = p = W W//A W es el peso de los lingotes de plomo colocados sobre el tanque. A es área de la parte superior del tanque. ∆ p = p = 1420 · 9,8/ π4 (0, (0,3)2 [N/m2 ] V 0 = 0,250 m 3 . ∆V =-110×10 11 ·1420 · 9,8/ π4 (0, (0,3)2 · 0,250 ∆V =5.41×10 5 m3 = 0.05 litros. −
0
−
−
4
6) (3 puntos) Dos varillas de las mismas dimensiones pero de dos metales diferentes son colocadas una junto a la otra como es mostrada en la figura. La temperaturas en los extremos son T 1 y T 2 . a) Demostrar que la tasa de transferencia de calor de un extremo al otro es: dQ A = dt L
T 1 − T 2 1 + k1 k 1
2
donde L y A son la longitud y el área transversal de las varillas respectivamente, y k1 y k2
son las conductividad conductividades es térmicas térmicas de cada varilla. varilla.
Ayuda: Calcule la temperatura en el punto de contacto de las dos varillas (T X X ) y considere que la tasa de transferencia de calor (dQ/dt) es la misma a lo largo de las dos varillas. La tasa de transferencia de calor dQ/dt es dQ/dt es constante en lo largo de toda la varilla. Por lo
tanto:
dQ k1 A k2 A = (T 1 − T X (T X X ) = X − T 2 ) dt L L
(4)
k1 A k2 A (T 1 − T X (T X X ) = X − T 2 ) L L k1 (T 1 − T X X ) = k2 (T X X − T 2 ) k1 T 1 + k2 T 2 T X X = k1 + k2
(5) (6) (7)
Entonces:
dQ k1 A k1 T 1 + k2 T 2 = T 1 − dt L k1 + k2 dQ k1 A k2 T 1 − k2 T 2 = dt L k1 + k2 dQ k1 k2 A T 1 − T 2 = dt L k1 + k2 dQ A = dt L dQ A = dt L
(8)
T 1 − T 2 k1 +k2 k1 k2
T 1 − T 2 1 + k1 k 2
1
5
(9)
(10)
(11)
(12)
7) (4 puntos) Un anillo de 20 gramos a 0 C tiene un diámetro de D = 2,540000 cm. Una esfera de aluminio a 150 C tiene un diámetro d diámetro d = 2,54508 cm. La esfera es colocada sobre el anillo y los dos cuerpos son dejados hasta que alcanzan el equilibrio térmico. Encuentre la temperatura a la cual este equilibrio es alcanzado. A esta temperatura, la esfera pasará a ◦
◦
través del anillo? Considere Considere la densidad densidad volumétri volumétrica ca del aluminio: aluminio: ρAl =2.7 gr/cm3 . Calores Calores específicos: específicos: cAl = 910 J/kg·K, cCu = 390 J/kg·K. Coeficientes Coeficientes de dilatación dilatación lineal: αAl =2.4×10 5 [1/ C], αCu =1.7×10 −
◦
−
5
[1/ C]. ◦
Masa de la esfera de aluminio es igual a: mAl =
4π
r
3
d
2
ρAl
3
mAl = 4rπ 2,54508 2,7 gr. 2 mAl = 23, 23,3059 gr. Calor transferido de la esfera al anillo es igual al calor absorbido por el anillo hasta el
punto de equilibrio. QCu = −QAl mCu cCu ∆T Cu Cu = −mAl cAl ∆T Al Al mCu cCu (T f f − 273, 273,15) = −mAl cAl (T f f − 423, 423,15) mAl cAl (T f f − 273, 273,15) = − mCu cCu (T f f − 423, 423,15) 23,3059 910 (T f f − 273, 273,15) = − 20 390 (T f f − 423, 423,15) (T f f − 273, 273,15) = −2,7190 · (T f f − 423, 423,15) T f f (2, (2,7190 + 1) = 1423, 1423,69 T f f = 381, 381,78 K = 108.64 C. ·
·
◦
Al esfera de aluminio se contrae de tal manera que su volumen final V f f es igual: V f f = V 0 (1 + β ∆T Al Al ) 4 4 3 3 π (df /2) Al ) 3 √ = 3 π(d0/2) (1 + β ∆T Al df = d 0 1 + β ∆T Al Al β = 3 · α = 7,2 × 10 5 [1/ C] df Al = d 0Al · 0,999006 df Al = 2,542551140 cm Al 3
−
◦
El anillo de cobre se dilata al subir tu temperatura de 0 a 73.111 C. ◦
df Cu = df Cu (1 + α∆T Cu Cu ) df Cu = 2,54(1 + 1, 1,7 × 10 5 (108, (108,64)) Cu df Cu = 2,544691 cm Cu −
Como el diámetro de la esfera es mayor que el diámetro del anillo de cobre, entonces
la esfera SÍ pasará por el anillo. 6