Traitement Numérique du Signal ELEC 601
TD n° 2
CORRIGE
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 2 3 4
Equations aux différences ................................................................................................................... 2 Optimisation d’un filtre numérique .................................................................................................... 3 Optimisation d’un filtre numérique (bis) ............................................................................................ 4 FIR et IIR ............................................................................................................................................ 6 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 Filtres numériques On considère une structure de filtre numérique faite de la mise en parallèle de 2 filtres du premier ordre de fonctions de transfert A(z) et B(z)
x(k) A(z)
y(k)
+ B(z)
A(z) est régie par l’équation aux différences : y(k)= 5x(k)+y(k-1) B(z) est régie par l’équation aux différences : y(k)= 2x(k)-0,5y(k-1)
1.1
1°) Donner les transformées en z A(z) et B(z)
A( z ) =
1.2
5 Y ( z) = X ( z ) 1 − z −1
B( z) =
2°) En utilisant les expressions des équations aux différences, représenter la structure de chacun des 2 filtres A(z) et B(z) à l’aide de multiplieurs, d’additionneurs et de cellules retard.
y(k)= 5x(k)+y(k-1) x(k)
Y ( z) 2 = X ( z ) 1 + 0,5 z −1
5
y(k)= 2x(k)-0,5y(k-1) y(k)
x(k)
+
+
y(k)
2 -0,5 z
-1
z
-1
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A(z)
B(z)
ou (moins bon pour A(z) !) y(k)= 5 [x(k)+1/5 y(k-1)]
y(k)= 2 [x(k)-0,25y(k-1) ]
x(k)
5
+
y(k)
2
x(k)
1/5 z
-0,25
-1
z
A(z)
1.3
y(k)
+
-1
B(z) 3°) Donner une expression concise sous forme d’une seule fraction polynomiale du filtre global C(z) = A(z) + B(z)
Y ( z) 5 2 7 + 0,5 z −1 C ( z ) = A( z ) + B ( z ) = + = = 1 − z −1 1 + 0,5 z −1 1 − 0,5 z −1 − 0,5 z −2 X ( z ) 1.4
4°) Représenter la structure de C(z) à l’aide de multiplieurs, d’additionneurs et de cellules retard.
(
)
(
X ( z ) × 7 + 0,5 z −1 = Y ( z ) × 1 − 0,5 z −1 − 0,5 z −2
)
L’équation aux différences correspondante à C(z) est :
y ( k ) − 0, 5 × y ( k − 1) − 0, 5 × y ( k − 2) = 7 × x ( k ) + 0.5 × x ( k − 1) y ( k ) = 7 × x ( k ) + 0.5 × x ( k − 1) + 0, 5 × y ( k − 1) + 0,5 × y ( k − 2) x(k)
z -1 0,5
7
y(k)
+ 0,5
0,5 z -1
z -1
2 Equations aux différences
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3 Optimisation d’un filtre numérique On s’intéresse à différentes implémentations d’un filtre numérique du 2nd ordre défini par sa fonction 1 + 0.7 z −1 + 0.1z −2 de transfert en z I(z) : I ( z ) = 1 + 7 z −1 + 10 z − 2 3.1
x(k)
y(k) I(z)
Donner l’équation aux différences correspondant à I(z)
y (k) = x(k) + 0.7 x(k-1) + 0.1 x(k-2) - 7 y(k-1) - 10 y(k-1) nd
3.2
Représenter la structure du filtre du 2
Équation 1
ordre correspondant à l’équation 5.
T
T
x(k) 0,7
0,1 y(k)
+ -10
-7 T
T
On cherche ensuite à mettre ce filtre sous la forme d’une cascade de 2 filtres du 1er ordre. Pour cela on factorise I(z) sous la forme I(z) = G(z)×H(z). 1 + 0.5 z −1 G(z) est donné par son expression : G ( z ) = 1 + 2 z −1 3.3
I(z) G(z) x (k)
H(z) y (k)
Donner l’expression de H(z)
1 + 0.2 z −1 H ( z) = 1 + 5 z −1 Représenter la structure du filtre du 1er ordre correspondant G(z).
3.4
T
x(k) 0,5
+
y(k)
-2 T
On cherche enfin à mutualiser les retards. Pour cela on utilise la structure suivante.
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3.5
Compléter les . . . pour obtenir la réalisation canonique de I(z) et vérifier l’identité W ( z) Y ( z) Y ( z) avec I(z) en exprimant d’abord, puis ensuite, et enfin. X ( z) W ( z) X ( z)
x(n)
w(n)
+
(1)
y(n)
+
T -7
0,7
T 0,1
-10 W ( z) 1 = −1 X ( z) 1 + 7.z + 10.z − 2
Y ( z) = 1 + 0 . 7 . z −1 + 0 . 1 . z −2 W ( z)
Y ( z ) Y ( z ) W ( z ) 1 + 0.7 z −1 + 0.1z −2 = × = X ( z) W ( z) X ( z) 1 + 7 z −1 + 10 z − 2
CQFD
3.6 Faire le bilan de complexité de ces différents types d’implémentation Nombre \ Type de structure I(z) standard I(z) série I (z) canonique Quest. 2.2 Quest. 2.4 Quest. 2.5 D’additionneurs : 1 2 2 De multiplieurs :
4
4
4
De cellules retard :
4
4
2
4 Optimisation d’un filtre numérique (bis) On s’intéresse à différentes implémentations d’un filtre numérique du 2nd ordre défini par sa fonction 1 + 0.5 z −1 de transfert en z I(z) : I ( z ) = 1 + 7 z −1 + 10 z − 2 4.1
x(k) I(z)
Donner l’équation aux différences correspondant à I(z)
y (k) = x(k) + 0.5 x(k-1) - 7 y(k-1) - 10 y(k-2) 4.2
y(k)
Équation 2
Représenter la structure du filtre du 2nd ordre correspondant à l’équation 5.
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T
x(k) 0,5 y(k)
+ -10
-7 T
T
I(z)
On cherche ensuite à mettre ce filtre sous la forme d’une cascade de 2 filtres du 1er ordre. Pour cela on factorise I(z) sous la forme I(z) = G(z)×H(z). 1 + 0.5 z −1 G(z) est donné par son expression : G ( z ) = 1 + 2 z −1 4.3
G(z)
H(z) y (k)
x (k)
Donner l’expression de H(z)
H ( z) =
1 1 + 5 z −1
Représenter la structure du filtre du 1er ordre correspondant G(z).
4.4
T
x(k) 0,5 y(k)
+ -2 T
A(z)
x(k)
On cherche ensuite à mettre ce filtre sous la forme de 2 filtres du 1er ordre en parallèle.
B(z) 4.5 I ( z) =
αz
−1
+
Donner une forme des expressions de A(z) et B(z) 1 + 0.5 z −1 1 + 0.5 z −1 α β = = + −1 −2 −1 −1 −1 1 + 7 z + 10 z 1 + 2 z 1 + 5z 1 + 2z 1 + 5 z −1
= −0.5
(
=
1 + 0.5 z −1 = −0.5 1 + 5 z −1
(
)
− 0 .5 1 + 2 z −1
)(
)
βz
−1
= −0.2
=
1 + 0.5 z −1 = 1.5 1 + 2 z −1
(
)
− 0.5 1.5 1 + 0.5 z −1 + = 1 + 2 z −1 1 + 5 z −1 1 + 7 z −1 + 10 z − 2 1 .5 B( z ) = 1 + 5 z −1
Vérification : I ( z ) = A( z ) =
y(k)
OK !
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On cherche enfin à mutualiser les retards. Pour cela on utilise la structure suivante. 4.6
Compléter les . . . pour obtenir la réalisation canonique de I(z) et vérifier l’identité W ( z) Y ( z) Y ( z) avec I(z) en exprimant d’abord, puis ensuite, et enfin. X ( z) W ( z) X ( z)
x(n)
w(n)
+
(1)
+
y(n)
T -7
0,5
T -10 W ( z) 1 = −1 X ( z ) 1 + 7.z + 10.z − 2
Y ( z) = 1 + 0 .5 . z −1 W ( z)
Y ( z ) Y ( z ) W (z ) 1 + 0.5 z −1 × = = X (z ) W (z ) X (z ) 1 + 7 z −1 + 10 z − 2
CQFD
4.7 Faire le bilan de complexité de ces différents types d’implémentation Nombre \ Type de structure I(z) standard I (z) canonique I(z) série I(z) // Quest. 2.2 Quest. 2.4 Quest. 2.5 Quest. 2.6 D’additionneurs : 1 2 3 2 De multiplieurs :
3
3
4
3
De cellules retard :
3
3
2
2
5 FIR et IIR Filtre récursif du type IIR Infinite Impulse Response
Filtre non récursif du type FIR Finite Impulse Response On s’intéresse à 2 types d’implémentation du circuit C défini par l’équation aux différences suivante : y(k) - a y(k-1) = x(k) avec la condition initiale y (k) = 0 pour k < 0 Page 6 sur 10
5.1
Donner la fonction de transfert en z I(z) de ce circuit C Y ( z) 1 H ( z) = = X ( z ) 1 − az −1 5.2 Donner la définition de la réponse impulsionnelle d’un circuit numérique La réponse impulsionnelle d’un circuit numérique est la réponse de ce circuit à une impulsion numérique * d(k) en entrée * impulsion numérique : d(k) = 1 pour k = 0 , 0 sinon 5.3 Donner l’expression analytique de la réponse impulsionnelle i(k) du circuit C en fonction de a (on utilisera l’échelon unité numérique E(k) dans l’expression). i(0) = 1 i(1) = a i(2) = a2 i(1) = a3 … i(k)=ak.E(k)
où E(k) est l’échelon unité numérique **
** échelon unité numérique : E(k) = 1 pour k ≥ 0 , 0 sinon 5.4 Montrer que la suite des coefficients que décrit la réponse impulsionnelle est décroissante si a < 1 i (k + 1) = a donc i ( k + 1) < i ( k ) ⇔ a < 1 i (k )
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Application numérique : a = 0.7 5.5 Tronquer cette réponse impulsionnelle à -20 dB sur le niveau amplitude (cela revient à ne garder que les N premiers échantillons de la réponse impulsionnelle dont l’amplitude est supérieure où égale à 10 % du niveau d’amplitude maximum des coefficients de la réponse impulsionnelle) et donner cette réponse tronquée. 1.0000
0.7000
5.6
0.4900
0.3430
0.2401
0.1681
0.1176
0.0824
Donner un schéma d’implémentation de type IIR du circuit numérique C y(k)
+
x(k) 0.7
T
5.7 En utilisant l’approximation de la réponse impulsionnelle tronquée à -20 dB, donner un schéma d’implémentation de type FIR du circuit numérique C
y (k) = x(k) + 0.7000 x(k-1) + 0.4900 x(k-2) + 0.3430 x(k-3) + + 0.1681 x(k-5) + 0.1176 x(k-6) + 0.0824 x(k-7)
T
T
T
0.2401 x(k-4)
T
T
T
T
0,2401
0,1681
0,1176
0,0824
x(k) 1
0,7
0,49
0,343
+ 5.8
y(k)
Conclure sur la complexité entre ces deux modes d’implémentation du circuit C.
IIR moins complexe (ici)
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6 Produit de convolution analogique Soit un signal e(t) en entrée d’un filtre de réponse impulsionnelle g(t) 6.1
Donner l’expression de la sortie s(t) en fonction de l’entrée e(t) et de g(t)
s (t ) = e(t ) * g (t ) =
+∞
+∞
−∞ +∞
−∞ +∞
−∞
−∞
∫ e(τ ).g (t −τ ) dτ = ∫ g (τ ).e(t −τ ) dτ
s (τ ) = e(τ ) * g (τ ) =
6.2
ou
∫ e(t ).g (τ −t ) dt = ∫ g (t ).e(τ −t ) dt
En utilisant des tables de Transformées et certaines propriétés des Transformées de Fourier, donner l’expression littérale du spectre S(f) du signal s(t) pour : •
e(t)= tri(t/T)
•
g(t)= rect(t/T)
S ( f ) = E ( f ) × G ( f ) = T . sin c( fT ) × T . sin c 2 ( fT ) = T 2 . sin c 3 ( fT )
Un signal e(k) est présent en entrée d’un filtre numérique de réponse impulsionnelle g(k) 6.3
Donner l’expression générale de la sortie s(k) en fonction de e(k) et g(k)
e(k) et g(k) sont des portes numériques, définies par : ⎧ 1 pour 0 ≤ k ≤ 2 e( k ) = rect 3 ( k ) ou Π 3 ( k ) = ⎨ ailleurs ⎩0 ⎧ 1 pour 0 ≤ k ≤ 3 g ( k ) = rect 4 ( k ) ou Π 4 ( k ) = ⎨ ailleurs ⎩0
s (k ) =
+∞
∑ e(k ).g (k − l ) =
l = −∞
∑ g (k ).e(k − l )
l = −∞
Donner les valeurs de s(k) pour - ∞ < k < + ∞
6.4 s(0) = 1
6.5
+∞
s(1) = 2
s(2)=3
s(3) = 2
s(4)=1
et 0 partout ailleurs
Donner la Transformée de Fourier (normalisée) de la réponse impulsionnelle g(k) définie ci-dessus.
X(f )=
k = +∞
∑ x(k ).e
k = −∞
− 2 iπfk
⇒ G( f ) =
k =3
∑ x(k ).e
− 2 iπfk
= 1+ e
− 2 iπf
+e
− 4 iπf
+e
k =0
1 − e −8iπf G( f ) = = 1 + e −iπf . 1 + e − 4iπf − 2 iπf 1− e
(
)(
− 6 iπf
1 − e −8iπf = 1 − e − 2iπf
)
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6.6
Donner la fonction de transfert (= la TZ) du filtre de réponse impulsionnelle g(k) définie ci-dessus.
+∞
X ( z ) = ∑ x ( k ). z −∞
k =3
−k
−k −1 −2 −3 ⇒ G ( z ) = ∑ x ( k ).z = 1 + z + z + z = k =0
1 − z −4 = 1 + z −1 . 1 + z − 2 −1 1− z
(
)(
)
car pour : Up=U0qn
6.7 • • •
De quel type de filtre a-t-on affaire : FIR ou IIR ? Proposer un schéma de réalisation du filtre de réponse impulsionnelle g(k) à l’aide des fonctions : additionneurs multiplication par des coefficients réels (coefficients à préciser) cellules retard
⎧ 1 g ( k ) = rect 4 ( k ) ou Π 4 ( k ) = ⎨ ⎩0
pour 0 ≤ k ≤ 3 ailleurs
FIR
e(n)
T
1
T 1
T 1
1
s(n)
+ ou
e(n)
T
T
T s(n)
+
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