Costo reducido: Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de producto) = (u.m.)/(u.p.) = las mismas unidades que Cj Precio dual: Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de recurso) = (u.m.)/(u.r.) Interpretación del Costo reducido:
En cuantas unidades monetarias empeora la función objetivo al producir una unidad de un producto que no se est produciendo. En minimi!ación: ("! / "#) •
•
En ma#imi!ación: ($! / "#)
%i la variable es bsica &el costo reducido es '. %i la variable es no bsica& es = '. Cuando es ' sinifica soluciones alternativas.
Interpretación del Precio dual:
En cuantas unidades monetarias va a variar varia r la función objetivo al variar en una unidad de recurso limitante. Cuando es >0: ((z / (b) ó ((z / (b) Cuando es <0: ((z / (b) ó ((z / (b)
Una restricción es limitante cuando limita a la función objetivo. Esto sucede cuando se cumple la iualdad de la restricción. %i la restricción es no limitante& el precio dual es '. %i la restricción es limitante& puede tomar cualquier valor positivo& neativo o '. Costo reducido
:En las soluciones no deeneradas& el costo reducido de cualquier variable dedecisión se define como cunto tendr*a que cambiar el coeficiente de dic+a variable& enla función objetivo& para tener un valor óptimo positivo. Por tanto& si una variable ,a es positiva en la optimalidad& su costo reducido es cero. Por el contrario& si el valor óptimode una variable es cero& entonces& se-n la definición de costo reducido& dic+o costo esel incremento o el decremento permisible que corresponde a dic+a variable.Puede darse otra interpretación equivalente al costo reducido de una solución nodeenerada. En las soluciones no deeneradas& el costo reducido de una variable dedecisión (cu,o valor óptimo actual es cero) es la ra!ón (por cantidad unitaria) a la cualse afecta el valor objetivo a medida que se fuer!a la variable (no bsica) +acia unasolución óptima.Considere a+ora una solución deenerada con una variable de decisión cu,ovalor óptimo es cero. El coeficiente de la variable en la función objetivo debe cambiar por lo menos& , posiblemente ms que& el costo reducido para que +a,a una soluciónóptima& apareciendo tal variable con un nivel positivo.
Costo Reducido: El
costo reducido de una variable en el modelo de programación lineal es la cantidad en que debe cambiar el coefciente de esa variable en la unción objetivo para que en la solución óptima dicha variable tenga un valor positivo También se interpreta como el valor que disminuye la unción objetivo cuando esta variable cuyo valor óptimo es cero, es orzada a entrar en una unidad. omo en el ejemplo de las carteras, la solución óptima tiene valores de las variables positivas, entonces no es necesario realizar ning!n cambio en los coefcientes de las variables en la unción objetivo y por lo tanto el costo reducido de ambas variables es cero. "obre el an#lisis de sensibilidad se podr$a concluir que% &. a. 'l cambiar los coefcientes de la unción objetivo, ésta puede cambiar su pendiente. El cambio de la pendiente puede aectar a la solución óptima y al
valor óptimo. b. El cambio en el valor del lado derecho de una restricción equivale gr#fcamente a un desplazamiento paralelo de la restricción. Esto puede aectar tanto a la solución óptima como al valor óptimo. El eecto depender# de qué restricción se haya cambiado y en qué medida. c. Estrechar una restricción de desigualdad signifca hacerla m#s di$cil de satisacer. (ara una restricción ) esto signifca aumentar el lado derecho. (ara una restricción * signifca disminuirlo. d. +elajar una restricción de desigualdad, o bien crece el conjunto actible o posiblemente queda inalterado.. e. Estrechar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto actible posiblemente quede inalterado. . na restricción es redundante si al ser retirada no cambia la región actible. g. Es muy importante considerar que una restricción puede ser redundante para un conjunto dado, no lo sea cuando se cambian algunos datos. h. En cualquier modelo de programación lineal, para un conjunto fjo de datos, las restricciones inactivas pueden ser retiradas sin aectar la solución óptima. -a solución óptima depende por completo de las restricciones activas. i. 'l eliminar las restricciones la región actible queda inalterada o aumenta. j. -a adición de restricciones hace que la región actible quede inalterada o se reduzca. . -a adición de restricciones a un modelo o bien empeora el valor óptimo o lo deja inalterado. -a eliminación de restricciones o bien mejora el valor óptimo o lo deja inalterado. /. (roblema 0.1.2 3ado el siguiente problema de programación lineal% 4a5 066 70 8 966 7& sujeto a% / 70 8 & 7& ) :66 & 70 8 1 7& ) ;66 70 , 7& ) 6 3etermine% a. -a región actible. b. -a solución óptima y el valor óptimo. c. -os precios duales de las restricciones. d. -os costos reducidos de las variables. "olución% l. -a región actible se determina gr#fcamente. m. -a solución óptima es el vértice ' <70 = 6> 7& = &66?> el valor óptimo es 066 666. n. 3ado que la restricción / 70 8 & 7& ) :66 no es activa, su precio dual es cero. 3ado que la restricción & 70 8 1 7& ) ;66 s$ es activa, su precio dual es dierente de cero. Entonces, aumentamos el lado derecho de dicha restricción en una unidad, es decir% & 70 8 1 7& ) ;60 y calculamos el cambio que se produce en el valor óptimo dada la nueva solución. 7& 70 066 &66 /66 166 &66 /66 166 066 /70 8&7& =:66 &7 0 8 17 & = ;66 +egión actible 6 ' @ 7& 70 066 &66 /66 166 &66 /66 166 066 /70 8&7& =:66 &7 0 8 17 & = ;66 +egión actible 6 ' @ 7& 70 066 &66 /66 166 &66 /66 166 066 /70 8&7& =:66 &7 0 8 17& =;60+egión actible 6 'A @A 7& 70 066 &66 /66 166 &66 /66 166 066 /70 8&7& =:66 &7 0 8 17& =;60+egión actible 6 'A @A 1. -a nueva solución óptima es el vértice 'A <70 = 6> 7& = &66,&9? y el nuevo valor óptimo es 066 0&9. -a unción objetivo ha mejorado de 066 666 a 066 0&9. Esta mejora del valor óptimo, es decir, el precio dual de la restricción es 0&9. o. omo en la solución óptima, el valor de 7& es dierente de cero, su costo reducido es cero. omo en la solución óptima, el valor de 70 es cero, su costo reducido es dierente de cero. omo en la solución óptima 70 = 6, el coefciente de 70 en la unción objetivo debe cambiar
aumentar. -a pendiente de la unción objetivo debe cambiar hasta por lo menos igualar la pendiente de la segunda restricción y obtener soluciones óptimas alternativas, es decir, si 0 es el nuevo coefciente de 70 & 0 966 0 B=B , por lo tanto 0 = &96 El nuevo coefciente deber$a ser por lo menos &96 para que la solución de 70 sea dierente de cero. Entonces el aumento m$nimo del coefciente de 70 es &96 C 066 = 096, que es el precio dual de 7&. onceptos clave% 9. Dariable de decisión% son los valores sobre los cuales se va a tomar decisiones, es decir est#n bajo el control del decidor. unción objetivo% e5presión matem#tica que resume el objetivo a optimizar por el modelo +estricción% "on los requisitos que debe cumplir los valores de las variables. +egión actible% onjunto de soluciones que satisacen todas las restricciones de manera simult#nea. (untos e5tremos% -os puntos actibles de la solución que ocurren en los vértices de la región actible. "olución% cualquier conjunto de valores de las variables "olución actible% una solución que satisace todas las restricciones o limitantes. "olución óptima% una solución que cumpliendo con todas las restricciones, ma5imiza
:. Dariable de decisión% son los valores sobre los cuales se va a tomar decisiones, es decir est#n bajo el control del decidor. unción objetivo% e5presión matem#tica que resume el objetivo a optimizar por el modelo +estricción% "on los requisitos que debe cumplir los valores de las variables. +egión actible% onjunto de soluciones que satisacen todas las restricciones de manera simult#nea. (untos e5tremos% -os puntos actibles de la solución que ocurren en los vértices de la región actible. "olución% cualquier conjunto de valores de las variables "olución actible% una solución que satisace todas las restricciones o limitantes. "olución óptima% una solución que cumpliendo con todas las restricciones, ma5imiza
