Courbes et surfaces - Résumé Essaidi Ali 5 avril 2014
Courbes dans R2 ou R3 :
1
Soient d = 2 ou 3, k ∈ N∗ ∪ {∞} et on considère Rd muni de sa structure euclidienne usuelle.
1.1
Courbes paramétrées :
Soit γ ∶ I → Rd un arc paramétré de classe C k sur I. Définitions : Soit t0 ∈ I. Le point M0 = γ(t0 ) est dit : – Simple si Card {t ∈ I/γ(t) = M0 } = 1, double si Card {t ∈ I/γ(t) = M0 } = 2, triple si Card {t ∈ I/γ(t) = M0 } = 3 ou généralement multiple si Card {t ∈ I/γ(t) = M0 } ≥ 2. – Régulier si γ ′ (t0 ) ≠ 0. Sinon, stationnaire ou singulier. – Birégulier si k ≥ 2 et (γ ′ (t0 ), γ ′′ (t0 )) est libre. – L’arc γ est dit simple, régulier, birégulier ou fini si tous ses points sont simples, réguliers, biréguliers ou I est un segment. Remarque : En cas des courbes paramétrées en polaires. On a γ(θ) = O + ρ(θ)eρ donc γ ′ (θ) = ρ′ (θ)eρ + ρ(θ)eθ . Donc, γ ′ (θ) = 0 ⇒ ρ(θ) = 0. On déduit que tout point autre que l’origine est régullier. Proposition : Si t0 ∈ I, M0 = γ(t0 ) et p = min{p ≥ 1/γ (q) (t0 ) ≠ 0} alors γ admet la droite D(M0 , γ (p) (t0 )) comme tangente en M0 . Position relative de la courbe par rapport à sa tangente : On suppose que les dérivées successives de γ en t0 ne sont pas toute nulles. Soit p le plus petit entier non nul tel que γ (p) (t0 ) ≠ 0 et q le plus petit entier non nul, s’il existe, tel que (γ (p) (t0 ), γ (q) (t0 )) q p soit libre donc γ(t) = γ(t0 ) + (t−tp!0 ) (1 + o(t − t0 ))γ (p) (t0 ) + (t−tq!0 ) γ (q) (t0 ) + o((t − t0 )q ). p impair, q pair :
Cas p, q impairs :
Point ordinaire Cas p pair, q impair :
Point d’inflexion Cas p, q pairs :
Point de rebroussement de la première espèce Point de rebroussement de la deuxième espèce
1
CPGE Laayoune
Lissane Eddine
Essaidi Ali
Courbes cartésiennes de R2 :
1.2
Soit U un ouvert de R2 et f ∈ C 1 (U ). On considère la courbe cartésienne C d’équation f (x, y) = 0. Définition : Le point M0 (x0 , y0 ) ∈ C est dit critique ou stationnaire si gradf (x0 , y0 ) = ( ∂f (x0 , y0 ), ∂f (x0 , y0 )) = (0, 0). ∂x ∂y Sinon, on dit que M0 est régulier. La courbe C sera dite régulière si tous ses points sont réguliers. Proposition : On suppose que la courbe C ∶ f (x, y) = 0 est régulière et soit M0 (x0 , y0 ) ∈ C. Alors : – Le vecteur gradf (x0 , y0 ) est normal à la courbe C en M0 . (x0 , y0 ) + (y − y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = 0. – La courbe C admet une tangente en M0 d’équation (x − x0 ) ∂f ∂x ∂y
Longueur d’un arc paramétré de R2 :
1.3
Soit γ ∶ I → Rd un arc orienté régulier de classe C k . Définition : Soient t0 , t1 ∈ I avec t0 < t1 . On appelle longueur de l’arc γ entre t0 et t1 le nombre ∫ Remarques : – La longueur de l’arc γ(t) = (x(t), y(t)) entre t0 et t1 est L = ∫
t1
t0
√
t1 t0
∥γ ′ (t)∥dt.
x′2 (t) + y ′2 (t)dt.
– En cas d’une courbe paramétrée en coordonnées polaires, la longueur de l’arc entre θ0 et θ1 de l’arc f (θ) = O + ρ(θ)eρ θ1 √ est L = ∫ ρ′2 (θ) + ρ2 (θ)dθ. θ0 b√ – Pour la courbe y = f (x). La longueur de la courbe entre a et b est L = ∫ 1 + f ′2 (x)dx. a
1.4
Repère de Frenet associé à un arc paramétré dans le plan euclidien orienté R2 :
Soit l’espace euclidien orienté R2 muni d’un repère orthonormé direct (O, i, j) et et γ ∶ I → R3 un arc paramétré régulier. ′ (t) Définition : Soit t ∈ I. On appelle vecteur unitaire de la tangente orientée de γ en t le vecteur T (t) = ∥γγ ′ (t)∥ . Expressions de T : ix′ (t) + jy ′ (t) . Arc paramétré en coordonnées cartésiennes γ = (x, y) : ∀t ∈ I, T (t) = √ x′2 (t) + y ′2 (t) i + jf ′ (x) Arc y = f (x) (x ∈ I) : ∀x ∈ I, T (x) = √ . 1 + f ′2 (x) ρ′ (θ)eρ + ρ(θ)eθ Arc paramétré en coordonnées polaires γ(θ) = O + ρ(θ)eρ (θ ∈ I) : ∀θ ∈ I, T (θ) = √ . ρ′2 (θ) + ρ2 (θ) Définition : Soit t ∈ I. On appelle repère de Frenet le repère (M (t), T (t), N (t)) où N (t) est le vecteur tel que le répère soit orthonormé directe. Proposition : Soit t ∈ I. det(γ ′ (t), γ ′′ (t)) La courbure algébrique de γ en M (t) est c(t) = . ∥γ ′ (t)∥3 1 Si c(t) ≠ 0 alors le rayon de courbure algébrique de γ en M (t) est R(t) = c(t) . Calcul du rayon de courbure : 3 (x′2 (t) + y ′2 (t)) 2 Arcs paramétrés en coordonnées cartésiennes : Si γ(t) = (x(t), y(t)). Alors : ∀t ∈ I, R(t) = ′ . x (t)y ′′ (t) − x′′ (t)y ′ (t) 3 (1 + y ′2 (x)) 2 Cas de l’arc y = f (x) : R(x) = . y ′′ (x) 3 (ρ′2 (θ) + ρ2 (θ)) 2 Arcs paramétrés en coordonnées polaires : Si avec γ(t) = O + ρ(θ)eρ . Alors : ∀θ ∈ I, R(θ) = 2 . ρ (θ) + 2ρ′2 (θ) − ρ(θ)ρ′′ (θ)
1.5
Repère de Frenet associé à une courbe paramétrée dans l’espace euclidien orienté R3 :
Soit l’espace euclidien orienté R3 muni d’un repère orthonormé direct (O, i, j, k) et γ ∶ I → R3 un arc paramétré birégulier. Définition : Soit t ∈ I. On appelle : γ ′ (t) Le vecteur unitaire de la tangente orientée de γ en t le vecteur T (t) = ′ . ∥γ (t)∥ ′ γ (t) ∧ γ ′′ (t) Le vecteur unitaire de la normale principale de γ en t le vecteur N (t) = ′ . ∥γ (t) ∧ γ ′′ (t)∥ Le vecteur unitaire binormal de γ en t le vecteur B(t) = T (t) ∧ N (t). Le repère de Frenet de γ en t le repère (M (t), T (t), N (t), B(t)). www.mathlaayoune.webs.com
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CPGE Laayoune
Lissane Eddine
Essaidi Ali
Le plan osculateur le plan P(M (t), T (t), N (t)). Le plan rectifiant le plan P(M (s), T (t), B(t)). Le plan normal le plan P(M (t), N (t), B(t)).
∥γ ′ (t) ∧ γ ′′ (t)∥ . ∥γ ′ (t)∥3 1 Si c(t) ≠ 0 le rayon de courbure de γ est R(t) = c(t) . Proposition : ∀t ∈ I la courbure de γ en t est c(t) =
Proposition : La torsion de γ en t ∈ I est τ (t) =
det(γ ′ (t), γ ′′ (t), γ (3) (t)) . ∥γ ′ (t) ∧ γ ′′ (t)∥2
Surfaces paramétrées dans R3 :
2
L’espace affine orienté R3 est muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k).
2.1
Nappes paramétrées :
Définition : On appelle nappe paramétrée de classe C k tout couple (U, f ) où U est un ouvert non vide de R2 et f ∶ U → R3 de classe C k sur U . f (U ) s’appelle le support de la nappe paramétrée (U, f ). Définition : Soit (U, f ) une nappe paramétrée. (u0 , v0 ) ∈ U et M0 = f (u0 , v0 ). M0 est dit : – simple, double, triple ou multiple si Card{(u, v) ∈ U, f (u, v) = M0 } = 1, Card{(u, v) ∈ U, f (u, v) = M0 } = 2, Card{(u, v) ∈ U, f (u, v) = M0 } = 3 ou Card{(u, v) ∈ U, f (u, v) = M0 } ≥ 2. ∂f (u0 , v0 ), ∂f (u0 , v0 )) est libre. – régulier si ( ∂u ∂v ∂f – stationnaire si ( ∂u (u0 , v0 ), ∂f (u0 , v0 )) lié. ∂v (U, f ) est dit : – simple si tous ses points sont simples. – régulier si tous ses points sont réguliers. Définition : Soit (u0 , v0 ) ∈ U . On suppose que M0 (u0 , v0 ) est un point régulier de la nappe (U, f ). ∂f Le plan T (M0 , ∂u (u0 , v0 ), ∂f (u0 , v0 )) s’appelle le plan tangent en M0 . ∂v ∂f Le vecteur ∂u (u0 , v0 ) ∧ ∂f (u , v0 ) s’appelle la normale en M0 . 0 ∂v
2.2
Nappe cartésienne :
⎧ x=x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Définition : On appelle nappe cartésienne toute nappe paramétrée en x et y : ⎨y = y où f ∈ C k (U ) et U un ouvert de ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩z = f (x, y) 2 R . On l’appelle aussi la surface d’équation z = f (x, y). Proposition : Soit M0 (x0 , y0 , z0 ) un point de la surface z = f (x, y). Alors la surface z = f (x, y) admet un plan tangent en M0 (x0 , y0 ) + (y − y0 ) ∂f (x0 , y0 ) − (z − z0 ) = 0. d’équation : (x − x0 ) ∂f ∂x ∂y Proposition : S une surface d’équation z = f (x, y) avec U un ouvert de R2 et f ∈ C k (U ) (k ≥ 2) et M0 (x0 , y0 ) ∈ S. 2 2 ∂2f On pose r = ∂∂xf2 (x0 , y0 ), s = ∂x∂y (x0 , y0 ) et t = ∂∂yf2 (x0 , y0 ). – Si rt − s2 > 0 alors la surface S est en ballon en M0 . On dit que M0 est un point elliptique. – Si r > 0 alors la surface est au dessus de sa tangente en M0 . – Si r < 0 alors la surface est au dessous de sa tangente en M0 . – Si rt − s2 < 0 alors la tangente à S en M0 traverse S. On dit que M0 est un point hyperbolique ou point col.
2.3
Surfaces cartésiennes :
Soit U un ouvert de R3 et f ∈ C k (U, R). On considère surface S d’équation cartésienne f (x, y, z) = 0. Définition : Soit M (x0 , y0 , z0 ) ∈ S. Le point M0 est dit régulier si gradf (x0 , y0 , z0 ) ≠ (0, 0, 0). Sinon, M0 est dit stationnaire ou critique. La surface cartésienne S sera dite régulière si tous ses points sont réguliers. Proposition : Soit S ∶ f (x, y, z) = 0 une surface cartésienne régulière et M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S. Le vecteur gradf (x0 , y0 , z0 ) est normal à S en M0 . Le plan d’équation (x − x0 ) ∂f (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 ) ∂f (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 ) ∂f (x0 , y0 , z0 ) = 0 est tangent à S en M0 . ∂x ∂y ∂z
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