Cours-Electrotechnique-Fondamentale-1.pdf

Tarik BOUCHALA Maître de Conférences

UNIVERSITE DE OUARGLA

Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Electrique

Electrotechnique Fondamentale (I)

Série "Documents pédagogiques et dida didactiqu ctiques" es"

Comité de lecture

Année Universitaire 2014/2015

Mr. Mr.

Maître de Conférences, Maître de Conférences

Document pédagogique élaboré dans le cadre des dispositifs du décret exécutif n° 90-365 du 10/11/1990 relatif à l'élaboration des supports pédagogiques et didactiques



2015

Avant-propos

Ce

fascicule

pédagogique

met

à

la

disposition

des

étudiants

électrotechniciens un cours sur les notions fondamentales de l'électrotechnique visant à les préparer pour entamer les différentes spécialités de cette vaste discipline. Pour mieux accompagner les étudiants pour se familiariser avec l'utilisation l'utili sation des des logiciels, logiciels, les plus rencont rencontrés rés en électrotec électrotechnique hnique tel que Matlab, Matlab, Psim et et Multisim, Multisim, des exerc exercices ices et des des applica applications tions sont prése présentées ntées à la fin de de chaque section. Pour rappeler, rappeler, l'électrotechnique l'électrotechnique fondamentale fondamentale (I) (I) aborde trois trois chapitres. chap itres. On a commen commencé cé par par un rappel rappel math mathématiq ématique ue sur les les nombres nombres complexes qui sont très appropriés pour l'étude et la simplification des circuits électriques notamment en régime harmonique. Ensuite, les lois fondamentales de l'él l' élec ectr trot otec echn hniq ique ue on ontt ét étéé pré prése sent ntée éess da dans ns le less tro trois is ré régi gime mes: s: co cont ntin inu, u, harmon har monique ique et tran transito sitoire ire.. Enf Enfin, in, étant étant donn donnéé la vas vaste te utilisa utilisation tion du du régime régime alternatif triphasé en électrotechnique (production, transport et consommation de l'énergie électrique), une attention particulière est réservée à ce régime.

Ce fascicule fascicule est est destiné destiné aux étudiants étudiants de la deuxiè deuxième me année année sciences sciences et techni tec hnique quess (ST) et d‛autr d‛autres es fil filièr ières. es. Le contenu de ce polycopié est conforme au programme du module électr éle ctrote otechn chnique ique fon fondam dament entale ale rec recomm ommand andéé et étab établit lit par le minis ministèr tèree de l'enseignem l'ense ignement ent supérieur supérieur et et de la reche recherche rche scienti scientifique fique (MESRS (MESRS)) pour l'année l'année 2014/2015.

J‛espère que ce travail sera utile et bénéfique à tous ceux qui ont à apprendre, à enseigner l'électrotechnique fondamentale.

Sommaire

Sommaire

………..…....................................... ............................................ ............................................ .............................. ........ 1 Introduction Générale………..….................

Chapitre Un Rappel Mathématique sur les Nombres Complexes

1. Introduction…………………………………………............................... Introduction…………………………………………..................................................... ............................. ....... 3 2. Définitions et premières propriétés………………………………………..………………..3 2.1. Le nombre i ………………………………………..………………............. ………………………………………..……………….............................3 ................3 2.2. L’ensemble des nombres complexes……………………..………..………………..3 2.3. Partie réelle et partie imaginaire imaginaire d’un nombre complexe complexe……………………....…………..3 2.4. Propriété Pro priété ………………………………………..…............... ………………………………………..…................................……………..3 .................……………..3 3. Représentation graphique d’un nombre complexe …..……………..……….……………... 3 3.1. Rappel……………………………………....................... Rappel……………………………………....................................…..………………..3 .............…..………………..3 3.2. Affixe d’un nombre complexe………………………………………..………………......4 4. Opérations dans .…..….…………………................................... .…..….…………………............. .................................……….………..5 ...........……….………..5 4.1. Définitions.…..….………………….......................... Définitions.…..….…………………..............................................………. ....................……….……….......5 ……….......5 4.2. Propriétés .…..….…………………............. .…..….…………………................................... .................................……….……….......5 ...........……….……….......5 4.3. Opposé d’un nombre complexe - soustracti soustraction on de deux complexes.…..……. complexes.…..…….……….. ………...5 .5 4.4. Inverse et division d’un nombre complexe .…..….…………………....………...........5 4.5. Conjugué d’un nombre complexe .…..….………………….........................................5 4.6. Interprétations graphiques de certains résultats.…..….….............................................6 5. Forme exponentielle…...………………………………………….………..…….…..….…..7 6. Formule de Moivre…………….………………………….……….…………………...…....8 7. Formule d’Euler……………………………………………………………………....……..8 8. Manipula Manipulation tion des nombres complexes sous Matlab…… Matlab…………………… ……………………... ……...……..… ……..……...8 …...8 8.1. Exercice Exerci ce corrigé corri gé 1 ....….…………………............... ....….…………………..................................... ............................................ ...............................8 .........8 8.2. Exercice corrigé 2 …...................... …............................................ .........................….…................. ...….…....................................... ............................9 ......9 9. Conclusion…………………………………………….…………………...……..…..……..9

Chapitre Deux Lois Fondamentales de l’Electricité en Régime Continu, Harmonique et Transitoire

1. Intro Introduction…… duction………………… …………………………… …………………………… …………………………… ……………………... ……...……….. ……….... 10 2. Régime continu……………………………………………..…………………………...... 10 2.1. Dipôle résistif……………………………………………………………………..….10 2.2. Dipôle capacitif ……………………………………………….……………………..13 2.3. Dipôle inductif …………………………………………………….……..……..…...14 Som. 1

Sommaire

2.4. Exercices …………………………………………………..……..…..........................15 2.4.1. Exercice corrigé…………………………………………………........................15 2.4.2. Exercice…………………………………………………..…....…......................16

3. Régime harmonique ………………………………………………………………….…...16 ………………………………………………………………….…...16 3.1. Caractérisation d'un signal périodique……………………………...………….....….16 3.1.1. Fréquence d’un phénomène périodique…………………….………….....…....16 3.1.2 Tension maximale et tension minimale……………………………...….....…....17 minimale……………………………...….....…....17 3.1.3 Tension instantanée……………………………...…….....................…….....… instantanée……………………………...…….....................…….....….17 .17 3.1.4 Valeur moyenne…………………………….......................... moyenne…………………………….............................………….....….18 ...………….....….18 3.1.5 Valeur efficace……………………………...………….....….................. efficace……………………………...………….....….............................18 ...........18 3.1.6 Exercice corrigé....................................................................... corrigé................................................................................................................1 .........................................18 8

3.2. Représentation Représentation d'un signal sinusoïdal sinusoïdal …………… …………………………… …………………………… ……………..... ........ ... 20 3.2.1. Représentation cartésienne………………………………….........………........ 20 3.2.2. Représentation vectorielle………………………………………….................. 22 3.2.3. Exercice corrigé…………………………………………............... ………………………………………….................................... ..................... 23 3.3. Etude des dipôles R-L-C ………………………………………………..……….… 25 3.3.1. La La résistance R………………………………………………..…….......….… 25 3.3.2. Le condensateur C………………………………………………....……….…. 26 3.3.3. L’inductance L………………………………………………..………........… 28 3.4. Etude des puissances consommées consommées ……………… …………………………… …………………………. ……………..….…. .….…. 29 3.4.1. Puissance active………………………….....................………………..… active………………………….....................………………..….…. .…. 29 3.4.2. Puissance réactive…………………………………………..….…................... 30 3.4.3. Puissance apparente…………………………………………..….…................ 30 3.4.4. Facteur de puissance…………………………………………..….…............... 30 3.4.5. Le théorème de Boucherot…………………………………………..…........... 31 3.4.6. Exercice corrigé ………………………………............... ………………………………..................…………..…........... ...…………..…........... 31 31 4. Régime transitoire transitoire ……………… …………………………… …………………………. …………….……………… …………………………. …………..… .… 32 4.1. Régime permanent ……………………………………………………………....…. 32 4.2. Régime transitoire …………………………………………………..…………....… 32

4.3. Circuit électrique de premier ordre ………………………….………………..…..... 33 4.4. Exemples de circuit du premier ordre …………………………………………..…... 34 4.5. Méthode Méthode de de résolution résolution d’une d’une équation équation différentielle différentielle du premier premier ordre ordre ….….. ….…..……... ……... 35 4.6. Charge d’un condensateur sous une tension constante à travers une résistance…..… 36 4.6.1. Equation différentielle du circuit…...............................................................… 36 4.6.2. Solution de l’équation différentielle…...........................................................… différentielle…...........................................................… 37 4.6.3. Représentati Représentation…................................................................................. on…............................................................................................… ...........… 38 4.6.4. Exercice corrigé…...................... corrigé…............................................................. .................................................................... .........................................… ............… 39

4.7. Etablissement du courant dans une bobine. …………………….………………....... 40 4.7.1. Mise en équation…………………….………….................................……...... 41 4.7.2. Résolution…………………….………….................................……................ 41

5. Logiciel de simulation des circuits électriques……….………......……………….......….. 41 6. Conclusion………………………………………………………..…………………..…....41

Som. 2

Sommaire

Chapitre Trois Circuits et Puissance Electrique en Régime Alternatif Triphasé

1. Introduction……………………………………………………………..……...……...….. 43 2. Etude des tensions simples…………………………………………………………..….… 43 2.1 Observation à l’oscilloscope………………………………….........…………..….… 43 2.2 Equations horaires…………………………………………………….....……..….… 44 2.3 Vecteurs de Fresnel associés………………………………………………................ 44 3. Etude des tensions composées……………………… composées……………………………………… …………………………… ………………….… …….… 44 3.1 Définition…………………………………………………………....................….… 44 3.2 Vecteurs de Fresnel associés…………………………….................…………..….… 44 3.3 Equations horaires et oscillogrammes……………………………..………………… 45 4. Relation entre U et V………………………………… V………………………………………………… …………………………… …………………… ……… 45 5. Exercice corrigé…………………………………………………………………….......… 45 6. Récepteurs triphasés équilibrés…………………………………………………………… 47 6.1 Définitions…………………………………………………………................ Définitio ns…………………………………………………………........................… ........… 47 6.2 Théorème Théorème de Boucherot (rappel) (rappel) …………… …………………………… ……………………….. ……….....…… ...…………... ……... 47 7. Couplage étoile………………………………………………………………..…………... 47 7.1 Montage……………………………………….....…..........................…..…………... 47 7.2 Relations entre les courants……………………………………….....……..…………... 48 7.3 Puissances………………… Puissances……………………………………….....……..…………................ …………………….....……..…………......................... ......... 48 7.4 Pertes par effet Joule……………………………………….....……..…………......... Joule……………………………………….....……..…………......... 48

8. Couplage triangle…………………………………………………………….…...………. 49 8.1 Montage……………………………………….....……..…………............. Montage……………………………………….....……..…………............................ ............... 49 8.2 Relations entre les courants………………………..........…………............................ courants………………………..........…………............................ 49 8.3 Exercice corrigé ………………………..........…………............................................ 50 8.4 Pui Puissa ssances nces……………………….....……..…………....... ……………………….....……..…………............................. ............................................ ...................... 51 8.5 Pertes par par effet effet Joule…………………................. …………………....................….................. ...…........................................ ................................. ........... 51 8.6 Remarques…………………....................….... Remarques…………………....................….......................... ............................................ ...................................... ................ 52 9. Mesure de puissance…………………………………………………………….…..……. 52 9.1. Mesure en triphasé lorsque le fil neutre est accessible (ligne à quatre fils) ……..…..……. 52 9.2. Mesure de puissance active et réactive d’un montage quelconque (méthode générale) ...…. 53 10. Relèvement du facteur de puissance en triphasé…………..………………………….…. 54 10.1 Couplage des condensateurs en triangle…………………..………………….…..... 54 10.2 Couplage des condensateurs en étoile…………………………..…………..........… 55 11. Exercices corrigés…………………………..………….............. …………………………..………….................................... .....................................… ...............… 55 11.1. Exercice 1…………………………..…………............. …………………………..…………................................... ............................................ .........................… ...… 55 11.2. Exercice 2…………………………..…………............. …………………………..…………................................... ............................................ .........................… ...… 55 12. Cas d'un système triphasé déséquilibré……………………… déséquilibré…………………………………… ………………………. …………..… .… 56 12.1. Récepteurs couplés en étoile avec neutre………………………………..............… 56 12.2. Récepteurs Récepteurs couplés en étoile sans neutre…………………………… neutre…………………………………….. ………......… ....… 57 12.3. Récepteurs Récepteurs couplés en triangle……………………………………......................… 57 13. Conclusion…………………………………………………………………..………...… 58 Conclusio Conc lusion n géné générale rale ……….. ………..…..…… …..…………………… …………………………… …………………………… ………………….….. ….…..... ... 59 Références bibliographiques …..…..……………………………………...……..….…..... …..…..……………………………………...……..….…....... 60

Som. 3

Introduction Générale

INTRODUCTION GENERALE

L’électrotechnique est une discipline qui est consacrée à la production, la gestion, le transport et la cons consom omma mati tion on de l’én l’énerg ergie ie élect électriq rique ue [1]. [1]. II est est encore encore fr fréqu équent ent que l'on l'on oppo oppose se l'électrotechnique à l'électronique, en restreignant le premier terme au domaine touchant à la technique de l'énergie électrique (appelée parfois technique des courants forts) et en associant le second à la technique de l'information électrique (appelée, par contraste, technique des courants faibles) [2]. L’énergie électrique est produite, transportée et consommée sous forme de signaux électriques (courant, tension, f.e.m). D’autre part, ces fonctions sont assurées par un ensemble de machines et d’apparei d’appareillage llage : générateu générateurs rs électriques, transformateurs transformateurs électriques, électriques, moteurs électriques, etc, [3]. A cet ensemble de machines statiques et tournantes, on associe à l’électrotechnique l’électr otechnique indispensablem indispensablement ent les appareils de commande et protection ; ainsi que les convertisseurs de l’électronique de puissance. En effet, le fonctionnement des machines et les appareils électriques cités précédemment est lié primordialement à la nature des signaux électriques produits, transmis et consommés. D’où la nécessité d’aider les étudiants étudiants électrotechnici électrotechniciens ens à acquérir l’ensemble l’ensemble les notions théoriques et pratiques attachées aux signaux électriques (régime continu, harmonique et transitoire) avant d’entamer l’étude des machines électriques statiques et tournantes. Ces connaissances fondamentale I . fondamentales fondamen tales feront l’objet l’objet du contenu du module Electrotechnique fondamentale Le module électrotec électrotechnique hnique fondamental fondamental (I) est composé de de trois chapitres chapitres : 





Rappel mathématique sur les nombres complexes complexes : L’utilisation L’utili sation des grandeurs complexes complexes dans la résolutio résolution n du système d'équations d'équations en régime sinusoïdall établi (le plus rencontré sinusoïda rencontré en électrotechnique) électrotechnique) permet de remplacer remplacer un système d'équations différentielles linéaires par un système équivalent complexe qui, malgré leur nom, sont beaucoup plus faciles à traiter. Ainsi, on peut caractériser caractériser le comportement comportement d’un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe que l’on appelle ‘‘impédance ‘‘impéda nce complexe’’, complexe’’, [1]. Nous rappelons rappelons que le logiciel Matlab est très adapté pour la manipulation des nombres complexes, calcul matriciel et simulation numérique. Donc, il nécessite une attention attention particulière de la part des étudiants électrot électrotechniciens echniciens.. Lois fondamentales de l’électricité en régime continu, continu, harmonique et transitoire : Dans ce chapitre, chapitre, nous aborderons aborderons la caractérisa caractérisation tion des signaux signaux électriques électriques ainsi que les lois qui régissent le comportement des circuits électriques linéaires comprenant des dipôles passifs comme les l es résistances, inductances in ductances et capacités ca pacités dans les trois t rois régimes. D’autre part, un aperçu sera donné sur les les appareils de mesure et de visualisation permettant de déterminer les caractéristiques caractéristiques des différentes différentes grandeurs électriques électriques (courant, tension, tension, puissance). Ce chapitre est est aussi réservé à des exercices exercices avec et sans solution qui sont destinés destinés aux étudiants pour s'entraîner d'une part avec les calculs et d'autre part avec l'utilisation du logiciel Psim qui est un outil simple et efficace pour la simulation des circuits électriques. Circuits et puissances électriques électriques en triphasé : Nous rappellerons que les lois caractéristiques du régime alternatif sinusoïdal ne sont pas tous valables pour le cas des régimes polyphasés, d’où la nécessité d’étudier, séparément, le régime triphasé car il est le plus utilisé dans la production, le transport et l’exploitation de l’électricité: générateurs triphasées, transformateurs triphasés, machines asynchrones triphasées. triphasée s. Dans cette cette partie, nous nous donnerons donnerons les caractérist caractéristiques iques essentielles essentielles des réseaux réseaux

Université KASDI Merbah Ouargla-

S3 - 2 ème ST – Cours : Electrotechnique Electrotechnique Fondamentale (I)

Dr. Tarik . BOUCHALA BOUCHALA

1

Introduction Générale

triphasés dans les deux cas équilibré équilibré et déséquilibré. Ensuite, Ensuite, les méthodes permetta permettant nt de mesurer les différent différentes es puissances seront seront présentées tout en précisant précisant les avantages et les inconvénients inconvéni ents de chacune d’elles. Pour Pour remédier à la solution classique classique de réduction des pertes sans affecter la puissance active demandée, nous exposerons la technique de l’amélioration l’améli oration du facteur facteur de puissance en utilisant utilisant les batteries de condensateurs, condensateurs, [4]. Parmi les objectif objectifss assignés par cette partie partie c'est d'aider d'aider les étudiant étudiant à travers travers quelques quelques exemples d'application à se familiariser avec l'utilisation du logiciel Multisim qui possède une bibliothèque très riche ri che en composants électronique élect ronique et en éléments électrotechniques. él ectrotechniques.




2

Chapitre 1

Rappel Mathématique sur les Nombres Complexes

CHAPITRE 1 Rappel Mathématiq Mathématique ue sur les Nombres Complexes Complexes 1. Introduction

En régime sinusoïda sinusoïdal, l, les les lois de maille maille exprimée expriméess par équations différent différentielles ielles dont la résolution résolution se com ompl pliiqu quee de faço çon n pr proh ohiibi bittiv ivee da dan ns le less cir irccui uitts co com mpor orttan antt plus d’ d’un un ou de deux ux ré réccep eptteu eurs rs.. Ains nsi, i, l'utilisation des grandeurs complexes dans la résolution du système d'équations en régime sinusoïdal établi permet de remplacer un système d'équations d'équations différentielles différentielles linéaires linéaires par un système équivalent comple com plexe xe qui qui,, malgr malgréé leur leur nom, nom, sont sont beau beaucou coup p plus plus facile faciless à trait traiter, er, [1] [1].. D' D'aut autre re part part,, on peut peut caractériser caractéri ser le comportement comportement d’un dipôle passif passif linéaire linéaire en régime régime sinusoïda sinusoïdall avec un nombre nombre complexe que l’on appelle ‘‘impédance complexe’’. 2. Définitions et premières propriétés 2.1. 2. 1. Le no nomb mbre re i

Danss l’ensembl Dan l’ensemblee des nomb nombres res complex complexes, es, il existe existe un élément élément i tel que i 2  1 . 2.2. L’ensemble

des nombres complexes

est l’ensemble des nombres z qui s’écrivent z  a  ib avec a et b réels. L’écriture de z sous la forme a  ib es estt uni unique que et s’ap s’appel pelle le "forme algébrique du nombre complexe z ". 2.3. Partie réelle et partie partie imaginaire d’un nombre nombre complexe

Dans la forme algébrique z  a  ib d’un nombre nombre compl complexe exe :



Le réel réel a est appe appelé lé "pa "parti rtiee réelle réelle de de z z "" et not notéé a  e z  .



Le réel réel b est appe appelé lé "par "partie tie ima imagina ginaire ire de z z "" et no noté té b  m z  .

2.4. Propriété

a  a , Pour z  a  ib et z  a  ib et si z   z   b  b, ,

,

,

,

Ce résultat est la conséquence immédiate de l’unicité de l’écriture algébrique d’un nombre complexe.



réel el pu purr si et seul z es z estt un ré seuleme ement nt si m z   0 .



z eest un imaginaire pur si et seule z seulemen mentt si e z   0 .

3. Représentation graphique d’un nombre complexe 3.1. Rappel A tout tout réel réel , on peut peut assoc associer ier un point point de de la droi droite te réell réellee et récip réciproqu roqueme ement. nt. La droi droite te réell réellee étant étant un

axe orienté, on pouvait comparer 2 réels et définir ainsi un ordre dans l’ensemble  . A tout tout nombre nombre complexe z  a  ib , on ass assoc ocie ie le le poi point nt M de coordonnées

a ; b

du plan rapporté au repère

orthonormé O; u ; v  ,[2]. 






3

Chapitre 1


Figure 1: Représentation graphique d'un nombre complexe

Réciproquement, à tout point M a ; b  on associe le complexe z  a  ib .

 

M est l’image de z z est l’affixe de M

3.2. Affixe d’un nombre complexe

Dans la Figure 1, le point M 3 ; 2 a pour affixe le nombre complexe z  3  2i .

 3  On a aussi w  OM et donc w   dans la base orthonormée u ; v   2  





On dit dit aussi aussi : ‘‘ le vecte vecteur ur w a pour affixe z  3  2i . ’’ La base u ; v  est orthonormée 





 a  w   est l’image de z  a  ib  b 



 a  z  a  ib est l’affixe de w   b 









Remarques On ne peut pas comparer 2 points dans le plan (il n’y a pas un point point plus grand grand ou plus petit petit qu’un qu’u n autre autre point point ! ) Il n’y a donc pas d’ordre dans l’ensemble des nombres complexes

On ne peut peut donc pas pas écrire écrire " z   z ' ’’ par exem exemple ple Le repère est noté O ; u ; v  est non pas O ; i ; j  comme d’habitude d’habitude pour pour ne pas confondre confondre le







vecteur i avec le nombre nombre complexe i . 

Remarque

Soit le point M d’affixe z ( on note M  z  ).



z est z est un réel réel si et et seulem seulement ent si M est sur l’axe O ; u  .



z est z est un imagin imaginaire aire pur pur si et seuleme seulement nt si M est sur l’axe O ; v  .





C’est pour cela que l’axe des abscisses O ; u  es estt appel appeléé ‘‘axe des réels ’’ et l’axe l’axe des ordonnées ordonnées 

O ; v  

est appe appelé lé ‘‘axe des imaginaires ’’.




4

Chapitre 1


4. Opérations dans 4.1. Définitions Si z  a  ib et z  a  ib sont deux deux comp complexe lexess et si k est un nombre nombre réel réel ,

,

,

Alor Al orss :

 z  z ,  a  a ,   i b  b,   k z  k a  i kb  zz ,  aa,  bb,  i ab,  ba, 4.2. Propriétés

On admettra admettra que que les propriété propriétéss des opérations + et  dans  sont encore vraies dans , à savoir :



Commutativi Commu tativité té :

z  z ,  z ,  z et zz ,  z , z



Associativité :

z  z ,  z ,,  z  z ,  z ,, et z z , z ,,  z z , z ,,



Dist Di stri ribu butiv tivité ité du du prod produi uitt

parr rapp pa rappor ortt à l’ l’ad addi ditio tion n +:

z z ,  z ,,  z z ,  z z , ,

4.3. Opposé Opposé d’un d’un nombre nombre complexe complexe - soustraction de deux complexes



Tout nombre complexe z  a  ib adm admet et un opposé opposé noté  z tel que z   z    z   z  0 . et on a  z   a  ib et



 

Soustraire un complexe c’est d’additionner son opposé. Donc: z  z ,  z   z , .

4.4. Inverse et division d’un nombre complexe a. Inverse

Tout nombre complexe non nul z nul z admet un inverse noté Si z  a  ib alors

1

z



a a b 2

2



b a  b2 2

1

z

tel que z 

1



1

z z

 z  1 .

i

Division Diviser par un complexe z non nul c’es c’estt multipli multiplier er par son son inverse inverse 1/ 1/ z z .. b.

4.5. Conjugué d’un nombre complexe Dans cette partie nous donnons la vision graphique et les propriétés du conjugué d'un nombre complexe, [3]. Définition Soit z  a  ib un nombre complexe. Le nombre complexe noté z  a  ib est appelé ‘‘conjugué’’ de z z .. b. Vision graphique Les points d'affixes z et z sont symétriques par rapport à l'axe des réels. a.




5

Chapitre 1


Figure 2: Représentation graphique du nombre

complexe et de son conjugué

Propriétés Si z  a  ib alors le nombre complexe noté z  a  ib est appelé le conjugué conjugué du nombre nombre z, [5] (où a et b sont des réels). c.



z z  a 2  b 2



z  z



z  z ,  z  z ,



z z ,  z z ,



 1  1    pour z  0  z  z



 z  z  , ,  z  z



z  z  2e  z  donc e z  



z  z  2im z 

donc

z  z 2

m z  

z  z 2i

Le complexe z  complexes, s, ne doit pas pas être confondu confondu avec une forme forme  i z , , avec z et z , complexe algébrique a  i b (où a et b sont des réels) En particulier z  i z ,  z  i z , ma mais is on a z  i z ,  z  iz , .



Si k es estt un ré réel el al alor orss k z  k z

4.6. Interprétations graphiques de certains résultats a. Opposé

Les point M et M , d’affixes respectives z et  z sont symétriques par rapport à l’origine du repère. Figure 3: Représentation graphique de l'opposé d'un nombre complexe b.

Somme

Si M  z  et M , z , avec z  a  ib et z ,  a,  ib, ,

  ,

Alors OM  z  et OM z

 ,   a  , a  Donc OM   et OM  b,   b    Université KASDI Merbah Ouargla-



6

Chapitre 1


Soit  le point tel que O  M  M

,

Figure 4: Représentation graphique de la somme

 a  a ,   donc O   z  z ,  et  z  On a alors O   z , b  b,    ,

Par construction, le point P d’affixe z   z , est tel que OM M est un parallélogramme. c. Différence

Si  z   et  z   avec z   a  ib et z   a '  ib ' Alors

a ; b  et  a ' ; b'  a '  a   donc Donc   b'  b     d'affixe z   z  . 5. Forme exponentielle Posons f(a)  cos a  i sin a

Figure 5: Représentation graphique de la différence

Et g(a)  - sin a  i cos a  i² sin a  i cos a  i ( cos a  i sin a)  if(a) D’après le cours sur l’exponentielle: f(a)  C e(ia) de plus f(0)  cos 0  i sin 0  1 donc Ce(i.0)  C  1 D’où f(a)  e (ia)  cos a  i sin a Appliquons cela à un nombre complexe z  a  ib z  r (cos   i sin ) = r e



cos   sin   2

(i )

avec

e (i  )  cos



 i sin 

 1  1

2

5.1. Opérations '

(   ' )



e(i ) e (i )  ei



e(i ) / e(i )  ei



(e(i ) ) ^ n  e(i n)



[e(i ) ]  1/ e (-i )



e(i .0)  1



e(i .  /2)  i



e(i  )  - 1



e(i . - /2)  - i

'

( -  ' )

6. Formule de Moivre Les fonctions trigonométriques, les exponentielles, les nombres complexes peuvent se mélanger harmonieusement. harmonie usement. Les formules formules à connaitre pour les applications applications en trigonométrie sont : la formule de Moivre et la formule formule d'Euler, d'Euler, [6]. La formule de Moivre Moivre donne la transformation transformation suivante: suivante:

(cos   i sin  ) ^ n  (e (i  ) ) ^ n

 e (i  .n)

 cos (n )  i sin (n )

7. Formule d’Euler Université KASDI Merbah Ouargla-



7

Chapitre 1


cos  ( e(i )  e(-i ) ) / 2

sin    ( e(i ) - e(-i ) ) / 2i 8. Manipulation des nombres complexes complexes sous sous Matlab Matlab est capable de manipuler manipuler des nombres complexes, complexes, [7]. Par exemple, exemple, 8.1 Exercice corrigé Soit z = 1 + 3i et w = 2   1) Trouver la partie partie réelle, réelle, la partie imaginaire imaginaire et le module de de z. 2) Tr Trouv ouver er la pha phase se de z. 3) Tr Trou ouve verr z + w, zw zw,, z/ z/w w et et Z . Réponses

>> real(z)=1 >> imag(z)=3 >> abs(z)= >> phase(z)=1.2490 >> z=1+3*i >> w=2-i; >> z+w ans = 3.00 3.0000 00 + 2.0000i 2.0000i >> z*w ans = 5.00 5.0000 00 + 5.0000i 5.0000i >> z/w ans = -0. -0.2000 2000 + 1.4000 1.4000ii >> z’ anss = 1. an 1.000 0000 0 - 3. 3.000 0000i 0i Université KASDI Merbah Ouargla-



8

Chapitre 1


>> % le ’ donne le conjugué complexe Nous pouvons également égalemen t trouver le module de z et l’argument l’a rgument de ce nombre. >> norm(z) anss = 3. an 3.162 1623 3 >>angle(z) anss = 1. an 1.249 2490 0 8.2 Exer Exercice cice corrig corrigéé Voici deux vecteur A et B de même taille contenant les nombres complexes. A=[1-2i 3+4i 6-2i 1+10i 2i 3+3i]; B=[1-2i 3+i 5-21i 2-4i 2i 1+i]; 1) Tracer sous Matlab les partie réelles réelles de A en fonction de celles de B en utilisant la fonction 'plot'. 'plot'. Réponses

9. Conclusion Après avoir donné un rappel mathématique sur les nombres complexes et leur manipulation sous Matlab, nous entamons l'étude l'étude des circuits électriques électriques en régime continu, continu, transitoire et harmonique. harmonique. Car l'écriture complexe, basée sur la formule de Moivre et d'Euler, des grandeurs électriques facilitera considérablement l'étude et la représentation des circuits électriques en régime harmonique qui est très intéressant en électrotechnique.




9

Chapitre 2

Loi s Fondamentales de l’Electricit é en en Régime Continu, Harmoni que et Transitoire

CHAPITRE 2 Lois Fondamentales de l’Electricité en Régime Continu, Harmonique et Transitoire

1. Introduction régi gime me pe perm rman anen entt co cont ntin inu u dès lors que les grandeurs électriques (courants et On parle de ré tens te nsio ions ns)) d’ d’un un ci circ rcui uitt so sont nt in indé dépe pend ndan ante tess du te temp mps. s. Da Dans ns ce ré régi gime me pa part rtic icul ulie ier, r, les in indu duct ctan ance cess représentent représent ent des interrupteurs interrupteurs fermés et les condensateurs condensateurs des interru interrupteurs pteurs ouverts. ouverts. En contin continuu les résistances sont donc les seuls récepteurs linéaires. En effet, les seules lois à faire intervenir pour l'analyse de tels circuits sont donc les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm. Notons enfin que l'étude d'un circuit en régime continu intervient dans de nombreuses situations pratiques, notamment dans le calcul de certains dispositifs électroniques et de mesure, [8]. Un circuit électrique est dit en régime permanent sinusoïdal lorsque les excitations extérieures (courants ou tensions) sont des fonctions sinusoïdales et n'engendrant dans le circuit que des courants et des tensions tensions de même forme. forme. Nous rappelons rappelons que la fonction fonction sinusoïdale sinusoïdale joue un rôle rôle de première importance importance en électricité. électricité. Cette Cette prédominance prédominance est liée pour une part au fait que la production industrielle d'énergie électrique résulte généralement d'une conversion mécanique électri éle ctrique que réal réalisée isée par la la mise mise en rota rotatio tionn d'un d'un bobina bobinage ge placé placé dans un cha champ mp d'ind d'induct uction ion magnétique, ou l'inverse. La tension induite obtenue aux bornes du bobinage est alors sinusoïdale. sinusoï dale. En effet, cette caractéristi caractéristique que permet d'assurer d'assurer une distribution distribution économique économique et efficace (utilisation de transformateurs) de cette énergie et en facilite l'exploitation. Enfin, les régimes transitoires so sont nt le less év évol olut utio ions ns pa part rtiicu culliè ière ress de dess gr gran ande deur urss él élec ectr triq ique uess qu quii appa ap para rais isse sent nt lo lors rs de dess mo modi difi fica cati tion onss br brut utal ales es de dess ca cara ract ctér éris isti tiqu ques es d’ d’un un ci circ rcui uitt él élec ectr triq ique ue.. En général, ils ne ne se produis produisent ent pas pas de façon répétée, répétée, sinon on parle de régime entrete entretenu nu périodi périodique. que. 2. Régime continu 2.1. Dipôle résist résistif if a. résistance

Un dipôle résistif est un dipôle passif. L'énergie qu'il absorbe est entièrement consommée par effet Joule, donc dissipée sous forme de chaleur, [4]. Un dipôle résistif est représenté par un rectangle.

Figure 6: Dipôle résistif


S3 - 2ème ST – Cours : Electrot Electrotechnique echnique Fondamentale (I)


10

Chapitre 2


Lorsqu’un dipôle résistif est traversé par un courant d’intensité I , une tension électrique U apparaît à ses bornes. En donnant plusieurs valeurs à l’intensité I nous constatons que la tension prend des valeurs proportionnelles à celles de l’intensité. Ce coefficient de proportionnalité est appelé la résistance de ce dipôle résistif, elle est notée R et s’exprime en ohms [] D'autre part, la résistance d’un fil conducteur dépend de la nature du conducteur et de ses dimensions, elle se calcule à partir de la relation R R





l

s



l s

La valeur de la résistance du conducteur en ohms [] La valeur de la résistivité du conducteur en ohms.Mètres  m La longueur du conducteur en mètres [m] La section du conducteur en mètres ² [m²] s

l Figure 7: Conducteur rectiligne

b. La loi d’Ohm

La représentation de la tension électrique U qui apparaît aux bornes d’un élément résistif traversé par un courant d’intensité I est donnée don née ci-après. U

 R La tension U s’exprime en fonction de l’intensité I du courant par la loi d’Ohm. U  R I

U La tension électrique aux bornes du dipôle résistif en volts [V] R La valeur de la résistance en ohms [] I L’intensité du courant électrique en ampères [A] Les sens de la tension U et du courant I sont impérativement respectées, dans le cas contraire, la loi d’Ohm s’exprime par la relation U  - R.I Pour simplifier les écritures, la valeur de la résistance R symbolise l’élément résistif.




11

Chapitre 2


c. Association d’éléments résistifs en série

Lorsque plusieurs dipôles résistifs sont disposés en série, ils sont traversés par un même courant. Ils peuvent être remplacés, pour rendre les calculs plus abordables par une résistance unique, appelée résistance résistance équivalente équivalente (Req).

I

A

B

R 2

R 1 A

R n

I

B R eq

La résistance résistance équivalent équivalentee se calcule calcule par la relati relation on suivant suivantee : n

Req

  Ri i 1

d. Association d’éléments résistifs en dérivation

Lorsque plusieurs dipôles résistifs sont disposés en parallèle, ils sont soumis à une même tension. Ils peuvent être remplacés, remplacés, pour rendre les calculs calculs plus abordables, abordables, par une résistance résistance unique appelée résistance équivalente. A

B

C

U

R 1

R n

R 2

D

A

C

U

R éq D

B

La résistance résistance équivalent équivalentee se calcule calcule par la relati relation on suivant suivantee : n 1 1  Req


i 1 Ri



12

Chapitre 2


2.2. Dipôle capacit capacitif if

Le conden condensate sateur ur est un compos composant ant élect électroni ronique que ou électri électrique que élé élément mentaire aire,, constitu constituéé de deux armatures armatur es conductrices conductrices (appelées « électro électrodes des ») en influence totale totale et séparées par un isolant polarisable (ou « diélectrique »). Sa propriété principale est de pouvoir stocker des charges électriques opposées sur ses armatures. La valeur absolue de ces charges est proportionnelle à la valeur absolue de la tension qui lui est appliquée. Le condensateur est caractérisé par le coefficient de proportionnalité entre charge et tension appelé capacité électrique et exprimée en farads (F) . La relation caractéristi caractéristique que d'un condensateur condensateur idéal est : i  C

du dt

l'intensité du courant courant qui traverse traverse le composant, composant, exprimée en ampères ampères (symbol (symbole: e:A i est l'intensité A) ; u est la la tension tension aux bornes bornes du composa composant, nt, exprimée exprimée en volts volts (symbol (symbolee : V ) ; la capacité capacité électri électrique que du condensateu condensateur, r, exprimée exprimée en farads farads (symbol (symbolee : F ) ; C est la

  

du



dt

est la dérivée dérivée de la tension par rapport rapport au temps.

Figure 8: Dipôle capacitif

a. Capacité en continu

En régime continu, continu, le courant traversa traversant nt la capacité est nul. En effet, le condensateur condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

b. Association Association des condensateurs condensateurs en série n

C eq

  C i i 1

c. Association Association des condensateurs condensateurs en parallèle parallèle

1 C eq



 1 C 1 n

i

i




13

Chapitre 2


2.3. Dipôle inductif

Une bobine (aussi appelée self ou self-inductance) est constituée en général d’un  ur enroulé en hélice, formant un solénoïde. Lorsque la bobine est parcourue par un courant, elle crée un champ magnétique induit, qui s’oppose au courant lui ayant donné naissance (loi de Lenz ). La bobine est caractérisée par son inductance L , dé             L s’exprimee en Henry, noté H . s’exprim 1H  1V·s·A -1 La tension aux bornes d’une bobine est reliée à l’intensité du courant par la relation suivante :

u(t)  Ldi/dt Sa représentation schématique est la suivante :

Figure 9: Dipôle inductif

a. Inductance en continu

En régime continu, la tension aux bornes de l'inductance est nulle. En effet, l'inductance se comporte comme un interrupteur fermé.

b. Association des inductances en série

En série, l'inductance équivalent est donnée par : n

Leq

  Li i 1




14

Chapitre 2


c. Association des inductances en parallèle

En parallèle, l'inductance équivalente est donnée par :

1 L eq



 1 L1 n

i

i

2.4. Exercices 2.4.1. Exercice corrigé

On donne les circuits électriques ci-dessous. Calculer la résistance équivalente de chaque circuit. 1. Quel Qu el est est le le rôle rôle des des appa apparei reils ls sui suiva vant nts: s: mot moteu eurr dies diesel el,, la gén généra ératr tric icee et le le redre redresse sseur ur 2. Calculer le courant I2. 3. Calculer la tension U1. 4. Calculer la tension U2 Redresseur commandé

Génératrice

Moteur Diesel

G

I

I

I

50 

U=10v

I'

50 

I'2

U1

I2

20 

5

20 

Circuit (1) U1

Réponses 1. le rôle des appareils:

5

U2

10 

10 

Circuit (2)

- le moteur diesel transforme l'énergie thermique de combustion en une énergie mécanique. - la génératrice génératrice transforme l'énergie l'énergie mécanique mécanique en une énergie électrique. électrique. - le redresseur convertit le signal alternatif triphasé en un signal continu. 2. Circuit (1)

On a le résistance équivalente R eq eq= (50+ I=U/R eq eq=0.185A. En utilisant utilisant le diviseur diviseur de courant, on aura : I2=(5/(20+5)).I=0.037A. Calcul de U1: U1=20. I2=0.74v.




15

Chapitre 2


Circuit (2):

Req=(50+(5//(10//10)). I'=U/Req. En utilisant le diviseur de courant, on aura: I'2=5. I'/(5+(20+(10//10))) U1=(20+(10//10)). I'2 En utilisant le diviseur de courant, on aura: U2=U1.(10//10)/(20+(10//10)). Exercice 2

On réalise le montage suivant :

K1, K2, K3, K4 sont des interrupteurs. L1 : lampe 15 W/24 V ; L2 : lampe 15 W/24 V L3 : lampe 24 W/24 V ; L4 : lam lampe pe 60 W/24 W/24 V

A est un ampèremètre de calibre 3 ampères, protégé par un fusible de 3,2 A à fusion rapide. 1) Quelle est l’indication de l’ampèremètre quand a) K1 est seul fermé ? b) K2 est seul fermé ? c) K3 est seul fermé ? d) K4 est seul fermé ? 2) Quelle est l’indication de l’ampèremètre quand on ferme K1, K2 et K3 en même temps ? 3) On ferme K3 et K4 (les autres interrupteurs sont ouverts) ; l’ampèremètre indique I = 0 A. a) Pourquoi l’intensité du courant dans le circuit est-elle nulle ? b) Quelles sont les lampes qui brillent ? c) Quel est le rôle du fusible ? 4) Quelles sont les modifications à apporter au circuit pour pouvoir allumer toutes les lampes en même temps (interrupteurs K1, K2, K3, K4 fermés) ? 4) D’après le schéma schéma ci-dessus, quel quel est le rôle du redresseur redresseur ? 3. Régime harmonique 3.1. Caractérisatio Caractérisation n d'un signal périodique périodique 3.1.1. Période d’un phénomène périodique

La période, notée T , d’un signal périodique est la plus petite durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même. Son unité dans le système d’unité international ( S.I.) est la la seconde notée s. Université KASDI Merbah Ouargla-



16

Chapitre 2


3.1.2. Fréquence d’un phénomène périodique

La fréquence, de symbole f , est le nombre de fois où un événement se reproduit en une seconde. Son unité dans le SI est le Hertz de symbole Hz . La fréquence correspond au nombre de périodes par seconde. Elle est liée à la période par la 1 relation relati on suivant suivantee : f  avec f en Hz et T en s . T

3.1.3 Tension maximale et tension minimale

Deux signaux périodiques de même période, donc de même fréquence ne sont pas nécessairement identiques. Une tension électrique périodique se caractérise aussi par ses valeurs maximales et minimales. La tension maximale U max désigne la valeur la plus élevée prise par u(t) au cours du temps. La tension minimale U min désigne la valeur la plus faible prise par u(t) au cours du temps. L’un L’ unit itéé de de U max et de U min da dans ns le S.I est le volt. 3.1.4 Tension instantanée

u (t)  Û cos (  t    Avec :  u (t) : valeur instantanée de la tension.  Û : valeur maxim maximale ale de la tensio tension, n, en volts.   : pulsat pulsation ion de la tension tension,, en radians par secondes.   : phase de la tensio tensionn à l'inst l'instant ant initi initial, al, en radians radians..   t   : phase de la tension à l'instant t, en radians. Relations importantes :     f . Avec f : fréquence du signal en Hertz. Hertz.  T  1 avec T : période du signal en secondes. f

Un signal électr électrique ique peut peut être être visualis visualiséé par un oscill oscilloscope oscope (Figure (Figure 10). Branchement et réglage u(V)

Û

Ecran -/2

/2

0





3  /2 t ( rad )



PERIODE :

Figure 10: Visualisation d'un signal électrique sur Université KASDI Merbah Ouargla-


l'oscilloscope


17

Chapitre 2


3.1.5 Valeur moyenne

La valeur moyenne u moy , d’une grandeur périodique quelconque u (t ) , se calcu calcule le à par partir tir de de la relat rel atio ionn : 1 u moy   u(t) dt T (T)

N B : La valeur moyenne d'un signal alternatif sinusoïdal sinus oïdal est nulle. Considérations pratiques, [9] : une valeur moyenne est mesurée avec un appareil magnétoélectrique (symbole

) ou numérique en position continue (symbole =).

3.1.6 Valeur efficace

La valeur efficace ueff , d'une grandeur périodique u (t ) se calcule à partir de la relation : u eff

 U 

1

u ( t ) 2 dt  T ( ) T

La valeur efficace d'une tension, u (t ) , sinusoïdale et seulement dans ce cas, se déduit de la relation : ˆ U  U  2 Considération Considé rationss pratiq pratiques ues : un unee va vale leur ur eff effic icace ace est me mesur surée ée ave avecc un ap appar parei eill fer ferrom romag agnét nétiq ique ue

(symbo (sym bole le ), ma magn gnét étoé oéle lect ctri riqu quee à re redr dres esse seur ur (s (sym ymbo bole le ), à th ther ermo moco coup uple le (s (sym ymbo bole le numérique RMS (Root Mean Square), en position AC  DC .

Ampèremètre analogique

Voltmètre analogique

) ou

Multimètre Mult imètre numér numérique ique

3.1.7 Exercice corrigé

Une résistance R = 15       ées en série et alimentées par une génératrice basse fréquence fournissant une tension sinusoïdale U.




18

Chapitre 2


L’observation à l’oscillosco L’observation l’oscilloscope pe des tensions U et Ur donne les relevés relevés montrés sur la figure figure suiva sui vant ntee :

Voie 1 : U Voie Voie Vo ie 2 : Ur

1div=1 carreau

1) A partir des oscillogrammes, Déterminer :  La période T, en déduire la fréquence f et la pulsation W des signaux.  Les valeurs maximales des tensions et en déduire les valeurs efficaces U et Ur ;  Le déphasage déphasage en degré de Ur par rapport à U ; Réponses

1 div 1ms 10 div T Donc, on aura : T=10ms f= 1/T 1/T= = 1/( 1/(10 10-2)=100Hz W=2f=628rd/s. 1 div 5v 2 div Umax Donc, on aura: Umax=10v 1 div 2v 4 div Ur max max Université KASDI Merbah Ouargla-



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Chapitre 2


Donc, on aura: Ur max max=8v Dans le cas du régime alternatif sinusoïdal, la valeur efficace est liée à la valeur maximale par le U Ur U 8 relation: U eff  max . En effet, on aura: Ur eff  max et U eff  max . Donc: Ur eff  v et 2 2 2 2 10 v. U eff  2 D'après l'oscillogramme, on a: 10 di divv 1 div

2

        3.2. Représe Représentati ntation on d'un signal sinusoïdal sinusoïdal 3.2.1. Représen Représentatio tation n cartésienne cartésienne

La représentation cartésienne utilise des fonctions sinusoïdales du temps. Les deux grandeurs suivantes sont définies ainsi: 

ˆ cos t   u  ut   U



vt   V ˆ cos t   v 

Elles sont représentées en concordance des temps ci après.

Figure 11: Représentation cartésienne de grandeurs sinusoïdales

Les deux grandeurs u (t) et v (t) ne coupent pas l’axe des abscisses au même instant. Elles sont décalées dans le temps. Ce décalage horaire noté  possède toujours la même valeur, les grandeurs u (t) et v (t) n’ont pas la même phase à l’instant initial. Elles sont déphasées.




20

Chapitre 2


a. Situation d’une courbe par rapport à l’autre

Pour savoir comment comment se situe une grandeur grandeur par rapport rapport à l’autre :  Repérer les deux courbes lorsqu’elles sont croissantes.  Se promener sur l’axe des temps, dans le sens croissant de O à l’infini.  La première courbe rencontrée est en avance sur la seconde d’un angle . b. Calcul de l’angle de déphasage

L’angle de déphasage noté  permet de savoir de quel angle sont décalées les deux grandeurs u (t) et vt  , il correspond à la différence entre les phases initiales  u et  v ; et se définit ainsi: 



  u   v

 u  v

L’angle de déphasage entre u (t) et v (t) en radians [rad] La phase de u (t) à l'instant initial en radians [rad] La phase de v (t) à l'instant initial en radians [rad]

c. Détermination graphique de l’angle de déphasage

Le déphasage se détermine également à partir de la représentation cartésienne des deux courbes procédonss comme suit : u (t) et vt  . Nous procédon  Mesurer la grandeur qui représente la période T .  Mesurer la grandeur qui représente le décalage horaire  .  Evaluer le rapport entre l’angle  en radians et le décalage horaire  en secondes T  2   360      Le déphasage se déduit à l’aide de la relation : 2     T

L’angle de déphasage entre u (t) et v (t) en radians [rad] Le décalage horaire entre u (t) et v (t) en secondes [s] La période de u (t) et v (t) en secondes [s] .





T

Où

360    T

L’angle de déphasage entre u (t) et v (t) en degrés [] Le décalage horaire entre u (t) et v (t) en secondes [s] La période de u (t) et v (t) en secondes [s]

 

T

d. Déphasage Déphasage courant courant - tensio tension n

Si les deux grandeurs grandeurs à étudier sont une une tension u (t) et un courant courant i (t), elles se définissent définissent ainsi ainsi : ˆ cos t   u   u t   U  i t   ˆ cos t   i  Le courant i (t) est toujours défini par rapport à la tension u (t) . 

  u   i



est le déphasage de i (t) par rapport à u (t) .




21

Chapitre 2




  u   i  0

Le courant i (t) est en retard sur la tension u (t) .



  u   i  0

Le courant i (t) est en avance sur la tension u (t) .



  u   i  0

Le courant i (t) et la tension u (t) s ont en phase phase..

En choisissant la tension u (t) comme origine des phases, c'est-à-dire  u  0 La tension u (t) et le le cou courant rant i (t) se définisse définissent nt ainsi ainsi : ˆ cos  t   u t   U ˆ cos t   i   it   I  i  i  i

0 0 0

Le courant i (t) est en retard sur la tension u (t) . Le courant i (t) est en avance sur la tension u (t) . Le courant i (t) et la tension u (t) sont en phase.

3.2.2. Représentation vectorielle

Lorsque deux tensions sinusoïdales u (t) et v (t) sont à l’étude, elles peuvent être représentées à l’aide de vecteurs vecteurs à partir de leurs caractéristiques, caractéristiques, ainsi ainsi pour : ˆ cos  t   u t   U ˆ cos  t   v   v t   V Dans le le cas ci-dessu ci-dessuss :  La tension u (t) possède une phase nulle à l’instant initial.  La valeur efficace de u (t) est égale à U Le vecteur qui caractérise la tension u (t) : Est porté par l’axe pris comme origine des phases. Sa longueur est proportionnelle à U la valeur efficace de u (t)  La tension v (t) est déphasée de l’angl l’anglee  v par rapport à u (t) . 

La tension v (t) est en avance sur u (t) si l’angle

 v

est positif.

La valeur efficace de v (t) est égale à V . Le vecteur qui caractérise la la tension v (t) : Est décalé d’un angle  v dans les sens positif par rapport à l’axe origine des phases. Sa longueur est proportionnelle à V la valeur efficace de v (t) 




22

Chapitre 2


Figure 5. Représentation de Fresnel,

v (t) en avance sur u (t)

Dans les mêmes conditions que précédemment, mais si l’angle  u est négatif, la tension v (t) est alors en retard sur u (t) et la représentation représentation devient devient ainsi :

Figure 6. Représentation de Fresnel, v (t)

en retard sur u (t)

3.2.3. Exercice corrigé

On associe en série une bobine d’inductance L=1H et une résistance R=100    à l’ensemble une tension u (t )  220 2 si sin(100 .t ) . 1) Calculer :  l’impédance ZL de la bobine ;  L’impédance Z totale ; L R  Le courant Ieff dans le dipôle ; u(t)  Le déphasage de u par rapport à i ; 2) Exprimer i en fonction du temps. 3) Réaliser le montage précèdent sous le logiciel Psim et faites apparaître l'oscillogramme de la tension et du courant. 4) vérifier que les valeurs obtenues par un calcul analytique du courant efficace et le déphasage entre la tension et le courant sont conformes à ceux obtenus graphiquement en utilisant le logiciel Psim. Réponses

1) - ZL=Lw=628 - Z=(R 2+(Lw)2)1/2  - Ieff = Ueff 




23

Chapitre 2


- le déph déphasag asagee 0 2) i(t)=Imax -72.340). 3) Le montage sous Psim est montré ci-dessous. Le circuit électrique est construit à partir des éléments de la bibliothèque de Psim qui contient une grande variété d'éléments et d'appareils électriques.

4) Comparaison des résultats analytiques et graphiques










24

Chapitre 2


D'après ces oscillogramme on peut faire sortir les résultats suivants: le déphasage  est de 2.8.div=2.8.(180/7)=720. On voit bien que cette valeur est presque identique à celle calculée analytiquement. d'autre part, Imax=0.94A. Donc, correspond à celui calculé analytiquement. 3.3. Etude des dipôles R-L-C

u (t)

3.3.1. La résistance R

Soit le schéma suivant

R i (t) Les oscillogrammes de la tension u (t) et du courant i (t) sont donnés ci-dessous : u(t)

Imax

Figure 12: Oscillogramme Oscillogrammess de

la tension

u (t) et du courant i (t)

a. Relation entre les valeurs efficaces

U  R.I

U R I

La valeur efficace de la tension u (t) en volts [V] La valeur de la résistance en ohms [] La valeur efficace de l’intensité du courant i (t) en ampères [A]

b. Le déphasag déphasagee entre entre u(t u(t)) et i(t i(t))

La tension u (t) et le courant i (t) sont en phase, le déphasage est donc nul entre ces deux grandeurs dont les valeurs instantanées s’expriment par les relations:




25

Chapitre 2




ˆ cos  t  u t   U



i t   I ˆ cos  t 

u (t)  R i (t)

La valeur instantanée de la tension en volts [V] La valeur de la résistance en ohms [] . La valeur instantanée de l’intensité du courant en ampères [A] [A]..

u (t) R i (t)

c. Relations Relations complexes complexes entre entre U et I

U  R I

Le rapport entre U et I e st appelé appeléee impédan impédance ce [4] [4].. Son expres expressio sionn est : Z  R

La représentation des vecteurs représentant u (t) et i (t) est la la suivan suivante te : I

O

U

Axe de référence des phases

Figure 13: Représentation de Fresnel pour une résistance

3.3.2. Le condensateur C

Soit le schéma suivant

u (t)

u (t)

i (t)

La figure ci-dessous montre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur et le courant qui le parcourt.




26

Chapitre 2


Figure 14: Visualisation de u (t) et i (t) dans le cas d’un condensateur


U 

1  C

La valeur efficace de la tension u (t) en volts [V] La valeur de la capacité du condensateur en farads [F] La pulsation de u (t) et i (t) en radians par seconde [rad s -1 ] La valeur efficace de l’intensité du courant i (t) en ampères [A]

U C 

I

b. Le déphasage entre u (t) et i (t)

La tension u (t) et le courant i (t) sont déphasés de 90 ou en radians,



, le courant est en 2 avance sur la tension, les valeurs instantanées de ces deux grandeurs s’expriment par les relations. ˆ cos  t   u t   U   ˆ cos   i t   I   t   2  

i t   C

du (t) dt

La valeur instantanée de la tension en e n volts [V] u (t) La valeur de la capacité du condensateur en farads [F] C du (t) La dérivée de la tension u (t) par rapport au temp. dt

c. Relations complexes entre U et I U



1 I jC 

Le rapport entre U et I est appelée impédance. impédance. Son expression expression est : Z



1 jC 

La représentation des vecteurs représentant u (t) et i (t) est la la suivant suivantee :

I O

U

Figure 15: Représentation de Fresnel pour une résistance Université KASDI Merbah Ouargla-


Axe de référence des hases


27

Chapitre 2


u (t)

3.3.3. L’inductance L

Soit le schéma suivant u (t)

i (t)

Les oscillogrammes de la tension u (t) et du courant i (t) sont donnés ci-dessous :

Figure 16: Visualisation de

u (t) et i (t) dans le cas d’un condensateur


U  L  I

U L

La valeur efficace de la tension u (t) en volts [V] La valeur de l’inductance en henrys [H]



La pulsation de u (t) et i (t) en radians par seconde [rad s -1 ] La valeur efficace de l’intensité du courant i (t) en ampères [A]

I

b. Le déphasage entre u (t) et i (t)



La tension u (t) et le courant i (t) sont déphasés de 90 ou en radians, , le courant est en retard 2 sur la tension, les valeurs instantanées de ces c es deux grandeurs s’expriment par les relations ˆ cos  t   u t   U




28

Chapitre 2




 

i t   I ˆ cos   t 

 

 2  La valeur instantanée de la tension en volts [V] La valeur de l’inductance en henrys  H 

u (t) L di (t) dt

di (t) u t   L dt

La dérivée du courant i (t) par rapport au temps

c. Relations complexes entre U et I

U  jL  I Le rapport entre U et I est appelée impédance. impédance. Son expression expression est : Z  jL 

La représentation des vecteurs représentant u (t) et i (t) est la la suivant suivantee : o

U

Axe de référence des phases

I Figure 17: Représentation de Fresnel pour une résistance

3.4. Etude des puissances consommées, [10]

Soit le dipôle D, traversé par un courant d’intensité i (t) , soumis à une tension u (t) . u (t) D u(t)

i (t)

3.4.1.. Puis 3.4.1 Puissanc sancee acti active ve

Les deux grandeurs sinusoïdales u (t) et i (t) sont déphasées d’un angle  , la puissance active instantanée consommée par le dipôle D s’exprime par la relation : p (t)  u (t) i (t)

p (t) u (t) i (t)


La valeur instantanée de la puissance active en watts [W] La valeur instantanée de la tension en e n volts [V] La valeur valeur instantanée de l’intensité l’intensité du courant en ampères ampères [A]



29

Chapitre 2


Le bilan des puissances puissances consommées par ce dipôle est le le suivant :

P  U I cos  

P U I

La valeur valeur de la la puissance puissance active en watts [W] La valeur efficace de la tension u (t) en volts [V] La valeur efficace de l’intensité du courant i (t) en ampères [A] L’angle de déphasage entre u (t) et i (t) en radians [rad]



Figure 18: Wattmètre analogique et numérique.

3.4.2. Puissance réactive

Q  U I sin ( )

Q U I

La valeur de la puissance réactive en V.A.R [vars] La valeur efficace de la tension u (t) en volts [V] La valeur efficace de l’intensité du courant i (t) en ampères [A] L’angle de déphasage entre u (t) et i (t) en radians [rad]  V A R : Volts ampères réactifs

Figure 19: Varmètre analogique et numérique.

3.4.3. Puissance apparent apparentee

La valeur de la puissance apparente en V.A [VA] La valeur efficace de la tension u (t) en volts V  La valeur efficace de l’intensité du courant i (t) en ampères [A]

S U I

SU I

3.4.4. Facteur de puissance puissance

Le facteur facteur de puissan puissance ce est : k  cos ( )

P S

k P S


Le facteur de puissance en radians [rad] La valeur de la puissance active en watts [W] La va vale leur ur de la ui uiss ssanc ancee a ar arent entee en V.A VA



30

Chapitre 2


3.4.5. Le théorème de Boucherot

La puissance active totale consommée par un système (voir figure ci-dessous) est la somme des puissances actives consommées par chaque élément, soit, [11,12] :

P 

n

1 i

La puissance réactive totale consommée par un système est la somme des puissances réactives consommées consomm ées par chaque élément, élément, soit soit :

Q 

n

1 Q i

La puissance apparente consommée par un système se calcule à partir de la relation relation : S = P2 + Q2 Le facteur de puissance d’un système se calcule à partir de la relation relation : P k  cos  = P2 + Q2

Récepteur

Récepteur

P1 , Q 1

P2 , Q 2

Récepteur

Pn , Q n

3.4.6. Exercice corrigé

Une installation électrique monophasée comporte :  dix ampoules de 75 W chacune ;  un radiateur électrique de 1,875 kW ;  trois moteurs électriques identiques absorbant chacun une puissance de 1,5 kW avec un facteur de puissance de 0,80.




31

Chapitre 2


Ces différents appareils fonctionnent simultanément. 1- Quel est le rôl rôlee du pann panneau eau sol solair airee ? 2- Qu Quel el est est le rôl rôlee de l’ l’on ondul duleur eur ? 3- Quelle est la puiss puissance ance active active consommée consommée par les ampoules ampoules ? 4- Quelle est la puiss puissance ance réactive réactive consommé consomméee par un moteur moteur ? 5- Quelle Quelless sont les puissanc puissances es active et réactive réactive consommée consomméess par l’install l’installation ation ? 6- Quel est son son facteu facteurr de puis puissan sance ce ? 7- Quelle est est l’intensi l’intensité té efficace efficace du courant courant dans le le câble de ligne ligne ? Réponses

1- le rôle du panneau panneau solaire solaire est de convertir convertir l'énergie l'énergie du du rayonnement rayonnement solaire solaire à une énergie énergie électrique (tension continu). 2- l'onduleur convertit la tension continu en une tension alternative sinusoidale. 3- la puissance puissance consommée consommée par les ampoules est est Pamp=10.75=750w 4-   mot/Pmot. Donc, on a: Qmot=1.5 103tg (36.86)=1.125Kvar. 5- la puissance active consommée par l'installation est: est: 3 3 Pmot  amp res=3.1.5.10 +750+1.875.10 =7.125Kw la puissance réactive consommée par l'installation est: 3 mot  amp res mot=3.1.25.10 var=3.375kvar. 6-      7-  4. Régime transitoire

L’étude du régime transitoire transitoire présente une grande importance, [13] : • Uti Utilis lisati ation on du rég régime ime tra transi nsitoi toire: re: filt filtrag rage; e; liss lissage age du cour courant ant et et de la la ten tensio sionn après après redressement; stockage momentané d’énergie; découplage; déphasage entre la tension et le courant; temporisateurs, oscillateurs. • Effet Effetss indésira indésirables bles (ex.): (ex.): le démarr démarrage age ou l’arrê l’arrêtt d’un moteur moteur d’ass d’asservis ervissement sement doit être être le plus bref possible pour une meilleure précision. • Pour divers diverses es raisons raisons techni techniques ques et/ou et/ou économi économiques, ques, ilil peut être nécess nécessaire aire de connaître connaître ce temps ou du moins d’avoir un ordre de grandeur. 4.1. Régime permanent

On s’est placé jusqu'à jusqu'à présent en régime permanent : la tension ou le courant du circuit de t ]   ;  [ . Exemple : régime sinusoï sinusoïdal. dal. 4.2. Régime transitoire

En réalité réalité ilil existe existe une périod périodee de « mise en route route » au moment moment où l’uti l’utilisa lisateur teur allume allume le générateur, courant et tension vont évoluer avant d’atteindre le régime permanent. Cette phase correspond corres pond au régim régimee transitoire, transitoire, [14]. Plus généralement, il existe un régime transitoire entre deux régimes permanents. Exemp Exe mple le :




32

Chapitre 2


Figure 20: Régime transitoire entre deux régimes permanents. perman ents.

L’étude du régime transitoire d’un circuit permet de déterminer de nombreuses caractéristiques de celui-ci. 4.3. Circuit électriqu électriquee de de premier ordre

Un circuit électrique du premier ordre est un circuit dont les variations de tension aux bornes d’un composant vérifient une équation différentielle linéaire du premier ordre [15].



i(t)

Résistance

u ( t )

u(t)



Condensateur

 Ri ( t )

R

i(t)

du (t ) dt



i (t )

u(t)

C

C

C est différent de zéro, donc

du (t ) dt

q (t )

 du (t )  C   i (t )  C dq ( t )  dt i (t )  dt   u ( t ) 

Remar Rem arque que :

ne peut pas être infinie.

Cas impossible (saut de tension) Par conséquent conséquent la tension tension aux bornes d’un d’un condensateur condensateur varie varie de façon continue. continue.



Inductance



i(t) u ( t )

u(t)

L


 L

di ( t ) dt


33

Chapitre 2

di (t ) dt




u (t ) L

L est différent de zéro, donc

di (t ) dt

ne peut pas être infinie.

L’intensité du courant traversant une inductance varie de façon continue. 4.4. Exemples de circuit du premier ordre Circui Cir cuitt n°1 :

i(t)

R

u R (t) u C (t)

e(t)

C

Maillee du circui Maill circuitt : e(t )  u R (t )  u C (t )  Ri(t )  u C (t ) di (t ) Or i(t )  C dt

On a do donc nc : e(t )  RC



duC (t ) dt



du (t )

1

 u C (t )

dt e(t )

uC (t )  RC RC

Circuit n°2 :

i(t)

R u R (t )

e(t)

u L (t )

L

On a : e(t )  u R (t )  u L (t )  u R (t )  L


di (t ) dt



34

Chapitre 2


Or u R (t )  R i (t ) 

di(t ) dt

On a do donc nc : e(t )  u R (t ) 



du R (t ) dt



1 L

u R (t ) 

R



1 du R (t )

R dt L du R (t )

R e(t ) L

.

dt

R

4.5. Méthode de résolution résolution d’une équation différentielle différentielle du premier ordre

Les deux équations équations différentie différentielles lles des circuits circuits précédents précédents sont de la forme : dx(t ) dt

1 1  x(t )  y (t ) 



Remarque Remar que : t est homogène à un temps (seconde).

 continu    y(t) dépend du type de génération utilisé  sinus   carré    La solution solution générale de cette équation équation s’écrit s’écrit : x(t )  x1 (t )  x2 (t ) Avec x1(t) solution de l’équation sans second membre (ESSM) :

dx1 (t ) dt

1  x1 (t )  0 

Et x2(t) solution particulière de l’équation qui dépend de la nature de y(t).

Cher Ch erch chon onss l’e l’exp xpre ress ssio ionn de de x 1 (t (t)) : dx1 (t ) 1  x1 (t )  0  (ESSM) dt





dx1 (t ) dt



 x1 (t )

 ln x1 (t ) 



 t  1



 K 3


dx1 (t ) x1 (t )



 dt 



dx1 (t )

 x (t ) 1



 dt 

 ln x1 (t )  K 1 

 t  1

 K 2

(K 3  K 2 - K 1 )



35

Chapitre 2


 t

 x 1 ( t )  e  1

 t

 K 3

 x1 ( t )  e

t

K 3

.e

 1

avec k  e

K 3

Soit So it : x1 (t )  Ke  1

 t

Finale Fin alement ment : x(t )  x1 (t )  x 2 (t )  x(t )  Ke  1  x2 (t )



Circuit (RC)

duC (t ) dt





1

e(t )

uC (t )   u C (t )  K C e RC RC

 t

RC

 u C 2 (t )

Circuit (RL)

du R (t ) dt



1 L R

u R (t ) 

e(t ) L

 t L

 u R (t )  K R e R

 u R 2 (t )

R

Pour connaître parfaitement u c (t) et u R (t) , il fa faut ut : Déterminer K C et K R à part partir ir de de condi conditi tion onss expér expérim imen enta tale les. s. Déterminer u C2 (t) et u R2 (t) à partir du type de générateur utilisé. 4.6. Charge d’un condensateur sous une tension constante à travers une résistance

R

E

2 1

u R (t )

u C (t )

C

À t  0 , on commute l’interrupteur, il passe alors en position 2. 4.6.1. Equation différentielle du circuit

 t < 0 : interrupteur en position 1. u c (t)  0 interrupteur passe passe en posit position ion 2.  t = 0 : interrupteur E  u c (t)  u R (t)




36

Chapitre 2


 u c (t)  Ri(t) d u (t) = RC C  u C (t) dt d u (t) 1 1 avec t  RC en seconde.  C  u c (t )  E dt   4.6.2. Solution de l’équation différentielle

u C (t )  u C 1 (t )  u C 2 (t )

u C ( t )

 u C 1 ( t )  u C 2 ( t )

Régime transitoire uC 1 (t )

Régime permanent

: cette tension tension est solution solution de :

du C 1 (t ) dt

1  uC 1 (t )  0 

t

 uC 1 (t )  Ke  uC 1 (t ) croit de façon exponentielle jusqu’à atteindre le régime permanent. uC 2 (t ) , le générateur délivre une tension constante. E  uC 2 (t ) (régime permanent). Donc : du C 2 (t ) dt

E 1  uC 2 (t )  

uC 2 (t )



est une constante

 uC 2 (t )  E  t

uC (t )  u C 1 (t )  uC 2 (t )  Ke   E Que vaut K ? On utilise utilise les conditions conditions initiales initiales : à t  0 - , interrupteur en position (1) et u C (t  0)  0 . La tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas connaître de discontinuité.

 uC (t  0  )  u C (t  0  )  0 Université KASDI Merbah Ouargla-



37

Chapitre 2


 uC (t  0  )  0

  t  uC (t  0 )   Ke  E   K  E  0  K   E     t 0  t    u C ( t )  E 1  e   Par conséquent     

4.6.3. Représentation a) Repr préése sen ntat atio ion n de u C(t)

t  0 , u C (t  0)  0 t  , u C (t   ) = E

t     t)   La vi vitesse à laquel ellle u C (t) attei atteint nt le régim régimee permanent € dépend du paramètre t  RC (en seconde). Comment déterminer t sur ce graph graphee :  du (t )  Déterminons l’équation de la tangente à l’origine y(t)  at avec a   C  ,  dt  t 0 t  E  t  E  à uC (t )  E  Ee , donc a   e      t 0 

Par cons conséque équent nt y (t ) 

E t 

L’équation de la tangente L’équation tangente à l’origine l’origine : A t   , u C ( )  E 1  e 1  0,63 E , la tension u C a atteint 63% de sa valeur finale. A t  3 A t , uC (3 )  E 1  e 3  0,95 E A t  5 , uC (5 )  E 1  e 5   0,99 E On peut considérer que le circuit se trouve en régime permanent au bout de t  5 .




38

Chapitre 2


Remar Re marqu quee :

Pourrait-on prévoir (sans calcul) qu’en régime permanent u C (t)  E ? du (t ) Avec i (t )  C C dt

Régime permanent 

du C dt

i(t)

R u R (t)

e(t)

 0 ,  i(t)  0

u C (t)

C

Le circuit est équivalen équivalentt (en régime permanent) permanent) à : i(t) R

u R (t) e(t)

u C (t)

E  u R (t )  u C (t ) 0

 u C (t)  E

b) Rep Représe résentat ntation ion de i(t)

Aux bornes du condensateur i(t )  C

du C (t ) dt

t

E  C e  

, avec t = RC.

 t

E i (t )  C e   E i (t  0)  R i (t  )  0

homogène.

Remar Re marqu quee :

La tension aux bornes d’un condensateur ne peut être discontinue, ce qui n’est pas le cas du courant qui le traverse. 4.6.4. Exercice corrigé

1) Réaliser sous Psim Psim un circuit contenant une capacité de 0.1 mF en série avec une résistance de  é par une source de tension carrée de fréquence 50Hz et de d'amplitude 10v. 2) tracer l'oscillogramme de la tension uc (t) aux bornes du condensateur et le courant qui l'a traverse Ic(t). Monter les zones du régime transitoire transitoire et le régime permanent.




39

Chapitre 2


Réponses

1) le circuit électrique sous Psim est le suivant:

2) l'oscillogramme de la tension tension uc (t) aux bornes du condensateur et le courant qui l'a traverse Ic(t) est donné ci-dessous.

R. T

R. P

R. T

R. P

R. T

R. P

R. T R. P

R. T

R. P: P: régime permanent. R.T:: régime transitoire. R.T 4.7. Etablissement du courant dans une bobine.

R

E

u R (t )


2 1

u L (t )

L



40

Chapitre 2


4.7.1. Mise en équation

E  u R (t )  u L (t ) 

di (t )



1 E



avec  



dt



di (t )

Ri (t )  L



dt L R

4.7.2. Résolution 

t

i (t )  Ke  E Le courant traversant une bobine ne peut pas connaître de discontinuité.  i (t  0 )  i (t  0 )  0 





K 

E





R

i (t )  u L (t )  L

0  K  E R

di (t ) dt



R 

t

(1  e ) 

1 E . e  L  

u L ( t )

E



E . e



t



R

R E . e  L L R



t



t



Pour une bobi bobine ne : Continuité du courant. Discontinuité de la tension. En régime permanent i(t ) 



u L (t )  L

di (t ) dt



E R

= constante. i(t)

0

R

u R (t) e(t)

u L (t)

5. Logiciel de simulation des circuits électriques

Actuellement, plusieurs logiciels sont disponibles pour la simulation des circuits électriques en régime continu, harmonique ou transitoire. On cite: Matlab, Proteus, Psim, PsPice Schematics, etc. 6. Conclusion

Dans ce chapitre les lois fondamentales de de l’électricité sont sont présentées en régime continu, en régime harmonique sinusoïdale et en régime transitoire. En plus, un aperçu a été donné sur les Université KASDI Merbah Ouargla-



41

Chapitre 2


appareils de mesure et de visualisation appareils visualisation permettant permettant de déterminer déterminer les caractéristi caractéristiques ques des différentes diffé rentes grandeurs grandeurs électri électriques. ques. Nous Nous rappelons rappelons que ces lois ne sont sont pas tous valables valables pour le le cas des régimes polyphasés. D’où la nécessité d’étudier, séparément, le le régime triphasé car il est le plus utilisé dans la production, le transport transport et l’exploitation de l’électricité : générateurs triphasées, transformateurs triphasés, machines asynchrones triphasées, etc., [8].




42

Chapi tre 3 :

Circuits et Puissa nce Electrique en Régime Alternatif Tripha sé

CHAPITRE 3 Circuits et Puissance Electrique en Régime Alternatif Triphasé 1. In Intr trod oduc ucti tion on

Un sy sysstè tèm me tr trip ipha hassé est un ens nseemb mble le de 3 gr graand ndeeurs (t (teens nsio ionns ou cour uran ants ts)) sin inuusoï oïda dale less de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le sy syst stèm èmee es estt sy symé métr triq ique ue si le less va vale leur urss ef effi fica cace cess de dess gr gran ande deur urss si sinu nuso soïd ïdal ales es so sont nt ég égal ales es et si le déphasage entre deux grandeurs consécutives vaut 2 /3. Le régime triphasé présente plusieurs avantages par rapport au régime monophasé puisque les machines triphasées ont des puissances de plus de 50% supérieures aux machines monophasées de même masse et donc leurs prix sont moins élevés (le prix est directement proportionnel à la masse de la machine). En outre, lors du transport de l’énergie l’énergie électrique, les pertes sont moindres en triphasé [15,16]. En effet, la distribution se fait à partir de quatre bornes :  Trois bornes de phase repérées par 1, 2, 3 ou A, B, C ou R, S, T ;  Une borne neutre N. réssea eauu tr trip ipha hassé est pr préése sent ntéé soi oitt ave vecc de dess te tens nsio ionns si simp mple less ( v1 , v 2 et v 3 ) ou des  Le ré tensions tensi ons comp composée oséess ( u 12, u 23 et u 31 ) tel que montré ci-dessous.

Figure 22: Syst Système ème triphasé symb symboles oles et notati notation on

2. Etu Etude de des des tens tension ionss simpl simples es 2.1 Obs Obser ervat vation ion à l’oscil l’oscillos loscop copee

• Les tensions sont déphasées de

2 l’une 3

par rapport à l’autre l’autre ; • Elles ont la même valeur efficace.

Figure 23: Évolution des tensions triphasées

simples

Un système triphasé est équilibré lorsque les trois tensions possèdent possèdent la même valeur efficace et qu’elles sont déphasées de 2 3 l’une par par rapport rapport à l’autre, [16]. Université KASDI Merbah Ouargla-

S3 - 2 ème ST – Cours : Electrotechnique Fondamentale Fondamentale (I)

Dr. Tarik . BOUCHALA

43

Chapi tre 3 :


2.2 Equ Equati ations ons hor horair aires es

v1 (t )  V

2sin( t t )

v 2 ( t )  V

2 si sin( n(  t  

v 3 ( t )  V

 2 si sinn(  t 

2  ) 3 

3

)

2.3 Vecte Vecteurs urs de Fr Fresne esnell assoc associés iés

On déduit des équations horaires les vecteurs suiv su ivan ants ts : V V  V      2   ; V3  4  V1   ; V2    0   3   3  





Le système est équilibré direct Equilibré car la construction de Fresnel montre que V1  V2  V3  0  v1  v2  v3  0 Direct car un observateur immobile verrait les vecteurs vecteurs défiler devant devant lui dans l’ordre 1, 2 et 3. 







3. Etu Etude de des des tensio tensions ns compo composée séess 3.1 3. 1 Dé Défi fini niti tion on

Les tensions composées ont même fréquence que les tensions simples. u12  v1  v 2









U12  V1  V2 





u23  v 2  v3



U23  V2  V3

u31  v3  v1



U31  V3  V1







3.2 Vecte Vecteurs urs de Fr Fresne esnell assoc associés iés

U

U1     6  

 U U2   3   6   U U3  7     6  



Si le réseau est équilibré : U12  U23  U31  0  u12  u23  u31  0 Le système système des trois tensions composées composées est équilibré direct. 










44

Chapi tre 3 :


3.3 Equa Equations tions hora horaires ires et oscillog oscillogramm rammes es

u12 ( t )  U



2sin( t t   ) 6 

u23 (t )  U

 ) 2sin( t t  2 7  ) u31(t )  U 2sin( t t  6

Figure 24: Oscillogramme des tensions triphasées simples et composées

4. Re Rela latio tion n entr entree U et et V

 2V cos30 U 

 2V soitt U  soi

3 2

 V 3 Finalement : U  Cette relation est toujours vraie quelque soit la charge.

5. Ex Exer erci cice ce cor corri rigé gé

1) Réaliser sous le logiciel de simulation des circuits électriques et électronique électroniquess Multisim (Work Bunch) un système de tension triphasées de valeurs efficace 220V et 50Hz alimentant trois résistances chacune de 100  2) En utilisant deux voltmètres numériques, mesurer la tension de phase V et la tension entre phase U. Déduire Déduire le rapport de de U/V. 3) Tracer les oscillogrammes des tensions de phase. Réponses

Le logiciel Multisim est un outil très intéressant pour la simulation des circuits électriques et électronique, car il dispose d'une bibliothèque très riche et permet de réaliser des circuits dans des conditions très proche de la pratique.




45

Chapi tre 3 :


1) Le montage sous Multisim est le suivant:

2) Tel que montré sur la figure ci-dessus, ci-dessus, les voltmètres indiquent une tension composée de 380.959V et une tension simple de 219.959V. U/V= 380.959/219.9 380.959/219.959 59  3) L'oscillogramme des tensions simples est le suivant:




46

Chapi tre 3 :


6. Réce Récepteur pteurss trip triphasé haséss équi équilibrés librés 6.1 6. 1 Dé Défi fini niti tion onss Récepteurs triphasés :

car les trois éléments sont identiques.

Equilibré : Courants par phase

ce sont des récepteurs constitués de trois dipôles identiques, d’im d’ impé péda danc ncee Z .

:

Courants en ligne :

ce son sontt les cou couran rants ts qui tra traver versen sentt les élé élémen ments ts Z du réc récept epteur eur triphasés. Ils sont symbolisés par J . ce sont les courants qui passent dans les fils du réseau triphasé. Ils sont symbolisés par I .

Le réseau et le récepteur peuvent se relier de deux façons différentes : en étoile ou en triangle. 6.2 Théo Théorème rème de Bouc Bouchero herott (rappe (rappel) l)

Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupeme grou pement, nt, [17]. Donc d’après ce théorème : P  P1  P2  P3 et Q  Q1  Q 2  Q 3 Pour un récepteur équilibré : Finalement : Facteur de puissance :

P1  P2  P3 P  3.P1 k  P /S.

et et

Q1  Q 2  Q 3 Q  3.Q1

7. Co Coup upla lage ge ét étoi oile le 7.1 Montage

Figure 25: Couplage étoile.




47

Chapi tre 3 :


Même branchement représenté de deux façons différentes. Le premier premier schéma schéma expliq explique ue le terme « étoil étoilee ». Symbole :

Comme il s’agit des mêmes impédances, de ce fait i1  i2  i3  0 , donc donc in  0 . Le courant courant dans le fil neutre est nul. Le fil neutre n’est donc pas nécessaire. Pour un système triphasé équilibré, le fil neutre ne sert à rien.

Figure 26: Courant de ligne et courant de phase.

7.2 Rel Relati ations ons entr entree les cour courant antss

On constate sur les schémas du paragraphe 6.1 que les courants en ligne sont égaux aux courants par phase. i1  j1 ; i2  j2 ; i3  j3 De plus la charge et le réseau sont équilibrés, donc :  I 1  I 2  I 3  I   J On retiendra pour le couplage étoile : I 

7.3 7. 3 Pu Puis issa sanc nces es

Pour une phase du récepteur :

P 1  VI cos 

avec  ( I , V )

Pour le récepteur complet :

 3. P P  P 1  3VI cos

de plus V 





U

3

Finalement pour le couplage étoile : P   3UI cos  3UI sin 

de la même façon :

Q 

et : Facteur de puissance :

3UI k  cos  S 

7.4 Per Perte tess par par effe effett Joule Joule

Considérons que la partie résistive du récepteu récepteur. r.




48

Chapi tre 3 :


2 Pour une phase du récepteur : P J 1  rI Résistance vue entre deux bornes : R  2r

3 2

2


2

 3. P P  P RI J 1  3rI 

3 Finalement pour le couplage étoile : P   RI 2 2 8. Co Coup upla lage ge tri trian angl glee 8.1 Montage

Figure 27: Couplage triangle.

Même branchement représenté de trois façons différentes. Le premier premier schéma schéma explique explique le terme « trian triangle gle ». Symbole :

Comme il s’agit des mêmes impédance impédances, s, i1  i2  i3  0 et j12  j23  j31  0 Ici en aucun cas le fil neutre n’est nécessaire. 8.2 Rel Relati ations ons entr entree les cour courant antss

D’après les schémas du paragraphe 6.3.1. 





i1  j12  j31



I1  J12  J 31

i2  j23  j12



I2  J23  J12

i3  j 31  j 23



I3  J 31  J23













Le système système triphasé est équilibré : I 1  I 2  I 3  I et

12



23 

31 

.

Pour le couplage triangle, la relation entre I et J est la même que la relation entre V et U.




49

Chapi tre 3 :


Pour le couplage triangle :

 J 

I

3


Les déphasages pour les deux montages étoile et triangle sont les mêmes. Il s’agit du déphasage provoqué par le dipôle Z du montage.

8.3 Exe Exerci rcices ces cor corrig rigés és

1) Réaliser sous le logiciel logiciel de simulation des circuits électriques et électroniques électroniques Multisim un système de tension triphasées de valeurs efficace 220V et 50Hz alimentant trois résistances  chacune de 1k  2) En utilisant deux ampèremètres numériques, mesurer mesurer le courant de ligne I et le courant de phase J. Déduire Déduire le rapport de I/J. I/J. Réponses

1) Le circuit est le suivant:

XMM1

V1 3PH 3P H

220 V 50 Hz

XMM2

U1

Resistor1_1.0k

U3

U2

Resistor1_1.0k

Resistor1_1.0k




50

Chapi tre 3 :


2) Les ampèremètres indiquent un courant de ligne de 660.097mA et un courant de phase de 381.097mA. I/J=660.09 I/J=660.097mA/381.097mA= 7mA/381.097mA=1.732= 1.732=

8.4 8. 4 Pu Puis issa sanc nces es


P 1  UJ cos

avec  ( J , U )


 3. P P  P 1  3UJ cos 

de plus J 





I

3

Finalement pour le couplage étoile : P   3UI cos  3UI sin 

De la même même façon façon :

Q 

et : Facteur de puissance :

3UI k  cos  S 

8.5 Per Perte tess par par effe effett Joule Joule

Considérons que la partie résistive du récepteu récepteur. r.




51

Chapi tre 3 :


Détail du calcul de la résistance équivalente vue entre deux bornes du récepteur : Nous avons 2r en parallèle parallèle avec r ; R 


2 r .r 2  r 2r   r 3

2

P J 1  rJ

2 r 3

Résistance vue entre deux bornes :

R 


 3. P P  P J 1  3rJ  3 R(

2

3 2

3 )2  RI 2 3 2

I

3 Finalement pour le couplage étoile : P   RI 2 2 8.6 8. 6 Re Rema marrqu ques es

Quel que soit le couplage couplage,, les puissances s’expriment de la même façon en fonction :  de la tension composée U  du courant en ligne I Ces deux grandeurs sont les seules qui soient toujours mesurables quel que soit le couplage, même inconnu, du récepteur utilisé. Lecture 220/380 V 9. Mesu Mesure re de puissa puissance nce : le wattm wattmètr ètree

Le wattmètre permet de mesurer la puissance active P en monophasé ou triphasé. Il possède au moins quatre bornes : deux bornes pour mesurer la tension et deux bornes pour mesurer le courant. Il y a donc deux branchement à réaliser : un branchement en parallèle comme un voltmètre) pour mesurer la tension, et un branchement en série (comme un ampèremètre) pour mesurer le courant. Le wattmètre tient compte du déphasage. 9.1. Mesure en triphasé triphasé lorsque le fil neutre est accessible (ligne à quatre quatre fils) Montage :

: il n’est pas nécessaire de connaître le couplage du récepteur. Remarque

Figure 28: Mesure avec un wattmètre.

Le wattmètre branché de cette façon mesure (puissance lue) : P  VI cos  Université KASDI Merbah Ouargla-



52

Chapi tre 3 :


La puissance puissance du récepteur récepteur s’exprime (puissance absorbée) absorbée) : P   3UI cos La relation entre la puissance lue et la puissance absorbée absorbée par le récepteur est donc : P  3 P 

Figure 29: Mesure de puissance avec trois wattmètres.

: Nécessité de présence du neutre (donc montage triangle exclu) et utilisation de 3 wattmètres Avantage : fonctionne quelle que soit la charge Inconvénients

9.2. Mesure de puissance active et réactive d’un montage quelconque (méthode générale)

C’est une méthode très pratique et très classique qui permet de mesurer la puissance active dans tous les cas et la puissance puissance réactive et réactive réactive si le récepteur est est équilibré, [15].

Figure 30: Méthode des deux Wattmètres (méthode générale)

Conditions de validité :

P W 1 W 2

1 W 2ou déséquilibré sans Q  est P= W1+ W2 : valable si le système e3stW équilibré sans neutre. Q = (W1- W2) n'est vrai que si le système système est équilibré. Inconvénients : conditions de validité à ne pas oublier Avantage : ne nécessite que 2

wattmètres ou un seul wattmètre avec un commutateur.

Le tableau ci-dessous récapitule les différentes techniques de mesure des différentes puissances, pour différents montages, [18].




53

Chapi tre 3 :


10. Relèv Relèveme ement nt du facteur facteur de puissa puissance nce en tripha triphasé sé 10.1 Coupl Couplage age des des conden condensate sateurs urs en en triangle triangle Figure 30: Connexion des condensateurs en triangle

pour relever le facteur de puissance

Tension aux bornes d’un condensateu condensateurr : U Puissance réactive absorbée par un condensateur : 2

U QC 1   C  U

Puissance réactive absorbée par les trois condens condensateurs ateurs : 2 U QC  3QC 1   3C  U On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante : 2 U  Q  Q QC  3C  U 2  3C  U  P .tg    P .tg   U P (tg   tg  ) Finalement : C  3 U 2




54

Chapi tre 3 :


10.2 Coupl Couplage age des des conden condensate sateurs urs en en étoile étoile

En utilisant le même raisonnement raisonnement que précédemment, on montre que la capacité du condensateurr est donnée par la relation : condensateu    tg  ) P (tg   C 

 U U 2

Le couplage en étoile est donc moins intéressant puisque la capacité des condensateurs nécessaires est trois fois plus grande que pour le couplage en triangle. Plus la capacité est grande, plus le condens condensateur ateur est volumineux et onéreux. 11. Exercices Exercices corr corrigés igés 11.1. Exercice 1

Trois récepteurs monophasés, purement résistifs, sont montés en triangle sur le secteur 220/380V 50Hz. Sous 380V ils consomment 5.7kW chacun. 1) Calculer le courant dans chacun d'eux et le courant dans un fil de ligne. 2) Le récepteur monté entre les phases 2 et 3 est coupé . Déterminer les différents courants en ligne. 3) Les trois récepteurs sont maintenant en étoile. Calculer la puissance active totale et la comparer à la puissance active totale dans le cas d'un montage triangle. Réponses 1

1) Couplage triangle : 5,7kW par récepteur soit P= 3*5, 3*5,7=17 7=17,1kW ,1kW P= P= 3 UIcos  I=P/( 3 U cos  ) 26A et J= I/ 3 = 15A 1

I1 J12 Z

Z

J31 3

I3

2

I2

2) Monatge ci contre : I1 est inchangé I1=26A I3=J31 = 15A I2= J12 = 15A 3) Couplage étoile I=V/Z (en triangl trianglee on a Z=U/J Z=U/J =25,3) I=220/25.3=8.69 I=220/25.3= 8.69 A et PY= 3 UI U Icos   57 5700 00W W . P=3*PY 11.2. Exercice 2

Sur un réseau (230 V / 400 V, 50 Hz) sans neutre, on branche en étoile étoile trois récepteurs capacitifs identiques de résistance R = 20   érie avec une capacité C = 20 µF. 1- Déterminer l'impédance complexe complexe de chaque récepteur. récepteur. Calculer son module et son argument. 2- Déterminer la valeur efficace des courants en ligne, ligne, ainsi que leur déphasage déphasage par par rapport aux tensions simples. 3- Calculer les puissances active et et réactive consommées par par le récepteur triphasé, ainsi ainsi que la puissance apparente. apparente.




55

Chapi tre 3 :


Réponses 2

1)

2)

3)

12. Cas d'un système triphasé déséquilibré

Un récepteur triphasé linéaire est déséquilibré ou asymétrique s’il possède au moins deux impédances de branche différentes.  Le réseau d’alimentation est supposé être une source de tension triphasée tri phasée équilibrée parfaite  Les récepteurs sont linéaires 12.1. Récepteurs couplés en étoile avec neutre

I1



V3



I3

V1 Z V1



V1

Z 

I N

I1





N

I N

Z

I2

V2 

Figure 31: Système triphasé déséquilibré avec neutre.

Le réseau impose V1 , V2 et V3 qui forment forment un syst système ème tripha triphasé sé équilib équilibré ré de tens tensions ions mais on a : I1  V1 , I2  V2 et I3  V3 Z1 Z2 Z3  Les courant courantss ne constituen constituentt plus un système système triphasé triphasé équilibré équilibré et généra généralemen lementt I N I1I2 I30 Université KASDI Merbah Ouargla-



56

Chapi tre 3 :


12.2. Récepteurs couplés en étoile sans neutre

3

I1



U12

U31

Z1 Z2 Z3

0

0



U23

N

1

V NO U12 

N 2

Figure 32: Système triphasé déséquilibré sans neutre.

Seules les tensions composées (U12;U23;U31) sont imposées par le réseau et forment un système triphasé équilibré. Les courants et les tensions simples sont déséquilibrées.  Le point 0 n’est pas pas équipote équipotentiel ntiel du du neutre neutre de l’insta l’installatio llationn (N) : il apparaît une tension V N0 dite ho homopolaire te telle qu que : V10V1 N V N0 V20 V2 N V N0 V30 V3 N V N0 Remarques :

- Le système (V10;V20;V30) apparaît comme la superposition du système équilibré (V1 N;V2 N;V3 N) et du système dit homopolaire (V N0;V N0;V N0) . - V N0  1 (V10  V 20  V 30 ) 3 12.3. Récepteurs couplés en triangle

Le réseau impose les tensions composées. Les courants simples et les courants de ligne forment des systè systèmes mes triphasés déséquilibrés de courants. Composantes symétrique symétriquess

L’utilisation des lois de Kirchoff et de la loi d’Ohm devient vite fastidieuse pour calculer les différentes tensions et les différents courants d’une installation déséquilibrée. La méthode des composantes symétriques permet une résolution beaucoup plus facile en se ramenant à la superposition de trois réseaux équilibrés indépendants. On montre en effet que tout système linéaire déséquilibré de grandeurs sinusoïdales peut être décomposé en trois systèmes systèmes symétrique symétriquess : Un sy systèm stèmee équi équilibré libré direc directt (V d ; a 2  V d ; a  V d ) Un systèm systèmee équilibré inverse (V i ; a  V i ; a 2  V i ) Un systèm systèmee homopolaire formé de trois composantes composantes identiques identiques (V 0 ; V 0 ; V 0 ) La méthode des des composantes symétriques symétriques consiste donc à :  calculer les composantes des trois système systèmess (transformation de Fortescue inverse) Université KASDI Merbah Ouargla-



57

Chapi tre 3 :


établir les schémas monophasés équivalents de chaque système  calculer les courants et les tensions pour chaque système  recomposer les courants et les tensions pour l’ensemble (transformation de Fortescue) 

13. Conclusion

Dans ce chapitre nous avons mis en évidence la nécessité de l’étude des réseaux triphasés. Ensuite, nous avons donné les caractéristiques essentielles de ces réseaux dans le cas équilibré et déséquilibré. Ensuite, les montages montages permettant de mesurer les différentes différentes puissances puissances sont présentés tout en précisant les avantage avantagess et les inconvénients de chacune d’elles. Pour compléter cette cette étude, nous avons exposé la technique de l’amélioration du facteur de puissance en en utilisant les batteries de de condensateurs. condensateurs.




58

Conclusion Générale

CONCLUSION GENERALE

Le module électrotechnique fondamentale (I) présenté dans ce document est consacré principalement à l'étude des signaux électriques et leurs caractéristiques dans les différents régimes de fonctionnement. Dans un premier temps, un rappel mathématique a été fait sur les nombres complexes afin de simplifier l'étude et la représentation des circuits électriques notamment en régime harmonique. Ensuite, les lois fondamentales de l’électricité sont présentées en régime continu, harmonique sinusoïdale et transitoire. Ensuite, un aperçu a été donné sur les appareils de mesure et de visualisation permettant de déterminer les caractéristiques des différentes grandeurs électriques. Nous rappelons que ces lois ne sont pas tous valables pour le cas des régimes polyphasés. polyphasés. D’où la nécessité nécessité d’étudier, séparément, séparément, le régime triphasé car il est le plus utilisé dans la production, le transport et l’exploitation de l’électricité l’électr icité : générate générateurs urs triphasées, transformateurs transformateurs triphasés et machines asynchrones triphasées, [8]. Pour ce faire, le dernier chapitre a été consacré à l’étude des réseaux triphasés en évoquant les caractéristiques essentielles de ces réseaux dans le cas équilibré et déséquilibré. Ensuite, les montages permettant de mesurer les différentes puissances sont présentés tout en précisant les avantages et les inconvénients de chacun d’eux. Enfin, pour compléter cette étude, nous avons exposé la technique de l’amélioration du facteur de puissance en utilisant utilis ant les batteries de condensateurs. con densateurs. Les connaissances connaissances acquises par les étudiants, étudiants, pendant ce premier semestre, semestre, à travers le module électrotechnique fondamentale (I) seront complétées pendant le deuxième semestre par le module électrotechnique fondamentale (II). Ce dernier aborde: 

les circuits magnétiques



les transformateurs



les machines électriques

Par ce module, les étudiants auraient acquis toutes les notions fondamentales qui leurs permettent d'aborder d'aborde r aisément les différentes différente s spécialités du génie électrique. é lectrique.




59

Références Bibliographiques Bibliographiques

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1]

Mathieuu Bardou Mathie Bardoux, x, Cours Cours d’Elec d’Electricité tricité Étud Étudee des des Régimes Régimes Altern Alternatifs atifs.. Universi Université té du du LITORAL COTE d'OPAL.

[2]

Patricee Defo Patric Defosse. sse. Nomb Nombres res Comp Complexes lexes - Forme Algé Algébriqu brique. e. http:/ http://math /maths.me s.mezeray zeray.free .free.fr. .fr.

[3]

Sylviee Benzoni Sylvi Benzoni et Francis Francis Filbet. Filbet. Cours de Mathém Mathématiqu atiques es pour pour la Licen Licence ce Analys Analysee Complexe. 2007

[4]

Jean

Marc

Morisset.

Lois

Fondamentales

en

Régime

Continu,

http://jeanmarc.morisset.free.fr . [5]

Chorta Cho rtani ni Ate Atef. f. Nom Nombre bress Com Comple plexes xes.. www www.ma .mathe thelev leve.n e.net. et.

[6]

J.B.. Hir J.B Hiriar iart-U t-Urru rruty. ty. Les Nom Nombre bress Com Comple plexes xes de A à .Z, 200 2009. 9.

[7]] [7

Éric Ér ic Brun Brunel elle le.. Intro Introdu duct ctio ionn à Matla Matlab. b. 2006 2006..

[8]

Luc Lasn Lasne. e. Exer Exercices cices et Probl Problèmes èmes d’Ele d’Electrote ctrotechniq chnique ue Notio Notions ns de Base Base,, Rése Réseaux aux et Machines Electriques. Dunod, Paris, 2011. 2011.

[9]

Caroli Car oline ne Petitj Petitjean ean.. Sig Signau nauxx Electr Electriqu iques es Pério Périodiq diques ues.. Décemb Décembre re 1999. 1999.

[10] Guy Chateigne Chateigner. r. Daniel Bouix.Miche Bouix.Michell Boës. Jacques Jacques Vaillant. Vaillant. Daniel Verkindèr Verkindère. e. Manuel de Génie Electrique. Rappels de Cours, Méthodes. Paris, 2006. [11] Jean Marc Marc Morisset. Morisset. Lois Lois Fondamenta Fondamentales. les. Le Régime Régime Sinusoï Sinusoïdal. dal. [12] Etude

d’un

circuit circu it

RC

et et

RL

en

régime régime

transitoire trans itoire..

http://www.technologuepro.com.2015. [13] Etude Etudess des Circuits Circuits Linéaire Linéairess en Régime Régime Transito Transitoire. ire. www.G www.GEOCIT EOCITIES.w IES.ws, s, 2015. 2015. [14] Fabrice Sincère. Système du Premier Ordre. http://pagesperso-oran http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere. ge.fr/fabrice.sincere. [15] Frédé Frédéric ric de Coulon et Marcel Marcel Jufer. Introducti Introduction on à l’Electrotechn l’Electrotechnique ique.. Presses Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001. [16] Claud Claudee Divoux. Divoux. Cours - Systè Systèmes mes Triph Triphasés asés Equil Equilibrés ibrés.. 1999. 1999. [17] Guy Chateigne Chateigner. r. Daniel Bouix.Miche Bouix.Michell Boës. Jacques Jacques Vaillant. Vaillant. Daniel Verkindèr Verkindère. e. Manuel de Génie Electrique. Rappels Rappels de Cours, Méthodes. Méthodes. Paris, 2006. [18] Mesu Mesure re de Puissance Puissance en Tripha Triphasé. sé. http://ele http://electroc ctrocorot. orot.free. free.fr. fr. Université KASDI Merbah Ouargla-



60

Cours-Electrotechnique-Fondamentale-1.pdf

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